Mët t i l»u ngn gån v·
Lþ thuy¸t Ph¤m trò v
H m tû
A short way to
Theory of Categories and Functors
Author:
DongPhD
DongPhD Problems Book
Series
υo`.1
All rights reserved.
c 2009 by
wWw.VnMath.CoM
MÖC LÖC
Líi tüa
1
1 Ph¤m trò
2
1.1
1.2
1.3
Kh¡i ni»m v· ph¤m trò . . . . . . . . . . .
C¡c vªt v c¡c c§u x¤ °c bi»t . . . . . . .
Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel . . . . . .
2
4
14
2 H m tû
17
T i li»u tham kh£o
28
2.1
2.2
2.3
Kh¡i ni»m h m tû . . . . . . . . . . . . .
Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n . . . . . . . . . . .
H m tû khîp . . . . . . . . . . . . . . . .
i
17
19
20
www.vnmath.com
Líi tüa
Lþ thuy¸t ph¤m trò v h m tû l mæn håc mîi vîi ph¦n
æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l
khâ kh«n. º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæi
bi¶n so¤n tªp t i li»u ngn gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i
þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi ¢ l m cæng vi»c cõa mët
con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m khæng
mong k¸t tinh mët ÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May
ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh ÷ñc sü cho¡ng ngñp ban ¦u khi
ti¸p cªn vîi tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng n y.
R§t mong ÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c ëc gi£ v· nhúng
sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y.
N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúng
líi cao luªn.†
Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi
DongPhD
† Of
first editon. Thanks for nothing.
is the second version.
§ Ask not me why
‡ This
1
www.vnmath.com
1 Ph¤m trò
Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me
servoit apr±s en trouver d'autres [Each problem
that I solved became a rule which served afterwards
to solve other problems]. (Ren² Descartes, Discours
de la M²thode)
1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò
B i tªp 1.1.
1. 1 l ph¤m trò vîi mët vªt ? v mët môi t¶n id?;
2. 0 l ph¤m trò réng khæng câ vªt v môi t¶n n o.
3. G r khæng l ph¤m trò con ¦y cõa ph¤m trò S
4. Ab l ph¤m trò con ¦y cõa G r.
Líi gi£i.
3. Trong ph¤m trò G r ta câ [Z2 , Z2 ] = {0, id}. Tuy nhi¶n
trong ph¤m trò S , [Z2 , Z2 ] = {0, id, e} vîi e(0) =
1, e(1) = 1
4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v G r l nh÷ nhau.
B i tªp 1.2. Cho mët hå (Ai )i∈I c¡c vªt trong mët ph¤m
trò C , chùng minh r¬ng CS , CP l ph¤m trò.
1 Mët
sè s¡ch gåi l môi t¶n(arrow)
2
www.vnmath.com
1. Ob(CS ) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)},
[(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→
Y ∈ [X, Y ]C |
βi = δαi , ∀i ∈ I}
hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l t½ch c¡c c§u
x¤ trong C .
2. Ob(CP ) = {(αi : X −→ Ai)I |X ∈ Ob(C)},
[(αi : X −→ Ai )I , (βi : Y −→ Ai )I ]CP = {γ : X −→
Y ∈ [X, Y ]C |
βi = γαi , ∀i ∈ I}
hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l t½ch c¡c c§u
x¤ trong C .
Líi gi£i.
∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]C
n¶n nâ l mët tªp hñp.
∗ 1(αi :Ai −→X)I = 1X
∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l t½ch
c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi :Ai −→X)I = 1X l duy nh§t
v ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp.
B i tªp 1.3. Cho A, B l c¡c vªt trong mët ph¤m trò C ,
chùng minh r¬ng OvB , U nA l ph¤m trò.
1. Ob(OvB ) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)},
β
α
[X −→ B, Y −→ B]Ov = {γ : X −→ Y
B
α}
3
∈ [X, Y ]C |βγ =
www.vnmath.com
2. Ob(U nA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)},
β
α
[A −→ Y, A −→ X]U n = {δ : X −→ Y
A
∈ [X, Y ]C |δβ =
α}
Líi gi£i.
Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n · nh÷ B i tªp 1.2.
1.2 C¡c vªt v c¡c c§u x¤ °c bi»t
B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng
a. N¸u α, β l ìn x¤ v βα x¡c ành th¼ βα công ìn
x¤.
b. N¸u αβ th¼ α ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t ìn
x¤).
c. N¸u α l to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α]
khæng to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C .
Líi gi£i.
a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf
= βαg . V¼ β l ìn x¤
n¶n αf = αg , do α l ìn x¤ n¶n f = g . Vªy βα ìn
x¤.
b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg
do βα l ìn x¤ n¶n f = g . Vªy α l ìn x¤.
β khæng nh§t thi¸t ìn x¤.
Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤
β
α
N −→ Z −→ N
n 7−→ n
z 7−→ |z|
4
www.vnmath.com
Rã r ng βα = idN l ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l
ìn x¤ v¼ |z1 | = |z2 | khæng suy ra ÷ñc z1 = z2 .
c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h»
t÷ìng ÷ìng tr¶n M or(N):
a, b ∈ M or(N), a ∼ b ⇐⇒ a v b còng chia h¸t cho 2
hay ·u khæng chia h¸t cho 2.
Khi â M or(N) ÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1].
Ta câ ph¤m trò th÷ìng N:
Ob(N) = {N}, M or(N) = {[0], [1]}
Hñp th nh[a], [b]:
[a][b] = [ab] =
[1]
n¸u a v b ·u l´
[0]
c¡c tr÷íng hñp cán l¤i
Ta câ 2 l to n x¤ (ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng
to n x¤ (ìn x¤) trong N.
B i tªp 1.5.
1. To n x¤ ch÷a chc l to n ¡nh.
2. ìn x¤ ch÷a chc l ìn ¡nh.
Líi gi£i.
1. X²t ph¤m trò M on c¡c nûa nhâm câ ìn và(Monoid)
c¡c c§u x¤ l c¡c çng c§u cõa chóng.
çng c§u bao h m j : N −→ Z l mët to n x¤ nh÷ng
khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l
hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o
5
www.vnmath.com
â. Lóc â câ n ∈ Z sao cho g1 (n) 6= g2 (n), do â
g1 (−n) 6= g2 (−n). Ho°c n ho°c −n ∈
/ N, g1 j 6= g2 j .
Vªy j l to n x¤.
2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia ÷ñc v c¡c
c§u x¤ l c¡c çng c§u nhâm giúa chóng. X²t çng
c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l ìn
¡nh; tuy nhi¶n, nâ l mët ìn x¤ trong ph¤m trò n y.
Thªt vªy, n¸u qf = qg trong â f , g : G −→ Q, G
l nhâm abel chia ÷ñc n o â. Lóc â qh = 0 vîi
h = f − g (¥y l mët ph¤m trò cëng t½nh2 ). Suy ra
h(x) l mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng
h¤n,
1
x
=
h
2008h(x)
2008
th¼
x
qh
2008h(x)
6= 0
m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v q l ìn x¤.
B i tªp 1.6. Chùng minh r¬ng c¡c m»nh · sau t÷ìng
֓ng:
a. A l vªt khæng.
b. O −→ A l to n x¤.
c. A −→ O l ìn x¤.
d. 1A l c§u x¤ khæng.
2 xem
[1]
6
www.vnmath.com
Líi gi£i.
Ta ch¿ chùng minh a ⇐⇒ b v a ⇐⇒ d.
1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→
X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duy
nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l to n x¤.
2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l to n x¤. c Ta s³ chùng
minh O −→ A l ¯ng x¤. Thªt vªy,
A
0AO /
0OA /
O
A
∗ Ta câ 0OA .0AO = 0AA ∈ [A, A] v 1AA ∈ [A, A].
M°t kh¡c 0AA 0OA = 1AA 0OA = 0OA , do 0OA l
to n x¤ n¶n 0AA = 1AA .
∗ Ta công câ 0AO .0OA = 0OO = 1OO .
Vªy a ⇐⇒ b.
3. (a =⇒ d). Rã.
4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l c§u x¤ khæng. A l vªt tªn
còng v¼ 0XA ∈ [X, A] v n¸u f ∈ [X, A] th¼ 1A f =
0XA = 1A 0XA , do â f = 0XA v¼ 1A l ¯ng x¤.
Vªy a ⇐⇒ d.
B i tªp 1.7. Cho C l mët ph¤m trò v h¼nh vuæng sau
giao ho¡n:
P
p2
p1
D2
/B
β2
7
1
β1
/B
www.vnmath.com
Ta x²t ph¤m trò P ull:
Vîi β1 : B1 −→ B , β2 : B2 −→ B cho s®n cõa C
Ob(Pull) = {(p1 : P −→ B1 , p2 : P −→ B2 )|p1 , p2 ∈
M or(C), β1 p1 = β2 p2 } [(p1 , p2 ), (p01 , p02 )]P ull = {γ : P 0 −→
P ∈ M or(C)| p01 = p1 γ, p02 = p2 γ};
hñp th nh l hñp th nh trong trong C ; 1(p1,p2) = 1C .
H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò P ull.
Líi gi£i.
∗ Gi£ sû trong ph¤m trò P ull tçn t¤i n½u cho c°p β1 ,
β2 l (P, p1 , p2 ) th¼ (p1 , p2 ) ch½nh l vªt tªn còng c¦n
t¼m.
∗ N¸u ph¤m trò P ull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 .
Gi£ sû (p1 , p2 ) l vªt tªn còng cõa ph¤m trò P ull th¼
(P, p1 , p2 ) l n½u (væ lþ).
B i tªp 1.8. Chùng minh r¬ng:
a. N¸u α l ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼
ch÷a chc;
b. N¸u β l ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα).
c. N¸u u : K −→ A l h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v
p : A −→ K ∗ l èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l h¤t nh¥n
cõa p.
Líi gi£i.
a. Ta câ
0
α
XA
X −→
A −→ B
8
www.vnmath.com
∗ α.0XA = 0.
∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n i·u
ki»n αu0 = 0. V¼ α l ìn x¤ n¶n u0 = 0XA . Vîi
λ = idX ta câ 0XA .λ = u0 .
Vªy Kerα = 0.
Ph£n v½ dö:
X²t ph¤m trò R − Smod c¡c nûa mæun tr¡i.
X²t Λ3 = {0, 1, a}, trong â a kh¡c 0 v 1 vîi
ph²p to¡n cång ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
+
0
1
a
0
0
1
a
1
1
1
1
a
a
1
a
Λ3 l và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû ìn và
l 1.
Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v nh¥n
thæng th÷íng l nûa v nh.
X²t ¡nh x¤
ϕ : N × Λ3 −→
Λ3
(n, x) 7−→ nx = |x + x{z
+ . . . x}
n l¦n
Ta câ ∀m, n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3
n(x + y) = (x + y) + . . . (x + y)
|
{z
n l¦n
=x
+ . . . x} + y + y + . . . y
| + x{z
|
n l¦n
{z
n l¦n
= nx + ny
9
}
}
www.vnmath.com
T÷ìng tü
(m + n)x = nx + mx
(mn)x = m(nx)
1x = x
Vªy Λ3 l mët N − nûa mæun tr¡i.
X²t
f : Λ3 −→ Λ3
0 7−→ 0
1 7−→ 1
a 7−→ 1
f (0 + 1) = f (1) = 1 = 0 + 1 = f (0) + f (1)
T÷ìng tü
f (0 + a) = f (0) + f (a)
f (1 + a) = f (1) + f (a)
f (m1) = mf (1)
f (m0) = mf (0)
f (ma) = mf (a)
Vªy f l N−çng c§u nûa mæ un tr¡i.
X²t K = {x ∈ Λ3 |f (x) = 0} = {0} l vªt khæng
trong R − Smod.
X²t
0K 0 K =λ
K
~
K 0 BB
BB g 0
BB
BB
g=0
/Λ
10
f
3
/
Λ3
www.vnmath.com
vîi
g : K −→ Λ3
0 7−→ 0
Ta câ f g = f.0KΛ3 = 0KΛ3 .
Vîi måi g 0 : K 0 −→ Λ3 thäa f g 0 = 0K 0 Λ3 . Suy ra
g 0 = 0.
Khi â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤
λ : K 0 −→ K = {0}
x 7−→
0
sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g 0 (x), ∀x ∈ K 0 .
Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng ìn ¡nh, do â
khæng ìn x¤3 .
b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công
tçn t¤i v Ker(α) = Ker(βα) v ng÷ñc l¤i .
(=⇒)
kerα
β
α
X −→ A −→ B −→ C
Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC
λ
X
~
K 0 AA
AA u0
AA
AA
kerα
/A
α /
B
β
/
C
Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A sao cho βαu0 = 0K 0 C , v¼ β
l ìn x¤ n¶n αu0 = 0XB . M αkerα = 0XB n¶n tçn
t¤i duy nh§t λ : K 0 −→ K sao cho ker(α).λ = u0 .
3 Ph£n
chùng: khæng khâ º t¼m ra mët ph£n th½ dö.
11
www.vnmath.com
Vªy Ker(α) = Ker(βα).
(⇐=)4
c.
λ
K
K 0 AA
~
u
AA u0
AA
AA
/A
p
@@
@@
@
α @@
B
}
/ K∗
γ
∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru.
M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru
tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K ∗ −→ B sao cho
γp = α.
∗ Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n pu0 = 0. Lóc
â γpu0 = 0 = αu0 . Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy
nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K sao cho uλ = u0 .
Vªy u l h¤t nh¥n cõa p.
B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi :
Bi −→ B)i∈I ) cõa ph¤m trò C l t½ch cõa hå vªt (βi :
Bi −→ B)i∈I ) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B .
Khi méi c§u x¤ βi l ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi :
Bi −→ B)i∈I ) cán ÷ñc gåi l giao cõa hå c¡c vªt Bi , k½
hi»u T Bi.
i∈I
H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼
4 rã
12
www.vnmath.com
i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò
¢ cho.
ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi :
Bi −→ B)i∈I ).
Líi gi£i.
i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼
OvB ≡ C . Ta c¦n chùng minh
1−1
1. Ob(C) ←→ Ob(OvB )
f
g
2. [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C
1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB ) t÷ìng ùng 1 − 1
vîi méi vªt cõa Ob(C).
1−1
(X −→ B) ∈ Ob(OvB ) ←→ X ∈ Ob(C)
f
g
2. Ta câ ∀γ ∈ [X −→ B, Y −→ B]OvB , γ : X −→
Y : gγ = f .
β
α
γ ∈ [X, Y ]C . Suy ra [X −→ B, Y −→ B] ⊂
[X, Y ]C .
Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C , γ : X −→ Y . Khi
â gγ : X −→ B ∈ [X, B].
Ta câ f : X −→ B ∈ [X, B] v do B l vªt tªn
f
g
còng n¶n gγ = f . Do â γ ∈ [X −→ B, Y −→
f
g
B]OvB , tùc l [X, Y ]C ⊂ [X −→ B, Y −→ B]OvB .
f
g
Vªy [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C .
pi
ii) Gi£ sû (P, P −→ Bi )i∈I l t½ch cõa hå vªt (Bi )i∈I
pi
trong ph¤m trò C . Ta s³ chùng minh (P, P −→ Bi )i∈I
13
www.vnmath.com
l t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .
Thªt vªy, ta câ
βi pi : P −→ B,
βj pj : P −→ B
Do B l vªt tªn còng n¶n βi pi = βj pj , ∀i, j ∈ I
Suy ra βi pi ∈ Ob(OvB ).
αi
∀X ∈ Ob(C), (X, X −→
Bi )i∈I ta câ
βi αi : X −→ B,
βj αj : X −→ B
Do B l vªt tªn còng n¶n βi αi = βj αj , ∀i, j ∈ I .
Suy ra βi αi ∈ Ob(OvB ).
Do P l t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P
sao cho pi γ = αi , ∀i ∈ I .
Vªy P l t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .
1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel
B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp
1. Chùng minh méi ìn x¤ l h¤t nh¥n cõa èi h¤t nh¥n
cõa nâ
2. Mët c§u x¤ α l ìn x¤ khi v ch¿ khi Kerα = 0.
Líi gi£i.
Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α :
A −→ B thäa α = uv trong â u = ker(cokerα), v =
coker(kerα).
14
www.vnmath.com
1. Gi£ sû α l ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα).
V¼ α ìn x¤ n¶n kerα = 0XA . Ta câ v = coker(kerα) =
coker0XA = 1A . Vªy α = u1A = ker(cokerα).
2. kerα = 0 =⇒ α ìn x¤.
Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg
hay uvf = uvg . V¼ u l ìn x¤ n¶n vf = vg hay
coker(kerα)f = coker(kerα)g . Suy ra 1A f = 1A g ,
tùc l f = g .
B i tªp 1.11. Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh
1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0.
2. Coequ(α, β) = Coker(α − β).
Líi gi£i.
Cho α : A −→ B , cokerα : B −→ Y .
1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤.
Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho f α = gα th¼
f α − gα = 0 hay (f − g)α = 0.
A
α
/
B BB
/
Cokerα
BB
BB
f −g BB
∗
~
Y
γ
Y
Lóc â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f − g =
γcokerα = 0. Vªy f = g , tùc l α l to n x¤.
2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α − β) tçn t¤i. 5
Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ
5 Khi Coequ(α, β)
tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü
15
www.vnmath.com
h(α − β) = hα − hβ = 0 n¶n hα = hβ .
N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α − β) = 0
th¼ theo ành ngh¾a cõa èi h¤t nh¥n câ duy nh§t
γ : Y −→ Z sao cho γh = u.
A
α−β
/
B @@
@@
@
u @@
/
h
Z
Vªy Coequ(α, β) = Coker(α − β).
16
γ
C
www.vnmath.com
2 H m tû
If you can't solve a problem, then there is an easier
problem you can solve, find it.(George P
olya)
2.1 Kh¡i ni»m h m tû
B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau ¥y l h m tû
hi»p bi¸n
a. T÷ìng ùng
HA :
C
X
−→
7−→
S
[A, X]C
α
X −→ Y 7−→ H A (X)
f
[A,α]=H A (α)
−→
7−→
H A (Y )
αf
trong â C l mët ph¤m trò tuý þ v A l mët vªt cè
ành trong ph¤m trò C .
b. T÷ìng ùng
A ⊗R − : R − Mod −→
Ab
X
α
X −→ Y
7−→
A ⊗R X
1⊗α
7−→ A ⊗R X −→ A ⊗R X
trong â A l mët R − mæun ph£i, R − mod l ph¤m
trò c¡c R − mæun tr¡i.
c. T÷ìng ùng
HomR (A, −) : R − Mod −→
Ab
X
α
X −→ Y
17
7 → HomR (A, X)
−
7−→ HomR (A, α)
- Xem thêm -