Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử...

Tài liệu Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử

.PDF
60
559
82

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Vân MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ VÂN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Hồ Minh Toàn Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Toán tử tuyến tính và ma trận . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Giá trị riêng và vectơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Toán tử nửa xác định dương. Toán tử xác định dương . . 8 1.4 Ma trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Hàm đơn điệu toán tử 12 2.1 Hàm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Hàm đơn điệu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Một số phép toán trên tập các hàm đơn điệu toán tử . . 17 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều 23 3 Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử 26 3.1 Tính chất trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Đặc trưng Hansen – Pedersen . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử 40 i . . . . . Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Kết luận chung 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Ký hiệu toán học H Không gian Hilbert. B (H) Không gian các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H. Mn Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức C. A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A. A > 0 (> 0) Toán tử nửa xác định dương (xác định dương). B(H)sa Tập các toán tử Hermite trên không gian Hilbert H. Msa n Tập các ma trận Hermite cấp n. σ (A) Phổ của toán tử A. r (A) Bán kính phổ của toán tử A. KerA Hạch của toán tử A. ImA Miền giá trị của toán tử A. Diag (α1 , ..., αn ) Ma trận đường chéo với các phần tử α1 , α2 , ..., αn nằm trên đường chéo. I Ma trận đơn vị (cấp n). C k (J) Lớp các hàm khả vi liên tục cấp k trên khoảng J. P Tập các hàm Pick. 1 Lời mở đầu Một trong những lớp hàm quan trọng và hữu ích của hàm thực là lớp các hàm đơn điệu toán tử. Năm 1934, nhà toán học Löwner đã giới thiệu lớp hàm này trong một bài viết chuyên đề [1]. Lớp hàm này phát sinh tự nhiên trong lí thuyết ma trận và toán tử và thuyết Löwner đã chỉ ra hàm đơn điệu toán tử thuộc lớp hàm Pick. Năm 1936, Kraus đã chứng minh tính đơn điệu toán tử có liên quan chặt chẽ với tính lồi/ lõm toán tử. Cho đến nay, đây luôn là lĩnh vực thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lí, kĩ thuật điện, đặc biệt ứng dụng trong phân tích các mạng điện, nghiên cứu các vấn đề về hạt cơ bản. Lí thuyết Kubo – Ando được giới thiệu trong [5] giữ vai trò quan trọng trong lí thuyết mạng và thông tin lượng tử. Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về đề tài này song nó vẫn còn rất nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu. Đây cũng là một đề tài còn khá mới đối với nền Toán học Việt Nam. Tài liệu chuyên khảo [4] của tác giả Fumio Hiai và [7] của tác giả Rajendra Bhatia là một trong những cẩm nang khá đầy đủ và chi tiết về hàm đơn điệu toán tử. Bản luận văn đã trình bày lại một số kết quả chọn lọc về hàm đơn điệu toán tử được trích dẫn từ các tài liệu này. Khi tìm 1 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân hiểu về hàm đơn điệu toán tử, tác giả quan tâm đến đặc trưng Hansen – Pedersen và biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số thực không âm. Ngoài ra, tác giả trình bày các ví dụ minh họa cho các đặc trưng đó. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" hệ thống hóa một số kiến thức cơ sở về toán tử và ma trận. Chương 2 "Hàm đơn điệu toán tử" trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử, một số phép toán bảo toàn tính đơn điệu toán tử và đưa ra ví dụ minh họa cho lớp hàm này. Ngoài ra, tác giả trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều. Chương 3 "Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử" là phần chính của luận văn, tác giả trình bày đặc trưng Hansen – Pedersen và biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số thực không âm. Đồng thời, tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các đặc trưng này. Bản luận văn được tác giả hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hồ Minh Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình tìm hiểu và hoàn thiện luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, cán bộ nhân viên và các bạn học viên của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện bản luận văn này. 2 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Dù đã cố gắng rất nhiều song do trình độ và thời gian còn hạn chế nên bản luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ quý thầy cô để bản luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 27 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Vân 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính và ma trận Cho H là không gian Hilbert phức n chiều với tích vô hướng h., .i. Kí hiệu B (H) là không gian các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H và Mn là không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức C. Gọi {e1 , e2 , ..., en } là cơ sở trực chuẩn của H. Xét ánh xạ Φ : B (H) → Mn A 7→ [aij ]ni, j=1 , aij = hei , Aej i ; i, j = 1, 2, ..., n. Ta có Φ là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn Φ (AB) = Φ (A) Φ (B) , Φ (A∗ ) = (Φ (A))∗ với mọi A, B ∈ B (H) , trong đó toán tử A∗ là toán tử liên hợp của A được xác định bởi hx, Ayi = hA∗ x, yi , ∀x, y ∈ H. Do vậy, ta đồng nhất B (H) với Mn . Ta gọi kAk = inf {K > 0 : kAxk 6 K kxk , ∀x ∈ H} là chuẩn của toán tử A. 4 Luận văn Thạc sĩ toán học Định lý 1.1. kAk = sup x6=0 Nguyễn Thị Vân kAxk = sup kAxk. kxk kxk=1 Một số dạng toán tử thường gặp Định nghĩa 1.1. Toán tử A được gọi là toán tử co nếu kAk 6 1. Toán tử A được gọi là toán tử Hermite nếu A∗ = A. Kí hiệu B(H)sa là tập các toán tử Hermite trên không gian Hilbert H. Toán tử A được gọi là toán tử Unita nếu U ∗ U = I. Toán tử A được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu AA∗ = A∗ A. Toán tử Hermite và toán tử Unita là các trường hợp đặc biệt của toán tử chuẩn tắc. 1.2 Giá trị riêng và vectơ riêng Cho H là không gian Hilbert n chiều và toán tử A ∈ B (H). Ta nói λ ∈ C là một giá trị riêng của toán tử A nếu phương trình Ax = λx có nghiệm x không tầm thường. Khi đó, x được gọi là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Ker (A − λI) là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, kí hiệu là σ (A). Bán kính phổ của A: r (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)} . Bán kính số của A: w (A) = sup |hx, Axi| . kxk=1 Mệnh đề 1.1. [4, Proposition 1.5.7, p. 149] Cho A, B ∈ B (H). Ta có các khẳng định sau (i) σ (AB) = σ (BA) và do đó r (AB) = r (BA) . 5 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân (ii) r (A) 6 w (A) 6 kAk. Dấu "=" xảy ra nếu và chỉ nếu A là chuẩn tắc. Định lý 1.2. [4, Theorem 1.4.1, p. 144] Nếu toán tử A chuẩn tắc, tức là A∗ A = AA∗ thì luôn tồn tại λ1 , ..., λn ∈ C và u1 , u2 , ..., un ∈ H sao cho {u1 , u2 , ..., un } là cơ sở trực chuẩn của H và Aui = λi ui với mọi i = 1, 2, ..., n, tức là mỗi λi là một giá trị riêng của A và ui là vectơ riêng tương ứng. Định lý 1.3. [4, Theorem 1.4.6, p. 146] Với mỗi ma trận chuẩn tắc A ∈ Mn thì tồn tại λ1 , ..., λn ∈ C và ma trận Unita U ∈ Mn sao cho A = U Diag (λ1 , ..., λn ) U ∗ . (1.1) Hơn nữa, λ1 , ..., λn được xác định duy nhất là các giá trị riêng của A tính cả bội. Chứng minh. Theo Định lí 1.2, tồn tại λ1 , ..., λn ∈ C và u1 , ..., un ∈ Cn sao cho u1 , ..., un là cơ sở trực chuẩn của Cn và Aui = λi ui với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó, ma trận U = [u1 u2 ...un ] là Unita với u1 , u2 , ..., un là n vectơ cột của U . Ta có AU = [Au1 Au2 ...Aun ] = [λ1 u1 λ2 u2 ...λn un ] = [u1 u2 ...un ] Diag (λ1 , ..., λn ) = U Diag (λ1 , ..., λn ) . Suy ra biểu diễn (1.1). Hệ quả 1.1. Cho ma trận chuẩn tắc A ∈ Mn . Giả sử σ (A) = {α1 , ..., αm }, αi 6= αj với i 6= j và Pj là phép chiếu trực giao trên không gian con riêng 6 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Ker (A − αj I) với 1 6 j 6 m, m P Pj = I. Khi đó A có biểu diễn phổ là j=1 A= m X λj Pj . (1.2) j=1 Chứng minh. Theo Định lí 1.3, ma trận A có biểu diễn là A = U Diag (λ1 , ..., λn ) U ∗ , trong đó U = [u1 u2 ...un ] là Unita với u1 , ..., un là cơ sở trực chuẩn của Cn và λ1 , ..., λn ∈ σ (A) . Suy ra   u∗  1 n   X   A = [u1 λ1 u2 λ2 ...un λn ]  ...  = λi ui u∗i .   i=1 u∗n Gọi α1 , α2 , ..., αm là các giá trị riêng đôi một khác nhau của A. Đặt X Pj := ui u∗i , 1 6 j 6m. i:λi =αj Ta có Pj là phép chiếu trực giao trên không gian riêng Ker (A − αj I) với 1 6 j 6 m và m P Pj = j=1 Suy ra A = m X n X ui u∗i = I, Pi Pj = 0, với mọi i 6= j. i=1 αi P i . i=1  Ví dụ 1.2.1. Xét A =  1 1 1 1   > 0. Ta có σ (A) = {0; 2}. 7 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Với α1 = 2, không gian con riêng sinh bởi vectơ (1; 1) và phép  chiếu 1/2 1/2 . trực giao của A trên không gian riêng đó là P1 =  1/2 1/2 Với α2 = 0, không gian con riêng sinh bởi vectơ (1; −1) và phép chiếu trực giao của A trên không gian riêng đó là P1 =  1/2 −1/2 −1/2 1/2 . Khi đó biểu diễn phổ của A là  A = α1 P1 + α2 P2 = 2  1.3 1/2 1/2 1/2 1/2  . Toán tử nửa xác định dương. Toán tử xác định dương Định nghĩa 1.2. Toán tử A ∈ B (H) được gọi là nửa xác định dương nếu x∗ Ax > 0, ∀x ∈ H. Kí hiệu: A > 0. Toán tử A ∈ B (H) được gọi là xác định dương nếu x∗ Ax > 0, ∀x ∈ H và x 6= 0. Kí hiệu: A > 0. Cho A, B ∈ B(H)sa , định nghĩa A > B nếu và chỉ nếu A − B > 0. Mệnh đề 1.2. [4] Cho A ∈ B(H)sa . Khi đó (i) σ (A) ⊂ R. (ii) A > 0 ⇔ σ (A) ⊂ [0, ∞) . (iii) A > 0 ⇔ σ (A) ⊂ (0, ∞) . Chứng minh. (i). Theo Hệ quả 1.1, thì A có biểu diễn phổ (1.2). Khi đó 8 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân A∗ = m X α j Pj . j=1 ∗ Vì A −A = m X (αj − αj ) Pj = 0 nên α1 , α2 , ..., αm ∈ R hay σ (A) ⊂ R. j=1 (ii), (iii). Xét x 6= 0 là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Khi đó, (A − λI) x = 0 nên x∗ Ax = hAx, xi = λ hx, xi. Từ định nghĩa A > 0, A > 0 và do hx, xi > 0, ta có A > 0 ⇔ λ > 0 hay σ (A) ⊂ [0, ∞). A > 0 ⇔ λ > 0 hay σ (A) ⊂ (0, ∞). Mệnh đề 1.3. [4] Cho A, B ∈ B(H)sa . Ta có A > B ⇔ X ∗ AX > X ∗ BX, ∀X ∈ B (H) . Chứng minh. Với mọi vectơ u, ta có hu, X ∗ BXui = hXu, BXui > hXu, AXui = hu, X ∗ AXui . Suy ra X ∗ BX > X ∗ AX. 1.4 Ma trận khối Cho H1 và H2 là hai không gian Hilbert hữu hạn chiều. Kí hiệu B (H1 , H2 ) là không gian các toán tử tuyến tính từ H1 vào H2 . Định nghĩa không gian tổng trực tiếp H1 ⊕ H2 := {x1 ⊕ x2 |x1 ∈ H1 , x 2 ∈ H2 } với tích vô hướng hx1 ⊕ x2 , y1 ⊕ y2 i := hx1 , y1 i + hx2 , y2 i , 9 x1 , y1 ∈ H1 , x2 , y2 ∈ H2 . Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Toán tử A ∈ B (H1 ⊕ H2 ) được biểu diễn bởi ma trận khối cấp 2   A11 A12 , A= A21 A22 với A11 ∈ B (H1 ) , A12 ∈ B (H2 , H1 ) , A21 ∈ B (H1 , H2 ) , A22 ∈ B (H2 ). Mệnh đề 1.4. [9] Cho A, B ∈ B(H)sa ; A, B > 0. Ta có   A X   > 0 ⇔ A > XB −1 X ∗ . X∗ B Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.3, ta có   A X  >0 ∗ X B     −1 I −XB A X I 0   >0 ⇔ ∗ −1 ∗ 0 I X B −B X I   A − XB −1 X ∗ 0 >0 ⇔ 0 B ⇔ A − XB −1 X ∗ > 0. Vậy A > XB −1 X ∗ .   A I  > 0, ∀A ∈ B(H)sa và A > 0. Hệ quả 1.2. [9]  I A−1 Mệnh đề 1.5. [9] Cho A, B > 0. Ta có  A+B 2 −1 A−1 + B −1 6 . 2 Chứng minh. Theo Hệ quả 1.2, ta có 10 (1.3) Luận văn Thạc sĩ toán học   A Nguyễn Thị Vân I −1 I A    > 0,  B I I B −1  >0 nên  A+B  2I  2I A −1 +B −1  > 0. Suy ra   −1 A +B 2I −1 2I A+B   > 0. Theo Mệnh đề 1.4, ta có A−1 + B −1 > 4(A + B)−1 . 11 Chương 2 Hàm đơn điệu toán tử Trong chương này, ta định nghĩa hàm xác định trên tập các toán tử Hermite. Từ đó, trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử và một số phép toán bảo toàn tính đơn điệu toán tử. Các mục 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, ta xét H là không gian Hilbert hữu hạn chiều, mục 2.5 là mở rộng định nghĩa hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều. 2.1 Hàm toán tử Cho hàm thực f xác định trên khoảng J và A ∈ B(H)sa với σ (A) ⊆ J. m X Theo Hệ quả 1.1, biểu diễn phổ của toán tử A là A = αi Pi , trong i=1 đó α1 , α2 , ..., αm ∈ σ (A) đôi một khác nhau và Pi là phép chiếu trực giao m P trên không gian riêng Ker (A − αi I) với 1 6 i 6 m, Pi = I. Hơn nữa, i=1 các giá trị riêng và các phép chiếu được xác định duy nhất. Từ đó, ta có thể định nghĩa f (A) = m X i=1 12 f (αi ) Pi . Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Ví dụ 2.1.1. Với mỗi toán tử A ∈ B(H)sa . (a) Hàm lũy thừa f (x) = xp . Ta có f (A) = m X m X f (αi ) Pi = i=1 αip Pi . i=1 Vì Pi Pj = 0, ∀i 6= j và Pin = Pi nên m X f (A) = !p = Ap . α i Pi i=1 (b) Đa thức f (x) = k X ai xi . Theo kết quả của hàm lũy thừa, ta tính i=0 được f (A) = k X ai A i . i=0 Bổ đề 2.1. Cho toán tử A ∈ B(H)sa và toán tử Unita U ∈ B(H). Với mỗi hàm f xác định trên σ (A) thì f (U ∗ AU ) = U ∗ f (A) U . Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1, A có biểu diễn phổ (1.2) m X A= α i Pi . i=1 Suy ra U ∗ AU = U ∗ m X ! αi Pi U = i=1 m X αi (U ∗ Pi U ). i=1 Do đó ∗ f (U AU ) = f m P ∗ α i U Pi U  = i=1 =U m P ∗ m P f (αi ) U ∗ Pi U i=1  f (αi ) Pi U = U ∗ f (A) U . i=1 13 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Nhận xét 2.1. Cho hàm f : J → R. (a) f bất biến qua tương đương Unita. (b) Nếu f > 0 (> 0) thì với mỗi A ∈ B(H)sa , f (A) > 0 (> 0). Bổ đề 2.2. Cho hai toán tử A, B ∈ B(H)sa với σ (A) , σ (B) ⊂ J. Khi đó  f  A 0  = 0 B f (A) 0 0 f (B)  . Chứng minh. Vì A, B là toán tử chuẩn tắc nên tồn tại U, V ∈ B(H) là các toán tử Unita sao cho A = U ∗ D1 U, B = V ∗ D2 V, trong đó D1 = diag (α1 , α2 , ..., αn ) , αi ∈ σ (A) , D2 = diag (β1 , β2 , ..., βn ) , βi ∈ σ (B) . Suy ra   A 0 0 B   =  =  trong đó  U 0 0 V   ∗ U D1 U 0 U∗ 0 0 ∗   V D2 V    0 D 0 U 0  1  , ∗ 0 D2 0 V V   là toán tử Unita và D1 0 0 D2   = Diag (α1 , ..., αn , β1 , ..., βn ) . 14 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Theo Bổ đề 2.1, ta có       ∗ A 0 U 0 f (D1 ) 0 U 0 =    f ∗ 0 B 0 V 0 f (D2 ) 0 V   f (A) 0 . =  0 f (B) 2.2 Hàm đơn điệu toán tử Định nghĩa 2.1. Cho hàm thực f xác định trên khoảng J. (i) Hàm f được gọi là đơn điệu toán tử cấp n nếu với mọi A, B ∈ Msa n và σ (A) , σ (B) ⊂ J thì A 6 B ⇒ f (A) 6 f (B). Hàm f được gọi là đơn điệu toán tử nếu hàm f đơn điệu toán tử cấp n với mọi n ∈ N∗ . (ii) Hàm f được gọi là lồi toán tử cấp n nếu với mọi A, B ∈ Msa n ; σ (A) , σ (B) ⊂ J và 0 6 λ 6 1 thì f ((1 − λ) A + λB) 6 (1 − λ) f (A) + λf (B) . Hàm f lồi toán tử nếu hàm f lồi toán tử cấp n với mọi n ∈ N∗ . (iii) Hàm f lõm toán tử nếu (−f ) lồi toán tử. Nhận xét 2.2. Hàm f đơn điệu toán tử thì hàm f đơn điệu tăng trên J. Hàm f lồi toán tử thì hàm f lồi trên J. Ví dụ 2.2.1. (a) f (t) = a+bt là hàm đơn điệu toán tử với a ∈ R, b > 0. Hàm f lồi toán tử với mọi a, b ∈ R. 15
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan