ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU THỊ MINH TÂM
NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU THỊ MINH TÂM
NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI
Thái Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Më §Çu
Lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna ®-îc ®¸nh gi¸ lµ mét trong
nh÷ng thµnh tùu s©u s¾c cña to¸n häc trong thÕ kû hai m-¬i. §-îc h×nh thµnh tõ
nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ nh÷ng c«ng
tr×nh cña Hadamard, Borel vµ ngµy cµng cã nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc
kh¸c nhau cña to¸n häc.
Vµo n¨m 1925, Nevanlinna ®· ph¸t triÓn lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ víi xuÊt
ph¸t ®iÓm lµ c«ng thøc næi tiÕng Jensen. Lý thuyÕt cã néi dung chñ yÕu lµ ®Þnh lý
c¬ b¶n thø nhÊt, ®Þnh lý c¬ b¶n thø 2 vµ quan hÖ sè khuyÕt.
Néi dung luËn v¨n gåm hai ch-¬ng:
Ch-¬ng I: Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna.
Ch-¬ng II: Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ nghiÖm toµn côc cña ph-¬ng tr×nh
vi ph©n phøc dùa trªn bµi b¸o nghiÖm toµn côc cña mét sè líp ph-¬ng tr×nh vi
ph©n phøc cña t¸c gi¶ Ping Li.
KÕt qu¶ cña luËn v¨n:
Cho P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi hµm nhá cña f
z
coi nh- lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1 , p1, p2 lµ 2 hµm nhá cña e vµ
1 , 2 lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng. Sö dông lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña
Nevanlinna ®Ó t×m ra nghiÖm toµn côc siªu viÖt cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n phi
tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc:
f n z P f p1e1z p2e2 z .
LuËn v¨n ®-îc hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña GS TSKH Hµ Huy Kho¸i. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c vµ thµnh kÝnh nhÊt ®Õn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ThÇy, ThÇy kh«ng chØ h-íng dÉn t«i nghiªn cøu khoa häc mµ ThÇy cßn th«ng
c¶m, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n, khoa sau §¹i häc
tr-êng §¹i häc S- ph¹m thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c thÇy c« ViÖn To¸n häc
ViÖt Nam ®· gi¶ng d¹y, t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i hoµn thµnh khãa häc vµ
luËn v¨n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ban Gi¸m hiÖu tr-êng cao ®¼ng C«ng NghÖ vµ
Kinh TÕ C«ng NghiÖp, ®Æc biÖt lµ c¸c ®ång nghiÖp trong khoa KHCB, gia ®×nh,
b¹n bÌ ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc vµ hoµn thµnh luËn v¨n.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010
Häc viªn
L-u ThÞ Minh T©m
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch-¬ng I
C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna
1.1. Hµm ph©n h×nh
1.1.1.§Þnh nghÜa: §iÓm a ®-îc gäi lµ ®iÓm bÊt th-êng c« lËp cña hµm f(z)
nÕu hµm f(z) chØnh h×nh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a, trõ ra t¹i chÝnh ®iÓm ®ã.
1.1.2. §Þnh nghÜa: §iÓm bÊt th-êng c« lËp z = a cña hµm f(z) ®-îc gäi lµ
f z .
cùc ®iÓm cña f(z) nÕu lim
z a
1.1.3. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) chØnh h×nh trong toµn mÆt ph¼ng phøc
®-îc
gäi lµ hµm nguyªn.
Nh- vËy, hµm nguyªn lµ hµm kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng h÷u h¹n.
1.1.4. §Þnh nghÜa: Hµm f(z)
®-îc gäi lµ hµm ph©n h×nh trong miÒn
D nÕu nã lµ hµm chØnh h×nh trong D, trõ ra t¹i mét sè ®iÓm bÊt th-êng lµ
cùc ®iÓm.
NÕu D =
th× ta nãi f(z) ph©n h×nh trªn
, hay ®¬n gi¶n, f(z) lµ hµm
ph©n h×nh.
*NhËn xÐt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× trong l©n cËn cña mçi ®iÓm
z D, f z cã thÓ biÓu diÔn ®-îc d-íi d¹ng th-¬ng cña hai hµm chØnh h×nh.
1.1.5. §Þnh nghÜa: §iÓm z0 gäi lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) nÕu trong
l©n cËn cña z0 , hµm f z
1
z z0
m
h z , trong ®ã h(z) lµ hµm chØnh h×nh trong
l©n cËn cña z0 vµ h z0 0 .
1.1.6. TÝnh chÊt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× f’(z) còng lµ hµm
ph©n h×nh trªn D. Hµm f(z) vµ f’(z) còng cã c¸c cùc ®iÓm t¹i nh÷ng ®iÓm nhSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
http://www.lrc-tnu.edu.vn
nhau. §ång thêi, nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) th× z0 lµ cùc ®iÓm cÊp
m+1 cña hµm f’(z).
*NhËn xÐt: Hµm f(z) kh«ng cã qu¸ ®Õm ®-îc c¸c cùc ®iÓm trªn D.
1.1.7. TÝnh chÊt: Cho hµm f(z) chØnh h×nh trong , ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
f(z) kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng kh¸c ngoµi cùc ®iÓm lµ f(z) lµ hµm h÷u tû.
1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt
1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen
f z 0 lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn
§Þnh lý: Gi¶ sö
z R víi 0 R . Gi¶ sö
a 1, 2,...M lµ c¸c kh«ng ®iÓm, mçi kh«ng ®iÓm
®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã, bv(v = 1,2,…N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong
h×nh trßn ®ã, mçi cùc ®iÓm ®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã nÕu
z r.ei , 0 r R , f z 0; f z th×:
1
log f z
2
2
log f Re
0
M
R z a
1
R 2 a z
log
i
R2 r 2
d
R 2 2 Rrcos r 2
N
R z bv
v 1
R 2 bv z
log
(1.1)
.
Chøng minh
*Tr-êng hîp 1. Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong
z R .
Khi ®ã ta cÇn chøng minh:
1
log f z
2
2
log f Re
0
i
R2 r 2
d .
R 2 2 Rrcos r 2
(1.1a)
+ Tr-íc hÕt ta chøng minh c«ng thøc ®óng t¹i z = 0, nghÜa lµ cÇn chøng
minh:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
log f 0
2
2
log f Re d.
i
0
Do f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong h×nh trßn nªn hµm log f(z)
chØnh h×nh trong h×nh trßn ®ã. Theo ®Þnh lý Cauchy ta cã:
1
log f 0
2 i
2
log f Re d.
dz
1
log
f
z
z 2
z R
i
0
LÊy phÇn thùc ta thu ®-îc kÕt qu¶ t¹i z = 0.
1
log f 0
2
2
log f Re d.
i
0
+ Víi z tïy ý, chóng ta xÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c biÕn R thµnh 1 vµ biÕn
z thµnh 0 . §ã lµ ¸nh x¹:
R z
R 2 z
.
Nh- vËy R t-¬ng øng víi 1 . Trªn R , ta cã:
log log
Nªn
R z
R z
2
d
R
2
z
d
zd
2
2
z R z
R z
Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong
log f z
log R log z log R 2 z .
2
d
z
.
(1*)
z R , theo ®Þnh lý Cauchy ta cã:
1
d
log f
.
2 i R
z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
(2*)
http://www.lrc-tnu.edu.vn
MÆt kh¸c
1
zd
1
d
log
f
log
f
.
R2
2 i R
R 2 z 2 i R
z
Do z z R suy ra
R , nªn hµm log f
R2
R2
R nghÜa lµ ®iÓm
z
z
(3*)
n»m ngoµi vßng trßn
1
R 2 lµ hµm chØnh h×nh. Nh- vËy tÝch ph©n trong
z
vÕ ph¶i cña (3*) b»ng 0. KÕt hîp víi (1*) vµ (2*) ta cã:
log f z
R
2
z
1
log f 2
2 i R
R z
2
d
z
.
(1.2)
i
i
H¬n n÷a, trªn R , R.e , d iRe d vµ
R
2
z R R re Re
i
z
i
rei
Rei R 2 2 Rrcos r 2 .
KÕt hîp víi (1.2) ta thu ®-îc:
2
log f Re R
1
log f z
2
R
i
2
0
2
r 2 d
2 Rrcos r 2
.
LÊy phÇn thùc hai vÕ cña ®¼ng thøc (1.3) ta ®-îc:
1
log f z
2
2
log f Re R
R
i
0
2
2
r 2 d
2 Rrcos r 2
.
§©y lµ ®iÒu cÇn ph¶i chøng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
http://www.lrc-tnu.edu.vn
(1.3)
* Tr-êng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm bªn trong
z R ,
nh-ng cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm
vµ cùc ®iÓm cj trªn biªn
R . Víi 0 nhá tïy ý, ta ®Æt:
D z R U j c j .
Gäi D lµ chu tuyÕn cña D vµ
lµ c¸c cung lâm vµo trªn D bao gåm
nh÷ng phÇn trªn ®-êng trßn R cïng víi c¸c phÇn lâm vµo cña ®-êng trßn
nhá b¸n kÝnh
vµ t©m lµ c¸c kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm f(z) trªn R . Gi¶
i
sö z re trong miÒn z R , tån t¹i
®ñ nhá sao cho
R2 z
1
log f z
log f 2
2 i D
R z
2
z D . Khi ®ã:
d
z
(1.2a)
Gi¶ sö z0 lµ mét kh«ng ®iÓm hay cùc ®iÓm cña f(z) trªn R vµ
cung trßn øng víi z0 trªn D . Khi ®ã trªn
0 ,
f z c z z0 ...
m
trong ®ã m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm vµ m < 0 nÕu z0 lµ cùc ®iÓm. Suy ra
1
log f z O log khi 0 .
Nh- vËy:
1
2
1
O log .M . ,
trong ®ã M lµ mét ®¹i l-îng bÞ chÆn. Ta thÊy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
http://www.lrc-tnu.edu.vn
lµ
1
O log .M . 0 khi 0 .
Cho
0
trong c«ng thøc (1.2a), tÝnh tÝch ph©n thø nhÊt sÏ dÇn ®Õn tÝch
ph©n trong vÕ ph¶i cña (1.3), tÝch ph©n thø hai sÏ dÇn ®Õn 0. Nh- vËy ta còng thu
®-îc c«ng thøc (1.3) trong tr-êng hîp nµy vµ tõ ®ã suy ra (1.1).
*Tr-êng hîp 3. B©y giê ta xÐt tr-êng hîp tæng qu¸t, tøc lµ f(z) cã c¸c
kh«ng ®iÓm vµ c¸c cùc ®iÓm trong z R ®Æt:
f
1
R a
M
N
R bv
v 1
R 2 bv
.
.
(1.4)
R 2 a
1
HiÓn nhiªn kh«ng cã kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm trong z R . NhvËy chóng ta cã thÓ ¸p dông c«ng thøc (1.1a) cho hµm . H¬n thÕ n÷a,
i
nÕu Re th× :
R a
R a
2
R a
a
1,
R bv
vµ
R bv
2
R bv
bv
1,
f .
nªn
VËy
1
log z
2
1
2
2
2
log Re R
0
log f Re R
0
R
i
R
i
2
2
2
2
r 2 d
2 Rrcos r 2
r 2 d
2 Rrcos r 2
.
(1.5)
MÆt kh¸c:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
http://www.lrc-tnu.edu.vn
M
R z a
1
R2 a z
log z log f z log
M
R z a
1
R2 a z
log f z log
N
R z bv
v 1
R 2 bv z
log
N
R z bv
v 1
R 2 bv z
log
.
Thay log z vµo (1.5) ta thu ®-îc kÕt qu¶.
*ý nghÜa: C«ng thøc Poisson-Jensen chØ ra r»ng, nÕu biÕt gi¸ trÞ cña
modulus f(z) trªn biªn, c¸c cùc ®iÓm, kh«ng ®iÓm cña hµm f(z) trong z R , th×
ta cã thÓ t×m ®-îc gi¸ trÞ cña modulus f(z) bªn trong ®Üa z R .
Khi z = 0 ta ®-îc hÖ qu¶ quan träng hay ®-îc sö dông vÒ sau:
* HÖ qu¶: Trong nh÷ng gi¶ thiÕt cña ®Þnh lý, ®ång thêi nÕu
f z 0,
th× khi z = 0 trong ®Þnh lý (1.2.1) ta thu ®-îc c«ng thøc Jensen.
1
log f 0
2
2
log f Re
i
M
a
1
R
d log
0
N
bv
v 1
R
log
.
(1.6)
Khi f z 0, c«ng thøc trªn ®©y chØ cÇn thay ®æi chót Ýt. ThËt vËy, nÕu
f z 0, hµm f(z) cã khai triÓn t¹i l©n cËn z = 0 d¹ng:
f z c z x ..., Z
XÐt hµm
R f z
z
ta thÊy
z
0 0, , ®ång thêi khi
Rei , f . Tõ ®ã ta cã:
1
log c
2
2
M
a
1
R
i
log f Re d log
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
N
bv
v 1
R
log
log R.
http://www.lrc-tnu.edu.vn
NhËn xÐt:
Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong mét miÒn G nµo ®ã. Ta gäi cÊp cña
hµm f(z) t¹i ®iÓm z0 G , ký hiÖu
g z
o r dz0 ,f lµ sè nguyªn m sao cho hµm
f z
z z0
m
chØnh h×nh vµ kh¸c 0 t¹i z0. Nh- vËy:
ord z0 f m > 0 nÕu z0 lµ kh«ng ®iÓm cÊp m , b»ng 0 nÕu f(z) chØnh h×nh,
kh¸c 0 t¹i z0, b»ng – m nÕu z0 lµ cùc ®iÓm cÊp m.
Víi ký hiÖu trªn c«ng thøc Poisson-Jensen cã thÓ viÕt d-íi d¹ng:
1
log f z
2
2
log f Re
i
.
0
R2 z
2
Rei z
d ord f .log
2
Rz
R2 z
,
trong ®ã tæng lÊy theo mäi trong h×nh trßn R .
1.2.2. Hµm ®Æc tr-ng
1.2.2.1. Mét sè kh¸i niÖm
PhÇn nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm hµm ®Õm, hµm xÊp xØ, hµm ®Æc tr-ng vµ c¸c
tÝnh chÊt cña chóng. Tr-íc hÕt ta ®Þnh nghÜa:
log+x = max{logx,0}.
Râ rµng nÕu x > 0 th× logx = log+x – log+(1/x).
Nh- vËy:
1
2
2
1
log
f
Re
d
0
2
i
2
1
log
f
Re
d
0
2
i
2
log
0
1
d ,
f Rei
ta ®Æt:
1
m R, f
2
2
log
f Rei d .
(1.7)
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hµm m(R,f) ®-îc gäi lµ hµm xÊp xØ.
Gäi r1,r2,….,rN lµ c¸c m«dun cña c¸c cùc ®iÓm b1,b2,…bN cña f(z) trong
z R.
Khi ®ã
R
N
N
R
R
R
log
log log dn t , f ,
bv v 1
rv 0
t
v 1
(1.8)
trong ®ã n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm f(z) trong z t , cùc ®iÓm bËc q
®-îc ®Õm q lÇn.
ThËt vËy, tr-íc hÕt b»ng ph-¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn ta cã:
R
R
R
R
R
R
R
dt
0 log t dn t , f log t .n t , f 0 0 n t , f d log t 0 n t , f t ,
mÆt kh¸c kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 0 r1 r2 ...rN R .
Khi ®ã:
r
R
r
R
dt 1
dt 2
dt
dt
n
t
,
f
n
t
,
f
n
t
,
f
...
n
t
,
f
,
0
r
t 0
t r1
t
t
N
ta thÊy r»ng:
0, t r1
1, r t r
2
1
n t , f 2, r2 t r3
...
N , rN t R
nªn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
http://www.lrc-tnu.edu.vn
(a)
r
R
r
R
dt 1
dt 2
dt
dt
0 n t , f t 0 n t , f t r n t , f t ... r n t , f t
1
N
r1
r
R
dt 2 dt
dt
0. 1. ... N .
t r1 t
t
0
rN
log t r2 2 log t r3 ... N log t r
r
r
1
R
2
N
log r2 log r1 2 log r3 log r2 ... N log R log rN
(b)
N log R log r1 log r2 ... log rN
log R log r1 log R log r2 ... log R log rN
N
log
v 1
R
;
rv
tõ (a) vµ (b) ta ®-îc (1.8).
B©y giê ta ®Þnh nghÜa hµm ®Õm N(R,f). Gi¶ sö n(t,f) lµ sè cùc ®iÓm cña hµm
f(z) trong h×nh trßn z t ; r1,r2, …rN lµ m«dun cña c¸c cùc ®iÓm b1,b2,…,bN
( mçi cùc ®iÓm ®-îc tÝnh mét sè lÇn b»ng bËc cña nã). Khi ®ã ta cã:
R
N
N
R
R
R
log
log log dn t , f .
bv v 1
rv 0
t
v 1
Hµm ®Õm ®-îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc sau:
N
R
R
dt
N R, f log
n t, f .
bv 0
t
v 1
R
1 N
1 dt
R
N R, log
n t, .
a 0 f t
f 1
(1.9)
(1.10)
Víi c¸ch ®Þnh nghÜa nµy c«ng thøc Jensen (1.6) sÏ ®-îc viÕt l¹i nh- sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
1
log f 0 m R, f m R, N R, f N R, .
f
f
1
1
m R, f N R, f m R, N R, log f 0 .
f
f
HoÆc
B©y giê ta ®Æt:
T R, f m R , f N R , f .
(1.11)
Khi ®ã c«ng thøc Jensen ®-îc viÕt l¹i mét c¸ch rÊt ®¬n gi¶n lµ:
1
T R, f T R, log f 0 .
f
(1.12)
Gi¸ trÞ m R, f lµ hµm xÊp xØ ®é lín trung b×nh cña log f z trªn z R
trong ®ã f lµ lín. Gi¸ trÞ N R, f cã quan hÖ víi cùc ®iÓm. Hµm T R, f ®-îc
gäi lµ hµm ®Æc tr-ng Nevanlinna cña hµm ph©n h×nh f z , cã vai trß quan träng
chñ yÕu trong lý thuyÕt cña hµm ph©n h×nh.
1.2.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr-ng
Chóng ta tiÕp tôc nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n cña hµm
m R, f , N R, f , T R, f . Chó ý a1, …,ap lµ c¸c sè phøc th×
log
p
a log
v 1
vµ
log
p
p
v
v 1
av ,
p
av log p max av log av log p.
v 1
v 1,..., p
v 1
¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn cho hµm ph©n h×nh f1 z ,..., f p z vµ sö
dông (1.7) chóng ta thu ®-îc c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
http://www.lrc-tnu.edu.vn
p
p
1) m r , f v z m r , f v z log p.
v 1
v 1
2)
p
p
m r , f v z m r , f v z .
v 1
v 1
3)
p
p
N r , f v z N r , f v z .
v 1
v 1
4)
p
p
N r , f v z N r , f v z .
v 1
v 1
Sö dông (1.11) ta thu ®-îc
5)
p
p
T r , f v z T r , f v z log p.
v 1
v 1
6)
p
p
T r , f v z T r , f v z .
v 1
v 1
Trong tr-êng hîp ®Æc biÖt khi p 2, f1 z f z , f 2 z a = constant, ta
suy ra T r , f a T r , f log a log 2 . Vµ tõ ®ã chóng ta cã thÓ thay
thÕ f + a, f bëi f, f ’a vµ a bëi - a, suy ra:
T r , f T r , f a log a log 2.
(1.13)
1.2.3. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cña Nevanlinna
1.2.3.1 .§Þnh lý
Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét sè phøc tïy ý, khi ®ã ta cã:
1
1
m R,
N
R
,
T R, f log f 0 a a, R ,
f a
f a
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
http://www.lrc-tnu.edu.vn
a, R log a log 2.
trong ®ã:
Ta th-êng dïng ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt d-íi d¹ng:
1
1
m R,
N R,
T R, f O 1 ,
f
a
f
a
trong ®ã O(1) lµ ®¹i l-îng giíi néi khi r .
Chøng minh:
Theo (1.11) vµ (1.12) ta cã:
1
1
1
m R,
N
R
,
T
R
,
T R, f a log f 0 a .
f a
f a
f a
Tõ (1.13) ta suy ra:
T R, f a T R , f a , R .
Víi a, R log a log 2 . Tõ ®ã ta cã:
1
1
m R,
N R,
T R, f log f 0 a a, R .
f
a
f
a
Víi a, R log a log 2 . §Þnh lý ®-îc chøng minh xong.
*ý nghÜa:
Tõ ®Þnh nghÜa c¸c hµm Nevanlinna, ta thÊy râ ý nghÜa cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø
1
nhÊt. Hµm ®Õm N R,
®-îc cho bëi c«ng thøc:
f a
1 M
R
N R,
log
,
a
f a 1
trong ®ã
a lµ c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
f z a trong h×nh trßn
z R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
1 1
m R,
f a 2
Hµm xÊp xØ:
log
0
1
f Rei a
d .
Nh- vËy, nÕu f nhËn c¯ng nhiÒu gi¸ trÞ “gÇn a” ( tøc l¯ f Rei a nhá, th×
hµm m cµng lín. Cã thÓ nãi tæng trong vÕ tr¸i cña ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt lµ hµm
“ ®o ®é lín cña tËp nghiÖm ph¬ng tr×nh f z a ” v¯ ®é lín tËp hîp t¹i ®ã f(z)
nhËn gi¸ trÞ gÇn b»ng a. Trong khi ®ã, vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trong ®Þnh lý c¬ b¶n
cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc a ( sai kh¸c mét ®¹i l-îng giíi néi). V× thÕ, ®Þnh
lý c¬ b¶n thø nhÊt cho thÊy r»ng, hµm ph©n h×nh f(z) “ nhËn mçi gi¸ trÞ a ( vµ gi¸
trÞ “gÇn a “) mét sè lÇn nh nhau”. §©y l¯ mét t¬ng tù cña ®Þnh lý c¬ b°n cña
®¹i sè. Hµm ®Æc tr-ng Nevanlinna, vÒ ý nghÜa nµo ®ã, cã thÓ xem nh- ®Æc tr-ng
cho “ cÊp t¨ng” cña mét h¯m ph©n h×nh.
NhËn xÐt:
NÕu hµm f cè ®Þnh, ta cã thÓ viÕt
1
1
m R, a , N R, a , n R, a , T R lÇn l-ît
1
thay cho m R,
, N R,
, n R,
, T R, f nÕu a lµ h÷u h¹n vµ
f
a
f
a
f
a
m R, , N R, , n R, thay cho m R, f , N R, f , n R, f .
NÕu chóng ta cho R biÕn thiªn th× ®Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cã thÓ ®-îc viÕt
d-íi d¹ng nh- sau:
m R, a N R, a T R O 1 .
Víi mçi a lµ h÷u h¹n hay v« h¹n. Sè h¹ng m(R,a) dÇn tíi trung b×nh nhá
nhÊt cã thÓ ®-îc cña f ’ a trªn vßng trßn
z R , sè h¹ng N(R,a) dÇn ®Õn sè
nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f z a trong z R . Víi mçi gi¸ trÞ cña a, tæng cña
hai sè h¹ng nµy cã thÓ xem lµ kh«ng phô thuéc vµo a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.3.2. Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1: XÐt hµm h÷u tû
z ... a
p
f z c
p
, trong ®ã
z ... b
q
c 0.
q
Gi¶ sö p > q. Khi ®ã f z khi z , nh- vËy khi a h÷u h¹n m(r,a) = 0
víi mäi r > r0 nµo ®ã. Ph-¬ng tr×nh f(z) = a cã p nghiÖm sao cho
n(t,a) = p(t>t0), nh- vËy:
r
N r, a n t, a
a
dt
p log r O 1 khi
t
r,
Do ®ã, khi r ,
T r , f p log r O 1 ,
vµ
N r , a p log r O 1 , m r, a O 1 , víi a .
NÕu p < q,
T r , f q log r O 1 ,
N r , a q log r O 1 ,
m r , a O 1 , víi
a 0.
NÕu p = q, N r , f q log r O 1 ,
N r , a q log r O 1 ,
m r , a O 1 ,
ac.
víi
Nh- vËy, trong mäi tr-êng hîp
T r , f d log r O 1 ,
N r , a d log r O 1 ,
trong ®ã
m r , a O 1 ,
víi
a f ,
d = max(p, q).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Trong tr-êng hîp nµy, m(r, a) lµ bÞ chÆn khi r ngo¹i trõ mét gi¸ trÞ
cña a lµ
f . NÕu ph-¬ng tr×nh
f(z) = a cã nghiÖm béi t¹i víi
0 d , th×
m r , a log r O 1 ,
N r , a d a log r O 1 .
VÝ dô 2: XÐt hµm f z e e
z
r cos i sin
log
log f z log f re
i
i
, víi z re . Khi ®ã
r cos ir sin
e
r cos
log e
,
log er cos , cos 0
,
0, cos 0
r cos
log
e
,
2
2
,
0, 3
2
2
r
cos
,
2
2
=
.
0, 3
2
2
1
m f , a
2
Tõ ®ã:
2
log
i
f re
0
1
d
2
2
r
r cos d .
2
Do hµm e kh«ng cã kh«ng ®iÓm trong z r nªn N(r, f) = 0,
z
nh- vËy, T r , f m r , N r ,
r
.
Do ®ã
T r, f
VÝ dô 3: XÐt P z az ... ap , lµ mét ®a thøc vµ f z e
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
r
P z
.
. Khi ®ã
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
60 
67 
78 
