Tài liệu Một số tính chất của phân tích hình P - Adic

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. MAI VĂN TƯ Nghệ An – 2014 3 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Mở đầu 2 1. Kiến thức cơ sở 4 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ �………………………… 1.2. 7 Xây dựn g trườ ng số hữu tỷ p – adic �p … … … … … … … 4 4 … … … 1.3. Một số tính chất tô pô của �p ………………………….………… 1.4. 12 11 Mở rộng đón g đại số đầy đủ �p của trườ ng các số �p … … … … 2. Một số tính chất của hàm phân hình p – adic 16 2.1. Hàm chỉnh hình ..……………………………………………………… 16 2.2. Tương tự công thức tích phân Cauchy………………………………. 17 5 2.3. Định lý tích phân Cauchy ………………………………...…………... 19 2.4. 22 Trư ờng hàm phâ n hình …… …… …… …… …… …… …… …… ........ .. 2.5. Định lý thác triển Riemann ………………………………................... 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU 6 Giải tích trên trường phi Ácsimét là một chuyên ngành quan trọng của toán học, có nguồn gốc từ cuối thế kỷ 19 và phát triển mạnh mẽ trong những thập niên gần đây. Ngày nay những phương pháp và kết quả của giải tích phi Ácsimét được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: giải tích, hình học, đại số, lý thuyết số, vật lý lý thuyết. Dựa trên các tài liệu [1], [5], chúng tôi tìm hiểu một số tính chất đối với các hàm chỉnh hình và phân hình trên trường phi Ácsimét. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ �, xây dựng trường số hữu tỷ p – adic �p , một số tính chất tô pô của �p , mở rộng đóng đại số đầy đủ �p của trường các số �p nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2. Một số tính chất của hàm phân hình p – adic. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Mai Văn Tư. Tác giả xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo TS. Mai Văn Tư đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại Số. 7 Đề tài nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Kính mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng biết ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2014 Tác giả 8 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ �, xây dựng trường số hữu tỷ p – adic �p , một số tính chất tô pô của �p và mở rộng đóng đại số đầy đủ �p của trường các số �p làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ � 1.1.1. Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập 1.1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối  trên K là hàm số từ K vào R (ký hiệu   x   x  , x �K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a. x  �0, x �K và x   0 khi và chỉ khi x  0. b. xy   x  y  , x, y �K.. c. x  y  �x   y  , x, y �K.. Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện: c’. x  y  �max  x  , y   , x, y �K. . 9 1. Đặt x  1,  0 �x �K;; 0  0, ta được một giá trị tuyệt đối trên K . Ví dụ. Giá trị tuyệt đối này được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường. 2. Giả sử K là trường số hữu tỷ. Khi đó giá trị tuyệt đối thông thường x trên K thỏa mãn các điều kiện a, b và c. 3. Giả sử x là một số hữu tỷ khác 0 tùy ý. Khi đó x có thể viết một cách duy nhất dưới dạng: x  �2 p1 p2 ... pn , trong đó pi là số nguyên tố lẻ và  ,  i 1 2 n  là các số nguyên. Khi đó nếu đặt x  2 và 0  0 , ta nhận được một giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ. Dễ thấy rằng, giá trị tuyệt đối định nghĩa trên đây thỏa mãn tiên đề c’ và đó là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét. 1.1.1.2. Chú ý - Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết x thay cho x  và nói về . như giá trị tuyệt đối trên trường K . - Giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một mêtric. Khoảng cách giữa hai điểm x, y thuộc K trong mêtric đó bằng x  y . Như vậy giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một tô pô. Bộ  K,  gồm trường K và hàm giá trị tuyệt đối  trên K được gọi là trường định giá (còn gọi là trường định chuẩn). 1.1.1.3. Định nghĩa. Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định cùng một tô pô trên K . Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương). Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương với nhau). 10 1.1.1.4. Định lý. Giả sử .   . 1 và .   . 2 là hai giá trị tuyệt đối không 1 2 tầm thường trên trường K . Chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức x 1  1 suy ra x 2  1 . Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực   0 sao  cho x 1  x 2 với mọi x �K . Định lý sau đây nêu lên các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường K . 1.1.1.5. Định lý. Giả sử  K, .  là trường định chuẩn với đơn vị e, khi đó các điều kiện sau là tương đương: a. . phi Ácsimét. b.  x �K : x  1 � x �K : e  x  1  �. c. Tập số tự nhiên � bị chặn. d. 2e �1 . 1.1.1.6. Nhận xét. Trong định lý 1.1.1.4, chúng ta thu được một điều kiện khá mạnh mà các giá trị tuyệt đối tương đương thỏa mãn. Bây giờ, chúng ta đưa ra một điều kiện mà giá trị tuyệt đối độc lập nghiệm đúng. 1.1.1.7. Định lý (Định lý xấp xỉ của Artin – Whepern) Giả sử K là một trường, . 1 ,..., . s , là các giá trị tuyệt đối không tầm thường, từng đôi một độc lập trên K . Nếu x1 ,..., xs là các phần tử thuộc K ,   0 thì tồn tại phần tử x �K sao cho: x  xi i   , với mọi i  1, 2,..., s. 1.1.2. Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ Q 11 Giả sử 0 �x �Q , khi đó x có thể viết dưới dạng: x  �p11 p2 2 ... pk k , trong đó p j , j  1, 2,..., k là các số nguyên tố, đôi một khác nhau và  j là các số nguyên. Các số nguyên  j được gọi là chỉ số lũy thừa của số nguyên tố p j có mặt trong sự phân tích trên của số hữu tỷ x. Giả sử p là một số nguyên tố. x Kí hiệu ord p x   j , j  1, 2,..., k , ord p  0 nếu p �p j . j Đặt x p  p  ord p x nếu x �0 và 0 p  0 . 1 2 1 4 1.1.2.1. Ví dụ. Với p  2 , ta có: 2 2  , 12 2  , 3 2  1 . Mệnh đề sau đây chứng tỏ . p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường các số hữu tỷ Q . 1.1.2.2. Mệnh đề. Hàm . p xác định như trên là một hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ. Người ta gọi . p là giá trị tuyệt đối p – adic. 1.1.2.3. Nhận xét. Trên trường số hữu tỷ Q , ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối thông thường .  . � , chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p – adic. Vấn đề đặt ra là trên Q có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không? Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó. 1.1.2.4. Định lý (Ostrowski). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q đều tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc p  �. 12 1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic �p 1.2.1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản). Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy  xn  các số hữu tỷ được gọi là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p – adic . p nếu với mọi   0 , luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi m, n  n0 ta có: xm  xn   . 1.2.2. Quan hệ tương đương. Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic . p . Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau: a   an  �X ; b   b j  �X a : b � lim a j  b j  0. j �� Rõ ràng " : " là quan hệ tương đương trên X. Đặt �p  X / :   a   a j   , trong đó a  � b j  �X : lim a j  b j  0�. � � � j �� Đặc biệt, với x �Q ta kí hiệu  x là dãy Cauchy hằng và  x :  x ' khi và chỉ khi x  x ' . Giá trị tuyệt đối trên �p được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p – adic . p trên Q . a j , trong đó  a j  là phần tử đại Nếu a   a j  , ta định nghĩa a p  lim p j �� diện của lớp tương đương a. Mệnh đề sau khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên �p như trên là hợp lý. 13   1.2.3. Mệnh đề. Tồn tại giới hạn của dãy a j p trong đó  a j  là dãy cơ bản các số hữu tỷ. 1.2.4. Phép toán trên �p . Giả sử a   a j  , b   b j  ��p . Ta xây dựng hai phép toán sau:   a  b  a j  bj ,   ab  a j b j . 1.2.5. Mệnh đề. Các phép toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện. 1.2.6. Định lý. �p cùng hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một trường gọi là trường các số hữu tỷ p – adic và �p là trường mở rộng của trường các số hữu tỷ �. 1.2.7. Bổ đề. Nếu x �� và x p �1 , với mỗi j luôn tồn tại số nguyên  sao cho:   x p �p  j , j trong đó số nguyên  có thể chọn trong tập  0,1, 2,..., p  1 . Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p – adic. 1.2.8. Định lý. Với mỗi lớp tương đương a  �p : a 1 , có đúng một dãy Cauchy  a j  thỏa mãn hai điều kiện sau: i. ii. 0 �a j  p j , j  1, 2,... a j 1 �a j (mod p j ), j  1, 2,... 1.2.9. Nhận xét. Trong định lý 1.2.8 ta luôn giả thiết a p �1. Vậy điều gì sẽ xảy ra khi a p  1. Để đi đến kết luận, chúng ta biến đổi như sau: m Vì a p  1 nên a p  p , m γ N , m 1. 14 m' Đặt a '  a. p m ' , m ' �m . Rõ ràng a ' p  a p p �1 .   ' Khi đó a '  a j với a '  a. p m ' thỏa mãn giả thiết của định lý 1.2.8 và ' m' a  a '. p  m ' có đại diện tương ứng là  a j  , trong đó a j  a j . p , j. ' Để thuận lợi trong trình bày, chúng ta viết a j trong hệ đếm cơ số p, nghĩa là: a 'j  b0  b1 p  ...  b j 1 p j 1 , trong đó b j là các chữ số, 0 �bi  p, i  1, 2,..., j  1. a 'j 1  b0  b1 p  ...  b j 1 p j 1  b j p j . và Như vậy với mọi a ��p đều có dạng: a b m b m 1   ...  b0  b1 p  b2 p 2  ... (*) p m p m 1 trong đó b j là các chữ số, b j �{ 0,1,..., p  1}. Biểu thức (*) được gọi là biểu diễn chính tắc của số hữu tỷ p – adic a ��p . Chúng ta đặt �p   a  �p : a 1 , rõ ràng �p là tập hợp tất cả các số thuộc �p mà trong biểu thức xác định chúng không chứa lũy thừa âm của số nguyên tố p. Mỗi phần tử của �p được gọi là số nguyên p – adic. Vậy a ��p � a  a0  a1 p  a2 p 2  ...  ak p k  ..., 0 �a j  p, j. � và a  �a j p j j 0 m suy ra a p  p , trong đó m  min  j : a j �0 . Chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau. 15 1.2.10. Mệnh đề. �p là vành con của �p , không chứa ước của 0. 1 � � * Đặt �p  �a ��p : ��p �là nhóm nhân các phần tử khả nghịch. Các phần tử � a * của �p còn gọi là các phần tử đơn vị (hay phần tử khả nghịch) của vành �p . Kết quả sau đây cho chúng ta dấu hiệu nhận biết một số nguyên p - adic là đơn vị. 1.2.11. Mệnh đề. Số nguyên p – adic a ��p là đơn vị khi và chỉ khi a0 �0(mod p ) , trong đó a  a0  a1 p  a2 p 2  ...  ak p k  ..., 0 �a j  p, j ��. 1.2.12. Hệ quả. Mọi số p – adic có dạng   p m , trong đó m ��,  là phần tử khả nghịch. 1.3. Một số tính chất tô pô của �p Theo cách xây dựng, có thể xem �p là một mở rộng của trường số hữu tỷ �. Ta đã biết trường số thực � cũng là một mở rộng của trường số hữu tỷ �. Tuy nhiên giá trị tuyệt đối trên �p là phi Ácsimet nên có nhiều tính chất tôpô của �p khác lạ so với tính chất tô pô trên trường số thực �. Một trong số các tính chất khác biệt, đó là: Vành Z p là compact, Z trù mật trong Z p . Tuy nhiên Z không trù mật trong trường số thực �(đối với tô pô cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối thông thường). 1.3.1. Mệnh đề. Z p là compact. 1.3.2. Hệ quả. Z p đầy đủ. 16 1.3.3. Mệnh đề. � trù mật trong Z p . �1 � �p Chú ý rằng �p không compact vì dãy � n �không thể trích được dãy con hội tụ. Tuy nhiên chúng ta có : 1.3.4. Mệnh đề. �p compact địa phương, � trù mật trong �p . 1.3.5. Hệ quả. �p đầy đủ và tách được. 1.3.6. Mệnh đề. Tô pô của �p là tô pô không chiều, �p là hoàn toàn không liên thông. 1.3.7. Nhận xét (so sánh �p và �) Rõ ràng con đường xây dựng của �p và � là giống nhau : chúng đều là các mở rộng của trường các số hữu tỷ �, song với các giá trị tuyệt đối khác nhau. Vì vậy giữa trường số hữu tỷ p – adic �p và trường số thực � còn nhiều điểm khác nhau. Thứ nhất, tập các giá trị tuyệt đối trên � chính là � , còn tập các giá trị tuyệt đối p – adic trên �p là:  0 � p m , m �� . Thứ hai, mỗi x ��p , an � 0,1,..., p  1 sao cho an �0 với mọi số nguyên n thỏa mãn n  N 0 và x  � �a n  N0 cho bn �0 với n  N 0 và y  n p n , nếu y ��, tồn tại bn � 0,1,..., p  1 sao � �b p n  N 0 n n . Tuy nhiên an duy nhất, còn bn không duy nhất. 1.4. Mở rộng đóng đại số đầy đủ �p của trường các số �p 17 Trong trường hợp thực, bao đóng đại số của trường số thực � là trường số phức �. Có thể xem � là không gian vectơ 2 chiều trên �. Vấn đề được đặt ra là từ �p , bằng phương pháp tương tự có thể mở rộng nó thành một trường đóng đại số và đầy đủ hay không? Câu trả lời là khẳng định song có những điểm khác nhau, chẳng hạn giá trị tuyệt đối trên � và trên �p khác nhau nên tô pô trên chúng cũng khác nhau. Mặt khác, bao đóng đại số của � là một trường đầy đủ, còn bao đóng đại số của �p không có tính chất đó. Trong mục này chúng tôi dẫn ra một số kết quả của quá trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ của trường �p . Ký hiệu �p là bao đóng đại số của �p . Nếu  ��p , thì  là nghiệm của đa thức bất khả quy f ( x) ��p  x  : f  x   x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an . Khi đó giá trị tuyệt đối của  trên �p được xác định bởi hệ thức:  p  an p Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm giá trị tuyệt đối trên �p . Ta có định lý sau: 1.4.1. Định lý. �p là trường không đầy đủ. Như vậy, bao đóng đại số của trường số p – adic không phải là không gian đầy đủ. Để có được không gian đầy đủ, ta cần làm đầy theo cách thông thường như sau. 18 Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của �p , dãy xn p  0.  xn  được gọi là dãy không nếu lim j �� Hai dãy cơ bản  xn  và  yn  được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu  xn  yn  là dãy không. Đặt �p  X / : , rõ ràng C p cùng với hai phép toán +, . các dãy thông thường (cộng, nhân thành phần) lập thành một trường. Khi làm đầy bao đóng đại số của trường số p – adic để được không gian đầy đủ, liệu tính chất đóng đại số có được bảo toàn hay không ? Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi đó. 1.4.2. Định lý. C p là trường đóng đại số. Như vậy mỗi phần tử của C p là giới hạn của một dãy cơ bản các phần xn , thì giá trị tuyệt đối trên C p được định nghĩa như tử của �p . Nếu   lim n �� sau:  p  lim xn n �� p Ngoài ra, hàm ord p x trên �p được mở rộng thành hàm số cho bởi công thức:   z    log z , z ��p . Cuối cùng, một số tính chất đại số và tô pô của trường C p được mô tả bởi định lý sau. 1.4.3. Định lý 19 i. C p đóng đại số và đầy đủ. ii. �p là �p - không gian vectơ vô hạn chiều. iii. �p không compact địa phương. iv. �p tách được. v. Trường các lớp thặng dư của �p là trường đóng đại số của trường có p phần tử. vi. Nhóm giá trị của �p là compact. 20 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 2.1. Hàm chỉnh hình Ta định nghĩa hình cầu mở bán kính R bởi B R   z �F : z  R . Ta cũng sử dụng ký hiệu B�  F cho trường hợp toàn bộ trường. Hình cầu đóng bán kính R được định nghĩa bởi B�R   z  F : z R}. Nếu R  0 thì cả B R và B�R đều là những tập hợp vừa mở vừa đóng trong tô pô của F . Vành hàm chỉnh hình trong B�R , kí hiệu A  R  , được định nghĩa bởi �� � A[ R]  � an z n �F � an R n  0 �  z � � � �: lim n �� �n 0 Tương tự, vành các hàm chỉnh hình trong B R , kí hiệu A  R  , được định nghĩa như sau: �� �. A( R)  � an z n �F � an r n  0, r  R �  z � � � �: lim n �� �n 0 Các phần tử của A  � , tức là các chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ bằng vô cùng, được gọi là các hàm nguyên.