MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC

  • Số trang: 96 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 27 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2014 Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số kết qủa cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Một số định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Toán tử tuyến tính Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Định lí phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Toán tử hiệu chỉnh 23 2.1 Định nghĩa và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Cấp tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục 40 3.1 Toán tử hiệu chỉnh liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Qui tắc chọn tham số tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Sự bão hòa và kết quả ngược lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Nguyên lý độ lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến . . . . . . . . . . . . . . 61 i Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 ii BẢNG KÍ HIỆU B(X , Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. C[a, b] Không gian các hàm số thực liên tục trên [a, b]. D(T ) Miền xác định của T. dim Số chiều của không gian. I Toán tử đơn vị. inf Cận dưới đúng. L2 [a, b] Không gian các hàm số bình phương khả tích trên [a, b]. N (T ) Tập không điểm của T. R (T ) Miền giá trị của T. Rα Toán tử hiệu chỉnh. (Rα , α) Phương pháp hiệu chỉnh sup Cận trên đúng. T† Toán tử nghịch đảo suy rộng của T. T∗ Toán tử liên hợp của T. x† Nghiệm suy rộng. α Tham số hiệu chỉnh. iii Mở đầu Trong các ứng dụng thực tế thường nảy sinh các bài toán ngược, khi biết các dữ liệu đầu ra cần khôi phục lại dữ liệu đầu vào, hoặc khi biết dữ liệu vào-ra phải nhận dạng các tham số của hệ thống. Các bài toán trong chụp ảnh cắt lớp, khôi phục ảnh, dự báo đường huyết trong điều trị bệnh tiểu đường, vv... là những bài toán ngược thường gặp. Bài toán ngược nói chung là bài toán đặt không chỉnh, tức là, nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Các phương pháp giải số ổn định bài toán đặt không chỉnh bằng cách đưa về những bài toán đặt chỉnh được gọi là các phương pháp hiệu chỉnh. Trong luận văn này em xin trình bày về một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược tuyến tính. Luận văn gồm 3 chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm, bài toán ngược và bài toán đặt không chỉnh. • Chương 2: Toán tử hiệu chỉnh Trong chương này, em trình bày các khái niệm về toán tử hiệu chỉnh, cấp tối ưu và các định lí liên quan. • Chương 3: Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục Chương này trình bày về toán tử hiệu chỉnh liên tục, qui tắc chọn tham số tiên nghiệm, nguyên lý độ lệch,qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến. 1 Lời cảm ơn Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình em học tập và thực hiện luận văn. Em cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tôi học tập và làm luận văn. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn em không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Thị Gấm 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi sẽ nhắc lại một số kết quả cơ bản của giải tích hàm cũng như trình bày một số khái niệm về bài toán ngược và bài toán đặt không chỉnh. 1.1 1.1.1 Một số kết qủa cơ bản của giải tích hàm Không gian Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực hoặc phức K. Các phần tử của X gọi là các véc tơ, các phần tử của K là các vô hướng. Một chuẩn trên không gian tuyến tính X là một hàm giá trị thực không âm x −→ kxk, x ∈ X , thỏa mãn: (i) ∀x ∈ X , kxk = 0 ⇔ x = 0, (ii) kαxk = |α|kxk, ∀x ∈ X , ∀α ∈ K, (iii) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X . Một không gian tuyến tính với một chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Dễ thấy ánh xạ (x, y) −→ kx − yk, (x, y) ∈ X × X , xác định một mêtric trên X . Một không gian tuyến tính định chuẩn và đầy đủ được gọi là không gian 3 Bannach. Xét không gian tuyến tính X với tích vô hướng h., .i và ánh xạ (x, y) −→ hx, yi trên X × X thỏa mãn các tính chất: (i) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X , (ii) ∀x ∈ X , hx, xi = 0 ⇔ x = 0, (iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X , (iv) hx + y, ui = hx, ui + hy, ui, ∀x, y, u ∈ X , (v) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X . Một không gian tuyến tính cùng với tích vô hướng trên nó gọi là không gian có tích vô hướng. Một trong những bất đẳng thức quan trọng trên không gian có tích vô hướng là Bất đẳng thức Schwarz hay còn gọi là Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. Bất đẳng thức Schwarz: với mọi x, y trong không gian tích vô hướng |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. Sử dụng bất đẳng thức Schwarz suy ra ánh xạ 1 x −→ kxk = hx, xi 2 , x ∈ X , xác định một chuẩn trên X . Nếu X là đầy đủ với metric xác định bởi chuẩn này thì X được gọi là không gian Hilbert. Bất đẳng thức Holder : với x = (α1 , α2 , ..., αn ), y = (β1 , β2 , ..., βn ) trong Kn và 1 < p < ∞, ta có n X j=1 |αj βj | ≤ n X !1 |αj |p j=1 p n X !1 |βj |q q , j=1 trong đó q > 0 sao cho p + q = pq. Các phần tử x, y trong không gian có tích vô hướng được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0. Ta ký hiệu là x ⊥ y . 4 Định lí Pytago: Cho X là một không gian có tích vô hướng và x, y ∈ X . Khi đó, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 , nếu x ⊥ y. Với một tập con S của X , ta viết S ⊥ = {x ∈ X |hx, ui = 0 với mọi u ∈ S}. Nếu S1 , S2 là các tập con của không gian có tích vô hướng sao cho x ⊥ y với mọi x ∈ S1 và y ∈ S2 thì ta viết S1 ⊥ S2 . 1.1.2 Toán tử bị chặn Ánh xạ T : X −→ Y giữa hai không gian tuyến tính X và Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu T (x + y) = T (x) + T (y), ∀x, y ∈ X , và T (αx) = αT (x), ∀α ∈ K, ∀x ∈ X . Nếu T : X −→ Y là toán tử tuyến tính thì ta thường viết T x thay cho T (x) với mọi x ∈ X . Ta kí hiệu N (T ) = {x ∈ X |T x = 0} là một không gian con của X , được gọi là không gian không điểm của T , và R(T ) = {T x|x ∈ X } là không gian con của Y , được gọi là miền giá trị của T . Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính giữa các không gian tuyến tính định chuẩn X và Y . Có thể thấy rằng T là liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại c > 0 sao cho kT xk ≤ ckxk, ∀x ∈ X , trong trường hợp này inf{c > 0 : kT xk ≤ ckxk, ∀x ∈ X } = sup{kT xk|x ∈ X , kxk ≤ 1}. 5 Do đó, toán tử tuyến tính liên tục còn được gọi là toán tử tuyến tính giới nội hay toán tử bị chặn. Ta ký hiệu tập tất cả các toán tử bị chặn từ X vào Y là B(X , Y). Toán tử tuyến tính P : X −→ X trên không gian tuyến tính X được gọi là toán tử chiếu hay phép chiếu nếu P x = x, ∀x ∈ R(P ) Do đó, một toán tử tuyến tính P : X −→ X là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu P 2 = P. Nếu P là phép chiếu thì I − P cũng là phép chiếu và R(P ) = N (I − P ), R(I − P ) = N (P ). Cho X là không gian có tích vô hướng. Khi đó, phép chiếu P : X −→ X được gọi là phép chiếu trực giao nếu R(P ) ⊥ N (P ), tức là hx, yi = 0, ∀x ∈ R(P ), ∀y ∈ N (P ). 1.1.3 Một số định lí quan trọng Cho X và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn và {Tn } là dãy các toán tử trong B(X , Y). Ta nói dãy {Tn } hội tụ từng điểm trên X , nếu với mỗi x ∈ X , {Tn x} hội tụ. Dễ thấy T : X −→ Y xác định bởi T x = lim Tn x, x ∈ X n−→∞ là toán tử tuyến tính. Tuy nhiên T không nhất thiết phải thuộc B(X , Y). Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, Λ ⊆ R, α0 là điểm tụ của Λ và xα ∈ X , ∀α ∈ Λ. Ta nói rằng xα hội tụ tới x ∈ X khi α −→ α0 và viết xα −→ x khi α −→ α0 hay lim xα = x, α−→α0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho kx − xα k ≤ ε khi α ∈ Λ, |α − α0 | < δ. 6 Một họ {Tα }α∈Λ của các toán tử trong B(X , Y) được gọi là bị chặn đều nếu tập {kTα k}α∈Λ bị chặn trong R và {Tα } được gọi là hội tụ từng điểm trên X khi α −→ α0 nếu {Tα x} hội tụ với mọi x ∈ X khi α −→ α0 . Mệnh đề 1.1. ([10] tr 31) Cho X và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, {Tα }α∈Λ là họ bị chặn đều của các toán tử trong B(X , Y), với Λ là một tập con của R có điểm tụ α0 . Nếu {Tα } hội tụ từng điểm trên X thì toán tử T : X −→ Y xác định bởi T x = lim Tα x, x ∈ X thuộc B(X , Y). α−→α0 Định lí 1.1. (Nguyên lý bị chặn đều) ([10] tr 32) Cho X là không gian Bannach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {Tα }α∈Λ là một tập con của B(X , Y). Nếu {kTα xk}α∈Λ bị chặn với ∀x ∈ X thì {Tα }α∈Λ bị chặn đều. Định lí 1.2. (Định lí Banach - Steinhaus) ([10] tr 32) Cho X là không gian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {Tα }α∈Λ là một tập con của B(X , Y), với Λ là một tập con của R có điểm tụ α0 . Nếu {Tα x} hội tụ khi α −→ α0 với mọi x ∈ X thì {Tα }α∈Λ bị chặn đều và toán tử T : X −→ Y xác định bởi T x = lim Tα x, x ∈ X thuộc vào B(X , Y). α−→α0 Định lí 1.3. (Định lí Đồ thị đóng)([10] tr 35) Cho X và Y là các không gian Bannach, X0 là không gian con của X . Khi đó, toán tử tuyến tính T : X0 −→ Y đóng nếu và chỉ nếu X0 là đóng trong X . 1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose Cho X , Y là các không gian Hilbert, y ∈ Y và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính. Xét phương trình Tx = y (1.1) Định nghĩa 1.1. ([8] tr 32) x ∈ X được gọi là tựa nghiệm của phương trình (1.1) nếu kT x − yk = inf{kT x − yk|x ∈ X }. 7 (1.2) Định lí 1.4. ([10] tr 142) Cho X là không gian tuyến tính, Y là không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính, P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R (T ). Với mọi y ∈ Y , các mệnh đề sau là tương đương: (i)Phương trình (1.1) có một tựa nghiệm. (ii) y ∈ R (T ) + R (T )⊥ . (iii) Phương trình T x = P y với x ∈ X có nghiệm. Chứng minh. (i) ⇔ (iii) Vì inf{kT v − yk|v ∈ R (T )} = kP y − yk nên inf{kT z − yk|z ∈ X } = inf{kv − yk|v ∈ R (T )} = inf{kv − yk|v ∈ R (T )} = kP y − yk. Mặt khác, với mọi x ∈ X ta có T x − y = (T x − P y) + (P y − y) với (T x − P y) ∈ R (T ) và (P y − y) ∈ R (T )⊥ . Do đó kT x − yk2 = kT x − P yk2 + kP y − yk2 nên suy ra x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu T x = P y . (ii) ⇔ (iii) y ∈ R (T ) + R (T )⊥ ⇔ y = y1 + y2 với y1 ∈ R (T ) , y2 ∈ R (T )⊥ ⇔ P y = P y1 + P y2 = P y1 = y1 ∈ R (T ), hay phương trình T x = P y có nghiệm với mọi x ∈ X . Cho X , Y và T như trong Định lí 1.4, với y ∈ Y , ta ký hiệu Sy = {x ∈ X : kT x − yk = inf kT z − yk|z ∈ X }. Khi đó, theo Định lí 1.4, Sy 6= ∅ nếu và chỉ nếu y ∈ R (T ) + R (T )⊥ . Hệ quả 1.1. ([10] tr 143) Cho X , Y và T như trong Định lí 1.4, y ∈ Y sao cho Sy 6= ∅. Nếu x0 ∈ Sy thì Sy = {x0 + z|z ∈ N (T )}. 8 Đặc biệt, nếu T đơn ánh và y ∈ R (T ) + R (T )⊥ thì phương trình (1.1) có tựa nghiệm duy nhất. Chứng minh. Dễ thấy x0 là một tựa nghiệm của phương trình nên với mọi z ∈ N (T ) thì x0 + z cũng là một tựa nghiệm. Do đó, x0 + N (T ) ⊆ Sy . Mặt khác, với P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T ) và x0 ∈ Sy thì theo Định lí 1.4, với mọi x ∈ Sy có T x = P y = T x0 . Vì vậy x = x0 + z với z = x − x0 ∈ N (T ). Suy ra Sy ⊆ {x0 + z|z ∈ N (T )}. Vậy Sy = x0 + N (T ). Đặc biệt, khi N (T ) = {0} thì T là đơn ánh. Định lí 1.5. ([10] tr 144) Cho X , Y là các không gian Hilbert, X0 là một không gian con của X và T : X0 −→ Y là một toán tử tuyến tính với N (T ) đóng trong X . Cho y ∈ R (T ) + R (T )⊥ . Khi đó, tồn tại duy nhất x† ∈ Sy sao cho kx† k = inf{kxk|x ∈ Sy }. Hơn nữa, x† ∈ N (T )⊥ và x† = Qx0 , với Q : X −→ X là phép chiếu trực giao lên N (T )⊥ và x0 là phần tử nào đó trong Sy . Chứng minh. Cho y ∈ R (T )+R (T )⊥ thì theo Định lí 1.4 có Sy 6= ∅. Lấy x0 ∈ Sy . Theo Hệ quả 1.1 ta có Sy = {x0 + z|z ∈ N (T )}. Lấy x† = Qx0 với Q : X −→ X là phép chiếu trực giao lên N (T )⊥ . Khi đó, ta có x0 = x† + z với z ∈ N (T ). Điều này suy ra rằng x† = x0 − z ∈ X0 . Do đó, theo Định lí 1.4 T x† = T x0 = P y với P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T ). Vậy x† ∈ Sy . Theo Hệ quả 1.1, với mọi x ∈ Sy có x − x† ∈ N (T ). Áp dụng Định lí Pytago ta được kxk2 = kx† k2 + kx − x† k2 . Do vậy, kx† k ≤ kxk với mọi x ∈ Sy . Giả sử tồn tại x1 ∈ Sy sao cho kx1 k 6 kxk với mọi x ∈ Sy . Khi đó, kx1 k 6 kx† k 6 kx1 k 9 nên kx1 k = kx† k. Lại áp dụng Hệ quả 1.1 và Định lí Pytago ta được x1 −x† ∈ N (T ) và kx1 k2 = kx† k2 + kx1 − x† k2 . Từ đó suy ra x1 = x† . Vậy x† là duy nhất. Định nghĩa 1.2. ([10] tr 145) Cho X , Y là các không gian Hilbert, X0 là một tập con của X và T : X0 → Y là một toán tử tuyến tính với N (T ) đóng trong X . Từ Định lí 1.5, với mọi y ∈ R (T ) + R (T )⊥ tập Sy = {x ∈ X0 |kT x − yk = inf{kT z − yk|z ∈ X0 }. không rỗng và tồn tại duy nhất x† ∈ Sy sao cho kx† k = inf{kxk|x ∈ Sy }. Thực tế, theo Định lí 1.4 và 1.5, x† là phần tử duy nhất của N (T )⊥ sao cho T x† = Qy, trong đó Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T ). Ta định nghĩa toán tử nghịch đảo suy rộng theo nghĩa Moore-Penrose T † là một quy tắc mà mỗi phần tử y ∈ R (T ) + R (T )⊥ tương ứng với duy nhất một tựa nghiệm có chuẩn nhỏ nhất T † : R(T ) + R(T )⊥ → X là toán tử tuyến tính với tập xác định là D(T † ) = R (T ) + R (T )⊥ . Toán tử T † được gọi là nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo Moore - Penrose của toán tử T và x† = T † y được gọi là nghiệm suy rộng của (1.1).Từ đây suy ra T † y = T |N (T )∩X0 −1 Qy, y ∈ D(T † ). Ta có hai mệnh đề sau về nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose: Mệnh đề 1.2. ([8] tr 33) Cho P, Q lần lượt là các phép chiếu trực giao lên N (T ) và R(T ). Khi đó, R(T † ) = N (T )⊥ và bốn phương trình Moore - Penrose sau thỏa mãn: T T † T = T, (1.3) T †T T † = T †, (1.4) 10 T † T = I − P, (1.5) T T † = Q|D(T † ) (1.6) Có thể định nghĩa nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose như là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (1.3) − (1.6). Mệnh đề 1.3. ([8] tr 34) Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose T † có đồ thị đóng gr(T † ). Hơn nữa, T † bị chặn (liên tục) nếu và chỉ nếu R(T ) đóng. Định lí 1.6. ([10] tr 148) Cho y ∈ D(T † ). Khi đó, x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu phương trình chuẩn sau đây có nghiệm T ∗T x = T ∗y (1.7) Chứng minh. Cho Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T ). Theo Định lí 1.4 phương trình (1.1) có tựa nghiệm x ∈ X nếu và chỉ nếu y ∈ D(T † ), cũng như nếu và chỉ nếu T x = Qy. Mà ta có T x = Qy ⇔ Q(T x − y) = 0 ⇔ T x − y ∈ R(T )⊥ = N (T ∗ ) ⇔ T ∗ T x = T ∗ y. 1.3 Toán tử tuyến tính Compact Một lớp toán tử quan trọng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng là toán tử compact. Định nghĩa 1.3. ([10] tr 22) Cho X và Y là các không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính. T được gọi là bị chặn nếu với mọi tập con bị chặn E của X , tập T (E) bị chặn trong Y. Từ đây suy ra bao đóng T (E) là tập đóng và bị chặn. Nếu T (E) là compact với mọi tập con bị chặn E của X thì T được gọi là toán tử compact. 11 Một trong những ví dụ quan trọng của toán tử compact là toán tử tích phân Fredholm được xác định bởi Z b k(s, t)x(t)dt, a ≤ s ≤ b. (Kx)(s) = (1.8) a với k(., .) là hàm liên tục trên [a, b] × [a, b]. Định nghĩa 1.4. ([10] tr 45) Cho X0 là một không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X và T : X0 −→ X là một toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu tồn tại x 6= 0, x ∈ X và λ ∈ C sao cho T x = λx thì λ được gọi là giá trị riêng của T và x được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của T . Tập ρ(T ) = {λ ∈ C : (T − λI)−1 giới nội} được gọi là giải thức của T và σ(T ) = C\ρ(T ) được gọi là phổ của T . Với một toán tử tuyến tính compact tự liên hợp K : X −→ Y , hệ kì dị (σn , vn , un ) được định nghĩa như sau: Nếu K ∗ : Y −→ X là toán tử liên hợp của K (thỏa mãn với mọi x ∈ X và y ∈ Y : hKx, yi = hx, K ∗ yi) thì {σn2 }n∈N là các giá trị riêng khác 0 của toán tử compact tự liên hợp K ∗ K (cũng như KK ∗ ), σn > 0 và {vn }n∈N là hệ trực chuẩn đầy đủ tương ứng của các véc tơ riêng của K ∗ K . Dãy {un }n∈N được xác định qua un = Kvn σn {un }n∈N là một hệ trực chuẩn đầy đủ tương ứng của các véc tơ riêng của KK ∗ và các công thức sau thỏa mãn: Kx = K ∗y = Kvn = σn un , (1.9) K ∗ un = σn vn , (1.10) ∞ X n=1 ∞ X σn hx, vn iun , x ∈ X , (1.11) σn hy, un ivn , y ∈ Y, (1.12) n=1 Công thức (1.11)và(1.12) được gọi là khai triển kì dị của các toán tử K và K ∗ . 12 Mệnh đề 1.4. ([8] tr 38) Cho K : X −→ Y là toán tử compact, dimR(K) = ∞. Khi đó, nghịch đảo suy rộng K † là toán tử tuyến tính không bị chặn với đồ thị đóng. Định lí 1.7. ([8] tr 38) Cho (σn ; vn ; un ) là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact K, y ∈ Y . Khi đó, ta có (i) y ∈ D(K † ) ⇐⇒ P∞ |hy, un i|2 n=1 (ii) với mọi y ∈ D(K † ), σn2 < ∞, † K y= ∞ X hy, un i σn n=1 1.4 vn . (1.13) Định lí phổ Cho (σn ; vn ; un ) là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact K . Khi đó, (σn2 ; vn ) là hệ riêng của toán tử compact tự liên hợp K ∗ K : ∗ K Kx = ∞ X σn2 hx, vn ivn . (1.14) n=1 Công thức (1.14) cũng được viết dưới dạng Z K ∗ Kx = λdEλ x. (1.15) hx, vn ivn (+P ). (1.16) Với λ ∈ R và x ∈ X , ta có Eλ x = ∞ X n=1 2 ≤λ σn với P là phép chiếu trực giao lên N (K ∗ K) và chỉ có nghĩa trong (1.16) với λ > 0. Với mọi λ, Eλ là phép chiếu trực giao và chiếu lên Xλ = span{vn |n ∈ N, σn2 < λ} (+N (K ∗ K), nếu λ > 0). Với λ ≤ 0, Eλ = 0. Vì Xλ = R(K ∗ K) + N (K ∗ K) = X với λ > σ12 , vì vậy Eλ = I với λ > σ12 . Với mọi λ ≤ µ và x ∈ X , hEλ x, xi = ∞ X 2 2 |hx, vn i| (+kP xk ) ≤ n=1 2 ≤λ σn ∞ X n=1 2 ≤µ σn 13 |hx, vn i|2 (+kP xk2 ) = hEµ x, xi. Với f là hàm liên tục từng khúc và x, y ∈ X , ta có Z ∞ ∞ X f (λ)dEλ x = −∞ Z (1.17) f (σn2 )hx, vn ihu, vn i, (1.18) n=1 ∞ f (λ)dhEλ x, yi = −∞ Z f (σn2 )hx, vn ivn , ∞ X n=1 ∞ 2 f (λ)dkEλ xk = −∞ ∞ X f (σn2 )|hx, vn i|2 . (1.19) n=1 Chú ý rằng giới hạn của tích phân có thể bằng 0 và σ12 + ε = kKk2 + ε với ε > 0 nào đó và chỉ tại đó f xác định và liên tục từng khúc. Với f = id, trong đó id là ánh xạ đơn vị, (1.17) trở thành Z ∞ λdEλ x = −∞ ∞ X σn2 hx, vn ivn . n=1 Do đó, từ (1.14) suy ra Z λdEλ = K ∗ K. Công thức này cũng được viết thành Z id(λ)dEλ = id(K ∗ K). Từ đây, với f là hàm liên tục (từng khúc)và K ∗ K là toán tử compact tự liên hợp, ta có ∗ Z f (K K) = f (λ)dEλ = ∞ X f (σn2 )h., vn ivn , (1.20) n=1 f (K ∗ K) cũng là toán tử tuyến tính, tự liên hợp, bị chặn trong X . Định nghĩa này cũng tương thích với định nghĩa sử dụng đa thức đại số. Giả sử đa thức Pn k pn (λ) = k=0 ak λ hội tụ đều tới hàm liên tục (từng khúc) f . Khi đó với mọi Pn ∗ k ∗ x ∈ X , pn (K ∗ K)x = k=0 ak (K K) x hội tụ tới f (K K)x. Từ đây, có thể thấy rằng với mọi hàm f liên tục (từng khúc) f (K ∗ K)K ∗ = K ∗ f (KK ∗ ), 14 (1.21)
- Xem thêm -