Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Một số tài liệu ngắn gọn về lý thuyết phạm trù và hàm tử...

Tài liệu Một số tài liệu ngắn gọn về lý thuyết phạm trù và hàm tử

.PDF
32
292
59

Mô tả:

Mët t i l»u ng­n gån v· Lþ thuy¸t Ph¤m trò v  H m tû A short way to Theory of Categories and Functors Author: DongPhD DongPhD Problems Book Series υo`.1 All rights reserved. c 2009 by wWw.VnMath.CoM MÖC LÖC Líi tüa 1 1 Ph¤m trò 2 1.1 1.2 1.3 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò . . . . . . . . . . . C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t . . . . . . . Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel . . . . . . 2 4 14 2 H m tû 17 T i li»u tham kh£o 28 2.1 2.2 2.3 Kh¡i ni»m h m tû . . . . . . . . . . . . . Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n . . . . . . . . . . . H m tû khîp . . . . . . . . . . . . . . . . i 17 19 20 www.vnmath.com Líi tüa Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû l  mæn håc mîi vîi ph¦n æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l  khâ kh«n. º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæi bi¶n so¤n tªp t i li»u ng­n gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi ¢ l m cæng vi»c cõa mët con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m  khæng mong k¸t tinh mët ÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh ÷ñc sü cho¡ng ngñp ban ¦u khi ti¸p cªn vîi tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng n y. R§t mong ÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c ëc gi£ v· nhúng sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y. N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúng líi cao luªn.† Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi DongPhD † Of first editon. Thanks for nothing. is the second version. § Ask not me why ‡ This 1 www.vnmath.com 1 Ph¤m trò Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me servoit apr±s   en trouver d'autres [Each problem that I solved became a rule which served afterwards to solve other problems]. (Ren² Descartes, Discours de la M²thode) 1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò B i tªp 1.1. 1. 1 l  ph¤m trò vîi mët vªt ? v  mët môi t¶n id?; 2. 0 l  ph¤m trò réng khæng câ vªt v  môi t¶n n o. 3. G r khæng l  ph¤m trò con ¦y cõa ph¤m trò S 4. Ab l  ph¤m trò con ¦y cõa G r. Líi gi£i. 3. Trong ph¤m trò G r ta câ [Z2 , Z2 ] = {0, id}. Tuy nhi¶n trong ph¤m trò S , [Z2 , Z2 ] = {0, id, e} vîi e(0) = 1, e(1) = 1 4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v  G r l  nh÷ nhau. B i tªp 1.2. Cho mët hå (Ai )i∈I c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng CS , CP l  ph¤m trò. 1 Mët sè s¡ch gåi l  môi t¶n(arrow) 2 www.vnmath.com 1. Ob(CS ) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)}, [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = δαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . 2. Ob(CP ) = {(αi : X −→ Ai)I |X ∈ Ob(C)}, [(αi : X −→ Ai )I , (βi : Y −→ Ai )I ]CP = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = γαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . Líi gi£i. ∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]C n¶n nâ l  mët tªp hñp. ∗ 1(αi :Ai −→X)I = 1X ∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi :Ai −→X)I = 1X l  duy nh§t v  ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp. B i tªp 1.3. Cho A, B l  c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng OvB , U nA l  ph¤m trò. 1. Ob(OvB ) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)}, β α [X −→ B, Y −→ B]Ov = {γ : X −→ Y B α} 3 ∈ [X, Y ]C |βγ = www.vnmath.com 2. Ob(U nA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)}, β α [A −→ Y, A −→ X]U n = {δ : X −→ Y A ∈ [X, Y ]C |δβ = α} Líi gi£i. Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n · nh÷ B i tªp 1.2. 1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng a. N¸u α, β l  ìn x¤ v  βα x¡c ành th¼ βα công ìn x¤. b. N¸u αβ th¼ α ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t ìn x¤). c. N¸u α l  to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C . Líi gi£i. a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf = βαg . V¼ β l  ìn x¤ n¶n αf = αg , do α l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy βα ìn x¤. b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg do βα l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy α l  ìn x¤. β khæng nh§t thi¸t ìn x¤. Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤ β α N −→ Z −→ N n 7−→ n z 7−→ |z| 4 www.vnmath.com Rã r ng βα = idN l  ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l  ìn x¤ v¼ |z1 | = |z2 | khæng suy ra ÷ñc z1 = z2 . c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M or(N): a, b ∈ M or(N), a ∼ b ⇐⇒ a v  b còng chia h¸t cho 2 hay ·u khæng chia h¸t cho 2. Khi â M or(N) ÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1]. Ta câ ph¤m trò th÷ìng N: Ob(N) = {N}, M or(N) = {[0], [1]} Hñp th nh[a], [b]: [a][b] = [ab] =  [1] n¸u a v  b ·u l´ [0] c¡c tr÷íng hñp cán l¤i Ta câ 2 l  to n x¤ (ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong N. B i tªp 1.5. 1. To n x¤ ch÷a ch­c l  to n ¡nh. 2. ìn x¤ ch÷a ch­c l  ìn ¡nh. Líi gi£i. 1. X²t ph¤m trò M on c¡c nûa nhâm câ ìn và(Monoid) c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u cõa chóng. çng c§u bao h m j : N −→ Z l  mët to n x¤ nh÷ng khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l  hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o 5 www.vnmath.com â. Lóc â câ n ∈ Z sao cho g1 (n) 6= g2 (n), do â g1 (−n) 6= g2 (−n). Ho°c n ho°c −n ∈ / N, g1 j 6= g2 j . Vªy j l  to n x¤. 2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia ÷ñc v  c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u nhâm giúa chóng. X²t çng c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l  ìn ¡nh; tuy nhi¶n, nâ l  mët ìn x¤ trong ph¤m trò n y. Thªt vªy, n¸u qf = qg trong â f , g : G −→ Q, G l  nhâm abel chia ÷ñc n o â. Lóc â qh = 0 vîi h = f − g (¥y l  mët ph¤m trò cëng t½nh2 ). Suy ra h(x) l  mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng h¤n,   1 x = h 2008h(x) 2008 th¼ x qh 2008h(x)   6= 0 m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v  q l  ìn x¤. B i tªp 1.6. Chùng minh r¬ng c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: a. A l  vªt khæng. b. O −→ A l  to n x¤. c. A −→ O l  ìn x¤. d. 1A l  c§u x¤ khæng. 2 xem [1] 6 www.vnmath.com Líi gi£i. Ta ch¿ chùng minh a ⇐⇒ b v  a ⇐⇒ d. 1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l  vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→ X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duy nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l  to n x¤. 2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l  to n x¤. c Ta s³ chùng minh O −→ A l  ¯ng x¤. Thªt vªy, A 0AO / 0OA / O A ∗ Ta câ 0OA .0AO = 0AA ∈ [A, A] v  1AA ∈ [A, A]. M°t kh¡c 0AA 0OA = 1AA 0OA = 0OA , do 0OA l  to n x¤ n¶n 0AA = 1AA . ∗ Ta công câ 0AO .0OA = 0OO = 1OO . Vªy a ⇐⇒ b. 3. (a =⇒ d). Rã. 4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l  c§u x¤ khæng. A l  vªt tªn còng v¼ 0XA ∈ [X, A] v  n¸u f ∈ [X, A] th¼ 1A f = 0XA = 1A 0XA , do â f = 0XA v¼ 1A l  ¯ng x¤. Vªy a ⇐⇒ d. B i tªp 1.7. Cho C l  mët ph¤m trò v  h¼nh vuæng sau giao ho¡n: P p2 p1  D2 /B  β2 7 1 β1 /B www.vnmath.com Ta x²t ph¤m trò P ull: Vîi β1 : B1 −→ B , β2 : B2 −→ B cho s®n cõa C Ob(Pull) = {(p1 : P −→ B1 , p2 : P −→ B2 )|p1 , p2 ∈ M or(C), β1 p1 = β2 p2 } [(p1 , p2 ), (p01 , p02 )]P ull = {γ : P 0 −→ P ∈ M or(C)| p01 = p1 γ, p02 = p2 γ}; hñp th nh l  hñp th nh trong trong C ; 1(p1,p2) = 1C . H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò P ull. Líi gi£i. ∗ Gi£ sû trong ph¤m trò P ull tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 l  (P, p1 , p2 ) th¼ (p1 , p2 ) ch½nh l  vªt tªn còng c¦n t¼m. ∗ N¸u ph¤m trò P ull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 . Gi£ sû (p1 , p2 ) l  vªt tªn còng cõa ph¤m trò P ull th¼ (P, p1 , p2 ) l  n½u (væ lþ). B i tªp 1.8. Chùng minh r¬ng: a. N¸u α l  ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼ ch÷a ch­c; b. N¸u β l  ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα). c. N¸u u : K −→ A l  h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v  p : A −→ K ∗ l  èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l  h¤t nh¥n cõa p. Líi gi£i. a. Ta câ 0 α XA X −→ A −→ B 8 www.vnmath.com ∗ α.0XA = 0. ∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n i·u ki»n αu0 = 0. V¼ α l  ìn x¤ n¶n u0 = 0XA . Vîi λ = idX ta câ 0XA .λ = u0 . Vªy Kerα = 0. Ph£n v½ dö: X²t ph¤m trò R − Smod c¡c nûa mæun tr¡i. X²t Λ3 = {0, 1, a}, trong â a kh¡c 0 v  1 vîi ph²p to¡n cång ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: + 0 1 a 0 0 1 a 1 1 1 1 a a 1 a Λ3 l  và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû ìn và l  1. Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v  nh¥n thæng th÷íng l  nûa v nh. X²t ¡nh x¤ ϕ : N × Λ3 −→ Λ3 (n, x) 7−→ nx = |x + x{z + . . . x} n l¦n Ta câ ∀m, n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3 n(x + y) = (x + y) + . . . (x + y) | {z n l¦n =x + . . . x} + y + y + . . . y | + x{z | n l¦n {z n l¦n = nx + ny 9 } } www.vnmath.com T÷ìng tü (m + n)x = nx + mx (mn)x = m(nx) 1x = x Vªy Λ3 l  mët N − nûa mæun tr¡i. X²t f : Λ3 −→ Λ3 0 7−→ 0 1 7−→ 1 a 7−→ 1 f (0 + 1) = f (1) = 1 = 0 + 1 = f (0) + f (1) T÷ìng tü f (0 + a) = f (0) + f (a) f (1 + a) = f (1) + f (a) f (m1) = mf (1) f (m0) = mf (0) f (ma) = mf (a) Vªy f l  N−çng c§u nûa mæ un tr¡i. X²t K = {x ∈ Λ3 |f (x) = 0} = {0} l  vªt khæng trong R − Smod. X²t 0K 0 K =λ K ~ K 0 BB BB g 0 BB BB g=0 /Λ 10 f 3 / Λ3 www.vnmath.com vîi g : K −→ Λ3 0 7−→ 0 Ta câ f g = f.0KΛ3 = 0KΛ3 . Vîi måi g 0 : K 0 −→ Λ3 thäa f g 0 = 0K 0 Λ3 . Suy ra g 0 = 0. Khi â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K = {0} x 7−→ 0 sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g 0 (x), ∀x ∈ K 0 . Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng ìn ¡nh, do â khæng ìn x¤3 . b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công tçn t¤i v  Ker(α) = Ker(βα) v  ng÷ñc l¤i . (=⇒) kerα β α X −→ A −→ B −→ C Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC λ X ~ K 0 AA AA u0 AA AA kerα /A α / B β / C Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A sao cho βαu0 = 0K 0 C , v¼ β l  ìn x¤ n¶n αu0 = 0XB . M  αkerα = 0XB n¶n tçn t¤i duy nh§t λ : K 0 −→ K sao cho ker(α).λ = u0 . 3 Ph£n chùng: khæng khâ º t¼m ra mët ph£n th½ dö. 11 www.vnmath.com Vªy Ker(α) = Ker(βα). (⇐=)4 c. λ K K 0 AA ~ u AA u0 AA AA /A p @@ @@ @ α @@  B } / K∗ γ ∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru. M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K ∗ −→ B sao cho γp = α. ∗ Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n pu0 = 0. Lóc â γpu0 = 0 = αu0 . Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K sao cho uλ = u0 . Vªy u l  h¤t nh¥n cõa p. B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi : Bi −→ B)i∈I ) cõa ph¤m trò C l  t½ch cõa hå vªt (βi : Bi −→ B)i∈I ) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B . Khi méi c§u x¤ βi l  ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ) cán ÷ñc gåi l  giao cõa hå c¡c vªt Bi , k½ hi»u T Bi. i∈I H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼ 4 rã 12 www.vnmath.com i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò ¢ cho. ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ). Líi gi£i. i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼ OvB ≡ C . Ta c¦n chùng minh 1−1 1. Ob(C) ←→ Ob(OvB ) f g 2. [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C 1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB ) t÷ìng ùng 1 − 1 vîi méi vªt cõa Ob(C). 1−1 (X −→ B) ∈ Ob(OvB ) ←→ X ∈ Ob(C) f g 2. Ta câ ∀γ ∈ [X −→ B, Y −→ B]OvB , γ : X −→ Y : gγ = f . β α γ ∈ [X, Y ]C . Suy ra [X −→ B, Y −→ B] ⊂ [X, Y ]C . Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C , γ : X −→ Y . Khi â gγ : X −→ B ∈ [X, B]. Ta câ f : X −→ B ∈ [X, B] v  do B l  vªt tªn f g còng n¶n gγ = f . Do â γ ∈ [X −→ B, Y −→ f g B]OvB , tùc l  [X, Y ]C ⊂ [X −→ B, Y −→ B]OvB . f g Vªy [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C . pi ii) Gi£ sû (P, P −→ Bi )i∈I l  t½ch cõa hå vªt (Bi )i∈I pi trong ph¤m trò C . Ta s³ chùng minh (P, P −→ Bi )i∈I 13 www.vnmath.com l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . Thªt vªy, ta câ βi pi : P −→ B, βj pj : P −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi pi = βj pj , ∀i, j ∈ I Suy ra βi pi ∈ Ob(OvB ). αi ∀X ∈ Ob(C), (X, X −→ Bi )i∈I ta câ βi αi : X −→ B, βj αj : X −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi αi = βj αj , ∀i, j ∈ I . Suy ra βi αi ∈ Ob(OvB ). Do P l  t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P sao cho pi γ = αi , ∀i ∈ I . Vªy P l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . 1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp 1. Chùng minh méi ìn x¤ l  h¤t nh¥n cõa èi h¤t nh¥n cõa nâ 2. Mët c§u x¤ α l  ìn x¤ khi v  ch¿ khi Kerα = 0. Líi gi£i. Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α : A −→ B thäa α = uv trong â u = ker(cokerα), v = coker(kerα). 14 www.vnmath.com 1. Gi£ sû α l  ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα). V¼ α ìn x¤ n¶n kerα = 0XA . Ta câ v = coker(kerα) = coker0XA = 1A . Vªy α = u1A = ker(cokerα). 2. kerα = 0 =⇒ α ìn x¤. Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg hay uvf = uvg . V¼ u l  ìn x¤ n¶n vf = vg hay coker(kerα)f = coker(kerα)g . Suy ra 1A f = 1A g , tùc l  f = g . B i tªp 1.11. Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh 1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0. 2. Coequ(α, β) = Coker(α − β). Líi gi£i. Cho α : A −→ B , cokerα : B −→ Y . 1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤. Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho f α = gα th¼ f α − gα = 0 hay (f − g)α = 0. A α / B BB / Cokerα BB BB f −g BB ∗ ~ Y γ Y Lóc â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f − g = γcokerα = 0. Vªy f = g , tùc l  α l  to n x¤. 2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α − β) tçn t¤i. 5 Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ 5 Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü 15 www.vnmath.com h(α − β) = hα − hβ = 0 n¶n hα = hβ . N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α − β) = 0 th¼ theo ành ngh¾a cõa èi h¤t nh¥n câ duy nh§t γ : Y −→ Z sao cho γh = u. A α−β / B @@ @@ @ u @@  / h Z  Vªy Coequ(α, β) = Coker(α − β). 16 γ C www.vnmath.com 2 H m tû If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can solve, find it.(George P olya) 2.1 Kh¡i ni»m h m tû B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau ¥y l  h m tû hi»p bi¸n a. T÷ìng ùng HA : C X −→ 7−→ S [A, X]C α X −→ Y 7−→ H A (X) f [A,α]=H A (α) −→ 7−→ H A (Y ) αf trong â C l  mët ph¤m trò tuý þ v  A l  mët vªt cè ành trong ph¤m trò C . b. T÷ìng ùng A ⊗R − : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 7−→ A ⊗R X 1⊗α 7−→ A ⊗R X −→ A ⊗R X trong â A l  mët R − mæun ph£i, R − mod l  ph¤m trò c¡c R − mæun tr¡i. c. T÷ìng ùng HomR (A, −) : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 17 7 → HomR (A, X) − 7−→ HomR (A, α)
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan