Tài liệu MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- NGUYỄN TIẾN DŨNG mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- NGUYỄN TIẾN DŨNG mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO Hµ Néi - 2011 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Dũng i Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Trần Hùng Thao, người Thày đã và đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên cứu khoa học rất nhiệt tình, giúp tôi ngày càng có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành bản luận án này. Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên trong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học. Đặc biệt tôi muốn cảm ơn GS.TS. Nguyễn Văn Hữu, người đã cho tôi tham gia xê mi na Toán tài chính của ông và luôn cho tôi những lời nhận xét quý báu. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học đã tạo những điều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành thủ tục bảo vệ luận án. Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc của mình đến gia đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã rất hiểu và luôn đứng bên cổ vũ tôi. Hà nội, 03/2011 NCS: Nguyễn Tiến Dũng. ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 Chuyển động Brown phân thứ 5 1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biểu diễn Volterra của fBm . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo . . . . . . 11 1.4.1 Tích phân phân thứ tất định . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . 15 2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale 17 2.1 Các kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích . . . . 25 2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . 26 2.3.1 Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ iii 27 2.3.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ với hệ số dịch chuyển đa thức . . . . . . . . . . . 2.3.3 32 Các quá trình hồi phục trung bình hình học phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . 46 3 Các ứng dụng trong Tài chính 49 3.1 Mô hình quản lý tài sản và nợ trong bảo hiểm . . . . . . 49 3.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.1 Mở rộng kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ . . . . . . 59 Kết luận 68 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Phụ lục 77 A Tính toán Malliavin 77 A.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô . . . . . . . . . . . . . 77 A.1.1 Tích phân Itô lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A.1.2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô . . . . . . . . . 79 A.2 Tích phân Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 A.2.1 Tích phân Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . 80 A.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Skorohod . . 82 A.2.3 Tích phân Skorohod là một mở rộng của tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.3 Đạo hàm Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.3.1 Tính toán đạo hàm Malliavin . . . . . . . . . . . 84 iv A.3.2 Đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod . . . . B Bổ đề Gronwall 85 87 v Bảng ký hiệu h.c.c sự hội hầu chắc chắn L2 (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích ∥.∥ Chuẩn trong không gian L2 (Ω) Γ(α) Hàm Gamma N (0, 1) Biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn P − → 2 L (Ω) sự hội tụ theo xác suất −−−→ sự hội tụ trong L2 (Ω) ucp hội tụ đều theo xác suất C λ [a, b] Không gian các quá trình ngẫu nhiên λ-Hölder liên tục h.c.c trên đoạn [a, b] ∩ − C λ [a, b] C µ [a, b] 0<µ<λ vi Mở đầu Trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Wiener đã có những phát triển rực rỡ trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Gần đây, người ta bắt đầu khám phá ra rằng lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên với nhiễu Wiener (hay tổng quát hơn là nhiễu martingale hoặc nhiễu có tính chất Markov) là không đủ để mô tả nhiều bài toán thực tiễn trong viễn thông, định giá tài sản hay bất kỳ chủ thể nào có tính chất "nhớ lâu". Và nhu cầu tự nhiên nảy sinh là cần tìm các quá trình ngẫu nhiên thay thế cho nhiễu Wiener để khắc phục điều đó. Chuyển động Brown phân thứ (fBm) là một trong các quá trình ngẫu nhiên như vậy. Mặc dù fBm được đề cập đến bởi A. N. Kolmogorv [33] từ những năm 1940 nhưng phải đến năm 1968, sau bài báo của Madelbrot về biểu diễn hiển của fBm và các áp dụng của nó [38], fBm mới dần bắt đầu thu hút được các tác giả khác quan tâm nghiên cứu. Khó khăn chính trong việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên đối với fBm là bởi vì fBm không phải là một semimartingale hay là một quá trình Markov. Do đó các tính toán ngẫu nhiên Itô cổ điển không thể áp dụng được và ta cần xây dựng hẳn một lý thuyết mới cho hệ động lực ngẫu nhiên điều khiển bởi fBm. Trong khoảng 16 năm trở lại đây, tức là bắt đầu từ những năm 1995, tính toán ngẫu nhiên đối với fBm mới đạt được các phát triển rực rỡ. Một loạt các bài báo được xuất bản nhằm giải quyết các bài toán cơ bản của tính toán ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu 1 nhiên phân thứ, công thức Itô phân thứ, sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, bài toán lọc tối ưu, các kết luận thống kê về các quá trình phân thứ, ...vv. Các hướng nghiên cứu chính có thể tóm tắt như sau: (i) Phương pháp tính toán Malliavin: Decreusefond & Üstünel (1995, 1999), Coutin & Decreusefond (1999), Alos, Mazet & Nualart (1999, 2000)...vv. Bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ vẫn mở, ngay cả đối với dạng tuyến tính đơn giản nhất. (ii) Phương pháp tính toán Wick: Duncan, Hu & Pasik-Duncan (2000) đã sử dụng tích Wick thay cho tích thông thường trong tổng Riemann khi định nghĩa tích phân và khi H = 1 2 họ nhận được tích phân Itô cổ điển. Có thể nói đây là định nghĩa thành công nhất theo nghĩa mở rộng tích phân Itô cổ điển, tuy nhiên hướng nghiên cứu này ít được sử dụng trong các bài toán ứng dụng bởi công thức định nghĩa tích phân không phù hợp với ý nghĩa ứng dụng trong tài chính (Bjork & Hult (2005)). (iii) Phương pháp tính toán theo quỹ đạo: Lyons (1994) sử dụng phương pháp "phân tích quỹ đạo thô" để xây dựng tích phân và chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng sơ đồ lặp Picard. Zähle (1998, 1999) sử dụng các tính toán phân thứ tất định để mở rộng tích phân Lebesgue-Stieltjes cổ điển và áp dụng tới fBm, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên được chứng minh bởi Nualart & Răşcanu (2002) cho H > 12 . Về phương diện ứng dụng mà nổi bật là ứng dụng trong Tài chính, fBm là một công cụ rất phù hợp để mô tả diễn biến của các quá trình giá phái sinh có tính chất "nhớ lâu". Giữa một số lượng lớn các bài báo đã xuất bản, có thể kể đến các bài báo nổi bật của Rogers (1997), 2 Comte & Renault (1998), Cheridito (2001, 2003), Hu, Øksendal & Sulem (2003), Biagini et al. (2002)...vv. Đặc biệt là quyển sách của Doukhan, Oppenheim & Taqqu (2003) cho một tổng hợp đầy đủ về lý thuyết và ứng dụng của các quá trình nhớ lâu. Vào năm 2003, một phương pháp xấp xỉ fBm bởi các semimartingale trong không gian L2 (Ω) được đề xuất bởi T. H. Thao đã được vận dụng bước đầu vào tính toán ngẫu nhiên phân thứ. Mục đích của Luận án này là nhằm phát triển phương pháp xấp xỉ ấy. Ưu điểm của phương pháp này là thay vì phải xây dựng một lý thuyết mới cho tính toán ngẫu nhiên đối với fBm, chúng ta vẫn sử dụng được các tính toán ngẫu nhiên cổ điển đã biết (Itô, Skorohod). Từ đó mở ra khả năng nghiên cứu được các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, đặc biệt chúng tôi tìm được công thức định giá quyền chọn mua phân thứ kiểu châu Âu trong khi nhiều phương pháp khác là chưa làm được. Luận án gồm ba chương và được cấu trúc như sau: Trong Chương 1, sau khi giới thiệu về fBm: định nghĩa và các tính chất của nó, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn tích phân ngẫu nhiên phân thứ giới thiệu bởi Zähle, kiểu định nghĩa tích phân được sử dụng trong Chương 3 của Luận án này. Đóng góp chính của Luận án được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Trong Chương 2, đầu tiên chúng tôi nhắc lại kết quả đã biết về xấp xỉ semimartingale của fBm và một định nghĩa cho tích phân ngẫu nhiên phân thứ như là giới hạn trong L2 (Ω) của tích phân đối với semimartingale. Sau đó, một vài lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích được đưa ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng hai kiểu định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ là trùng nhau đối với một lớp các quá trình ngẫu nhiên phù hợp. Trên cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm cho một vài lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có ứng dụng quan trọng trong thực hành. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong trường hợp tổng quát vẫn là một bài toán mở. Trong chương này, 3 chúng tôi cũng nghiên cứu bài toán lọc cho một hệ động lực ngẫu nhiên phân thứ tuyến tính. Chương 3 trình bày về các ứng dụng của các quá trình phân thứ trong tài chính và bảo hiểm: Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu bài toán đánh giá xác suất rủi ro trong mô hình quản lý tài sản và nợ của một ngân hàng hoặc một công ty bảo hiểm. Sau đó chúng tôi nghiên cứu mô hình Black-Scholes phân thứ trong Toán tài chính, mà khó khăn chính như đã chỉ ra bởi Shiryayev [56] rằng mô hình này thừa nhận cơ hội có độ chênh thị giá. Cheridito [11] đã vượt qua khó khăn này bằng cách xấp xỉ fBm bởi các martingale nhưng kết quả chỉ đúng khi H > 34 . Dựa vào xấp xỉ semimartingale của fBm, chúng tôi chứng minh rằng mô hình Black-Scholes xấp xỉ là không có độ chênh thị giá, từ đó các kết quả của Cheridito được mở rộng cho mọi tham số H > 12 . Cuối cùng, trong phần phụ lục chúng tôi giới thiệu sơ lược về tính toán Malliavin và nhắc lại một vài dạng của Bổ đề Gronwall. 4 Chương 1 Chuyển động Brown phân thứ Trong Chương này sau khi trình bày về định nghĩa và các tính chất quan trọng của chuyển động Brown phân thứ, chúng tôi nhắc lại ngắn gọn một định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ được xây dựng bởi Zähle. 1.1 Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 1.1. Chuyển động Brown phân thứ (sẽ viết tắt là fBm, tức là fractional Brownian motion) với chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) là một quá trình Gauss quy tâm {WtH , t ≥ 0} với hàm tương quan RH (t, s) = E[WtH WsH ] cho bởi 1 RH (t, s) = (t2H + s2H − |t − s|2H ) , t, s ≥ 0 . 2 Đặc biệt, khi H = 1 2 1 thì W 2 là một chuyển động Brown. Mệnh đề 1.1. (Tính chất bất biến hình học của fBm) 1. Tính thuần nhất theo thời gian: Cố định s > 0, quá trình ngẫu H nhiên {Wt+s − WsH , t ≥ 0} là một fBm với tham số H. 2. Tính đối xứng: {−WtH , t ≥ 0} là một fBm với tham số H. 3. Cố định c > 0, cH W tH là một fBm với tham số H. c 5 4. Quá trình ngẫu nhiên X định nghĩa bởi { 0 khi t = 0; Xt = t2H W 1H khi t > 0 t là một fBm với tham số H. Mệnh đề 1.2. Cho H ∈ (0, 1), khi đó (i) fBm là một quá trình H-tự đồng dạng, tức là với mọi a ∈ R+ ta có Luật(WatH , t ≥ 0) = aH Luật(WtH , t ≥ 0). (ii) fBm là một quá trình có số gia dừng, tức là với mọi h ≥ 0 H Luật(Wt+h − WhH , t ≥ 0) = Luật(WtH , t ≥ 0). Chứng minh của hai Mệnh đề trên có thể tìm thấy trong [14]. Mệnh đề 1.3. Cho H ∈ (0, 1), các quỹ đạo của fBm là α-Hölder liên tục h.c.c với 0 < α < H. Chứng minh. Bởi vì fBm là một quá trình Gauss nên ta dễ dàng tính được E|WtH − WsH |p = 2p/2 p + 1 Γ( )|t − s|pH . 1/2 2 π Do đó theo tiêu chuẩn Kolmogorov, sup 0≤s 0. Khi đó (i) W H có biến phân vô hạn trên đoạn [0, T ], (ii) W H có biến phân bậc p hữu hạn trên đoạn [0, T ] với mọi p > 1 H. Hơn nữa, tồn tại hằng số ε = εp > 0 và biến ngẫu nhiên dương K(ω) thỏa mãn π Vp,T (X) ≤ K(ω)|π|ε , h.c.c. Chứng minh. (i) Ta ký hiệu {πn } là dãy các phân hoạch của đoạn [0, T ] thỏa mãn πn ⊂ πn+1 , tức là dãy các phân hoạch được làm mịn dần. Ta π πn có V1,T (W H ) ≤ V1,Tn+1 (W H ). Do đó, theo định lý hội tụ đơn điệu và hệ thức (1.1) ta có πn πn E[ lim V1,T (W H )] = lim E[V1,T (W H )] n→∞ n→∞ ] [( )1/2 2 T H (n − 1)1−H = ∞. = lim n→∞ πn Đẳng thức trên chứng tỏ V1,T (W H ) là vô hạn trên một tập có độ đo dương. (ii) Khi p > 1 H : bởi vì các quỹ đạo của W H là λ-Hölder liên tục với mọi λ < H nên nếu ta chọn H > λ > dương C(ω) thỏa mãn n−1 ∑ |WtHi+1 − WtHi |p 1 p thì tồn tại một biến ngẫu nhiên n−1 ∑ ≤ C(ω) (ti+1 − ti )pλ ≤ C(ω)T |π|pλ−1 := K(ω)|π|ε . i=0 i=0 Mệnh đề được chứng minh xong. Mệnh đề 1.5. Khi H ̸= 12 , fBm, W H , không là một semimartingale. Chứng minh. Đầu tiên ta nhắc lại từ Mục 2.6 trong [41] rằng, nếu X là π một semimartingale liên tục thì giới hạn lim V2,T (X) tồn tại theo xác |π|→0 suất và ký hiệu bởi π [X]T := lim V2,T (X). |π|→0 7 Nếu [X]T là đồng nhất không thì semimartingale X có biến phân hữu hạn. 1 2 Trường hợp H > : Giả sử rằng W H là một semimartingale, thế thì từ Mệnh đề 1.4 ta có π lim V2,T (W H ) = 0 , h.c.c |π|→0 và do đó [X]T đồng nhất không theo xác suất. Điều này mâu thuẫn với tính chất biến phân vô hạn của fBm. 1 2 Trường hợp H > : Xét phân hoạch π : 0 < T n < 2T n < ... < T của đoạn [0, T ]. Ta vẫn giả sử rằng W H là một semimartingale, thế thì lim n−1 ∑ n→∞ H H 2 |W (k+1)T − W kT | = [W H ]T n n i=0 theo xác suất. Do đó ta có thể chọn α thỏa mãn 2H + α < 1 và −α lim n n→∞ n−1 ∑ H H 2 |W (k+1)T − W kT | =0 n i=0 n theo xác suất và như vậy theo phân phối. Do tính chất tự đồng dạng: −α−2H lim n n→∞ n−1 ∑ H |W(k+1) − WkH |2 = 0 i=0 H theo phân phối. Ta biết rằng dãy (W(k+1) − WkH )k≥0 là dừng và cũng là egordic bởi vì ρ(n) → 0 , n → ∞ (ρ(n) được định nghĩa trong Mục 1.2 bên dưới). Do đó theo định lý egordic trong [57] ta phải có 2H + α > 1. Điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn α. 1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm Định nghĩa 1.2. Dãy dừng {Xn , n ≥ 0} được gọi là có tính chất nhớ lâu nếu hàm tự tương quan ρ(n) = Cov(Xk , Xk+n ) thỏa mãn ρ(n) = 1, n→∞ cn−α lim 8 với hằng số c nào đó và α ∈ (0, 1). H Với W H là fBm, ta xét các số gia Xk := WkH − Wk−1 và Xk+n := H H Wk+n − Wk+n−1 . Bằng các tính toán đơn giản ta tìm được 1 ρ(n) = Cov(Xk , Xk+n ) = [(n + 1)2H + (n − 1)2H − 2n2H ]. 2 Do đó ρ(n) = 1, n→∞ H(2H − 1)n2H−2 lim và ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.6. Khi 0 < H < 12 , fBm là một quá trình có trí nhớ ngắn theo nghĩa ∞ ∑ ρ(n) < ∞. n=1 Khi 1 2 < H < 1, fBm được gọi là một quá trình có tính chất nhớ lâu theo nghĩa ∞ ∑ ρ(n) = ∞. n=1 H Giải thích: Nếu ta chọn k = 1 thì ρ(n) = E[W1H (Wn+1 − WnH )] nói H cho ta biết sự tương quan giữa W1H và (Wn+1 − WnH ). Trong trường hợp 1 2 < H < 1 thì ρ(n) giảm đến 0 rất chậm, tức là ρ(n) vẫn khác 0 cho các giá trị lớn của n. Điều này có nghĩa là các tính chất của W H tại thời điểm t = 1 vẫn được lưu giữ lại trong các giá trị tại đuôi của nó. Bởi tính chất này, ta nói fBm là một quá trình có tính chất nhớ lâu. 1.3 Biểu diễn Volterra của fBm Trong toàn bộ Luận án này, biểu diễn tích phân Volterra ngẫu nhiên của fBm đóng vai trò quan trọng, nó là cơ sở để ta có thể xấp xỉ fBm bởi các semimartingale và từ đó xây dựng các tính toán ngẫu nhiên phân thứ. 9 H,(1) Ta biết rằng nếu Wt hạn, xem [9]) là một fBm thì nó có biểu diễn sau (chẳng ∫t H,(1) Wt K1 (t, s)dWs , t ≥ 0 = 0 trong đó W là một chuyển động Brown chuẩn tiêu chuẩn và nhân Volterra K1 (t, s) được cho bởi [ H− 1 ] ∫ t H− 3 2 2 1 1 t 1 u H− 2 K1 (t, s) = CH H− 1 (t − s)H− 2 − (H − ) du , 1 (u − s) H− 2 s 2 s 2 s trong đó √ CH = πH(2H − 1) . Γ(2 − 2H)Γ2 (H + 12 ) sin(π(H − 21 )) Hơn nữa lọc tự nhiên sinh bởi W H,(1) trùng với lọc tự nhiên sinh bởi W. Biểu diễn hiển đầu tiên của fBm là được cho bởi Mandelbrot và J.van Ness [38], biểu diễn đó như sau [ 1 H,(1) H,(2) ] Wt = Ut + Wt , Γ(1 + α) ) ∫0 ( ∫t H,(2) trong đó Ut = (t − s)α − (−s)α dWs , Wt = (t − s)α dWs và α=H− . 1 2 −∞ 0 Bởi vì Ut là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục tuyệt H,(2) đối nên tính chất nhớ lâu của fBm được lưu trữ trong Wt H,(2) này và hơn nữa nhờ có dạng biểu diễn đơn giản mà Wt . Vì lý do được nhiều tác giả (chẳng hạn, [1, 8]) sử dụng như một nhiễu thay cho fBm. Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3. Chuyển động Brown phân thứ dạng Liouville (sẽ ký hiệu là LfBm, tức fractional Brownian motion of Liouville form) là quá trình ngẫu nhiên định nghĩa bởi ∫t H,(2) Wt = K2 (t, s)dWs , 0 10 trong đó K2 (t, s) = (t − s)α , α = H − 12 . Như vậy ta thấy rằng fBm và LfBm cùng có biểu diễn Volterra với hai dạng cụ thể khác nhau, và trong Luận án này, khi không cần phân biệt ta sẽ sử dụng ký hiệu WtH chung cho cả fBm và LfBm. Ta viết ∫t WtH = K(t, s)dWs , 0 trong đó K(t, s) là K1 (t, s) hoặc K2 (t, s). 1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo 1.4.1 Tích phân phân thứ tất định Trong mục này chúng ta nhắc lại một cách ngắn gọn định nghĩa của tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo (pathwise integration) được giới thiệu bởi Zähle (1998) [51]. Phương pháp xây dựng tích phân này đúng cho mọi chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) và công cụ chính được sử dụng là các tính toán phân thứ tất định. Zähle mở rộng tích phân LebesgueStieltjes cổ điển ∫b f (x)dg(x) a cho lớp các hàm có biến phân không bị chặn. Đầu tiên ta chú ý rằng nếu f hoặc g là các hàm trơn trên đoạn hữu hạn (a, b) thì tích phân Lebesgue-Stieltjes có thể viết thành ∫b ∫b f (x)dg(x) = a f (x)g ′ (x)dx a hoặc ∫b ∫b f (x)dg(x) = − a f ′ (x)g(x)dx + f (b− )g(b− ) − f (a+ )g(a+ ), a 11 trong đó f (a+ ) = lim+ f (a + δ) và g(b− ) = lim+ f (b − δ) nếu các giới δ→0 δ→0 hạn tồn tại. Phương pháp được Zähle sử dụng là thay thế các đạo hàm thông thường bởi các đạo hàm phân thứ. Đặt fa+ (x) = (f (x) − f (a+ ))1(a,b) (x) gb− (x) = (g(x) − g(b− ))1(a,b) (x) với 1(a,b) (x) = 1 nếu x ∈ (a, b) và 1(a,b) (x) = 0 trong các trường hợp còn lại. Cho hàm f ∈ L1 (R) và α > 0 ta định nghĩa các toán tử tích phân phân thứ của nó 1 Iaα+ f (x) = Γ(α) ∫x (x − y)α−1 f (y)dy, x ∈ (a, b), a 1 Ibα− f (x) = Γ(α) ∫b (y − x)α−1 f (y)dy, x ∈ (a, b), x trong đó Γ(.) là hàm Gamma. Cho p ≥ 1, ta ký hiệu Iaα+ (Lp ) và Ibα− (Lp ) là ảnh của không gian Lp (R) qua các toán tử phân thứ Iaα+ , Ibα− , một cách tương ứng. Như đã chứng minh trong [54] rằng với p > 1 thì hàm f ∈ Iaα+ (Lp ) nếu và chỉ nếu f ∈ Lp (R) và tích phân ∫x−ε a f (x) − f (y) dy (x − y)α+1 hội tụ trong Lp (R) như một hàm của x khi ε → 0+ . Tương tự, hàm f ∈ Ibα− (Lp ) nếu và chỉ nếu f ∈ Lp (R) và tích phân ∫b x+ε f (x) − f (y) dy (y − x)α+1 hội tụ trong Lp (R) như một hàm của x khi ε → 0+ . 12