Tài liệu Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình navier stokes không thuần nhất trong rn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 n ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOULADDA PONGPANYA MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG n Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Người viết luận văn Souladda PONGPANYA i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thủy. Do đây là những kiến thức khá mới mẻ và khoảng thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và mọi người để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Thủy đã trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng các quý thầy cô đã quan tâm, nhiệt tình giảng dạy trong suốt khóa học. Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Người viết luận văn Souladda PONGPANYA ii MỤC LỤC Lời cam đoan ................................................................................................................i Lời cảm ơn ................................................................................................................... ii Mục lục ....................................................................................................................... iii Lời nói đầu ................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2 1.1. Không gian hàm ............................................................................................. 2 1.1.1. Không gian hàm trơn................................................................................... 2 1.1.2. Không gian hàm suy rộng ........................................................................... 3 1.1.3. Không gian Sobolev .................................................................................... 6 1.2. Phương trình Navier – Stokes ....................................................................... 15 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES KHÔNG THUẦN NHẤT TRONG n .............................. 20 2.1. Định nghĩa nghiệm yếu ................................................................................. 20 2.2. Sự tồn tại và tính chất của nghiệm. ............................................................... 21 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 33 iii LỜI NÓI ĐẦU Việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes đã được đặt ra từ khá sớm ở đầu thế kỳ XIX và lần đầu tiên được Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho các chất lỏng không nén được và năm 1822 cho các chất lỏng nhớt. Nhưng Navier đi đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng của các yếu tố xuất hiện trong phương trình. Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về loại phương trình Navier – Stokes. Tuy nhiên, vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn. Vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ Navier-Stokes nói riêng và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên khảo của R.Temam [16], J. Frehse & M. R ̊užička [6], [7], [8], [9], G. P. Galdi [11], [12] và các bài báo tổng quan gần đây của C. Bardos & B. Nicolaenko [14] và R. Farwig, Darmstadt & H. Sohr, Paderborn [10] những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm. Tính chính quy ở đây có thể là tính chính quy theo biến thời gian hoặc tính chính quy theo biến không gian. Mục đích của luận văn “ Một số tính chất về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes không thuần nhất trong n ” là trình bày một số kết quả nghiên cứu về nghiệm của hệ phương trình Navier – Stokes không thuần nhất. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong phạm vi của 34 trang, trong đó gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị của các không gian hàm: không gian các hàm trơn, không gian các hàm suy rộng, không gian Sobolev và hệ phương trình Navier – Stokes. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Trình bày định nghĩa nghiệm yếu, sự tồn tại, tính duy nhất, tính chính quy về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes không thuần nhất trong n . 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ sở làm nền tảng để nghiên cứu Chương 2. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong [1], [2], [3], [5], [15]. 1.1. Không gian hàm 1.1.1. Không gian hàm trơn Định nghĩa 1.1.1. Giả sử   n là một miền với n  1. Nếu n = 1,  = ( a, b ) là một khoảng mở với −  a  b  +. Giả sử k  , ta kí hiệu C k (  ) là không gian của tất cả các hàm u:  → u ( x) x sao cho D u tồn tại và liên tục trong  với mọi   n 0 ,0    k . C 0 (  ) là không gian của tất cả các hàm u :  → . C  (  ) :=  C k (  ) gọi là không gian hàm trơn trong  . k =0 Giả sử M là bao đóng của tập M  n . Ta kí hiệu supp u :=  x  ; u ( x )  0 là giá của hàm u :  → . Nếu k  0 hoặc k =  thì ta đặt C0k (  ) := u  C k (  ) ; supp u compact , supp u  . Do đó u  C0k (  ) nghĩa là u  C k (  ) và u = 0 trong  ngoại trừ một tập con compact nào đó của  . Đặc biệt C0k (  ) là không gian của tất cả các hàm trơn u bằng không ngoại trừ một tập con compact nào đó phụ thuộc vào u. Giả sử u M là hạn chế của hàm u trên tập con M. Với k  ( ) hiệu C k  là không gian của tất cả các hạn chế u  với u  C k sup   k , x n D u ( x )  . 2 0 hoặc k =  , ta kí ( ) sao cho n Nếu k =  thì ta thay   k bởi   . Ta xác định chuẩn u Ck = u D u ( x ) . ( ) :=  sup  k , x Ck  Nếu k =  thì ta thay   k bởi   . Ta ký hiệu ( )  k Cloc  := u  ; u  C k ( n ). Giả sử n  2,0  T  . Ta xác định không gian của trường vectơ không phân kỳ trơn   C0, (  ) := u  C0 (  ) ; div u = 0 . n Ta xét không gian thử   C0 ( ( 0, T ) ; C0, (  ) ) := u  C0 ( ( 0, T )   ) ; div u = 0 , n trong đó div áp dụng cho các biến số x = ( x1 ,..., xn )   và   C0 ( 0, T ) ; C0, (  ) ) := u 0,T ) ; u  C0 ( ( −1, T )   ) ; div u = 0 . n 1.1.2. Không gian hàm suy rộng Giả sử   n là một miền bất kỳ với n  1. Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0 (  ) của hàm trơn trên  gọi là không gian thử và   C0 (  ) gọi là hàm thử. Cho phiếm hàm tuyến tính F :  → F ( ) ,   C0 (  ) . Hàm F liên tục khi và chỉ khi với mỗi miền con G  , G  , tồn tại k  0 và C = C ( F , G )  0 sao cho F ( )  C  ( ) Ck G thỏa mãn với mọi   C0 (  ) . Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính C0 (  ) của tất cả các phiếm hàm tuyến tính F : C0 (  ) →  F ( ) , 3   C0 (  ) liên tục, được gọi là không gian hàm suy rộng trong  . Kí hiệu F ( ) =  F ,  =  F ,  là giá trị của F tại  . Mỗi hàm f  L1loc (  ) xác định một hàm suy rộng được định nghĩa bởi  f ,  Ta kí hiệu hàm suy rộng là f ,. = f ,. = f , :=  f  dx.   hoặc f . Do đó ta xác định f với hàm suy rộng f ,. và phép nhúng L1loc (  )  C0 (  ) . Mỗi f  L1loc (  ) gọi là một hàm suy rộng chính quy. Xét toán tử vi phân bất kỳ D = D11 ...Dn n với  = (1 ,..., n )  n 0 . Với mỗi F  C0 (  ) hàm suy rộng D F  C0 (  ) được định nghĩa bởi  D F ,  := ( −1)  F , D   ,   C0 (  ) .  Đặc biệt, với mỗi f  L1loc (  ) hàm suy rộng D f =  D f ,.  C0 (  ) được định nghĩa bởi  D f ,   := ( −1)  f , D  = ( −1)    f ( D  )dx.  Nếu D f chính quy thì tồn tại một hàm của L1loc (  ) biểu thị qua D f sao cho  D f ,  = D f , =  ( D f )dx với mọi   C0 (  ) .  Kí hiệu D f  L1loc (  ) là D f chính quy và coi như một hàm trong L1loc (  ) . Giả sử F  C0 (  ) và D := a D ,   k 0 , a  (1.1) k là toán tử vi phân bất kỳ. DF  C0 (  ) được định nghĩa bởi  DF ,  =  ( −1)  k  a  F , D  ,   C0 (  ) . 4 (1.2) Đặc biệt, nếu f  L1loc (  ) và Df được định nghĩa bởi (1.2) là hàm suy rộng chính quy xác định bởi một hàm được biểu thị qua Df thì ta viết đơn giản Df  L1loc (  ) . Khi đó  Df ,  = Giả sử Df , =  ( Df )  dx =  f  L1loc (  )  ( −1)  k  a f , D với mọi   C0 (  ) . và  = (1 ,..., n )  n 0 D f Nếu . chính quy, D f  L1loc (  ) thì ta gọi D f là đạo hàm yếu cấp  của f . Nếu 1  q   thì ký hiệu D f  Lq (  ) là D f chính quy và là một hàm trong Lq (  ) , khi đó ta viết D f q  . Tương tự, Df  Lq (  ) với D thỏa mãn (1.1) là chính quy. Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ. Giả sử m C0 (  ) := (1 ,..., m ) ,  j  C0 (  ) , và j = 1,..., m m là không gian hàm thử có giá trị vectơ  = (1 ,...,m ) được trang bị tôpô tương ứng. Với mỗi F = ( F1 ,..., Fm ) , Fj  C0 (  ) , j = 1,..., m ta định nghĩa hàm  F ,  , F:   = (1 ,..., m )  C0 (  ) m bởi  F ,  =  F ,  :=  F1 ,1  + ... +  F1 ,m . Ta ký hiệu m m C0 (  ) = C0 (  )  = ( F ,..., F ); F  C () , j = 1,..., m 1 m  0 j  là không gian suy rộng của không gian thử C0 (  ) . m 1 Giả sử f  Lloc (  ) và  = (1 ,..., n )  m   f ,  = n 0 thì f = ( f1 ,..., f m ) xác định hàm suy rộng f , =  f . dx   trong đó f . = f11 + ... + f mm , = (1 ,..., m )  C0 (  ) . Khi đó ta có phép nhúng m m m L1loc (  )  C0 (  )  . Để xác định nghiệm yếu của phương trình Navier – Stokes ta xét không gian con của hàm thử không phân kỳ 5   C0, (  ) :=   C0 (  ) ; div  = 0  C0 (  ) . n n Không gian C0, (  ) của hàm tuyến tính liên tục được định nghĩa trên C0, (  ) là không gian của tất cả các hạn chế F C 0, Do đó ()  n , F  C0, (  )  . C0, (  ) = F C  0, ( )  n , F  C0, (  )  . 2 Xét không gian Hilbert L (  ) với tích vô hướng n u, v  = u , v :=  u ( x ) .v ( x ) dx  và không gian con L2 (  ) := C0, (  ) n là bao đóng trong chuẩn . 2 . 2  L2 (  ) n . 2 Với mỗi u  L (  ) xác định hàm u , . :  n u ,  ,   C0 (  ) ta được n phép nhúng tự nhiên n n L2 (  )  C0 (  )  . Tương tự, với mỗi u  L2 (  ) xác định hàm u , . :  u ,  ,   C0, (  ) được phép nhúng tự nhiên L2 (  )  C0, (  ) . 2 Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L (  ) L2 (  ) được gọi là phép chiếu n Helmholtz. 1.1.3. Không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.3. Giả sử   n là một miền với n  1, 1  q  , khi đó Lq (  ) là không gian Banach của tất cả các hàm thực đo được Lebesgue u được định nghĩa trên  có chuẩn hữu hạn uq= u q , = u Lq (  ) = u 6 Lq := (  ) 1 q u ( x ) dx . q Nếu q = 2 thì Lq (  ) = L2 (  ) trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng u, v  = u , v :=  u ( x ) .v ( x ) dx, với u , v  L2 (  ) .  Nếu q = , ta giả sử Lq (  ) = L (  ) là không gian Banach thông thường của tất cả các hàm đo được u với cận trên đúng hữu hạn u Giả sử q :=  = u  , = u L (  ) = u L := ess − sup u ( x ) . x q là số mũ liên hợp (đối ngẫu) của q, ta đặt q =  nếu q = 1 và q −1 q = 1 nếu q =  . Đặt 1 1 1 1 = 0 nếu q =  và = 0 nếu q =  , ta luôn có + = 1. q q q q Nếu u  Lq (  ) , v  Lq (  ) thì u.v  L1 (  ) và bất đẳng thức Holder không đổi uv 1  u q v q . Giả sử 1    ,   q  ,   r   sao cho thì uv  L (  ) . Đặt q := (1.3) 1 1 1 = + và u  Lq (  ) , v  Lr (  )  q r q r sao cho q := và áp dụng (1.3) ta có   uv   u Giả sử 1  q    r  ,0    1 sao cho  thì u  L (  ) . Đặt u = u u 1− q v r. (1.4) 1  1− = + và u  Lq (  )  Lr (  )  q r và áp dụng (1.4), sau đó sử dụng bất đẳng thức Young, ta có a b1−   a + (1 −  ) b  a + b với a, b  0 ta có u   u  q v 1− r  u q + u r. (1.5) Xét không gian Lqloc ,1  q  . Ta nói u  Lqloc (  ) khi và chỉ khi u  Lq ( B ) với ( ) mỗi hình cầu mở B  , B  . Ta nói u  Lqloc  khi và chỉ khi u  Lq ( B   ) với mỗi hình cầu B  n , B   . Ta có thể viết đơn giản u thay vì u  hoặc u B  . 7 Do đó ( ) Lq (  )  Lqloc   Lqloc (  ) . Nếu  bị chặn thì ( ) Lq (  )  Lqloc  , Lq (  )  Lqloc (  ) . ( ) ( ) Giả sử u j = u j  j =1 là một dãy trong Lq (  ) . Ta có u = lim u j trong Lq (  ) j → khi và chỉ khi u  Lq (  ) và lim j → ( ) trong Lqloc  khi và chỉ khi lim j → u −uj u −uj = 0. Do đó u = lim u j trong Lqloc (  ) hoặc j → q Lq ( B ) = 0 hoặc lim j → đổi với mọi hình cầu mở B  , B   hoặc B  n u −uj Lq ( B  ) = 0 không , B   . Giả sử m , ta định nghĩa không gian Lq của trường vectơ u = ( u1 ,..., um ) Lq (  ) := u = ( u1 ,..., um ) , u j  Lq (  ) , m j = 1,..., m là không gian Banach với chuẩn u q = u q , = u Lq (  ) = u 1 q  q :=   u j  . q  j =1  m Lq 2 Khi đó không gian L (  ) là không gian Hilbert với tích vô hướng m u, v = u, v m :=  u j , v j  j =1  với u.v = u1v1 + ... + umvm . Bất đẳng thức (1.3), (1.4) và (1.5) vẫn đúng trong trường hợp vectơ có giá trị. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử   n là một miền bất kỳ với n  1, k  , 1  q  . Không gian Lq − Sobolev bậc k W k ,q   được định nghĩa là không gian của mọi u  Lq (  ) sao cho D u  Lq (  ) với mọi   k . Khi đó D u là hàm suy rộng chính quy được định nghĩa bởi một hàm biểu thị qua D u . Chuẩn trong W k ,q   được định nghĩa bởi 8 u W k ,q u   = u W k ,    W k ,q = u = u W k , k ,q = u = u k ,   : =   D u k , q ,   k = u k , , 1 q   với 1  q   , q  q := max D u  k  với q = . Do đó, không gian L2 − Sobolev bậc nhất W1,2   được định nghĩa là không gian của u  L2 (  ) sao cho D u  L2 (  ) với mọi   1. Chuẩn trong W1,2   được định nghĩa bởi u 1,2 W   = u 1,2 W  = u 1,2 = u 1,2, :=   D u   1  1 2   . 2  2 Khi đó W01,2 (  ) := u  W1,2 (  ) ; supp u compact , supp u   và   W0,1,2 (  ) := u  W1,2 (  ) ; div u = 0 . n ❖ Một số tính chất Vết của ánh xạ f → f  theo định nghĩa một toán tử tuyến tính bị chặn từ W  ,q () sang W  −1/ q ,q () . Ngược lại, tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn E1 : W 1−1/ q,q () → W 1,q () với E 1 (h)  = h và một toán tử tuyến tính bị chặn E 2 : W 2−1/ q ,q ()  W 1−1/ q ,q () → W 2,q () thỏa mãn E 2 (h1 , h2 )  = h1 , N  E 2 (h1 , h2 )  = h2 . Cho 1  r  q, 1/ n + 1/ q  1/ r và f = ( f1 ,....., f n )  Lq (), div f  Lr (). Khi đó, sử dụng E1 với q được thay bằng q  , từ các ước lượng phép nhúng 9 E 1 ( h) r ',  C ( E 1 ( h) + E1 (h) q ', q ', với C = C (, q, r )  0 và đồng nhất thức của Green divf , E1 (h)  = N  f ,h  − f , E1 (h)  với h  W 1/ q ,q ' () , ta nhận được N  f   W −1/ q ,q ' () và ước lượng N f 1 − ;q , q  C( f q , + divf r , (1.6) với C = C (, q, r )  0 Ngược lại, đó là một toán tử tuyến tính Eˆ : W −1/ q ,q () → Lq (), thỏa mãn div Eˆ (h)  Lr (), N  Eˆ (h) Eˆ (h) q , + divEˆ (h)  r , = h và ước lượng C h −1/ q ;q , , h W −1/ q ,q () với C = C (, q, r )  0 . Từ (1.6) vậy H   W −1/ q ,q () cũng được xác định và thỏa mãn các ước lượng H −1/ q ;q ,  C ( H q , + H r , với C = C (, q, r )  0. Xét f = div F , k , g trong (1.9) và bài toán Neumann yếu H = k , N  H  = N  g (1.7) trong đó H  Lq () được coi là một nghiệm. Khi đó ta sử dụng Eˆ ( h) với 1, r h = N  g  W −1/ q ,q () và chọn một nghiệm b(h)  W0 () của phương trình div b(h) = div Eˆ (h) − k  Lr (). Từ đó  ( divEˆ (h) − k ) dx =  N  gdS −  kdx = 0 .   Vậy tồn tại một nghiệm thỏa mãn 10  b( h) q ,  C1 ( b(h) r ,  C2 ( divEˆ (h + k r , r , ) với C j = C j (, q, r )  0, j = 1, 2. Viết (1.7) dưới dạng H = div( Eˆ (h) − b(h)), N  (H − Eˆ (h) − b(h))  = 0 (1.8) ta thấy rằng là một nghiệm duy nhất H  Lq (), thỏa mãn H q ,  C1 ( Eˆ (h) q , + b( h) q ,  C2 ( N  g −1/ q ;q , + k r , ) và do đó H  C( N  g −1/ q ;q , −1/ q ;q , + k r , (1.9) ) với C = C (, q, r )  0, C j = C j (, q, r )  0, j = 1, 2. Đối với các chứng minh của đồng nhất thức (1.10) dưới đây ta sẽ xấp xỉ k , g trong (1.7) bằng hàm số trơn k j , g j , j  lim k − k j j → r , như vậy = 0,lim N  ( g − g j ) j → −1/ q ;q ,, =0 và  k dx =  N  g dS . j  j  Để chứng minh sự tồn tại, ta sử dụng (1.8), F = Eˆ (h) − b(h)  Lr () và hàm số trơn Fj , j  , thoả mãn lim Fj − F j → q , = 0 và lim div ( Fj − F ) j → r , =0 . Thiết lập K j = div Fj , g j = F j| và sử dụng (1.6) với 𝑓 được thay thế bởi F − F j ta nhận được các tính chất mong muốn. Cho H j  Lq () là các nghiệm trơn tương ứng của (1.7). Sử dụng (1.8), (1.9) với H , g , k bị thay thế bởi H − H j , g − g j , k − k j , ta thấy rằng 11 lim H − H j j → q , = 0 và lim H − H j j → −1/ q ;q , =0 . Khi đó, sử dụng các toán tử Stokes Aq ' và phép nghịch đảo một Aq−'1 dưới đây, ta được đồng nhất thức quan trọng H , Aq−'1v  = lim H j − Aq−'1v j →  (  = lim H j , N Aq−'1v j → = H , N  Aq−'1v (1.10) + H j , Aq−'1v  )  q' đối với mọi v  L () từ đó Aq−'1v = 0 và Aq−'1v| . Cho f = ( f1 ,...., f n )  Lq () . Khi đó trong (1.8) bài toán Neumann yếu H = div f , N  (H − f )| = 0 có một nghiệm duy nhất H  Lq () , thoả mãn H q ,, C f q , với C = C (, q)  0 . Thiết lập Pq f := f − H ta nhận được phép chiếu Helmholtz là q một toán tử tuyến tính bị chặn từ Lq () lên L () , thỏa mãn Pq2 = Pq và Pq' = Pq ' trong đó Pq' là toán tử đối ngẫu. Các toán tử Stokes Aq với miền D( Aq ) = Lq ()  W01,q ()  W02,q () và R( Aq ) = Lq () được xác định bởi Aq u = − Pq u , u  D ( Aq ) 12 là trù mật xác định toán tử đóng thỏa mãn Aq u , v  = u , Aq 'v  sao cho u  D( Aq ), v  D( Aq ) và Aq u = A u với 1  q,   , u  D ( Aq )  D ( A ). Phân số bậc Aq : D( Aq ) → Lq ()     1, với D( Aq )  D( Aq )  Lq () được xác định và song ánh, nghịch đảo của nó Aq−  = ( Aq ) −1 bị chặn từ Lq () lên R ( Aq ) −1 = D( Aq ) . ( ) =A Hơn nữa, nó cố định Aq '  q' . Ta lưu ý rằng chuẩn u ( ) tương đương cho u  D Aq , cũng như chuẩn u 1;q , và Aq1/2u 2;q , q , và Aq u q , là là tương đương ( ) cho u  D Aq . Có ước lượng phép nhúng u q ,  C A u r , ( ) , u  D A , 1    q  , 2 + n n = q  (1.11) cố định với C = C(, q,  )  0. Sử dụng Aq1/2 ta xác định các toán tử Yosida J m = ( I + m −1 Aq1/2 ) −1 cho m . Biết rằng trong đó có tồn tại C = C(, q)  0 sao cho J m + m −1 Aq1/2 J m  C , m (1.12) q q trong các toán tử tiêu chuẩn trên L () và J mu → u trong L () như là m →  liên quan đến các toán tử Stokes. Sử dụng (1.11) ta nhận được cho f = divF , f  Lq () , F  Lr () và tùy ý v  Lq () ước lượng ' f , Aq−'1v  = F , Aq−'1v  13 = F , Ar−' 1/2 Ar−' 1/2v   C1 F Ar−'1/2v r , r ',  C2 F r , v q ', với C j = C j (, q,  )  0, j = 1, 2 . Điều này chứng minh sự tồn tại duy nhất của fˆ  Lq () thỏa mãn f , Aq−'1v fˆ q , ^  với mọi v  Lq () và ước lượng ' = f ,v  C F r , , C = C (, q,  )  0. Tương tự trong lý thuyết của sự phân phối, ta đặt theo định nghĩa fˆ = Aq−1Pq f  Lq (). Khi đó Aq−1 Pq f được xác định rõ bởi mối quan hệ Aq−1Pq f , v  = f , Aq−'1v  , v  Lq () .  Tổng quát hơn, cho f  C0 () là phân phối bất kỳ nào đó, vậy f ,w  cũng được định nghĩa (bởi bất kỳ phần mở rộng liên tục naò đó) cho mọi hàm số tiêu chuẩn w = D( Aq' ), 0    1 và thỏa mãn ước lượng f , Aq−' v   Cf v q ', , v  Lq () khi đó Aq−' Pq f  Lq () cũng được xác định bởi mối quan hệ Aq−  Pq f , v  = f , Aq−' v  , v  Lq ' () cho Aq−' Pq f theo nghĩa suy rộng và nó cố định Aq−' Pq f q  Cf . Ta nói đến các ước lượng Aq−'1/2 Pq div w  C w q , w  Lq () , 1  q   q với C = C ( , q )  0 . 14 Cho w  C0,2  () và v = Aq w . Khi đó, sử dụng (1.11) và các ước lượng vết, ta được g , N  Aq−1v   C1 g  C2 g −1/ q ;q ,  C3 g −1/ q ;q , −1/ q ;q , Aq−'1v v Aq−'1v 1/ q ;q, 1;q ', q , với C j = C j (, q)  0, j = 1, 2,3 . Từ Lq () = ( Lq () ) , có một G  Lq () duy nhất thỏa mãn G, v  = g , N  Aq−'1v G q ,  C g cho v  Lq () −1/ q ;q , với C = C(, q)  0 . Cuối cùng ta cần tính chất trù mật AqC0,2  ()  q , = Lq () . (1.13) q Thật vậy, xét f  L () , chọn f j  C0, () , j  , với lim f − f j → j q , và cho u j  Aq−1 f j . Các tính chất tính chính quy cho thấy rằng u j  C0,2  () cho j  =0 và q ta thấy rằng Aq u j = f j → f trong L () như j →  . Điều này được chứng minh (1.13). Hơn nữa, chứng minh này cho thấy rằng C0,2  ()  D( Aq ) là một lõi của D ( Aq ) . 1.2. Phương trình Navier – Stokes Giả sử miền    mở,   các biến số x = ( x1 ,..., xn ) . Trong phần này, ta giả sử  trơn,  gồm gọi là không gian biến,  0,T ) là khoảng thời gian với n 0  T  , t   0, T ) gọi là biến thời gian. Trong trường hợp n = 2 và n = 3, ta giả sử miền  được lấp đầy với chất lỏng như nước, không khí, dầu,... u ( t , x ) = ( u1 ( t , x ) ,..., un ( t , x ) ) là vận tốc của chất lỏng tại ( t , x ) = ( t , x1 ,..., xn ) , t   0, T ) , x  . 15