BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THANH BÌNH
MỘT SỐ TOÁN TỬ LƯỢNG TỬ VỚI PHỔ RỜI RẠC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THANH BÌNH
MỘT SỐ TOÁN TỬ LƯỢNG TỬ VỚI PHỔ RỜI RẠC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí
HÀ NỘI, 2016
Lời cảm ơn
Nhân dịp này, tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các Thầy Cô giáo
khoa Toán đặc biệt là các thầy cô của chuyên ngành Toán Giải tích và Phòng
Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thanh Bình
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, luận văn chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài: Một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc được
hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thanh Bình
2
Mục lục
Danh mục kí hiệu và viết tắt
4
Mở đầu
6
1
Kiến thức chuẩn bị
9
1.1
Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert
1.4
Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5
2
. . . . . . . . . . . 11
1.4.1
Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2
Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . 16
Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1
Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . 18
1.5.2
Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . 22
Toán tử Schrödinger
25
2.1
Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2
Toán tử Schrödinger tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3
Một số kết quả về phổ của toán tử Schrödinger trong trường hợp
hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4
Một số kết quả nữa về phổ của toán tử Schrödinger . . . . . . . 34
2.4.1
Toán tử Schrödinger dạng H = H0 + V
. . . . . . . . 34
3
γ
. . . . . . . . . . . . 35
|x|
Toán tử Schrödinger với phổ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2
2.5
3
Toán tử Hamilton dạng −∆ −
Một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc
43
3.1
Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2
Điểm gốc của dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3
Khung các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4
Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5
Bánh mỳ thái lát (Sliced Bread) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6
Định lý Fefferman – Phong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Kết luận
56
Tài liệu tham khảo
57
4
Danh mục kí hiệu và viết tắt
Các kí hiệu thường dùng
R: Tập hợp số thực
Rn : Không gian thực n chiều
C: Tập hợp số phức
H: Không gian Hilbert
Lp (X): Không gian Lebesgue của các hàm p− khả tích
Lploc (X): Không gian các hàm khả tích địa phương
L∞ (X) : Không gian Lebesgue của các hàm bị chặn hầu khắp nơi
n
L∞
∞ (R ): Không gian Lebesgue của các hàm bị triệt tiêu tại ∞
k·k: Chuẩn trong không gian
k·kp : Chuẩn trong không gian Banach Lp
h·, ·i : Tích vô hướng
I(X, Y ): Tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y
I = I(X, X):
I(H): Tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên H
T ∗ : Toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert
T 0 : Toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Banach
T̄ : Bao đóng của toán tử T
ρ (T ) : Tập giải được của toán tử T
R(T ) : Giải thức của toán tử T
D(T ) : Miền xác định của toán tử T
5
Ker(T ): Hạt nhân của toán tử T
Ran(T ): Miền giá trị của toán tử T
inf : Cận dưới đúng
sup : Cận trên đúng
supp : Giá của hàm
σ (T ) : Phổ toán tử của T
σp (T ) : Phổ điểm của toán tử T
σd (T ) : Phổ rời rạc của toán tử T
σess (T ) : Phổ thiết yếu của toán tử T
µψ : Độ đo phổ
1 : Toán tử đơn vị
F : Phép biến đổi Fourier
S(Rn ) : Tập các hàm trơn giảm nhanh
fˆ = Ff : Phép biến đổi Fourier của f
fˇ = F −1 f : Phép biến đổi Fourier ngược của f
C(U ) : Tập các hàm liên tục từ U vào C
C∞ (U ) : Tập các hàm số trong C(U ) triệt tiêu tại ∞
C(U, V ) : Tập các hàm số liên tục từ U vào V
Cc∞ (U, V ) : Tập các hàm trơn giá compact
χΩ (·) : Biểu trưng của tập Ω
H m (Rn ) : Không gian Sobolev
6
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phổ là một nhánh quan trọng của toán học. Việc nghiên cứu lý
thuyết phổ sử dụng nhiều các công cụ trong Giải tích hàm. Nhiều vấn đề trong
Vật lí được làm sáng tỏ bằng việc nghiên cứu phổ của các toán tử . Gần đây việc
nghiên cứu các toán tử lượng tử có phổ rời rạc nhận được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học.
Một kết quả cho thấy nếu thể tích của khối (p, q) |p2 + V (q) ≤ E trong
R2n mà hữu hạn với mọi E thì toán tử lượng tử H = −∆+V (x) có phổ rời rạc.
Tuy nhiên trong bài báo “ Some Quantum Operators with Discrete Spectrum but
Classically Continuous Spectrum ” tác giả đã nghiên cứu vấn đề “ Liệu trong
một số trường hợp mà khối (p, q) |p2 + V (q) ≤ E có thể tích vô hạn thì toán
tử lượng tử H = −∆ + V (x) có phổ rời rạc được hay không? ”.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là các toán tử
lượng tử có phổ rời rạc, cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã
chọn nghiên cứu đề tài “ Một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc ”. Trong luận
văn này, chúng tôi muốn trình bày một cách có hệ thống một số kết quả liên quan
đến các lớp toán tử có phổ rời rạc. Nội dung chính sau đó là tìm hiểu kết quả
của B.Simon trên bài báo "Some Quantum Operators with Discrete Spectrum
but Classically Continuous Spectrum" để trả lời câu hỏi trên.
7
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc và các định lí liên quan
để bổ xung kiến thức và hiểu biết hơn về toán giải tích.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày các định nghĩa, định lý và một số ví dụ về lý thuyết phổ, toán tử
Schrödinger, một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc.
+ Nêu một số chứng minh cụ thể về toán tử lượng tử có phổ rời rạc.
+ Chứng minh định lý Fefferman – Phong và ứng dụng của định lý.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu : một số toán tử lượng tử với phổ rời rạc.
+ Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, bài báo liên quan tới toán tử lượng tử với
phổ rời rạc.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Dùng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để giải quyết vấn đề.
+ Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, toán tử Schrödinger, lý thuyết
toán tử.
+ Tham khảo một số bài báo về phổ rời rạc và tham vấn thầy hướng dẫn.
6. Đóng góp của luận văn
Hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết phổ, một số dạng toán tử Schrödinger
và một số trường hợp về toán tử lượng tử với phổ rời rạc giúp cho các đồng
8
nghiệp qua tâm đến vấn đề này có thể tìm thấy một số kết quả đã được công bố,
làm cơ sở cho việc tìm hiểu sâu thêm vấn đề này .
9
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Phần đầu chương này chúng tôi đề cập tới một số kiến thức cơ bản nhất
về không gian Hilbert, không gian Banach, toán tử liên hợp trong không gian
Hilbert. Tiếp theo chúng tôi trình bày toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên
hợp, toán tử ngược của chúng, phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. Phần cuối của
chương chúng tôi trình bày về toán tử tuyến tính không bị chặn, toán tử liên hợp
và phổ của chúng. Các kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[4], [9], [14].
1.1
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian vec tơ trên trường số K ( K = R hoặc
K = C)
Ánh xạ
X ×X →K
(x, y) 7→ hx, yi
được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) hx, xi ≥ 0,
∀x ∈ X
hx, xi = 0 ⇔ x = θ
(θ là ký hiệu phần tử không trong X );
ii) hy, xi = hx, yi với ∀x, y ∈ X ;
10
iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với ∀x, x0 , y ∈ X ;
iv) hλx, yi = λ hx, yi với
∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K ;
Các phần tử x, x0 , y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi là tích
vô hướng của hai nhân tử x và y .
Nhận xét: Nếu h·, ·i là một tích vô hướng trên X thì kxk =
p
hx, xi xác
định một chuẩn trên không gian X .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian vectơ trên trường K cùng với một tích vô hướng
gọi là không gian tiền Hilbert.
Cho X là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X , kxk =
p
hx, xi khi đó
∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
|hx, yi| ≤ kxk . kyk .
Mệnh đề 1.1.1. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
p
chuẩn kxk = hx, xi.
Định nghĩa 1.1.3. Nếu không gian tiền Hilbert X với metric cho bởi ρ (x, y) =
khx, yik là một không gian metric đủ, thì X được gọi là không gian Hilbert.
Từ đây trở đi ta kí hiệu H là không gian Hilbert.
1.2
Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian vectơ trên trường số K ( K = R hoặc
K = C). Một ánh xạ ρ : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) ρ(x) ≥ 0 với ∀x ∈ X .
ρ(x) = 0 ⇔ x = θ ( kí hiệu phần tử không là θ );
ii) ρ (λx) = |λ| ρ(x) với mọi số λ ∈ K và ∀x ∈ X ;
iii) ρ (x + y) ≤ ρ (x) + ρ (y) với ∀x, y ∈ X .
11
Thông thường kí hiệu kxk thay cho ρ (x).
Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x.
Không gian vectơ X cùng với chuẩn k·k trong nó được gọi là không gian
định chuẩn, kí hiệu (X, k·k).
Định lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X , đối với hai vectơ bất kì x, y ∈ X
ta đặt:
ρ(x, y) = kx − yk .
Khi đó ρ là một metric trên X .
Định nghĩa 1.2.2. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm x0 ∈ X nếu
lim kxn − x0 k = 0.
n→∞
Kí hiệu
lim xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞) .
x→∞
Định nghĩa 1.2.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là một
dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu
lim kxm − xn k = 0.
m,n→∞
Định nghĩa 1.2.4. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy
đủ ( với khoảng cách ρ(x, y) = kx − yk) khi đó X được gọi là một không gian
định chuẩn đầy đủ hay còn gọi là không gian Banach.
1.3
Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.1. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert
X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ánh xạ không
12
gian Y vào không gian X sao cho
hAx, yiY = hx, A∗ yiX ,
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. A∗ cũng là toán tử tuyến
tính bị chặn và kA∗ k = kAk.
Định nghĩa 1.3.2. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X
vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu A = A∗ .
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
Định nghĩa 1.3.3. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X
vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng hAx, xi là số thực với
mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.3.4. Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert X
vào chính nó thì
kAk = sup |hAx, xi| .
kxk=1
1.4
Toán tử tuyến tính
1.4.1
Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.4.1. Cho X và Y là các không gian vectơ định chuẩn trên trường
K ( K = R hoặc K = C) ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu
T (αx + βy) = α (T x) + β (T y)
với x, y ∈ X và α, β ∈ K .
Định nghĩa 1.4.2. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính
A đi từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0
sao cho
kAxk ≤ c kxk ,
∀x ∈ X
13
Hằng số c > 0 nhỏ nhất gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu kAk. Vì vậy
kAk = sup kAxk .
kxk=1
Y = K thì toán tử tuyến tính A thường được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định lý 1.4.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) A liên tục;
(ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;
(iii) A bị chặn.
Định nghĩa 1.4.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu I(X, Y ) là
tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian
Y . Ta đưa vào I(X, Y ) hai phép toán:
Tổng của hai toán tử A, B ∈ I(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B và được xác
định bằng hệ thức
(A + B) (x) = Ax + Bx,
∀x ∈ X.
Tích vô hướng của α ∈ K ( K = R hoặc K = C) với toán tử A ∈ I(X, Y )
là toán tử được xác định bằng hệ thức
(αA) (x) = α(Ax)
Dễ dàng kiểm tra được A + B ∈ I(X, Y ), αA ∈ I(X, Y ) và hai phép toán
trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính. Khi đó tập I(X, Y ) trở thành không gian
tuyến tính trên trường K .
Y = K thì I(X, K) được gọi là không gian liên hợp của X , kí hiệu X ∗ . Với
toán tử bất kì A ∈ I(X, Y ) ta đặt
kAk = sup kAxk .
kxk=1
14
Không gian tuyến tính I(X, Y ) trên trường K với chuẩn trên là một không gian
định chuẩn.
kAk thỏa mãn đầy đủ các tiên đề về chuẩn, cụ thể là
· Nếu kAk = 0 thì Ax = 0, ∀x, tức A = 0 (toán tử không). Ngược lại nếu
A = 0 thì kAk = 0;
· kαAk = |α| kAk do với ∀x : kαAxk = |α| . kAxk;
· kA + Bk ≤ kAk + kBk
Định lý 1.4.2. Nếu Y là không gian Banach thì I(X, Y ) là không gian Banach.
X ∗ luôn là không gian Banach.
Định lý 1.4.3. Kí hiệu I(H) là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert
H. Cho An là một dãy toán tử bị chặn và giả sử (An x, y) hội tụ khi n → ∞ với
w
mỗi x, y ∈ H. Khi đó tồn tại A ∈ I(H) sao cho An → A.
Định nghĩa 1.4.4. Cho X và Y là hai không gian Banach, A là toán tử tuyến
tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian Banach) của A kí
hiệu A0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y ∗ tới X ∗ sao cho
(A0 y ∗ ) x = y ∗ (Ax)
với
∀y ∗ ∈ Y ∗ , x ∈ X.
Với X ∗ = I(X, K) không gian liên hợp (đối ngẫu) của X ( K = R hoặc
K = C).
Định lý 1.4.4. Cho X và Y là hai không gian Banach. Ánh xạ A → A0 là một
phép đẳng cấu, đẳng cự của I(X, Y ) vào I(Y ∗ , X ∗ )
Định lý 1.4.5.
(i) A → A∗ là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ
I(H) lên I(H);
(ii) (AB)∗ = B ∗ A∗ ;
(iii) (A∗ )∗ = A;
15
(iv) Nếu A có toán tử ngược bị chặn A−1 thì A∗ có toán tử ngược bị chặn và
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ ;
(v) Ánh xạ A → A∗ luôn liên tục khi xét với tô pô toán tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục khi xét với tô pô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;
(vi) kA∗ Ak = kAk2 .
Định nghĩa 1.4.5. Nếu A ∈ I(H) và A2 = A thì A được gọi là một phép chiếu.
Nếu thêm điều kiện A = A∗ thì được gọi là phép chiếu trực giao.
Định nghĩa 1.4.6. Cho X là không gian Banach, I(X) là tập các toán tử bị
chặn trên X . Toán tử A ∈ I(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử
B ∈ I(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X ).
Khi đó B là toán tử ngược của A và kí hiệu B = A−1
Nếu kAk < 1 thì 1 − A là khả nghịch.
Định lý 1.4.6. Nếu A ∈ I(X) khả nghịch và B ∈ I(X) sao cho
kA − Bk <
1
kA−1 k
thì toán tử B khả nghịch.
Định nghĩa 1.4.7. Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y gọi là toán tử compact nếu toán tử A ánh xạ tập bị
chặn bất kì trong không gian X thành tập compact tương đối trong không gian
Y.
Nói cách khác: nếu M là tập bị chặn trong X thì A(M ) compact tương đối
hay A(M ) compact trong Y .
Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử X, Y, Z là các không gian định chuẩn A ∈ I(X, Y ),
B ∈ I(Y, Z) khi đó B◦ A là compact nếu một trong hai toán tử A, B compact.
16
Định lý 1.4.7. Giả sử X và Y là hai không gian Banach và A ∈ I(X, Y ). Khi
đó A compact nếu và chỉ nếu A0 : Y ∗ → X ∗ compact.
1.4.2
Toán tử tuyến tính không bị chặn
Cho H là không gian Hilbert, D(A) là miền xác định của toán tử A,
D (A) ⊆ H.
Định nghĩa 1.4.8. (Toán tử tuyến tính không bị chặn)
Toán tử tuyến tính A : D (A) → H được gọi là toán tử tuyến tính không
bị chặn nếu tồn tại dãy số {xn } , xn ∈ D (A) , kxn k = 1; n = 1, 2, ... và
kAxn k → ∞ khi n → ∞.
Thông thường ta xét D(A) là không gian con tuyến tính trù mật trong không
gian Hilbert H.
Định nghĩa 1.4.9. Cho toán tử không bị chặn A : D (A) → H. Toán tử A
gọi là toán tử đóng nếu với mỗi dãy {xj } ∈ D (A) , xj → x và Axj → y thì
x ∈ D (A) và Ax = y .
Toán tử A0 gọi là toán tử mở rộng của toán tử A nếu D (A) ⊂ D (A0 ) và
Ax = A0 x, ∀x ∈ D(A).
Toán tử A được gọi là đóng nếu A là mở rộng đóng.
Mở rộng đóng nhỏ nhất của toán tử đóng A gọi là bao đóng . Kí hiệu là Ā.
Lõi đóng của A là tập con của D(A) sao cho bao đóng của A bị thu hẹp trên
tập hợp này trùng với A.
Định nghĩa 1.4.10. (Toán tử liên hợp của toán tử không bị chặn)
Cho toán tử không bị chặn A : D (A) → H. Kí hiệu D(A∗ ) là tập hợp các
phần tử y ∈ H, với mỗi z ∈ H ta có
hAx, yi = hx, zi ,
∀x ∈ D(A).
Với mỗi y ∈ D(A∗ ) ta đặt A∗ y = z và gọi A∗ là toán tử liên hợp của A.
17
Định nghĩa 1.4.11. Cho toán tử không bị chặn A : D (A) → H.
Toán tử A gọi là toán tử đối xứng nếu toán tử liên hợp A∗ là mở rộng của toán
tử A.
Toán tử A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A đối xứng và D(A∗ ) = D(A).
Nếu bao đóng Ā tự liên hợp thì toán tử đối xứng A gọi là tự liên hợp cốt yếu.
Do D (A) ⊂ D (A∗ ) là trù mật trong H nên toán tử đối xứng luôn là toán tử
đóng. Nếu A là là toán tử đối xứng thì A∗ là mở rộng đóng của A , nên mở rộng
đóng bé nhất của A là A∗∗ phải chứa trong A∗ . Do đó ta có:
Nếu A là toán tử đối xứng thì A ⊂ A∗∗ ⊂ A∗ .
Nếu A là toán tử đối xứng đóng thì A = A∗∗ ⊂ A∗ .
Nếu A là toán tử tự liên hợp thì A = A∗∗ = A∗ .
Định lý 1.4.8. [4], tr. 256) (Định lý cơ bản của toán tử tự liên hợp)
Cho A là toán tử đối xứng trong không gian Hilbert H. Khi đó các mệnh đề
sau là tương đương:
1) A là tự liên hợp;
2) A là đóng và Ker(A∗ ± i) = {0};
3) Ran(A ± i) = H.
Hệ quả 1.4.1. Cho A là toán tử đối xứng trong không gian Hilbert H. Khi đó
các mệnh đề sau là tương đương:
1) A là tự liên hợp cốt yếu.
2) Ker(A∗ ± i) = {0}.
3) Ran(A ± i) là trù mật trong H.
Lưu ý : Có thể không tồn tại toán tử liên hợp của toán tử không bị chặn. Nếu
toán tử A đóng được thì luôn tồn tại toán tử liên hợp. A đóng được khi và chỉ
khi D(A) là tập trù mật trong H ( trong trường hợp này ta có Ā∗ = A∗ )
Định lý 1.4.9. (Hellinger -Toeplitz) Nếu toán tử tuyến tính A xác định trên
- Xem thêm -