Tài liệu Một số phương phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị hình học không gian

SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai Phần I: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tμi Trong chương tr×nh To¸n THPT mà cụ thể là phần m«n H×nh học kh«ng gian. C¸c em học sinh đ· được tiếp cận với phần quan hÖ song song, quan hÖ vu«ng gãc,h×nh chãp,h×nh l¨ng trô,h×nh hép và c¸c bài to¸n liªn quan. Tuy nhiªn, phần cực trị h×nh học kh«ng gian là một vấn đề khã đối với học sinh «n thi Đại học và Cao đẳng. Học sinh cßn lóng tóng và khã khăn khi đứng trước một bài to¸n cực trị h×nh học kh«ng gian. Tại sao như vậy? LÝ do chÝnh ở đ©y là trong chương tr×nh h×nh học kh«ng gian s¸ch gi¸o khoa cả ban n©ng cao và cơ bản đều rất Ýt đề cập đến mục này. Trong s¸ch gi¸o khoa cã một số vÝ dụ đưa ra cßn rất đơn giản, kh«ng mang tÝnh hệ thống và kh¸i qu¸t nªn học sinh gặp rất nhiều khã khăn. II. Mục đÝch nghiªn cứu Từ lÝ do chọn đề tài trªn, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở c¸c lớp 11, 12 cïng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy t«i đ· tổng hợp, khai th¸c và hệ thống ho¸ c¸c kiến thức thành một chuyªn đề Một số phương ph¸p cơ bản để giải b i to¸n cực trị h×nh học kh«ng gian . Qua nội dung của đề tài này t«i mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương ph¸p tổng qu¸t và một số kĩ năng cơ bản và vËn dông c¸c kiÕn thøc cña d¹i sè vµ gi¶i tÝch vµo gi¶i bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc. Học sinh th«ng hiểu và tr×nh bày bài to¸n đóng tr×nh tự, đóng logic, kh«ng mắc sai lầm khi tr×nh bày. Hi vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ gióp c¸c bạn đồng nghiệp cïng c¸c em học sinh cã một c¸i nh×n toàn diện cũng như phương ph¸p giải một lớp c¸c bài to¸n cực trị h×nh học kh«ng gian. III. Đối tượng nghiªn cứu C¸c bài to¸n cực trị h×nh học kh«ng gian. IV. Phạm vi nghiªn cứu - Nội dung: Phần cực trị h×nh học nằm trong chương tr×nh h×nh học 11 và 12. - Một số bài nằm trong chương tr×nh «n thi Đại học. 3 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai V. Nhiệm vụ - yªu cầu của đề t i - Xuất ph¸t từ lÝ do chọn đề tài, s¸ng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Gióp cho gi¸o viªn thực hiện tốt nhiệm vụ và n©ng cao chất lượng gi¸o dục, gióp học sinh h×nh thành tư duy logic, kỹ năng ph©n tÝch để đi đến một hướng giải đóng và thÝch hợp khi gặp bài to¸n cực trị h×nh học phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một c¸ch dễ dàng. Muốn vậy người gi¸o viªn phải hướng cho học sinh biết c¸c dạng to¸n. - Yªu cầu của s¸ng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải ph¸p râ ràng kh«ng r−êm rà, logic phï hợp với trường THPT, cã s¸ng tạo đổi mới. Giới thiệu được c¸c dạng từ dễ đến khã. - Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng «n thi Đại học vµ gi¶ng d¹y cho c¸c lớp chất lượng cao. VI. Phương ph¸p nghiªn cứu Phương ph¸p - Nghiªn cứu lÝ luận chung. - Khảo s¸t điều tra thực tế dạy và học. - Tổng hợp so s¸nh, đóc rót kinh nghiệm. C¸ch thực hiện - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến gi¸o viªn cïng bộ m«n. - Liªn hệ thực tế trong nhà trường, ¸p dụng đóc rót kinh nghiệm qua qu¸ tr×nh giảng dạy. - Th«ng qua việc giảng dạy trục tiếp tại c¸c lớp chÊt l−îng cao vµ c¸c líp «n thi đại học. VII. Thời gian nghiªn cứu Trong suốt thời gian gi¶ng dạy từ năm 2006 đến nay. PhÇn II: NéI DUNG I. Sö dông quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn vμ h×nh chiÕu ®Ó t×m GTLN, GTNN 4 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai - Trong c¸c ®o¹n th¼ng nèi tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®−êng th¼ng ( hoÆc mét mÆt ph¼ng ), ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (mÆt ph¼ng) cã ®é dµi ng¾n nhÊt. - Trong c¸c ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm thuéc hai ®−êng th¼ng song song (hoÆc thuéc mét ®−êng th¼ng song song víi mét mÆt ph¼ng, hoÆc thuéc hai mÆt ph¼ng song song), ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi hai ®−êng th¼ng ®ã (hoÆc víi ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng song song, hoÆc hai mÆt ph¼ng song song) cã ®é dµi ng¾n nhÊt. - Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm ®Õn cïng mét ®−êng th¼ng ( hoÆc mét mÆt ph¼ng ), ®−êng xiªn lín h¬n khi vµ chØ khi h×nh chiÕu cña nã lín h¬n. VÝ dô 1 Cho trªn mÆt ph¼ng (P) mét ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R. §o¹n CA = 2R vu«ng gãc víi (P). Gi¶ sö EF lµ ®−êng kÝnh thay ®æi cña ®−êng trßn ®· cho. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c CEF. C Tãm t¾t lêi gi¶i : V× AC ⊥ (P), h¹ AH ⊥ EF ⇒ CH ⊥ EF. Cã S ΔCEF = 1 EF .CH 2 V× EF lµ ®−êng E H kÝnh kh«ng ®æi ⇒ SΔCEF lín nhÊt khi CH A lín nhÊt ⇔ AH lín nhÊt. MÆt kh¸c AH ≤ AO ⇒ SΔCEF lín nhÊt khi H ≡ O ⇔ AB ⊥ EF. O B F VËy Max( S ΔCEF ) = R 2 5 SΔCEF nhá nhÊt khi CH nhá nhÊt. Mµ CH ≥ CA ⇒ SΔCEF nhá nhÊt khi EF ≡ AB. VËy Min( S ΔCEF ) = 2 R 2 VÝ dô 2 5 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai Cho l¨ng trô ABC.A'B'C' cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) vµ AA' = 2a. Gäi D lµ trung ®iÓm ®o¹n BB', M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AA'. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c MC'D. I' C' B' Tãm t¾t lêi gi¶i : Gäi I, I' lµ trung ®iÓm c¹nh BC vµ B'C'. KÎ H A' N MN // AI, do AI ⊥ (BB'C'C) nªn MN ⊥ (BB'C'C). H¹ NH ⊥ C'D, suy ra MH ⊥ C'D. V× vËy diÖn 1 2 tÝch tam gi¸c C'MD lµ : S C ′MD = C ′D ⋅ MH C M B I V× C ′D = a 2 kh«ng ®æi nªn SΔC'MD lín nhÊt (nhá nhÊt) khi ®−êng cao MH lín nhÊt (nhá A nhÊt). MÆt kh¸c, v× MH 2 = MN 2 + NH 2 vµ MN = AI = a 3 kh«ng ®æi, do ®ã MH lín 2 nhÊt (nhá nhÊt) khi NH lín nhÊt (nhá nhÊt). Do N ch¹y trªn II' cè ®Þnh nªn NH lín nhÊt khi N ≡ I, vµ NH nhá nhÊt khi N lµ giao ®iÓm cña C'D víi II'. VËy : Max( MH ) = NH 2 + MN 2 = Min( MH ) = MN = a 30 4 ⇒ a 3 2 ⇒ Max( S C 'MD ) = a 2 15 4 a2 6 Min( S C 'MD ) = 4 6 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai II. Sö dông quan hÖ gi÷a ®o¹n th¼ng vμ ®−êng gÊp khóc, c¸c B§T trong tam gi¸c ®Ó t×m GTLN, GTNN - Víi 3 ®iÓm A, B, C bÊt kú, ta cã AC + CB ≥ AB AC + CB = AB ⇔ C ∈ AB. - §é dµi ®o¹n th¶ng nèi hai ®iÓm A vµ B ng¾n h¬n ®é dµi ®−êng gÊp khóc cã hai ®Çu A vµ B. - Trong tam gi¸c ABC ta cã : AC < AB + BC AC > |AB - BC| BAˆ C < ABˆ C ⇔ BC < AC 2AM < AB + AC, trong ®ã AM lµ ®−êng trung tuyÕn. VÝ dô 3 Cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai ®iÓm A, B cïng thuéc mét miÒn kh«ng gian do (P) chia ra. T×m ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho chu vi tam gi¸c MAB nhá nhÊt. Tãm t¾t lêi gi¶i : B A LÊy B' ®èi xøng víi B qua (P), khi ®ã MB = MB', víi ∀M∈(P). H M Chu vi ΔMAB = AB + MA + MB = AB + MA + MB' B' ≥ AB + AB' kh«ng ®æi VËy chu vi ΔMAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi A, M, B' th¼ng hµng. VÝ dô 4 Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã gãc ASB nhá h¬n 600. T×m ®iÓm 7 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai D thuéc c¹nh SB vµ ®iÓm E thuéc c¹nh SC sao cho chu vi tam gi¸c ADE nhá nhÊt. A Tãm t¾t lêi gi¶i : Trong mÆt ph¼ng SBC, dùng ra ngoµi tam gi¸c SBC c¸c tam gi¸c ΔSBA1 = ΔSBA, ΔSCA2 = ΔSCA. Ta ®−îc AD = A1D, AE = A2E, B A1 C E D A2 S víi ∀ D ∈ SB, E ∈ SC. Chu vi ΔADE = A1D + DE + EA2 ≥ A1A2 kh«ng ®æi. VËy chu vi ΔADE ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi D, E lµ giao ®iÓm cña A1A2 víi SB vµ SC. III. Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc trong ®−êng trßn C¸c bÊt ®¼ng thøc trong ®−êng trßn ®−îc thÓ hiÖn nh− sau : - §−êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®−êng trßn. - Trong hai d©y cung cña mét ®−êng trßn, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m nhá h¬n. - Trong hai cung nhá cña mét ®−êng trßn, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi gãc ë t©m lín h¬n. - Trong hai cung nhá cña mét ®−êng trßn, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi d©y tr−¬ng cung lín h¬n. VÝ dô 5 Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®−êng trßn ®−êng kÝnh AE cè ®Þnh. Trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i A lÊy ®iÓm S cè ®Þnh. XÐt h×nh chãp ®Ønh S, ®¸y lµ tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AE nãi trªn cã c¸c ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. BiÕt AE = 2R, AS = h. a. T×m t©m vµ b¸n kÝnh cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD. b. Ph¶i chän ®¸y h×nh chãp nh− thÕ nµo ®Ó thÓ tÝch cña nã lín nhÊt ? H·y tÝnh thÓ tÝch lín nhÊt Êy. 8 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai S Tãm t¾t lêi gi¶i t a. T×m t©m vµ b¸n kÝnh cÇu ngo¹i tiÕp : Gäi O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c D ABCD. Dùng tia Ot ⊥ (P), suy ra Ot lµ trôc cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp n¨m ®iÓm A, B, C, D, E. A C E O Trong mÆt ph¼ng (SAE), dùng ®−êng trung trùc B ®o¹n SA, c¾t Ot t¹i I. VËy I lµ t©m cÇu ngo¹i tiÕp S.ABCD. IO = AB h = . 2 2 B¸n kÝnh R = OA = IO 2 + OA 2 = 4R 2 + h 2 2 b. §¸y chãp nh− thÕ nµo ®Ó VS.ABCD lín nhÊt : 1 3 1 3 1 2 1 6 V× AC ⊥ BD nªn VS . ABCD = SA ⋅ S ABCD = h ⋅ AC ⋅ BD = h ⋅ AC ⋅ BD VS.ABCD lín nhÊt ⇔ AC.BD lín nhÊt ⇔ AC vµ BD lín nhÊt khi nã lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn, suy ra ABCD lµ h×nh vu«ng. VËy VS.ABCD lín nhÊt khi ABCD lµ h×nh vu«ng cã AC = BD = 2R, thÓ 1 6 2 3 tÝch ®ã lµ : V = h ⋅ 2 R ⋅ 2 R = hR 2 . VÝ dô 6 Cho ®−êng trßn (C) ®−êng kÝnh AB trong mÆt ph¼ng (P). Mét ®iÓm N di ®éng trong kh«ng gian (ngoµi P) sao cho h×nh chiÕu cña N trªn (P) lµ ®iÓm M trªn ®−êng trßn (C). Gäi K lµ h×nh chiÕu cña M trªn mÆt ph¼ng NAB. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña N ®Ó thÓ tÝch tø diÖn KABM lín nhÊt. Tãm t¾t lêi gi¶i Gäi O lµ t©m ®−êng trßn (C). H¹ ME ⊥ AB ⇒ NE ⊥ AB (§L ba ®−êng vu«ng gãc) ⇒ AB ⊥ (MNE) ⇒ (MNE) ⊥ (NAB), nªn MK ⊥ (NAB), tõ ®ã kÐo theo K ∈ NE. V× (MNE) ⊥ (P), tõ K dùng KH ⊥ (P) nªn H ∈ ME. 9 SKKN năm học 2010 - 2011 Cã V KMAB = GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai 1 1 KH .S ΔMAB = AB.ME.KH 3 6 N Do ®ã VKMAB lín nhÊt ⇔ ME . KH lín nhÊt ⇔ ME vµ KH lín nhÊt M di ®éng K M trªn (C), ME lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn AB, B H O E nªn ME lín nhÊt khi ME lµ b¸n kÝnh cña (C), tøc lµ E ≡ O ⇒ ME = A AB 2 V× MK ⊥ NE nªn K ë trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh ME = AB . 2 Do ®ã KH lín nhÊt khi KH lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ®−êng kÝnh ME, tøc lµ KH = AB vµ H lµ trung ®iÓm ME. 4 VËy VKMAB lín nhÊt khi M lµ ®iÓm gi÷a cña nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh B AB vµ N c¸ch (P) mét ®o¹n b»ng AB . 2 Chó ý : Cã 2 vÞ trÝ cña ®iÓm N tháa yªu cÇu bµi to¸n IV. Sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n a. BÊt ®¼ng thøc Cosi BÊt ®¼ng thøc Cosi vµ c¸c hÖ qu¶ cña nã ®−îc sö dông trong c¸c bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc b»ng c¸ch biÓu thÞ c¸c ®é dµi thay ®æi bëi c¸c biÕn x, y, z, … BÊt ®¼ng thøc Cosi cho 2 sè x, y ≥ 0 x+ y ≥ xy 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y BÊt ®¼ng thøc Cosi cho n sè x1, x2, …, xn ≥ 0 x1 + x 2 + L + x n n ≥ x1 .x 2 ...x n n 10 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x1 = x2 = … = xn Ngoµi ra, bÊt ®¼ng thøc Cosi cßn th−êng ®−îc sö dông d−íi c¸c d¹ng sau : D¹ng 1 : x +y ≥ 2 2 (x + y )2 2 ≥ 2 xy DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y D¹ng 2 : (HÖ qu¶ cña B§T Cosi) NÕu hai sè cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín nhÊt khi vµ chØ khi hai sè Êy b»ng nhau. D¹ng 3 : (HÖ qu¶ cña B§T Cosi) NÕu hai sè cã tÝch kh«ng ®æi th× tæng cña chóng nhá nhÊt khi vµ chØ khi hai sè Êy b»ng nhau. b. BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski Cho (a, b) vµ (x, y) tïy ý : (ax + by )2 ≤ (a 2 + b 2 )⋅ (x 2 + y 2 ) DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x y = a b Cho (a1, a2, …,an) vµ (x1, x2, …, xn) tïy ý, ta cã : (a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n ) 2 ≤ (a12 + a 22 + ... + a n2 )( x12 + x 22 + ... + x n2 ) DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x x1 x 2 = = ... = n a1 a 2 an Trong bµi to¸n cùc trÞ, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski hay ®−îc sö dông d−íi d¹ng : D¹ng 1 : x +y 2 2 2 ( x + y) ≥ 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = y 11 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai D¹ng 2 : (d¹ng tæng qu¸t) x + x +K+ x ≥ 2 1 2 2 2 n (x1 + x 2 + K + x n )2 n DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x1 = x2 = … = xn Ngoµi c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n trªn, mét sè bµi to¸n cã thÓ sö dông thªm c¸c bÊt ®¼ng thøc sau : c. BÊt ®¼ng thøc Minkowski Cho (a1, a2, …, an) ; (b1, b2, …, bn) ; … ; (l1, l2, …, ln) lµ n bé sè thùc bÊt kú, ta lu«n cã : a12 + b12 + ... + l12 + a 22 + b22 + ... + l 22 + ... + a n2 + bn2 + ... + l n2 ≥ ≥ ( a1 + ... + a n ) 2 + (b1 + ... + bn ) 2 + ... + (l1 + ... + l n ) 2 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a1 : b1 : K : l1 = a 2 : b2 : K : l 2 = K = a n : bn : K : l n d. BÊt ®¼ng thøc Schwartz Cho (a1, a2, …, an) vµ (b1, b2, …, bn) víi bi > 0; i = 1, …, n, ta lu«n cã : a 2 (a + ... + a n ) 2 a12 a 22 + + ... + n ≥ 1 b1 b2 bn b1 + ... + bn DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a a1 a 2 = = ... = n b1 b2 bn VÝ dô 7 Cho tø diÖn vu«ng SABC cã gãc ph¼ng ë ®Ønh S vu«ng. a. Chøng minh r»ng 3.S ΔABC ≥ S ΔSAB + S ΔSBC + S ΔSAC b. BiÕt SA = a, SB + SC = k. §Æt SB = x. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn SABC theo a, k, x vµ x¸c ®Þnh SB, SC ®Ó thÓ tÝch tø diÖn SABC lín nhÊt. c. Gi¶ sö SA = a, SB = b, SC = c thay ®æi nh−ng lu«n tháa m·n ®iÒu kiÖn a2 + b2 + c2 = k2 (víi k > 0) cho tr−íc. Khi nµo th× tam gi¸c ABC cã diÖn 12 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai tÝch lín nhÊt. Chøng minh r»ng khi ®ã kho¶ng c¸ch tõ S ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) lín nhÊt. A Tãm t¾t lêi gi¶i : a. CMR: 3.S ΔABC ≥ S ΔSAB + S ΔSBC + S ΔSAC 1 3 1 6 Ta cã VS . ABC = SA ⋅ S ΔSBC = SA ⋅ SB ⋅ SC S C KÎ AI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAI) I 2 1 ⎞ ⎛1 S Δ2ABC = ⎜ AI .BC ⎟ = AI 2 .BC 2 4 ⎠ ⎝2 = = ( H B ) 1 1 1 1 1 SA 2 + SI 2 .BC 2 = SA 2 .BC 2 + SI 2 .BC 2 = SA 2 .( SB 2 + SC 2 ) + SI 2 .BC 2 4 4 4 4 4 1 1 1 2 SA .SB 2 + SA 2 .SC 2 + SI 2 .BC 2 4 4 4 = S Δ2SAB + S Δ2SAC + S Δ2SBC Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ta cã : (S ΔSAB + S ΔSBC + S ΔSCA ) 2 ( ) ≤ 3 S Δ2SAB + S Δ2SBC + S Δ2SCA ≤ 3S Δ2ABC S ΔSAB + S ΔSBC + S ΔSAC ≤ 3.S ΔABC ⇒ b. TÝnh thÓ tÝch cña SABC : BiÕt SB + SC = k vµ SB = x nªn SC = k - x. VSABC = 1 1 SA ⋅ SB ⋅ SC = ax (k − x) 6 6 VSABC lín nhÊt ⇔ x(k-x) lín nhÊt. 2 x + ( k − x) ⎞ k2 Theo B§T Cosi : x(k − x) ≤ ⎛⎜ ⎟ = 2 4 ⎠ ⎝ DÊu "=" x¶y ra khi x = k - x ⇔ x = k . 2 VËy thÓ tÝch tø diÖn SABC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi SB = SC = k . 2 c. ΔABC cã diÖn tÝch lín nhÊt : Gäi SH lµ ®−êng cao thuéc mÆt (ABC) ⇒ H∈ AI Trong tam gi¸c vu«ng SAI cã 1 1 1 1 1 1 = + 2 mµ = + 2 2 2 2 SH SA SI SI SB SC 2 13 SKKN năm học 2010 - 2011 nªn GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai 1 1 1 1 1 1 1 = + + = 2 + 2 + 2 2 2 2 2 SH SA SB SC a b c Do ®ã S ΔABC = ⇒ SH = abc a b + b2c 2 + c 2a 2 2 2 3V SABC 1 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 = SH 2 Theo B§T Cosi : a 4 + b 4 ≥ 2a 2 b 2 b 4 + c 4 ≥ 2b 2 c 2 c 4 + a 4 ≥ 2c 2 a 2 MÆt kh¸c ⇒ a4 +b4 +c4 ≥ a2b2 +b2c2 +c2a 2 ( k 4 = a2 + b2 + c2 ) 2 ( = a 4 + b 4 + c 4 + 2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 (1) ) ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = k 4 − 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) Tõ (1), (2) suy ra a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ (2) k4 3 1 2 k VËy Max( S ΔABC ) = k 3 khi a = b = c = . 6 3 Chøng minh SH lín nhÊt : Ta cã 1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 2 SH a b c ⇒ k2 ⋅ 1 1 1 ⎞ 3 ⎛ 1 = a 2 + b 2 + c 2 ⋅ ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ≥ 3 ⋅ 3 a 2b 2 c 2 ⋅ =9 2 3 SH b c ⎠ ⎝a a 2b 2c 2 ( ) k2 k ⇒ SH ≤ ⇒ SH ≤ 3 9 2 VËy SH cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ k khi a = b = c, tøc lµ khi diÖn tÝch ΔABC 3 lín nhÊt VÝ dô 8 Cho gãc tam diÖn vu«ng Oxyz vµ mét ®iÓm I trong gãc tam diÖn. XÐt mÆt ph¼ng (α) qua I c¾t ba c¹nh Ox, Oy, Oz lÇn l−ît t¹i A, B, C. a. Gäi a, b, c lµ kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ba mÆt OBC, OCA, OAB. T×m hÖ thøc gi÷a ba c¹nh OA, OB, OC. b. TÝnh OA, OB, OC theo a, b, c ®Ó : 14 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai b1. ThÓ tÝch tø diÖn OABC nhá nhÊt. b2. Tæng OA + OB + OC nhá nhÊt. C Tãm t¾t lêi gi¶i : a. T×m hÖ thøc gi÷a OA, OB, OC : §Æt OA = x, OB = y, OC = z. a, b, c lµ I O chiÒu cao 3 tø diÖn IOBC, IOCA, IOAB. B Ta cã VOABC = VIOBC + VIOCA + VIOAB ayz + bzx + cxy ⇔ xyz hay a b c + + =1 OA OB OC 6 = 6 ⇔ a b c + + =1 x y z A b. TÝnh OA, OB, OC theo a, b, c: b1. §Ó VOABC nhá nhÊt : Theo B§T Cosi : 1 = a b c a b c + + ≥ 3⋅3 ⋅ ⋅ OA OB OC OA OB OC Suy ra OA.OB.OC ≥ 27abc ⇒ VOABC ≥ 27 9 abc = abc 6 2 VËy thÓ tÝch tø diÖn OABC nhá nhÊt lµ 9 abc khi OA = 3a, OB = 3b, OC = 3c. 2 b2. §Ó tæng OA + OB + OC nhá nhÊt : V× b c ⎞ a b c ⎛ a + + = 1 nªn ta cã OA + OB + OC = (OA + OB + OC ) ⋅ ⎜ + + ⎟ OA OB OC ⎝ OA OB OC ⎠ = ( OA ≥ ( 2 ) ⎛ a2 b2 c 2 ⎞⎟ + OB 2 + OC 2 ⎜ + + ⎜ OA 2 OB 2 OC 2 ⎟⎠ ⎝ a+ b+ c ) 2 (theo B§T Bunhiacopski) VËy OA + OB + OC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ OA a = OB b = OC c = OA + OB + OC a+ b+ c ( a+ b+ c ⇒ ) 2 khi : OA = a ( a + b + c ) OB = b ( a + b + c ) OC = c ( a + b + c ) 15 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai VÝ dô 9 Hai nöa ®−êng th¼ng Am, Bn chÐo nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. AB = a lµm ®−êng vu«ng gãc chung. §iÓm M, N chuyÓn ®éng trªn Am, Bn sao cho MN = b kh«ng ®æi. XÐt tø diÖn ABMN. a. Chøng minh r»ng c¸c mÆt lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. b. TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña ABMN theo a, x=AM, y=BN. c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña V vµ Stp. Tãm t¾t lêi gi¶i : a. CMR c¸c mÆt lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. Ta cã AM ⊥ AB, BN ⊥ AB ⇒ ΔABM, ΔABN vu«ng. AM ⊥ AB vµ BN ⇒ AM ⊥ AN ⇒ ΔAMN vu«ng t¹i A. T−¬ng tù suy ra ΔBMN vu«ng t¹i B. A M b. TÝnh V vµ Stp cña ABMN theo a, m A x, y : V ABMN = axy 1 1 AM .S ABN = AM . AB.BN = 6 6 3 B S tp = S ABM + S ABN + S AMN + S BMN N 1 1 1 1 = ax + ay + x a 2 + y 2 + y a 2 + x 2 2 2 2 2 1 2 ⇔ S tp = a ( x + y ) + ( 1 x a2 + y2 + y a2 + x2 2 n ) c. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña V vµ Stp: MN 2 = AM 2 + AN 2 ⇔ a2 + x2 + y 2 = b2 ⇔ x2 + y2 = b2 − a2 x2 + y2 1 1 1 = a(b 2 − a 2 ) V = axy ≤ a ⋅ 6 6 2 12 ⇒ Max (V ) = S tp = 1 a (b 2 − a 2 ) khi 12 ( x= y= 1 1 a(x + y ) + x a 2 + y 2 + y a 2 + x 2 2 2 Sö dông B§T x + y 2 2 2 ( x + y) ≥ 2 ⇔ b2 − a2 2 ) x + y ≤ 2( x 2 + y 2 ) 16 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai Thay vµo ta ®−îc x + y ≤ 2(b 2 − a 2 ) vµ x a 2 + y 2 + y a 2 + x 2 ≤ 2[ x 2 (a 2 + y 2 ) + y 2 (a 2 + x 2 )] = 2 ⋅ a 2 ( x 2 + y 2 ) + 2( xy ) 2 = 2a 2 (b 2 − a 2 ) + (2 xy) 2 ≤ 2a 2 (b 2 − a 2 ) + ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (b 2 − a 2 ) + (b 2 − a 2 ) 2 = (b 2 − a 2 )(a 2 + b 2 ) = b 4 − a 4 1 2 VËy S tp ≤ a 2(b 2 − a 2 ) + ⇒ Max( S tp ) = b2 − a2 1 b4 − a4 = 2 2 b 2 − a 2 ⎛⎜ b2 + a2 a+ 2 ⎜⎝ 2 ⎞ ⎟ khi ⎟ ⎠ 2 2 ⎛ ⎜a + b + a ⎜ 2 ⎝ x=y= ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ b2 − a2 2 VÝ dô 10 Trong c¸c h×nh chãp tam gi¸c cã ®−êng cao h, ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu cã c¹nh b»ng a cho tr−íc. T×m chãp cã tæng c¸c c¹nh bªn nhá nhÊt. S Tãm t¾t lêi gi¶i : KÎ SH ⊥ (ABC) NhËn xÐt : NÕu H n»m ngoµi Δ ABC, chØ cÇn nèi H víi ®Ønh thÝch hîp cña tam gi¸c ⇒ SA + SB + SC kh«ng thÓ nhá nhÊt v× c¸c A C H h×nh chiÕu cña SA, SB, SC ®Òu cã thÓ lµm nhá h¬n. XÐt H trong Δ ABC : Ta dÔ dµng B chøng minh : HA + HB + HC ≥ 3R DÊu "=" x¶y ra khi H lµ t©m ΔABC. §Æt HA = x, HB = y, HC = z. ⇒ SA + SB + SC = h 2 + x 2 + h 2 + y 2 + h 2 + z 2 Theo B§T Minkowski ta cã : h 2 + x 2 + h 2 + y 2 + h 2 + z 2 ≥ ( h + h + h) 2 + ( x + y + z ) 2 ≥ 9h 2 + 9 R 2 = 3 h 2 + R 2 DÊu "=" x¶y ra khi H lµ t©m ΔABC. VËy Min( SA + SB + SC ) = 3 h 2 + R 2 khi chãp SABC lµ chãp tam gi¸c ®Òu. 17 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai V. Sö dông ph−¬ng ph¸p hμm sè a. Ph−¬ng ph¸p kh¶o s¸t hμm sè TÝnh ®¹i l−îng f ®ang xÐt chØ theo mét ®¹i l−îng thay ®æi x, ®−a vÒ d¹ng hµm sè y = f(x). T×m miÒn x¸c ®Þnh D cña x, vµ kh¶o s¸t cùc trÞ cña hµm f(x) trong miÒn ®ã. ™ Sö dông ®Þnh nghÜa GTLN, GTNN cña hμm sè Hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn D Sè M ®−îc gäi lµ GTLN cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu : • ∀x ∈ D : f(x) ≤ M • ∃x0 ∈ D : f(x0) = M Ký hiÖu M = Max f (x ) D Sè m ®−îc gäi lµ GTNN cña hµm sè y = f(x) trªn tËp D nÕu : • ∀x ∈ D : f(x) ≥ m • ∃x0 ∈ D : f(x0) = m Ký hiÖu m = Min f ( x ) D ™ GTLN, GTNN cña hμm sè trªn mét kho¶ng Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a; b) (a cã thÓ lµ -∞, b cã thÓ lµ +∞). - TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè f(x) trªn (a; b). - Gi¶i ph−¬ng tr×nh f'(x) = 0 ®Ó t×m c¸c nghiÖm x1, x2, …, xn trªn (a; b). - LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn (a; b). - Rót ra kÕt luËn vÒ GTLN, GTNN cña hµm sè trªn (a; b). ™ GTLN, GTNN cña hμm sè trªn mét ®o¹n Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng [a; b] vµ chØ cã mét sè h÷u 18 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai h¹n ®iÓm tíi h¹n trªn ®o¹n ®ã. • Cã thÓ ¸p dông c¸ch gi¶i trªn. • HoÆc cã thÓ thùc hiÖn theo c¸c b−íc sau : - TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè f(x) trªn [a; b]. - Gi¶i ph−¬ng tr×nh f'(x) = 0 ®Ó t×m c¸c nghiÖm x1, x2, …, xn trªn [a; b]. - TÝnh f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Max f ( x ) = Max { f (a ), f ( x1 ), f (x 2 ), K , f (x n ), f (b )} [a ; b ] Min f ( x ) = Min { f (a ), f (x1 ), f (x 2 ), K , f (x n ), f (b )} [a ; b ] VÝ dô 11 Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ ®iÓm gi÷a cña c¹nh SC. Mét mÆt ph¼ng di ®éng qua AK nh−ng lu«n c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l−ît t¹i M vµ N. a. Chøng minh SB SD + =3 SM SN b. Gäi V lµ thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD vµ V1 lµ thÓ tÝch h×nh chãp S.AMKN. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña tû sè S Tãm t¾t lêi gi¶i : a. Chøng minh : V1 . V SB SD + =3 SM SN Gäi O = AC ∩ BD, K lµ trung ®iÓm SC. M G = SK ∩ SO nªn G lµ träng t©m ΔSAC. MÆt ph¼ng qua AK c¾t SB, SD t¹i M vµ N, nªn MN qua G. S ΔSMG SM .SG 2 SM = = ⋅ S ΔSBO SB.SO 3 SB S ΔSNG SN .SG 2 SN = = ⋅ S ΔSDO SD.SO 3 SD G K N A D B O C (1) (2) 19 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai Tõ (1), (2) : ⇒ S ΔSMG + S ΔSNG 2 ⎛ SM SN ⎞ = ⋅⎜ + ⎟ 1 3 ⎝ SB SD ⎠ S ΔSDO 2 Ta l¹i cã S ΔSMN SM .SN = S ΔSBD SB.SD (4) ⇒ Tõ (3), (4) suy ra ⇒ SM .SD + SN .SB = 3.SM .SN ⇒ VSAMK 1 SM = ⋅ VSABC 2 SB (3) SM SN SM .SN + = 3⋅ SB SD SB.SD SD SB + =3 SN SM b. TÝnh GTLN vµ GTNN cña Ta cã S ΔSMN 1 ⎛ SM SN ⎞ = ⋅⎜ + ⎟ S ΔSBD 3 ⎝ SB SD ⎠ V1 V (5) VSANK 1 SN = ⋅ VSABC 2 SD (6) Céng (5), (6) ta ®−îc : VSAMK + VSANK V 1 ⎛ SM SN ⎞ = 1 = ⋅⎜ + ⎟ 1 1 2 ⎝ SB SD ⎠ VSABC V 2 2 §Æt SB SD =x ⇒ = 3 − x (1≤x≤2) ⇒ SM SN XÐt f(x) = x(3-x) (1≤x≤2) V1 1 ⎛ SM SN ⎞ = ⋅⎜ + ⎟ V 4 ⎝ SB SD ⎠ ⇒ V1 3 1 = ⋅ V 4 x(3 − x ) f'(x) = -2x + 3 = 0 khi x = 3 2 B¶ng biÕn thiªn : x f'(x) 1 3/2 + 2 - 9/4 f(x) 2 Do ®ã 2 V1 ⎛ V1 ⎞ 3 lín nhÊt khi f(x) nhá nhÊt = 2 ⇒ Max ⎜ ⎟ = V ⎝V ⎠ 8 V1 ⎛ V1 ⎞ 1 9 nhá nhÊt khi f(x) lín nhÊt = ⇒ Min ⎜ ⎟ = V 4 ⎝V ⎠ 3 20 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai VÝ dô 12 T×m h×nh nãn ngo¹i tiÕp mÆt cÇu cho tr−íc cã thÓ tÝch ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Tãm t¾t lêi gi¶i : H×nh nãn ngo¹i tiÕp mÆt cÇu (I, R). Gäi SI = x (x > R ) ⇒ SO = x + R , SK = x 2 − R 2 V× ΔSIK ∼ ΔSAO : ⇒ SK IK = SO AO ⇒ S 1 3 ⇒ V = ⋅ π ⋅ AO 2 ⋅ SO = ⇒ V= x2 − R2 π R (R + x ) 3 ⋅ 2 (x 2 − R2 K 2 ) ⋅ (R + x ) I πR 2 x 2 + 2 Rx + R 2 3 XÐt f ( x) = f ( x) = R.(R + x ) AO = ⋅ A x−R O x 2 + 2 Rx + R 2 x−R x 2 + 2 Rx + R 2 x−R ⇒ f ' (x ) = x 2 − 2 Rx − 3R 2 (x − R ) 2 ⎡ x = 3R =0 ⇒ ⎢ ⎣x = −R Ta cã b¶ng biÕn thiªn : x -R f'(x) 0 0 +∞ 3R - 0 + f(x) 8R ⇒ 8πR 3 Min(V ) = 3 khi SO = 4 R , AO = R 2 b. Ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai Cho tam thøc bËc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). So s¸nh sè thùc α víi c¸c nghiÖm cña tam thøc y = f(x) : 21 SKKN năm học 2010 - 2011 GV: Hoàng Mạnh Thắng - THPT số 3 TP Lào Cai §Þnh lý : ⎧ f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 ⎪ af (α ) < 0 ⇔ ⎨ x < α < x2 ⎪ 1 ⎩ ⎧ ⎧ f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 ⎪ Δ>0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎨ ⎪af (α ) > 0 ⎪ α ∉ [x1; x2] ⎩ ⎩ NÕu S − α > 0 th× α < x1 < x2 2 NÕu S − α < 0 th× x1 < x2< α 2 HÖ qu¶ : Cho hai sè thùc α vµ β (α < β) ⎡ x1 < α < x 2 < β ⎢α < x < β < x 1 2 ⎣ ⇔ f (α ). f ( β ) < 0 VÝ dô 13 ABCD lµ tø diÖn ®Òu c¹nh b»ng 1. C¸c ®iÓm M, N di ®éng lÇn l−ît trªn AB vµ AC sao cho mÆt (DMN) ⊥ (ABC). §Æt AM = x, AN = y. a. Chøng minh hÖ thøc x + y = 3xy . b. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn S phÇn tø diÖn ADMN. Tãm t¾t lêi gi¶i : a. Chøng minh hÖ thøc x+y=3xy: H¹ DO ⊥ (ABC). Do (DMN) ⊥ (ABC) ⇒ DO ⊂ (DMN)⇔ M, O, N th¼ng hµng 1 3 xy sin 60 0 = xy 2 4 N x ⇒ AO lµ ph©n gi¸c gãc MAˆ N = 60 0 Ta cã S AMN = y A O M (1) C I B 22