Tài liệu Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Khuất Văn Ninh. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán, chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi từ phía các thầy, cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Người thực hiện Nguyễn Thị Hường ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Người thực hiện Nguyễn Thị Hường iii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh mục kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6 Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 2.1 14 Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một . . . 14 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . . 14 2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai . . . . . . . . . 15 2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 iv 3 2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 42 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 48 3.1 Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 67 1 Danh mục kí hiệu và viết tắt Các kí hiệu thường dùng C C1 Rn M = (X, d) L x∈M x∈ /M ∀x ∈ M ∃x Không gian các hàm liên tục Không gian các hàm khả vi liên tục Không gian Euclid n chiều Không gian metric Biến đổi Laplace x thuộc tập M x không thuộc tập M Với mọi x thuộc tập M Tồn tại x 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng. Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học như lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, sự lan truyền bệnh dịch, ... Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến giải xấp xỉ phương trình. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người ta sử dụng rất nhiều các phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, ... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra” để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một, loại hai. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân . Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích phân tuyến tính Volterra. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tùy ý. Một metric trong X là một ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn các điều kiện sau đây i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ; ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ; iii)d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X. Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y . Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(a, xn ) = 0. n→∞ Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞ n→∞ 5 Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có d(xn , xm ) < ε. Nói cách khác ta có lim d(xn , xm ) = 0. n,m→∞ Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X . Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ của X vào chính nó thỏa mãn điều kiện d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X . Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa, x0 ∈ X , dãy xn , n ∈ N xác định bởi xk+1 = f (xk ), ∀k ∈ N hội tụ đến x∗ đồng thời ta có ước lượng αn d(x1 , x0 ), ∀n ∈ N. d(xn , x ) ≤ 1−α ∗ (1.1) Chứng minh. Dễ thấy d(xk+1 , xk ) = d(f (xk ), f (xk−1 )) ≤ αd(xk , xk−1 ) ≤ ... ≤ αk d(x1 , x0 ), ∀k ∈ N. Từ đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + ... + d(xn+1 , xn ) ≤ (αn+p−1 + ... + αn )d(x1 , x0 ), 6 do đó αn d(x1 , x0 ). d(xn+p , xn ) ≤ 1−α (1.2) Ước lượng (1.2) chứng tỏ dãy xn , n ∈ N là dãy Cauchy, mặt khác X là không gian metric đủ nên tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ . n→∞ Cho p → ∞ trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1). Ta lại có xn+1 = f (xn ) nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗ ). Vậy x∗ là điểm mà f (x∗ ) = x∗ . Giả sử ngoài ra còn có x cũng có tính chất f (x) = x khi đó ta có d(x∗ , x) = d(f (x∗ ), f (x)) ≤ αd(x∗ , x), với α < 1. Từ đó suy ra x∗ = x. Vậy x∗ là duy nhất. 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C). Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiêu k · k trong X là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X ; ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); iii) kλxk = |λ| kxk với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X ; iv) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi y ∈ X . Số kxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Định nghĩa 1.1.6. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là thực hoặc phức). Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X đặt d(x, y) = kx − yk . 7 Khi đó d là một metric trên X . Định nghĩa 1.1.7. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim kxn − x0 k = 0. Khi đó ta kí hiệu n→∞ lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản, nếu lim kxm − xn k = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = kx − yk). Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ; ii) A(αx) = αAx, α ∈ P . A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho kAxk ≤ c kxk , với mọi x ∈ X. 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P = R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ 8 X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề: (i) (y, x) = (x, y), với mọi x, y ∈ X ;(x, y) là số phức liên hợp của (x, y) (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọi x, y, z ∈ X ; (iii) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X ; (iv) (x, x) > 0 nếu x 6= θ, (θ là kí hiệu phần tử không); (v) (x, x) = 0 nếu x = θ; Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y . Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng. Định nghĩa 1.1.13. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X , ta đặt p kxk = (x, x). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz) |(x, y)| ≤ kxk . kyk , ∀x, y ∈ X. Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền Hilbert p đều là không gian định chuẩn với chuẩn kxk = (x, x). Định nghĩa 1.1.14. Ta gọi không gian tuyến tính H 6= θ trên trường P là không gian Hilbert H nếu nó thỏa mãn các điều kiện 1) H là không gian tiền Hilbert; 2) H là không gian Banach với chuẩn kxk = 1.1.4 p (x, x) với x ∈ X. Không gian L(X, Y ) Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Ta trang bị cho L(X, Y ) hai phép toán sau: a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định 9 bằng hệ thức (A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X. b) Tích của vô hướng α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA xác định bằng hệ thức (αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X. Dễ dàng kiểm tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) là hai phép toán thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Do vậy L(X, Y ) cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ trên trường P . Với toán tử bất kỳ A ∈ L(X, Y ) Ta đặt kAk = sup kAxk (1.3) kxk=1 Dễ thấy công thức (1.3) thỏa mãn tiên đề chuẩn. Như vậy L(X, Y ) là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L(X, Y ) gọi là hội tụ đều của dãy toán tử bị chặn. Dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A ∈ L(X, Y ) nếu với mỗi x ∈ X, lim kAn x − Axk = 0 trong không gian Y . n→∞ Một dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tử A ∈ L(X, Y ) thì dãy (An ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y . Định lý 1.1.4. Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian Banach. Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (An ) ⊂ L(X, Y ). Theo định nghĩa (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n, m ≥ n0 ) kAn − Am k < ε. (1.4) Từ đó với mọi x ∈ X ta có kAn x − Am xk = k(An − Am )xk ≤ kAn − Am k kxk < ε kxk (1.5) 10 Từ (1.4),(1.5) suy ra dãy điểm (An x) ⊂ Y là dãy cơ bản trong Y . Mà theo giả thiết Y là không gian Banach, nên tồn tại giới hạn lim An x = y ∈ Y. n→∞ Đặt y = Ax. Nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y . Cho qua giới hạn m → ∞ trong hệ thức (1.5) và kết hợp với hệ thức (1.4) ta được kAn x − Axk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X, hay k(An − A)xk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X. Do đó kAn − Ak ≤ ε, ∀n ≥ n0 . Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và kAn − Ak → 0 khi n → ∞. Vì vậy dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach. Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tử tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tử như sau Tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho (AB)x = A(Bx), ∀x ∈ X. Dễ thấy AB cũng là toán tử tuyến tính. Mặt khác, ta có k(AB)xk = kA(Bx)k ≤ kAk . kBxk ≤ kAk . kBk . kxk , 11 suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và kABk ≤ kAk . kBk . Như vậy trong không gian L(X, X) có xác định phép cộng và phép nhân hai phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên đề của một vành. Do vậy ta có L(X, X) là i) Một vành ii) Một không gian định chuẩn iii) Thỏa mãn điều kiện kABk ≤ kAk . kBk iv) Có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất I với kIk = 1. Người ta nói L(X, X) là một vành định chuẩn. Trong vành L(X, X) đương nhiên có thể nói đến các lũy thừa của một toán tử A0 = I, An = AAn−1 (n = 1, 2, ...) 1.1.5 Một số không gian hàm Không gian Rn Rn là không gian vectơ s Rn là không gian metric với metric d(x, y) = n P (xj − yj )2 . j=1 Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric. Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn . Không gian metric Rn thường được gọi là không gian Euclid. Rn là không gian metric đầy Rn là không gian định chuẩn Với một trong các chuẩn sau kxk1 = n X i=1 v u n uX |xi | , kxk2 = t x2i , kxk∞ = max |xi |. i=1 i=1,n 12 Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach). Rn là không gian Hilbert. Thật vậy, ∀x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ) ta đặt (x, y) = n X (xj .yj ). (1.6) j=1 Dễ thấy hệ thức (1.6) thỏa mãn tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.6) v uX q u n 2 xj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn . kxk = (x, x) = t (1.7) j=1 Không gian vectơ thực Rn cùng với tích vô hướng (1.7) là một không gian Hilbert. Không gian C[a,b] C[a,b] = {x(t) xác định, liên tục ∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞. Không gian C[a,b] là không gian metric ∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|. a≤t≤b Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn kxk = max |x(t)|. a≤t≤b Không gian C[a,b] là không gian Banach. Không gian C[a,b] là không gian tách được (hay không gian khả ly). Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] . n Không gian C[a,b] n Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tuc đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi kxk = max {|x(t)|, |x0 (t)|, ..., |xn (t)|} . a≤t≤b 13 1.1.6 Khai triển Taylor Định lý 1.1.5. Nếu hàm số y = f (x) có các đạo hàm f 0 (x), f 00 (x), ..., f (n) (x) liên tục tại điểm x0 và có đạo hàm f (n+1) (x) trong lân cận của x0 thì tại lân cận đó ta có công thức f 00 (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + ...+ f (x) = f (x0 ) + 1! 2! n f n+1 (c) f (x0 ) (x − x0 )(n) + (x − x0 )n+1 + n! (n + 1)! (1.8) (1.9) c ở khoảng giữa x0 và x : c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1. Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số hạng dư của nó. Ta nói f (x) khai triển được theo công thức Taylor. 14 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 2.1 Phương trình tích phân Volterra 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một Dạng tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một được cho bởi Z f (x) = x K(x, t)u(t)dt, (2.1) 0 trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực cho trước, hàm u(x) là hàm cần được xác định và nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của các phương trình tích phân Volterra loại một. 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được cho bởi Z u(x) = f (x) + λ x K(x, t)u(t)dt. (2.2) 0 Hàm ẩn u(x), sẽ được xác định, nằm bên trong và bên ngoài dấu tích phân. Hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực, và λ là một tham số cho trước.