Mô tả:
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm học 2013 – 2014 được coi là năm học sẽ đánh dấu sự chuyển mình của
ngành Giáo dục. Đối với giáo dục phổ thông nói chung và giáo dục cấp trung
học nói riêng, năm học này được dư luận xã hội dành sự quan tâm đặc biệt với
nhiều nhiệm vụ mới, nhiều thay đổi trong cách dạy, cách học và kiểm tra đánh
giá.
Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một
trong những môn học khó, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy
phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp
thu, cảm nhận. .
Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo
của học sinh nhằm giúp các em nắm được hệ thống các cách giải một bài toán
liên quan đến bất phương trình. Tôi thiết nghĩ cần xây dựng được một chuyên
đề về phương pháp giải bất phương trình trong đó phải hệ thống được các cách
giải và các dạng bài tập điểm hình về các bài toán liên quan đến thể tích khối đa
diện.
Xuất phát từ mọi bài toán đều quy về giải phương trình, bất phương trình.
Với những lí do trên chúng tôi đã lựa chọn chuyên đề: ‘Một số phương
pháp giải bất phương trình vô tỷ lớp 10”
2. Phạm vi nghiên cứu.
Trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số phương pháp hay dùng khi giải
bất phương trình vô tỷ. Tôi không đưa ra các bài toán chứ tham số.
Chuyên đề dự định dạy trong 6 tiết.
1
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
PHẦN II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Phương pháp lũy thừa
a) Kiến thức cơ bản: Đây là phương pháp cơ bản nhất của bất phương trình vô
tỉ. Giáo viên dạy lưu ý cho học sinh kết hợp các điều kiện khi kết luận của bất
phương trình
Có ba dạng phương trình cơ bản :
-
-
Dạng 1 :
�f ( x) �0
�
f ( x) g ( x ) ۳ �g ( x ) 0
�f ( x) [g ( x)]2
�
Dạng 2 :
�
�f ( x) �0
�
�
�g ( x) 0
�
f ( x) g ( x) � �
�g ( x) �0
�
�
2
�
�f ( x) [g ( x)]
�
Ở trường hợp này học sinh không chắc kiến thức sẽ bỏ quên trường hợp
g ( x) 0
-
Dạng 3 :
A B C .
b) Bài tập:
Bài 1: Giải bất phương trình
x 2 6 x 5 �8 2 x (1)
Giải
ĐKXĐ:
�x 2 �
6x 5 0
1 x 5
TH1: Nếu 8 2 x 0 � x 4
Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phương trình có nghiệm 4 x �5 .
2 x 0
TH2: Nếu 8 �
x
4
Bất phương trình (1) � x 2 6 x 5 �(8 2 x) 2
� 5 x 2 38 x 69 �0
23
�3 x
ۣ
5
2
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Kết hợp với điều kiện xác định thì bất phương trình có nghiệm 3 �x �4
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 3 �x �5
Lưu ý: Học sinh hay nhầm khi lấy nghiệm của TH1 và TH2 giao nhau.
Bài 2(ĐH KA 2005) Giải bất phương trình: 5 x 1 x 1 2 x 4 (2)
Giải
ĐKXĐ: x �2
Bất phương trình (2) � 5 x 1 2 x 4 x 1
� 5 x 1 2 x 4 x 1 2 ( x 1)(2 x 4)
� x 2 ( x 1)(2 x 4)
� x2 4 x 4 2 x2 6 x 4
� x 2 10 x 0
� 0 x 10
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: 2 �x 10
Lưu ý: Ở bài toán này giáo viên cần hướng dẫn học sinh chuyển vế rồi bình
phương.
Bài tập tương tự:
1.
x 1 2 x 2 � 5x 1
(CĐ 2009): Giải bất phương trình:
2( x 2 16)
2.
(ĐH A 2004) Giải bất phương trình:
3.
Giải bất phương trình:
4.
Giải bất phương trình :
5.
Giải bất phương trình 4x 3 x 2 3x 4 �8x 6
1
2 x2 3x 5
x3
x 3
7x
x 3
1
2x 1
x 2 4 x 3 2 x 2 3x 1 �x 1 .
Lưu ý: Ở bài tập 3 học sinh không được phép nhân chéo ngay.
II. Phương pháp đặt ẩn phụ
1. Bất phương trình chứa f ( x), f ( x) Đặt
f ( x) t
3
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Lưu ý: Cho học sinh đặt diều kiện cho ẩn phụ.
Bài 1: Giải bất phương trình: ( x 3)(8 x) x 2 11x 0
Bài 2: Giải bất phương trình : 5 x
Bài 3: Giải bất phương trình
5
2 x
2x
1
4
2x
x
x 1
2
3
x 1
x
2. Bất phương trình có chứa
A B và
AB
Đặt t A B
Bài 1:(ĐHB 2011) Giải bất phương trình : 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 �10 3x
Giải
ĐKXĐ: 2 �x �2 .
Đặt t 2 x 2 2 x . Từ đó suy ra t 2 10 3 x 4 4 x 2
Bất phương trình trở thành: 2t �
�
t2
Nghiệm bất phương trình là
0 t
2
6
�x �2
5
Bài tập tương tự:
Giải các bất phương trình sau:
1.
2 x 3 x 1 3x 2 2 x 2 5x 3 2
2. 7 x 7 7 x 6 2 49 x 2 7 x 42 �181 14 x
3. Biến đổi làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài 1 (ĐH B 2012) Giải bất phương trình x 1 x 2 4 x 1 �3 x (1)
Giải
4
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Tập xác định: x �[0;2 3] �[2+ 3; �)
Ta có x 0 là 1 nghiệm của (1)
Với x 0 chia 2 vế của (1) cho
Đặt t x
x ta được:
x
1
1
x 4 �3
x
x
1
1
� x t 2 2 ( t �2 ).
x
x
Ta được bất phương trình: t t 2 6 �3
Giải bất phương trình t
5
2
1
� T [0; ] �[4; �) là tập nghiệm của bất phương trình.
4
Bài 2: Giải BPT :
x2 x 2 3 x � 5x2 4 x 6
Giải
Điều kiện xác định: x �2 .
Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3. x( x 2)( x 1) �2 x( x 2) 2( x 1)
Chia 2 vế cho ( x 1) ta được bất phương trình:
3.
x( x 2)
x( x 2)
�2
2
x 1
x 1
Đặt t
x( x 2)
( t �0 ) ta được bất phương trình: 2t 2 3t 2 �0 .
x 1
Giải bất phương trình ta được tập nghiệm cuối cùng của bất phương trình là:
T=[3 13; �)
Bài 3: Giải bất phương trình : 3 x3 1 �2 x 2 3x 1 .
Giải
5
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Điều kiện: x 1
3 x3 1 �2 x 2 3x 1 � 3 x 1. x 2 x 1 �( x 1) 2( x 2 x 1)
Chia hai vế cho x2 + x + 1, ta được bất phương trình tương đương:
3
x 1
x 1
�2
2
x x 1 x x 1
2
Đặt t =
x 1
, t 0, ta ta được bất phương trình:
x x 1
2
t 1 hoặc t �2
3t �+
+t 2 2
+ Với t �1 , ta có:
x 1
��
1 �
x
1 ۳x 2
x x 1
x 1
2
+ Với t �2 , ta có:
x2
2 (luôn đúng)
x 1
�2 � x 1 �4( x 2 x 1) � 4 x 2 3 x 5 �0 (vô nghiệm)
x x 1
2
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x 1.
Bài 4: Giải bất phương trình x3 (3x 2 4 x 4) x 1 �0
Giải
Điều kiện : x �1 .
�y �0
Đặt y x 1 � � 2
�y x 1
, bất phương trình trở thành x3 (3x 2 4 y 2 ) y �0
TH 1. y 0 � x 1 . Thỏa mãn BPT
TH 2. y 0 � x 1 . Chia hai vế cho y 3 ta được
3
2
x
�x � �x �
� � 3 � � 4 �0 . Đặt t y và giải BPT ta được t �1
�y � �y �
6
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
x
t �1 � 1
y
x
x 1
1 �x 0
�
�
1 5
�x �0
�
� 1 �x �
�
.
�
2
�
1 5
1 5
�
�x �
�
� 2
2
�
1 �x 0
�
�
�x �0
�
�2
�
�x x 1 �0
�
1 5
Kết hợp x 1 ta được 1 x �
.
2
� 1 5 �
�
2 �
�
1;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = �
Bài 5: Giải phương trình: x 2 41x 4x x 18 � 3 4 x 2x 2 44x 18
Giải
Điều kiện: x �0
Bất phương trình � 2x 2 44x 18 x 2 3x 4x x �(3 4 x ) 2x 2 44x 18
Đặt: t 2x 2 44x 18
(t 0 )
Ta được bất phương trình: t 2 x 2 x(3 4 x ) (3 4 x )t �0
� (t x)(t x 3 4 x ) �0 � t x 3 4 x �0 (vì t+x>0 với mọi x �0)
Ta có pt � 2x 2 44x 18 �x 3 4 x
� 2(x 3) 2 32x �(x 3) 4 x � 2(x 3) 2 32x �((x 3) 4 x ) 2
x 1
�
� (x 3 4 x ) 2 �0 � x 3 4 x 0 � �
x 9
�
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 1, x 9
Bài 6 Giải bất phương trình
1
log 2 (2 x) log 1 ( 4
2
2
4
18 x ) 0.
Giải
7
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
2 x 0, 18 x 0
Điều kiện:
2 x 18.
4
4 18 x 0
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
log 2 2 x log 2 ( 4 4 18 x ) 2 x 4 4 18 x .
Đặt
t 4 18 x .
Khi đó
4 t �0
�
����
�
�
20 t 4 �(4 t ) 2
�
Suy ra
4
0 t 4 20
và bất phương trình trở thành :
t �4
�
�4 2
t t 8t 4 �0
�
20 t 4 4 t
t �4
�
�
(t 2)(t 3 2t 2 5t 2) �0
�
t �4
�
�
t 2 �0
�
18 x 2 x 2.
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là 2 x 2.
III.
Phương pháp nhân liên hợp.
Khi không dùng được phương pháp bình phương
Không có dấu hiệu đặt ẩn phụ
Bất phương trình nhẩm được nghiệm để 2 vế bằng nhau. Khi đó bất phương
trình có thể giải được bằng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp.
Bài 1: Giải bất phương trình : 3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0 .
Giải Nhận thấy x 5 thì 2 vế của bất phương trình bằng nhau.
�1
�
;6
Tập XĐ: D �
�3 �
�
Bất phương trình đã cho � ( x 5)(
3
3x 1 4
1
6 x 1
3x 1) 0
8
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
2
t
4.
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
� x 5 0 ( Vì
3
1
3 x 1 0 với x thuộc TXĐ)
3x 1 4
6 x 1
� x5
�1
�
;5 �
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của BPT là: T �
�3 �
Bài 2 Giải phương trình : 2 3 3 x 2 3 6 5 x 16 �0
Giải
6
5
ĐKXĐ: x � (*)
Nhẩm nghiệm x 2 thì 2 vế của BPT bằng nhau:
6
15
+
] �0
( 3 3 x 2) 2 2 3 3 x 2 4
6 5x 4
6
15
+
>0 với x thỏa mãn (*).
� x 2 �0 ( Vì 3
2
3
( 3x 2) 2 3x 2 4
6 5x 4
۳ x -2
Bất phương trình đã cho � ( x 2)[
6
5
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: T=[ 2; ] .
Bài 3: Giải bất phương trình
1 1 4x2
3.
x
Giải
1
2
1
2
ĐKXĐ: �x � , x �0
Thực hiện phép nhân liên hợp ta thu được bất phương trình:
4 x 3(1 1 4 x 2 ) � 3 1 4 x 2 4 x 3
�
4x 3 0
�
�
�
1 4 x 2 �0
�
�
� �
��
4 x 3 �0
�
�
�
�
9(1 4 x 2 ) (4 x 3)2
�
�
�
� 3
x
�
�
� 4
�
�
�
�x �1
�
� 2
�
� 3
�
�x �
�
� 4
�
�
9(1 4 x 2 ) (4 x 3)2
�
�
x
1.
2
9
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
�1
�x 0
�
2
Kết hợp điều kiện thu được nghiệm của bất phương trình là: �
1
�
0 x�
�
�
2
Bài 4: Giải bất phương trình sau:
2
x 2 2 x 5 x 1 4 x x 2 1 2 x x 2 2 x 5
Giải
Ta có:
2
x 2 2 x 5 x 1 4 x x 2 1 2 x x 2 2 x 5
2 x 2 2 x 5 ( x 1)
2 x 2 2 x 5 ( x 1)
2 x 3x 2 2 x 1
2 x 2 1 x 2 2x 5
2 x x 1 (3x 1)
2 x 2 1 x 2 2x 5
0
0
2 x(3 x 1)
( x 1) 2 x 2 2 x 5
0
2 x 2 1 x 2 2x 5
( x 1) 4 x 2 1 2 x 2 2 x 5 2
x
2
1 x 2 2 x 5 7 x 2 4 x 5 0
x 1 0 x 1 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: T =
Bài 5: Giải bất phương trình :
; 1
.
x 2 91 x 2 x 2
Giải
Điều kiện x �2
Phương trình đã cho tương đương với:
�
x2 9
x 2 91 10
x 2 91 10
x 2 1 x 2 9 0
x 3
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
� x3
�
1
� x 3 �
(x 3) � 0 (*)
2
x 2 1
� x 91 10
�
10
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Ta có
x3
x 91 10
2
1
0 với mọi x �2 .
x 2 1
(x 3)
Do đó (*) � x < 3.
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 3> x �2
Bài 6 Giải bất phương trình:
x 1
x 1 x2 x
�2 x
Giải
2
�
0 x 1 �
x 0
�x ��ڳ
�x x �0
��
��
Điều kiện: �
2
x 1
�x �1
�
�x 1 x x �0
( x 1) x 1 x 2 x
�۳�
2 x ���
2x
2
x
1
x 1 x x
1 x 0
�x �ڣ
�x 2 x �0
� 1
�
�
��
��
13x 0
x 0
�x
3
�x 2 x �(3x 1)2
�
�
�
8 x 2 5 x 1 �0
�
x 1
1 x
x2
x
2x
x2
x 1 3x
Tập nghiệm của bất phương trình là: T �;0
Bài 7 Giải bất phương trình:
8 x
2 x
�3.
9 x
x 1
Giải
ĐK : 1< x¸< 9 ( * ). Với đk ( * ) ta có : (1)
� 9 x
Đặt t =
� 1
x 1 �
� 9 x
9 x
1 �
��3 � 9 x
x 1 �
� 9 x x 1 �
x 1 �
�3 (2)
� 9 x . x 1 �
�
�
�
x 1 , t > 0. Ta có:.
11
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
8 t 2 8 2 (9 x).( x 1) �8 9 x x 1 16
� 2 2 t �4 ( ** ) và (9 x).( x 1)
t2 8
.
2
2t
Khi đó BPT ( 2 ) trở thành: t t 2 8 �3 � t 3 3t 2 10t 24 �0
(t �۳
3).(t 2).( t
9 x
4) 0
t
4
( do ( **) ).
. Kết hợp với ( ** ) ta suy ra t = 4 hay
x 1
= 4 � x 5.
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T = 5 .
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau:
1 1 8x2
1.
1
2x
Phương pháp đánh giá.
IV.
Đây là phương pháp tư duy tổng hợp, đòi hỏi người dạy cũng như người
học cần phải nhìn nhận nhanh và có tư duy dài, lý luận chính xác.
Kiến thức cơ bản cần nhớ: Bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopxki, hằng đẳng
thức.
Bài 1: Giải bất phương trình: x 2 4 x �x 2 6 x 11 (1)
Giải
ĐKXĐ: 2 �x �4
12
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Ta có VP (1) x 2 6 x 11 ( x 3) 2 2 �2 dấu bằng xảy ra khi x 3 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ở vế trái ta có
VT (1)
x 2 4 x � (11)( x 2 4 x ) 2 dấu bằng xảy ra khi x 3 (**)
Từ (*) và (**) ta có x 3 là nghiệm duy nhất của bất phương trình.
Bài 2: (ĐH A2010) Giải bất phương trình :
x x
1 2( x x 1)
2
�1
Giải
ĐKXĐ: x �0 .
Ta có 1 2( x 2 x 1) 0 nên BPT � 2( x 2 x 1) �1 x x
(1) .
Mặt khác ta lại có :
(2)
2( x 2 x 1) 2(1 x )2 2( x )2 �1 x x
Từ (1) và (2) � 2( x 2 x 1) 1 x x .
Dấu bằng khi 1 x x � x
3 5
(t / m x �0)
2
Bài 3 Giải bất phương trình: 2 7 x 3 11x 2 25 x 12 �x 2 6 x 1
Giải
ĐKXĐ: (7 x 4)( x 2 x 3) �0 ۳ x
4
7
Theo bất đẳng thức Cosi ta có:
2
2
VT 2 (7 x 4)( x x 3) �x 6 x 1 VP
Vậy bất phương trình xảy ra VT VP � 7 x 4 x 2 x 3
13
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
�
x 1
2
x 8x 7 0 � �
x 7
�
V. Phương pháp hàm số.
Sử dụng tính chất của hàm số là dạng toán khá quen thuộc, nhưng học sinh rất
khó phát hiện vấn đề. Ta thường có 2 hướng áp dụng sau:
Hướng thứ 1: Thực hiên theo các bước
+ Chuyển bất phương trình về dạng
+ Chỉ ra hàm số
+ Chỉ ra giá trị
f ( x) k
y f ( x) là hàm số đơn điệu.
x0 sao cho f ( x0 ) k .
Hướng thứ 2: Thực hiên theo các bước
+ Chuyển bất phương trình về dạng
+ Chỉ ra hàm số
f (u ) f (v)
y f ( x) là hàm số đơn điệu.
+ Từ đó suy ra mối quan hệ của u, v.
Bài 1: Giải bất phương trình:
x 2 2 x 3 x 2 6 x 11 3 x x 1
Giải
ĐKXĐ: 1 �x �3
Bất phương trình đã cho: x 2 2 x 3 x 1 3 x x 2 6 x 11
� ( x 1)2 2 x 1 (3 x) 2 2 3 x (2)
Xét hàm số: f ( x) x 2 2 x là hàm số đồng biến với 1 �x �3 .
Khi đó (2) viết lại: f ( x 1) f (3 x) � x 1 3 x � x 2
14
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 x �3 .
Bài 2
Giải bất phương trình 4 x 3 x ( x 1) 2 x 1 �0
Giải
ĐKXĐ: x �
1
2
Nhân 2 vế với 2 và biến đổi bất phương trình
� (2 x)3 2 x �(2 x 1) 2 x 1 2 x 1
Xét hàm số f (t ) t 3 t � f '(t ) 3t 2 1 0 � Hàm số luôn đồng biến.
Từ phương trình có f (2 x) f (�2 x 1)
2x
2x 1
�x �0
1 5
۳ x
� 2
4
4 x 2 x 1 �0
�
1 5
4
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: x �
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình sau:
1. 1 x3 x 5
2. x 1 x 2 1 �( x 1)(3 x )
3. x 1 �1 2 x x 2 x3
4. 2 x(4 x 2 1) �( x 2 3x 1) x 2 3x
5. 4 x 3 x ( x 2) 2 x 3 �0
15
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
PHẦN III. KẾT LUẬN
Hiện nay, lộ trình thực hiện Đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp
kiểm tra, đánh giá, Đổi mới hình thức thi Đại học – Cao đẳng và tốt nghiệp
THPT của Bộ GD & ĐT đang được triển khai một cách mạnh mẽ. “ Một số
16
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
phương pháp giải phương pháp giải bất phương trình vô tỷ” thực sự là tài liệu bổ
ích, có hiệu quả cao trong quá trình ôn tập và luyện thi của các em học sinh. Tài
liệu đã khái quát được toàn bộ hệ thống kiến thức phần bất phương trình một
phần quan trọng trong nội dung đề thi theo mẫu mới của Bộ GD & ĐT. Trên cơ
sở đó, tài liệu đã đưa ra hệ thống các câu hỏi ôn luyện đầy đủ và chi tiết, bao
quát được cả nội dung cơ bản cũng như nâng cao liên quan đến bất phương
trình.
Trên đây là một số vấn đề lý luận và thực tiễn của việc Ôn tập và luyện thi
phần bất phương trình lớp 10 THPT mà chúng tôi đã tìm tòi, biên soạn và đã đạt
được những kết quả rất đáng khả quan. Tuy nhiên, việc áp dụng tài liệu chưa
được nhiều năm nên chưa thể hoàn thiện, chúng tôi sẽ tiếp tục triển khai trong
những năm học tiếp theo để khẳng định kết quả của đề tài. Rất mong tiếp tục
nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài của chúng tôi
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
17
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO
GV: Vũ Văn Thiết
- Xem thêm -
.DOC 
17 
328 
87 
