Mô tả:
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
Chuyªn ®Ò båi dìng hsg to¸n 9
3.1. Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ
3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .
3.1.2. C¸c vÝ dô :
a)
b)
3x 7
c)
x x 3
d)
x 1 1
x3 x 1
3
x2 1
x 1 2
x 2 x 1 =3
3
3
x2 1
x 1
4
3. 2.Ph¬ng ph¸p chung :
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n .
Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh .
- BiÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· häc.
- Gi¶i ph¬ng tr×nh võa t×m ®îc .
- So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm .
3.3. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n:
a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai
vÕ ph¬ng tr×nh ):
a.1. C¸c vÝ dô :
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x) g ( x)
VÝ dô 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 1 x 1 (1)
§KX§ : x+1 0 x -1
Víi x -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×
x-1 0 x 1.Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh :
x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0
x(x-3) = 0
x 0
x 3
ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =3 .
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 1 13
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
§KX§ :
x 1 0
13 x 0
x 1 13 x (1)
x 1
x 13
1 x 13 (2)
B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc :
x 1 (13 x ) 2
x 2 27 x 170 0
Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x1 10 vµ x 2 17 .ChØ cã
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 10
VÝ dô 3:
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 x 2 x 1
1 x 1 2 x (1)
§KX§:
1 x 0
2 x 0
x 1
x 2
x1 10 tho·
h( x) g ( x)
2 x 1
B×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc :
1 x 1 2 2 x 2 x
Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
VÝ dô 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 x 1 0
x
x
1 5
2
tho· m·n (2)
1 5
2
3
x 1 3 7 x 2
(1)
LËp ph¬ng tr×nh hai vÕ cña (1) ta ®îc:
x 1 7 x 33 ( x 1)(7 x). 2 8
(x-1) (7- x) = 0
x =-1
x =7 (®Òu tho¶ m·n (1 )).
VËy x 1; x 7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x) h( x)
VÝ dô5:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 1 - x 7 = 12 x
x 1 = 12 x + x 7 (1)
g (x )
m·n (2) .
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
x 10 x 1
§KX§: 12 x 0 x 12 1 x 12
x 7 0 x 7
B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc: x- 4 = 2 (12 x)( x 7) (3)
Ta thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ®Òu tho· m·n (2) v× vËy b×nh ph¬ng 2 vÕ cña
ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc :
(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
5x2 - 84x + 352 = 0
Ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = 44 vµ x2 = 8 ®Òu tho¶ m·n (2) .
5
VËy x1 = 44 vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
5
VÝ dô 6:
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng :
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 1 +
x 1 0
x 10 0
§KX§ :
x 2 0
x 5 0
f ( x)
x 10
h( x )
=
x 1
x 10
x 2
x 5
B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc :
x+1 + x+ 10 + 2 ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ 5 + 2
2+
x2
g (x )
+
+
x 5
q( x)
(1)
x ≥ -1 (2)
( x 2)( x 5)
= ( x 2)( x 5)
(3)
Víi x -1 th× hai vÕ cña (3) ®Òu d¬ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ cña (3) ta ®îc
( x 1)( x 10) = 1- x
§iÒu kiÖn ë ®©y lµ x -1 (4)
Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)
( x 1)( x 10)
x 1
x 1
x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1).
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
a.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ®îc sö dông vµo gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng
tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü
thõa bËc ch½n
Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3.....)
Tõ ®ã mµ chó ý ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¨n, ®iÒu kiÖn ë c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh
®ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm, chñ quan khi sö dông ph¬ng
ph¸p nµy.
Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu
ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau .
a.3. Bµi tËp ¸p dông:
1. x 2 4 = x- 2
2.
1 x x2 4
3.
1
4.
3
5.
x 45 1 x
6.
+
x
3
=
4x
=3
x 16
=1
6 x
-
( 2 x 5)
= 3 2x 3
7. x + x y = x 1 + x 4
b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :
b.1. C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
9 x 2 24 x 16 x 4 (1)
3
x 1+
= x+ 1
§KX§:
3
x 2
9 x2 24 x 16 0
x 4 0
Ph¬ng tr×nh (1)
(3x 4)2 0x
x 4
3x 4
= -x + 4
3x 4 x 4
3x 4 x 4
x≤4
x 2
x 0
Víi x= 2 hoÆc x = 0 ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (®Òu tho¶ m·n x 4 ).
VÝ dô 2 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x 2 4 x 4 + x 2 8 x 16 = 5
§KX§:
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng :
x 2
x R
+
x 4
=5
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
LËp b¶ng xÐt dÊu :
x
2
4
x- 2
0
+
+
x- 4
0
+
Ta xÐt c¸c kho¶ng :
+ Khi x < 2 ta cã (2) 6-2x =5
x = 0,5(tho¶ m·n x 2)
+ Khi 2 x 4 ta cã (2) 0x + 2 =5 v« nghiÖm
+ Khi x > 4 ta cã (2) 2x – 6 =5
x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 )
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0,5 vµ x = 5,5
VÝ dô 3 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 4 x 13 +
x 6
§KX§: x 1
Ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i lµ :
( x 1) 4
x 14
x 1 8
=1
+ ( x 1) 6 x 1 9 = 1
( x 1 2) 2
+
x 1 3) 2
=1
=1 (1)
- NÕu 1 x < 5 ta cã (1) 2- x 1 + 3 - x 1 = 1
x 1 =2 x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt
- NÕu 5 x 10 th× (1) 0x = 0 Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
- NÕu x> 10 th× (1) -5 = 1 ph¬ng trinh v« nghiÖm
VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5 x 10
b.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®îc sö
dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song trong thùc tÕ cÇn
lu ý cho häc sinh :
-¸p dông h»ng ®¼ng thøc A 2 = A
x 1 2
+
(
x 1 3
- Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña
Èn nªn gi¸o viªn cÇn lu ý ®Ó häc sinh tr¸nh sai lÇm .
b.3. Bµi tËp ¸p dông :
1. x 2 6 x 9 + x 2 10 x 25 = 8
2.
x 2 2x 1
+
x 2 4x 4
=
x 2 4x 4
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
3.
x 34
x 1
+
x 8 6
4. x 3 3 2 x 5 + x 2
c.Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
c..1. C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1
=5
2x 5
=2
2
2x2 + 3x +
2 x 2 3x 9
=33
§KX§ : x R
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2 3x 9 - 42= 0 (1)
§Æt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chó ý r»ng häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng ®Æt
®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y)
Ta ®îc ph¬ng tr×nh míi : y2 + y – 42 = 0
y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0
Tõ ®ã ta cã
2 x 2 3x 9
=6 2x2 + 3x -27 = 0
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - 9
2
C¶ hai nghiÖm nµy chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x + 4 x = 12
§KX§ : x o
§Æt 4 x = y 0 x = y2 ta cã ph¬ng tr×nh míi
y2 + y -12 = 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i)
4
VÝ dô 3:
x
= 3 x = 81 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
§KX§ :
§Æt
x 1 0
3 x 0
x 1
( x 1)(3 x )
+
=
3 x
t2 4
2
x 1
x 1
x 3
+
3 x
-
( x 1)(3 x )
= 2 (1)
-1 ≤ x ≤ 3
= t 0 t2 = 4 + 2
( x 1)(3 x )
(2) .thay vµo (2) ta ®îc
t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0
t 0
t 2
+ Víi t = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã : ( x 1)(3 x) = 0 x1 = -1; x2 = 3 (tho¶
m·n)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x1 = -1vµ x2 = 3
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
VÝ dô 4:
Ta cã
§Æt
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x3 1
=
x 1
5
x3 1
= 2( x2 + 2)
x2 x 1
= a 0 ; x 2 x 1 = b 0 vµ a2 + b2 = x2 + 2
Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt lµ
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0
x 1
2a b 0
a 2b 0
+ Trêng hîp: 2a = b
2
=
x 1
x2 x 1
4x + 4 = x2 – x +1
x2 – 5x -3 = 0
5
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 =
37
2
+ Trêng hîp: a = 2b
x 1 = 2
; x2 =
5 37
2
x2 x 1
x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
4x2 -5x + 3 = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x=
VÝ dô 5:
§Æt
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1
5 37
2
vµ x=
5
37
2
+ 2 (x+1) = x- 1 +
1 x
+3
1 x2
= u 0 vµ 1 x = t 0
§KX§: -1 x 1 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh.
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
(u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
(u-t)(2u – t +1 ) = 0
x 1
u t
2u 1 t
x 1 1 x
2 x 1 1 1 x
x 0
24
x
25
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1 x 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 6:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
§KX§ : x 1
x 2
x 1
+
x2
x 1
=
x 3
2
(1)
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
§Æt
x 1
(t 1) 2
+
t 1
= t 0 x = t2 + 1 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh
(t 1) 2
+
t 1
t 2 4t 4 0
t 2 0
=
t2 4
2
=
t2 4
2
t 2
t 0
(t 1)
x 5
x 1
§kX§: x≥
1
VËy phu¬ng ®· cho cã nghiÖm x= 1vµ x= 5
c.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn nh»m lµm cho ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u
tØ .Song ®Ó vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ph¶i cã nh÷ng nhËn xÐt,®¸nh gi¸ t×m tßi híng gi¶i quyÕt c¸ch ®Æt Èn nh thÕ nµo cho phï hîp nh :
§Æt Èn phô ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh míi chøa Èn phô (Vd 3-1,3-2,3-3)
§Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ mét biÓu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bµi tËp ¸p dông:
1/ x2 – 5 + x 2 6 = 7
2/ x
3/
3
1
x
x2
- 2x
-3
3
3
x
x
= 20
=20
4/
x3 8
= 2x2 – 6x +4
5/
x6
x 9
+
x 6
x 9
=
x 23
6
d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch :
d.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 10 x 21 = 3 x 3 + 2 x 7 - 6 (1)
§KX§ : x -3
Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng :
( x 3)( x 7) - 3 x 3 + 2 x 7 +6 = 0
(
x 7 3) -2(
x 3
(
x 7 3) (
x 3 2)
x 7 3) )
=0
=3
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
x 7 3 0
x 3 2 0
x 7 9
x 3 4
x 2
x 1
§KX§.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1; x = 2
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 1 x + x 2 =1
§Æt
§KX§ : x -2
= t 0 Khi dã 3 1 x =
x2
Ph¬ng tr×nh (1)
3
3 t2
3
3
3 t2
+t=1
3 t2
= 1- t
3- t3 = (1-t) 3
t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
(t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x=2 ; x= 1 + 2
2
VÝ dô3:
= 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
§Æt
(1)
(4x-1)
x2 1
=y ; y 0
(4x-1) y = 2y2 + 2x -1
2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
x2 1
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x = 0 ; x =
VÝ dô4:
4
3
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( 1 x 1 )( 1 x 1 ) = 2x
§KX§: -1 x 1 (1)
®Æt 1 x = u (0 u 2 )
suy ra x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh :
(u -1 ) (
2 u 2 1)
(u -1 ){ (
= 2 ( u2 -1)
2 u 2 1) -
(u-1) (
(+)
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
2 (u+1)} = 0
2 u 2 2u 1)
=0
u 1 0
2
2 u 2u 1 0
u-1 = 0 u =1 ( tho¶ m·n u 0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1)
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
(+)
2 u 2 2u 1
2u 1 0
2
2 u (2u 1)
=0
2 u2
= 2u + 1
(tho¶ m·n v× u 0 )
5u2 + 4u - 1 = 0
u1 1 0(loai)
1
u2 5
nªn cã x = u22 -1 = ( 1 )2 – 1 =
5
24
25
tho· m·n ®iÒu kiÖn (1)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 0 vµ x =
24
25
.
d.2.NhËn xÐt :
Khi sö dông ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ
ta cÇn chó ý c¸c bíc sau .
+ T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh .
+ Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè , ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) g(x) ….= 0 (gäi
lµ ph¬ng tr×nh tÝch) . Tõ ®ã ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; ….. lµ nh÷ng ph ¬ng
tr×nh quen thuéc.
+ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0
g( x) = 0 ;….. thuéc tËp x¸c ®Þnh .
+ BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm
c¸c sè h¹ng,t¸ch c¸c sè h¹ng hoÆc ®Æt Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn
®a vÒ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i .
d.3.Bµi tËp ¸p dông:
1. x 3 7 x 6 = 0
2.
x2 x 2
-2
3. x(x+5) = 2 3
x2 x 2
=
x 1
x 2 5x 2 2
4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3 3x 2 3x 2
e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh :
e.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
25 x 2 -
15 x 2
=2
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
§KX§: 0 x2 15
§Æt: 25 x 2 = a (a 0) (* )
= b ( b 0) ( ** )
Tõ ph¬ng tr×nh ®· cho chuyÓn vÒ hÖ ph¬ng tr×nh :
15 x 2
a b 2
(a b)(a b) 2(a b)
a b 0
a b 2
a b 5
Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 =
49
4
x2 =
§kX§ ) . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x =
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
7
a 2
b 3
2
51
2
(5 x) 5 x ( x 3) x 3
5 x
x 3
51
4
.
=2
§KX§ : 3 x 5
§Æt
5 x u(u 0)
x 3 t (t 0)
Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh :
u 2 t 2 2
2
u ut t 2 2
ut = 0
VÝ dô3:
u 0
t 0
x 3
(thâa m·n ®iÒu kiÖn )
x 5
VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5.
3
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 x + x 1 = 1
§KX§: x 1
x=
(1)
51
2
(
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
§Æt
3 2 x u
x 1 t (t 0)
Khi ®ã ta cã u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nªn u3 + t3 = 1
u t 1(1)
3 3
u t 1(2)
Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc ®a vÒ hÖ:
Tõ ph¬ng tr×nh (1) u = 1 – t .Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã :
( 1 – t )3 + t2 = 1
t( t2 - 4t + 3 = 0
t 0
2
t 4t 3 0
t 0
t 1
t 3
Tõ ®ã ta ®îc x= 3; x =2 ; x = 10 (§KX§ x 1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
®· cho .
VÝ dô 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3
§Æt: 3
ab =
3
x2 1 .
( x 1) 2
x 1
+
=a;
a2 =
3
( x 1) 2
b2 =
3
( x 1) 2
3
( x 1) 2
3
x 1
+
3
x2 1
=1
= b nªn ta cã:
Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
a3 x 1
3
b x 1
Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a3 – b3 = 2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
a 2 b2 ab 1
3 3
a b 2
Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc :
(a -1 )2 = 0 a =1
Tõ ®ã ta ®îc x = 0
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 0
e.2.NhËn xÐt :
Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm
s¸ng t¹o vµ ®Æc thï riªng, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy h¬n do ®ã ph¬ng ph¸p
nµy ®îc ¸p dông cho häc sinh kh¸ , giái .Ta cÇn chó ýmét sè ®iÓm sau:
+ T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung .
+ §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
quen thuéc .
Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c
nh ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô , ph¬ng ph¸p sö dông h»ng ®¼ng thøc.
e.3.Bµi tËp ¸p dông:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :
1.
1
x
2. 2 3
+
1
2 x2
2x 1
=2
= x3+ 1
3.
3
1 x
+
3
4.
3
x 1
+
3
1 x
=1
x 21
=
3
2x 3
5. 4 4 x = x
g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc :
g.1. Ph¬ng ph¸p chøng tá tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ lµ rêi nhau , khi ®ã ph¬ng
tr×nh v« nghiÖm .
g.1.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 - 5 x 1 = 3 x 2 (1)
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
x 1 0
5 x 1 0
3 x 2 0
§KX§:
x 1
1
x
5
2
x 3
Víi x 1 th× x < 5x do ®ã x 1 < 5 x 1
Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m .
VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .
VÝ dô2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
+
x 2 6 x 11
Mµ
( x 3) 2 2
( x 3) 2 2 +
+
x 2 6 x 13
+
4
x 2 4x 5
=3+
( x 3) 2 4
+
4
( x 2) 2 1
= 3+
( x 3) 2 4
+
4
( x 2) 2 1
2
+
2
(*)
2
4
+1=3+
2
VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh ®· cho lín h¬n vÕ tr¸i .
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .
g.1.2.Bµi tËp ¸p dông:
1. x 1 - x 1 = 2
2.
x2 6
=x-2
x2 1
3. 6 x + x 2 = x2 - 6x +13
g.2. Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ :
g.2.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 2 6 x 7 +
Ta cã vÕ tr¸i cña (1)
3x 2 6 x 7
+
5 x 2 10 x 14
=
3( x 1) 2 4
5 x 2 10 x 14
+
5( x 1) 9
= 4 – 2x – x2 (1)
4
+
9
=5
VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
VËy hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 .Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = -1
VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 + 6 x = x2 -10x + 27 (1)
§KX§: 4 x 6
XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1)
(
x 4
2
6 x
)2
( ( x 1) 2 ( 6 4 ) 2
2
V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ :
=1 hay
x 4
+
6 x
2
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
x 2 10 x 27 2(*)
x 4 6 x 2(**)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**)
VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
g.2.2. Bµi tËp ¸p dông :
1. 3x 2 12 x 16 + y 4 y 13 = 5
2
2.
3.
3 x 2 6 x 12
x 2 3 x 3,5
+
=
5 x 2 10 x 9
= 3-4x -2x2
( x 2 2 x 2)( x 2 4 x 4)
h. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè :
h.1.C¸c vÝ dô :
3
VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x 2 + x 1 = 3 (1)
§KX§: x 1
Ta thÊy x =3 lµ nghiÖm ®óng víi ph¬ng tr×nh (1)
Víi x > 3 th× 3 x 2 > 1 , x 1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3.
Víi x< 3 vµ x -1 -1 x 3 th× 3 x 2 < 1,
nhá h¬n 3.
VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
5
x 2 28
+ 23
x 2 23
+
x 1
+
x
=
2
x 1
< 2 nªn vÕ tr¸i cña (1)
+ 9 (1)
x 1 0
§KX§:
x 1
x 0
Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1)
h2.NhËn xÐt :
Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông
ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ,thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng .Råi t×m c¸ch
chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c .
h.3.Bµi tËp ¸p dông :
1.
3
x 2 26
+3
x
+
x 3
2. 2 x 2 1 + x 2 3x 2 =
=8
2x 2 2x 3
+
x2 x 1
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
i. Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu = ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt
i.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 2
+
y 1995
+
z 1996
=
1
2
(x+y+z)
§KX§ : x 2; y -1995; z 1996
Ph¬ng tr×nh (1) x+y+z = 2 x 2 + 2 y 1995 + 2 z 1996
( x 2 1) 2
+
x 2 1
y 1995 1
z 1996 1
(
y 1995 1) 2
3( x 1) 2 4
VÕ tr¸i cña (*)
+
( z 1996 1) 2
=0
x 3
y 1994 ( tho· m·n §KX§ ).
z 1997
Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
+
5( x 1) 2 9
3x 2 6 x 7
5 x 2 10 x 14
= 4 – 2x – x2
= 5 – (x+1)2 (*)
+
3( x 1) 2 4
+
5( x 1) 2 9
2 + 3 = 5
VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2 5
V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña
ph¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5 x+ 1 = 0 x = -1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =-1
VÝ dô3:
x
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4x 1
+
4x 1
x
=2 (1)
§KX§: x> 1
4
¸p dông bÊt ®¼ng thøc
a b
b a
2 víi a,b > 0
x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b
DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x=
4x 1
x2 - 4x +1 = 0 (do x>
1
4
)
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x= 2 3 (tho¶ m·n §KX§).
VËy x= 2 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
i.2. NhËn xÐt :
Khi sö dông ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó
ý c¸c bíc sau :
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x) a , g(x) a
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
(a lµ h»ng sè )
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi
f(x) =a vµ g(x) = a
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè ) mµ ta lu«n cã h(x)
m hoÆc h (x) m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu
®¼ng thøc x¶y ra.
+ ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc : C«si, Bunhiacopxki
i.3. Bµi tËp ¸p dông:
1. 2 x 2 8 x 12 = 3 - 4 3x 2 12 x 13
2.
3.
x 2
19
+
x 1
10 x
+5
4
2
4. x 2 6 x 15 =
x 6 x 11
x2 1
= x2 -12x + 40
+ 95
6
x 2 3 x 2
x 2 6 x 18
k. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c :
k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè :
y = x 1 + x 1 5 x 18
y, =
= 3
+
x 1
3 x 9
x 1
5 x
18 3 x 9 (1)
trªn tËp x¸c ®Þnh 1;5 ta cã:
1
1
1
3
2 x 1 2 x 1 2 5 x 2 18 3x
> 0 víi mäi x
1;5
Do hµm sè y liªn tôc vµ ®ång biÕn trªn 1;5 nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ y(1); y(5)
hay 2 2 15;2 6 3` . Suy ra y min =
ymax = 2 +
6
2 2 15
vµ
3 víi mäi x 1;5
§Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min 9 ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng
x¶y ra v×
y min = 2 2 15 < 9 vµ ymax = 2 + 6 3 < 9
Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x 1;5 ®Ó y(xi) = 9
k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè:
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x3 +1 = 2 3 2 x 1 (1)
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
Ta cã: (1)
x3 1 3
2x 1
2
§Æt y =
hµm sè cã ®¹o hµm y, =
nªn ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc trong R.
x
y =
3
1
2
x 3 1 cã hµm ngîc y =
2
x=
3
x
3
2x 1
(v× y =
0 víi mäi x
x
3
1
2
2x 1 )
Do ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
tr×nh
3
3x 2
2
1
2
=x
x3 1 3
2x 1
2
x3 -2x + 1 = 0
còng lµ nghiÖm cña ph¬ng
x = 1 hoÆc x =
1 5 .
2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x = 1
2
5 .
k.3. NhËn xÐt:
Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn
thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc
THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m
c¸ch ®a vÒ nh÷ng ph¬ng ph¸p quen thuéc ®Ó d¹y häc sinh THCS .
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ - BDHSG toán lớp 9
Ch¼ng h¹n nh vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau:
x3 + 1 = 2 3
2x 1
§Æt t = 2 x 1 2x -1 = t3
Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t
2x -1 = t3
3
x3 – t3 + 2 (x-t) = 0
x1 =1 ; x2,3 =
1 5
2
.
Bµi tËp vËn dông:
- Xem thêm -