Tài liệu Một vài tính chất và ứng dụng của khoảng cách hausdorff

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY Hà Nội – Năm 2017 i Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này được hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quang Huy. Các kiến thức và tài liệu được trích dẫn trong khóa luận này là trung thực. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh Mục lục Phần mở đầu 1 1 Khoảng cách Hausdorff 4 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Khoảng cách Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tính chất và ứng dụng 2.1 15 Khoảng cách Hausdorff giữa các tập thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 2.3 15 Khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ánh xạ đa trị Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tài liệu tham khảo 25 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được nghiên cứu bởi Hausdorff. Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân. Hơn nữa, khái niệm này cũng được sử dụng để giải các bài toán xấp xỉ. Khái niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với lý thuyết điểm bất động, tính đều, phủ và các tính chất liên quan đến phủ, tính Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đa trị. Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên khoảng cách Hausdorff trên lớp các tập hợp đặc thù có những tính chất và ứng dụng riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề thú vị để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học. Vì vậy, sau khi học xong các kiến thức về toán giải tích, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Một vài tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff ”. 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff trên một lớp các tập hợp có tính chất đặc thù và trong không gian định chuẩn. Áp dụng kết quả đưa ra một đặc trưng cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều và ánh xạ đa trị Lipschitz. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff; mối tương quan giữa các điểm thuộc hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff giữa hai tập ấy. Áp dụng vào nghiên cứu đặc trưng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị Lipschitz và tính ổn định trong lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff. Phạm vi nghiên cứu: Không gian metric, không gian định chuẩn và khoảng cách Hausdorff. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận và nghiên cứu vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước có liên quan đến vấn để mà khóa luận đề cập. 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Như Thị Ngọc Ánh 3 Chương 1 Khoảng cách Hausdorff Trong chương này chúng ta trình bày khái niệm khoảng cách Hausdorff và một số tính chất liên tục của ánh xạ đa trị. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Cho Γ là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y và cho x0 là điểm thuộc X. Ta nói Γ là nửa liên tục dưới tại x0 nếu tập mở G và G ∩ Γ(x0 ) 6= ∅ tồn tại lân cận U(x0 ) sao cho Γ(x) ∩ G 6= ∅ ∀x ∈ U (x0 ). Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại x0 nếu với mỗi tập mở G và Γ(x0 ) ⊂ G tồn tại một lân cận U(x0 ) sao cho Γ(x) ⊂ G ∀x ∈ U (x0 ). Ánh xạ Γ là liên tục tại x0 nếu nó nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0 . 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Nếu Γ là ánh xạ đơn trị thì định nghĩa nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên đưa ra ở trên trùng với định nghĩa liên tục thông thường. Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm trên X. Và ta nói Γ là nửa liên tục trên X nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm trên X. Ví dụ 1.1.1. Cho Γ là một ánh xạ từ X vào Y sao cho Γ(x) = K(x0 ), ∀x ∈ X, K0 là tập compact trong Y . Khi đó Γ là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên do đó nó liên tục. Định lý 1.1. Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục dưới là với mỗi tập mở G trong Y , thì tập Γ− (G) cũng là tập mở. Chứng minh. Giả sử Γ là nửa liên tục dưới. Rõ ràng Γ− (G) là tập mở nếu nó là tập rỗng. Giả sử rằng Γ− (G) 6= ∅. Nếu x0 ∈ Γ− (G) thì Γ(x0 ) ∩ G 6= ∅ và nó là một lân cân U (x0 ) sao cho x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ G. Do U (x0 ) ⊂ Γ− (G). Nên Γ− (G) là một lân cận của mỗi điểm của nó và do đó Γ− (G) là tập mở. Bây giờ giả sử rằng Γ− (G) là tập mở với mỗi tập mở G trên Y . Cho tập mở G giao với Γ(x0 ), khi đó Γ− (G) là lân cận mở của x0 và ta có x ∈ Γ− (G) ⇒ Γ(x) ∩ G 6= ∅. 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Do đó Γ là nửa liên tục dưới. Định lý 1.2. Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục trên là tâp Γ(x) là tập compact với mỗi x với mỗi tập mở G trên Y thì tập Γ+ (G) là tập mở,ở đó, với ánh xạ liên tục trên, ta định nghĩa Γ+ (G) bởi Γ+ (G) = {x | x ∈ X : Γ(x) ∩ G}. Chứng minh. Giả sử Γ là nửa liên tục trên. Nếu Γ+ (G) là rỗng thì nó là tập mở. Giả sử Γ+ (G) 6= ∅ và cho x0 ∈ Γ+ (G). Khi đó tồn tại lân cận U (x0 ) sao cho x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ G. Do đó Γ là nửa liên tục trên. Ánh xạ từ X đến Y là nửa liên tục trên có tính chất cơ bản như sau: Định lý 1.3. Nếu Γ là nửa liên tục trên thì ảnh Γ(K) của một tập con compact K của X cũng là compact. Chứng minh. Cho { Gi | i ∈ I } là một phủ mở của Γ(K). Nếu x ∈ K thì tập Γ(x) là compact có thể được phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi . Gọi Gx là kí hiệu của hợp các tập trong một họ hữu hạn. Do đó (Γ+ (Gx ) | x ∈ K) là một phủ mở của K cho nên nó chứa phủ con hữu hạn Γ+ (Gx1 ), Γ+ (Gx2 ),..., Γ+ (Gxn ). Các tập Gx1 , Gx2 ,..., Gxn phủ Γ(K) nên Γ(K) được phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi . Ta nói rằng Γ là ánh xạ đóng từ X đến Y nếu với mọi x0 ∈ X, y0 ∈ Y , y0 ∈ / Γ(x0 ) ở đó tồn tại hai lân cận U (x0 ) và V (y0 ) sao cho x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ V (y0 ) = ∅ . 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Xét sự biểu diễn P Như Thị Ngọc Ánh Γ(x) của Γ trên X × Y , nó là tập đóng nếu và x∈X chỉ nếu Γ là ánh xạ đóng, điều kiện trên tương đương với U (x0 ) × V (x0 ) ⊂ − X Γ(x). x∈X Ta thấy hệ quả trực tiếp từ định nghĩa rằng nếu Γ là một ánh xạ đóng thì tập Γ(x) là tập đóng trên Y . Ví dụ 1.1.2. Nếu f là một hàm số liên tục trên X × Y , ánh xạ được định nghĩa bởi Γ(x) = {y | y ∈ Y, f (x, y) ≤ 0} là ánh xạ đóng từ X đến Y , có đồ thị được biểu diễn bởi X Γ(x) = {(x, y) | f (x, y) ≤ 0} x∈X là một tập đóng. Đặc biệt, nếu λ là một hàm số liên tục trên không gian metric (X, d) thì ánh xạ Γ(x) = Bλ(x) (x) = {y | y ∈ X, d(x, y) − λ(x) ≤ 0} là ánh xạ đóng. Định lý 1.4. Nếu Γ là một ánh xạ đóng thì     (xn ) → x0    ⇒y0 ∈ Γ(x0 ). (yn ) → y0      (∀n) : yn ∈ Γ(xn ) 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Chứng minh. Tập biểu diễn của Γ là một tập đóng ((xn , yn )) → (x0 , y0 ) và (x0 , y0 ) ∈ X Γ(x). x∈X Do đó (x0 , y0 ) ∈ X Γ(x). x∈X Định lý 1.5. Nếu (Γi | i ∈ I) là một họ các ánh xạ đóng từ X đến T Y , thì Γ = i∈I Γi cũng là ánh xạ đóng. Chứng minh. Nếu y0 ∈ / Γ(x0 ) thì tồn tại một chỉ số i0 sao cho y0 ∈ / Γi0 (x0 ). Do đó tồn tại lân cận U (x0 ), V (y0 ) sao cho Γi0 U (x0 ) ∩ V (y0 ) = ∅ và ΓU (x0 ) ∩ V (y0 ) = ∅. Vì vậy Γ là một ánh xạ đóng. Định lý 1.6. Mọi ánh xạ nửa liên tục trên đều đóng. Chứng minh. Cho Γ là ánh xạ nửa liên tục trên từ X đến Y và giả sử rằng y0 ∈ / Γ(x0 ). Vì Γ(x0 ) là compact do đó tồn tại một tập mở G 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh trên Y chứa Γ(x0 ) và một lân cận V (y0 ) sao cho G ∩ V (y0 ) = ∅. Vì Γ là nửa liên tục trên, nên tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ G. Do x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ V (y0 ) = ∅. Vậy Γ là đóng. Định lý 1.7. Nếu Γ1 là một ánh xạ đóng từ X vào Y và Γ2 là một ánh xạ nửa liên tục trên từ X vào Y thì Γ = Γ1 ∩ Γ2 cũng là một ánh xạ nửa liên tục trên. Chứng minh. Với mọi x ∈ X, tập Γ(x) là compact vì nó là tập đóng chứa trong một tập compact Γ2 . Cho G là một tập mở sao cho Γ(x0 ) = Γ1 (x0 ) ∩ Γ2 (x0 ) ⊂ G. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho ΓU (x0 ) ⊂ G. Nếu Γ2 ⊂ G thì ta luôn có điều phải chứng minh. Giả sử Γ2 (x0 ) ∩ (−G) = K 6= ∅ . Cho y là một điểm thuộc K, khi đó tồn tại lân cận V (y) và Uy (x0 ) sao cho Γ1 Uy (x0 ) ∩ V (y) = ∅. Vì K là tập compact, do đó tồn tại các phần tử y1 , y2 ,. . . , yn trên K 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh sao cho V (y1 ), V (y2 ), ..., V (yn ) phủ K. Ta có V (K) = n [ V (yi ). i=1 0 Do đó tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho 0 u ∈ U (x0 ) ⇒ Γ2 (x) ⊂ (G ∪ V (K)), 0 U (x0 ) = Uy1 (x0 ) ∩ Uy2 (x0 ) ∩ . . . Uyn (x0 ) ∩ (U )(x0 ). Ta có   Γ1 U (x0 ) ∩ V (K) = ∅, .  Γ2 U (x0 ) ⊂ (G ∪ V (K)) Do đó (Γ1 ) ∩ Γ2 )U (x0 ) ⊂ G. Vậy Γ là nửa liên tục dưới. Hệ quả 1.1. Nếu Y là không gian compact, một ánh xạ từ X đến Y là đóng nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên. Chứng minh. Nếu Γ là đóng và ∆ là ánh xạ sao cho ∆(x) = Y với mọi x, do đó Γ = Γ ∩ ∆ là nửa liên tục trên (do ∆ là nửa liên tục trên). Vậy hệ quả được suy ra từ Định lý 1.6 . 1.2 Khoảng cách Hausdorff Cho A và B là hai tập đóng khác rỗng trong không gian X và viết ρ(A, B) = sup {d(x, B) | x ∈ A} , 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh ρ(B, A) = sup {d(y, A) | y ∈ B} . Trong đó, d(x, B) là khoảng cách từ một điểm x ∈ A đến tập B. Hàm số δ được định nghĩa bởi δ(A, B) = max {ρ(A, B), ρ(B, A)} , được gọi là khoảng cách Hausdorff. Ta sẽ chứng minh rằng δ thỏa mãn những tính chất cần thiết của một metric trong một họ T 0 của những tập đóng khác rỗng (i) δ(A, B) ≥ 0; δ(A, B) = 0 ⇔ ρ(A, B) = 0 ⇒ A ⊂ B do tính đổi xứng nên A = B. (ii) (iii) δ(A, B) = δ(B, A). Phải chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta thấy rằng x ∈ A và ε > 0. Khi đó tồn tại các điểm y ∈ B và z ∈ C sao cho d(x, B) + d(B, C) ≥ d(x, y) − ε + d(y, C) ≥ d(x, y) + d(y, z) − 2ε ≥ d(x, z) − 2ε ≥ d(x, C) − 2ε. Vì bất đẳng thức được thỏa mãn với mọi ε > 0 nên ta có d(x, C) ≤ d(x, B) + δ(B, C). 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh Do đó ρ(A, C) = sup d(x, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C). x∈A Trong bất đẳng thức này, ta có thể đổi chỗ A và C cho nhau mà không có sự thay đổi ở vế phải, do đó δ(A, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C). Như vậy, ta có thể coi T 0 như một không gian metric với metric δ. Định lý 1.8. Cho X và Y là hai không gian metric, K0 là họ những tập compact khác rỗng trên Y . Γ là một ánh xạ từ X đến Y sao cho với mỗi x, Γ(x) 6= ∅. Khi đó Γ là ánh xạ liên tục từ X tới Y nếu nó là một ánh xạ đơn trị liên tục của X trong K0 . Chứng minh. Kí hiệu δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε ⇔ ⇔   Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),  Γ(x0 ) ⊂ Bε (Γ(x),   Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),  (∀Γ(x ) (y)) : Bε (y) ∩ Γ(x) 6= ∅. 0 Nếu Γ là ánh xạ liên tục từ X đến Y thì với mỗi ε > 0 tồn tại một sỗ η sao cho d(x, x0 ) ≤ η. Nghĩa là Γ(x) ⊂ intBε (Γ(x0 )) ⊂ Bε (Γ(x0 )). Hơn nữa, vì Γ(x0 ) là compact chữa các điểm y1 , y2 ,. . ., yn sao cho 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh các hình cầu B 2ε (yi ) phủ Γ(x0 ). Do đó tồn tại số η 0 sao cho d(x, x0 ) ≤ η 0 ⇒ (∀i) : B 2ε (yi ) ∩ Γ(x) 6= ∅ ⇒ (∀Γ(x0 ) y) : Bε (y) ∩ Γ(x) 6= ∅. Khi đó ta có d(x, x0 ) ≤ min {η, η 0 } ⇒ δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε. Ngược lại, giả sử rằng Γ là một ánh xạ đợn trị liên tục của X trên K0 . Cho G là tập mở con của Y chứa Γ(x0 ), khi đó tồn tại ε sao cho x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )) ⊂ G. Do đó Γ là nửa liên tục trên. Ngoài ra, nếu G là một tập mở có giao với Γ(x0 ) khi đó tồn tại điểm y0 trên Γ(x0 ) ∩ G và một số ε sao cho Bε (y0 ) ⊂ G, hơn nữa tồn tại η sao cho x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ Bε (y0 ) 6= ∅ ⇒ Γ(x) ∩ G 6= ∅. Khi đó Γ là nửa liên tục dưới. Hệ quả 1.2. Nếu Γ là một ánh xạ liên tục được định nghĩa trên một không gian metric đầy đủ X, Γ là một ánh xạ liên tục đều, khi đó với mỗi ε > 0 tương đương với việc có một số η sao cho với mỗi cặp (x, x0 ) ta có d(x, x0 ) ≤ n ⇒ δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε. Nhận xét 1.1. Khoảng cách Hausdorff cho phép ta tối ưu hóa họ T 0 của những tập đóng khác rỗng trên X. Trong trường hợp X không là 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh không gian metric, ta có những vẫn đề tổng quát hơn, đó là: chúng ta có thể kết hợp với T 0 một topo có cấu trúc sao cho việc nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ Γ với giá trị trên X được chuyển sang một ánh xạ đơn trị với giá trị trên T 0 . 14 Chương 2 Tính chất và ứng dụng Trong chương này chúng ta trình bày một số tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff trong không gian định chuẩn. 2.1 Khoảng cách Hausdorff giữa các tập thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass Định lý 2.1. Cho M và N là những tập đóng, tập N thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass, tức là mọi dãy bị chặn trong N đều có một dãy con hội tụ. Khi đó ∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N ). (2.1) Chứng minh. Đặt r = h(M, N ). Không mất tính tổng quát giả sử rằng r < ∞. Với x ∈ M theo định nghĩa khoảng cách Hausdorff suy ra rằng với mỗi số tự nhiên n tồn tại yn ∈ N sao cho ρ(yn , x) ≤ r + n1 . Vậy {yn } bị chặn. Do đó tồn tại dãy con {ynm } và một điểm y ∈ X sao cho {ynm } hội tụ tới y. Theo giả thiết N là tập đóng do đó y ∈ N . Chuyển qua giới hạn cho m → ∞ 15