Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - bdhsg toán lớp 9

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 30 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 Chuyªn ®Ò båi dìng hsg to¸n 9 3.1. Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ 3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n . 3.1.2. C¸c vÝ dô : a) b) 3x  7  c) x  x 3 d) x  1 1 x3 x  1 3 x2  1 x  1 2 x 2  x  1 =3 3  3 x2  1 x 1 4 3. 2.Ph¬ng ph¸p chung : §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n . Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh . - BiÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· häc. - Gi¶i ph¬ng tr×nh võa t×m ®îc . - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm . 3.3. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n: a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ): a.1. C¸c vÝ dô : * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  g ( x) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  1  x  1 (1) §KX§ : x+1 0  x -1 Víi x  -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x-1 0  x 1.Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh : x+1 = (x-1)2  x2 -3x= 0  x(x-3) = 0   x 0   x 3 ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =3 . VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  x  1 13 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9  §KX§ :  x  1 0   13  x 0 x  1 13  x (1)  x 1   x 13  1  x 13 (2) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc : x  1 (13  x ) 2  x 2  27 x  170 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x1 10 vµ x 2 17 .ChØ cã VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 10 VÝ dô 3:  * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1  x  2  x 1 1  x 1  2  x (1) §KX§: 1  x 0 2  x 0 x 1 x  2  x1 10 tho· h( x)  g ( x)   2  x 1 B×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc : 1  x 1  2 2  x  2  x Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  x 2  x  1 0 x x  1 5 2 tho· m·n (2)  1 5 2 3 x  1  3 7  x 2 (1) LËp ph¬ng tr×nh hai vÕ cña (1) ta ®îc: x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x). 2 8 (x-1) (7- x) = 0  x =-1 x =7 (®Òu tho¶ m·n (1 )). VËy x  1; x 7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .  * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  h( x)  VÝ dô5: Gi¶i ph¬ng tr×nh x  1 - x  7 = 12  x  x  1 = 12  x + x  7 (1) g (x ) m·n (2) . Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 x 10 x  1   §KX§: 12  x 0  x 12  1 x 12    x  7 0  x 7   B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc: x- 4 = 2 (12  x)( x  7) (3) Ta thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ®Òu tho· m·n (2) v× vËy b×nh ph¬ng 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = 44 vµ x2 = 8 ®Òu tho¶ m·n (2) . 5 VËy x1 = 44 vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. 5 VÝ dô 6: * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  1 +  x  1 0  x  10 0  §KX§ :   x  2 0  x  5 0  f ( x)  x  10 h( x )  =  x  1  x  10    x  2  x  5 B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc : x+1 + x+ 10 + 2 ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ 5 + 2  2+ x2 g (x ) + + x 5  q( x) (1) x ≥ -1 (2) ( x  2)( x  5) = ( x  2)( x  5) (3) Víi x  -1 th× hai vÕ cña (3) ®Òu d¬ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ cña (3) ta ®îc ( x  1)( x  10) = 1- x §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x  -1 (4) Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4) ( x  1)( x  10)  x  1   x  1  x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1). Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 a.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ®îc sö dông vµo gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3.....) Tõ ®ã mµ chó ý ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¨n, ®iÒu kiÖn ë c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ®ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm, chñ quan khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy. Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau . a.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. x 2  4 = x- 2 2. 1 x x2  4 3. 1 4. 3 5. x  45 1 x 6. + x 3 = 4x =3 x  16 =1 6 x -  ( 2 x  5) = 3 2x  3 7. x + x  y = x  1 + x  4 b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : b.1. C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9 x 2  24 x  16  x  4 (1) 3 x 1+ = x+ 1 §KX§: 3 x 2  9 x2  24 x  16 0    x  4 0 Ph¬ng tr×nh (1)    (3x  4)2 0x   x 4  3x  4 = -x + 4  3x  4   x  4   3x  4  x  4   x≤4  x 2   x 0 Víi x= 2 hoÆc x = 0 ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (®Òu tho¶ m·n x  4 ). VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2  4 x 4 + x 2  8 x  16 = 5 §KX§: Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : x 2 x  R + x 4 =5 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 LËp b¶ng xÐt dÊu : x 2 4 x- 2 0 + + x- 4 0 + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < 2 ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2) + Khi 2  x  4 ta cã (2)  0x + 2 =5 v« nghiÖm + Khi x > 4 ta cã (2)  2x – 6 =5  x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 ) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0,5 vµ x = 5,5 VÝ dô 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 x  13 + x 6 §KX§: x  1 Ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i lµ : ( x  1)  4  x 14 x  1 8 =1 + ( x  1)  6 x  1  9 = 1 ( x  1  2) 2 + x  1  3) 2 =1 =1 (1) - NÕu 1  x < 5 ta cã (1)  2- x  1 + 3 - x  1 = 1  x  1 =2  x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt - NÕu 5  x  10 th× (1)  0x = 0 Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm - NÕu x> 10 th× (1)  -5 = 1 ph¬ng trinh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5  x  10 b.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®îc sö dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song trong thùc tÕ cÇn lu ý cho häc sinh : -¸p dông h»ng ®¼ng thøc A 2 = A  x 1 2 + ( x 1 3 - Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn nªn gi¸o viªn cÇn lu ý ®Ó häc sinh tr¸nh sai lÇm . b.3. Bµi tËp ¸p dông : 1. x 2  6 x  9 + x 2  10 x  25 = 8 2. x 2  2x 1 + x 2  4x  4 = x 2  4x  4 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 3. x 34 x 1 + x 8 6 4. x  3  3 2 x  5 + x  2  c.Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: c..1. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 =5 2x  5 =2 2 2x2 + 3x + 2 x 2  3x  9 =33 §KX§ :  x  R Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2  3x  9 - 42= 0 (1) §Æt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chó ý r»ng häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta ®îc ph¬ng tr×nh míi : y2 + y – 42 = 0  y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0 Tõ ®ã ta cã 2 x 2  3x  9 =6  2x2 + 3x -27 = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - 9 2 C¶ hai nghiÖm nµy chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 4 x = 12 §KX§ : x  o §Æt 4 x = y  0  x = y2 ta cã ph¬ng tr×nh míi y2 + y -12 = 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i) 4 VÝ dô 3: x = 3  x = 81 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. Gi¶i ph¬ng tr×nh: §KX§ : §Æt   x  1 0   3  x 0 x 1 ( x  1)(3  x ) + = 3 x t2  4 2  x 1  x  1   x 3 + 3 x  - ( x  1)(3  x ) = 2 (1) -1 ≤ x ≤ 3 = t  0  t2 = 4 + 2 ( x  1)(3  x ) (2) .thay vµo (2) ta ®îc t2 – 2t = 0  t(t-2) = 0  t  0 t  2  + Víi t = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. +Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã : ( x  1)(3  x) = 0  x1 = -1; x2 = 3 (tho¶ m·n) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x1 = -1vµ x2 = 3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 VÝ dô 4: Ta cã §Æt Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 1 = x 1 5 x3 1 = 2( x2 + 2) x2  x 1 = a  0 ; x 2  x  1 = b  0 vµ a2 + b2 = x2 + 2 Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt lµ 5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) = 0 x 1  2a  b  0  a  2b  0   + Trêng hîp: 2a = b 2 = x 1 x2  x 1  4x + 4 = x2 – x +1  x2 – 5x -3 = 0 5 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 37 2 + Trêng hîp: a = 2b  x 1 = 2 ; x2 = 5  37 2 x2  x 1  x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0  4x2 -5x + 3 = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x= VÝ dô 5: §Æt Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 5  37 2 vµ x= 5 37 2 + 2 (x+1) = x- 1 + 1 x +3 1 x2 = u  0 vµ 1  x = t  0 §KX§: -1  x  1 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh. u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0  (u-t)(2u – t +1 ) = 0 x 1   u t   2u  1 t   x  1  1  x   2 x  1  1  1  x   x 0  24  x    25 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1  x  1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: §KX§ : x 1 x 2 x 1 + x2 x 1 = x 3 2 (1) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 §Æt x 1 (t  1) 2  + t 1 = t  0  x = t2 + 1 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh (t  1) 2 + t  1  t 2  4t  4 0    t 2 0 = t2  4 2 = t2  4 2  t 2   t 0  (t  1)   x 5   x 1  §kX§: x≥ 1 VËy phu¬ng ®· cho cã nghiÖm x= 1vµ x= 5 c.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn nh»m lµm cho ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u tØ .Song ®Ó vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ph¶i cã nh÷ng nhËn xÐt,®¸nh gi¸ t×m tßi híng gi¶i quyÕt c¸ch ®Æt Èn nh thÕ nµo cho phï hîp nh : §Æt Èn phô ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh míi chøa Èn phô (Vd 3-1,3-2,3-3) §Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ mét biÓu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – 5 + x 2  6 = 7 2/ x 3/ 3 1 x x2 - 2x -3 3 3 x x = 20 =20 4/ x3  8 = 2x2 – 6x +4 5/ x6 x 9 + x 6 x 9 = x  23 6 d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : d.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  10 x  21 = 3 x  3 + 2 x  7 - 6 (1) §KX§ : x  -3 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : ( x  3)( x  7) - 3 x  3 + 2 x  7 +6 = 0 ( x  7  3) -2(  x 3 ( x  7  3) ( x 3  2) x  7  3) ) =0 =3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9  x  7  3 0    x  3  2 0   x  7 9   x  3 4   x 2   x 1  §KX§. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1; x = 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 1  x + x  2 =1 §Æt §KX§ : x  -2 = t  0 Khi dã 3 1  x = x2 Ph¬ng tr×nh (1)   3 3 t2 3 3 3 t2 +t=1 3 t2 = 1- t  3- t3 = (1-t) 3  t3 - 4t2 + 3t + 2 =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = 0 Tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x=2 ; x= 1 + 2 2 VÝ dô3: = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: §Æt (1)    (4x-1) x2 1 =y ; y  0  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 x2 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x = 0 ; x = VÝ dô4: 4 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( 1  x  1 )( 1  x  1 ) = 2x §KX§: -1  x  1 (1) ®Æt 1  x = u (0  u  2 ) suy ra x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : (u -1 ) ( 2  u 2  1)  (u -1 ){ ( = 2 ( u2 -1) 2  u 2  1) -  (u-1) (  (+) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) 2 (u+1)} = 0 2  u 2  2u  1) =0 u  1  0  2  2  u  2u  1  0 u-1 = 0  u =1 ( tho¶ m·n u  0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 (+)  2  u 2  2u  1  2u  1 0  2  2  u (2u  1)  =0  2  u2 = 2u + 1 (tho¶ m·n v× u  0 )  5u2 + 4u - 1 = 0  u1  1  0(loai)   1  u2  5 nªn cã x = u22 -1 = ( 1 )2 – 1 = 5  24 25 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 0 vµ x =  24 25 . d.2.NhËn xÐt : Khi sö dông ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau . + T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh . + Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè , ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) g(x) ….= 0 (gäi lµ ph¬ng tr×nh tÝch) . Tõ ®ã ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; ….. lµ nh÷ng ph ¬ng tr×nh quen thuéc. + NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0 g( x) = 0 ;….. thuéc tËp x¸c ®Þnh . + BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm c¸c sè h¹ng,t¸ch c¸c sè h¹ng hoÆc ®Æt Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn ®a vÒ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i . d.3.Bµi tËp ¸p dông: 1. x 3  7 x  6 = 0 2. x2  x  2 -2 3. x(x+5) = 2 3 x2  x  2 = x 1 x 2  5x  2  2 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3  3x 2  3x  2 e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 25  x 2 - 15  x 2 =2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 §KX§: 0  x2  15 §Æt: 25  x 2 = a (a 0) (* ) = b ( b  0) ( ** ) Tõ ph¬ng tr×nh ®· cho chuyÓn vÒ hÖ ph¬ng tr×nh : 15  x 2  a  b 2   (a  b)(a  b) 2(a  b)  a  b 0    a  b 2   a  b 5 Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 =  49 4  x2 =  §kX§ ) . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  7  a  2  b 3  2  51 2 (5  x) 5  x  ( x  3) x  3 5 x  x 3 51  4 . =2 §KX§ : 3  x  5 §Æt  5  x u(u 0)   x  3 t (t 0) Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh :  u 2  t 2 2 2  u  ut  t 2 2  ut = 0  VÝ dô3:   u 0   t 0  x 3  (thâa m·n ®iÒu kiÖn )  x 5 VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5. 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x + x 1 = 1 §KX§: x  1 x= (1)  51 2 ( Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 §Æt  3 2  x u   x  1 t (t 0) Khi ®ã ta cã u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nªn u3 + t3 = 1  u  t 1(1) 3 3  u  t 1(2) Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc ®a vÒ hÖ: Tõ ph¬ng tr×nh (1)  u = 1 – t .Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã : ( 1 – t )3 + t2 = 1  t( t2 - 4t + 3 = 0   t 0 2  t  4t  3 0  t 0   t 1   t 3   Tõ ®ã ta ®îc x= 3; x =2 ; x = 10 (§KX§ x  1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho . VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 §Æt: 3 ab = 3 x2  1 . ( x  1) 2 x 1 + =a; a2 = 3 ( x  1) 2 b2 = 3 ( x  1) 2 3 ( x  1) 2 3 x 1 + 3 x2  1 =1 = b nªn ta cã: Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)  a3  x  1 3  b  x  1 Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a3 – b3 = 2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9  a 2  b2  ab 1 3 3  a  b 2 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2  b = a – 2 Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc : (a -1 )2 = 0  a =1 Tõ ®ã ta ®îc x = 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 0 e.2.NhËn xÐt : Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm s¸ng t¹o vµ ®Æc thï riªng, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy h¬n do ®ã ph¬ng ph¸p nµy ®îc ¸p dông cho häc sinh kh¸ , giái .Ta cÇn chó ýmét sè ®iÓm sau: + T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung . + §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh quen thuéc . Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô , ph¬ng ph¸p sö dông h»ng ®¼ng thøc. e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1. 1 x 2. 2 3 + 1 2  x2 2x  1 =2 = x3+ 1 3. 3 1 x + 3 4. 3 x 1 + 3 1 x =1 x  21 = 3 2x  3 5. 4  4  x = x g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc : g.1. Ph¬ng ph¸p chøng tá tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ lµ rêi nhau , khi ®ã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  1 - 5 x  1 = 3 x  2 (1) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9  x  1 0   5 x  1 0  3 x  2 0  §KX§:   x 1  1  x  5  2   x  3  Víi x  1 th× x < 5x do ®ã x  1 < 5 x  1 Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m . VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: + x 2  6 x  11  Mµ ( x  3) 2  2 ( x  3) 2  2 + + x 2  6 x  13 + 4 x 2  4x  5 =3+ ( x  3) 2  4 + 4 ( x  2) 2  1 = 3+ ( x  3) 2  4 + 4 ( x  2) 2  1  2 + 2 (*) 2 4 +1=3+ 2  VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh ®· cho lín h¬n vÕ tr¸i . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm . g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: 1. x  1 - x  1 = 2 2. x2  6 =x-2 x2  1 3. 6  x + x  2 = x2 - 6x +13 g.2. Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ : g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 2  6 x  7 + Ta cã vÕ tr¸i cña (1) 3x 2  6 x  7 + 5 x 2  10 x  14 = 3( x  1) 2  4 5 x 2  10 x  14 + 5( x  1)  9 = 4 – 2x – x2 (1)  4 + 9 =5 VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2  5 VËy hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 .Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = -1 VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 + 6  x = x2 -10x + 27 (1) §KX§: 4  x  6 XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2  2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) ( x 4 2 6 x )2  ( ( x  1) 2  ( 6  4 ) 2 2 V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ : =1 hay x 4 + 6 x 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9  x 2  10 x  27 2(*)   x  4  6  x 2(**) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**) VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) g.2.2. Bµi tËp ¸p dông : 1. 3x 2  12 x  16 + y  4 y  13 = 5 2 2. 3. 3 x 2  6 x  12 x 2  3 x  3,5 + = 5 x 2  10 x  9 = 3-4x -2x2 ( x 2  2 x  2)( x 2  4 x  4) h. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè : h.1.C¸c vÝ dô : 3 VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  2 + x  1 = 3 (1) §KX§: x  1 Ta thÊy x =3 lµ nghiÖm ®óng víi ph¬ng tr×nh (1) Víi x > 3 th× 3 x  2 > 1 , x  1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3. Víi x< 3 vµ x  -1  -1  x  3 th× 3 x  2 < 1, nhá h¬n 3. VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 x 2  28 + 23 x 2  23 + x 1 + x = 2 x 1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) + 9 (1)  x  1 0 §KX§:   x 1  x 0 Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ,thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng .Råi t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c . h.3.Bµi tËp ¸p dông : 1. 3 x 2  26 +3 x + x 3 2. 2 x 2  1 + x 2  3x  2 = =8 2x 2  2x  3 + x2  x 1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 i. Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu = ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 + y  1995 + z  1996 = 1 2 (x+y+z) §KX§ : x  2; y  -1995; z  1996 Ph¬ng tr×nh (1)  x+y+z = 2 x  2 + 2 y  1995 + 2 z  1996  ( x  2  1) 2 +  x  2 1    y  1995 1   z  1996 1 ( y  1995  1) 2  3( x  1) 2  4 VÕ tr¸i cña (*) + ( z  1996  1) 2 =0  x 3   y  1994 ( tho· m·n §KX§ ).  z 1997  Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  + 5( x  1) 2  9 3x 2  6 x  7 5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2 = 5 – (x+1)2 (*) + 3( x  1) 2  4 + 5( x  1) 2  9 2 + 3 = 5 VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2  5 V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5  x+ 1 = 0  x = -1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =-1 VÝ dô3: x Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x  1 + 4x  1 x =2 (1) §KX§: x> 1 4 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc a b  b a  2 víi a,b > 0 x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= 4x  1  x2 - 4x +1 = 0 (do x> 1 4 ) Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x= 2  3 (tho¶ m·n §KX§). VËy x= 2  3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. i.2. NhËn xÐt : Khi sö dông ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau : + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x)  a , g(x)  a Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 (a lµ h»ng sè ) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi f(x) =a vµ g(x) = a + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè ) mµ ta lu«n cã h(x)  m hoÆc h (x)  m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra. + ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc : C«si, Bunhiacopxki i.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. 2 x 2  8 x  12 = 3 - 4 3x 2  12 x  13 2. 3. x 2 19 + x 1 10  x +5 4 2 4. x 2  6 x  15 = x  6 x  11 x2  1 = x2 -12x + 40 + 95 6 x 2  3 x 2 x 2  6 x  18 k. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c : k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = x  1 + x  1  5  x  18  y, = = 3 + x 1 3 x 9 x 1  5 x  18  3 x 9 (1) trªn tËp x¸c ®Þnh 1;5 ta cã: 1 1 1 3    2 x  1 2 x  1 2 5  x 2 18  3x > 0 víi mäi x  1;5 Do hµm sè y liªn tôc vµ ®ång biÕn trªn 1;5 nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ  y(1); y(5) hay  2  2  15;2  6  3` . Suy ra y min = ymax = 2 + 6  2  2  15 vµ 3 víi mäi x  1;5 §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min 9  ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× y min = 2  2 15 < 9 vµ ymax = 2 + 6  3 < 9 Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x  1;5 ®Ó y(xi) = 9 k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè: VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 +1 = 2 3 2 x  1 (1) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 Ta cã: (1) x3 1 3  2x  1 2  §Æt y = hµm sè cã ®¹o hµm y, = nªn ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc trong R. x y = 3 1 2 x 3  1 cã hµm ngîc y = 2  x= 3 x 3 2x  1 (v× y = 0 víi mäi x x 3 1 2 2x  1 ) Do ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tr×nh 3 3x 2 2 1 2 =x x3 1 3  2x  1 2  x3 -2x + 1 = 0 còng lµ nghiÖm cña ph¬ng  x = 1 hoÆc x =  1 5 .  2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x =   1  2 5 . k.3. NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m c¸ch ®a vÒ nh÷ng ph¬ng ph¸p quen thuéc ®Ó d¹y häc sinh THCS . Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9 Ch¼ng h¹n nh vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau: x3 + 1 = 2 3 2x  1 §Æt t = 2 x  1  2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t 2x -1 = t3 3  x3 – t3 + 2 (x-t) = 0  x1 =1 ; x2,3 =   1 5 2 . Bµi tËp vËn dông:
- Xem thêm -