Tài liệu NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Viết Hiếu NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Viết Hiếu NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :  TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người thầy đã hướng dẫn tôi tận tình về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng cho tôi hoàn thành luận văn.  PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho tôi những tri thức khoa học về Didactic Toán và truyền thụ cho tôi niềm say mê nghiên cứu khoa học.  GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã cho tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn và có cái nhìn rộng mở đối với các vấn đề về Didactic Toán. Tôi xin chân thành cám ơn :  Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.  Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu, Ban giám hiệu trường THPT Phước Bửu đã tạo cho tôi những điều kiện thuận lợi nhất để tôi tập trung việc học và nghiên cứu khoa học.  Tập thể học sinh lớp 12A11 trường THPT Phước Bửu đã nhiệt tình tham gia các buổi thực nghiệm.  Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THPT Hòa Bình, 12A1 trường THPT Bưng Riềng, 12A1 trường THPT Nguyễn Trãi, học sinh trường THPT Nguyễn Du, BRVT đã giúp tôi hoàn thành các thực nghiệm.  Các anh, chị, em và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 22 đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.  Cha, mẹ và anh, chị, em trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về mọi mặt. Nguyễn Viết Hiếu 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ...................................... 4 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................... 5 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu ................................................. 7 3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 8 4. Tổ chức của luận văn ..................................................................................................... 9 CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT ............................................................. 10 1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit ........................................................ 10 1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit ................................................ 14 1.2.1. Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit ............................................. 15 1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp ............................................ 15 1.3. Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng .................................................. 17 1.3.1. Logarit – Công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp ............................................ 17 1.3.2. Logarit – Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương......................... 26 1.3.3. Logarit – Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được ....................................................................................... 26 1.4. Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 28 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT ................................................................ 30 2.1. Yêu cầu của chương trình Toán phổ thông Việt Nam với dạy học logarit .......... 30 2.2. Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản .................... 31 2.2.1. Phần bài học ......................................................................................................... 31 2.2.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 34 2.2.3. Kết luận ................................................................................................................ 41 2.3. Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 nâng cao......................... 43 2.3.1. Phần bài học ......................................................................................................... 43 2.3.2. Phần bài tập .......................................................................................................... 46 2.3.3. Kết luận ................................................................................................................ 49 2.4. Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 50 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 53 2 A. THỰC NGHIỆM 1 ............................................................................................... 53 3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 53 3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ....................................................................... 54 3.3. Nội dung các câu hỏi thực nghiệm ........................................................................... 54 3.4. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ..................................................... 54 3.4.1. Biến tình huống và giá trị của chúng .................................................................... 54 3.4.2. Biến didactic và giá trị của chúng ........................................................................ 55 3.4.3. Đặc trưng của các tình huống nhìn qua lựa chọn các giá trị của biến didactic, biến tình huống ............................................................................................................... 55 3.4.4. Phân tích chi tiết các bài toán thực nghiệm .......................................................... 56 3.5. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................... 63 3.5.1. Đưa về cùng cơ số - kĩ thuật được HS ưu tiên trong giải PT mũ ......................... 63 3.5.2. Vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit thực sự chưa tồn tại ở HS ................... 66 3.6. Kết luận ...................................................................................................................... 69 B. THỰC NGHIỆM 2 ............................................................................................... 70 3.7. Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 70 3.8. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 70 3.8.1. Giới thiệu tình huống thực nghiệm ...................................................................... 70 3.8.2. Dàn dựng kịch bản................................................................................................ 71 3.8.3. Biến tình huống và biến didactic .......................................................................... 72 3.8.4. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến .............................. 73 3.8.5. Phân tích kịch bản ................................................................................................ 80 3.9. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................... 80 3.9.1. Ghi nhận tổng quát ............................................................................................... 81 3.9.2. Kết quả thực nghiệm bài 1d, bài 2 của lớp chọn làm thực nghiệm 2 ................... 81 3.9.3. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 2 .............................................................. 82 3.10. Kết luận .................................................................................................................... 91 KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 93 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ .................................... 96 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 97 PHỤ LỤC ................................................................................................................... 99 3 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Cụm từ viết tắt Cụm từ viết đầy đủ của cụm từ viết tắt BPT Bất phương trình CSC Cấp số cộng CSN Cấp số nhân CT Chương trình [CT] Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006), Nxb Giáo dục GV Giáo viên HS Học sinh PT Phương trình [KC] [KN] Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục KNV Kiểu nhiệm vụ SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SV Sinh viên [TC] Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục [TN] [VC] [VN] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nxb Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục 4 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Logarit là một đối tượng chiếm vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình (CT) Toán phổ thông. Logarit luôn có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Khi xuất hiện đầu tiên trong lịch sử, logarit cũng đã khẳng định được vị thế riêng. Nhà toán học Pháp, Pierre S. Laplace (1749 – 1827) đã nói rằng: “việc phát minh ra logarit đã kéo dài tuổi thọ của các nhà tính toán”. Với tầm quan trọng được thừa nhận, logarit được đưa vào giảng dạy ở phổ thông Việt Nam. Chúng tôi quan sát thấy, dường như các SGK chú ý đến logarit qua tính giá trị biểu thức và giải phương trình mũ. Thực sự học sinh (HS) có biết được các nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit không? Chúng tôi thực nghiệm trên 84 sinh viên (SV) năm nhất, trường đại học X ở TPHCM với nội dung: Câu hỏi 1: Điền vào ô trống: 2 = 4 2 =8 2 =5 Câu hỏi 2: Tìm x thỏa 2 x = 5 . Câu hỏi 3: Bạn giải thích như thế nào cho một học sinh lớp 10 hiểu về kí hiệu log 3 7 ? (Với log 3 7 đọc là logarit cơ số 3 của 7). Kết quả thực nghiệm cho thấy: - Hầu hết SV được hỏi (94%) trả lời “ x = log 2 5 ” cho câu hỏi 2, nhưng chỉ còn 79,7% SV đưa ra đáp án “ 2 log 2 5 = 5 ” cho yêu cầu “điền vào ô trống 2 = 5 ”. - 73,9% SV không trả lời được câu 3 và 8,3% SV giải thích sai về kí hiệu log 3 7 . Một số câu giải thích sai: “logarit là 1 loại toán mà nhà văn tên logarit sáng lập ra để chúng ta 3 tìm hiểu thêm sâu hơn về con số đó” hay “log37 là �√7� ”. - Chỉ 9,5% SV trả lời “ log 3 7 là nghiệm của phương trình (PT) 3x = 7 ” và 8,3% SV giải thích “ log 3 7 là số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7” theo đúng định nghĩa khái niệm logarit 1 F 0 trong sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12. Trước ứng xử của SV, chúng tôi tự hỏi:“Nguyên nhân gì đã làm cho 94% SV giải được PT 2 x = 5 trong khi đó 82,2% SV không giải thích được hoặc giải thích sai về 𝑙𝑜𝑔3 7? Tại sao chỉ hai nghĩa (nghiệm của PT 3x = 7 và số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7) được SV 1 Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số ([KC], tr.86) log a b . α= log a b ⇔ aα= b ( a, b > 0; a ≠ 1) 5 a của b và kí hiệu là huy động để giải thích cho log 3 7 ? Chúng tôi thắc mắc thêm: “Khái niệm logarit được đưa vào chương trình, SGK toán THPT Việt Nam như thế nào? Chúng đã tác động ra sao đến việc hiểu nghĩa, vai trò công cụ của khái niệm này ở HS ?” Chúng tôi nghiên cứu một số công trình về logarit, đặc biệt chú ý 2 đề tài “Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông” của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng – luận văn thạc sĩ 2008 – và “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” của Tôn Nữ Khánh Bình – luận văn tốt nghiệp đại học 2009. Trong “Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông”, tác giả Hoàng Hùng đã nghiên cứu được: + “Mục tiêu xuất hiện khái niệm hàm số logarit là đưa vào một công cụ cho phép thay thế phép tính tích bằng phép tính cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc hai bằng phép chia đôi…” + Ở cấp độ tri thức giảng dạy ở phổ thông Việt Nam, “Khái niệm logarit được trình bày trước khái niệm hàm số logarit”, “Logarit cơ số a của số b nhằm biểu diễn nghiệm của phương trình mũ a x = b ” và một số quy tắc hợp đồng thể chế: R1: Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau: - Có dạng log a b hoặc a log b N , hoặc có thể biến đổi về một trong hai dạng đó. - Có thể biến đổi a , b trong log a b và a log N về dạng: a = c r và b = c s với r , s ∈  . b R2: Kết quả tính toán của biểu thức chứa logarit là một giá trị chính xác, chứ không phải là giá trị gần đúng. R3: Không sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit. R4: Không sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit. R5: Không sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh 2 số logarit. R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh 2 số logarit. + Tác giả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã giảng dạy về logarit và HS khối 12 đã học khái niệm này để kiểm chứng các quy tắc hợp đồng trên. Trong đề tài “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông”, Khánh Bình nghiên cứu được: + Hai cách trình bày định nghĩa khái niệm logarit: logarit như giá trị của hàm số logarit và định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit. + Cách trình bày bài học về logarit, phân loại các dạng bài tập trong các SGK Giải tích 12, sách bài tập (SBT) ban cơ bản và nâng cao, dự kiến một số sai lầm HS gặp phải khi giải 6 toán và hướng khắc phục của giáo viên (GV). Tác giả kết luận “số bài tập có sử dụng ý nghĩa của logarit quá ít […]. Do đó, trong đa số các bài tập, học sinh không cần dùng đến định nghĩa vẫn có thể giải được bài”. + Qua thực nghiệm tác giả chỉ ra “có rất ít học sinh lưu tâm đến ý nghĩa của logarit trong khi đó có rất nhiều HS ghi nhớ và thành thục các quy tắc đại số…”. + Tác giả đã thực hiện dạy “định nghĩa khái niệm logarit” theo phương pháp dạy học đặt và giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, hai tác giả chưa chỉ rõ: liên quan đến khái niệm logarit có những nghĩa nào và vai trò công cụ gì? Cách thức trình bày các nghĩa và vai trò công cụ đó ra sao trong các SGK ở Việt Nam? Thực sự các SGK có chú ý đến vận dụng logarit như công cụ tính toán không? Cần xây dựng tình huống dạy học như thế nào để học sinh hiểu được một trong các vai trò công cụ của logarit? Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học Toán ở bậc trung học phổ thông” làm đề tài luận văn nghiên cứu cho mình. 2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu Từ các vấn đề đã đặt ra ở trên, mục đích nghiên cứu của chúng tôi là: + Tìm hiểu nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit ở cấp độ tri thức bác học. + Làm rõ các nghĩa, vai trò công cụ của khái niệm logarit và sự trình bày của chúng trong thể chế dạy học toán ở bậc trung học phổ thông (THPT) Việt Nam. + Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép HS tiếp cận một trong các vai trò công cụ của logarit. Chúng tôi nhận thấy Didactic Toán cung cấp những công cụ cần thiết để nghiên cứu quá trình truyền thụ, lĩnh hội tri thức và giải thích các hiện tượng liên quan giữa dạy và học. Vì thế để trả lời các câu hỏi đặt ra, chúng tôi chọn các công cụ lý thuyết Didactic Toán như thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactic làm lý thuyết cơ sở nghiên cứu. Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày hệ thống các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ đó? 7 Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit có những đặc trưng gì? Những nghĩa nào và vai trò công cụ gì của khái niệm logarit được đưa ra? Cách thức trình bày ra sao? Chúng đã tác động như thế nào đến việc hiểu nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit ở học sinh ? Q3: Cần phải xây dựng đồ án dạy học như thế nào cho phép học sinh tiếp cận được một trong những vai trò công cụ của logarit ? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC Về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học Toán ở Việt Nam NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Quan hệ cá nhân của học sinh NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Tiểu đồ án didactic Sơ đồ trên được diễn giải như sau: + Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit qua điều tra một số luận văn và các giáo trình đại học liên quan. Kết quả nghiên cứu được trình bày trong chương 1 : “Một điều tra khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit” cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, góp phần tham chiếu trả lời Q2 và xây dựng tiểu đồ án didactic. + Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy được thực hiện qua phân tích CT, SGK, sách giáo viên (SGV), SBT Giải tích 12 ban cơ bản, nâng cao hiện hành để làm rõ ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit. Các kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong chương 2 : “Mối quan hệ thể chế với đối tượng logarit trong dạy học toán bậc THPT”. Những nghiên cứu về quan hệ thể chế cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q2. + Từ những kết quả đã đạt được ở trên, chúng tôi đề ra các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó được kiểm chứng qua thực nghiệm thứ nhất. Từ đó, cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic cho phép HS lớp 12 tiếp cận một trong những vai trò 8 công cụ của logarit. Kết quả của các nghiên cứu này cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3 và được trình bày trong chương 3 : “Thực nghiệm”. 4. Tổ chức của luận văn  Chương 1 – Một điều tra khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit Chúng tôi trình bày và phân tích một số công trình nghiên cứu và các giáo trình đại học đề cập khái niệm logarit. Thông qua những nghiên cứu tài liệu lịch sử toán học, điều tra về nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit chúng tôi phải chỉ rõ: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ đó?  Chương 2 – Mối quan hệ thể chế với đối tượng logarit trong dạy học toán bậc THPT Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về khái niệm logarit trong CT, SGK hiện hành. Chúng tôi đặc biệt chú ý đến các tổ chức toán học liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit.  Chương 3 – Thực nghiệm Chúng tôi trình bày một thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết đã được đề ra cuối chương 2 và xây dựng, triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép HS tiếp cận một trong những vai trò công cụ của logarit. Đối tượng mà chúng tôi thực nghiệm là HS 12 đã học về khái niệm logarit và đạo hàm của hàm số logarit. Ngoài ba chương đã trình bày trên, chúng tôi còn nêu một cách tổng quát nhất những kết quả nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 trong phần KẾT LUẬN CHUNG đồng thời nêu lên một số hướng nghiên cứu từ đề tài. 9 CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT Mục đích của chương là trả lời câu hỏi Q1 được đặt ra ở phần trước như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ đó? Do hạn chế về tài liệu tham khảo nên chúng tôi chỉ đề cập sơ lược lịch sử xuất hiện, cách thức tiếp cận khái niệm logarit và thực hiện một điều tra về các vai trò công cụ. Những trình bày trong chương 1 là cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu tiếp theo. 1.1. Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này dựa vào các tài liệu tham khảo sau: [1]. Florian Cajori (1913), History of the Exponential and Logarithmic Concepts, Nxb Mathematical Association of America. [2]. A.Wright (1618), A Description of the Admirable Table of Logarithmes, London. [3]. Les Logarithmes Et Leurs Applications, Par André Delachet Presses Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960. [4]. Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), Khái niệm hàm số logarit trong trường THPT, Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh. Trong [4], tác giả Hoàng Hùng nêu ra được kết quả: logarit được sử dụng để đơn giản hóa các phép tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số hạng thật lớn. Theo đó “phép nhân sẽ được thực hiện bằng phép cộng, chia bằng trừ, căn bậc hai được lấy từ chia đôi, căn bậc ba lấy từ chia ba, v.v…” ([4], tr.13). Tuy nhiên, không có ví dụ nào được trích dẫn và định nghĩa ban đầu về logarit của Napier chưa được tác giả Hoàng Hùng đề cập. Tham khảo thêm tài liệu [1], [2], [3] chúng tôi bổ sung thêm được những chi tiết liên quan sau: Logarit xuất hiện nhằm đáp ứng nhu cầu tính toán thế kỉ XVI – XVII, đặc biệt trong lĩnh vực thiên văn và địa lí. Thực tế đòi hỏi phải tính nhân, chia, căn bậc hai,… nhanh và tương đối chính xác. Các nhà tính toán đã từng sử dụng phương pháp prosthaphaeresis 2 F 1 tính nhân cos a.cos b cos ( a + b ) + cos ( a − b ) cos ( a − b ) − cos ( a + b ) . = ; sin a.sin b 2 2 2 theo hai công thức lượng Theo tiếng Hy Lạp, từ prosthaphaeresis là sự kết hợp giữa prosthesis và aphaeresis, có nghĩa là cộng và trừ. 10 giác: Thay vì tính trực tiếp tích hai số, prosthaphaeresis chuyển về tính tích cos a.cos b hay sin a.sin b , thực hiện ba phép cộng, trừ và một phép chia hai. Prosthaphaeresis đã phần nào đơn giản hóa phép nhân, tuy nhiên vẫn bất lợi khi tính chia, căn bậc hai và căn bậc ba. Trong khi, logarit giải quyết được nó. Công trình nghiên cứu đầu tiên về logarit “Mirifici logarithmorum 3 canonis F 2 descriptio” được John Napier (1550 – 1617) công bố vào năm 1614 sau 20 năm nghiên cứu. Cuốn sách được Adward Wright dịch qua tiếng Anh với nhan đề “A Description of the Wonderful Table of Logarithms”, xuất bản 1618. Tuy nhiên định nghĩa ban đầu hoàn toàn khác so với định nghĩa trong các SGK hiện hành. Hình 1.1. Hai đường thẳng song song, hai điểm b, B chuyển động và đoạn thẳng SQ cho trước Cụ thể, Napier cho 2 điểm B và b chuyển động trên hai đường thẳng song song. Điểm B chuyển động trên đường thẳng vô hạn với tốc độ không đổi theo chiều nhất định bắt đầu từ A, trong khi điểm b chuyển động từ a trên đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần (Hình 1.1). Ở những khoảng thời gian bằng nhau, điểm B vạch ra các điểm C, D, E,… tương ứng với thời điểm 1, 2, 3,…, trong khi đó điểm b vẽ ra các điểm c, d, e,… thỏa RQ cz dz ez … = = = SQ az cz dz với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho trước. Napier định nghĩa : AC=lognap(cz) với cz = Sinθ1 AD=lognap(dz) với dz = Sinθ2. Tương tự cho các điểm khác mà B và b vạch ra trên hai đường thẳng. Napier đã chọn độ dài az = 10.000.000 , theo đó “Logarit của 10.000.000 bằng 0 hay là không có gì, và logarit của số lớn hơn 10.000.000 thì nhỏ hơn 0” ([2], tr.6). Rõ ràng, các độ dài AC, AD, AE,…tăng theo cấp số cộng (CSC) trong khi cz, dz, ez,… giảm theo cấp số nhân (CSN). Như vậy, logarit do Napier xây dựng thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử của CSC và CSN. Logarit biến các phần tử CSN thành phần tử của CSC tương ứng. Tuy nhiên, Napier không định nghĩa logarit cho một số thực dương bất kì. Từ “Logarithm” được Napier ghép từ hai chữ “logos” (nghĩa là tỉ lệ) và “arithmos” (nghĩa là số), do vậy logarithm có thể được hiểu là “số tỉ lệ”. 3 11 Vậy, mục đích Napier xây dựng logarit là gì? Những tính chất nào của logarit đã được thiết lập? Tài liệu [2] đã chỉ ra Napier xây dựng được 3 tính chất (TC) quan trọng sau: = log nap a + log nap c . TC1: Nếu ba số dương a, b, c tỉ lệ 4 thì 2 log nap b 3F TC2: Nếu a, b, c, d là bốn số dương thỏa a c = thì log nap a − log nap b = log nap c − log nap d . b d TC3: Nếu bốn số dương liên tiếp a, b, c, d tỉ lệ 5 thì 3log 2 log nap a + log nap d và = nap b F 4 3log 2 log nap d + log nap a . = nap c Các TC trên của logarit được Napier áp dụng vào tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba (theo Napier, tính toán với logarit đơn giản hơn), cụ thể 2 ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho a =10.000.000 và b=5.000.000. Tìm căn bậc hai của tích a.b . Napier tính 𝑐 = √𝑎. 𝑏 như sau: + Lấy logarit Napier hai số 𝑎 và b được= log nap a 0= ;log nap b 6931470 . + Tìm log nap c theo công thức log nap c = log nap a + log nap b = 3465735 . 2 + Tra bảng logarit, tìm được căn bậc hai của tích a.b xấp xỉ 7071068 . Ví dụ 2: Cho bốn số hạng 14142135, b, c, 5.000.000 tỉ lệ. Tìm số b và c. Có thể tính c theo c = 3 14142135.50000002 , nhưng Napier tìm c theo cách sau: + Lấy logarit Napier 14142135, 5000000 được hai số – 3465735 và 6931470. + Tính log = nap c theo công thức log nap c 2 log nap 5000000 + log nap 14142135 3 ≈ 3465735 . + Tra bảng, Napier tính được c ≈ 7071068 . Tương tự Napier tìm được b ≈ 107 . Như vậy, logarit do Nepier xây dựng nhằm mục đích đơn giản hóa các phép tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính trực tiếp, logarit cho phép chuyển chúng về các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai, chia ba các số logarit. Về mặt phép toán, so với prosthaphaeresis, tính nhân theo logarit tiện lợi hơn bởi chỉ cần thực hiện một phép cộng. Với ưu điểm được thừa nhận, logarit trở nên phổ biến trong giới khoa học châu Âu thời bấy giờ. Tuy nhiên, logarit do Napier tạo ra vẫn chưa thực sự tiện lợi bởi kết quả tính 4 Ba số dương a, b, c tỉ lệ được hiểu là b = c . a b 5 Bốn số dương a, b, c, d tỉ lệ được hiểu là = b a c = b d . c 12  x  . Vì thế, Henry Briggs (1561 – 7  e  10  toán phức tạp, theo lý thuyết hiện đại log nap x = 107.log 1  1630) đã gặp Napier đề nghị đổi logarit theo cơ số 10. Logarit thập phân ra đời với tên gọi logarit Briggs. Năm 1624, Briggs công bố công trình “Arithmetica logarithmica”, gồm các bảng logarit thập phân từ 1 đến 20.000 và 90.000 đến 100.000. Phần còn trống (từ 20.000 đến 90.000) về sau được bổ sung bởi Vlacq (1600 – 1666). Liên quan logarit, Jost Bürgi (1552 – 1632) đã xây dựng cách tính logarit hoàn toàn độc lập với Napier. Trong khi Napier dựa trên hình học thì Bürgi xây dựng logarit dựa vào đại số. Dựa trên ý tưởng về mối tương quan giữa CSN ( un = 2n ) 1, 2, 4, 8, 16, 32,… và CSC ( vn = n ) 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Bürgi tính tích hai phần tử CSN bởi tính tổng các phần tử CSC tương ứng và tra bảng. Công trình về logarit “Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen” được Bürgi công bố năm 1620. Tác phẩm đã được dịch qua tiếng Anh với tựa “Arithmetic and Geometric Progression Tables”. Trong công trình, Bürgi tạo bảng liên hệ giữa CSN = bn +1 bn .1, 001, n ∈  (với b0 = 108 ) và CSC = vn 10n, n ∈  cho n từ 0 đến 23027. Bürgi viết bằng mực đen cho các phần tử CSN và màu đỏ để chỉ các phẩn tử CSC hay các số logarit Bürgi (Trong hình 1.2 có log burgi 100020001 = 20 ). Hình 1.2. Một phần bảng tính logarit của Jost Bürgi Bürgi không sử dụng thuật ngữ “logarit” để mô tả các số logarit Bürgi. Bảng do ông tạo ra đơn thuần thể hiện tương ứng giữa CSC và CSN và được sử dụng để tính nhân, chia và khai căn các số thực dương. Tuy nhiên, theo lý thuyết hiện đại  x  log Burgi ( x ) = 105.log1,000110000  8  , cơ số 1, 000110000 ≈ e .  10  Như vậy, logarit do Napier và Bürgi tạo ra thể hiện mối liên hệ các phần tử của CSN và CSC. Logarit tác động vào các phần tử CSN biến chúng thành CSC tương ứng. Mục đích xây dựng logarit là tạo ra một công cụ để thực hiện đơn giản các phép toán nhân, chia, lũy thừa, khai căn bậc hai, bậc ba các số thực dương thông qua các phép tính cộng, trừ, chia hai và chia ba các logarit. 13 Qua quá trình phát triển, lý thuyết logarit ngày càng hoàn thiện bởi nhiều nhà toán học như William Oughtred (1575 – 1660), Gregory St. Vincent, Nicolaus Mercator (1620 – 1687), Leonhard Euler (1707 – 1783)….Vincent thiết lập mối quan hệ giữa logarit và diện tích giới hạn bởi đường hyperbol xy = 1 . Trong “Logarithmotechnia”, (xuất bản 1668) Mercator sử dụng kết quả của Vincent, biểu diễn PT hyperbol về dạng y = 1 và khai 1+ a a 2 a3 a 4 triển ln (1 + a ) =a − + − + ... với a gần số 0. Euler chỉ ra được mối quan hệ giữa 2 3 4 logarit và lũy thừa mũ số thực bởi tương quan “ z = log x y để chỉ x z = y ”. Nhưng Napier được biết đến là người phát minh ra logarit. Trong luận văn “Hàm số mũ trong dạy học vật lý ở trung học phổ thông” (2010), tác giả Kim Ngân cũng đã chỉ ra:“định nghĩa về một số nâng lên lũy thừa là số thực bất kỳ không xuất phát từ việc định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ (mặc dù lũy thừa với số mũ vô tỷ căn 2 đã xuất hiện vào thế kỷ 14) mà phải thông qua hàm số logarit”. Như vậy trong lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước và là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực. Nhận xét: + Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Thay vì tính tích, thương, khai căn logarit cho phép thực hiện trên các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai và chia ba. + Theo định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC. Logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng. Từ đó nhân, chia các phần tử CSN được chuyển về cộng, trừ các phần tử CSC. + Logarit ra đời hoàn toàn độc lập với phép tính lũy thừa. Không những vậy logarit, hàm số logarit là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với mũ số thực. Chúng tôi đã tìm thấy vài ý trả lời Q1, tuy nhiên các cách thức tiếp cận khái niệm logarit và các vai trò công cụ của logarit chưa được biết đến. Vì thế chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các giáo trình đại học, luận văn liên quan. 1.2. Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit Trong “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” (Kí hiệu [5]), tác giả Khánh Bình chỉ ra hai cách tiếp cận khái niệm logarit: Logarit là giá trị của hàm số logarit và định nghĩa trực tiếp. 14 1.2.1. Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit Khánh Bình tổng hợp được hai cách định nghĩa hàm số logarit: hàm số logarit là hàm ngược của hàm số mũ và là nghiệm PT hàm f (= x.t ) f ( x) + f (t ) . • Hàm số ngược của hàm số y = a x được gọi là hàm số logarit cơ số a và được kí hiệu là y = log a x . (Calculus – International Student Edition, James Stewart, trang 26) • Hàm y = ln x được xác định bởi “nghiệm của PT f ( xt ) = f ( x) + f (t ) là duy nhất và nghiệm đó là nguyên hàm của hàm số x → 1 ” và “hàm số logarit cơ số a (với 0 < a ≠ 1 ) được định nghĩa thông qua hàm số x logarit tự nhiên y = log a x = ln x ”. (Guy Lefort (1975), Toán cao cấp, tr.71) ln a Trên cơ sở định nghĩa hàm số logarit đã xác định, logarit cơ số a của b (b>0) được tính bằng cách thay x = b vào biểu thức log a x . Thông qua cách tiếp cận này chúng tôi tìm thấy một nghĩa cho khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là giá trị của hàm số y = log a x tại x = b . 1.2.2. Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp Theo [5], khái niệm logarit được định nghĩa trực tiếp như sau: “Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực α để aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b , tức là α = log a b ⇔ aα = b ”. Từ định nghĩa trực tiếp này, chúng tôi tìm thấy nghĩa khác của khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1, b > 0 là số thực α thỏa aα = b . Ngoài ra, khi nghiên cứu Đại số & Giải tích 11 (1995) của tác giả Trần Văn Hạo (Kí hiệu [6]) chúng tôi thấy tồn tại thêm một nghĩa cho khái niệm logarit. Ở bài Logarit thuộc chương VI. Hàm số logarit, tài liệu [6], thông qua biện luận nghiệm của PT a x= b ( 0 < a ≠ 1) dựa vào sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = a x và đường thẳng y = b dẫn đến kết quả: «khi b>0 PT (1) 6 có một nghiệm duy nhất. Nghiệm đó được gọi là logarit cơ số 5F a của b» ([6], tr.204). Từ tình huống xuất hiện chúng tôi nhận thấy sự tồn tại nghĩa sau cho khái niệm logarit : logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b . Xem xét thêm tài liệu Calculus II (Kí hiệu [6b]), tác giả D. Joyce nhận xét: “Chúng ta 1 x xem xét phần diện tích được giới hạn bởi hyperbol y = , trục Ox và hai đường thẳng x = 1 , x = b . Chúng ta coi phần này như diện tích có dấu, khi b > 1 diện tích mang dấu dương và 6 PT (1) là PT a x = b 15 khi 0 < b < 1 diện tích mang dấu âm. Nói cách khác, nó được xem như kết quả của tích phân b 1 ∫ x dx ” ([6b],tr.1).Sau đó, D. Joyce định nghĩa khái niệm logarit như sau: 1 • Logarit tự nhiên của số thực dương b là kết quả của b 1 ∫ x dx , được kí hiệu là ln b . ([6b], 1 tr.1) • Nếu b là số dương khác 1, logarit cơ số b được định nghĩa log b x = ln x ([6b], tr.9) ln b Như vậy, lnb (b > 0) có thể xem là diện tích có dấu của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y = 1/x, trục hoành, hai đường thẳng x = 1 và x = b. Từ đó suy ra được nghĩa 4 của khái niệm logarit: log a b là tỉ số giữa hai tích phân diện tích có dấu b 1 ∫1 x dx và a b 1 ∫1 x dx và a 1 ∫ x dx (hay log a b là tỉ số giữa hai 1 1 ∫ x dx ). 1 Nhận xét: + Từ các tình huống xuất hiện, khái niệm logarit tồn tại với bốn nghĩa sau : Nghĩa một, logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y = log a x tại điểm x bằng b. Nghĩa hai, logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là nghiệm của PT a x = b . Nghĩa ba, logarit cơ số a của b với 0 < a ≠ 1 , b > 0 là số thực α thỏa a = b . Nghĩa bốn, log a b là tỉ số giữa hai tích phân α b 1 ∫ x dx 1 a 1 và ∫ dx (hay log a b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu x 1 b 1 ∫1 x dx và a 1 ∫ x dx ). 1 + Nghĩa một của khái niệm logarit được xét trên quan điểm hàm số, nghĩa hai liên quan đến ngôn ngữ biểu đạt phương trình, nghĩa ba liên quan tính số và biểu diễn số thực, trong khi đó nghĩa bốn là tỉ số giữa hai tích phân. + Có sự khác biệt rõ rệt giữa nghĩa hai và nghĩa ba của khái niệm logarit. Trong khi nghĩa hai là nghiệm, một ngôn ngữ biểu đạt của PT, xuất hiện trong tình huống giải PT a x = b thì nghĩa ba chỉ rõ log a b biểu diễn số thực mà a lũy thừa số đó bằng b và liên quan tính số thực. Câu hỏi Q1 có thêm vài ý để trả lời. Chúng tôi cần tìm hiểu thêm: Ngoài vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia và khai căn các số thực dương, logarit có những vai trò công cụ nào khác và được thể hiện cụ thể qua những ứng dụng nào? 16 1.3. Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng Do không tìm được tài liệu viết đầy đủ về các ứng dụng và vai trò công cụ của logarit nên chúng tôi thực hiện điều tra từ nhiều giáo trình đại học liên quan. Những tài liệu, trang web chúng tôi nghiên cứu gồm: [7]. James Stewart (2010), Calculus – Concepts and contexts – 4th Edition. [8]. Guy Lefort, Giáo trình Toán cao cấp, Tập 2, Phép tính vi phân. [9]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán học cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục. [10]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Bài tập toán cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục. [11]. GS. Nguyễn Đình Soa (1990), Hóa đại cương, Nxb ĐH Bách Khoa TPHCM. [12]. Hoàng Ngọc Nhậm (2008), Giáo trình Kinh tế lượng, Nxb Lao động-Xã hội. [13]. http://calclab.math.tamu.edu/~belmonte [14]. http://www.willamette.edu/~cstarr/math139 Phân tích các tài liệu trên chúng tôi ghi nhận, logarit được ứng dụng để giải các PT mũ a f ( x) = b, a f ( x) =b g( x) ; chuyển hàm mũ, lũy thừa về hàm tuyến tính và bán tuyến tính; tính giới hạn vô định dạng 1∞ , 00 , ∞ 0 và tính đạo hàm của các hàm số y = f ( x) g ( x ) , …. Qua các ứng dụng, logarit thể hiện ba vai trò công cụ: • Công cụ đơn giản hóa các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy thừa về biểu thức đơn giản hơn. • Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước. • Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được. 1.3.1. Logarit – Công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp Các biểu thức phức tạp được chúng tôi đề cập để chỉ các biểu thức dạng tích, thương, lũy thừa, chẳng hạn (1 − x ) m m+n × (1 + x ) n m+n x2  x2 −1  ,  2  . Logarit thể hiện vai trò công cụ đơn giản  x +1 hóa biểu thức phức tạp qua kĩ thuật giải các KNV TGiaiPT1, TGiaiPT2, TGHVoDinh, TĐaoHam1, TĐaoHam2 và TChuyen. Cụ thể như sau: Trước hết, chúng tôi xét TGiaiPT1: “Giải các PT mũ đưa được về dạng a f ( x ) = b với 0 < a ≠ 1, b > 0 ”. 17 Theo [6], [7], [8] có nhiều sự kiện thực tế dẫn đến giải PT a f ( x ) = b , chẳng hạn: Tính số năm gởi tiền N (năm) từ công thức lãi kép= C A. (1 + r ) hay tính thời gian phân rã của các N chất phóng xạ m = m0 e − λt biết m0 , m là khối lượng ban đầu, khối lượng sau thời gian t; λ= ln 2 là hằng số phóng xạ và T là chu kì bán rã…. T Dưới đây là các nhiệm vụ cụ thể, lời giải kèm theo và kĩ thuật giải tương ứng: • Giải PT e5−3 x = 10 ([7], tr.66) Lấy logarit hai vế của PT và sử dụng (9) 7: ln e5−3 x = ln10 ( F 6 ) 5 − 3x = ln10 = x • Giải PT 2 x 2 Lời giải: 2 • +2 = 8 ([6], tr.224) x +2 2 1 ( 5 − ln10 ) ([7], tr.66) 3 = 8 ⇔ 2x 2 +2 = 23 ⇔ x2 + 2 = 3 ([6], tr.224). ⇔x= ±1 Theo tính chất của hàm số mũ, y = a x là một hàm số đơn điệu, miền giá trị là ( 0; +∞ ) nếu a ≠ 1 , còn nếu a = 1 thì y = 1 là một hàm hằng nên ta suy ta các kết luận về nghiệm của PT f ( x) a= b ( a > 0 ) (1) như sau: + Nếu b ≤ 0 thì PT (1) vô nghiệm. + Nếu b > 0 thì PT (1) tương đương với a f ( x ) = a loga b . Hay do tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta có f ( x ) = log a b . ([6], tr.221 và tr.222)  Kĩ thuật τ 1.CCLog - Công cụ logarit – được rút từ lời giải PT e5−3 x = 10 : + Điều kiện cho PT (nếu có). + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a f ( x ) = b . + Lấy logarit cơ số a hai vế của PT a f ( x ) = b được PT f ( x ) = log a b . + Giải f ( x ) = log a b theo ẩn x, đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT. Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ 1.CCLog : + Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit. + Kĩ thuật giải các PT đại số đặc biệt kĩ thuật giải PT bậc nhất, bậc hai. + Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương.  Kĩ thuật τ 1.MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit: + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a f ( x ) = b . 7 Các công thức (9) được đề cập trong Calculus – Concepts and Contexts – 4th Edition là: ln ( e x ) = x , x ∈  ; eln x = x , x > 0. 18