Tài liệu Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A.®Æt vÊn ®Ò I.lêi më ®Çu. To¸n häc lµ mét m«n khoa häc tù nhiªn, nã chiÕm mét vai trß quan träng gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy, ãc s¸ng t¹o, kh¶ n¨ng t×m tßi vµ kh¸m ph¸ tri thøc. Qua ®ã c¸c em cã thÓ vËn dông nh÷ng hiÓu biÕt cña m×nh vµo trong thùc tiÔn cuéc sèng, mÆt kh¸c nã cßn lµ c«ng cô s¾c bÐn gióp c¸c em häc tèt c¸c m«n khoa häc kh¸c trong kho tµng tri thøc. Víi nh÷ng yªu cÇu vµ vai trß quan träng ®ã, viÖc lµm cho c¸c em yªu thÝch vµ say mª to¸n häc, gióp c¸c em cã ®iÒu kiÖn më réng vµ n©ng cao kiÕn thøc, còng nh kÌm cÆp c¸c em häc sinh yÕu kÐm m«n to¸n lµ mét yªu cÇu tÊt yÕu kh«ng thÓ thiÕu cña m«n to¸n nãi chung.ChÝnh v× lÏ ®ã mµ viÖc båi dìng n©ng cao kiÕn thøc cho häc sinh lµ rÊt cÇn thiÕt víi häc sinh THCS lµm tiÒn ®Ò cho c¸c em sau nµy. Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc THCS , t«i thÊy phÇn gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®îc ®Ò cËp trong SGK còng t¬ng ®èi nhiÒu ®Æc biÖt lµ c¸c s¸ch n©ng cao dµnh cho c¸c häc sinh kh¸,giái. Mµ häc sinh vËn dông phÇn nµy cßn rÊt kÐm. ChÝnh v× vËy mµ t«i chän ®Ò tµi “ Mét sè ph ¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” ®Ó nghiªn cøu thùc tÕ. II.thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu: 1.Thùc tr¹ng: ë trêng THCS, c¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn gi¶i ph¬ng tr×nh nghiªm nguyªn xuÊt hiÖn nhiÒu ë líp 8, 9 ®Æc biÖt lµ ë líp 9. Nh×n chung ®a sè häc sinh chØ n¾m ®îc mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®¬n gi¶n.ViÖc ®i s©u vµo c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn th× hÇu hÕt c¸c em rÊt lóng tóng ®«i khi cßn bÕ t¾c. Cô thÓ t«i ®· ®a ra bµi to¸n nh sau: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x + y = xy 2.KÕt qu¶ : Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t ë 2 líp 9A, 9B t«i thÊy cã nh÷ng vÊn ®Ò sau: - Kh¶ n¨ng t duy cña häc sinh cßn h¹n chÕ - C¸ch tr×nh bµy lêi gi¶i cho mét bµi to¸n cßn kÐm - Kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cha cao. - Cã nh÷ng häc sinh kh«ng ®Þnh híng ®îc c¸ch lµm. KÕt qu¶ cô thÓ: SÜ Sè dù §iÓm §iÓm §iÓm §iÓm §iÓm Líp sè Ks¸t 0,1,2 3,4 5,6 7,8 9,10 9A 30 30 5 10 10 4 1 9B 29 29 8 16 4 1 0 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 1 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Tõ thùc tr¹ng trªn, ®Ó chÊt lîng gi¶ng d¹y ®¹t hiÖu qu¶ cao h¬n t«i m¹nh d¹n nªu ra mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mang tÝnh hÖ thèng ®Ó gióp häc sinh cã thÓ tæng hîp ®îc kiÕn thøc, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kÜ n¨ng t duy, biÕt vËn dông kiÕn thøc vµo gi¶i c¸c bµi tËp vµ ®Æc biÖt trong viÖc båi dìng häc sinh giái còng nh c¸c k× thi kh¸c. Ngoµi ra ®ã còng lµ t liÖu tù häc båi dìng cho b¶n th©n. §Ò tµi: “ Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn” nh»m : - Trang bÞ cho häc sinh líp 8,9 mét c¸ch cã hÖ thèng, mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn nh»m gióp häc sinh cã kh¶ n¨ng vËn dông tèt d¹ng to¸n nµy. - Häc sinh cã kÜ n¨ng gi¶i mét bµi to¸n ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mét c¸ch thµnh th¹o. - Ph¸t huy kh¶ n¨ng suy luËn, ãc ph¸n ®o¸n tÝnh linh ho¹t cña häc sinh. - ThÊy ®îc vai trß quan träng cña viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ®Ó tõ ®ã gi¸o dôc ý thøc häc tËp cho häc sinh. B . Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I . C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn : 1 . §äc s¸ch tham kh¶o , ®Ò thi häc sinh giái c¸c n¨m , truy cËp internet ®Ó xem c¸c th«ng tin liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ,trao ®æi víi ®ång nghiÖp vÒ nh÷ng vÊn ®Ò liªn quan ®Õn bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn . 2 . Lùa chän , ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n nghiÖm nguyªn ®iÓn h×nh ®Ó híng dÉn häc sinh gi¶i . 3 . Hµng th¸ng giao bµi cho häc sinh kh¸ , giái lµm sau ®ã kiÓm tra , ®¸nh gi¸ ®Ó t×m ra häc sinh cã n¨ng khiÕu nh»m tiÕp tôc båi dìng cho c¸c em trë thµnh häc sinh giái m«n To¸n II . C¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn : Híng dÉn häc sinh n¾m ®îc c¸c ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn . * Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa c¸c Èn x , y, z ,….. víi nghiÖm nguyªn lµ t×m tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn ( x , y , z ,…. ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ®ã . Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 2 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn thêng thùc hiÖn hai bíc : Bíc 1 : Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn ( x0 , y0 , z0 ….) , ta suy ra c¸c Èn ph¶i nhËn c¸c gi¸ trÞ nµo ®ã . Bíc 2 : Thö l¹i c¸c gi¸ trÞ ®ã cña Èn ®Ó kh¼ng ®Þnh tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh * Mét ph¬ng tr×nh víi nghiÖm nguyªn cã thÓ v« nghiÖm ,cã h÷u h¹n nghiÖm , cã v« sè nghiÖm .Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm nguyªn , c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh thêng ®îc biÓu thÞ bëi c«ng thøc cã chøa tham sè lµ mét sè nguyªn . Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ d¹ng tÝch §èi víi ph¬ng ph¸p nµy ta biÕn ®æi vÒ d¹ng: VÕ tr¸i lµ tÝch cña c¸c ®a thøc chøa Èn, vÒ ph¶i lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn. ThÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh y3 - x3 = 91 (1) 2 2 Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) <=> (y - x) (y + xy + x ) = 91 (*) V×: y2 + xy + x2 > 0 víi mäi x, y nªn tõ ph¬ng tr×nh (*) suy ra y - x > 0 MÆt kh¸c: 91 = 1.19 = 7 . 3 vµ y - x; y 2 + xy+ x2 ®Òu nguyªn d¬ng nªn ta cã 4 kh¶ n¨ng sau: y  x 91  (I )  2 2  x  xy  y 1 y  x 1  ( II )  2 2  x  xy  y 91 y  x 13  ( III )  2 2  x  xy  y 7 y  x 7  ( IV )  2 2  x  xy  y 13 Gi¶i (1): HÖ v« nghiÖm Gi¶i (II): HÖ cã 2 nghiÖm lµ (5; 6)vµ (-6; -5) Gi¶i (III): HÖ v« nghiÖm Gi¶i (IV): HÖ cã 2 nghiÖm lµ: (-3; 4) vµ (-4; 3) VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cã nghiÖm nguyªn (x;y) lµ: (x; y)  {(5; 6) ; (-6;-5) ; (-3; 4) ; (-4; 3)} ThÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn a) x + y = xy b) P(x + y) = xy víi p lµ sè nguyªn tè. Lêi gi¶i: a) x + y = xy<=> xy - x - y + 1 = 1 <=> (x - 1)(y - 1) = 1  x  1 1  x 2    y  1 1  y 2 hoÆc  x  1  1   y  1  1  x 0   y 0 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ: (2;2) vµ (0;0) b) Gi¶ sö x  y (V× x;y cã vai trß nh nhau) Khi ®ã P(x + y) = xy <=> xy - px - py + p2 <=> (x - p)(y - p) = p2 Ta ph©n tÝch p2 = p.p = (-p)(-p) = 1.p2 = (-p2)(-1) Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 3 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Suy ra:  x  p p (I )   y  p p  x  p  p ( II )   y  p  p  x  p 1 ( III )  2  y pp  x  p p 2 ( IV )   y  p 1  x  p  p 2 (V )   y  p  1  x  p  1 (VI )  2  y  p  p Gi¶i c¸c hÖ trªn ta ®îc:  x 2 p (I )   y 2 p  x 0 ( II )   y 0  x 1  p ( III )  2  y p  p  x p 2  p ( IV )   y 1  p  x p  p 2 (V )   y p  1  x p  1 (VI )  2  y p  p Tõ ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm nguyªn lµ: (2p; 2p); (0; 0); (1+p; p2 + p); (p2 + p; 1 + p); (p - p2;p - 1); (p - 1; p - p2). ThÝ dô 3: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh 3x3- xy= 5 (2) Lêi gi¶i: Ta cã ph¬ng tr×nh (2) <=> x(3x2 - y) = 5 <=> x (3x2 - y)= 1.5 V× 5 lµ sè nguyªn tè nªn ta ph¶i cã:  x 1 hoÆc  2  3x  y 5  x 5  2  3x  y 1 + NÕu x = 1 th× y = -2 (lo¹i) + NÕu x = 5 th× y = 74 VËy ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm tù nhiªn lµ (5; 74) Ph¬ng ph¸p 2: S¾p thø tù c¸c Èn. NÕu c¸c Èn x; y; z.... cã vai trß b×nh ®¼ng ta cã thÓ gi¶ sö x y  z  ... ®Ó t×m c¸c nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµy. Tõ ®ã dïng phÐp ho¸n vÞ ®Ó suy ra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. ThÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x + y +z = xyz (4) Lêi gi¶i: Do vai trß b×nh ®¼ng cña x; y; z trong ph¬ng tr×nh Tríc hÕt ta xÐt x  y  y  z v× x; y; z nguyªn d¬ng nªn xyz  0, do x  y  z suy ra xyz = x + y + z  3z => xy  3 =>  {1; 2; 3} + NÕu xy = 1 => x = y = 1 thay vµo ph¬ng tr×nh (4) ta cã: 1 +2 + z = z <=> 2+ z = z (v« lý) Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 4 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên + NÕu xy = 2 do x  y nªn x = 1 vµ y= 2 thay vµo ph¬ng tr×nh (4) ta cã: 1 + 2 + z = 1.2.z <=> 3 + z = 2z => z = 3 + NÕu xy = 3 do x  y nªn x = 1 vµ y = 3. Thay vµo ph¬ng tr×nh (4) ta cã 1 + 3 + z = 3z <=> 4 + z =3z => z = 2 VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ c¸c ho¸n vÞ cña (1; 2; 3) ThÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 1 1 1   2 x y z (5) Lêi gi¶i: Do vai trß b×nh ®¼ng cña x; y; z trong ph¬ng tr×nh Tríc hÕt ta xÐt x  y  z. Ta cã: 1 1 1 1 2    3. x y z x suy ra 3 x   x 1 2 Thay x = 1 vµo ph¬ng tr×nh (5) ta cã: 1 1  1 2 x z Suy ra: HoÆc y 1 y 2  1 0 z 1 1 suy ra 1 x  z  2 y suy ra y  2 (v« lý) 1 1   z 2 z 2 VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh (5) lµ c¸c ho¸n vÞ cña (1; 2; 2) ThÝ dô 6: Mét tam gi¸c cã sè ®o cña ®êng cao lµ c¸c sè nguyªn vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp b»ng 1. Chøng minh r»ng tam gi¸c ®ã ®Òu. Lêi gi¶i: §Æt a = BC; b = AC; c = AB> Gäi x; y; z lµ ®é dµi c¸c ®êng cao t¬ng øng víi c¸c c¹nh a; b; c cña tam gi¸c. B¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp b»ng 1 A nªn x; y; z > 2 Gi¶ sö: 2< x  y  z DiÖn tÝch tam gi¸c ABC: 1 1 1 S  ax  by  cz 2 2 2 (6) MÆt kh¸c: S = SABO + SAOC + SBOC = 1/2 (a + b + c)(*) (V× b¸n kÝnh ®êng trßn b»ng 1) B Tõ(6) vµ (*) suy ra ax = by = cz = a + b + c suy ra: Suy ra c b a C a b c a b c    1 1 1 1 1 1   x y z x y z 1 1 1 3   1   x 3  x 3 x y z x v× x > 2 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 5 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Tõ 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2   1         y 3 x y z y z 3 3 y z y Tõ 1 1 1 1 1 1 1 1   1    1   z 3 x y z 3 3 z z 3 VËy x = y = z = 3. Khi ®ã a = b =c Nªn tam gi¸c ABC ®Òu (®pcm) Ph¬ng ph¸p 3: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt Ph¬ng ph¸p nµy sö dông tÝnh chÊt chia hÕt ®Ó chøng minh ph¬ng tr×nh v« nghiÖm hoÆc t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. §Ó chøng minh ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn b»ng c¸ch chøng minh hai vÒ cña ph¬ng tr×nh khi chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c nhau. + Sö dông c¸c tÝnh chÊt chia hÕt + C¸c dÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 3; 5; 9 + Khi gi¶i bµi to¸n ta cÇn sö dông ®Õn tÝnh ch½n lÎ ThÝ dô 7: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 - 2y2 = 5 (7) 2 Lêi gi¶i: Tõ ph¬ng tr×nh (7) ta thÊy 2y lµ sè ch½n mµ 5 lµ sè lÎ nªn x 2 ph¶i lµ sè lÎ. VËy x cã d¹ng x = 2k + 1 (k  z). Thay x vµo (7) ta ®îc 4k2 + 4k = 1 - 2y2 = 5 <=> 4k2 - 4k - 4 = 2y2 <=> 2(k2 + k - 1) = y2 v× 2(k2 + k - 1) lµ sè ch½n Suy ra y2 lµ sè ch½n => y lµ sè ch½n §Æt y = 2t (t  z) ta cã: 2(k2 + k - 1) = 4t2 <=> k2 + K - 1 = 2t2 <=> k2 + k = 2t2 + 1 <=> k(k + 1)= 2t2 + 1 (**) 2 NhËn xÐt: k(k + 1) lµ sè ch½n mµ 2t + 1 lµ sè lÎ suy ra ph¬ng tr×nh (**) v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh (7) v« nghiÖm ThÝ dô 8: Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn x; y; z tho¶ m·n x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (8) Lêi gi¶i: Ta cã: x3 - x = (x - 1) x (x + 1) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp (v× x lµ sè nguyªn). Do ®ã ta cã x3 - x chia hÕt cho 3. T¬ng tù: y3 - y vµ z3 - z còng chia hÕt cho 3. tõ ®ã ta cã: V× 2000 kh«ng chia hÕt cho 3 nªn x3 + y3 + z3 - x - y - z  2000 víi mäi sè nguyªn x; y; z tøc lµ ph¬ng tr×nh (8) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 6 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ThÝ dô 9: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh xy + x - 2y = 3 (9) Lêi gi¶i: Tõ ph¬ng tr×nh (9) <=> y(x - 2) =-x + 3 V× x = 2 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn suy ra: y   x 3 1  y  1  x 2 x 2 Ta thÊy y lµ sè nguyªn khi vµ chØ khi x - 2 lµ íc cña 1. <=> x - 2 =  1 <=> x - 2 = 1 hoÆc x - 2 =-1 suy ra x = 3 hoÆc x = 1 Tõ ®ã ph¬ng tr×nh (9) cã nghiÖm nguyªn (x; y) lµ (1; -2) vµ (3; 0) ThÝ dô 10: T×m c¸c ch÷ sè x; y; z tho¶ m·n xyz  xzy  zzz (10) Lêi gi¶i: Ta cã: (10) <=> 100x +10y + z + 100x + 10z + y = 111z <=> 200x + 11y = 100z <=> 100(z - 2x)= 11y 100 V× (11; 100) = 1 suy ra y 100, y lµ sè cã mét ch÷ sè suy ra y = 0 Khi ®ã z = 2x => z = 2; 4; 6; 8 øng víi x =1; 2; 3; 4 v× x; y; z lµ sè cã mét ch÷ sè. VËy ta cã c¸c sè tho¶ m·n (10) lµ: (x; y; z)  {(1; 0; 2); (2; 0; 4); (3; 0; 6); (4; 0; 8)} Hay c¸c sè 102; 204; 306; 408 ®Òu tho¶ m·n Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông bÊt ®¼ng thøc. Ph¬ng ph¸p nµy lµ sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó ®¸nh gi¸ mét Èn vµ tõ sù ®¸nh gi¸ nµy suy ra c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña Èn nµy. C¸c bÊt ®¼ng thøc thêng dïng lµ: 1) (a + b)2  0 víi mäi a; b  Z 2) a - b2  0 víi mäi a; b  Z 3) BÊt ®¼ng thøc C«si: Cho n sè kh«ng ©m a1; a2; a3; ... an th×: a1  a 2  a 3  ...  a n  n n a1 a 2 a3 ...a n DÊu "=" x¶y ra khi a1 = a2 = a3 ... an 4) BÊt ®¼ng thøc Bunhiacèp xki Cho 2 sè thùc a1; a2; a3; ... an; b1; b2; b3; ...bn ta cã (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)2  (a12 + a22 + ...an2) (b12 + b22 + ... + bn2) DÊu "=" x¶y ra khi ai = kbi ( i = 1; 2...n) k lµ sè thùc Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 7 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ThÝ dô 11: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2 - xy + y2 = 3  xy y 2   x 2  2.  2 4  Lêi gi¶i: Ta cã (11): y    x2   2   V× (11) 2 3   y2    y 2 3 4  3y 2 4 2 y 3y 2  2 0   2 y 2 x   0  3  2 4  Khi ®ã y chØ cã thÓ nhËn c¸c gi¸ trÞ -2; -1; 1; 0; 2 lÇn lît thay c¸c gi¸ trÞ y = 2; 1; 0 vµo ph¬ng tr×nh (11) ®Ó tÝnh x. Ta cã c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: (x; y)  {(-1; -2); (1; 2); (-2; -1); (2; 1); (-1; 1); (1; -1)} ThÝ dô 12: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh xy yz xz   3 z x y (12) Lêi gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si: Ta cã: (12)  3xyz x y  y z  x z 2 Suy ra: 2 2 2 2 2 3 3 3 xyz 3 xyz 3 xyz  1 3 xyz x 4 y 4 z 4 3 xyz 3 xyz suy ra xyz  1 Suy ra: x=y=z=1 VËy (12) cã nghiÖm nguyªn d¬ng lµ: (1; 1; 1) ThÝ dô 13: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) (13) Lêi gi¶i: Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèp xki tõ ph¬ng tr×nh (13) ta cã: (x + y + 1)2  3(x2 + y2 + 1) (12 + 12 + 12) = 3(x2 + y2 + 12) DÊu "=" x¶y ra khi x = y = 1 C¸ch kh¸c: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi x2 + y2 + 1 + 2xy + 2y + 2x = 3x2 + 3y2 + 3 <=> 2x2 + 2y2 - 2xy = 2x- 2y + 2 = 0 <=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2y + 1) + (x - 1)2 = 0 (13) <=> (x - y)2 + ( (y - 1)2 + (x - 1)2  0 V× (x - y)2  0; (y - 1)2 ; (x - 1)2  0 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 8 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên  x  y 0  x  y   Nªn "=" x¶y ra khi y  1 0  y 1  x y 1    x  10  x1   VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ: x = y = 1 Ph¬ng ph¸p 5: §a vÒ d¹ng tæng Ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: VÕ tr¸i lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng, vÕ ph¶i lµ tæng cña c¸c sè chÝnh ph¬ng. D¹ng tæng qu¸t. A12 + A22 + ... +A2n = n12 + n22 + ... + nk2 (***) (n Z); n lµ h»ng sè Khi ®ã ta cho ®ång thêi c¸c ho¸n vÞ cña Ai2 = ni2 suy ra Ai = ni NÕu n = 0 th× (***) thµnh A12 + A22 + ...+An2= 0 th× A1 = A2 = A3 = ... = An = 0 ThÝ dô 14: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x 2 + y2 - x - y = 8 (14) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (14) <=> 4x2 + 4y2 - 4x - 4y = 32 <=> (4x2 - 4x + 1) + (4y2 - 4y +1) = 34 <=> 2x - 12 + 2y - 12 = 32 + 52 B»ng ph¬ng ph¸p thö chän ta thÊy 34 chØ cã duy nhÊt mét d¹ng ph©n tÝch thµnh tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng lµ 32 vµ 52. Do ®ã ph¬ng tr×nh tho¶ m·n chØ cã hai kh¶ n¨ng.  2 x  1 3   2 y  1 5 hoÆc  2 x  1 5   2 y  1 3 Gi¶i c¸c hÖ trªn suy ra ph¬ng tr×nh (14) cã bèn nghiÖm nguyªn lµ: (x; y)  {(2; 3); (3; 2); (-1; -2); (-2; -1)} ThÝ dô15: H·y t×m c¸c ch÷ sè x; y nÕu xy ( x  1) 2  ( y  1) 2 (15) Lêi gi¶i: Tõ ®Ò bµi ta thÊy râ rµng x, y ph¶i lµ c¸c sè tù nhiªn vµ x; y > 0 x; y lµ sè cã mét ch÷ sè. Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 9 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh (15) thµnh x2 + y2 - 2x- 2y +2 =10x + y <=> x2 - 12x + y2 - 3y + 2 = 0 <=> (x - 6)2 + (y - 3 2 )2 - 36 - 9 4 +2=0 <=> 4(x - 6)2 + (2y -3)2 = 145 <=> (2x - 12)2 + (2y -3)2 = 145 Ta t×m mäi biÓu thøc biÓu diÔn cña sè 145 díi d¹ng tæng cña 2 sè chÝnh ph¬ng mµ mét trong hai sè trong chóng lµ mét sè ch½n. 145 = 144 + 1= 100 + 45 = 64 + 81= 36 + 109 = 16 + 129 = 4 + 141 ChØ cã cÆp (64; 81) lµ tho¶ m·n VËy chØ cã mét kh¶ n¨ng duy nhÊt lµ:  (2 x  12) 2 8 2   (2 y  3) 2 9 2 hoÆc  2 x  12 8   2 y  3 9 V× x, y > 0 vµ x, y lµ sè cã mét ch÷ sè nªn suy ra x = 2 vµ y = 6 VËy x; y cÇn t×m lµ x = 2 vµ y = 6 ThÝ dô 16: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2 + 2y2 + 2z2 - 2yz - 2xy + 4= 4z (16) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (16) <=> (x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) + (z2 - 4z+ 4) <=> (x - y)2 + (y - z)2 + (z - 2)2 = 0 VËy x - y = y -z = z -2= 0 Hay x = y = x = 2 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ (2; 2; 2) Chó ý: §èi víi ph¬ng ph¸p nµy còng ®· b¾t gÆp ë PT (13) ë thÝ dô (13) Ph¬ng ph¸p 6: Lïi v« h¹n ThÝ dô 17: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2 - 5y2 = 0 (17) Lêi gi¶i: Gi¶ sö (x0; y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (17) th× x02 - 5y02= 0 suy ra x0 Ta cã: 5. §Æt x0 = 5x1 (x1  Z) 25x12 - 502 = 0 suy ra 5x12 - y02 = 0 suy ra y0 5 §Æt y0 = 5y1; (y0  Z). Tõ ®ã ta cã: 5x12 - 25y12 = 0 suy ra x12 - 5y12 = 0 x y VËy nÕu (x0; y0) lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (17) th×  0 ; 0  còng lµ  5 5  nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (17) Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 10 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên  x0 y 0  ; k  víi k nguyªn d¬ng bÊt k×, còng lµ k 5 5  TiÕp tôc lËp luËn t¬ng tù, ta cã  nghiÖm cña (17), hay (x0; y0) ®Òu chia hÕt cho 5k víi mäi k lµ sè nguyªn d¬ng tuú ý. §iÒu nµy chØ x¶y ra khi x0 = y0 = 0 VËy ph¬ng tr×nh (17) cã nghiÖm duy nhÊt lµ: x = y = 0 ThÝ dô 18: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x3 - 3y3 - 9z3 = 0 Lêi gi¶i: Gi¶ sö (x0; y0; z0) lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (18) khi ®ã x0 = 3 §Æt x0 = 3x1. Thay vµo ph¬ng tr×nh (18) ta ®îc 9x13 - y03 - 3z03 = 0 suy ra y0 3, ®Æt y0 = 3y1, khi ®ã 9x13 - 27y13 - 3z03 = 0 suy ra 3x13- 9y03 - z03 = 0 suy ra z0 = 3z1 Thay z0 = 3z1 vµo 3x13- 9y03 - z03 = 0 ta ®îc x13 - 3y03 - 9z03 = 0 x y z Nh vËy  0 ; 0 ; 0  còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh  3 3 3   x0 y 0 z 0  ; k ; k  lµ sè nguyªn víi mäi sè k k 3 3 3  Qu¸ tr×nh cø tiÕp tôc m·i, c¸c sè  nguyªn, do ®ã x0 = y0 = z0 = 0 VËy ph¬ng tr×nh (18) cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ: (0; 0; 0) Ph¬ng ph¸p 7: XÐt ch÷ sè tËn cïng. ThÝ dô 19: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1! + 2! + 3! + ... + x! = y2 (19) Lêi gi¶i: Cho x lÇn lît b»ng 1; 2; 3; 4 ta cã ngay 2 nghiÖm nguyªn d¬ng (x; y) cña ph¬ng tr×nh lµ: (1; 1) vµ (3; 3) + NÕu x > 4 th× dÔ dµng thÊy k! víi k > 4 ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0. => 1! + 2! + 3! + ... + x! = 33 + 5! + ... + x! cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 3. MÆt kh¸c vÕ ph¶i lµ mét sè chÝnh ph¬ng nªn kh«ng thÓ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 3. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ: (x; y)  {(1; 1) ; (3; 3)} ThÝ dô 20: T×m x; y nguyªn d¬ng tho¶ m·n ph¬ng t×nh x2 + x - 1 = 32y + 1 (20) Lêi gi¶i: V× x; y lµ nguyªn d¬ng nªn ta cho x nhËn c¸c gi¸ trÞ tõ 1 ®Õn 9 th× ta dÔ dµng x¸c ®Þnh ®îc ch÷ sè tËn cïng cña x2 + x - 1 chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ lµ: 1; 5; 9 MÆt kh¸c: ta thÊy 32y + 1 lµ luü thõa bËc lÎ cña 3 nªn ch÷ sè tËn cïng chØ cã thÓ lµ 3 hoÆc lµ 7. Kh¸c víi : 1; 5 ; 9 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 11 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên VËy ph¬ng tr×nh (20) kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng Chó ý: bµi to¸n nµy còng cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p chia hÕt Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ. + §èi víi ph¬ng ph¸p nµy ta sö dông tÝnh chÊt: + NÕu cã sè nguªyn m sao cho m2 < n < (m + 1)2 th× m kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. ThÝ dô 21: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2+ (x + 1)2 = y4 + (y + 1)4 (21) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (21) <=> x(x + 1) = y4 + 2y3+3y2 + 2y <=> x(x + 1) = y2(y + 1)2 + 2y(y + 1) <=> x2 + x + 1 =(y2 + y + 1)2 (21)' a) NÕu x > 0 th× tõ x2 < x2 + x + 1 < (x + 1)2 suy ra (21)' kh«ng nghiÖm nguyªn víi x > 0 b) NÕu x = 0 hoÆc x = -1 th× tõ (21)' suy ra y2 + y + 1 =  1 => y = 0 hoÆc y = -1 Ta cã nghiÖm (0; 0); (0; -1); (-1; 0); (-1; 1) c) NÕu x < -1 th× tõ (21)' => (x +1)2 < (x2 + x + 1) < x2 => Ph¬ng tr×nh (21)' kh«ng cã nghiÖm nguyªn khi x < -1 Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (21) cã 4 nghiÖm nguyªn lµ: (0; 0); (0; -1); (-1; 0); (-1; -1) ThÝ dô 22: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x6 + 3x3 + 1 = y4 Lêi gi¶i: Râ rµng víi x = 0; y =  1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, ta chøng minh ®ã lµ hai nghiÖm duy nhÊt. + Víi x > 0: (x3 + 1)2 = x6+ 2x3 +1 < x6 + 3x3 +1 = y4 < x6 + 4x3 + 4 = (x3 + 2)2 Suy ra (x3 + 1)2 < y2 < x3 + 2 v« lý + Víi x < -2; (x3 + 2)2 < x6 + 3x2 + 2 = y4 < x6 + 2x3 +1 = (x3 + 1)2 Suy ra x3 + 2 < y2 <  x3 + 1 v« lÝ + Víi x = -1; y4 = -1 v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm nguyªn lµ: (0; 1); (0; -1). Ph¬ng ph¸p 9: Sö dông tÝnh chÊt sè nguyªn tè + §Þnh lý Fer mat. Víi p lµ sè nguyªn tè ta cã: ap  a (modp) + §Æc biÖt nÕu (a ; b) = 1 th× ap-1  1 (modp) Chøng minh: Gi¶ sö pP (P tËp hîp sè nguyªn tè) vµ (a ; p) = 1 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 12 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên C¸c sè d khi chia: a; 2a; ….; (p-1)a cho p sÏ ®«i mét kh¸c nhau vµ lµ nh÷ng sè trong c¸c sè: 1; 2; 3; ….; (p-1). Gäi r1 ; r2 ; ….; rp-1 lµ d t¬ng øng trong phÐp chia: a; 2a; ….; (p-1)a cho p   r1 (mod  )  2 r (mod  )  2 Ta cã:   ...............    1) r  1 (mod  ) Nh©n t¬ng øng c¸c ®ång d nµy ta ®îc: (p-1)!ap-1  r1 r2 …rP-1(modp) hay (p-1)!ap-1  (p-1)! (modp). Suy ra ap-1  1 (modp). V× ((p-1)!; p) = 1 + TÝnh chÊt 1: Víi mäi sè nguyªn a sè a2 + 1 kh«ng cã íc nguyªn tè d¹ng 4k + 3 Chøng minh: Gi¶ sö a2 + 1 =cã íc nguyªn tè d¹ng p=4k + 3, (kZ) Khi ®ã pp-1 + 1 = a4k + 2 + 1 = (a2)2k+1 + 1 a2 p MÆt kh¸c theo ®Þnh lÝ Fer mat ap-1 - 1 p tõ ®ã suy ra 2 p Do ®ã p = 2 kh«ng cã d¹ng 4k + 3 (kZ) + TÝnh chÊt 2: Cho p lµ sè nguyªn tè d¹ng 4k + 3; a; b lµ sè nguyªn + NÕu a2 + b2 p th× a p Chøng minh: ta cã ap-1  1 (modp) suy ra a4k + 2  1 (modp) Bp-1  1 (modp) suy ra b4k+2  1 (modp) Suy ra a4k+2 + b4k+2  2 (modp) suy ra p = 2. VËy a p; b p (®pcm) ThÝ dô 23: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh. x2 - y3 = 7 (23) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (23)  x2 + 1 = y3 + 8  x2 + 1 = (y + 2 ) (y2 - 2y + 4) + NÕu y ch½n th× x2 + 1 4  x2  3 (mod4) v« lÝ + NÕu y lÎ th× y2 - 2y + 4 + (y-1)2 + 3 cã d¹ng 4k + 3 nªn ph¶i cã mét íc nguyªn tè cã d¹ng ®o (v× tÝch c¸c sè cã d¹ng 4k + 1 sÏ cã d¹ng 4k + 1). + Do ®ã x2 + sÐ cã íc nguyªn tè d¹ng 4k + 3, v« lÝ VËy ph¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm nguyªn. ThÝ dô 24: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 19x2 + 28y2 = 729 (24) Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 13 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Lêi gi¶i: Ta cã (24)  18x2 + 27y2 + x2 + y2 = 3.243 Suy ra x2 + y2 3 suy ra x vµ y 3. 3 §Æt x = 3u ; y = 3v; vZ Thay x = 3u; y = 3v vµo ph¬ng tr×nh (24) ta rót gän ®îc 19u2 + 28v2 = 81 §Æt u = 3u1; v = 31; thay vµi (24) ta ®îc: 19u1 + 28v1 = 9 T¬ng tù u1 = 3u2; v1 = 3v1 ta cã: 19u2 + 28v2 = 1. V« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm nguyªn. ThÝ dô 25: Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp n sè nguyªn X2 + 24x + 4y2 = 37 (25) Gi¶i: Ta cã (25)  x2 + 2x + 1 + 4y2 = 38  (x+ 1)2 + (2y)2 = 38 19 (d¹ng 4k + 3) (x + 1) 19  (x+ 1)2 + (2y) 19 vµ (2y) 192 v« lÝ VËy ph¬ng tr×nh (25) v« nghiÖm. Ph¬ng ph¸p 10: Sö dông tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai, coi c¸c Èn kh¸c lµ tham sè, sö dông c¸c tÝnh chÊt vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè. ThÝ dô 26: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x2 + y2 + 4xy + 2y + 5 = 0 (26) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (26)  y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + 5 =0 Ta thÊy nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn th× y nguyªn MÆt kh¸c: y' = (2x + 1)2 - (3x2 + 4x + 5) = x2 + 1 Khi ®ã: y' ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. Ta ®Æt: y' - n2 suy ra x2 - 4 = n2 (nZ) §Õn ®©y ta dïng ph¬ng ph¸p 1 (®a vÒ d¹ng tÝch) suy ra: x2 - 4 = n2 suy ra (x+n)(x-n) = 4. Ta x¸c ®Þnh ®îc x±2 Thay x = ±vµo ph¬ng tr×nh (26) ta tÝnh ®îc +x = 2 suy ra y=-5 +x = -2 suy ra y = 3 VËy ph¬ng tr×nh (27) cã nghiÖm nguyªn x1; x2 th× theo ®Þnh lÝ vi Ðt ta cã:  x1  x2  y  5    x1 x2 5 y  2  5x1  5x2 5 y  25   x1 x2 5 y  2 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 14 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên  5x1 +5x2 = x1x2 -2 + 25  (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1)(-2) Suy ra x1 + x2 = 13 hoÆc x1 + x2 = 7 Suy ra y = 8 hoÆc y = 2. Thay vµo ph¬ng tr×nh (27) ta cã: + NÕu y = 8 th× (27)  x2 - 13x + 40  x1 = 7; x2 = 6 + NÕu y = 2 th× (27)  x2 - 7x + 12  x3 = 4; x4 = 3 VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm nguyªn (x;y)   (7;8); (6;8); ( 4;2); (3;2) Chó ý: §èi víi ph¬ng ph¸p nµy khi ta biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh bËc hai cña Èn nµo ®ã, coi c¸c Èn kh¸c lµm tham sè. Khi tÝnh biÓu thøc  mµ ra ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè a<0 ta cã thÓ cho  0 ®Ó t×m miÒn gi¸ trÞ cña biÕn sè. ThÝ dô 28: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 3(x2 + xy + y2) = x + 8y (28) Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh (28)  3x2 + (3y - 1)x +3y2 = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  x = (3x - 1)2 - 12(3y2 - 8y)  0  - 27y2 + 90y + 1 0  27y2 - 90y - 1  0 y' = (-45)2 + 27 = 2052 >0  45  2052 27 y 45  2052 27 Do y nguyªn nªn tõ ®©y suy ra 0 y3, hay y  0,1,23 + Víi y = 0 suy ra x = 0 + Víi y = 1 suy ra x = 1 + Víi y = 2 vµ y = 3 kh«ng t×m ®îc x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm nguyªn lµ: (0;0); (1;1). Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 15 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên c. kÕt luËn I.KÕt qu¶ nghiªn cøu: Víi nh÷ng kinh nghiÖm võa tr×nh bµy ë trªn, sau nhiÒu n¨m d¹y To¸n , b¶n th©n thÊy: Khi d¹y phÇn gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kÕt qu¶ thu ®îc nh sau: 1. KiÕn thøc: Häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét c¸ch tho¶i m¸i, chñ ®éng, râ rµng, cã hÖ thèng, häc sinh ®· ph©n biÖt vµ nhËn d¹ng ®îc c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn vµ tõ ®ã hÇu hÕt gi¶i ®îc c¸c bµi tËp phÇn nµy, xo¸ ®i c¶m gi¸c khã vµ phøc t¹p ban ®Çu lµ kh«ng cã quy t¾c gi¶i tæng qu¸t. Qua ®ã rÌn luyÖn cho häc sinh trÝ th«ng minh, s¸ng t¹o, c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ kh¸c vµ häc sinh còng thÊy ®îc d¹ng to¸n nµy thËt phong phó chø kh«ng ®¬n ®iÖu, gióp häc sinh høng thó khi häc bé m«n nµy. 2. KÜ n¨ng: Khi gÆp c¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt häc sinh ®· cã kh¶ n¨ng quan s¸t, ph©n tÝch ®a r© c¸ch gi¶i mét c¸ch hîp lÝ hiÖu qu¶ vµ nhanh nhÊt, vËn dông mét c¸ch linh ho¹t. 3. Th¸i ®é: Tõ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n ®ã c¸c em ®· cã ý thøc tù gi¸c vµ høng thó häc tËpngµy mét cao h¬n, ®a sè c¸c em cã nhu cÇu t×n tßi , n©ng cao kiÕn thøc. ChÝnh v× lÏ ®ã sè häc sinh kh¸ giái ngµy mét t¨ng lªn thÓ hiÖn qua c¸c n¨m häc. ChÊt lîng kh¶o s¸t N¨m häc Líp Tæng HS Giái Kh¸ Trung b×nh YÕu,KÐm 20082009 9A 9B 30 25 16,7% 8% 33,3% 20% 40% 60% 10% 12% 20092010 9A 9C 30 28 13,3% 7,1% 31,7% 28,4% 43,3% 57,4% 6,7% 7,1% Häc k× I 20102011 9A 9B 31 24 16,1% 8 ,3% 48,3% 41,6 % 19,5% 33,5% 16,1% 16,6 % 2.Bµi häc kinh nghiÖm: §Ó ®¹t ®ù¬c mét sè thµnh c«ng khi d¹y häc sinh gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn, t«i ®· rót ra mét sè kinh nghiÖm sau: 1. Gi¸o viªn: * Kh©u chuÈn bÞ cña gi¸o viªn lµ rÊt quan träng, cÇn chuÈn bÞ kü vµ chu ®¸o víi nhiÒu kh¶ n¨ng x¶y ra ®èi víi mét bµi to¸n. * CÇn ph©n d¹ng c¸c bµi to¸n mét c¸ch cã hÖ thèng vµ híng dÉn ph¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi tõng d¹ng. Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 16 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên * CÇn ®a ra c¸c bµi to¸n mang tÝnh ®Æc trng ®èi víi tõng ph¬ng ph¸p, vËn dông c¸c bµi to¸n t¬ng tù. *Mét bµi to¸n cã thÓ nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i kh¸c nhau vµ chän ra mét c¸ch gi¶i hay nhÊt. 2. Häc sinh: * Tõ viÖc ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn häc sinh ®· biÕt t×m tßi tham kh¶o tµi liÖu ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh¸c.Bªn c¹nh ®ã kh¶ n¨ng t duy, kh¶ n¨ng tr×nh bµy lêi gi¶i cña mét bµi to¸n tèt h¬n. * Häc sinh ®· cã ý thøc ®îc viÖc häc cña m×nh vµ lu«n cã nhu cÇu n©ng cao vµ më réng tri thøc.Häc sinh cã kh¶ n¨ng ph¸t huy n¨ng lùccña m×nh. * T¹o cho c¸c em cã nÒn t¶ng v÷ng ch¾c ®Ó cã thÓ häc lªn c¸c líp trªn.ý thøc ®¹o ®øc, tinh thÇn tr¸ch nhiÖm, tÝnh cÈn thËn cña c¸c em ®îc cñng cè vµ ph¸t triÓn. ThiÖu kh¸nh, ngµy 25 th¸ng 3 n¨m 2011 Ngêi viÕt ThiÒu thÞ Quúnh Lª Kính chào quý thầy cô và các bạn. Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp nhất. Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên, có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu của thầy cô. Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn Ngữ Văn. vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền lương mỗi tháng thu về sẽ được bao nhiêu. Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương. Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng tương đối nhiều. Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm rất nhiều lĩnh vực khác. Vậy tại sao chúng ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng. Điều này là có thể?. Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó. Tất nhiên mọi thứ đều có giá của nó. Để quý thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và biết sử dụng máy tính một chút. Vậy thực chất của việc này là việc gì và làm như thế nào? Quý thầy cô và các bạn hãy đọc bài viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc ngay thôi. Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 17 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Thầy cô chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng. Chắc chắn là có. Tuy nhiên trên internet hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín ( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao...). Nếu là web nước ngoài thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những web trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng ta hãy nhận những gì tương xứng với công lao của chúng ta, đó là sự thật. Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là : http://satavina.com .Lúc đầu bản thân tôi cũng thấy không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này. Nhưng giờ tôi đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn cứ tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng cách nạp thẻ điện thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn, chẳng ai tự nhiên mang tiền cho mình. Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu, chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm việc cho họ. Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. Thầy cô và các bạn làm như này nhé: 1/ Satavina.com là công ty như thế nào: Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh. GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT do Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố HCM. Khi thầy cô là thành viên của công ty, thầy cô sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê quảng cáo của các công ty quảng cáo thuê trên satavina) 2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau: Bước 1: Nhập địa chỉ web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, không nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện như sau: Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy đường linh sau: http://satavina.com/[email protected]&hrID=36522 Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 18 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ( Thầy cô và các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng kí thành viên mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và các bạn tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện ở bước 3 vì thời gian đăng kí không liên tục trong cả ngày, thầy cô và các bạn phải thật kiên trì). Bước 3: Nếu có giao diện hiện ra. thầy cô khai báo các thông tin: Thầy cô khai báo cụ thể các mục như sau: + Mail người giới thiệu( là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức): [email protected] + Mã số người giới thiệu( Nhập chính xác) : 00036522 Link giới thiệu trực tiếp: Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 19 S¸ng KiÕn Kinh NghiÖm : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên http://satavina.com/Register.aspx? [email protected]&hrID=36522 + Địa chỉ mail: đây là địa chỉ mail của thầy cô và các bạn. Khai báo địa chỉ thật để còn vào đó kích hoạt tài khoản nếu sai thầy cô và các bạn không thể là thành viên chính thức. + Nhập lại địa chỉ mail:..... + Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin ở mục: Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông tin này chỉ được nhập 1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến việc giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch được. + Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn..... + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền. Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy bắt tay vào việc đăng kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi. Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công. Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi trực tiếp hoặc mail cho tôi: LÊ THỊ TÂM – Phân viện Kinh Tế sinh thái Trung Bộ Email người giới thiệu: [email protected] Mã số người giới thiệu: 00036522 Link: http://satavina.com/[email protected]&hrID=36522 2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho thầy cô và các bạn: + Điểm của thầy cô và các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video quảng cáo. Nếu chỉ tích lũy điểm từ chính chỉ các thầy cô và các bạn thì 1 tháng chỉ được khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè của thầy cô và các bạn. 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem 1 quảng cáo video: 10 điểm/giây. (có hơn 10 video quảng cáo, mỗi video trung bình 1 phút) - Đọc 1 tin quảng cáo: 10 điểm/giây. (hơn 5 tin quảng cáo) _Trả lời 1 phiếu khảo sát.:100,000 điểm / 1 bài. _Viết bài.... Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ít nhất 5 phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng . - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này cũng dành 5 phút xem quảng cáo mỗi ngày, công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày. - Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thì bạn có 100 người (gọi là mức 2 của bạn), công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày. - Tương tự như vậy, công ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng. - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày Gi¸o viªn:ThiÒu ThÞ Quúnh Lª 20