Tài liệu Một tiếp cận xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong các hệ logic. (tt)

MỞ ĐẦU Mô hình toán học đầu tiên của các khái niệm mờ đã được L. A. Zadeh đề xuất vào năm 1965 dựa trên khái niệm tập mờ để mô hình hóa quá trình lập luận của con người đó là phương pháp lập luận xấp xỉ [6, 7]. Một mở rộng của phương pháp lập luận xấp xỉ đã được Baldwin [12, 13] giới thiệu đó là phương pháp lập luận mờ sử dụng logic mờ với giá trị chân lý mờ, hay một mệnh đề mờ “x is F” với một giá trị chân lý mờ τ được viết: (x is F) is τ ⇔ x is G. Tuy nhiên logic mờ được mở rộng từ logic đa trị nên đã có rất nhiều cách định nghĩa các quan hệ mờ của toán tử kéo theo mờ, nhiều cách hợp thành các quan hệ mờ, nhiều cách định nghĩa các phép toán Tnorm, T-conorm cũng như các phương pháp mờ hóa và khử mờ khác nhau. Cũng như cần mở rộng các quy tắc suy diễn trong logic mờ như fuzzy modus ponens, fuzzy modus tollens, fuzzy syllogism cho phù hợp với các ứng dụng. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết mờ đã được quan tâm bởi nhiều nhà nghiên cứu như Mizumoto, M. và các cộng sự [17-28], Enric Trillas và các cộng sự [42-48], D. Ruan, E.E. Kerre [85-91], Bernadette Bouchon-Meunier [29-35], Habiballa, H., Novak, V [76-79], … Tuy nhiên khi phát triển lý thuyết này người ta vẫn còn gặp phải một số khó khăn [3, 5] như cấu trúc thứ tự cảm sinh trên các khái niệm mờ không trùng với quan hệ thứ tự trên các tập mờ, tập các khái niệm mờ không đóng đối với một số phép toán trên các tập mờ và logic mờ thiếu một cơ sở đại số làm nền tảng. Một trong các phương pháp đã được chính L. A. Zadeh [5-10] đề xuất và nghiên cứu đó là tính toán với các từ (Computing with words), tức là tính toán trực tiếp trên các giá trị ngôn ngữ thay cho tính toán trên các số. Vấn đề tính toán trực tiếp trên ngôn ngữ, không thông qua tập mờ đã phần nào khắc phục những khó khăn nêu ra ở trên. Trong [36, 37], Luigi Di Lascio và Antonio Gisolfi đã xây dựng không gian hữu hạn có thứ tự tuyến tính các giá trị chân lý ngôn ngữ, đồng thời cũng đã đưa ra phương pháp lập luận xấp xỉ mờ, tuy nhiên phương pháp nêu ra lại dựa trên các số mờ tam giác có giá trị trong đoạn [0,1]. Hsing-Tai Chung và Daniel G. Schwartz [38, 39], Jonathan Lawry [121], Paul P. Wang và Chih Hsun Hsieh [103, 104] đã sử dụng tập các nhãn cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ, nhưng vấn đề xử lý trên miền giá trị chân lý cho các ứng dụng là phức tạp do vấn đề xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ. Herman Akdag et all [51-58] đã xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên tập các ký hiệu. Miền giá trị chân lý trong các nghiên cứu của Herman Akdag dựa trên tập “Multiset”. Việc tính toán trong quá trình lập luận dựa trên các phép toán được định nghĩa trên tập này. Một vấn đề được đặt ra là làm thế nào để xây dựng được tập các giá trị chân lý này? Các nghiên cứu [59-66] của Mazen El-Sayed, Daniel Pacholczyk và [67-70] của Saossen BelHadj Kacem, AmelBorgi và Khaled Ghedira đã mở rộng FMP với các gia tử. Trong các nghiên cứu này, đã sử dụng hàm biến đổi gia tử dựa trên độ tương tự để chọn ra kết quả phù hợp cho quá trình lập luận. Tuy nhiên vấn đề sử dụng hàm biến đổi gia tử không những phức tạp mà còn có độ sai số lớn khi phải lựa chọn kết quả dựa trên độ tương tự ngữ nghĩa ở kết quả trong quá trình tính toán. Một hướng tiếp cận khác để xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ đó là dựa trên dàn được Yang Xu và các cộng sự [85-100] nghiên cứu và phát triển. Tuy nhiên với cấu trúc này thì chỉ có một gia tử tác động vào phần tử sinh trong các biến ngôn ngữ, hơn nữa các phép toán trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ này là phức tạp bởi phải xét cả trên gia tử cũng như phần tử sinh. Để khắc phục các vấn đề trên, một cấu trúc đại số của miền giá trị của các biến ngôn ngữ đã được đề xuất bởi N. C. Ho và W. Wechler [110]. Theo hướng tiếp cận này, mỗi giá trị ngôn 1 ngữ của một biến ngôn ngữ nằm trong cấu trúc đại số gọi là đại số gia tử (ĐSGT). Ngoài mục tiêu là đại số hóa miền giá trị của biến ngôn ngữ, đại số gia tử tuyến tính đối xứng đủ giàu về cấu trúc tính toán để mô hình hóa các toán tử logic làm cơ sở cho logic ngôn ngữ [5]. Dựa trên đại số gia tử, trong [2-5, 111, 112] N. C. Ho, T. Đ. Khang đã nghiên cứu phương pháp lập luận ngôn ngữ, phương pháp này tương tự như phương pháp suy luận trong logic kinh điển, nhưng phương pháp này thao tác trực tiếp trên ngôn ngữ và kết quả cũng ở dạng ngôn ngữ. Tuy nhiên, phương pháp này có những trường hợp không suy diễn được và vấn đề chỉ được giải quyết bởi việc sử dụng ánh xạ ngược của gia tử [2, 113-114], tuy nhiên thuật toán xây dựng ánh xạ ngược của gia tử lại chưa được nghiên cứu. Trong lý thuyết tập mờ [6], một trong các tính chất quan trọng của lý thuyết tập mờ đó là tính chất bao hàm 𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝜇𝐴 ≤ 𝜇𝐵 . Đại số gia tử là một công cụ biểu diễn và xử lý các thông tin ngôn ngữ không đầy đủ, không chắc chắn giống như tập mờ, và trong nhiều trường hợp, khi cần biểu diễn ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ thông qua tập mờ thì tính chất bao hàm cũng cần được xét đến. Trong [1], T. D. Khang đã phân tích và thấy rằng tính chất bao hàm không đúng đối với lớp đại số gia tử tổng quát khi sử dụng quy tắc chuyển gia tử và đã đề xuất, nghiên cứu lớp đại số gia tử đơn điệu cho các xử lý ở các hệ thống sử dụng quy tắc chuyển gia tử kết hợp với xử lý thông tin mờ. Với các nhận xét trên, luận án tiếp tục nghiên cứu và phát triển phương pháp lập luận ngôn ngữ mới dựa trên lớp ĐSGT thu hẹp. Trong luận án này, những mục tiêu nghiên cứu được đặt ra cụ thể như sau: 1) Nghiên cứu lớp đại số gia tử đơn điệu hữu hạn cho miền giá trị chân lý ngôn ngữ, nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược của gia tử và xây dựng thuật toán xác định ánh xạ ngược của gia tử trong đại số gia tử đơn điệu hữu hạn. 2) Nghiên cứu logic trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ trong đại số gia tử đơn điệu hữu hạn và phương pháp suy diễn ngôn ngữ trên logic này. 3) Nghiên cứu mở rộng các quy tắc suy diễn cho bài toán lập luận ngôn ngữ. Với mục tiêu được đặt ra trên đây, luận án đã có những đóng góp: 1) Xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ (AX) dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn làm miền giá trị chân lý cho logic đa trị ngôn ngữ. 2) Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược của gia tử trong đại số gia tử đơn điệu hữu hạn và đề xuất thuật toán xác định ánh xạ ngược của gia tử. 3) Nghiên cứu đề xuất logic đa trị ngôn ngữ với miền giá trị chân lý ngôn ngữ (AX) dựa trên đại số ngôn ngữ Lukasiewicz và phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên các quy tắc suy diễn và phương pháp hợp giải trong logic đa trị ngôn ngữ. 4) Nghiên cứu mở rộng các quy tắc suy diễn mờ fuzzy modus ponens, fuzzy modus tollens, fuzzy syllogism và luật If… Then… Else… với các gia tử trong logic đa trị ngôn ngữ và áp dụng cho giải bài toán lập luận ngôn ngữ. Với các đóng góp ở trên, luận án có ý nghĩa: 1) Góp phần chứng tỏ khả năng ứng dụng phong phú của ĐSGT trong biểu diễn và xử lý thông tin mờ, không chắc chắn. 2) Làm phong phú thêm các phương pháp lập luận xấp xỉ. Về bố cục của luận án, ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính được kết cấu thành ba chương: Chương 1 - Tổng quan về lập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý; Chương 2 – Lập luận ngôn ngữ dựa trên logic đa trị ngôn ngữ; Chương 3 – Mở rộng các quy tắc suy diễn trong logic đa trị ngôn ngữ. 2 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ LẬP LUẬN XẤP XỈ TRÊN MIỀN GIÁ TRỊ CHÂN LÝ TRONG CÁC HỆ LOGIC 1.1 Lập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mờ 1.1.1 Tập mờ Định nghĩa 1.1. Lấy X là một tập vũ trụ khác rỗng. Một tập mờ A trên tập vũ trụ X được đặc trưng bởi hàm thuộc: 𝜇𝐴 (𝑥 ): 𝑋 → [0,1] Với 𝜇𝐴 (𝑥 ) là độ thuộc của phần tử x trong tập mờ A. Chúng ta có thể viết 𝐴(𝑥) thay cho 𝜇𝐴 (𝑥 ). 𝜇 (𝑥 ) 𝜇 (𝑥 ) 𝜇 (𝑥 ) Một tập mờ hữu hạn được ký hiệu bởi: 𝐴 = 𝐴 1 + 𝐴 2 + ⋯ 𝐴 𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Một tập mờ vô hạn được ký hiệu bởi: 𝐴 = ∫ 𝜇𝐴 (𝑥 )/𝑥 1.1.2 Các phép toán trên tập mờ Lấy A và B là các tập con mờ của tập vũ trụ X, chúng ta có các phép toán trên các tập mờ A và B được xác định như sau với ∀𝑡 ∈ 𝑋: (𝐴 ∩ 𝐵)(𝑡) = 𝑀𝑖𝑛{𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)} = 𝐴(𝑡)⋀𝐵(𝑡) Phép giao: (𝐴 ∪ 𝐵)(𝑡) = 𝑀𝑎𝑥 {𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)} = 𝐴(𝑡)⋁𝐵(𝑡) Phép hợp: Phép lấy phần bù: (¬𝐴)(𝑡) = 1 − 𝐴(𝑡) 1.1.3 T-norm, T-conorm và Negation Định nghĩa 1.2. (T-norm). Một ánh xạ 𝑇: [0,1] × [0,1] → [0,1] là một T-norm khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau với ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1]: (i) T có tính giao hoán: T(x, y) = T(y, x); (ii) T có tính kết hợp: T(T(x, y), z) =T(x,T(y, z)); (iii) T là đơn điệu: tức là nếu x ≤ x’ và y ≤ y’ thì T(x, y) ≤ T(x’, y’); (iv) T có tính đồng nhất: T(x,1)=x. Định nghĩa 1.3. (T-conorm). Một ánh xạ 𝑆: [0,1] × [0,1] → [0,1] là một T-conorm khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau với ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1]: (i) S có tính giao hoán: S(x, y) = S(y, x); (ii) S có tính kết hợp: S(S(x, y), z) =S(x,S(y, z)); (iii) S có tính đơn điệu: S(x, y) ≤ S(x’, y’) nếu x ≤ x’ và y ≤ y’; (iv) S có tính đồng nhất: S(x,0)=x. Dựa trên T-norm và T-conorm, chúng ta có thể định nghĩa lại phép hợp và giao của hai tập mờ A và B như sau: (𝐴 ∩ 𝐵)(𝑡) = 𝑇(𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)) ; (𝐴 ∪ 𝐵)(𝑡) = 𝑆(𝐴(𝑡), 𝐵(𝑡)) với ∀𝑡 ∈ 𝑋 Định nghĩa 1.4. (Negations) Một ánh xạ 𝑁: [0,1] → [0,1] là một phủ định khi và chỉ khi thỏa mãn các tính chất sau với ∀𝑥 ∈ [0,1]: (i) N(N(x)) = x; (ii) Nếu x≤ y thì N(x) ≥ N(y); (iii) N(0)=1 và N(1)=0; 1.1.4 Phép kéo theo mờ Cho p là một mệnh đề có dạng: “x is A” với A là một tập mờ và q là một mệnh đề có dạng “y is B”. Chúng ta định nghĩa một phép kéo theo mờ 𝐴 → 𝐵 như là một quan hệ mờ. Khi đó (𝐴 → 𝐵)(𝑢, 𝑣) sẽ được định nghĩa chỉ phụ thuộc 𝐴(𝑢) và 𝐵(𝑣), hay: (𝐴 → 𝐵)(𝑢, 𝑣) = 𝐼�𝐴(𝑢), 𝐵(𝑣)� = 𝐴(𝑢) → 𝐵(𝑣) Ký hiệu 𝐴(𝑢) được xem như là giá trị chân lý của mệnh đề p và 𝐵(𝑣) được xem như là giá trị chân lý của mệnh đề q Có ba loại phép kéo theo mờ quan trọng thường được dùng, đó là: S-implication: 𝑥 → 𝑦 = 𝑆(𝑁(𝑥 ), 𝑦) R-implication: 𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑢𝑝{𝑧 ∈ [0,1]|𝑇(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦} T-norm implication:𝑥 → 𝑦 = 𝑇(𝑥, 𝑦) 3 1.1.5 Biến ngôn ngữ Định nghĩa 1.5. [7] Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X),U, R, M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U. Vấn đề mô hình các hóa các gia tử ngôn ngữ sử dụng tập mờ đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, chẳng hạn L. A. Zadeh [6, 7], B. Bouchon-Meunier, M. Ying [34, 35]… 1.1.6 Sơ lược về logic mờ Miền giá trị chân lý trong logic mờ của Zadeh là tập các giá trị của biến ngôn ngữ 𝑇(𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ) = {𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑣𝑒𝑟𝑦𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑚𝑜𝑟𝑒𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒, 𝑣𝑒𝑟𝑦𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒, … }. Với khái niệm mờ A, giá trị chân lý của mệnh đề mờ có dạng “X is A” là một giá trị ngôn ngữ thuộc 𝑇(𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ), biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑢) trên không gian nền U. Trong logic mờ, các toán tử hội, tuyển, phủ định được tính bằng các T-norm, Tcornom, Negation đã làm tăng độ mềm dẻo so với việc chỉ dùng các hàm min, max và phủ định trong logic kinh điển. Như vậy, giả sử trong logic mờ với mệnh đề mờ “X is A” có giá trị chân lý biểu diễn bởi hàm thuộc 𝜇𝐴 (𝑢) trên không gian nền U và mệnh đề mờ “Y is B” có giá trị chân lý biểu diễn bởi hàm thuộc 𝜇𝐵 (𝑣) trên không gian nền V, khi đó hàm thuộc của mệnh đề mờ “X is A or B” là 𝜇𝐴∪𝐵 = 𝑆(𝜇𝐴 (𝑢), 𝜇𝐵 (𝑣)) với S là một T-conorm, hàm thuộc của mệnh đề mờ “X is A and B” là 𝜇𝐴∩𝐵 = 𝑇(𝜇𝐴 (𝑢), 𝜇𝐵 (𝑣)) với T là một T-norm và hàm thuộc của mệnh đề mờ “X is NOT A” có hàm thuộc là 𝜇¬𝐴 = 𝑁(𝜇𝐴 (𝑢)) với N là một Negation. Một toán tử quan trọng để biểu diễn các mệnh đề mờ có điều kiện dạng “If X is A Then Y is B” là toán tử kéo theo mờ, biểu diễn này thể hiện mối quan hệ giữa các khái niệm mờ. Do đó chúng cảm sinh một quan hệ mờ R thể hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề các U x V được xác định bởi hàm thuộc như sau: 𝜇𝐴→𝐵 (𝑢, 𝑣) = 𝑆(𝑇�𝜇𝐴 (𝑢), 𝜇𝐵 (𝑣)�, 𝑁�𝜇𝐴 (𝑢)�) Nếu chọn T-norm: 𝑇(𝑎, 𝑏) = min(𝑎, 𝑏), T-conorm: 𝑆(𝑎, 𝑏) = max(𝑎, 𝑏) và negation: 𝑁(𝑎) = 1 − 𝑎, chúng ta được: 𝜇𝐴→𝐵 (𝑢, 𝑣) = 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑖𝑛�𝜇𝐴 (𝑢), 𝜇𝐵 (𝑣)�, 1 − 𝜇𝐴 (𝑢)) Việc chọn T-norm, T-conorm và Negation cho quan hệ mờ R phụ thuộc ngữ nghĩa của mệnh đề kéo theo và từng ứng dụng cụ thể. Một vấn đề quan trọng trong logic mờ là các quy tắc suy diễn. Việc mở rộng các quy tắc fuzzy modus ponens, fuzzy modus tollens, tam đoạn luận (fuzzy syllogism),… trong logic kinh điển sang logic mờ đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như J . F. Baldwin [17-20 ], Mizumoto và Zimmerma nn [22-33], Da Ruan và E. E. Kerre [81 -87 ], Banibrata Mondal và Swapan Raha [106, 107],… 1.1.7 Lập luận xấp xỉ với miền giá trị chân lý trong logic mờ Lập lập xấp xỉ dùng logic mờ với miền giá trị chân lý mờ đã được Baldwin [17, 18] đề xuất và nghiên cứu. Trong [22], Tsukamoto đã mở rộng phương pháp lập luận dựa trên logic mờ với miền giá trị chân lý mờ theo các tập mờ mức α. Mô hình lập luận này là suy diễn hợp thành (fuzzy compositional inference) dựa trên việc mở rộng modus ponens mờ: Ant 1 (If X is A Then Y is B) is 𝜏1 Ant 2 (X is A’) is 𝜏2 Cons Y is B’ Có ba hướng tiếp cận giải bài toán lập luận xấp xỉ: 4 1) Cách tiếp cận truyền thống là tích hợp các quan hệ mờ ứng với mỗi mệnh đề điều kiện thành một quan hệ chung, sau đó hợp thành với đầu vào để nhận được kết quả, cách tiếp cận này đã được quan tâm nghiên cứu bởi Mizumoto và Zimmermann [22-33], Da Ruan và E. E. Kerre [81-87], Enric Trillas [47-53]; Habiballa, H., Novak, V [76-79]; … 2) Một cách tiếp cận khác cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm như Banibrata Mondal và Swapan Raha [106, 107], Bernadette Bouchon-Meunier [34-40], T. D. Khang [4],… là xác định ngữ nghĩa gần nhau của đầu vào và đầu ra, hay nếu đầu vào “gần” với giả thiết của mệnh đề điều kiện thì đầu ra cũng sẽ “gần” với kết luận của mệnh đề điều kiện đó; 3) Lập luận xấp xỉ dựa trên các các quy tắc suy diễn trực tiếp trên tập các giá trị của biến ngôn ngữ mà không thông qua tập mờ đã và đang là một hướng tiếp cận được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như Luigi Di Lascio, Antonio Gisolfi và Vincenzo Loia [41, 42], Mingsheng Ying, Bernadette BouchonMeunier [35], Hsing-Tai Chung, Daniel G. Schwartz [43], Herman Akdag [56-63], Mazen El-Sayed và Daniel Pacholczyk [64-71], Saossen BelHadj Kacem, AmelBorgi. Khaled Ghedira [72-75], Jun Liu, Luis Martinez Lopez, Yang Xu, Zengpei và Zhirui Lu [89-105], N. C. Ho, T. D. Khang, H. V. Nam, N. H. Chau [111, 112], V. H. Le, F. Liu, T. D. Khang [2], L. X. Vinh [3], … Một mô hình hóa toán học miền giá trị của biến ngôn ngữ được gọi là đại số gia tử đã được đề xuất và nghiên cứu bởi N. C. Ho và Wechler [110] và một phương pháp lập luận xấp xỉ trực tiếp trên tập giá trị của biến ngôn ngữ cũng đã được N. C. Ho, T. D. Khang, H. V. Nam, N. H. Chau [111, 112] nghiên cứu. Đại số gia tử như là một cấu trúc toán học để mô hình hóa cấu trúc tự nhiên miền giá trị của các biến ngôn ngữ. Trong mục tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu cách tiếp cận này. 1.2 Lập luận xấp xỉ trên miền giá trị chân lý trong logic mệnh đề ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử 1.2.1 Đại số gia tử Xét miền giá trị chân lý ngôn ngữ 𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ chẳng hạn như 𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, 𝑉𝑒𝑟𝑦𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒, … được tạo ra từ tập phần tử sinh 𝐺 = {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒} và tập các gia tử 𝐻 = {𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀𝑜𝑟𝑒, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦, … } bởi việc tác động các gia tử lên phần tử sinh 𝑇𝑟𝑢𝑒 hoặc 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒. Khi đó cho tập phần tử sinh 𝐺 = {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒} và tập hữu hạn không rỗng các gia tử H thì tập X của các giá trị ngôn ngữ là {𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻∗ } (𝐻 ∗ là tập các xâu gia tử sinh ra từ H). Hơn nữa, nếu chúng ta xét quan hệ 𝑇𝑟𝑢𝑒 > 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 thì quan hệ thứ tự này cũng đúng cho các cặp giá trị ngôn ngữ trên X, điều này có nghĩa là tồn tại một quan hệ thứ tự bộ phận “ ≤” trên X. Xét một cách tổng quát, cho các tập hữu hạn không rỗng G và H tương ứng là tập các phần tử sinh và các gia tử, khi đó tập các giá trị ngôn ngữ được sinh ra từ G và H là tập X được xác định 𝑋 = {𝛿𝑐 | 𝑐 ∈ 𝐺, 𝛿 ∈ 𝐻 ∗ }. Chúng ta định nghĩa 𝑢 ≥ 𝑣 khi và chỉ khi 𝑢 > 𝑣 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑢 = 𝑣 thì trên X tồn tại một quan hệ thứ tự bộ phận ≥. Do đó X được mô tả bởi một đại số trừu tượng 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤). Với mỗi ℎ ∈ 𝐻 có thể xem như là một hàm một ngôi ℎ: 𝑋 → 𝑋, 𝑥 ↦ ℎ𝑥. Hơn nữa, giả sử rằng mỗi gia tử ℎ là một phép toán thứ tự, nghĩa là ∀ℎ ∈ 𝐻, ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ℎ𝑜ặ𝑐 ℎ𝑥 ≤ 𝑥. Lấy 𝐼 ∉ 𝐻 là một gia tử đơn vị (𝐼𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋). Khi đó, với hai gia tử ℎ, 𝑘 chúng ta nói rằng: i) ℎ và 𝑘 là ngược nhau nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥; ii) ℎ và 𝑘 là tương thích nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥; iii) ℎ có ngữ nghĩa lớn hơn hay bằng 𝑘, ký hiệu ℎ ≥ 𝑘, nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑥 ≤ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥. Ký hiệu ℎ > 𝑘 nếu ℎ ≥ 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘; 5 iv) ℎ là dương đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑘𝑥 ≥ 𝑥; v) ℎ là âm đối với k nếu ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑘𝑥 ≤ ℎ𝑘𝑥 ≤ 𝑥 hoặc 𝑘𝑥 ≥ ℎ𝑘𝑥 ≥ 𝑥. Trong thực tế, có nhiều biến ngôn ngữ chỉ dùng hai phần tử sinh đối nghĩa nhau, như true và false, tall và short, old và young,… Khi đó, đại số gia tử có tập G chỉ gồm hai phần tử sinh, với một phần tử sinh có nghĩa “mạnh” hơn, như là truth, tall, old,… là phần tử sinh dương, và phần tử còn lại, như false, small, young,… là phần tử sinh âm. Lấy 𝐺 = {𝑐 + , 𝑐 − } với 𝑐 + > 𝑐 − , 𝑐 + và 𝑐 − được gọi là phần tử sinh dương và âm tương ứng. Tập H được phân thành các tập con 𝐻 + = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐 + > 𝑐 + } và 𝐻 − = {ℎ ∈ 𝐻 | ℎ𝑐 + < 𝑐 + } và với mỗi giá trị 𝑥 ∈ 𝑋, đặt 𝐻(𝑥 ) = {𝜎𝑥 | 𝜎 ∈ 𝐻 ∗ }. Định nghĩa 1.6. Một đại số trừu tượng 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), với 𝐻 ≠ ∅, 𝐺 = {𝑐 + , 𝑐 − } và 𝑋 = {𝜎 𝑐 |𝑐 ∈ 𝐺, 𝜎 ∈ 𝐻∗ } được gọi là đại số gia tử nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (A1) Với mọi ℎ ∈ 𝐻 + và 𝑘 ∈ 𝐻 − thì h và k là ngược nhau. (A2) Với mỗi cặp ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì h hoặc là dương hoặc là âm đối với k. (A3) Nếu u và v độc lập thì 𝑥 ∉ 𝐻(𝑣) với mọi 𝑥 ∈ 𝐻(𝑢). Nếu 𝑥 ≠ ℎ𝑥 thì 𝑥 ∉ 𝐻(𝑥) hơn nữa, nếu ℎ𝑥 ≠ 𝑘𝑥 thì ℎ𝑥 và 𝑘𝑥 độc lập (A4) Nếu ℎ ≠ 𝑘 và ℎ𝑥 ≤ 𝑘𝑥 thì ℎ′ℎ𝑥 ≤ 𝑘′𝑘𝑥 với bất kỳ ℎ, 𝑘, ℎ′ , 𝑘′ ∈ 𝐻 và 𝑥 ∈ 𝑋. (A5) Nếu 𝑢 ∉ 𝐻(𝑣) và 𝑢 ≤ 𝑣 (hay 𝑢 ≥ 𝑣) thì 𝑢 ≤ ℎ𝑣 (hay 𝑢 ≥ ℎ𝑣) với mọi gia tử ℎ ∈ 𝐻. Với điều kiện tập 𝐻+ ∪ {𝐼} và 𝐻 − ∪ {𝐼} sắp thứ tự tuyến tính với I là gia tử đơn vị thì 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử tuyến tính. Ví dụ 1.2. Xét đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑇𝑟𝑢𝑒, 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒}, 𝐻, ≤) với H={Very, More, Probably, Mol} thì chúng ta có: i) Very và More là dương đối với Very và More, và là âm đối với Probably và Mol; ii) Probably và Mol là âm đối với Very và More và là dương đối với Probably và Mol; Tập H được phân thành 𝐻 + = {𝑉𝑒𝑟𝑦, 𝑀𝑜𝑟𝑒} và 𝐻 − = {𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦, 𝑀𝑜𝑙 } . Trong 𝐻 + ∪ {𝐼} chúng ta có 𝑉𝑒𝑟𝑦 > 𝑀𝑜𝑟𝑒 > 𝐼 và trong 𝐻 − ∪ {𝐼} chúng ta có 𝑀𝑜𝑙 < 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑦 < 𝐼. Cho phần tử 𝑢 ∈ 𝑋, biểu thức ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 được gọi là một biểu diễn chính tắc của 𝑥 đối với 𝑢 nếu 𝑥 = ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 và ℎ𝑖 … ℎ1 𝑢 ≠ ℎ𝑖−1 … ℎ1 𝑢 với 𝑖 nguyên và 𝑖 ≤ 𝑛. Ta gọi độ dài của 𝑥 (ký hiệu |𝑥 |) là số gia tử trong biểu diễn chính tắc của nó đối với phần tử sinh cộng thêm 1. Cho 𝑥 = 𝜎𝑐 , với 𝜎 ∈ 𝐻 ∗ , 𝑐 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } , chúng ta gọi 𝑦 = 𝜎𝑐′ với 𝑐′ ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } và 𝑐′ ≠ 𝑐 là phần tử đối nghịch của phần tử 𝑥, ký hiệu 𝑦 = −𝑥. Khi đó chúng ta có định nghĩa đại số gia tử đối xứng: Định nghĩa 1.7. Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), với 𝐺={𝑐 + , 𝑐 − }, được gọi là đối xứng nếu mọi phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 có duy nhất một phần tử đối nghịch -𝑥 ∈ 𝑋. Mệnh đề 1.1. [110] Cho đại số gia tử 𝐻𝐴 tuyến tính. Giả sử 𝑥 = ℎ𝑛 … ℎ1 𝑢 và 𝑦 = 𝑘𝑚 … 𝑘1 𝑢 là hai biểu diễn đối với 𝑢. Khi đó, nếu tồn tại một chỉ số 𝑗 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛} + 1 để với mọi 𝑖 < 𝑗, chúng ta có ℎ𝑖 = 𝑘𝑖 thì: 1) 𝑥 < 𝑦 nếu và chỉ nếu ℎ𝑗 𝑥𝑗 < 𝑘𝑗 𝑥𝑗 , ở đây 𝑥𝑗 = ℎ𝑗–1 … ℎ1 𝑢 2) 𝑥 = 𝑦 nếu và chỉ nếu 𝑛 = 𝑚 = 𝑗 và ℎ𝑗 𝑥𝑗 = 𝑘𝑗 𝑥𝑗 Mệnh đề 1.2. [110] Cho đại số gia tử tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤), thì các phần tử trong X được sắp xếp thứ tự tuyến tính. Định nghĩa 1.8. Lấy 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, chúng ta định nghĩa ∨, ∧ và → như sau: 𝑥 ∨ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝑦); 𝑥 → 𝑦 = −𝑥 ∨ 𝑦 6 1.2.2 Đại số gia tử đơn điệu Định nghĩa 1.9. (𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴) Đại số gia tử đối xứng tuyến tính 𝐻𝐴 = (𝑋, 𝐺, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử đơn điệu nếu với mỗi ℎ ∈ 𝐻 + (𝐻 − ) là dương với tất cả 𝑘 ∈ 𝐻 + (𝐻 − ) và âm đối với 𝑘 ∈ 𝐻 − (𝐻 + ). Chúng ta giả thiết rằng, cả hai tập 𝐻 + ∪ {𝐼} và 𝐻 − ∪ {𝐼} là tuyến tính. Tuy nhiên, tập 𝐻 ∪ {𝐼} không được sắp thứ tự tuyến tính, chẳng hạn trong Ví dụ 1.2. 𝑉𝑒𝑟𝑦 ∈ 𝐻 + và 𝑀𝑜𝑙 ∈ 𝐻 − là không so sánh được. Vì vậy, chúng ta mở rộng quan hệ thứ tự trong 𝐻 + ∪ {𝐼} và 𝐻 − ∪ {𝐼} đến quan hệ thứ tự (≥𝐻 ) trong 𝐻 ∪ {𝐼} như sau: Định nghĩa 1.10. Cho ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼}, ta có ℎ ≥𝐻 𝑘 khi và chỉ khi thỏa mãn một trong 3 điều kiện sau: i) ℎ ∈ 𝐻 + và 𝑘 ∈ 𝐻 − ii) ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 + ∪ {𝐼 } và ℎ ≥ 𝑘 iii) ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 − ∪ {𝐼 } và 𝑘 ≥ ℎ Ký hiệu ℎ >𝐻 𝑘 khi và chỉ khi ℎ ≥𝐻 𝑘 và ℎ ≠ 𝑘 ����� Định nghĩa 1.11. Cho 𝛿 = ℎ𝑛 … ℎ1 , 𝜎 = 𝑘𝑚 … 𝑘1 với ℎ𝑖 , 𝑘𝑗 ∈ 𝐻 ∪ {𝐼 }, 𝑖 = 1, 𝑛, 𝑗 = ������ 1, 𝑚, ta có δ ≥𝐻 σ khi và chỉ khi ∃𝑖 ≤ min{𝑚, 𝑛} : ℎ𝑗 = 𝑘𝑗 , ∀𝑗 < 𝑖 sao cho một trong 3 điều kiện sau thỏa mãn: i) ℎ𝑖 ≥𝐻 𝑘𝑖 với ℎ𝑖 , 𝑘𝑖 ∈ 𝐻 với 𝑖 ≤ min{𝑚, 𝑛} ii) Nếu 𝑖 = 𝑚 thì ℎ𝑚+1 ≥𝐻 𝐼 iii) Nếu 𝑖 = 𝑛 thì 𝐼 ≥𝐻 𝑘𝑛+1 Ký hiệu 𝛿 >𝐻 𝜎 khi và chỉ khi 𝛿 ≥𝐻 𝜎 và 𝛿 ≠ 𝜎 Như vậy, đại số gia tử đơn điệu là một lớp đặc biệt trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính, với quan hệ thứ tự mở rộng ≥𝐻 . Khi đó một ĐSGT là tuyến tính nếu (𝐻, ≥𝐻 ) và (𝐺, ≤) là các tập sắp thứ tự tuyến tính. Ví dụ 1.3. Cho đại số gia tử trong Ví dụ 1.2. được gọi là đại số gia tử đơn điệu bởi vì 𝑉 và 𝑀 là dương đối với 𝑉 và 𝑀, là âm đối với 𝑃 và 𝑀𝑜𝑙. Tương tự 𝑃 và 𝑀𝑜𝑙 cũng là dương với 𝑃 và 𝑀𝑜𝑙, là âm với 𝑉 và 𝑀. Từ đó ta có: 𝑉 >𝐻 𝑀 >𝐻 𝐼 >𝐻 𝑃 >𝐻 𝑀𝑜𝑙.Mệnh đề 1.3. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 − , 𝑐 + }, 𝐻, ≤) với các gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì: ℎ ≥ℎ 𝑘 ⟺ ℎ𝜎𝑐 + ≥ 𝑘𝜎𝑐 + Hệ quả 1.1. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) với các gia tử ℎ, 𝑘 ∈ 𝐻 thì: ∀ℎ ∈ 𝐻 + , 𝑘 ∈ 𝐻 − thì ℎ𝜎𝑐 + ≥ 𝜎𝑐 + và 𝑘𝜎𝑐 + ≤ 𝜎𝑐 + Mệnh đề 1.4. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤ ) với gia tử ℎ ∈ 𝐻 và các xâu gia tử 𝜎1 , 𝜎2 ∈ 𝐻 ∗ thì: 𝜎1 𝑐 + ≥ 𝜎2 𝑐 + ⟺ 𝜎1 ℎ𝑐 + ≥ 𝜎2 ℎ𝑐 + Mệnh đề 1.5. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) với gia tử ℎ ∈ 𝐻, các xâu gia tử 𝜎1 , 𝜎2 ∈ 𝐻 ∗ và 𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝐺 thì: 𝜎1 𝑐1 ≥ 𝜎2 𝑐2 ⟺ 𝜎1 ℎ𝑐1 ≥ 𝜎2 ℎ𝑐2 Theo Mệnh đề 1.5. chúng ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.2. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤ ) với các xâu gia tử 𝜎1 , 𝜎2 , 𝛿 ∈ 𝐻 ∗ và các phần tử sinh 𝑐1 , 𝑐2 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } 𝜎1 𝑐1 ≥ 𝜎2 𝑐2 ⟺ 𝜎1 𝛿𝑐1 ≥ 𝜎2 𝛿𝑐2 1.2.3 Ánh xạ ngược của gia tử Một câu không chắc chắn có thể biểu diễn được dưới dạng 𝑝(𝑥, 𝑢) trong đó 𝑥 là biến ngôn ngữ, 𝑢 là một khái niệm mờ và 𝑝 là quan hệ kết hợp hai thành phần đó. Khi đó câu “Nam studies very well” có thể được biểu diễn dưới dạng Study(Nam, VeryWell). Khi đó, một khẳng định mơ hồ của tri thức con người có thể được biểu diễn dưới dạng (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝑡) trong đó 𝑝(𝑥, 𝑢) là một câu mơ hồ và 𝑡 là độ tin cậy hay giá trị chân lý của câu đó. Chẳng hạn một 7 khẳng định “It is More true that Nam studies very well” có thể được biểu diễn trong cơ sở tri thức dưới dạng “(Study(Nam, VeryWell), More True). Theo L. A. Zadeh [7], việc đánh giá các câu dưới đây có thể được xem xét bởi việc xấp xỉ ngữ nghĩa tương đương: “It is very true that Lucia is young” và “It is true that Lucia is very young”. Điều này có nghĩa là chúng ta có (young(Lucia),VeryTrue) thì chúng ta cũng có (Very young(Lucia),True), do đó gia tử Very có thể được dịch chuyển từ miền giá trị chân lý đến vị từ mờ. Đây chính là quy tắc chuyển gia tử RT2: RT2: (𝑝(𝑥; 𝑢), 𝛿ℎ𝑐) ⇔ (𝑝(𝑥; ℎ𝑢), 𝛿𝑐) được nghiên cứu bởi N. C. Ho, T. D. Khang, H. V. Nam, N. H. Chau [111, 112] cho việc áp dụng đại số gia tử giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn ngữ tự nhiên. Tuy nhiên, các phép chuyển gia tử nói trên lại không áp dụng được trong một số trường hợp, chẳng hạn, từ giá trị chân lý của câu “John is Young” là “VeryTrue”, ta không thể tính được giá trị chân lý của câu “John is MoreYoung”. Để khắc phục hạn chế trên, T. D. Khang, D. K. Dung và L.V. Hung đã đề xuất và nghiên cứu ánh xạ ngược của gia tử [2, 113, 114]. Định nghĩa 1.12. Xét đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) và gia tử ℎ ∈ 𝐻. Một ánh xạ ℎ− : 𝑋 ⟶ 𝑋 được gọi là ánh xạ ngược của ℎ nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ℎ− (𝛿ℎ𝑐) = 𝛿𝑐 trong đó 𝑐 ∈ 𝐺 = {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝛿 ∈ 𝐻 ∗ 2) 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ ℎ− (𝑥 ) ≤ ℎ− (𝑦) trong đó 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 Trong trường hợp ánh xạ ngược của một chuỗi gia tử, chúng ta xác định dựa trên ánh xạ ngược của các gia tử đơn lẻ như sau: (ℎ𝑘 ℎ𝑘−1 … ℎ1 )− (𝛿𝑐) = ℎ𝑘 − (… (ℎ1 − (𝛿𝑐) … ) Khi đó quy tắc RT2 khi thay 𝜎ℎ bằng một chuỗi gia tử 𝛿 bất kỳ, không cần thiết phải kết thúc bởi ℎ, ta có quy tắc GRT2 như sau: (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) GRT2: − (𝛿𝑐)� �𝑝(𝑥,ℎ𝑢),ℎ Quy tắc GRT2 đã khắc phục được nhược điểm đã nêu ra ở trên. Mệnh đề 1.6. [113] Cho đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤ ), một chuỗi gia tử δ và ánh xạ ngược của nó 𝛿 − và 𝑐1 , 𝑐2 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } thì: 𝜎1 𝑐1 ≥ 𝜎2 𝑐2 ⟺ 𝛿 − (𝜎1 𝑐1 ) ≥ 𝛿 − (𝜎2 𝑐2 ) Ánh xạ ngược của gia tử đã được đưa ra lần đầu tiên bởi T. D. Khang, D. K. Dung [113], với điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.12 có quan hệ thứ tự chặt (>), khi đó nếu chuỗii gia tử có độ dài tiến đến vô hạn thì đôi lúc giá trị của ánh xạ ngược được tập trung về hai phía của miền giá trị chân lý ngôn ngữ. Để khắc phục nhược điểm này, trong [2] các tác giả T. D. Khang, D. K. Dung và L. V. Hung đã định nghĩa lại ánh xạ ngược của gia tử với điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.12 với quan hệ thứ tự không chặt (≥) và chỉ xét trong trường hợp chuỗi gia tử có độ dài hữu hạn. Một phiên bản khác của ánh xạ ngược của gia tử đã được V. H. Le, F. Liu, T. D. Khang [114] định nghĩa cho đại số gia tử tuyến tính đối xứng với điều kiện (1) trong Định nghĩa 1.12 lỏng hơn (ℎ− (ℎ𝑐 + ) = 𝛿𝑐 + ) và xét thêm quan hệ giữa các gia tử lấy ánh xạ ngược đồng thời đã chứng minh được sự tồn tại của ánh xạ ngược. Tuy nhiên, khi nghiên cứu quy tắc chuyển gia tử trong xử lý thông tin mờ, T. Đ. Khang [1] đã chỉ ra quy tắc chuyển gia tử không thỏa tính chất bao hàm khi thực hiện với lớp đại số gia tử tổng quát và đã đề xuất lớp đại số gia tử đơn điệu cho các quy tắc chuyên gia tử. Chính vì vậy, để khắc phục các nhược điểm của ánh xạ ngược của gia tử đã được nghiên cứu trong [2, 113], chúng tôi nghiên cứu các tính chất của ánh xạ ngược được định nghĩa bởi Định nghĩa 1.12 và xây dựng ánh xạ ngược của gia tử với lớp đại số gia tử đơn điệu trong trường hợp độ dài của chuỗi gia tử là hữu hạn. 8 1.2.4 Phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử Ký hiệu T(p) là tập các khái niệm mờ ứng với vị từ p và FP là tập các công thức với các phép toán logic AND (∧), OR (∨), implication (⇒) và negation (¬). Mỗi phần tử của T(p) được ý hiệu bởi x, y, u, v và các phần tử của FP bởi F, P, Q, R, S,…. Tương tự như trong logic kinh điển, mỗi mệnh đề được gán bởi một giá trị chân lý “đúng” “sai” thì mỗi mệnh đề trong logic mờ ngôn ngữ sẽ được gán một giá trị chân lý ngôn ngữ để biểu đạt mức độ đúng của nó, ví dụ “Robert is studing hard is very true”. Như vậy, chúng ta đã nhúng các mệnh đề mờ cơ sở vào miền giá trị của biến ngôn ngữ Truth. Việc mở rộng phép gán này cho tập các công thức FP là yêu cầu tự nhiên và nó sẽ trở thành cơ sở để xác định mức độ đúng cho các mệnh đề kết luận trong quá trình lập luận ngôn ngữ. Định lý 1.1. [111] Với mọi công thức P, Q, R ∈ FP, mọi ℎ ∈ 𝐻 và mọi vị từ p: i) (¬𝑝, 𝑢) ⇔ (𝑝, −𝑢) và (𝑝, −ℎ𝑢) ⇔ (𝑝, ℎ − 𝑢) Dựa trên logic mệnh đề giá trị chân lý ngôn ngữ, chúng ta xây dựng được các quy tắc suy diễn giải bài toán lập luận trực tiếp trên ngôn ngữ. Cho một cơ sở tri thức K gồm một tập hữu hạn các khẳng định 𝐴 = ((𝑝; 𝑢), 𝑡) chúng ta có thể suy diễn được một khẳng định mới bởi việc dùng các quy tắc suy diễn dạng: (𝑃 ,𝑡 ),…,(𝑃 ,𝑡 ) (RUL) (𝑄 1 1),…,(𝑄𝑛 𝑛 ) 1 ,𝑠1 𝑚 ,𝑠𝑚 Với (𝑃𝑖 , 𝑡𝑖 ), 𝑡𝑖 > 𝑊, i=1, 2,…, n là các tiên đề và �𝑄𝑗 , 𝑠𝑗 �, 𝑠𝑗 > 𝑊, j=1, 2,…, m là các kết luận. CHƯƠNG 2: LẬP LUẬN NGÔN NGỮ DỰA TRÊN LOGIC ĐA TRỊ NGÔN NGỮ 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi đề xuất lớp đại số gia tử đơn điệu hữu hạn làm cơ sở để xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ. Khi đó, đề xuất phương pháp xây dựng ánh xạ ngược của gia tử trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ này được xem xét nghiên cứu. Dựa trên miền giá trị chân lý này, logic đa trị ngôn ngữ được đề xuất và nghiên cứu. Phương pháp lập luận dựa trên các quy tắc suy diễn cũng như phương pháp hợp giải trên logic đa trị ngôn ngữ được xây dựng và áp dụng giải bài toán lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn ngữ. 2.2 Miền giá trị chân lý ngôn ngữ 2.2.1 Miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn Định nghĩa 2.1. (Đại số gia tử đơn điệu hữu hạn) Đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) được gọi là đại số gia tử đơn điệu hữu hạn chính tắc, viết tắt là 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) nếu: i) 𝑋 hữu hạn, nghĩa là tồn tại 𝐿 sao cho ∀𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥 | ≤ 𝐿 + 1; ii) ∀𝑥 ∈ 𝑋\ℂ , với ℂ là tập các hằng, tức là ℂ = {0, 𝑊, 1} , sao cho 𝑥 = ℎ𝑙 ℎ𝑙−1 … ℎ1 𝑐, 𝑙 ≤ 𝐿 thì ℎ𝑙 ℎ𝑙−1 … ℎ1 𝑐 là biểu diễn chính tắc của 𝑥. Mệnh đề 2.1. Đại số gia tử đơn điệu 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) là một 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) khi và chỉ khi ∀𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥 | ≤ 𝐿, 𝑥 ∉ ℂ (hằng) thì 𝑥 không phải là điểm bất động. (Nghĩa là tập các điểm bất động của 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 gồm tập các hằng ℂ và các phần tử 𝑥 có độ dài 𝐿 + 1). Định nghĩa 2.2. (Miền giá trị chân lý ngôn ngữ) Một miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX lấy từ một 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) được xác định bởi AX=X∪{0,W,1} với 0, W, 1 là phần tử nhỏ nhất, trung hòa và lớn nhất trong AX. Theo Nguyen, C.H., Wechler, W.[110], chúng ta có: i) 0 < 𝑥 < 𝑊 < 𝑦 < 1 với mọi 𝑥 ∈ 𝐻(𝑐 − ), 𝑦 ∈ 𝐻 (𝑐 + ), ii) ℎ𝑊 = 𝑊, ℎ1 = 1, ℎ0 = 0, iii) −𝑊 = 𝑊, −1 = 0, −0 = 1 9 Ví dụ 2.1. Xét đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 2 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, {𝑉, 𝑀, 𝑃}, ≤) (V=Very; M=More; P=Possibly) (𝑃 ∈ 𝐻 − , 𝑀, 𝑉 ∈ 𝐻 + , 𝑀 < 𝑉). Chúng ta có miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX = { 0, VVc−,MVc−, Vc−, PVc−, VMc−, MMc−, Mc−, PMc−, c−, VPc−, MPc−, Pc−,PPc−, W, PPc+, Pc+, MPc+, VPc+, c+, PMc+, Mc+, MMc+, VMc+, PVc+, Vc+, MVc+, VVc+, 1}. Mệnh đề 2.1. Cho 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤), thì miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX là hữu hạn với số phần tử |𝐴𝑋| = 3 + 2 ∑𝐿𝑖=0|𝐻 |𝑖 và các phần tử của AX được sắp thứ tự tuyến tính. (Ký hiệu |𝐴𝑋| là số phần tử của AX và |𝐻 | là số các gia tử của H). Ví dụ 2.2. Theo Ví dụ 2.1, chúng ta có miền giá trị chân lý ngôn ngữ (được sắp xếp thứ tự tuyến tính) AX = {v1 = 0, v2 = VVc−, v3 =MVc−, v4 = Vc−, v5 = PVc−, v6 = VMc−, v7 = MMc−, v8 = Mc−, v9 =PMc−, v10 = c−, v11 = VPc−, v12 = MPc−, v13 = Pc−, v14 =PPc−, v15 = W, v16 = PPc+, v17 = Pc+, v18 = MPc+, v19 = VPc+, v20 = c+, v21 =PMc+, v22 = Mc+, v23 = MMc+, v24 = VMc+, v25 = PVc+, v26 =Vc+, v27 = MVc+, v28 = VVc+, v29 = 1}. Chúng ta có thuật toán xác định chỉ số (index) (Thuật toán 1) của v như sau: Thuật toán 1. (Finding index) Input: + Domain (Truth) of L-mono-HA is AX + += H − {h− q , …, h−1} H= {h1,…, hp } + x = lk lk −1...l1c with c ∈ {T , F } , k ≤ L Output: Finding index so that vindex=x Methods: i 𝑘 {1} M:=3+2* AX 0 ; /*�𝐴𝑋 𝑖 � = ∑𝐿−𝑖 𝑘=0(𝑝 + 𝑞) AX (0 ≤ i ≤ L) là tập chứa các phần tử y (có độ dài không vượt quá L) được sinh ra từ phần tử x = li li −1...l1c (có độ dài i) và kể cả x */ {2} if x=0 then index:=1; {3} if x=W then index:=(M+1)/2; {4} if x=1 then index=M; {5} index:=(M+1)/2+1; {6} for i:=1 to k { {7} find j such that li=hj /* j>0 then li∈H+ else li∈H- */ if j<0 then index:=index+(|q|+j)* AX i {8} else index:=index+(|q|+j-1)* AX i +1; {9} } {10} if k𝐻 𝑘 (ii) � − ℎ (𝛿𝑘𝑐 + ) ≥ 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + với ∀𝑘 thỏa 𝑘 >𝐻 ℎ ℎ− (𝛿𝑘𝑐 − ) ≥ 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 − với ∀𝑘 thỏa ℎ >𝐻 𝑘 (iii) � − ℎ (𝛿𝑘𝑐 − ) ≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 − với ∀𝑘 thỏa 𝑘 >𝐻 ℎ Định lý 2.2. Giả sử ℎ− là một ánh xạ ngược của gia tử ℎ, 𝑋 𝑢 là tập các giá trị ngôn ngữ có độ dài ≤ 𝑢, 𝐻𝑢−2 là tập các xâu gia tử có độ dài ≤ 𝑢 − 2. Ký hiệu ℎ−𝑞 , ℎ𝑝 tương ℎ𝑝 …�� ℎ𝑝 ℎ−𝑞 và 𝛿𝑚𝑎𝑥 = ứng là hai gia tử nhỏ nhất và lớn nhất trong 𝐻 thì 𝛿𝑚𝑖𝑛 = ℎ 𝑝��� �� ℎ ℎ𝑝 …�� ℎ𝑝 là hai xâu gia tử nhỏ nhất và lớn nhất trong 𝐻 𝑝��� �� 𝑢−2 𝑢−2 𝑢−3 . Đối với mỗi ℎ, với ∀𝜎 ∈ 𝐻 𝑢−2 , ∀𝑘1 , 𝑘1 ∈ 𝐻: 𝑘1 >𝐻 ℎ >𝐻 𝑘2 , ta luôn có: (i) ℎ− (𝜎𝑘1 𝑐 + ) ≥ 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + ≥ ℎ− (𝜎ℎ𝑐 + ) ≥ 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 + ≥ ℎ− (𝜎𝑘2 𝑐 + ) > 𝑊 (ii) ℎ− (𝜎𝑘1 𝑐 − ) ≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 − ≤ ℎ− (𝜎ℎ𝑐 − ) ≤ 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 − ≤ ℎ− (𝜎𝑘2 𝑐 − ) < 𝑊 2.2.2.2 Xác định ánh xạ ngược của gia tử Cho 𝑋 𝑢 là tập các giá trị ngôn ngữ có độ dài ≤ 𝑢. Sau đây ta sẽ đưa ra cách tiếp cận để có thể xây dựng các ánh xạ ngược của gia tử ℎ− : 𝑋 𝑢 ⟶ 𝑋 𝑢 với ℎ ∈ 𝐻 hay chúng ta cần xác định giá trị ℎ− (𝑥 ) ∈ 𝑋 𝑢 , ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 . Gọi p là số gia tử dương ℎ1 , … , ℎ𝑝 ∈ 𝐻 + và q là số gia tử âm ℎ−𝑞 , … , ℎ−1 ∈ 𝐻 − (ℎ𝑝 >𝐻 … >𝐻 ℎ1 >𝐻 𝐼 >𝐻 ℎ−1 >𝐻 … >𝐻 ℎ−𝑞 ), 𝛿𝑚𝑖𝑛 và 𝛿𝑚𝑎𝑥 là 2 xâu gia tử nhỏ nhất và lớn nhất trong 𝐻 𝑢−2 . Theo tính chất của ánh xạ ngược và tính chất của đại số gia tử ta có nhận xét sau: - Do tính chất đối xứng của miền giá trị của ánh xạ ngược, chúng ta chỉ cần xác định ánh xạ ngược cho các phần tử kế thừa từ 𝑐 + , rồi lấy đối xứng cho 𝑐 − . - Miền xác định của các ánh xạ ngược ứng với các phần tử 𝑐 + có: (𝑝 + 𝑞)0 + (𝑝 + 𝑞)1 + ⋯ + (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 phần tử. Điều này dễ dàng chứng minh được, vì số phần tử có độ dài 1 kế thừa từ 𝑐 + là 1 (chính là 𝑐 + ), số phần tử có độ dài 2 là (𝑝 + 𝑞) có dạng ℎ𝑐 + ,… tiếp tục quy nạp cho đến số phần tử có độ dài u kế thừa từ 𝑐 + là (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 . - Từ điều kiện ℎ− (𝛿ℎ𝑐) = 𝛿𝑐, có thể xác định được ngay giá trị của ánh xạ ngược của (𝑝 + 𝑞)0 + (𝑝 + 𝑞)1 + ⋯ + (𝑝 + 𝑞)𝑢−2 phần tử có dạng 𝛿ℎ𝑐 + , còn lại (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 giá trị cần thỏa mãn điều kiện trong Định lý 2.2. 11 Theo Định lý 2.2, ứng với ánh xạ ngược của gia tử lớn nhất ℎ𝑝 (ví dụ, 𝑉 − ), ta cần (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 giá trị phân biệt có ngữ nghĩa nhỏ hơn so với 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 + ∈ 𝑋 𝑢−1 , và ứng với ánh xạ ngược của gia tử nhỏ nhất ℎ−𝑞 (ví dụ, 𝑃− ), cần có (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 giá trị phân biệt có ngữ nghĩa lớn hơn so với 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + ∈ 𝑋 𝑢−1 . Theo tính chất của ĐSGT, có 𝑝 + 1 phần tử ≥ 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + , và có 𝑞 + 1 phần tử ≤ 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 + . Vì vậy, việc xác định ánh xạ ngược ℎ𝑝− là gán (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền xác định), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑖𝑛 ℎ−𝑞 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝−1 𝑐 + ] với 𝑞 + 1 phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền giá trị), 𝑥 ∈ − [𝛿𝑚𝑖𝑛 ℎ−𝑞 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 + ]. Tương tự, việc xác định ánh xạ ngược ℎ−𝑞 là gán (𝑝 + 𝑞)𝑢−1 phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền xác định), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑖𝑛 ℎ−𝑞+1 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝 𝑐 + ] với 𝑝 + 1 phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền giá trị), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝 𝑐 + ]. Trong trường hợp xác định ánh xạ ngược của ℎ𝑖− với ℎ𝑝 >𝐻 ℎ𝑖 >𝐻 ℎ−𝑞 , theo Định lý 2.2. chúng ta cần thực hiện phép gán các phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền xác định), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑖𝑛 ℎ𝑖+1 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝 𝑐 + ] với các phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền giá trị), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝 𝑐 + ] và các phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền xác định), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑖𝑛 ℎ−𝑞 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑖𝑛 𝑐 + ] với các phần tử 𝑥 ∈ 𝑋 𝑢 (Miền giá trị), 𝑥 ∈ [𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐 + , 𝛿𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑝 𝑐 + ]. Thuật toán 2. (Xây dựng ánh xạ ngược của gia tử) Input: + Domain (Truth) of L-mono-HA is AX = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑀 } + += H − {h− q , …, h−1} ; H= {h1,…, hp }, ℎ ∈ 𝐻 = 𝐻+ ∪ 𝐻− Output: ℎ− (𝑥) với 𝑥 ∈ 𝐴𝑋. Methods: ℎ− (𝑣1 ): = 0; ℎ− (𝑣𝑀 ): = 1; ℎ− �𝑣(𝑀+1)/2 �: = 𝑊; + Min:=index(ℎ ℎ��� −𝑞� −𝑞 …�ℎ −𝑞 ℎ𝑐 );/*Áp dụng Thuật toán 1*/ �� �� 𝐿−1 Max:=index(ℎ ℎ𝑝 …�� ℎ𝑝 ℎ𝑐 + ); 𝑝��� �� 𝐿−1 For i:=Min to Max /*Giả sử 𝑣𝑖 = ℎ𝑙 ℎ𝑙−1 … ℎ2 ℎ𝑐 + ,l≤L */ ℎ− (𝑣𝑖 ): = ℎ𝑙 ℎ𝑙−1 … ℎ2 𝑐 + ; If ℎ > ℎ−𝑞 then { 𝑀+1 𝑘1 ≔ + 1; 𝑘2 ≔ Min − 1; 2 𝑀+1 + 𝑘3 ≔ + 1; 𝑘4 ≔ index(ℎ ℎ��� −𝑞� −𝑞 …�ℎ −𝑞 𝑐 ) − 1; �� �� 2 𝑘2 −𝑘1 +1 𝑘𝑘 ≔ INT �𝑘 4 −𝑘3 �; +1 𝐿−1 Dem:=0;j:=0;/*Tính ℎ− �𝑣𝑘1 �, … , ℎ− �𝑣𝑘2 � bằng 𝑣𝑘3 , … , 𝑣𝑘4 */ For i:=𝑘1 to 𝑘2 { dem:=dem+1; ℎ− (𝑣𝑖 ): = 𝑣𝑘3 +𝑗 ; If dem mod kk=0 then j:=j+1; } } If ℎ < ℎ𝑝 then 12 { 𝑘1 ≔ Max + 1; 𝑘2 ≔ M − 1; 𝑘3 ≔ index �ℎ ℎ𝑝 …�� ℎ𝑝 𝑐 + � + 1; 𝑘4 ≔ M − 1; 𝑝��� �� 𝐿−1 𝑘2 −𝑘1 +1 𝑘𝑘 ≔ INT �𝑘 �; 4 −𝑘3 +1 Dem:=0;j:=0;/*Tính ℎ− �𝑣𝑘1 �, … , ℎ− �𝑣𝑘2 � bằng 𝑣𝑘3 , … , 𝑣𝑘4 */ For i:=𝑘1 to 𝑘2 { dem:=dem+1; ℎ− (𝑣𝑖 ): = 𝑣𝑘3 +𝑗 ; If dem mod kk=0 then j:=j+1; } } For i:=2 to (M+1)/2-1 ℎ− (𝑣𝑖 ): = 𝑣𝑀+1−𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥(ℎ−(𝑣𝑀−𝑖+1 )) ; Return ℎ− (𝑥); Trong luận án, để áp dụng cho các nghiên cứu tiếp theo, sử dụng Thuật toán 2 chúng tôi xây dựng một ví dụ cho lớp ánh xạ ngược của gia tử trong 2 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, {𝑉, 𝑀, 𝑃}, ≤) thỏa mãn Định nghĩa 1.12. Bảng 2.2. Ánh xạ ngược của 2 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 Miền xác định 1 𝑉𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑉𝑐 + 𝑃𝑉𝑐 + 𝑉𝑀𝑐 + 𝑀𝑀𝑐 + 𝑀𝑐 + 𝑃𝑀𝑐 + 𝑐+ 𝑉𝑃𝑐 + 𝑀𝑃𝑐 + 𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑊 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑐 − 𝑀𝑃𝑐 − 𝑉𝑃𝑐 − 𝑐− 𝑃𝑀𝑐 − 𝑀𝑐 − 𝑀𝑀𝑐 − 𝑉𝑀𝑐 − 𝑃𝑉𝑐 − 𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 0 𝑉− 1 𝑉𝑐 + 𝑀𝑐 + 𝑐+ 𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑊 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑐 − 𝑐− 𝑀𝑐 − 𝑉𝑐 − 0 𝑀− 1 𝑉𝑉𝑐 + 𝑉𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑉𝑐 + 𝑀𝑐 + 𝑐+ 𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑃𝑃𝑐 + 𝑊 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑃𝑐 − 𝑃𝑐 − 𝑐− 𝑀𝑐 − 𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 0 𝑃− 1 𝑉𝑉𝑐 + 𝑉𝑉𝑐 + 𝑉𝑉𝑐 + 𝑉𝑉𝑐 + 𝑉𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑀𝑉𝑐 + 𝑉𝑐 + 𝑀𝑐 + 𝑐+ 𝑃𝑐 + 𝑊 𝑃𝑐 − 𝑐− 𝑀𝑐 − 𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑀𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 𝑉𝑉𝑐 − 0 13 2.3 Logic đa trị ngôn ngữ (Linguistic many-valued logic) 2.3.1 Đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ (Lukasiewicz linguistic-valued algebra) Định nghĩa 2.3. [21] (Đại số Lukasiewicz). Cấu trúc ℒ = ([0,1],∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → ,0,1) được gọi là đại số Lukasiewicz trên miền [0,1] với các giá trị thuộc đoạn [0,1] và 0 là phần tử nhỏ nhất, 1 là phần tử lớn nhất và các phép toán ∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → được định nghĩa như sau: i) 𝑎∧𝑏=𝑚𝑖𝑛(𝑎,𝑏) ii) 𝑎∨𝑏=𝑚𝑎𝑥(𝑎,𝑏) iii) 𝑎 → 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛(1,1 − 𝑎 + 𝑏) iv) ¬𝑎 = 1 − 𝑎 v) 𝑎 ⊗ 𝑏 = max(0, 𝑎 + 𝑏 − 1) vi) 𝑎 ⨁ 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛(1, 𝑎 + 𝑏) với 𝑎, 𝑏 ∈ [0,1]. Chúng ta có miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤) là hữu hạn và được sắp xếp thứ tự tuyến tính, hay: 𝐴𝑋 = �𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑣1 = 0, 𝑣𝑛 = 1 𝑎𝑛𝑑 ∀ 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛: 𝑣𝑖 ≥ 𝑣𝑗 ⟺ 𝑖 ≥ 𝑗� Dựa trên Định nghĩa 2.3. chúng ta mở trộng miền gía trị [0,1] cho miền giá trị ngôn ngữ AX. Khi đó chúng ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4. (Đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ). Cấu trúc ℒ𝑛 = (𝐴𝑋,∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → ,0,1) được gọi là đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ trên miền AX với các giá trị thuộc miền AX và 0 là phần tử nhỏ nhất, 1 là phần tử lớn nhất và các phép toán ∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → được định nghĩa như sau: i) 𝑣𝑖 ⋁ 𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑎𝑥{𝑖,𝑗} ii) 𝑣𝑖 ⋀ 𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑖𝑛{𝑖,𝑗} iii) ¬𝑣𝑖 = 𝑣𝑛−𝑖+1 iv) 𝑣𝑖 →𝐿 𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑖𝑛{𝑛,𝑛−𝑖+𝑗} v) 𝑣𝑖 ⨂𝑣𝑗 = 𝑣1 ∨ 𝑣𝑖+𝑗−𝑛 vi) 𝑣𝑖 ⨁𝑣𝑗 = 𝑣𝑛 ⋀ 𝑣𝑖+𝑗 với 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ∈ 𝐴𝑋 Phép toán quan hệ tương đương trên ℒ𝑛 được định nghĩa như sau: 𝑣𝑖 ↔ 𝑣𝑗 =𝑑𝑓 (𝑣𝑖 → 𝑣𝑗 ) ∧ (𝑣𝑗 → 𝑣𝑖 ) 2.3.2 Logic đa trị ngôn ngữ (Linguistic many-valued logic) 2.3.2.1 Cú pháp và ngữ nghĩa của logic đa trị ngôn ngữ Logic đa trị ngôn ngữ là một mở rộng của logic đa trị bằng việc mở rộng miền giá trị chân lý [0,1] thành miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX, với AX được xây dựng dựa trên đại số gia tử đơn điệu hữu hạn 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤). Trong logic đa trị ngôn ngữ, miền giá trị chân lý AX được xác định: 𝐴𝑋 = �𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑣1 = 0, 𝑣𝑛 = 1 và ∀𝑖, 𝑗: 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 thì 𝑣𝑖 ≥ 𝑣𝑗 ⟺ 𝑖 ≥ 𝑗� Như đã trình bày trong Chương 1, một phần tử cơ sở của tri thức con người gồm hai thành phần: một câu mờ và giá trị chân lý của câu mờ đó. Các câu chứa khái niệm mờ gọi là các mệnh đề mờ. Ví dụ như câu “Robert study hard”, “Mary is young”,… là các mệnh đề mờ hay tổng quát là các vị từ mờ. Như vậy, một cách hình thức mỗi mệnh đề mờ cơ sở là một cặp 𝑝(𝑥, 𝑢) với 𝑝 là một vị từ n-ngôi, 𝑥 là một biến và 𝑢 là một khái niệm mờ, chẳng hạn Study(Robert,hard), Age(Mary,young). Nói chung, một khẳng định mờ là một cặp 𝐴 = (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝑡), ở đây 𝑝(𝑥, 𝑢) là một câu mờ và t là độ tin cậy hay là giá trị chân lý của câu đó. 14 Tương tự như logic mệnh đề ngôn ngữ đã trình bày trong Chương 1, trong logic đa trị ngôn ngữ, một khẳng định là một cặp 𝐴 = (𝑝(𝑥, 𝑢), 𝛿𝑐) (Ký hiệu là (𝐴, 𝑣)), với 𝑝(𝑥, 𝑢) là một khái niệm mờ, δ là một xâu gia tử, 𝛿𝑐 là một giá trị chân lý ngôn ngữ và 𝛿𝑐 ∈ 𝐴𝑋. Xét ngôn ngữ 𝓛𝐿 cho phép toán vị từ ngôn ngữ bao gồm: - Ký hiệu PR là tập tất cả các vị từ p, tập các khái niệm mờ của nó sẽ được nhúng vào một đại số gia tử đơn điệu hữu hạn chuẩn tắc 𝐿 − 𝑀𝑜𝑛𝑜 − 𝐻𝐴 = (𝑋, {𝑐 + , 𝑐 − }, 𝐻, ≤), 𝐂 là tập các khái niệm mờ cơ sở, H(p) là tập các xâu gia tử, phép toán “–“ ký hiệu phần bù của u là –u, D(p) là miền ngôn ngữ có thể được biểu diễn bởi (𝐃(𝑝), 𝐂, 𝐇(𝑝), −). Chúng ta xét tập ký hiệu SYM bao gồm các phần tử của 𝐂, 𝐇(𝑝) và của ký hiệu “– “. Chúng ta ký hiệu TS là tập tất cả các chuỗi ký hiệu trong SYM. Tập các số hạng tương ứng với miền D(p) được định nghĩa như là tập con nhỏ nhất TER(p) của TS thỏa mãn các điều kiện sau: (t1) C ⊆ TER(𝑝); (t2) ℎ𝑢 ∈ TER(𝑝) với bất kỳ ℎ ∈ H(𝑝) và 𝑢 ∈ TER(𝑝); (t3) −𝑢 ∈ TER(𝑝) với bất kỳ 𝑢 ∈ TER(𝑝) Ký hiệu Var và Con là các biến và hằng tương ứng, PR là tập các vị từ. Kí hiệu các phần tử trong PR là các chữ cái thường p, q, r,… Một miền ngôn ngữ D(p) là các liên kết với mỗi phần tử p của PR. Các phép toán logic là ∧,∨, &, ∇, ¬, ⇒ (Với & (Linguistic Lukasiewicz conjunction), ∇ (Linguistic Lukasiewicz disjunction)). - Ký hiệu TF là tập tất cả các phần tử trong SYM, trong PR và các liên kết logic. Tập các công thức FP là tập con nhỏ nhất của TF thỏa các điều kiện sau: (p1) 𝑝(𝑥, 𝑢) ∈ 𝐅𝐏 với mọi p trong PR và u trong TER(p), hay FP chứa tất cả các câu mờ cơ sở. Với 𝑃 = 𝑝(𝑥, 𝑢) ∈ 𝐅𝐏, ℎ ∈ 𝐻 ta viết ℎ𝑃 = ℎ𝑝(𝑥, 𝑢) thay vì 𝑝(𝑥, ℎ𝑢). (p2) (𝑃 ∧ 𝑄) ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P, Q trong FP; (p3) (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P, Q trong FP; (p3) (𝑃&𝑄) ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P, Q trong FP; (p4) (𝑃∇𝑄) ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P, Q trong FP; (p5) (𝑃 ⇒ 𝑄) ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P, Q trong FP; (p6) ¬𝑃 ∈ 𝐅𝐏 với bất kỳ P trong FP. Như vậy, 𝐅𝐏 là tập bé nhất chứa các mệnh đề cơ sở và đóng với các phép toán logic ∧,∨, &, ∇, ¬, ⇒. - Tập các khẳng định 𝐀 là tập của tất cả chuỗi ký hiệu dạng (𝑃, 𝑡), với 𝑃 ∈ 𝐅𝐏 và 𝑡 ∈ ℒ𝑛 . Cho mọi 𝐴 = (𝑃, 𝑡) ∈ 𝐀 với 𝑡𝑟𝑢𝑡ℎ(𝐴) ≥ 𝑡, lấy K là tập con của 𝐀, chúng ta ký hiệu FP(K) là tập {𝑃: (𝑃, 𝑡) ∈ 𝐊}. Khi đó một cơ sở tri thức được hiểu là một tập con K của 𝐀. Tương tự như trong logic kinh điển, mỗi mệnh đề cơ sở được gán một giá trị chân lý “𝑇𝑟𝑢𝑒” hoặc “𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒”, mỗi mệnh đề cơ sở trong logic mờ sẽ được gán một giá trị chân lý ngôn ngữ để biểu đạt mức độ đúng của nó. Như vậy chúng ta đã gán các mệnh đề mờ cơ sở vào miền giá trị của biến ngôn ngữ 𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ. Chúng ta mở rộng phép gán này cho tập các công thức FP để xác định mức độ đúng cho các mệnh đề kết luận trong quá trình lập luận ngôn ngữ. Cho đại số ngôn ngữ Lukasiewicz ℒ𝑛 = (𝐴𝑋,∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → ,0,1) của biến ngôn ngữ 𝑇𝑟𝑢𝑡ℎ. Ánh xạ 𝑉: 𝐹𝑃 ⟶ ℒ𝑛 được gọi là một hàm định giá trên ℒ𝑛 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Nếu 𝑃 = 𝑝(𝑥, 𝑢) là mệnh đề cơ sở thì 𝑉(𝑃) luôn xác định, hơn nữa 𝑉(¬�𝑝(𝑥, 𝑢)�) = 𝑉(𝑝(𝑥, −𝑢)). 2) Nếu 𝑉 (ℎ𝑃) = 𝛿𝑐 thì 𝑉 (𝑃) = 𝛿ℎ𝑐 với 𝑐 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − }. 3) Nếu 𝑉 (𝑃) = 𝛿𝑐 thì 𝑉 (ℎ𝑃) = ℎ− (𝛿𝑐) với 𝑐 ∈ {𝑐 + , 𝑐 − } và ℎ− là ánh xạ ngược của gia tử ℎ. 4) Với mọi công thức 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐅𝐏 và 𝑉(𝑃) và 𝑉(𝑄) xác định thì 15 i) 𝑉 (𝑃&𝑄 ) = 𝑉(𝑃)⨂ 𝑉(𝑄), ii) 𝑉 (𝑃 ∧ 𝑄 ) = 𝑉(𝑃) ∧ 𝑉(𝑄), iii) 𝑉 (𝑃∇𝑄 ) = 𝑉(𝑃)⨁𝑉 (𝑄 ), iv) 𝑉 (𝑃 ∨ 𝑄 ) = 𝑉(𝑃) ∨ 𝑉(𝑄), v) 𝑉 (𝑃 ⇒ 𝑄 ) = 𝑉(𝑃) → 𝑉(𝑄), vi) 𝑉 (¬𝑃) = ¬𝑉(𝑄). Hai công thức 𝑃 và 𝑄 được gọi là tương đương, ký hiệu 𝑃 ≡ 𝑄 nếu với mọi phép định giá 𝑉, khi 𝑉(𝑃) và 𝑉(𝑄) xác định thì 𝑉 (𝑃) = 𝑉(𝑄). 2.3.2.2 Hệ cơ sở tri thức Gọi 𝒜(𝐅𝐏) là tập các khẳng định trên tập công thức 𝐅𝐏. Một cơ sở tri thức 𝐾 ⊆ 𝒜(𝐅𝐏) trong logic đa trị ngôn ngữ là một tập hữu hạn các khẳng định (𝑃, 𝑣). Tri thức K được gọi là phi mâu thuẩn, nếu ∀𝐴 = (𝐹, 𝑡) ∈ 𝐾 thì 𝑡 ≥ 𝑊 và ∃𝑉, một định giá, sao cho ∀𝐴 = (𝐹, 𝑡) ∈ 𝐾 ta có 𝑉(𝐴) ≥ 𝑡. Cho một cơ sở tri thức phi mâu thuẩn K gồm một tập hữu hạn các khẳng định, chúng ta có thể suy diễn một khẳng định mới nhờ việc dùng phương pháp lập luận dựa trên các quy tắc suy diễn hoặc phương pháp hợp giải. 2.3.2.3 Quy tắc suy diễn và giá trị chân lý của một chứng minh Định nghĩa 2.5. (Quy tắc suy diễn) Một quy tắc suy diễn n ngôi 𝑟 trong logic đa trị ngôn ngữ có dạng: (𝑃1 , 𝑣1 ), … , (𝑃𝑛 , 𝑣𝑛 ) 𝑟: 𝑠𝑦𝑛 (𝑟 (𝑃1 , … , 𝑃𝑛 ), (𝑟 𝑒𝑣𝑙 (𝑣1 , … , 𝑣𝑛 )) Từ các biểu thức đánh giá của các tiền đề (𝑃1 , 𝑣1 ), … , (𝑃𝑛 , 𝑣𝑛 ) suy ra biểu thức 𝑠𝑦𝑛 (𝑟 (𝑃1 , … , 𝑃𝑛 ), (𝑟 𝑒𝑣𝑙 (𝑣1 , … , 𝑣𝑛 )). Toán tử cú pháp 𝑟 𝑠𝑦𝑛 là một toán tử n ngôi trên tập công thức 𝐅𝐏 và toán tử đánh giá 𝑟 𝑒𝑣𝑙 là một toán tử bán liên tục dưới trên. Định nghĩa 2.6. (Tính đúng của quy tắc suy diễn) Một quy tắc suy diễn 𝑟 được gọi là 1, 𝑛 thì : đúng đắn nếu với mọi định giá V : 𝑉 (𝑃𝑖 ) ≥ 𝑣𝑖 với ∀𝑖 = ����� 𝑠𝑦𝑛 𝑒𝑣𝑙 ( ( ) ) 𝑉 𝑟 (𝑃1 , … , 𝑃𝑛 ≥ 𝑟 𝑉(𝑃1 , … , 𝑉(𝑃𝑛 )) Định nghĩa 2.7. (Lý thuyết hình thức cho logic đa trị ngôn ngữ) Một lý thuyết hình thức trong ngôn ngữ 𝓛𝐿 là một bộ: 𝑇 = 〈LA, SA, R〉, ở đây 𝐿𝐴 (𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑠) ⊆ 𝒜(𝐅𝐏) là tập các hằng đúng có dạng 𝐴 = (𝐹, 1), 𝑆𝐴 (𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑠) ⊆ 𝒜(𝐅𝐏) là tập các tiên đề đặc biệt và R là tập các quy tắc suy diễn đúng. Định nghĩa 2.8. (Chứng minh hình thức) Một chứng minh hình thức của một công thức 𝑃 ∈ 𝐅𝐏 từ tập tri thức K là một chuỗi hữu hạn các khẳng định 𝑤: = (𝑃1 , 𝑣1 ), … , (𝑃𝑛 , 𝑣𝑛 ) thỏa mãn với mỗi 𝑖 ≤ 𝑛 thì hoặc (𝑃𝑖 , 𝑣𝑖 ) ∈ 𝐾, hoặc tồn tại một quy tắc suy diễn m ngôi 𝑟 sao cho: 𝑃𝑖 ≔ (𝑟 𝑠𝑦𝑛 (𝑃𝑖1 , … , 𝑃𝑖𝑚 ), và 𝑣𝑖 ≥ 𝑟 𝑒𝑣𝑙 (𝑣𝑖1 , … , 𝑣𝑖𝑚 )), 𝑖1 , … , 𝑖𝑚 < 𝑖 Có thể thấy ngay là giá trị 𝑣𝑛 của 𝑃 phụ thuộc vào sự tồn tại của chứng minh w. Do đó ta có thể xem 𝑣𝑛 biểu thị giá trị chân lý (độ tin cậy) của chứng minh 𝑤 và ký hiệu 𝑣𝑛 = 𝑉𝑎𝑙 (𝑤). Định nghĩa 2.9. (Tính khả chứng và tính đúng) Cho T là một lý thuyết hình thức và 𝑃 ∈ 𝐅𝐏 là một công thức. Chúng ta viết 𝑇 ⊢𝑎 𝑃 và nói rằng công thức P là một định lý ở mức 𝑎, hoặc là khả chứng ở mức 𝑎 theo lý thuyết hình thức T nếu tồn tại một chứng minh w cho 𝑃 và 𝑎 = ⋁ �𝑉𝑎𝑙(𝑤)| 𝑤 là một chứng minh của A từ 𝐿𝐴 ∪ 𝑆𝐴� Chúng ta viết 𝑇 ⊨𝑎 𝑃 và nói rằng công thức P là đúng ở mức a trong lý thuyết hình thức T nếu 𝑇 ⊨𝑎 𝑃 khi và chỉ khi 𝑎 = ⋀{𝑉 (𝑃)|𝑉 ⊨ 𝑇}. 16 2.3.3 Lập luận ngôn ngữ dựa trên logic đa trị ngôn ngữ 2.3.3.1 Phương pháp lập luận dựa trên các quy tắc suy diễn Lập luận ngôn ngữ là tìm kiếm các kết luận không chắc chắn bằng phương pháp suy diễn theo nghĩa xấp xỉ từ các tiền đề không chắc chắn ở dạng ngôn ngữ. Giả sử cho trước một tập các khẳng định 𝐾 = {(𝑃, 𝑣): 𝑃 ∈ 𝐅𝐏 }, chúng ta có thể suy diễn được các kết luận gì từ K bởi việc dùng các quy tắc suy diễn 𝑟. Trước hết,chúng ta có quy tắc chuyển gia tử: (𝑝(𝑥,ℎ𝑢),𝛿𝑐) (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) RT1: GRT2: − (𝑝(𝑥,ℎ𝑢),ℎ (𝛿𝑐)) (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿ℎ𝑐) Tương tự như hệ tính trong logic mệnh đề, chúng ta có các quy tắc suy diễn cho ∧,∨ và → như sau: i) Quy tắc suy diễn “AND” và “OR” (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) 𝑎𝑛𝑑 (𝑞(𝑦,𝑣),𝜎𝑐) (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) 𝑜𝑟 (𝑞(𝑦,𝑣),𝜎𝑐) R1: (𝑝(𝑥,𝑢) ; R2: (𝑝(𝑥,𝑢) ∧ 𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐 ∧ 𝜎𝑐) ii) Quy tắc suy diễn & và ∇ R3: (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) & (𝑞(𝑦,𝑣),𝜎𝑐) (𝑝(𝑥,𝑢)&𝑞(𝑦,𝑣)),𝛿𝑐 ⊗𝜎𝑐) iii) Quy tắc suy diễn kéo theo R5: ; R4: (𝑝(𝑥,𝑢)⟹𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐),(𝑝(𝑥,𝑢),𝜎𝑐) (𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐⨂𝜎𝑐) ∨𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐 ∨ 𝜎𝑐) (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) ∇ (𝑞(𝑦,𝑣),𝜎𝑐) (𝑝(𝑥,𝑢) ∇ 𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐 ⨁ 𝜎𝑐) ; R6: , (𝑝(𝑥,𝑢)⟹𝑞(𝑦,𝑣),𝛿𝑐),(¬𝑞(𝑦,𝑣),𝜎𝑐) (¬𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐⨂𝜎𝑐) , Ngoài ra, tương tự như trong [110], chúng ta có quy tắc thay thế tương đương: 𝑃≡𝑄,(𝐹(𝑃),𝛿𝑐) RE: ⁄ 𝐹(𝑃 𝑄),𝛿𝑐) Và quy tắc thay thế hằng a cho biến x (𝑝(𝑥,𝑢),𝛿𝑐) RS: (𝑝(𝑎,𝑢),𝛿𝑐) Định lý 2.3. Các quy tắc suy diễn RT1 , GRT2 và (R1) - (R6) là đúng đắn. Dựa trên các quy tắc chuyển gia tử (RT1), (GRT2) và các quy tắc suy diễn (R1-R6), chúng ta áp dụng cho vấn đề lập luận xấp xỉ trực tiếp trên ngôn ngữ. 2.3.3.2 Phương pháp hợp giải trong logic đa trị ngôn ngữ Định nghĩa 2.10. (Quy tắc suy diễn Modus ponens cho logic đa trị ngôn ngữ) (𝑃, 𝑎), (𝑃 ⇒ 𝑄, 𝑏) 𝑟𝑀𝑃 : (𝑄, 𝑎 ⊗ 𝑏) Ở đây 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐅𝐏, 𝑃 có giá trị chân lý a, 𝑃 ⇒ 𝑄 có giá trị chân lý là b, chúng ta có thể suy diễn 𝑄 có giá trị chân lý là 𝑎 ⊗ 𝑏. (với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴𝑋). 𝑟𝑀𝑃 được xem như là một trường hợp đặc biệt của hợp giải trong logic kinh điển. (𝑟𝑀𝑃 chính là quy tắc R5) Định nghĩa 2.11. (Quy tắc hợp giải tổng quát cho logic đa trị ngôn ngữ) (𝐹1 [𝐺 ], 𝑎), (𝐹2 [𝐺 ], 𝑏) 𝑟𝑅 : (𝐹1 [𝐺/⏊]∇𝐹2 [𝐺/⏉], 𝑎 ⊗ 𝑏) ở đây 𝐹1 có giá trị chân lý là 𝑎 ∈ 𝐴𝑋, 𝐹2 có giá trị chân lý là 𝑏 ∈ 𝐴𝑋, là các công thức cơ sở của logic đa trị ngôn ngữ và G là một công thức con trong 𝐹1 và 𝐹2 . Dòng dưới có nghĩa là việc hợp giải trên G có giá trị chân lý 𝑎 ⊗ 𝑏 cho mọi thay thế G bởi ⟘ ở công thức đầu và G bởi ⟙ ở công thức sau (chúng ta viết ký hiệu ⟘, ⟙ là các hằng logic cho 0, 1 ∈ ℒ𝑛 ). Sau đây, chúng ta chứng minh tính đúng đắn của quy tắc hợp giả tổng quát 𝑟𝑅 . Mệnh đề 2.7. Cho 𝑣 ∈ 𝐴𝑋, ta có: 𝑣⨂1 = 𝑣 ; 𝑣⨂0 = 0; 𝑣⨁1 = 1; 𝑣⨁0 = 𝑣; 𝑣 → 1 = 1 ; 𝑣 → 0 = ¬𝑣; 1 → 𝑣 = 𝑣; 0 → 𝑣 = 1. Mệnh đề 2.8. Giả sử 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝐅𝐏, ta có: 𝑉 (𝐴 ⇒ 𝐵) ≥ 𝑎, 𝑉 (𝐵 ⇒ 𝐶 ) ≥ 𝑏 thì 𝑉(𝐴 ⇒ 𝐶 ) ≥ 𝑎⨂𝑏 17 Định lý 2.4. (Tính đúng của 𝑟𝑅 ) Quy tắc hợp giải tổng quát 𝑟𝑅 trong logic đa trị ngôn ngữ là đúng hay với mọi định giá V: 𝑉(𝐹1 [𝐺 ]) ≥ 𝑎, 𝑉(𝐹2 [𝐺 ]) ≥ 𝑏 ⟹ 𝑉(𝐹1 [𝐺/⟘])∇ 𝑉(𝐹2 [𝐺/⟙]) ≥ 𝑎⨂𝑏 Định nghĩa 2.12. (Quy tắc suy diễn đơn giản đối với ∇, ⇒) 𝑟𝑠∇ : (⏊∇𝐴,𝑎) (𝐴,𝑎) và 𝑟𝑠⇒ : (⏉⇒𝐴,𝑎) (𝐴,𝑎) Mối quan hệ giữa quy tắc suy diễn 𝑟𝑀𝑃 và các quy tắc suy diễn 𝑟𝑅 , 𝑟𝑠𝛻 , 𝑟𝑠⇒ được xác định bởi Định lý 2.5. Định lý 2.5. Trong lý thuyết hình thức 𝑇, việc áp dung quy tắc suy diễn 𝑟𝑀𝑃 có thể được thay thế bởi việc áp dụng các quy tắc suy diễn 𝑟𝑅 , 𝑟𝑠𝛻 , 𝑟𝑠⇒ . Dựa trên các quy tắc suy diễn 𝑟𝑅 , 𝑟𝑠𝛻 , 𝑟𝑠⇒ chúng ta có một phương pháp suy diễn trực tiếp trên ngôn ngữ, hay từ cơ sở tri thức K, sử dụng các quy tắc suy diễn 𝑟𝑅 , 𝑟𝑠𝛻 , 𝑟𝑠⇒ và các quy tắc chuyển gia tử RT1 và GRT2 để suy diễn ra kết luận (𝑃, 𝑣). CHƯƠNG 3: MỞ RỘNG CÁC QUY TẮC SUY DIỄN TRONG LOGIC ĐA TRỊ NGÔN NGỮ 3.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mở rộng các quy tắc modus ponens mờ (fuzzy modus ponens), modus tollens mờ (fuzzy modus tollens), tam đoạn luận mờ (fuzzy syllogism),… với sự tác động của các xâu gia tử được gọi là mở rộng modus ponens mờ với gia tử (generalized fuzzy modus ponens with linguistic modifiers (GFMPLM)), mở rộng modus tollens mờ với gia tử (generalized fuzzy modus tollens with linguistic modifiers (GFMLLM)), mở rộng tam đoạn luận mờ với gia tử (generalized fuzzy syllogism with linguistic modifiers (GFSLM)) và luật “If…Then…Else…” cho logic đa trị ngôn ngữ. Khi đó, phương pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên các quy tắc suy diễn này cho phép chỉ thao tác trực tiếp trên các giá trị chân lý ngôn ngữ trong quá trình suy diễn. 3.2 Modus ponens và modus tollens trong logic đa trị ngôn ngữ 3.2.1 T-norm, T-conorm, Implication và Negation trong logic đa trị ngôn ngữ Miền giá trị chân lý ngôn ngữ AX trong logic đa trị ngôn ngữ được xác định 𝐴𝑋 = {𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} with 𝑣1 = 0 and 𝑣𝑛 = 1, hay: 𝐴𝑋 = �𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑣1 = 0, 𝑣𝑛 = 1 𝑎𝑛𝑑 ∀ 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛: 𝑣𝑖 ≥ 𝑣𝑗 ⟺ 𝑖 ≥ 𝑗�. Trong logic mờ, T-norm, T-conorm, Implication và Negation thường được dùng trong các quy tắc suy diễn mờ. Với logic đa trị ngôn ngữ được mở rộng từ logic đa trị nên các kết nối Lukasiewicz thường được dùng, vì vậy chúng ta định nghĩa các phép toán trên AX theo T-norm, T-conorm, Implication và Negation dựa trên đại số Lukasiewicz giá trị ngôn ngữ ℒ𝑛 = (𝐴𝑋,∧,∨, ⊗,⊕, ¬, → ,0,1) như sau (với 𝑛 là số các giá trị chân lý ngôn ngữ của AX): i. 𝑣𝑖 ∧ 𝑣𝑗 = 𝑣min(𝑖,𝑗) ; ii. 𝑣𝑖 ∨ 𝑣𝑗 = 𝑣max(𝑖,𝑗) ; iii. 𝑁(𝑣𝑖 ) = ¬𝑣𝑖 = 𝑣𝑛−𝑖+1 ; iv. 𝑇𝐿 �𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 � = 𝑣𝑖 ⨂𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑎𝑥(1,𝑖+𝑗−𝑛) ; v. 𝑆𝐿 �𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 � = 𝑣𝑖 ⨁𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑖𝑛(𝑛,𝑖+𝑗) ; vi. 𝐼𝐿 �𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 � = 𝑣𝑖 →𝐿 𝑣𝑗 = 𝑣𝑚𝑖𝑛{𝑛,𝑛−𝑖+𝑗} , với 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ∈ 𝐴𝑋. 18 3.2.2 Quy tắc suy diễn modus ponens trong logic đa trị ngôn ngữ Trong logic mờ, lược đồ suy diễn của quy tắc suy diễn mờ fuzzy modus ponens có dạng: Ant 1 If X is A Then Y is B Ant 2 X is A’ Cons Y is B’ Trong lược đồ suy diễn này, với hai giả thiết đã cho (Ant 1) và (Ant 2) chúng ta phải tính kết luận (Cons). Quy tắc suy diễn mở rộng modus ponens mờ (Generalized fuzzy modus ponens (GFMP)) này trong logic đa trị có lược đồ suy diễn như sau: LĐSD: Mở rộng fuzzy modus ponens (GFMP) Ant 1 (If 𝑝(𝑥, 𝑢) Then 𝑞(𝑦, 𝑣)) is 𝑣𝑖 Ant 2 𝑝(𝑥, 𝑢) is 𝑣𝑗 Cons 𝑞(𝑦, 𝑣) is ?( 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) Dựa trên các toán tử T-norm, T-conorm, Implication và Negation đã định nghĩa ở trên, chúng ta có quy tắc suy diễn (R5) trong Chương 2 được viết lại như sau: GFMP: (𝑝(𝑥,𝑢)⟹𝑞(𝑦,𝑣),𝑣𝑖 ),(𝑝(𝑥,𝑢),𝑣𝑗 ) �𝑞(𝑦,𝑣),𝑇𝐿 (𝑣𝑖 ,𝑣𝑗 �) Đây chính là quy tắc suy diễn mở rộng fuzzy modus ponens (generalized fuzzy modus ponens (GFMP)) trong logic đa trị ngôn ngữ. Theo Định lý 1.3. ta có: (𝑝(𝑥,𝑁𝑂𝑇(𝑢)),𝛿𝑐) (𝑝(𝑥,𝑁𝑂𝑇(𝛿𝑢)) RN: ; RNH: (𝑝(𝑥,𝑢),𝑁𝑂𝑇(𝛿𝑐)) (𝑝(𝑥,𝛿(𝑁𝑂𝑇(𝑢))) với δ là một xâu gia tử. Khi đó, từ (GFMP) và (RN) chúng ta có quy tắc suy diễn mở rộng fuzzy modus ponens với toán tử phủ định (negative generalized fuzzy modus ponens (NGFMP)) như sau: NGFMP: (𝑝(𝑥,𝑁𝑂𝑇(𝑢)) ⟹𝑞(𝑦,𝑁𝑂𝑇(𝑣)),𝑣𝑖 ),(𝑝(𝑥,𝑢),𝑣𝑗 ) �𝑞(𝑦,𝑣),𝑁(𝑇𝐿 (𝑣𝑖 ,𝑁(𝑣𝑗 )))� Tiếp theo, dựa trên (NGFMP), chúng ta sẽ nghiên cứu quy tắc suy diễn modus tollens trong logic đa trị ngôn ngữ. 3.2.3 Quy tắc suy diễn modus tollens trong logic đa trị ngôn ngữ Mệnh đề 3.1. Lấy 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ∈ 𝐴𝑋, chúng ta có: 𝐼𝐿 �𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 � = 𝐼𝐿 �𝑁(𝑣𝑗 ), 𝑁(𝑣𝑖 )� Trong logic, lược đồ suy diễn của quy tắc suy diễn mở rộng fuzzy modus ponens có dạng: Ant 1 If X is A Then Y is B Ant 2 Y is B’ Cons X is A’ Có nghĩa là, với hai giả thiết (Ant 1) và (Ant 2) làm thế nào để tính được kết luận (Cons). Lược đồ suy diễn của quy tắc mở rộng fuzzy modus tollens (Generalized fuzzy modus tollens (GFMT)) này trong logic đa trị có hai dạng như sau: LĐSD1: Mở rộng fuzzy modus tollens (GFMT) Ant 1 (If 𝑝(𝑥, 𝑢) Then 𝑞(𝑦, 𝑣)) is 𝑣𝑖 Ant 2 𝑞(𝑦, 𝑣) is 𝑣𝑗 Cons 𝑝(𝑥, 𝑢) is ?( 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) Theo Mệnh đề 3.1, hai mô hình này được viết lại như sau: LĐSD2: Mở rộng fuzzy modus tollens (GFMT) Ant 1 (If 𝑁𝑂𝑇(𝑞(𝑦, 𝑣)) Then 𝑁𝑂𝑇(𝑝(𝑥, 𝑢))) is 𝑣𝑖 Ant 2 𝑞(𝑦, 𝑣) is 𝑣𝑗 Cons 𝑝(𝑥, 𝑢) is ?( 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) 19 Khi đó, dựa trên quy tắc suy diễn mở rộng modus ponens được nghiên cứu ở trên và các các quy tắc suy diễn phủ định (RN) và (RNH), chúng ta có: GFMT: (𝑝(𝑥,𝑢)⟹𝑞(𝑦,𝑣),𝑣𝑖 ),(𝑞(𝑦,𝑣),𝑣𝑗 ) �𝑝(𝑥,𝑢),𝑁(𝑇𝐿 (𝑣𝑖 ,𝑁(𝑣𝑗 )))� Chúng ta đã nghiên cứu các quy tắc suy diễn mở rộng modus ponens và modus tollens trong logic đa trị ngôn ngữ. Phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mở rộng các quy tắc này với việc sử dụng xâu gia tử tác động lên các mệnh đề mờ (generalized with linguistic modifiers). 3.3 Mở rộng các quy tắc suy diễn trong logic đa trị ngôn ngữ Một trong các vấn đề mà nhiều nhà nghiên cứu quan tâm khi nghiên cứu về lập luận xấp xỉ trên biến ngôn ngữ là lược đồ suy diễn dựa trên fuzzy modus ponens dạng: Ant 1 If X is 𝛼A Then Y is 𝛿B Ant 2 X is 𝛾A Cons Y is 𝜎B Có nghĩa là các biến ngôn ngữ A, B được biến đổi ngữ nghĩa bởi các chuỗi gia tử 𝛼, 𝛿. Các nghiên cứu như J. F. Baldwin [17-20], Mizumoto và Zimmermann [22-33], Da Ruan và E. E. Kerre [81-87], Enric Trillas [47-53], Banibrata Mondal và Swapan Raha [106, 107],… đều sử dụng hàm thuộc xác định trên tập mờ của biến ngôn ngữ. Một tiếp cận khác dựa trên miền giá trị chân lý ngôn ngữ như Luigi Di Lascio, Antonio Gisolfi và Vincenzo Loia [42], Bernadette Bouchon-Meunier [34-40], Daniel G. Schwartz [43, 44],… Tuy nhiên việc tính toán kết luận lại sử dụng miền giá trị số tương ứng với miền giá trị chân lý. Trong [56-71], Herman Akdag và Daniel Pacholczyk [56-71] đã sử dụng ánh xạ quan hệ giữa các gia tử dựa trên miền là tập “Multiset”, thực chất quan hệ này chính là khoảng cách gần nhất của các giá trị chân lý. Ký hiệu 𝛼, 𝛽, 𝛿, 𝜃, 𝜕, 𝛼 ′ , 𝛽′ , 𝛿 ′ , 𝜕′ là các chuỗi gia tử. 3.3.1 Mở rộng quy tắc suy diễn fuzzy modus ponens Trong logic đa trị ngôn ngữ chúng ta có hai mô hình sau cho quy tắc fuzzy modus ponens khi có gia tử tác động lên các biến ngôn ngữ: LĐSD: Mở rộng fuzzy modus ponens với gia tử (GFMP) Ant 1 (If 𝑝(𝑥, 𝛿𝑢) Then 𝑞(𝑦, 𝜕𝑣)) is 𝑣𝑖 Ant 2 𝑝(𝑥, 𝛿′𝑢) is 𝑣𝑗 Cons 𝑞(𝑦, 𝜕𝑣) is ?( 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) Dựa trên (GFMP) đã nghiên cứu ở trên, chúng ta sẽ tính được kết quả của kết luận (Cons) bởi các mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2. ( 𝑝(𝑥, 𝛿𝑢) ⟹ 𝑞(𝑦, 𝜕𝑣), 𝛼𝑐) (𝑝(𝑥, 𝛿′𝑢), 𝛼′𝑐) (𝑞(𝑦, 𝜕𝑣),𝑇𝐿 (𝛿 − (𝛼 ′ 𝛿 ′ 𝑐), 𝛼𝑐) Trong logic đa trị ngôn ngữ, chúng ta có các quy tắc suy diễn (R1) và (R2) như sau: R1: (𝑝(𝑥;𝑢),𝑣𝑖 ) 𝑎𝑛𝑑 (𝑞(𝑦;𝑣),𝑣𝑗 ) �𝑝(𝑥,𝑢) ∧ 𝑞(𝑦,𝑣),𝑣𝑖 ∧ 𝑣𝑗 � ; R2: (𝑝(𝑥;𝑢),𝑣𝑖 ) 𝑜𝑟 (𝑞(𝑦;𝑣),𝑣𝑗 ) �𝑝(𝑥,𝑢) ∨ 𝑞(𝑦,𝑣),𝑣𝑖 ∨ 𝑣𝑗 � 20