Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Amperer Elliptic

  • Số trang: 50 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 39 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27700 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ MINH TRUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu 3 1 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 5 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân . . . . . 1.1.1 1.2 1.3 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều . . . . . . 5 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere . . . . 6 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi . . . . . . . . 7 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Phiếm hàm IH (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm ΦH , τH và IH . . . . . 18 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Ước lượng hai chiều cho IH (u) . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm IH (u) . . . . . . . . . . . . . 23 2 Bài toán Dirichlet biến dạng 2.1 5 25 Thể tích hỗn tạp Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồi . . . . . 28 1 2.1.3 2.2 2.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi 30 . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng . . . . . 39 2.3.1 2.3.2 Biểu thức của phiếm hàm IH (u) biểu diễn theo nghĩa siêu mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Biểu thức biến đổi của IH (u) . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 2 MỞ ĐẦU Phương trình Monge-Ampere là phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được Monge đưa ra vào năm 1775. Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu trong đó có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũng tồn tại, vì vậy người ta cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chúng. Luận văn này giới thiệu một cách tìm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere elliptic. Nội dung của luận văn chủ yếu dựa vào chương IV của cuốn Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations của Ilya J.Bakelman. Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu bài toán là các định nghĩa và tính chất của thể lồi, các siêu mặt lồi của các hàm lồi và phương pháp biến phân để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng. Chương 1 của Luận văn giới thiệu về phương trình Monge-Ampere elliptic xuất phát từ công thức độ cong Gauss trong không gian Euclid 3 chiều E 3 và khái quát trong không gian Euclid n-chiều E n , đưa ra dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere, định nghĩa và mô tả một số tính chất của ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của một hàm lồi. Từ đó xây dựng phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng của phương trình Monge-Ampere, chỉ ra được sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân đó. Chương 2 của Luận văn nghiên cứu bài toán Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic trong đó: Giới thiệu định nghĩa và một số tính chất của hàm tựa, thể tích hỗn tạp Minkowski của một thể lồi bị chặn trong E n+1 , đối ngẫu của một siêu mặt lồi của một hàm lồi. Cuối cùng chỉ ra được sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere elliptic, và nghiệm này chính là cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân biến dạng xét trong chương 1. 3 Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn người đã luôn tận tình chỉ bảo, góp ý giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn những góp ý quý báu của các quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn. Qua đây em cũng xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán-Cơ-Tin học các thầy cô đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian em học tập tại trường KHTN-ĐHQG Hà Nội. Cảm ơn gia đình, bạn bè những người luôn động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. 4 Chương 1 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân 1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không gian ba chiều Trong không gian Euclid E 3 cho mặt cong S có phương trình u = u(x, y), u(x, y) ∈ C 2 (B) ∩ C(B) với B là một tập mở bị chặn trong E 2 . Khi đó độ cong Gauss của mặt S tại điểm (x, y, u(x, y)) có dạng: uxx uyy − u2xy K(x, y, u(x, y)) = . (1 + u2x + u2y )2 1.1.2 (1.1) Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều Cho B là một tập bị chặn trong không gian Euclid E 2 ; K(x, y, p, q) là một hàm số nhận giá trị dương đã biết. Bài toán đặt ra là tìm hàm u = u(x, y) sao cho mặt cong của đồ thị hàm số tại điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss cho 5 trước và bằng K(x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) tức là: uxx uyy − u2xy = K(x, y, u, ux , uy )(1 + u2x + u2y )2 . (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình Monge-Ampere hai chiều. 1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều a. Ký hiệu: G là tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E n ; x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ G; u = u(x); ux = (ux1 , ux2 , ..., uxn ); uij = uxi xj (i, j = 1, ..., n). b. Phương trình Monge-Ampere det (uij ) = f (x, u, ux ) (x ∈ G), (1.3) trong đó f (x, u, p) là hàm số đã biết. Phương trình (1.3) được gọi là elliptic đối với hàm u(x) nếu ma trận (uij (x))n×n là ma trận xác định dương tại mọi điểm x ∈ G. Do đó phương trình (1.3) là elliptic nếu hàm f (x, u, p) nhận giá trị dương hay mọi nghiệm của (1.3) là hàm lồi trên G. c. Bài toán Dirichlet: Tìm nghiệm u(x) ∈ C 2 (G) ∩ C(G) của phương trình (1.3) thỏa mãn: 1. u(x) là hàm lồi trong G, 2. u|∂G = 0. 1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere Có một sự liên quan giữa bài toán biến phân n-chiều và bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere n-chiều đó là: cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere tương ứng. Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề chính về mối liên hệ giữa bài 6 toán biến phân và phương trình Monge-Ampere elliptic det (uij ) = f (x1 , x2 , ..., xn ). (1.4) Phiếm hàm Z In (u) = − [u(x)det(uij (x)) − (n + 1)f (x)u(x)]dx, (1.5) G trong đó G là một tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E n . Phiếm hàm (1.5) có phương trình Euler là phương trình Monge-Ampere (1.4). Bakelman đã nghiên cứu bài toán biến phân cho phiếm hàm (1.5) và chứng minh rằng cực tiểu tuyệt đối của bài toán này là nghiệm suy rộng của phương trình elliptic (1.4). 1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi a. Một số ký hiệu: (x1 , x2 , ..., xn , xn+1 ) là tọa độ Đề các trong không gian Euclid (n + 1)-chiều E n+1 và E n là siêu phẳng xn+1 = 0. x = (x1 , x2 , ..., xn ) và (x, z) = (x1 , x2 , ..., xn , z) là các điểm của E n và E n+1 . Cho G là một miền lồi mở bị chặn trong E n . Ký hiệu Sz là đồ thị của hàm z : G → R. W + (G) và W − (G) tương ứng là các lớp tất cả các hàm lồi và các hàm lõm xác định trên G, nếu z(x) ∈ W + (G) hoặc z(x) ∈ W − (G) thì Sz được gọi là một siêu mặt lồi hay siêu mặt lõm. b. Ánh xạ chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Rn = {p = (p1 , p2 , ..., pn )} với tích vô n 1 P hướng (p, q) = pi qi và |p| = (p, p) 2 là độ dài của véc tơ p ∈ Rn nào đó. i=1 Không gian Rn gọi là không gian Gradient. Định nghĩa 1.1.2. Cho E n là không gian Euclid n-chiều và M là một tập trong E n . Một siêu phẳng α được gọi là tựa đối với tập M nếu α ∩ M 6= ∅ và tập M nằm về một phía của α. 7 Vậy nếu α là một siêu phẳng tựa của tập M khi đó α không thể đi qua các điểm trong của M và do đó α ∩ M ⊂ ∂M . Định nghĩa 1.1.3. Cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G. Cho α là một siêu phẳng tựa tùy ý của Sz . Nếu Z − z 0 = (p0 , X − x0 ) = p01 (X1 − x01 ) + . . . + p0n (Xn − x0n ) (1.6) là phương trình của α, thì điểm (x0 , z 0 ) ∈ Sz ∩ α. Điểm p0 = (p01 , p02 , ..., p0n ) ∈ Rn được gọi là ảnh chuẩn tắc của siêu phẳng tựa α và ký hiệu là p0 = χz (α). (1.7) Tập χz (x0 ) = [ χz (α) (1.8) α được gọi là ảnh chuẩn tắc của điểm x0 (Chính xác hơn χz (x0 ) là ảnh chuẩn tắc của điểm x0 ứng với hàm z(x)), trong đó x0 là một điểm thuộc G, α là siêu phẳng tựa của Sz tại điểm (x0 , z(x0 )) ∈ Sz . Rõ ràng χz (x0 ) là một tập con lồi đóng của không gian Gradient Rn . Nếu χz (x0 ) chứa một điểm thì siêu mặt lồi Sz có một siêu phẳng tiếp xúc tại điểm (x0 , z(x0 )), điểm (x0 , z(x0 )) được gọi là trơn trong Sz . Ví dụ. Nếu z(x) là một hàm lồi, tuyến tính từng khúc khi đó χz (x0 ) là một khối đa diện lồi đóng trong không gian gradient Rn , số chiều có thể là 0, 1, 2, ..., n. Cho e là một tập con của G, tập χz (e) = [ χz (x0 ) (1.9) x0 ∈e được gọi là ảnh chuẩn tắc của e, chú ý rằng χz (e) là một tập con của không gian gradient Rn . Ánh xạ χz xác định như trên được gọi là ánh xạ chuẩn tắc. 8 Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi. Ta vẫn ký hiệu G là tập lồi, mở, bị chặn của E n . A. Cho z1 (x) và z2 (x) là các hàm lồi xác định trên G sao cho z1 |∂G = z2 |∂G và z1 (x) ≤ z2 (x) ∀x ∈ G. Khi đó χz2 (G) ⊂ χz1 (G). (1.10) B. Cho z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G. Khi đó χz (F ) là một tập con đóng bị chặn trên không gian gradient Rn , trong đó F là một tập con đóng của G. Nếu δF là khoảng cách từ F đến ∂G, và M (z, δF ) = max |z(x)|, x∈G:dist(x,∂G)≥δF khi đó bất đẳng thức diamχz (F ) ≤ 8δF−1 M (z, δF ) (1.11) đúng, và χz (F ) chứa trong hình cầu |p| ≤ 4δF−1 M (z, δF ). C. Siêu phẳng tựa α của siêu mặt lồi Sz được gọi là kỳ dị nếu α ∩ Sz chứa ít nhất hai điểm phân biệt. Rõ ràng siêu phẳng tựa kỳ dị α của Sz chứa ít nhất một đoạn l ⊂ α ∩ Sz . Cho Qz là tập tất cả các siêu phẳng tựa kỳ dị của Sz . Khi đó mesRn n [ o χz (α) = 0. (1.12) α∈Qz Nếu Qz = ∅ thì Sz được gọi là một siêu mặt lồi ngặt. D. Nếu e là một tập con Borel của G. Khi đó tập χz (e) là đo được Lebesgue trên không gian Rn . E. Nếu z(x) ∈ W + (G) ∩ C 1 (G) thì ánh xạ chuẩn tắc có thể được rút gọn về ánh xạ của các điểm trùng với ánh xạ tiếp xúc, tức là: χz (x0 ) = zx (x0 ). 9 c. R-độ cong của các hàm lồi Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong không gian gradient Rn . z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G. Ta có hàm tập Z R(p)dp, ω(R, z, e) = (1.13) χz (e) trong đó e là tập con Borel của G (G là tập lồi, mở, bị chặn trên E n ). Định nghĩa 1.1.4. Hàm tập (1.13) được gọi là R-độ cong của hàm lồi z(x), R-độ cong chỉ nhận giá trị không âm. Cho Z B(R) = R(p)dp. (1.14) Rn Rõ ràng B(R) > 0. Trường hợp B(R) = +∞ không bị loại trừ. Đẳng thức mesRn {χz (e1 ) ∩ χz (e2 )} = 0 đúng với mọi hai tập con Borel rời nhau e1 và e2 của G (xem tính chất C, của ánh xạ chuẩn tắc). Do đó từ định lý tích phân suy ra R-độ cong là một hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm trên vành các tập con Borel của G. Các tính chất của hàm lồi có liên quan đến R-độ cong của chúng Định lý 1.1.1. Cho z1 (x) và z2 (x) ∈ W + (G) và z1 (x) ≥ z2 (x) trên ∂G, trong đó G là một tập lồi mở, bị chặn trên E n . Giả sử ω(R, z1 , e) ≤ ω(R, z2 , e) (1.15) với mọi tập con Borel e của G. Khi đó z1 (x) ≥ z2 (x), ∀x ∈ G. Định lý 1.1.2. Cho z1 (x) và z2 (x) ∈ W + (G) và z1 (x) = z2 (x), ∀x ∈ ∂G. Cho ω(R, z1 , e) = ω(R, z2 , e) 10 với mọi tập con Borel e ∈ G. Khi đó z1 (x) = z2 (x), ∀x ∈ G. Các bổ đề hình học và các ước lượng Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong E n , u(x) ∈ C(G) là một hàm lồi tùy ý triệt tiêu trên ∂G. Xét nón lồi K với đỉnh (x0 , u(x0 )) đáy ∂G, trong đó x0 là một điểm trong của G và K là đồ thị hàm số z = k(x). Bổ đề 1.1.1. Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong Rn = {p = (p1 , p2 , ..., pn )}. Khi đó Z ω(R, u, G) ≥ ω(R, k, G) ≥ R(p)dp (1.16) |p|≤ρ |u(x0 )| , và d(G) là đường kính của G. d(G) Nhận xét: Nếu ta xét điều kiện trong đó ρ = u|∂G = h = const (1.17) thay cho điều kiện u|∂G = 0 thì bất đẳng thức (1.16) có dạng: Z ω(R, u, G) ≥ ω(R, k, G) ≥ R(p)dp, |p|≤ρh trong đó ρh = |h − u(x0 )|(diamG)−1 . (1.18) Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong Rn = {p = (p1 , p2 , ..., pn )}. Bây giờ ta có hàm Z R(p)dp với ρ ∈ [0, +∞]. gR (ρ) = (1.19) |p|≤ρ Hiển nhiên gR (ρ) là liên tục tăng ngặt và gR (0) = 0, gR (∞) = B(R). Ta có hàm TR : [0; B(R)] → [0; +∞] là nghịch đảo của hàm gR (ρ). Rõ ràng TR (τ ) cũng liên tục và tăng ngặt. 11 Định lý 1.1.3. Cho u(x) là hàm lồi trên G thỏa mãn hai điều kiện: a) u|∂G = h = const. b) ω(R, u, G) < B(R). Khi đó h − TR (ωu )d(G) ≤ u(x) ≤ h (1.20) trong đó ωu = ω(R, u, G). Nhận xét: Nếu u(x) là hàm lõm trên G thỏa mãn các điều kiện a) và b). Khi đó bất đẳng thức (1.20) có dạng h ≤ u(x) ≤ h + TR (ωu )d(G) (1.21) khắp nơi trong G. Định lý 1.1.4. Cho G là một tập lồi bị chặn trong E n và V (ω0 ) = {z(x0 )} là tập tất cả các hàm lồi, lõm thuộc W (G) thỏa mãn các điều kiện sau 1. − ∞ < m ≤ z|∂G ≤ M < +∞. (1.22) 2. ω(R, z, G) ≤ ω0 < B(R). (1.23) Khi đó bất đẳng thức m − TR (ω0 )d(G) ≤ z(x) ≤ M (1.24) đúng nếu z(x) là hàm lồi. Tương tự bất đẳng thức M ≤ z(x) ≤ M + TR (ω0 )d(G) (1.25) đúng nếu z(x) là hàm lõm. 1.2 1.2.1 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng Phiếm hàm IH (u) Trong mục này chúng ta xây dựng mở rộng IH (u) của phiếm hàm In (u) tới tập tất cả các hàm liên tục, không dương triệt tiêu trên ∂G và thiết lập tính 12 liên tục của IH (u). Ở đây H là một tập con lồi nào đó của G, khoảng cách của nó tới ∂G là một số dương (hH = dist(H, ∂G) > 0) và G là một tập lồi bị chặn trong E n . a. Toán tử FH và các tính chất của nó. Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong E n và H là tập con lồi của G có khoảng cách đến ∂G là một số dương hH . H, G là bao đóng của H và G. Ký hiệu C0− (G) là tập con đóng của không gian C(G) bao gồm tất cả các hàm liên tục không dương triệt tiêu trên ∂G. Toán tử FH biến tập C0− (G) thành lớp các hàm lồi đặc biệt mà sẽ được giới thiệu dưới đây. Toán tử này sẽ được dùng cho mở rộng phiếm hàm In (u) tới tập C0− (G). Định nghĩa 1.2.1. Cho ( v(x) = u(x) nếu x ∈ H 0 nếu x ∈ G | H (1.26) với u(x) ∈ C0− (G). v(x) = u(x)ϕH (x) với ϕH (x) là hàm đặc trưng của tập H. Nếu Sv là đồ thị của v(x) thì biên của bao lồi đóng C0 (Sv ) gồm có G và đồ thị Sw của hàm lồi w(x) nào đó. Rõ ràng w(x) ∈ W + (G) ∩ C0− (G). Trong trường hợp này chúng ta nói w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từ phía dưới và kí hiệu FH là toán tử biến hàm u(x) ∈ C0 (G) thành hàm lồi w(x) tương ứng. Các tính chất của FH : (1). Mọi siêu phẳng tựa β tới Sw qua điểm (x0 , w(x0 )) với x0 ∈ G | H chứa ít nhất một đoạn AB sao cho AB ⊂ β ∩ Sw . Việc chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của Sw và từ những tính chất đã biết của một bao lồi. (2). Đẳng thức mesχw (G | H) = 0 đúng với mọi hàm w(x) = FH (u(x)). 13 (1.27) Cho β là một siêu phẳng tựa nào đó của Sw tại điểm (x0 , w(x0 )) với x0 ∈ G | H. Khi đó từ tính chất (1), suy ra β là một siêu phẳng tựa kỳ dị của Sw vì ảnh chuẩn tắc của mọi siêu phẳng tựa kỳ dị của mọi siêu mặt lồi có độ đo không, nên mesχw (G | H) = 0. (1.28) + Bây giờ chúng ta ký hiệu WH (G) là tập FH (C0− (G)). Rõ ràng là + WH (G) ⊂ W + (G) ∩ C0− (G) và tập + WH (G) ⊂ C0− (G) ∩ W + (G) là không rỗng. (3). Đẳng thức χw (G) = χw (H) (1.29) + đúng với mọi hàm w(x) ∈ WH (G). Chứng minh được suy trực tiếp từ tính chất (1). (4). Đẳng thức w(x) = FH (w(x)) (1.30) + đúng nếu và chỉ nếu w(x) ∈ WH (G). Chứng minh. Nếu hàm w(x) ∈ C0− (G) thỏa mãn phương trình (1.30) thì từ + định nghĩa của toán tử FH suy ra w(x) ∈ WH (G). Điều ngược lại suy ra từ tính chất của bao lồi. + (5). Tập WH (G) là một tập con đóng của không gian C(G). Chứng minh. Giả sử w(x) là giới hạn của dãy các hàm w1 (x), w2 (x), ..., wm (x), ... + thuộc vào WH (G) trong không gian C(G). Rõ ràng w(x) là một hàm lồi trong C0− (G). Tính chất đang xét sẽ được chứng minh nếu ta thiết lập được đẳng thức w(x) = FH (w(x)) (xem tính chất (4)). 14 (1.31) Ta có v(x) = w(x)ϕH (x), vm (x) = wm (x)ϕH (x). (1.32) Hạn chế vm (x) và v(x) trên tập lồi compact H là các hàm lồi và lim vm (x) = v(x) m→∞ với mọi x ∈ H và vm (x) = v(x) = 0 với mọi x ∈ G | H. Do đó C0 {Sw } = lim C0 {Swm } = lim C0 {Svm } = C0 {Sv }, m→∞ m→∞ (1.33) bởi vì đẳng thức C0 {Swm } = C0 {Svm } + suy ra từ điều kiện wm (x) ∈ WH (G) với mọi số nguyên dương m. Vì (1.33) là tương đương với đẳng thức (1.31) suy ra tính chất (5) được chứng minh. (6). Tập χw (G) được chứa trong hình cầu n-chiều |P | ≤ + w(x) ∈ WH (G). ||w(x)|| với mọi hàm hH Chứng minh. Cho α là một siêu phẳng tựa của đồ thị Sw của hàm w(x) ∈ + WH (G) nào đó. Khi đó tồn tại một điểm x0 ∈ H sao cho điểm (x0 , w(x0 )) nằm trong α. Chú ý là dist(x0 , ∂G) không nhỏ hơn hH = dist(H, ∂G) > 0. Cho Kx0 là một nón lồi với đỉnh (x0 , w(x0 )) và đáy U (x0 , hH ), với U (x0 , hH ) là một n-cầu đóng với tâm x0 và bán kính hH . Cho kx0 là một hàm lồi hạn chế trên Kx0 . Khi đó: χw (α) ⊂ χkx0 (U (x0 , hH )). Tập χkx0 (U (x0 , hH )) là một hình cầu n-chiều tâm 0(0, 0, ..., 0) và bán kính ||w(x)|| ||w(x)|| ρ= . Do đó χw (G) được chứa trong hình cầu n-chiều ρ ≤ trong hH hH + Rn với mọi hàm w(x) ∈ WH (G). 15 + (7). Từ (6) suy ra trực tiếp hàm w(x) ∈ WH (G) bất kì thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số ||w(x)||/hH |w(x + q) − w(x)| ≤ ||w(x)|| |q| hH với x và x + q là các điểm bất kỳ của G. + (8). Toán tử FH : C0− (G) → WH (G) là liên tục. Chứng minh. Cho dãy hàm un (x) ∈ C0− (G) hội tụ đều tới hàm u(x) ∈ C0− (G). Lấy số ε > 0, xét hai hàm ( 0 vε(1) (x) = u(x) + ε và hàm nếu x ∈ G | H hoặc nếu u(x) ≥ −ε nếu u(x) < −ε ( vε(2) (x) = 0 nếu x ∈ G |H u(x) − ε nếu x ∈ H. Cho v(x) = u(x)ϕH (x) và vn (x) = un (x)ϕH (x) là các hàm đã được xét trong định nghĩa toán tử FH (Chú ý ϕH (x) là hàm đặc trưng của tập H). Khi (2) đó vε (x) = v(x) − ε với mọi x ∈ H và ( v(x) + ε nếu u(x) < −ε vε(1) (x) = 0 nếu x ∈ G | H và u(x) ≥ −ε cũng với mọi x ∈ H. Vì vn (x) hội tụ đến v(x) trên G, tồn tại số tự nhiên N sao cho vε(2) (x) ≤ vn (x) ≤ vε(1) (x) ∀n ≥ N và x ∈ G. Từ định nghĩa của toán tử FH suy ra FH (vε(2) (x)) ≤ wn (x) ≤ FH (un (x)) ≤ FH (vε(1) (x)) ∀n ≥ N và x ∈ G. Từ lim FH (vε(2) (x)) = lim FH (vε(1) (x)) = w(x) ε→0 ε→0 16 chúng ta có FH (u(x)) = w(x) = lim wn (x) = lim F (un (x)). n→∞ n→∞ Tính chất (8) được chứng minh. b. Phiếm hàm IH (u) Cho H là một tập con lồi của tập lồi bị chặn G trong E n sao cho hH = dist(H, ∂G) > 0. Cho u(x) ∈ C0− (G) và w(x) là hàm lồi được xây dựng ở trên theo cách của u(x). Ta định nghĩa phiếm hàm Z ΦH (u) = − uω(w, de) (1.34) G trên tập C0− (G) với ω(w, e) là độ đo Lebesgue của ánh xạ chuẩn tắc của hàm lồi w(x) = FH (u(x)). Từ tính chất (2) suy ra ω(w, G | H) = 0 (1.35) với mọi hàm w(x) = FH (u(x)). Cho ψ(e) là một hàm tập hợp cộng tính hoàn toàn không âm trên các tập con Borel của G và ψ(G) < +∞, ta định nghĩa một hàm tập mới ψH (e) = ψ(e ∩ H). (1.36) Rõ ràng ψH (e) là một hàm tập cộng tính hoàn toàn không âm trên tập con Borel G và ψH (G|H) = 0. (1.37) Bây giờ ta có phiếm hàm: Z τH (u) = uψH (de) (1.38) G và IH (u) = ΦH (u) + (n + 1)τH (u) trên tập C0− (G). 17 (1.39) 1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm ΦH , τH và IH Định lý 1.2.1. Các bất đẳng thức và đẳng thức ΦH (w) = ΦH (u) (1.40) τH (w) ≤ τH (u) (1.41) IH (w) ≤ IH (u) (1.42) đúng với mọi hàm u(x) ∈ C0− (G) và hàm lồi w(x) = FH (u(x)). Nhận xét: Giả sử ψ(e) ≥ C0 mes(e) với mọi tập con Borel e ⊂ G, ở đây C0 = const > 0. Khi đó đẳng thức có thể đạt được trong (1.41) và (1.42) khi và chỉ khi hạn chế của u(x) trên tập H lồi n-chiều là một hàm lồi u(x)|H = w(x)|H (1.43) trong đó w(x) = FH (u(x)). Chứng minh. Từ đẳng thức (1.35) và (1.37) suy ra: Z ΦH (u) = − u(x)ω(w(x), de), (1.44) H Z τH (u) = u(x)ψH (de). (1.45) H Từ u(x) ≥ w(x) với mọi x ∈ H, khi đó từ (1.45) ta thu được Z Z τH (u) ≥ w(x)ψH (de) = w(x)ψH (de) = τH (w). H G Rõ ràng τH (u(x)) = τH (w(x)) (1.46) nếu u(x) và w(x) trùng nhau trên tập H. Ngược lại điều kiện ψ(e) ≥ C0 mes(e) (xem nhận xét) và đẳng thức (1.46) cho ta u(x) = w(x) với mọi x ∈ H. Ta kí hiệu Hu là tập gồm các điểm x ∈ H với u(x) = w(x) và SHu là phần 18
- Xem thêm -