Tài liệu Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ngô Thị Mến NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƢỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân Hà Nội- 2011 MỤC LỤC Mở đầu …………………………………………………………………….1 Chƣơng I: Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn khối………………………………………………………………………...4 I.1. Siêu mạng pha tạp…………………………………………………………….4 I.1.1. Bán dẫn siêu mạng………………………………………………………….4 I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha tạp…………………………………………………………………………………....4 I.2. Phương trình động lượng tử và bài toán gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối………………………………………………........................6 I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối…………………………………………………………………………………..6 I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp thụ một phonon)…………………………………………………………8 I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…………….....12 Chƣơng II: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức giải tích……………………………………………...........................................16 II.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp………………………………………………..............16 II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn siêu mạng………………………………………………………..16 II.1.2. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp…………………………………………………………27 II.2. Biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp………………………………………….....................34 II.2.1. Trường hợp khí electron không suy biến……………………………...34 II.2.2. Trường hợp khí electron suy biến………………………………………36 Chƣơng III: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng pha tạp n-GaAs/ pGaAs……………………………………………………………………41 III.1. Tính toán số trường hợp khí electron không suy biến………………...42 III.2. Tính toán số trường hợp khí electron suy biến………………………...48 Kết luận………………………………………………………..................53 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….54 Phụ lục……………………………………………………………………56 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc tần số trường laser  ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500K(đường chấm)……………………………………………………..……………42 Hình 3.2: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc biên độ trường laser ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500 (đường K chấm)…………………………………………………………………..………………43 Hình 3.3: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào nhiệt độ ứng với số sóng q  9 108 m1 (đường gạch), q  8 109 m1 (đường chấm), q  8.1109 m1 (đường liền)………………………………………………………..…44 Hình 3.4: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc nồng độ pha tạp ứng với nhiệt độ 480 K (đường gạch), 490 K (đường chấm), và 500 K (đường liền)………………………………………………………………………………….…45 Hình 3.5: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc vào chu kì siêu mạng d ứng với số sóng q  8 108 m1 (đường liền), q  8.5 108 m1 (đường chấm), q  9 108 m1 (đường gạch)………………..….…46 Hình 3.6: hệ số gia tăng phonon âm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc số sóng q ứng với nhiệt độ 450 K (đường gạch), 480 K (đường liền), 500 K (đường chấm)…………………………………………………………..……………47 Hình 3.7: A (đường liền ), B (đường chấm) là hàm của biên độ trường laser E0 với q  3.2 108 m1 ………………………………………………………………………….49 Hình 3.8: A (đường liền), B (đường chấm) là hàm của số sóng q với  m ………………………………………………………………………..50 E0  3 108 V Hình 3.9: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc biên độ trường laser ứng với số sóng 2.5 108 m1 (đường liền), 3 108 m1 (đường gạch), 3.5 108 m1 (đường chấm)……………………………………….51 Hình 3.10: hệ số gia tăng phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc tần số trường laser ứng với số sóng 2.5 108 m1 (đường gạch), 3 108 m1 (đường liền), 3.5 108 m1 (đường chấm)……………………………………….....52 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Ngày nay, vật lý chất rắn đang đi sâu vào việc nghiên cứu các màng mỏng và các cấu trúc nhiều lớp. Trong các hệ có cấu trúc nanô, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Boglie, các tính chất của electron bị thay đổi đáng kể, đặc biệt một số tính chất mới khác biệt so với vật liệu khối xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Khi đó, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực mà đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng của electron trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn. Do đó, đặc trưng của hạt dẫn trong các cấu trúc này tương tự như khí electron thấp chiều. Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi cấy tinh thể epytaxy chùm phân tử (MBE) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV), cho phép tạo ra nhiều hệ các cấu trúc thấp chiều như: hố lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây lượng tử(quantum wire), chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó, vài thập niên gần đây các nhà vật lý đặc biệt chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều điểm ưu việt là do có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số, nên có thể tạo ra các bán dẫn siêu mạng có đặc trưng cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng yêu cầu, mục đích sử dụng khác nhau. Việc ra đời các nguồn bức xạ cao tần đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về các hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từ cao tần lên bán dẫn siêu mạng. Khi sóng điện từ cao tần (có tần số  thỏa mãn điều kiện   1,  : thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vật liệu thì định luật bảo toàn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của photon vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac mô tả định luật bảo toàn khi   1, ngoài năng lượng electron, phonon còn có cả đại lượng liên quan tới năng lượng photon l , l là số nguyên). Kết quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó electron có thể tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới khác hoàn toàn trường hợp không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại lượng liên quan tới năng lượng photon l vào đối số của hàm Delta - Dirac). Công nghệ laser giúp ta nghiên cứu một số hiệu ứng mới trong hệ cấu trúc thấp chiều trong đó có hiệu ứng về gia tăng sóng âm (phonon âm). Trong bán dẫn khối hiệu ứng này đã được nghiên cứu cả trường hợp khí electron suy biến và không suy biến, cả quá trình hấp thụ một photon cũng như nhiều photon. Trong siêu mạng pha tạp, hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm cũng đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, bài toán về tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp vẫn còn để ngỏ. Với những lý do ở trên, chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp”. Khóa luận này, chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon âm (sóng âm) giam cầm để xây dựng công thức tính hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Từ đó, chúng tôi đã khảo sát và tính toán số các kết quả thu được cho một siêu mạng pha tạp điển hình là: n - GaAs/p - GaAs. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu: Trong nghiên cứu lý thuyết, để nghiên cứu hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm, theo quan điểm cổ điển ta có thể sử dụng cách giải phương trình động cổ điển Boltzmann. Trong lĩnh vực lượng tử, bài toán này có thể được giải quyết theo nhiều phương pháp khác nhau như: lý thuyết nhiễu loạn, phương trình động lượng tử, lý thuyết hàm Green hoặc phương pháp chiếu toán tử. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng nên tùy từng bài toán mà ta lựa chọn phương pháp cụ thể. Trong khóa luận này chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho phonon. Từ Hamiltonian của hệ điện tử phonon ta xây dựng phương trình động lượng tử đối với hàm phân bố số phonon hoặc hàm phân bố lượng tử tổng quát của phonon để nghiên cứu tốc độ thay đổi phonon âm (sóng âm) trong siêu mạng pha tạp. Từ biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng phonon âm (sóng âm) trong siêu mạng pha tạp, chúng tôi đã tiến hành tính toán số, và thảo luận kết quả thu được đối với siêu mạng n - GaAs/p - GaAs cho trường hợp phonon âm (sóng âm) giam cầm. 3. Bố cục luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được chia làm 3 chương: Chương I: Siêu mạng pha tạp và phương trình động lượng tử. Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp. Chương III: Tính số cho siêu mạng pha tạp và vẽ đồ thị. CHƢƠNG I: Siêu mạng pha tạp và phƣơng trình động lƣợng tử cho phonon âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn khối I.1. Siêu mạng pha tạp: I.1.1. Bán dẫn siêu mạng: Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp nhau. Do cấu trúc tuần hoàn, nên trong bán dẫn siêu mạng các electron ngoài chịu thế tuần hoàn của mạng tinh thể, còn phải chịu một thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo ra có chu kì lớn hơn nhiều lần so với hằng số mạng. Thế phụ này được tạo ra do sự khác biệt của các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn tạo thành siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng gồm các lớp mỏng A có bề dày d A nằm xen kẽ giữa các lớp mỏng B có bề dày dB. Chọn hướng vuông góc với các lớp bán dẫn làm trục siêu mạng Oz. Khi đó, khoảng cách d = d A + dB gọi là chu kì của siêu mạng. Dựa vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia bán dẫn siêu mạng ra thành hai loại là: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng thành phần. I.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha tạp: Siêu mạng pha tạp là siêu mạng được tạo thành từ hai bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Ưu điểm của siêu mạng pha tạp là có thể điều chỉnh các tham số của siêu mạng dễ dàng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp. Giả sử thế của siêu mạng được tạo ra theo chiều z. Khi bỏ qua sự phụ thuộc của năng lượng vào thành phần vectơ kz, hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng pha tạp có dạng: s0 + Hàm sóng:  n,kz  z    eikz jz n  z  jd  (1.1) 1  + Phổ năng lượng:  n   p  n   2  (1.2) j 1 Trong đó:  n  z  và  n : hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng tử biệt lập phụ thuộc vào n. n: chỉ số lượng tử hóa. S0: số chu kỳ của siêu mạng.  p  2e  nD : tần số plasma gây bởi các tạp chất donor với nồng độ pha tạp 0m nD.  0 : hằng số điện. e, m là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron. Vậy hàm sóng của electron trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (x, y) có dạng sóng phẳng, và theo phương của trục z (trục của siêu mạng) có dạng hàm Block: s0     ik r n,k  r   e un  r   eikz jz n  z  jd  (1.3) j 1 Và phổ năng lượng:  2k 2 1   n k    p  n   2m 2    (1.4) I.2. Phƣơng trình động lƣợng tử và bài toán gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối. I.2.1.Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn khối: Hamiltonian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối là: 2 1   e     H (t )   p  A(t )  a p a p   q bqbq   Cq ap q ap (bq  bq )      c  p 2m  q p ,q (1.5) Trong đó ap và ap ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của    điện tử (phonon); p và ( p  q) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;  p (q ) là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn 2  1   e   khối;  ( p)  p  A(t )  là năng lượng điện tử;  q là năng lượng của 2m  c  phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử; C q là hằng số tương tác điện tử - phonon, A(t ) là thế vectơ. Trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, A(t ) xác định bởi biểu thức: 2 1   e     H (t )   p  A(t )  a p a p   q bqbq   Cq ap q ap (bq  bq ) (1.6)       c  p 2m  q p ,q Từ (1.5) ta có:  i bq t 1   e       bq , H (t )   p  A(t )  bq , a p a p    t 2m p  c  2 t t (1.7)  k bq , bkbk    Ck bq , ap k ap (bk  bk )  .    t t  k p ,k Thực hiện phép biến đổi và dựa vào các hệ thức toán tử, ta có: i  bq t t  q bq  Cq  a p q a p t  p (1.8) t Thiết lập phương trình cho a p q a p : t Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.8), ta thu được:   i a p q a p t  h  k  k 1   e         a p q a p , H (t )   p ' A(t )  a p q a p , a p 'a p '     t t   t 2m p '   t c   2 t  a p q a p , bb    C  a p q a p , a  a (b   b )  k k p 'k p '  k k  t t    k  t p ',k (1.9) t   i a p q a p t  Ck  k t  eq        p   p q  A(t )  a p q a p mc    a a   p   p k t (bk  bk )   a p k a p (bk  bk )  t t  (1.10) t Từ (1.10) ta tìm được: a    p q t a p t  i  dt1  Ck   k  a a   p   p k (bk  bk )    a p  k a p (bk  bk )  t t   e 1     exp i ( p   p q )(t1  t )  i qA ( t ) dt 2 2 mc t   t  1.11 Thay (1.10) vào (1.8), ta có:  bq  iq bq t t t   CqCk  p ,k  dt  a a t   p 1  k    p k (bk  bk )    a p k a p (bk  bk )  t t   e 1   exp i ( p   p q )(t1  t )  i qA ( t ) dt 1.12  2 2 mc t   Trong gần đúng bậc hai của Cq , có thể bỏ qua bq , và sẽ thu được: t1  bq  iq bq t t t C 2  q  (n   p ,k t  p n   p q )  dt1 bq  e    exp i ( p   p q )(t1  t )  i qA ( t ) dt  2 2 mc t   t1 t1  1.13 Với:    cE0 A(t2 )  cE0  sin(t2 )dt2  cos(t2 )  1.14  Thay (1.14) vào (1.13) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi: exp(  iz sin )=   J n ( z ) exp(  in ) n=- J n ( z ) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có : t   bq  iq bq t t C 2  q t  (n  p t  p n   p q )  dt1 bq  t1       eE0 q   eE0 q  exp i ( p   p q )(t1  t )  ilt1  ist  J l  J 2  s 2  m  l , s     m   1.15 Phương trình (1.15) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong bán dấn khối. I.2.2.Lý thuyết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp hấp thụ một phonon): Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:   it  ( )  B  bq t e dt  q    b  1 B ( )e  it d q t  q 2    bq t t  i bq (1.16) t Từ phương trình (1.15) và (1.16) ta có i bq  iq bq t C 2  q t  (n  p t  p  n p q )  dt1 bq  t1        eE0 q   eE0 q    Jl  J expi ( p   p q )(t1  t )  ilt1  ist 2  s 2  m  m  l , s      Hay viết dưới dạng khác: 1 i 2   1  ( )e  B d   i  Bq ( )e it d  q q   2          eE q eE q  Cq2  (n p  n p q )  J l  0 2 J s  0 2    p l , s   m   m  t 1   dt1 2   it   B ( )e  q   it d exp i ( p   p q )(t1  t )  il t1  ist 1.17       eE0 q   eE0 q   C  (n p  n p q )  J l  J  2  s 2   m  m  p l , s       it ilt ílt  Bq ( )e 1   i( p   p q  l    i ) d 2   2  q Trong đó:  ( x) là hàm Delta-Dirac. Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:   B ( )e  q  it ilt íst d     B   (s  l )e  q  it d  Nên: 1 i 2   1 B (  ) e d   i  Bq ( )e  it d   2        eE0 q   eE0 q  2  Cq  (n p  n p q )  J l  J  2  s 2   p l , s   m   m   Bq   ( s  l )  e  it 1   i( p   p q  l    i ) d 2   q  it  q 1.18 Từ phương trình (1.18) ta có: n p  n p q i Bq ( )  iq Bq ( )  Cq2  i ( p   p q  l    i )       eE0 q   eE0 q    Jl  J B    ( s  l )  2  s 2  q m  m  l , s        eE0 Từ (1.19) đặt a  m 2  p  ( )    p  q n p  n p q ( p   p q  l    i )  1.19  1.20  ;  0 Ta sẽ có: (  q ) Bq ( )  Cq 2     J  aq J  aq   (  l)B   (s  l ) 1.21 l , s  l s  q  q Nhận xét rằng trong phương trình (1.21) các số hạng với l  s bên vế phải sẽ cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l  s . Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.21) và thu được phương trình tán sắc: (   ) B ( )  C  q  q  q 2    J  aq  (  l)  0 2 l l   q 1.22  Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:   (q )   Im( )   Cq 2    J  aq   n l  2 l  p  p  n p q   p   p q  l  q  1.23 Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.23) ta  tính hệ số hấp thụ sóng âm  (q ) cho bán dẫn: Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một photon, với giả thiết q>>pF;    F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:   2   2 m2  eE0q   q m   q m   (q )    p      F  4 s  m2   2 q   2 q   eE0 Trong đó  là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,   m PF là xung lượng Fermi của điện tử;  ( z ) là hàm có bước nhảy: 1, z  0 0, z  0  ( z)    Ở điểm q  2m ,  (q ) sẽ đổi dấu và với:  2m  pF  pF  q  2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm  (q )  0  Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối  eE0   số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq   1 với   .  m Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:   p2  n p  Aexp  ; 2 mkT    2  A  n0    mkT  3/2 Hằng số tương tác điện tử - phonon âm: (1.24) C  q 2  2q  V0 2  s (1.25) Với V0 thể tích của tinh thể, thường chọn V0=1;  - hằng số thế biến dạng. s – vận tốc sóng âm.  - mật độ tinh thể. Đặt (1.24), (1.25) vào công thức chung (1.23). Chuyển từ tổng sang tích phân  theo p , thu được biểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm trường hợp hấp thụ một photon:   q      exp 2 S   sh  q q   2kT         2  q     q4   2  exp  2Sqq   sh     exp   Sq  q    4m 2    2kT      n0 2   m      (q )   s  2kT   2  1/2 Ở đây : Sq  2 1.26  m 2q 2 kT K là hằng số Boltzmann; N0 là mật độ điện tử; T là nhiệt độ của hệ. Từ công thức (1.26), trong trường hợp bất đẳng thức q   được thực hiện,  ta có  (q )  0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong  vùng sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức q   ta có  (q )  0 và có dạng tường minh sau: 1/2 2  n0 2   m        (q )      sh   s  2kT   2   2kT   sh  2Sqq       2 q 4    2  exp   Sq  q      4m 2      (1.27)  Công thức (1.27) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (  (q )  0 ) đã  chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (  (q )  0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một photon. I.2.3.Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối: Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.23) dưới dạng khác:   (q )   Cq 2    J  aq  n   l  2 l  p  p   p q    p  l  q     p q   p  l  q  (1.28) Đặt     p q   p  l  q trong trường hợp    1 , dùng công thức biến đổi:    2   2    J       l     2   2 l    2 l Ta sẽ thu được:    2   2     2   2   p n p   2   2    2   2        eE0  Trong đó: m   (q )  Cq 2 (1.29) Sử dụng:  q 2 pq q 2 pz q     p q   p  l  q    q    q 2m 2m 2m 2m  q 2 pq q 2 pz q     p q   p  l  q    q    q 2m 2m 2m 2m Công thức biến đổi tổng thành tích phân 2 1  ...   2   d .dP .P  dP ....  p . 3 0 . z  Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.26) phương trình sau: 2 A Cq   (q )  3  2  2   P2     Pz2 d  . dP . P exp dP exp 0 0 . .  2mkT  0 z  2mkT    q2    2    2 m       q2 2      2m   2     q2 pz q  q      2      2m 2 m      2   q2 pz q 2   q     2m   2m    2   pz q  q    2m     2   pz q  q   2m   (1.30) Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.30), ta nhận được: 2     2 m .n0   m   q2 2  (q )   q       exp   2    kT .2 2  s   2q kT   2m           m  q2     1 / 2     q     2  I  2  ! l 0   q      q kT  2m q  2m  2    m   q2  exp   2    q    2      2q kT   2m        1 / 2     2 ! l 0  q    q  2m      m  q2      q     I  2      q kT  2m   1.31 Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau: 1/2 2 1/2   m 2      2 n0  m  m  q2  (q )   q      exp   2  exp   2  2  s  2kT   2q kT  2m  2q kT          m  q2     1 / 2       I      2   2 q   q ! q kT 2 m l 0     q    2m         exp   q   2  kT   q     q  2m    2   m  q     q     I  2  q kT 2 m        1.32  Từ (1.32) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:       2      m  q2      m  q   q     2  q   1.33  2  I  2   I  2     q      q kT  2m   q      q kT  2m q q  2m   2m   Thì  (q )  0 ,còn nếu:       2    m  q   m  q2        q     2  q   1.34   2  I  2   I  2     q      q kT  2m   q      q kT  2m q q  2m   2m   Ta có  (q )  0 và có dạng tường minh như sau: 1/2 2 1/2   m 2      2 n0  m  m  q2  (q )    q      exp   2  exp   2  2  s  2kT  2 q kT 2 q kT 2 m              m  q2     1 / 2     q      q     I  2  exp     2 ! l 0  kT   q      q kT  2m    q    2m      2  q    q  2m    2   m  q      q     I  2      q kT  2m   1.35  Công thức (1.35) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm  (q )  0 đã  chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm  (q )  0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser. CHƢƠNG II: Phƣơng trình động lƣợng tử và hệ số gia tăng phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp và biểu thức giải tích II.1. Phƣơng trình động lƣợng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong siêu mạng pha tạp. II.1.1. Phương trình động lượng tử của phonon âm (sóng âm) giam cầm trong bán dẫn siêu mạng: Hamiltonian của hệ điện tử phonon âm giam cầm trong bán dẫn siêu mạng   khi có mặt trường bức xạ laser E  E0 sin(t ) có dạng: H = He + Hph + He-ph (2.1) Trong đó: He =    n (k   n,k Hph =    m , q  m , q e  A(t ))a n,k a n,k : năng lượng của các điện tử không tương tác   c bm ,q bm,q : năng lượng của các phonon âm không tương tác  C m m  q n, n '   m, q  n , n ' , k  He-ph = I an' , k  q an, k (bm, q  bm ,  q ) : năng lượng tương tác điện tử   phonon âm  H  C  = m m  '  q n, n  ' m, q  n , n , k  I  n,k n  e  (k   A(t ))a n,k a n,k   c an' , k  q an, k (bm, q  bm ,  q )   Gọi N m,q (t )  bm,q bm,q    t +    m , q  m , q bm ,q bm,q + (2.2) là số phonon âm giam cầm trung bình tại thời điểm t. Dưới tác dụng của trường laser, hệ điện tử phonon âm giam cầm trở nên không cân bằng. Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm có dạng: