Một số phương pháp song song dạng Runge - Kutta - Nystrom giải bài toán không cương

  • Số trang: 98 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 82 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27609 tài liệu

Mô tả:

Môc lôc danh môc c¸c b¶ng viii C¸c tõ viÕt t¾t ix Nh÷ng kÝ hiÖu trong luËn ¸n xi më ®Çu 1 1 tæng quan vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p song song 1.1 C¸c ph−¬ng ph¸p RKN . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 CÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p RKN . . . . 1.1.2 TÝnh æn ®Þnh cña c¸c ph−¬ng ph¸p RKN . . . 1.2 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp . . . 1.2.1 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp gi¸n tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp trùc tiÕp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 X¸c ®Þnh hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p RKN . . . . 1.3 C¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 CÊp chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . 1.3.2 Sù héi tô cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . 1.3.3 TÝnh æn ®Þnh cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . 1.3.4 So s¸nh sai sè cña cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN 1.4 C¸c ph−¬ng ph¸p IPIRKN . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 CÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p IPIRKN . . 1.4.2 X¸c ®Þnh hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p dù b¸o . . . 1.4.3 TÝnh æn ®Þnh cña ph−¬ng ph¸p IPIRKN . . . 1.4.4 Sai sè cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . . . v 5 5 6 7 8 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1.5 2 1.4.5 So s¸nh c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN vµ IPIRKN 1.4.6 C¸c ph−¬ng ph¸p TRKN . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Chän hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p . . . . . . . . . 1.4.8 C¸c ph−¬ng ph¸p PITRKN . . . . . . . . . . . KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph−¬ng ph¸p dù b¸o-hiÖu chØnh d¹ng PIRKN víi c«ng thøc dù b¸o kiÓu adams 2.1 Giíi thiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 §iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 X¸c ®Þnh hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p PIRKNA . . . 2.4 2.5 2.6 TÝnh chÊt æn ®Þnh cña ph−¬ng ph¸p PIRKNA Thö nghiÖm tÝnh to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 C¸c bµi to¸n thö. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p song song . . 2.5.3 Bµi to¸n kh«ng dõng tuyÕn tÝnh . . . . . . . 2.5.4 Bµi to¸n Fehlberg phi tuyÕn . . . . . . . . . KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22 25 27 31 32 32 34 36 37 39 39 41 41 42 42 3 ph−¬ng ph¸p lÆp song song gi¶ RKN hai b−íc 44 3.1 Giíi thiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Ph−¬ng ph¸p hiÖu chØnh PTRKN . . . . . . . . . 45 3.2.1 §iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Zero-æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1 §iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c cña c«ng thøc dù b¸o 54 3.3.2 Tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN . 56 3.3.3 MiÒn æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Thö nghiÖm tÝnh to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.1 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p song song . . . 62 3.4.2 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù . . . . . 64 3.5 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Ph−¬ng ph¸p dù b¸o hiÖu chØnh d¹ng RKN vi lÆp song song liªn tôc 4.1 Giíi thiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ph−¬ng ph¸p RKN liªn tôc (ph−¬ng ph¸p CRKN) 4.3 Ph−¬ng ph¸p CPIRKN . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Tèc ®é héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 MiÒn æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Thö nghiÖm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 So s¸nh víi ph−¬ng ph¸p song song . . . . . 4.4.2 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù . . . . . 4.5 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 67 68 74 76 77 79 80 82 82 KÕt luËn 84 c¸c c«ng tr×nh ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n 86 Tµi liÖu tham kh¶o 87 vii Danh s¸ch b¶ng 2.1 Biªn æn ®Þnh β(m) cña ph−¬ng ph¸p PIRKNA . . . . . . . 2.2 Gi¸ trÞ NCD/Nseq cña bµi to¸n (testprob1) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p PIRKNA, PIRKN vµ IPIRKN . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gi¸ trÞ NCD/Nseq cña bµi to¸n (testprob2) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p PIRKN, IPIRKN trùc tiÕp vµ PIRKNA . . . . . . . . . 39 3.1 Nh©n tö héi tô cña mét sè ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp p . 3.2 Biªn æn ®Þnh β(m) cña c¸c ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp p 3.3 NCD/Nseq cña bµi to¸n (testprob1) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . . . . . . . . 3.4 NCD/Nseq cña bµi to¸n (testprob2) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . . . . . . . . 3.5 NCD/Nseq cña bµi to¸n (testprob3) tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN vµ c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN . . . . . . . . . . . 3.6 So s¸nh ph−¬ng ph¸p IPIPTRKN6 víi code tuÇn tù gi¶i bµi to¸n (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 61 4.1 Gi¸ trÞ NCDp |NCDp∗ cho bµi to¸n (testprob2) víi c¸c ph−¬ng ph¸p RKN liªn tôc kh¸c nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Biªn æn ®Þnh βstab (m) cho ph−¬ng ph¸p CPIRKN kh¸c nhau . 4.3 Gi¸ trÞ NCD/Nseq cho bµi to¸n (testprob1) víi p kh¸c nhau 4.4 Gi¸ trÞ NCD/Nseq cho bµi to¸n (testprob2) nhËn ®−îc víi p kh¸c nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Gi¸ trÞ NCD/Nseq cho bµi to¸n (testprob3) víi p kh¸c nhau 4.6 So s¸nh ph−¬ng ph¸p CPIRKN56 víi code DOPRIN vµ ODEX2 gi¶i bµi to¸n (testprob2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 43 43 63 64 64 65 74 79 81 81 82 83 C¸c tõ viÕt t¾t CPIRKN Continuous parallel-iterated RKN ERKN .. Explicit Runge-Kutta-Nystro m NCD Number of Correct Decimal Digits .. LÆp song song liªn tôc Runge-Kutta-Nystrom .. Runge-Kutta-Nystrom hiÓn Gi¸ trÞ trung b×nh sè c¸c ch÷ sè thËp ph©n ®óng IPIRKN .. Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m IPIPTRKN Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step IRK Implicit Runge-Kutta .. LÆp song song c¶i tiÕn Runge-Kutta-Nystrom .. LÆp song song c¶i tiÕn gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc Rungge-Kutta Èn IRKN .. Implicit Runge-Kutta-Nystro m PC Predictor-Corrector .. Runge-Kutta-Nystrom Èn Dù b¸o-HiÖu chØnh PIPTRKN .. Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m PIRKNA .. Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m with Adams-type predictors PIRKN .. Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m PISRKN .. Parallel-Iterated Symetric Runge-Kutta-Nystro m .. LÆp song song gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc .. LÆp song song Runge-Kutta-Nystrom víi dù b¸o kiÓu Adams. .. LÆp song Runge-Kutta-Nystrom .. LÆp song song ®èi xøng Runge-Kutta-Nystrom ix PITRKN .. Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro m PTRKN .. Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m RK Runge-Kutta .. LÆp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystrom .. Gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc. Runge-Kutta RKN .. Runge-Kutta-Nystro m SRKN .. Symmetric Runge-Kutta-Nystro m TRKN .. Two Step Runge-Kutta-Nystro m .. Runge-Kutta-Nystrom .. Runge-Kutta-Nystrom ®èi xøng. .. Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc x Nh÷ng kÝ hiÖu trong luËn ¸n Ngoµi nh÷ng kÝ hiÖu th«ng th−êng cña gi¶i tÝch vµ ®¹i sè, trong luËn ¸n nµy chóng t«i cßn dïng mét sè kÝ hiÖu sau: 1. TÝch trùc tiÕp cña hai ma trËn. Gi¶ sö A lµ ma trËn p × q chiÒu, B lµ ma trËn bÊt k× khi ®ã   a11 B a12 B . . . a1q B  A ⊗ B = [aij B] = a.21. .B a.22. .B .. .. .. a.2q. B . . ap1 B ap2 B . . . apq B 2. Luü thõa cña mét vÐc t¬ . Gi¶ sö c = (c1 , c2 , . . . , cs )T , khi ®ã ck = (ck1 , ck2 , . . . , cks )T . d 3. To¸n tö exp( dx ). d d d2 dn + . . . + ... )=1+ + dx dx 2!dx2 n!dxn Khi ®ã khai triÓn Taylor hµm y(t) t¹i l©n cËn ®iÓm t0 sÏ lµ: exp( ∞  1 dn y(t0 ) d y(t0 + h) = exp(h )y(t0 ) = hn . n dt n! dx n=0 4. KÝ hiÖu vÐc t¬ e. VÐc t¬ e lu«n hiÓu cã tÊt c¶ c¸c thµnh phÇn b»ng 1. 5. Gi¶ sö f (x, y) lµ hµm thùc cña hai biÕn thùc x vµ y , nÕu thay x vµ y t−¬ng øng bëi hai vÐc t¬ v = (v1 , v2 , . . . , vs )T vµ w = (w1 , w2 , . . . , ws )T , ta ®−îc vÐc t¬ hµm víi s thµnh phÇn: f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), . . . , f (vs , ws )]T . NÕu x ∈ R, cßn y thay bëi w = (w1 , w2 , . . . , ws )T ta cã f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), . . . , f (x, ws )]T . xi Më ®Çu HÇu hÕt c¸c hiÖn t−îng tù nhiªn vµ kÜ thuËt ®Òu ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n. C¸c hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuéc lo¹i nµy th−êng kh«ng cho nghiÖm ®óng d−íi d¹ng gi¶i tÝch. V× vËy, vÊn ®Ò gi¶i gÇn ®óng hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®· ®−îc quan t©m tõ l©u. Mét trong nh÷ng h−íng gi¶i gÇn ®óng ®ã lµ gi¶i sè. Nh−ng khoa häc vµ c«ng nghÖ ngµy cµng ph¸t triÓn, dÉn ®Õn kÝch th−íc c¸c bµi to¸n ngµy cµng lín, yªu cÇu ngµy mét cao vÒ ®é chÝnh x¸c, h¬n n÷a l¹i ph¶i cho kÕt qu¶ trong thêi gian thùc (real time problems) ch¼ng h¹n nh− bµi to¸n dù b¸o thêi tiÕt hay bµi to¸n ®iÒu khiÓn c¸c chuyÕn bay. CÇn thùc hiÖn khèi l−îng tÝnh to¸n khæng lå, víi ®é chÝnh x¸c cao trong kho¶ng thêi gian h¹n chÕ. C¸c m¸y tÝnh thÕ hÖ cò kh«ng thÓ ®¸p øng ®−îc nh÷ng yªu cÇu nµy. Tr−íc nhu cÇu bøc xóc ®ã, mét chñng lo¹i m¸y tÝnh míi ®· ra ®êi, ®ã lµ m¸y tÝnh cã tèc ®é cao víi nhiÒu bé xö lÝ ®ång thêi lµm viÖc ®ã lµ siªu m¸y tÝnh ( cßn gäi lµ m¸y tÝnh song song, m¸y tÝnh vÐc t¬ ). Sù ra ®êi cña siªu m¸y tÝnh më ®−êng cho mét h−íng ph¸t triÓn míi cña gi¶i tÝch sè nãi chung vµ gi¶i sè hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n nãi riªng. V× c¸c ph−¬ng ph¸p sè tr−íc ®©y ®−îc x©y dùng vµ nghiªn cøu nh»m khai th¸c lo¹i m¸y tÝnh truyÒn thèng, chØ cã mét bé xö lý, c¸c ph−¬ng ph¸p ®ã cßn ®−îc gäi lµ c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù. NÕu chØ sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù sÏ kh«ng khai th¸c mét c¸ch cã hiÖu qu¶ c¸c siªu m¸y tÝnh. ViÖc x©y dùng vµ nghiªn cøu c¸c ph−¬ng ph¸p míi nh»m khai th¸c tèt c¸c siªu m¸y tÝnh ®· trë thµnh nhu cÇu cÊp thiÕt cña to¸n häc tÝnh to¸n nãi 1 chung vµ gi¶i sè c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n nãi riªng. Cho ®Õn nay, viÖc x©y dùng c¸c thuËt to¸n míi ®Ó gi¶i sè c¸c bµi to¸n gi¸ trÞ ®Çu trªn m¸y tÝnh song song ®· trë thµnh mét h−íng nghiªn cøu quan träng. Cã ba c¸ch tiÕp cËn chÝnh, ®ã lµ: 1. Song song ho¸ trªn tõng bµi to¸n. 2. Song song ho¸ trªn c¸c b−íc lÊy tÝch ph©n. 3. Song song ho¸ thuËt to¸n. Trong ba c¸ch tiÕp cËn trªn, c¸ch tiÕp cËn thø ba ®−îc quan t©m nhÊt v× thuËt to¸n ®−îc x©y dùng ®éc lËp víi bµi to¸n. LuËn ¸n cña chóng t«i còng kh«ng ra ngoµi sù quan t©m chung ®ã. .. LuËn ¸n: Mét sè ph−¬ng ph¸p song song d¹ng Runge-Kutta-Nystrom gi¶i bµi to¸n kh«ng c−¬ng cña chóng t«i nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn mét sè ph−¬ng ph¸p song song ®Ó gi¶i bµi to¸n Cauchy cho mét líp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 cã d¹ng sau ®©y: y (t) = f (t, y(t)), y(t0 ) = y0 , y (t0 ) = y0 , t0  t  T, y, f ∈ RN . (1) ë ®©y, còng nh− trong toµn bé luËn ¸n, hµm vÕ ph¶i f (t, y(t)) lu«n gi¶ thiÕt liªn tôc theo biÕn t vµ Lipschitz theo biÕn y, h¬n n÷a, nghiÖm duy nhÊt cña bµi to¸n (1) ®−îc gi¶ thiÕt ®ñ tr¬n. §©y lµ líp ph−¬ng tr×nh quan träng trong VËt lÝ, C¬ häc, Thiªn v¨n häc...v× nã m« t¶ mèi quan hÖ theo ®Þnh luËt Newton thø hai. Mét biÖn ph¸p truyÒn thèng ®Ó gi¶i bµi to¸n (1) lµ chuyÓn ®æi nã vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 víi sè chiÒu gÊp ®«i, sau ®ã ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. Mét trong nh÷ng líp ph−¬ng ph¸p truyÒn thèng phæ biÕn gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 lµ ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta (RK) cã l−îc ®å nh− sau (xem [6]): Un = e ⊗ un + h(A ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), un+1 = un + h(bT ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ). (2) víi A, c, b lµ ma trËn vµ c¸c vÐc t¬ t¹o thµnh bé tham sè cña ph−¬ng ph¸p. Ph−¬ng ph¸p RK (1.1) th−êng ®−îc biÓu diÔn ng¾n gän d−íi d¹ng b¶ng Butcher nh− sau: 2 A bT c C¸ch gi¶i nh− trªn gäi lµ c¸ch gi¶i gi¸n tiÕp. Mét c¸ch gi¶i kh¸c lµ kh«ng ®−a hÖ ph−¬ng tr×nh cÊp 2 vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh cÊp 1, mµ gi¶i trùc tiÕp nã (cßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp). NhiÒu nhµ to¸n häc ®· quan t©m vµ x©y dùng ®−îc nhiÒu ph−¬ng ph¸p sè h÷u hiÖu ®Ó gi¶i trùc tiÕp bµi to¸n (1) nhê kh¶ n¨ng khai th¸c d¹ng ®Æc biÖt cña nã lµ hµm vÕ ph¶i kh«ng phô thuéc ®¹o hµm cÊp mét y . Mét líp ph−¬ng ph¸p thµnh c«ng h¬n .. c¶ lµ c¸c ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta-Nystrom (RKN). Ph−¬ng ph¸p RKN .. ®Çu tiªn ®−îc Nystrom ®Ò xuÊt vµo n¨m 1925. VÒ sau mét sè nhµ to¸n .. häc kh¸c nh− Hairer, Fehlberg, Graf... tiÕp tôc h−íng nghiªn cøu nµy cña .. Nystrom vµ ®· x©y dùng ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p RKN hiÓn (explicit RKN - ERKN) víi cÊp chÝnh x¸c cao h¬n (xem[24, 25, 26, 27, 28]). Tuy ®· ®−îc nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn sím nh−ng c¸c ph−¬ng ph¸p song song d¹ng RK ®· ®−îc x©y dùng míi chØ dõng ë møc ¸p dông cho hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp cao nãi chung vµ cÊp 2 nãi riªng vÉn ph¶i gi¶i gi¸n tiÕp th«ng qua viÖc chuyÓn ®æi vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. ChØ tíi n¨m 1993 c¸c ph−¬ng ph¸p song song gi¶i trùc tiÕp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 d¹ng (1) míi ®−îc N.H. Cong, P.J. van der Houwen, B.P. Sommeijer b¾t ®Çu nghiªn cøu vµ x©y dùng trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p RKN Èn (Implicit RKN - IRKN) gäi lµ c¸c ph−¬ng ph¸p song song d¹ng RKN. LuËn ¸n gåm phÇn më ®Çu vµ 4 ch−¬ng néi dung. Ch−¬ng 1, tr×nh bµy mét sè nÐt c¬ b¶n vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p RKN vµ thèng kª l¹i mét sè líp ph−¬ng ph¸p song song d¹ng RKN ®iÓn h×nh ®· ®−îc x©y dùng. Ch−¬ng 2, nghiªn cøu mét líp ph−¬ng ph¸p song song víi c«ng thøc dù b¸o hai b−íc kiÓu Adams (PIRKNA). KÕt qu¶ cña ch−¬ng nµy c«ng bè trong [3]. 3 Ch−¬ng 3, mét líp ph−¬ng ph¸p lÆp song song c¶i tiÕn gi¶ RKN hai b−íc (IPIPTRKN) ®−îc x©y dùng cã c¸c ®Æc tr−ng tèt vÒ tÝnh æn ®Þnh vµ tèc ®é héi tô nh−ng chØ cÇn m¸y tÝnh cã Ýt bé xö lÝ. C¸c kÕt qu¶ cña ch−¬ng nµy ®−îc c«ng bè trong bµi b¸o [22]. Ch−¬ng 4, nghiªn cøu mét líp ph−¬ng ph¸p song song víi c«ng thøc ®Çu ra liªn tôc (CIPIRKN). Ph−¬ng ph¸p ¸p dông tèt trong tr−êng hîp cÇn nhËn ®−îc gi¸ trÞ cña nghiÖm t¹i nhiÒu ®iÓm kh¸c nhau. C¸c kÕt qu¶ cña ch−¬ng nµy c«ng bè trong [23]. Néi dung c¬ b¶n cña luËn ¸n ®· ®−îc b¸o c¸o t¹i Bé m«n To¸n häc TÝnh to¸n, khoa To¸n-C¬-Tin häc, tr−êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n to lín vµ s©u s¾c tíi hai ng−êi thÇy lµ GS TSKH NguyÔn H÷u C«ng vµ GS TSKH Ph¹m Kú Anh ®· tËn t×nh chØ b¶o, h−íng dÉn t«i nghiªn cøu ®Ó hoµn thµnh luËn ¸n. T«i xin c¸m ¬n GS TS NguyÔn H÷u D−, TS Vò Hoµng Linh, TS NguyÔn ThÞ Hång Minh cïng c¸c thµnh viªn trong Seminar bé m«n to¸n häc tÝnh to¸n ®· ®äc, nghe tr×nh bµy vµ ®ãng gãp nhiÒu ý kiÕn quý b¸u gióp cho luËn ¸n ®−îc hoµn thiÖn. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¸m ¬n Khoa To¸n C¬-Tin häc-Tr−êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn; Tr−êng §¹i häc Kinh tÕ vµ Qu¶n trÞ Kinh doanh; Khoa Khoa häc Tù nhiªn-§¹i häc Th¸i Nguyªn ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn thµnh nhiÖm vô. 4 Ch−¬ng 1 tæng quan vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p song song Trong ch−¬ng nµy tr−íc hÕt chóng t«i tr×nh bµy ph−¬ng ph¸p .. Runge-Kutta-Nystrom (RKN) gi¶i trùc tiÕp bµi to¸n (1) vµ sau ®ã chän läc mét sè ph−¬ng ph¸p song song d¹ng RKN ®iÓn h×nh ®· ®−îc x©y dùng. Chóng t«i −u tiªn cho viÖc tr×nh bµy c¸c ph−¬ng ph¸p song song mµ luËn ¸n cã liªn quan. 1.1 C¸c ph−¬ng ph¸p RKN §Ó gi¶i trùc tiÕp bµi to¸n (1), ta xÐt mét ph−¬ng ph¸p cã nhiÒu −u ®iÓm gièng ph−¬ng ph¸p RK, ®ã lµ ph−¬ng ph¸p RKN s-nÊc sau ®©y: Un,i = un + hci un 2 +h un+1 = un + hun + h2 s  aij f (tn + cj h, Un,j ), i = 1, . . . , s, j=1 s  bj f (tn + cj h, Un,j ), (1.1) j=1 un+1 = un + h s  dj f (tn + cj h, Un,j ). j=1 Hay d−íi d¹ng ma trËn vÐc t¬ t−¬ng ®−¬ng Un = e ⊗ un + hc ⊗ u n + h2 (A ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), un+1 = un + hu n + h2 (bT ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), u n+1 = u n + h(dT ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), 5 (1.2) trong ®ã: Un = (UT n,1 , . . . , UT n,s )T ; F(tn e + hc, Un ) = [(f(tn + c1 h, Un,1 ), . . . , (f(tn + cs h, Un,s )]T ®Òu lµ c¸c vÐc t¬ sN chiÒu, Un ®−îc gäi lµ vÐc t¬ nÊc. b, c, d, e lµ c¸c vÐc t¬ s-chiÒu, IN lµ ma trËn ®¬n vÞ N × N . Khi N = 1, tøc lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n chØ cã mét ph−¬ng tr×nh, th× ph−¬ng ph¸p (1.2) cã d¹ng ®¬n gi¶n h¬n sau ®©y: Un = un e + hun c + h2 Af (tn e + hc, Un ), (1.3a) un+1 = un + hun + h2 bT f (tn e + hc, Un ), (1.3b) un+1 = un + hdT f(tn e + hc, Un ), (1.3c) ë ®©y, kÝ kiÖu un , un lµ gi¸ trÞ gÇn ®óng cña lêi gi¶i vµ ®¹o hµm cÊp 1 t¹i ®iÓm tn . NÕu ma trËn hÖ sè A cã d¹ng tam gi¸c d−íi chÆt, tøc lµ c¸c phÇn tö thuéc ®−êng chÐo chÝnh vµ phÝa trªn ®−êng chÐo chÝnh b»ng kh«ng, th× ph−¬ng ph¸p (1.1), ( hoÆc (1.2), (1.3)) ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p RKN hiÓn (Explicit RKN - ERKN). Trong tr−êng hîp ng−îc l¹i, chóng ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p RKN Èn (Implicit RKN - IRKN). §Ó ®¬n gi¶n cho tr×nh bµy, trong luËn ¸n nµy, tuú tõng tr−êng hîp cô thÓ, bµi to¸n IVPs (1) cã thÓ lµ bµi to¸n v« h−íng (N = 1) hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh (N > 1). Chó ý r»ng, viÖc xÐt bµi to¸n nµo kh«ng ¶nh h−ëng tíi tÝnh tæng qu¸t cña ph−¬ng ph¸p. 1.1.1 CÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p RKN §Ó hiÓu mét c¸ch thèng nhÊt thÕ nµo lµ cÊp chÝnh x¸c cña mét ph−¬ng ph¸p RKN chóng ta sö dông c¸c ®Þnh nghÜa sau (cã thÓ xem trong [33]): §Þnh nghÜa 1.1.1 NÕu y(t) lµ nghiÖm chÝnh x¸c ®Þa ph−¬ng cña (1), tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y(tn ) = un , y (tn ) = un vµ ||y(tn+1 ) − un+1 || = O(hp1 +1 ), ||y (tn+1 ) − un+1 || = O(hp2 +1 ), th× ph−¬ng ph¸p RKN (1.1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p cã cÊp chÝnh x¸c (order) p víi p = min(p1 , p2 ).  6 §Þnh nghÜa 1.1.2 Víi gi¶ thiÕt nh− trªn, nÕu ||Un (tn+1 ) − un e − hun c − h2 Af (tn e + hc, Un (tn+1 ))|| = O(hp3 +1 ), ë ®©y Un (tn+1 ) = [y(tn + c1 h), . . . , y(tn + cs h)]T , th× ph−¬ng ph¸p RKN (1.1) ®−îc gäi lµ cã cÊp chÝnh x¸c nÊc (stage order) b»ng r víi r = min(p, p3 ).  CÊp chÝnh x¸c nÊc cña c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN cã vai trß rÊt quan träng khi chóng ta gi¶i c¸c bµi to¸n c−¬ng. C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp (collocation) lµ c¸c ph−¬ng ph¸p cã cÊp chÝnh x¸c nÊc cao (môc 1.2). 1.1.2 TÝnh æn ®Þnh cña c¸c ph−¬ng ph¸p RKN Còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p sè kh¸c, tÝnh chÊt æn ®Þnh cña c¸c ph−¬ng ph¸p RKN lµ mét trong nh÷ng ®Æc tr−ng quan träng cña mét ph−¬ng ph¸p sè. Ng−êi ta nghiªn cøu sù æn ®Þnh (tuyÕn tÝnh) cña ph−¬ng ph¸p RKN (1.1) b»ng c¸ch ¸p dông nã vµo viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh thö v« h−íng tuyÕn tÝnh y  (t) = λy(t), trong ®ã λ biÕn ®æi trªn phæ cña ma trËn Jacobi ∂f /∂y. ¸p dông ph−¬ng ph¸p (1.3) vµo ph−¬ng tr×nh thö, ta nhËn ®−îc hÖ thøc truy håi sau: u  u  n+1 n hun+1 = M (z) hun ,  T −1 T −1 1 + zb [I − zA] e 1 + zb [I − zA] c M(z) = . zdT [I − zA]−1 e 1 + zdT [I − zA]−1 c ë ®©y z = λh2 , víi λ < 0. Chó ý lµ ma trËn I − zA lu«n kh¶ nghÞch víi |z| ®ñ nhá. Sù æn ®Þnh cña ph−¬ng ph¸p RKN (1.3) ®−îc ®Æc tr−ng bëi ma trËn khuÕch ®¹i M(z). Hµm æn ®Þnh R(z) cña ph−¬ng ph¸p RKN ®−îc x¸c ®Þnh b»ng b¸n kÝnh phæ cña ma trËn khuÕch ®¹i M(z), tøc lµ: R(z) = ρ(M (z)). 7 §Þnh nghÜa 1.1.3 Ph−¬ng ph¸p RKN ®−îc gäi lµ æn ®Þnh tuyÖt ®èi (A-æn ®Þnh) nÕu R(z)  1 víi mäi z < 0, æn ®Þnh tuyÖt ®èi m¹nh (A-æn ®Þnh m¹nh) nÕu cã thªm ®iÒu kiÖn R(−∞) < 1, L-æn ®Þnh nÕu æn ®Þnh tuyÖt ®èi vµ cã thªm ®iÒu kiÖn R(−∞) = 0, P-æn ®Þnh nÕu hai gi¸ trÞ riªng cña ma trËn khuÕch ®¹i kh«ng ph¶i lµ sè thùc vµ cã modul b»ng 1 víi mäi z < 0.  Gi¸ trÞ d−¬ng lín nhÊt β ®Ó cho R(z)  1 víi mäi z n»m trong kho¶ng (−β, 0) ®−îc gäi lµ biªn æn ®Þnh cña ph−¬ng ph¸p. Nh− vËy ph−¬ng ph¸p RKN æn ®Þnh tuyÖt ®èi t−¬ng ®−¬ng víi β = ∞. 1.2 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp Sau ®©y chóng ta nghiªn cøu c¸ch x©y dùng c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp. CÇn ph©n biÖt hai líp ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp, ®ã lµ líp ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp gi¸n tiÕp (indirect IRKN collocation type) vµ líp ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp trùc tiÕp (direct IRKN collocation type) mµ chóng ®−îc gäi t¾t t−¬ng øng lµ c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp vµ ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp. 1.2.1 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp gi¸n tiÕp Ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp ®−îc x©y dùng b»ng c¸ch ¸p dông mét ph−¬ng ph¸p IRK d¹ng trïng khíp vµo bµi to¸n (1) ®· ®−îc chuyÓn thµnh bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 (xem [32, 1]):    y = u(t), u (t) = f(t, y(t)), y(t0 ) = y0 , u(t0 ) = u0 = y0 . B¶ng Butcher cña ph−¬ng ph¸p IRKN trïng khíp gi¸n tiÕp: c (A)2 bT .A bT 8 C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu cho thÊy, nÕu ph−¬ng ph¸p IRK gèc cã cÊp chÝnh x¸c p víi k quan hÖ Èn th× ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp gi¸n tiÕp còng cã cÊp chÝnh x¸c p vµ còng víi k quan hÖ Èn. B©y giê ta gi¶ sö r»ng ph−¬ng ph¸p IRK gèc lµ ph−¬ng ph¸p d¹ng trïng khíp dùa trªn s ®iÓm mèc ph©n biÖt (s nÊc), khi ®ã: A = (aij ) = (αj (ci )), d = (di ) = αj (1) αj (x) = x 0 s x − ci Lj (ξ)dξ, Lj (x) = , j = 1, ...s cj − ci (1.5) i=1,i=j ë ®©y Lj (x) lµ ®a thøc Lagrange víi s ®iÓm mèc ci , i = 1, . . . , s, kÕt qu¶ chÝnh vÒ vÊn ®Ò nµy thÓ hiÖn ë ®Þnh lÝ sau: §Þnh lÝ 1.2.1 Ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp gi¸n tiÕp x¸c ®Þnh bëi (1.5) cã cÊp chÝnh x¸c toµn côc p = r = s víi mäi vÐc t¬ trïng khíp c cã c¸c thµnh phÇn ph©n biÖt. Cã thÓ cã p = s + q nÕu ®iÒu kiÖn trùc giao sau ®©y ®−îc tho¶ m·n Pj (1) = 0, Pj (x) = x ξ j−1 s (ξ − ci )dξ, j = 1...q (1.6) i=1 0 1.2.2 C¸c ph−¬ng ph¸p IRKN d¹ng trïng khíp trùc tiÕp Ph−¬ng ph¸p IRKN trïng khíp trùc tiÕp ®−îc x©y dùng mét c¸ch trùc tiÕp cho hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai chø kh«ng chuyÓn vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh cÊp mét. ViÖc x¸c ®Þnh bé hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp theo kÜ thuËt trïng khíp (collocation techniques) ®−îc nghiªn cøu mét c¸ch ®Çy ®ñ trong [33] (xem thªm [1]). C¸c kÕt luËn ®−îc rót ra tõ c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vµ so s¸nh hai ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp vµ IRKN trùc tiÕp nh− sau: - TÝnh chÊt héi tô trong c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp vµ trùc tiÕp ®Òu rÊt tèt, chóng ta cã thÓ nhËn ®−îc siªu héi tô (super convergence) tøc lµ sù héi tô nhanh h¬n b×nh th−êng trong c¶ hai ph−¬ng ph¸p nµy (xem [1]). 9 - Ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp cã cÊp chÝnh x¸c nÊc (stage order) cao h¬n cÊp chÝnh x¸c nÊc cña ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp cã cïng cÊp chÝnh x¸c. - TÝnh chÊt æn ®Þnh cña c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp kÐm h¬n so víi c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN gi¸n tiÕp. §Ó kh¾c phôc nh−îc ®iÓm thiÕu æn ®Þnh cña ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp, c¸c t¸c gi¶ cña [33] còng ®· ®−a ra mét sè gi¶i ph¸p nh− kÜ thuËt æn ®Þnh ho¸ (stabilizing) ®Ó chuyÓn c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp æn ®Þnh cã ®iÒu kiÖn thµnh ph−¬ng ph¸p æn ®Þnh tuyÖt ®èi. Mét gi¶i ph¸p kh¸c n÷a lµ kÜ thuËt x©y dùng c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN ®a hîp (Composite IRKN) æn ®Þnh tuyÖt ®èi m¹nh (xem cô thÓ trong [33, 1]). Víi c¸c kÜ thuËt nµy chóng ta cã thÓ x©y dùng ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p IRKN trùc tiÕp æn ®Þnh tèt vµ cã cÊp chÝnh x¸c nÊc cao - mét tÝnh chÊt rÊt cÇn thiÕt khi gi¶i c¸c bµi to¸n c−¬ng (stiff problems). 1.2.3 X¸c ®Þnh hÖ sè cña ph−¬ng ph¸p RKN Ph−¬ng ph¸p RKN hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh bëi ma trËn A vµ c¸c vÐc t¬ b, c, d. Trong môc nµy ta biÓu diÔn A, b, d qua c. Gi¶ sö (1.3a) cã cÊp chÝnh x¸c p, thay vµo (1.3a) gi¸ trÞ chÝnh x¸c t−¬ng øng, ta tÝnh ®−îc ma trËn vµ vÐc t¬ hÖ sè: TÝnh ma trËn A  ||y(etn + ch) − ey(tn ) − hcy  (tn ) − h2 Ay (etn + ch)|| = O(hp+1 ). Khai triÓn Taylor c¸c hµm y(etn + ch), y (etn + ch) t¹i l©n cËn ®iÓm tn , ta cã: p  ck hk y(etn + ch) = y (k) (tn ) + O(hp+1 ). k! 2  h y (etn + ch) = k=0 p  k=2 ck−2 hk Ay (tn ) + O(hp+1 ). (k − 2)! (k) 10 ⇒ || p  ck k=2 ck−2 (k) −A y (tn )|| = O(hp+1 ). k! (k − 2)! ¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, ta cã ck ck−2 −A = 0, k! (k − 2)! k = 1, ..., p − 1. ck+1 Hay lµ: − Ack−1 = 0, k = 1, ..., p − 1. (k + 1)k c2 cs+1 − , R = e, c, ..., cs−1 , víi p=s+1. §Æt P = (k + 1)k (s + 1)s ⇒ P − AQ = O, ⇒ A = P R−1 . TÝnh c¸c vÐc t¬ b, d VÐc t¬ b còng ®−îc tÝnh theo ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c ||y(tn+1 ) − yn+1 || = O(hp+1 ). Tõ (1.3b), ta cã ||y(tn+1 − y(tn ) − hy  (tn ) − h2 bT y  (etn + ch)|| = O(hp+1 ). Khai triÓn Taylor y(tn + h) = p  k=0 ⇒ || p  k=2 hk y (tn) + O(hp+1 ), k! (k) k−2 1 T c −b y (k) (tn )|| = O(hp+1 ). k! (k − 2)! ¸p dông ®iÒu kiÖn cÊp chÝnh x¸c, dÉn tíi 1 bT ck−2 1 − = 0, ⇒ − bT ck−2 = 0, k = 2, ..., p, k! (k − 2)! k(k − 1) 1 1 víi p = s + 1, ®Æt g = , ..., , 1.2 s(s + 1) ⇒ b = gR−1 . T−¬ng tù, ta còng tÝnh ®−îc vÐc t¬ d: 1 1 d = kR−1 , víi k = 1, , ..., . 2 s 11 1.3 C¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN Mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p song song d¹ng RKN ®Çu tiªn ®−îc x©y dùng trªn c¬ së phÐp lÆp hiÓn kiÓu dù b¸o-hiÖu chØnh (explicit PC iterations) víi c«ng viÖc tÝnh to¸n khi thùc hiÖn phÐp lÆp cã thÓ ®−îc tiÕn hµnh song song trªn c¸c bé xö lÝ kh¸c nhau cña mét siªu m¸y tÝnh. Do ®ã mµ c¸c ph−¬ng ph¸p nµy cã tªn lµ c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp song song d¹ng RKN (Parallel Iterated RKN methods) vµ viÕt t¾t lµ PIRKN (xem [7]). XuÊt ph¸t tõ ph−¬ng ph¸p IRKN (1.3), l−îc ®å cña mét ph−¬ng ph¸p PIRKN ®−îc x©y dùng cã d¹ng nh− sau: Yn(0) = eyn + hcyn , (1.7a) Yn(j) = eyn + hcyn + h2 Af (tn e + hc, Yn(j−1) ), (1.7b) j = 1, . . . , m, yn+1 = yn + hyn + h2 bT f (tn e + hc, Yn(m) ), (1.7c)  yn+1 = yn + hdT f (tn e + hc, Yn(m) ). (1.7d) VÒ cÊu tróc th× ph−¬ng ph¸p PIRKN lµ mét ph−¬ng ph¸p dù b¸o-hiÖu chØnh víi cÆp dù b¸o (1.7a) vµ hiÖu chØnh (1.7b). DÔ thÊy r»ng ph−¬ng ph¸p PIRKN (1.7) chÝnh lµ mét ph−¬ng ph¸p ERKN thùc sù víi b¶ng Butcher cã d¹ng nh− sau: 0(j = 0) c(j = 1) c(j = 2) . . . c(j = m) O A O O A O . O O O 0T 0T 0T 0T 0T 0T . . ... ... ... . . . O A O 0T 0T bT 0T 0T dT trong ®ã 0 lµ vÐc t¬ s chiÒu víi c¸c thµnh phÇn b»ng 0, O lµ ma trËn s × s chiÒu còng víi c¸c phÇn tö b»ng 0 Khèi l−îng chÝnh khi gi¶i l−îc ®å trªn lµ tÝnh to¸n vÐc t¬ hµm vÕ (j) (j) (j) ph¶i f (tn e + hc, Yn ) = [f (tn + hc1 , Yn,1 ), . . . , f (tn + hcs , Yn,s )] víi 12 j = 1, . . . , m. §Ó ý thÊy r»ng t¹i mçi b−íc s thµnh phÇn trªn cã thÓ tÝnh to¸n song song trªn s bé xö lÝ cña mét siªu m¸y tÝnh, khi ®ã, thêi gian tÝnh to¸n cÇn thiÕt cña ph−¬ng ph¸p PIRKN t−¬ng ®−¬ng víi m + 1 lÇn tÝnh to¸n hµm vÕ ph¶i f trªn m¸y tÝnh ”truyÒn thèng” cã mét bé xö lÝ. Chóng ta gäi l−îc ®å (1.7) lµ ph−¬ng ph¸p PIRKN s qu¸ tr×nh. 1.3.1 CÊp chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p PIRKN §Ó ý r»ng ph−¬ng ph¸p dù b¸o (1.7a) cã cÊp chÝnh x¸c b»ng 1, tøc lµ (0) Un − Yn ∞ = O(h2 ) ta cã c¸c ®¸nh gi¸ sai sè lÆp sau ®©y: ||Un − Yn(m) || = O(h2m+2 ), un+1 − yn+1 = O(h2m+4 ),  un+1 − yn+1 = O(h2m+3 ). (1.8a) (1.8b) (1.8c) víi Un , un+1 , un+1 ®−îc tÝnh to¸n b»ng ph−¬ng ph¸p hiÖu chØnh (1.3). NÕu ph−¬ng ph¸p hiÖu chØnh cã cÊp chÝnh x¸c p th× ta cã c¸c ®¸nh gi¸ sau vÒ sai sè cña ph−¬ng ph¸p PIRKN (1.7) y(tn+1 ) − yn+1 = y(tn+1 ) − un+1 + un+1 − yn+1  y  (tn+1 ) − yn+1 = O(hp+1 ) + O(h2m+4 ),  = y  (tn+1 ) − un+1 + un+1 − yn+1 = O(hp+1 ) + O(h2m+3 ). (1.9a) (1.9b) Tõ c¸c ®¸nh gi¸ sai sè lÆp (iteration error) ë trªn cña ph−¬ng ph¸p PIRKN ta cã §Þnh lÝ sau vÒ cÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p PIRKN (xem [7]): §Þnh lÝ 1.3.1 [1, §Þnh lÝ 2.1] Gi¶ sö ph−¬ng ph¸p hiÖu chØnh (1.3) cã cÊp chÝnh x¸c p. Khi ®ã trªn mét m¸y tÝnh song song s bé xö lÝ, ph−¬ng ph¸p PIRKN, (1.7) lµ mét ph−¬ng ph¸p ERKN cã cÊp chÝnh x¸c p∗ = min{p, 2m + 2} víi m + 1 lÇn tÝnh to¸n hµm vÕ ph¶i ë mçi b−íc.  Tõ §Þnh lÝ 1.3.1 ta thÊy cÊp chÝnh x¸c p∗ cña ph−¬ng ph¸p PIRKN (1.7) kh«ng thÓ nµo v−ît qu¸ cÊp chÝnh x¸c p cña ph−¬ng ph¸p hiÖu chØnh (1.3). 13
- Xem thêm -