Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình - đào chí thanh

Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình GIÁO VIÊN : ĐÀO CHÍ THANH Sưu tầm và biên soạn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Năm 2014 Email:[email protected] 1 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Nội dung : Hệ phương trình 1) Phương pháp thế. 2) Phương pháp cộng đại số. 3) Phương pháp biến đổi thành tích. 4) Phương pháp đặt ẩn phụ. 5) Phương pháp hàm số. 6) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Một số dạng hệ phương trình 1) Hệ bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. 2 x  y  4  0 x  2y  5  0 2 x  3 y  7  0 x  2y  4  0 a)  b)  x  y  z 1  0  c) 2 x  y  z  2  0  x  2 y  3z  4  0   x  y  z  1  0  d)  x  y  2 z  2  0  x  2 y  3z  4  0  2) Hệ gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc cao.  PP chung : Sử dụng phương pháp thế. - Hệ 2 phương trình. - Hệ 3 phương trình. 3) Hệ đối xứng loại 1.  PP chung : Đặt ẩn phụ a  ( x  y ); b  xy 4) Hệ đối xứng loại 2.  PP chung : Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : ( x  y ). f ( x; y )  0 5) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. PP chung : Có 2 cách giải - Đặt ẩn phụ y  t.x - Chia cả hai vế cho y 2 , và đặt t  x y CÁC KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG:  Rút một ẩn hay một nhóm ẩn… từ một phương trình thế vào phương trình còn lại trong hệ.  Phân tích một phương trình trong hệ về phương trình tích. Email:[email protected] 2 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình  Đưa một PT trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại coi là tham số.  Cộng hoặc trừ vế với vế, hoặc có thể nhân một hằng số thích hợp vào mỗi phương trình sau đó cộng hoặc trừ vế với vế. Mục đích: Tạo ra phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: Phương trình một ẩn, phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình tích, phương trình đẳng cấp… Một số phương pháp giải hệ phương trình I. Phương pháp thế. * Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại. * Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó. (1) 2 x  3 y  5 Bài 1 . Giải hệ phương trình  2 2 3 x  y  2 y  4 (2) Lời giải. 2 5  3y  5  3y  2 Từ (1) ta có x  thế vào (2) ta được 3    y  2y  4  0 2  2  59  3(25  30 y  9 y 2 )  4 y 2  8 y  16  23 y 2  82 y  59  0  y  1, y  23   31 59   Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1 ;   ;    23 23    2 x  y  1  0 Bài 2 Giải hệ phương trình sau :  2 2  x  2 y  3x  2 y  2  0 3 x3  (6  y ) x 2  2 xy  0 Bài 3 Giải hệ :  2  x  x  y  3 - PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) y  3  x 2  x thay vào PT (1). - Nghiệm (0; 3); (2;9) 3 x3  (5  y ) x 2  2 xy  2 x  0 Bài 4 a) Giải hệ :  2  x  x  y  4 - PT (2) là bậc nhất với y nên Từ (2) y  4  x 2  x thay vào PT (1). 3 x3  (6  y 2 ) x 2  2 xy 2  0 b) Giải hệ :  2 2  x  x  y  3  x 2  y 2  xy  1  4 y Bài 6 (Thử ĐT2012) Giải hệ :   y ( x  y)2  2 x 2  7 y  2 . - Từ (1) x 2  1  4 y  y 2  xy thay vào (2). Nghiệm (1; 2); (2;5) Email:[email protected] 3 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 4 3 2 Hệ phương trình 2  x  2 x y  x y  2 x  9 (1) Bài 7. Giải hệ phương trình  2 (2)  x  2 xy  6 x  6 Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế. Lời giải. TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2) 6x  6  x2 TH 2 : x  0, (2)  y  thế vào (1) ta được 2x 2  6x  6  x2  2  6 x  6  x2  x  2x   x    2x  9 2x 2x     x  0 (6 x  6  x 2 ) 2 4 2 2  x  x (6 x  6  x )   2 x  9  x( x  4)3  0   4  x  4 4 3  17  Do x  0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất  4;  4  Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau:  x 2  6 x  6  2 2 2  x  xy   2 x  9    2x  9   2  - Hệ    x2  6x  6 2 2  x  xy   2 x  6x  6  2  x  xy  2 - Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các phương pháp khác  x( x  y  1)  3  0 3  Bài 8 (D – 2009 ) Giải hệ :  . Từ (1) thế x  y   1và thay vào PT (2). 5 2 x ( x  y )  x 2  1  0  x 2  y 2  2( x  y )  7 Bài 9 Giải hệ :   y ( y  2 x)  2 x  10 HD : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : x 2  2 xy  4 x  2 y  3  0  ( x  1)( x  2 y  3)  0 Bài 10: (THTT 2009) Giải hệ phương trình  x 2  y  1 x  y  1  3 x 2  4 x  1 1  2  2  xy  x  1  x Hướng dẫn: x2  1 Cách 1: Ta thấy x  0 không thỏa mãn hệ  x  0 Từ PT (2) ta có y  1  thế vào PT x  2  (1) ta được PT: x  x  1 2 x  2 x  4  0 Email:[email protected] 4 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 5 2   KQ: Hệ có 2 nghiệm là: 1; 1 ,  2;   . 2 Cách 2: Từ PT (2) ta có xy  x  x  1 thế vào PT (1)… Bài tập tự luyện: Bài 1. Giải các hệ phương trình: ( PP Thế) 2 x 2 y  3 xy  4 x 2  9 y a)  2 7 y  6  2 x  9 x HD: Rút y từ PT (2) thế vào PT (1) và phân tích thành PT tích .  x  1 2  6  x  1 y  4 y 2  20 b)  2 2  x   2 y  1  2 2 2 HD: Thế x  4 y  1  4 y vào PT (1) và rút y  x9 thế vào PT (2). 3x  5 KQ: Hệ có nghiệm  1; 1 . xy  2x  3y  2 (1) Bài 2 a)  2 2 2 x y  3xy  12x  18y  16 b/ Giải hệ sau : xy  x  3y  1  2 2 x y  3xy  3x  9 y  4 ( 2) ( 2) (Đ/s ( -1; 2) (3 ; - 2/3 )) Đ/s ( -1;1) (3; -1/3) 2xy  4 x  3y  2 (1) ( Đ/s : -1/2 ; 2) ( 3/2; - 2/3 )  2 2 4 x y  3 xy  12 x  9 y  8 ( 2 )  xy  2 x  3y  2  0 (1) 2 xy  3 x  4 y  6 d/ Giải hệ sau : a)  2 b)  2 2 2 (2)  x  4 y  4 x  12 y  3 2x y  3xy  12x  18y  16 xy  (2 x  3y)  2 (1) HDẫn: hệ có dạng :  (2) (2x  3y) xy  6(2 x  3y)  16 c / Giải hệ sau : Email:[email protected] 5 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình II. Phương pháp cộng đại số. * Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau. * Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k.  x 2  5 y  4  0 Bài 1 Giải hệ phương trình  2  y  5 x  4  0 2  y 2 3 y   2  x Bài 2. Giải hệ phương trình  2 3 x  x  2 2  y  Lời giải. - ĐK: xy  0 3 x 2 y  y 2  2 - Hệ   2 2 3 y x  x  2 (1) (2) . Trừ vế hai phương trình ta được x  y  0 3 x 2 y  3 xy 2  y 2  x 2  3 xy ( x  y )  ( x  y )( x  y )  0   3 xy  x  y  0 - TH 1. x  y  0  y  x thế vào (1) ta được 3 x3  x 2  2  0  x  1 y2  2 x2  2  y  0 , 3x   x0 - TH 2. 3 xy  x  y  0 . Từ 3 y  y2 x2  3 xy  x  y  0 . Do đó TH 2 không xảy ra. - Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)  1 1 (1)   2 2 y  x Bài 2 Giải hệ phương trình   1  2 1 2 (2)  y x  Lời giải. 1 1 - ĐK: x  , y  . 2 2 1 - Trừ vế hai pt ta được  1 x  y x xy 2   y  1 2  2  1 Email:[email protected] 1  2 y y 1 0 x 1  x  2 y  2 yx 0 1 xy x 6  x y   yx  1 1 xy  2   2   y x  0 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình - TH 1. y  x  0  y  x thế vào (1) ta được 1 1  2 2 x x 1 , t  0 ta được x 2  t  0 t  2 2  t2  2  t     t  1  x  1 và y  1 2 2 2 2  t  4  4 t  t t  2 t  1  0   - Đặt t  1 - TH 2.    1  1 xy  2   2  y  Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1) 2 2  x  2 xy  y  2 Bài 5 Giải hệ phương trình:  2 2  x  xy  y  3 xy x y 1  0 . TH này vô nghiệm do ĐK.  x 3 x 2  5 xy  4 y 2  38 Bài 6. Giải hệ phương trình  2 2 5 x  9 xy  3 y  15 Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế. Lời giải. 45 x 2  75 xy  60 y 2  570 2 2  145 x  417 xy  54 y  0 - Hệ   190 x 2  342 xy  114 y 2  570 1 145 x thế vào một trong hai phương trình của - Giải phương trình này ta được y  x, y   3 18 hệ ta thu được kết quả (3;1); (3; 1) * Chú ý - Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn. - Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y  tx, x  0 hoặc đặt x  ty, y  0 . 3 x 2  2 xy  y 2  11 Bài 7. Tìm các giá trị m để hệ  2 có nghiệm. 2  x  2 xy  3 y  17  m - Phân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay y  tx, x  0 Lời giải. 2  y  11  y 2  11    2 m  17 - TH 1. x  0   2 3 y  m  17 y  3  m  17  11  m  16 Vậy hệ có nghiệm x  0  3 3 x 2  2tx 2  t 2 x 2  11 - TH 2. x  0 , Đặt y  tx . Hệ   2 2 2 2  x  2tx  3t x  17  m Email:[email protected] 7 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình 11  2 x  (3  2t  t ) x  11  3  2t  t 2    2 2 11 (1  2t  3t ) x  17  m (1  2t  3t 2 ).  17  m  3  2t  t 2 11  2 x   3  2t  t 2 (m  16)t 2  2(m  6)t  3m  40  0 (*)  11  0, t nên hệ có nghiệm  pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ - Ta có 3  2t  t 2 khi m  16 hoặc m  16,  '  (m  6)2  (m  16)(3m  40)  0 2 2  5  363  m  5  363 - Kết luận. 5  363  m  5  363 5 x 2  2 xy  y 2  3  Bài 8. Tìm các giá trị của m để hệ  2 m (I) có nghiệm. 2 2 x  2 xy  y   m 1  Lời giải. 5 x 2  2 xy  y 2  3  - Nhân 2 vế của bpt thứ hai với -3 ta được  1 2 2  6 x  6 xy  3 y  3  m  1  1 1  ( x  2 y)2  - Cộng vế hai bpt cùng chiều ta được  x 2  4 xy  4 y 2   m 1 m 1 1  0  m 1 - Điều kiện cần để hệ bpt có nghiệm là m 1 5 x 2  2 xy  y 2  3 - Điều kiện đủ. Với m  1 . Xét hệ pt  2 (II) 2 2 x  2 xy  y  1  - Giả sử ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ (II). Khi đó 2  2 5 x02  2 x0 y0  y02  3 5 x0  2 x0 y0  y0  3  2  2 m 2 2 2 x  2 x y  y  1 2 x0  2 x0 y0  y0  0 0 0  0 m 1  - Vậy mọi nghiệm của hệ (II) đều là nghiệm của hệ (I) 5 x 2  2 xy  y 2  3 (II)     x 2  4 xy  4 y 2  0  x  2 y  0  x  2 y 2 2 6 x  6 xy  3 y  3 - Thay x  2 y vào pt thứ 2 của hệ (II) ta được 1 2 8 y2  4 y2  y2  1  5 y2  1  y   x 5 5 - Hệ (II) có nghiệm, do đó hệ (I) cũng có nghiệm. Vậy m  1 . Email:[email protected] 8 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình  1    3x 1  2 x y   Bài 9. Giải hệ phương trình   7 y 1  1   4 2  x y    - Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y . Lời giải. - ĐK: x  0, y  0, x  y  0 . - Dễ thấy x  0 hoặc y  0 không thỏa mãn hệ pt. Vậy x  0, y  0   1 2 4 2 2 2 2    1 (1)   3 x 7 y 3 x 7 y 3x     4 2  2  2 4 2  1 2 2 1 x  y  3x 7y 3x 7y 7y x  y    1 2 2  1 2 2 1 - Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được      7 y  3 x 7y  x  y  3x  y  6x 1 8 1 2 2     7 y  38 xy  24 x  0   4 y   x 3x 7 y x  y 7  1 2 11  4 7 22  8 7  1 x  y - TH 1. y  6 x thế vào pt (1) ta được 21 7 3x 21x 4 - TH 2. y   x không xảy ra do x  0, y  0 . 7  11  4 7 22  8 7  ; - Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất  x; y    . 21 7    a  b  m  m  n  2a  - Chú ý. Hệ phương trình có dạng  . Trong trường hợp này, dạng a  b  n m  n  2b thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức. n  a  bx  m  px  qy  - Tổng quát ta có hệ sau:   c m n  dy px  qy  x 2 ( y  z ) 2  (3 x 2  x  1) y 2 z 2  Bài 10. Giải hệ phương trình  y 2 ( z  x) 2  (4 y 2  y  1) z 2 x 2  z 2 ( x  y ) 2  (5 z 2  z  1) x 2 y 2   1  1   x  y   - Hệ   1  1    x  y   2 Email:[email protected] 9 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình - Phân tích. Nếu chia hai vế của mỗi phương trình cho x 2 y 2 z 2 thì ta được hệ mới đơn giản hơn. y  0 z  0 - TH 1. xyz  0 . Nếu x  0 thì hệ  y 2 z 2  0   hoặc   z  t, t    y  t, t   - Tương tự với y  0 và z  0 ta thu được các nghiệm là (0;0; t ), (0; t ;0), (t;0;0), t   - TH 2. xyz  0 . Chia hai vế của mỗi pt trong hệ cho x 2 y 2 z 2 ta được  1 1 2 1     3   x  z y   2 1  1 1      4   y  x z  2  1 1 1     5     y x  z  1 z   - - 1 2 1 2 x (1) 1 2 y (2) . Cộng vế 3 phương trình của hệ ta được : 1 2 z (3) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1      12            y x y z x2 y2 z 2 x z  y x 1 1 1 2  x  y  z  4 (4) 1 1 1 1 1 1            12  0   1 1 1 x y z x y z (5)  x  y  z  3 2 1 1 1 9 9  Từ (4) và (1) ta có  4    3   2   13  x  x x x x 13  3 9 Tứ (4) và (2) ta có y  . Từ (4) và (3) ta có z  4 11 5 5 Tương tự, từ (5), (1), (2), (3) ta có x   , y  1, z   . 6 4 Vậy hệ có tập nghiệm là  5  9 3 9  5 S = (t;0;0); (0; t;0); (0;0; t );  ; ;  ;   ; 1;   , t    4  13 4 11   6   Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy: từ một hệ phương trình đơn giản, bằng cách đổi biến số (ở trên là phép thay nghịch đảo) ta thu được một hệ phức tạp. Vậy đối với một hệ phức tạp ta sẽ nghĩ đến phép đặt ẩn phụ để hệ trở nên đơn giản.  x 3  y 3  35 Bài 11: Giải hệ phương trình  2 2 2 x  3 y  4 x  9 y Hướng dẫn Email:[email protected] 10 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình  x 3  y 3  35 1 Hệ PT trên tương đương với  2 2 6 x  9 y  12 x  27 y  2   x 3  6 x 2  12 x  8  y 3  9 y 2  27 y  27 3   x  2    y  3 3  x  y5 KQ: Hệ có hai nghiệm  3; 2  ,  2; 3 .  x 3  4 y  y 3  16 x Bài 12: Giải hệ phương trình  2 2 1  y  5 1  x    Hướng dẫn  x 3  y 3  4  4 x  y  1 Hệ PT trên tương đương với:  2 2  2  y  5 x  4 2 2 Thế y  5 x  4 vào PT (1) ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 KQ: Hệ có 4 nghiệm là :  0; 2  , 1; 3 ,  1;3 . Bài tập tự luyện Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( tạo ra PT đẳng cấp)  2 y2  x2  1 a)  3 3 2 x  y  2 y  x b)   x 3  3x  y (3 x 2  xy ) c)  2 2  y  xy  3( x  1)  x 3  8 x  y 3  2 y d)  2 2  x  3  3  y  1 3 3  x  y  1 e)  5 5 2 2  x  y  x  y 2 x3  9 y 3   x  y  2 xy  3 f)  2 2  x  xy  y  3  x 3  y 3  7 g)   xy  x  y   2  x 3  y 3  1 h)  2 2 3  x y  2 xy  y  2  x 3  8 y 3  4 xy 2  1 i)  4 4 2 x  8 y  2 x  y  0 k)  Email:[email protected]  2 xy  1  0 3 3 8( x  y )  9( x  y )  0  x x  y y  8 x  2 y  x  3 y  6 11 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684  x 3  y 3  xy 2  1 n)  4 4 4 x  y  4 x  y Hệ phương trình 2 x 2 y  xy 2  15 m)  ( CĐ A2005) 3 3 8 x  y  35 Phương pháp biến đổi thành tích. * Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích.  xy  x  2  0 (1) 3 2 2 2  2 x  x y  x  y  2 xy  y  0 (2) Bài 1 (Khối D – 2012) Giải hệ  - Biến đổi phương trình (2) thành tích. - Hoặc coi phương trình (2) là bậc hai với ẩn x hoặc y.  xy  x  2  0 - Hệ đã cho   2 (2 x  y  1)( x  y )  0 . Hệ có 3 nghiệm ( x; y )  (1; 1); ( 1  5 ;  5) 2 (1)  xy  x  y  x 2  2 y 2 Bài 2. (D – 2008) Giải hệ phương trình   x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2) - Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1). Lời giải. ĐK: x  1, y  0 (1)  y ( x  y )  ( x  y )  x 2  y 2  ( x  y )( y  1  x  y )  0 TH 1. x  y  0 (loại do x  1, y  0 ) TH 2. 2 y  1  x  0  x  2 y  1 thế vào pt (2) ta được (2 y  1) 2 y  y 2 y  4 y  2  2 y  ( y  1) 2 y  2( y  1)  y 1  0  y  1   . Do y  0  y  2 . Vậy hệ có nghiệm ( x; y )  (5;2) y  2 2 y  2   - Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). 1 1  (1) x   y  x y Bài 3. (A – 2003) Giải hệ phương trình  2 y  x3  1 (2)  - Phân tích. Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích. Lời giải.  1 1 x y 1  ĐK: xy  0 . (1)  x  y    0  x  y   0  ( x  y ) 1    0 x y xy xy   1  5 (t/m) 2 1 1 1 1 3  0  y   thế vào (2) ta được x 4  x  2  0  ( x 2  ) 2  ( x  ) 2   0 . TH 2. 1  xy x 2 2 2 PT này vô nghiệm. TH 1. x  y thế vào (2) ta được x 3  2 x  1  0  x  1 hoặc x  Email:[email protected] 12 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình   1  5 1  5   1  5 1  5   ; ; Vậy tập nghiệm của hệ là S = (1;1);  ;   2 2 2 2       1 1  (1) x  3  y  3 Bài 4: (Thi thử GL) Giải hệ phương trình  x y  ( x  4 y )( 2 x  y  4 )   3 6 (2)  Lời giải. x y  1 1 ( y  x)( y 2  xy  x 2 ) x  3  y  3  ( x  y)    y 2  xy  x 2 3 3   1 x y xy x3 y 3   x  6 2 TH 1. x  y thế vào pt thứ hai ta được x  4 x  12  0    x2 y 2  xy  x 2   1  xy  0 . TH 2. x3 y3 (2)  2 x 2  4 y 2  9 xy  4 x  16 y  36  2( x  1) 2  4( y  2) 2  9 xy  18 Trường hợp này không xảy ra do xy  0  2( x  1) 2  4( y  2) 2  9 xy  0 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (2;2); (6; 6) 8 xy  2 2 x  y   16 (1)  x y Bài 5. (HSG_Huế) Giải hệ phương trình   x  y  x2  y (2)  - Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1) Lời giải. 2 2 ĐK: x  y  0 . (1)  ( x  y )( x  y )  8 xy  16( x  y )  ( x  y ) 2  2 xy  ( x  y )  8 xy  16( x  y )  ( x  y ) ( x  y )2  16   2 xy ( x  y  4)  0  ( x  y  4)  ( x  y )( x  y  4)  2 xy   0  x  3  y  7 TH 1. x  y  4  0 thế vào (2) ta được x 2  x  6  0   x  2  y  2 TH 2. ( x  y )( x  y  4)  2 xy  0  x 2  y 2  4( x  y )  0 vô nghiệm do ĐK Vậy tập nghiệm của hệ là S = (3;7); (2;2)  xy  ( x  y )( xy  2)  x  y  y Bài 6 (Thử ĐT 2013) Giải hệ phương trình  ( x  1)( y  xy  x  x 2 )  4  x; y  0 - Điều kiện :   xy  ( x  y )( xy  2)  0 0,25 - PT (1)  xy  ( x  y )( xy  2)  y  ( x  y )  0 Email:[email protected] 13  - - Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 ( x  y )( y  xy  2) x y  0 x y xy  ( x  y )( xy  2)  y Hệ phương trình   y  xy  2 1    0 (3)  ( x  y)   xy  ( x  y )( xy  2)  y x y   4 4   Từ PT (2) ta có y  xy  x 2  x   ( x  1) 2   x  1  2 2 x 1 x 1   y  xy  2 1   0 x y xy  ( x  y )( xy  2)  y 0,25 PT (3)  x  y , thay vào PT (2) ta được : x3  2 x 2  3x  4  0  x  1 hoặc x  0,25 1  17 2 - Kết hợp với điều kiện ta có x  1 , x  1  17 2  1  17 1  17  ;  2 2   - KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) là : (1; 1);  5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2( x  y )  0 Bài 7(A – 2011 ) Giải hệ PT :  2 2 2  xy ( x  y )  2  ( x  y )  xy  1 HD : Biến đổi PT (2) thành tích ta có  2 2 x  y  2 - (1) (2) . 1 x TH1: y  thay vào PT (1). - TH 2: PT(1)  3 y ( x 2  y 2 )  2 x 2 y  4 xy 2  2( x  y )  ( xy  1)(2 x  4 y )  0 Bài 8: (THTT 2009) Giải hệ phương trình  y 2  5 x 2  4 xy  16 x  8 y  16  0  2  y   5 x  4  4  x  1  2 Hướng dẫn Ta coi PT (1) là PT bậc hai ẩn y, tham số x 2 2 PT (1)  y  4  x  2  y  5 x  16 x  16  0 Ta có Δ   3x   y  5x  4  y  4 x  4  III. KQ: Hệ có nghiệm là:  0;4  ,  4;0  ,   ;0   5  Email:[email protected] 14 2 0,25 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích) 2 xy  2 2 x  y  1  x y b)   x  y  x2  y  8 xy  2 x  y2   16  x y a)   x3  x x  y  3  0  2  xy  x  y   2   x  y  c)  2 2 3 5 x y  4 xy  3 y  2  x  y   0 2 2  x2  y 2 2 1    xy x  y xy d)    x2  y 2  1   x2  2x  1  x y Bài 2. Giải các hệ phương trình: ( phân tích 1 pt thành PT tích) 2 x 2  4 xy  2 y 2  3 x  3 y  2  0 a)  2 2 3 x  32 y  5  0  x 2  xy  2 y  2 y 2  2 x b)   y x  y  1  x  2.  xy  y 2  2 x  4  0 c)  2 2  x  5 y  3 x  2 y  22  0  x 2  4 y 2  4 x  12 y  3 d)  . 2 xy  3 x  4 y   6   xy  x  y  x 2  2 y 2 f)   x 2 y  y x  1  2 x  2 y  xy  x  2  0 e)  3 (D 2012) 2 2 2 2 x  x y  x  y  2 xy  y  0 Bài 3. Giải các hệ phương trình: ( PP Cộng đại số) 3 3  x  y  9 a)  2 2  x  2 y  x  4 y 3 3  x  y  91 b)  2 2 4 x  3 y  16 x  9 y  x  y  3 x  4 y  1 2 2 3 x  2 y  9 x  8 y  3   1  2 x 1  3 x  y    d)  2 y 1  1   1     x y    12   x 1  2 3 x  y   e)    y 1  1   6   3x  y     5   x 3 2 42 x  y    f)   2y 3  5   4     42x  y   2 2 c)  IV.Phương pháp đặt ẩn phụ. Email:[email protected] 15 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ u  f  x; y  , v  g  x; y  có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản, chuyển vế, phép chia cho một biểu thức khác 0, phép đồng nhất … MỤC ĐÍCH: Tạo ra hệ phương trình mới đơn giản hơn hay hệ phương trình đã có phương pháp giải như: - Hệ gồm một phương trình bậc thấp và một phương trình bậc cao. - Hệ đối xứng loại I. - Hệ đối xứng loại II. - Hệ đẳng cấp. - …. Lưu ý: Trong các bài toán hệ phương trình có chứa tham số, khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện đủ cho ẩn phụ.  x  y  xy  1 Bài 1. Giải hệ phương trình  2 2  x  y  xy  7 Lời giải. Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến. ( x  y )  xy  1 Hệ   2 ( x  y )  3 xy  7  S  P  1 x  y  S  S  1, P  2 2  x , y  S  4 P Đặt  ta được     2  xy  P  S  4, P  3  S  3P  7 S  1  x  y  1  x  1, y  2   TH 1.   P  2  xy  2  x  2, y  1  S  4  x  y  4  x  1, y  3 TH 2.  . Vậy tập nghiệm của hệ là   P  3  xy  3  x  3, y  1 S = (1;2); (2; 1); (1; 3); (3; 1) Chú ý. - Nếu hệ pt có nghiệm là ( x; y ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( y; x) . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x  y . - Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn. 2  2 Bài tập tương tự : (ĐT 2010) Giải hệ phương trình:  x  xy  y  1  x  y  xy  3  x  y  1 Bài 2 (D – 2004 )Tìm m để hệ có nghiệm :   x x  y y  1  3m Email:[email protected] 16 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 2 Hệ phương trình 2  x  y  x  y  18 Bài 3. Giải hệ phương trình   xy ( x  1)( y  1)  72 Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I - Hướng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng x  y và tích xy - Hướng 2. Biểu diễn từng pt theo x 2  x và y 2  y . Rõ ràng hướng này tốt hơn. Lời giải. 1  2 x  x  a , a   2 2  ( x  x)  ( y  y )  18 4 Hệ   2 . Đặt ta được  2 1 2 ( x  x)( y  y )  72  y  y  b, b    4 a  b  18  a  6, b  12   ab  72  a  12, b  6  x 2  x  6 a  6  x  2, x  3 TH 1.   2  b  12  y  y  12  y  3, y  4  x  3, x  4 TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được  . Vậy tập nghiệm của hệ là  y  2, y  3 S = (2;3); (2; 4); (3;3); (3; 4); (3;2); (4;2); (3; 3); (4; 3)  Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau a  b  18 - Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản  (I) ab  72 1) Thay a  x 2  x, b  y 2  y vào hệ (I) ta được hệ  x 2  y 2  x  y  18 (1)  đó chính là ví dụ 2.  xy ( x  1)( y  1)  72 2) Thay a  x 2  xy, b  y 2  xy vào hệ (I) ta được hệ  x 2  y 2  18 (2)  2 2  xy ( x  y )  72 3) Thay a  x 2  2 x, b  2 x  y vào hệ (I) ta được hệ  x 2  4 x  y  18 (3)   x( x  2)(2 x  y )  72 1 1 4) Thay a  x  , b  y  vào hệ (I) ta được hệ x y ( x  y ) xy  x  y  18 xy (4)  2 2 ( x  1)( y  1)  72 xy 5) Thay a  x 2  2 xy, b  y 2  xy vào hệ (I) ta được hệ  x 2  y 2  xy  18 (5)  … xy ( x  2 y )( y  x )  72  Email:[email protected] 17 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình a. Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới. a  b  7 b. Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II)  2 và làm tương tự như trên 2 a  b  21  ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn : 6) Thay a  x 2  y 2 , b  xy vào hệ (II) ta được hệ 2 2  x  y  xy  7 (6)  4 4 2 2  x  y  x y  21 1 1 7) Thay a  x  , b  y  vào hệ (II) ta được hệ x y 1 1  x  y   7  x y (7)   x 2  y 2  1  1  21  x2 y 2 1 x 8) Thay a  x  , b  vào hệ (II) ta được hệ y y  xy  x  1  7 y (8)  2 2 2 ( xy  1)  x  21 y 1 9) Thay a  x  y, b  vào hệ (II) ta được hệ y ( x  y ) y  1  9 y (9)  2 2 2 ( x  y  2) y  21 y  1 10) Thay a  x 2  2 x, b  y 2  2 x vào hệ (II) ta được hệ  x2  y2  4x  7 (10)  4 ... 4 2 2 x  y  4 x ( x  y )  21  1 1  x  x  y  y  5  Bài 4 (D – 2007 ) Tìm m để hệ có nghiệm :  .  x3  1  y 3  1  15m  10  x3 y3 1   a  x  x Đặt ẩn phụ  b  y  1 y  Điều kiện a ; b  2 a  b  5 Ta có hệ  3 3  a  3a  b  3b  15m  10 Bài 5 Giải hệ phương trình :  2 2 x  y  3  2 x  y a) (CĐ – 2010 )  2 2  x  2 xy  y  2  x  2 y  2  x  2 y c)  3 4  2 x  2 y  4  1 Email:[email protected]  3 x  y  x  y b) (B – 2002)   x  y  x  y  2 d) 18 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình Bài 6 :(Sát hạch khối 10 năm 2012) Giải hệ :  2 x3  (6  y ) x 2  3 xy  18  0 b)  2  x  x  y  7 3 x3  (6  y ) x 2  2 xy  18  0 a)  2  x  x  y  3  x( x  2)(3 x  y )  18  0  a  x( x  2)  Đặt  Nghiệm x  1;  3 x ( x  2)  (3 x  y )  0 b  3 x  y    x( x  3)(2 x  y )  18  0  a  x( x  3)  Đặt   Nghiệm b) Hệ   x ( x  3)  (2 x  y )  0 b  2 x  y   a) Hệ    x( x  y  1)  3  0  Bài 7 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình :  5 2 ( x  y )  x 2  1  0 1  x  y  1  3. 0  x 1  - ĐK. x  0 . Hệ   Đặt x  y  a,  b ta được hệ : 2 x ( x  y ) 2  5. 1   1  0     x  a  2, b  1 x  y 1 a  1  3b  0 a  3b  1    2 1 1   3 2 2 2  a ,b x  2, y   a  5b  1  0 (3b  1)  5b  1  0  2 2  2 5  2 3 2 x  y  x y  xy  xy    4 Bài 8 (A – 2008) Giải hệ phương trình :   x 4  y 2  xy (1  2 x)   5  4 5  2 2 ( x  y )  xy ( x  y  1)   4  x2  y  a - Hệ   . Đặt  ta được : 5 xy  b  ( x 2  y ) 2  xy    4 5 5   a 2  a  ab  0 a  0, b   a  b(a  1)   4   4     5 2 a   1 , b   3 a 2  b   5 b    a  4   4 2 2 3  5 25    - Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = 1;   ;  3 ;  3  2  4 16     x 2  y 2  2( x  y )  7 Bài 9: Giải hệ phương trình :   y ( y  2 x)  2 x  10 ( x  1) 2  ( y  1) 2  9  x 2  y 2  2( x  y )  7 - Hệ  .  2 2 y ( y  2 x )  2 x  10 ( y  x )  ( x  1)  9   Email:[email protected] 19 Đào Chí Thanh CVP___0985 852 684 Hệ phương trình a 2  b 2  9 - Đặt a  x  1, b  y  1  b  a  y  x ta được hệ  2 2 (b  a )  a  9  a 2  b 2  (b  a) 2  a 2  a 2  2ab  a  0 hoặc a  2b - Với a  0  b  3  x  1, y  2 hoặc x  1, y  4 - Với a  2b  5b 2  9  b    x  1  3 6 a 5 5 6 3 6 3 , y  1  , y  1  hoặc x  1  5 5 5 5 Cách 2 : Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được : x 2  2 xy  4 x  2 y  3  0  ( x  1)( x  2 y  3)  0  x  y  xy  3 Bài 10 (A – 2006) Giải hệ phương trình :   x  1  y  1  4 - ĐK: x  1, y  1, xy  0  x  y  xy  3  x  y  xy  3  - Hệ    x  y  2  2 ( x  1)( y  1)  16  x  y  2 x  y  xy  1  14 - Đặt x  y  a, xy  b . a  2, b  0, a 2  4b 2 ta được hệ pt a  b  3 a  3  b a  3  b      2 2 2 3b  26b  105  0 a  2 a  b  1  14 2 b  b  4  11  b b  3  x  3   (thỏa mãn đk) a  6 y  3   x  y  8 Bài 11 (Thử ĐT2010) Giải hệ phương trình:  2 2  x  9  y  9  10 . Bình phương cả 2 PT.  2 1 1 2  x  2  y  2 2 7 x y Bài 12 (Thử GL 2012) Giải hệ :   6  1  1  x  y xy 1 x 1 y - PT (1)  ( x  ) 2  2  ( y  ) 2  2  2 7 - PT (2)  6  x y 1 1  ( x  y )  ( x  )  ( y  )  6 Ta có xy x y  a  b  6  2 2  a  2  b  2  2 7  y ( x  7)  x  1  0 Bài 13 (ĐT 2011) Giải hệ :  2 2 . Lần lượt chia cho y; y 2 và đặt ẩn phụ. 2  21y  x  ( xy  1)  Email:[email protected] 20