Tài liệu Một số phương pháp xấp xỉ hàm số

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiên luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thư Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thư Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Không gian C[a,b] , Lp[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1. Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Một số định lý về xấp xỉ hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Xấp xỉ hàm bằng tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Hệ thống Korovkin và xấp xỉ hàm liên tục bởi một dãy hàm cho bởi toán tử tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. Tập các hàm kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 i 2.3.2. Các hạch dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Xấp xỉ hàm bởi tích phân Fejér-Korovkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Xấp xỉ hàm bởi đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1. Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.3. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều . . . . . . . . . . . . 45 2.5.4. Sai số của phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6. Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.1. Định nghĩa về hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.2. Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7. Đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1. Tính tổng của một chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Tính xấp xỉ giá trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1. Tính xấp xỉ hàm số bởi đa thức Bernstein . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2. Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính xấp xỉ giá trị hàm số 57 3.2.3. Sử dụng hàm ghép lớp trơn tính xấp xỉ giá trị hàm số . . 58 3.3. Một số ứng dụng trong phương trình vật lý toán . . . . . . . . . . . 62 3.3.1. Bài toán dây rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2. Bài toán dao động tự do của dây rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ii Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 iii Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] Lp[a,b] Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên [a, b] (1 ≤ p < ∞) Lp (R) Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên R X (2π) Không gian các hàm C2π hoặc Lp2π X (R) Không gian các hàm C (R) hoặc Lp (R) L (X, Y ) Không gian các hàm tuyến tính liên tục từ X vào Y 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Bài toán xấp xỉ hàm số là một bài toán quan trọng của toán học. Nó có vai trò quan trọng về phương diện lí thuyết và ứng dụng. Vấn đề này đã được các nhà toán học quan tâm từ đầu thế kỷ XVIII. Định lý nổi tiếng của Weierstrass về xấp xỉ một hàm số liên tục trên một đoạn bởi dãy các đa thức đã mở đầu cho việc chứng minh tính trù mật của không gian các đa thức trong một số các không gian hàm quan trọng. Định lý về xấp xỉ một hàm tuần hoàn bởi một dãy các đa thức lượng giác làm tiền đề cho việc nghiên cứu và tính xấp xỉ giá trị của hàm tuần hoàn. Một số ứng dụng của giải tích hàm cho ta cách tiếp cận vấn đề xấp xỉ hàm số một cách tổng quát hơn. Với mong muốn hiểu sâu hơn về các phương pháp xấp xỉ hàm số nên tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp xấp xỉ hàm số” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp xấp xỉ hàm số, như xấp xỉ bởi đa thức đại số, đặc biệt là xấp xỉ bởi đa thức lượng giác được cho bởi toán tử tích phân kì dị. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan về việc xấp xỉ một hàm liên tục trên một đoạn, xấp xỉ một hàm số tuần hoàn trên đường thẳng. - Nghiên cứu việc xấp xỉ một hàm nhờ toán tử tích phân kì dị. - Nghiên cứu về xấp xỉ tốt nhất một hàm liên tục, một hàm khả tích Lebesgue bởi một đa thức. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp xấp xỉ hàm liên tục và hàm khả tích Lebesgue. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống về một số phương pháp xấp xỉ hàm số và ứng dụng của chúng. 3 Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Một số không gian hàm 1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm • Chuỗi số Định nghĩa 1.1. Cho dãy số: a1 , a2 , ..., an , .... Lập dãy số mới: A1 = a1 , A2 = a1 + a2 , ... An = a1 + a2 + ... + an = n P ak . k=1 Ký hiệu hình thức: ∞ P ak = lim An = lim k=1 n→+∞ n P n→+∞ k=1 ak và gọi ∞ P ak là k=1 một chuỗi số, ak được gọi là số hạng thứ k của chuỗi số. • Chuỗi số hội tụ Xét chuỗi số ∞ X ak . k=1 Đặt An = n P ak . Khi đó k=1 An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Dãy {An } là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1). 4 (1.1) Nếu dãy {An } hội tụ và lim An = A thì ta nói chuỗi số n→+∞ +∞ P tụ và có tổng bằng A, viết là ∞ P ak hội k=1 ak = A. k=1 Nếu dãy {An } không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ. • Phần dư của chuỗi Xét chuỗi số hội tụ ∞ X ak . (1.2) k=1 Đặt rn = +∞ P k=n+1 ak = +∞ P an+k Khi đó rn được gọi là phần dư thứ n k=1 của chuỗi hội tụ (1.2). +∞ n P P Giả sử A = ak và An = ak thì ta có rn = A−An ⇒ lim rn = 0. k=1 n→∞ k=1 • Điều kiện để một chuỗi hội tụ Định lý 1.1. (Định lý về điều kiện cần) Nếu chuỗi ∞ P ak hội tụ thì k=1 lim ak = 0. k→+∞ Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ: Xét chuỗi số +∞ X ak (1.3) k=1 có dãy tổng riêng là An = n P ak . k=1 Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.3) hội tụ điều kiện cần và đủ là: ∀ε > 0, cho trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N∗ sao cho: ∀n > n0 , ∀p ∈ N∗ thì |An+p − An | < ε. Điều này nghĩa là: |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. Vậy ta có: 5 Định lý 1.2. Điều kiện cần và đủ để chuỗi +∞ P ak hội tụ là: ∀ε > 0 cho k=1 trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N∗ sao cho ∀n > n0 , ∀p ∈ N∗ ta đều có |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. Từ định lý này ta suy ra chuỗi số +∞ P an phân kỳ khi và chỉ khi tồn n=1 ∗ tại một số ε0 > 0, để ∀n ∈ N∗ , ∃p0 ∈ N sao cho |An+p0 − An | ≥ ε0 . • Dãy hàm Cho U là một tập con của tập số thực R. A là tập tất cả các hàm số xác định trên U . Ánh xạ F : N → A n 7→ un ∈ A u1 (x) , u2 (x) , u3 (x) , ..., un (x) , ... (n = 1, 2, 3, ...) được gọi là dãy hàm số xác định trên tập U . Ký hiệu: {un (x)} , ∀n = 1, 2, 3, .... • Sự hội tụ đều của dãy hàm Giả sử un (x) là một dãy hàm xác định trên U ⊂ R. Dãy hàm số {un (x)} , ∀n = 1, 2, 3, ... được gọi là hội tụ đều tới hàm u (x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho (∀n > nε ) (∀x ∈ U ) thì |un (x) − u (x)| < ε. Định lý 1.3. Dãy hàm {un (x)} hội tụ đều tới hàm u (x) trên U khi và chỉ khi lim sup |un (x) − u (x)| = 0. n→+∞ U • Chuỗi hàm Định nghĩa 1.2. Cho dãy hàm {un (x)} cùng xác định trên một tập U ⊂ R. Chuỗi hàm là tổng hình thức u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... = +∞ X n=1 6 un (x). (1.4) Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số của chuỗi hàm (1.4), nếu +∞ P un (x0 ) hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ n=1 +∞ P un (x0 ) phân kỳ thì chuỗi hàm (1.4) phân n=1 kỳ tại điểm x0 . Tập tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó. Giả sử U1 là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4), khi +∞ P đó với mọi x ∈ U1 chuỗi un (x) có tổng là S (x). Như vậy n=1 S (x) = +∞ X un (x), ∀x ∈ U1 . n=1 Ta gọi S (x) là tổng của chuỗi hàm. • Sự hội tụ đều của chuỗi hàm +∞ P uk (x) là một chuỗi hàm xác định trên U . Giả sử k=1 Ta nói chuỗi hàm +∞ P uk (x) hội tụ đều đến tổng S (x) trên tập U , nếu k=1 ∀ε > 0 cho trước đều ∃nε > 0 sao cho (∀n > nε ) , (∀x ∈ U ) thì |Sn (x) − S (x)| < ε. • Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm Định lý 1.4. (Điều kiện cần và đủ Cauchy) Chuỗi hàm +∞ P uk (x) hội k=1 tụ đều trên tập U khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên n0 = n0 (ε) (không phụ thuộc vào x) sao cho ∀n > n0 , ∀m ∈ N∗ đều xảy   n+m  P ra  uk (x) < ε, với mọi x ∈ U . k=n+1 Định lý 1.5. (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm +∞ P un (x) gồm các n=1 hàm un xác định trên tập U . Giả thiết tồn tại một dãy số dương {Cn } 7 sao cho i) |un (x)| ≤ Cn , ∀x ∈ U, ∀n ∈ N∗ . +∞ P ii) Chuỗi số Cn hội tụ. n=1 +∞ P Khi đó chuỗi hàm un (x) hội tụ đều trên U . n=1 Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm {an } , {bn } cùng xác định trên tập U . Giả thiết: i) Dãy tổng riêng An (x) của chuỗi hàm +∞ P an (x) bị chặn đều trên U có n=1 nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao cho  n  X    |An (x)| =  ak (x) ≤ M, ∀n, ∀x ∈ U.   k=1 ii) Dãy hàm {bn } đơn điệu có nghĩa là với mỗi số x ∈ U dãy bn (x) là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn (x)} hội tụ đều trên U đến 0. +∞ P Khi đó chuỗi hàm an (x) .bn (x) hội tụ đều trên U . n=1 • Tính chất của tổng chuỗi hàm Định lý 1.7. (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm +∞ P un (x). Giả thiết rằng n=1 i) un là các hàm liên tục trên tập U, ∀n = 1, 2, 3, .... +∞ P ii) Chuỗi hàm un (x) hội tụ đều trên U đến tổng S (x). n=1 Khi đó S là một hàm liên tục trên U . Định lý 1.8. (Định lý Dini) Giả sử rằng +∞ P i) Chuỗi hàm un (x) hội tụ trên [a, b] đến tổng S (x). n=1 ii) un (n = 1, 2, 3, ...) là các hàm liên tục trên [a, b] và un (x) ≥ 0 (hoặc un (x) ≤ 0), ∀x ∈ [a, b] , ∀n = 1, 2, 3, .... 8 iii) S là hàm liên tục trên [a, b]. +∞ P Khi đó chuỗi hàm un (x) hội tụ đều trên [a, b]. n=1 Định lý 1.9. (Tích phân từng số hạng) Cho chuỗi hàm +∞ P un (x). Giả n=1 thiết rằng i) un là các hàm khả tích trên [a, b] , ∀n = 1, 2, 3, .... +∞ P ii) Chuỗi hàm un (x) hội tụ đều trên [a, b] và có tổng là S (x). n=1 Khi đó S là hàm khả tích trên [a, b] và Zb Zb S (x) dx = a un (x) dx. a 1.1.2. Không gian vectơ Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp E mà các phần tử ký hiệu α, β, γ, . . . và trường K mà các phần tử được ký hiệu là x, y, z, .... Giả sử trên tập E có hai phép toán: Phép toán cộng (+): E × E → E (α, β) 7→ α + β Phép toán nhân (.): K × E → E (x, α) 7→ x.α thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1) (α + β) + γ = α + (β + γ) , ∀α, β, γ ∈ E. 2) Tồn tại θ ∈ E sao cho θ + α = α + θ = α, ∀α ∈ E. 0 0 0 3) Với mỗi α, tồn tại α ∈ E sao cho α + α = α + α = θ. 4) α + β = β + α, ∀α, β ∈ E. 9 5) (x + y) .α = x.α + y.α, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ E. 6) x. (α + β) = x.α + y.β, ∀x ∈ K, ∀α, β ∈ E. 7) x. (y.α) = (x.y) .α, ∀α ∈ E, ∀x, y ∈ K. 8) 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K. Khi đó E cùng hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K hay có thể gọi K-không gian vectơ. Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực (hay không gian tuyến tính thực), còn khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức. • Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.4. Cho hệ vectơ {a1 , a2 , ..., ak } trong không gian vectơ E. Khi đó vectơ x biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {ai }ki=1 nếu x= k X λi ai = λ1 a1 + λ2 a2 + ... + λk ak , λi ∈ K. i=1 Hệ vectơ {ai }ki=1 được gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại k P (λ1 , λ2 , ..., λk ) không đồng thời bằng 0 sao cho λi ai = θ. i=1 Hệ vectơ {ai }ki=1 được gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu từ
thì λi = 0 i = 1, k . k P λi ai = θ i=1 Hệ gồm một vectơ {a} là độc lập tuyến tính khi a 6= θ. Nếu vectơ a = θ thì hệ phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.10. Hệ vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ. • Không gian vectơ hữu hạn chiều, số chiều 10 Định nghĩa 1.5. Không gian vectơ V được gọi là không gian n chiều (1 ≤ n nguyên) nếu trong V tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và không tồn tại quá n vectơ độc lập tuyến tính. Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n. Ký hiệu là dim (V ). Các không gian n chiều, n ≥ 0, được gọi là không gian hữu hạn chiều. Nếu trong V có thề tìm được một số bất kỳ các vectơ độc lập tuyến tính thì ta nói V là không gian vô hạn chiều. Định nghĩa 1.6. Một hệ vectơ được gọi là hệ sinh của không gian vectơ nếu mọi vectơ của không gian đó biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này. Định lý 1.11. Trong không gian vectơ n chiều V ta có Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn n vectơ thì đều là hệ phụ thuộc tuyến tính. Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thề bổ sung để trở thành một cơ sở của V . Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở. 1.1.3. Không gian C[a,b] , Lp[a,b] • Không gian C[a,b] , Lp[a,b] Định nghĩa 1.7. Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa hai phần tử x (t) , y (t) là: ρ (x, y) = max |x (t) − y (t)| a≤t≤b 11 là không gian C[a,b] . Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định x (t) ∈ C[a,b] : kxk = max |x (t)| . a≤t≤b (1.5) Định lý 1.12. Không gian C[a,b] là không gian Banach với chuẩn (1.5). Chứng minh. Giả sử {xn (t)}∞ n=1 là dãy cơ bản bất kỳ trong C[a,b] nghĩa là (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) : kxn − xm k < ε, suy ra max |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀m, n ≥ n0 . a≤t≤b Do đó |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b] . (1.6) Như vậy với mỗi t cố định thuộc [a, b] thì {xn (t)}∞ n=1 là dãy cơ bản trong 1 R1 . Vì R1 là không gian đầy đủ, nên dãy {xn (t)}∞ n=1 hội tụ trong R . Đặt x (t) = lim xn (t), cho t thay đổi trên [a, b] thì ta có hàm số x (t) n→∞ xác định trên [a, b]. Từ (1.6) cho m → ∞ ta có (∀ε > 0) , (∃n0 ≥ n0 ) , ∀t ∈ [a, b] : |xn (t) − x (t)| ≤ ε hay max |xn (t) − x (t)| ≤ ε, tức là dãy {xn (t)} hội tụ đều tới x (t). a≤t≤b Vậy x (t) liên tục trên [a, b] nên x (t) ∈ C[a,b] và {xn (t)} hội tụ tới x (t) trong C[a,b] . Nói cách khác C[a,b] là không gian Banach với chuẩn (1.5). Định nghĩa 1.8. Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σđại số = các tập con của E. Họ tất cả các hàm số f khả tích trên E tức 12 là kf kp (1 ≤ p < ∞) khả tích trên E, tức là sao cho R p |f | dµ < +∞ gọi E p là không gian L (E, µ). Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue thì ta viết Lp (E). Nếu E = [a, b] ⊂ R và µ là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp[a,b] hoặc Lp [a, b]. Định nghĩa 1.9. Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo. Hàm số f đo được trên E gọi là chủ yếu giới nội nếu tồn tại một tập hợp P ⊂ M có độ đo không, sao cho f giới nội trên tập E\P , tức là tồn tại một số K sao cho |f (x)| ≤ K, ∀x ∈ E\P. (1.7) Cận dưới đúng của tập hợp các số K thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) gọi là cận trên đúng chủ yếu của hàm f , được ký hiệu esssup |f (x)| x∈E Định nghĩa 1.10. Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo. Gọi L∞ (E, µ) là tập hợp các giới nội hầu khắp nơi trên E. Với mỗi phần tử f của L∞ (E, µ), đặt kf k∞ = esssup |f (x)| . x∈E Định nghĩa 1.11. Cho họ (At )t∈T gồm các toán từ tuyến tính At , ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là một họ chỉ số có lực lượng nào đấy. Họ toán tử (At )t∈T gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X tập (At (x)) bị chặn trong không gian Y . Họ toán tử (At )t∈T gọi là bị chặn đều nếu tập các chuẩn kAt kt∈T bị chặn. 13 Định nghĩa 1.12. Dãy toán tử tuyến tính (An )∞ n=1 trong không gian L (X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A trong L (X, Y ) nếu với mỗi x ∈ X, dãy điểm (An x)∞ n=1 hội tụ tới Ax trong không gian định chuẩn Y . • Không gian các hàm khả tổng Định nghĩa 1.13. Tập L1 [−π, π] gồm các hàm đo được Lebesgue trên đoạn [−π, π] và Zπ |f (x)|dµ < +∞. −π Trong L1 [−π, π] ta đưa ra một chuẩn bằng công thức Zπ |f (x)|dµ kf k = −π và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π]. Khi đó L1 [−π, π] cùng với chuẩn xác định một không gian định chuẩn. Trong L1 [−π, π] ta đưa ra một khoảng cách bằng công thức ρ (f, g) = kf − gk . L1 [−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metric với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π]. Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là sự hội tụ trung bình. Định lý 1.13. Không gian C [−π, π] trù mật khắp nơi trong không gian L1 [−π, π]. 14 Định nghĩa 1.14. Tập L2 [−π, π] gồm tất cả các hàm có bình phương khả tổng trên đoạn [−π, π] tức là các hàm đo được Lebesgue trên đoạn [−π, π] mà Zπ |f (x)|2 dµ < +∞. −π Trong L2 [−π, π] ta đưa ra một chuẩn bằng công thức  Zπ kf k =   21 |f (x)|2 dµ −π và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π]. Khi đó L2 [−π, π] cùng với chuẩn xác định một không gian định chuẩn. Trong L2 [−π, π] ta đưa ra một khoảng cách bằng công thức  Zπ ρ (f, g) = kf − gk =   21 |f (x) − g (x)|2 dµ . −π L2 [−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metric với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π]. Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là sự hội tụ trung bình bình phương. Trong L2 [−π, π] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần tử f và g bằng công thức Zπ (f, g) = f (x)g (x) dµ. −π L2 [−π, π] cùng với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert. 15