Tài liệu Một số phương pháp giải bài toán rẽ nhánh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 3 6 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục . . . . . . . . . 8 1.1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng . . . . . . . . . . . 9 1.3 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng . . . . . . . . . . 10 1.5 Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Lý thuyết bậc ánh xạ 12 2.1 Một vài ký hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi . . . . . . . . . . . 13 2.3 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Giải bài toán rẽ nhánh 3.1 26 Lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 26 3.2 Giải bài toán rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2 MỞ ĐẦU Nhiều hiện tượng tự nhiên và khoa học có thể được mô tượng mô tả bằng ngôn ngữ toán học thông qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số: (λ, v) ∈ Λ × D, F (λ, v) = 0, trong đó, F là một hàm số trên tích của không gian metric (Λ, d) với D, (D là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn X) vào không gian định chuẩn Y . Nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình trên là việc nghiên cứu sự thay đổi nghiệm của nó theo tham số. Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh được sử dụng nhiều để nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi. Giả thiết rằng với λ ta có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình (λ, v) ∈ Λ × D. F (λ, v) = 0, (1) Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó có tính chất với δ > 0, ǫ > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D của (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ và 0 < ||u|| < ǫ. Nghiệm tầm thường (λ, 0) này được gọi là nghiệm rẽ nhánh của (1), λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của (1) được gọi là bài toán rẽ nhánh. Có nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toán rẽ nhánh, mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng 3 của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Rất nhiều các công trình của các tác giả khác nhau cho ba bài toán: sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh, tồn tại những nhánh nghiệm, tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ, với phương pháp biến phân, tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt, tham số là số thực dạng T (v) − λc(v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. Trong luận văn này ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp LyapunovSchmidt trong [1] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều, phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao. Sau đó sử dụng bậc ánh xạ để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh. Từ đó, ta có phương pháp kết hợp giữa phương pháp tôpô và giải tích cho bài toán rẽ nhánh. Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho việc trình bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh. Chương hai trình bày lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Tiếp theo ta chỉ ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ. Cuối cùng là một số ứng dụng của bậc ánh xạ. Chương ba trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số. Từ đó ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương 4 trình (1). Khi viết bản luận văn này tác giả đã tham khảo các tài liệu [2], [3], [4] và [5], trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh và công thức biểu diễn nghiệm của phương trình theo véctơ riêng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô phòng Sau Đại học đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành khóa luận. Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn bè đã luôn động viên và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình. Hà Nội, tháng 4 năm 2015 Nguyễn Thị Mai 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số không gian thường dùng trong luận văn và một số định nghĩa, định lý làm cơ sở cho chương 2 và chương 3. 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian véctơ thực. Một ánh xạ ||·|| : X → R gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau: (i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, (ii) ||λx|| = |λ|.||x||, ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0, ∀x ∈ X, (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ X. Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là một dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn (X, || · ||) nếu lim ||xn − xm || = 0. m,n→∞ 6 Định nghĩa 1.1.3. Nếu trong không gian định chuẩn (X, || · ||), mọi dãy cơ bản đều hội tụ tới giới hạn thuộc không gian X thì X được gọi là không gian đủ hay không gian Banach, tức là với mỗi dãy cơ bản {xn } ⊂ X thì luôn tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 khi n → ∞. Sau đây, ta xét một số trường hợp cụ thể của không gian Banach. 1.1.1 Không gian Rn Cho 1 ≤ p ≤ ∞, ta xác định chuẩn || · ||p trên Rn như sau: với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ta định nghĩa n X ||x||p = i=1 |xi |p
p1 nếu p < ∞. Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x||p = max{|x1 |, . . . , |xn |}. Khi đó, Rn với chuẩn || · ||p là không gian Banach. Hai chuẩn ρ1 , ρ2 trên không gian định chuẩn X gọi là tương đương nếu tồn tại hai số thực dương C1 , C2 sao cho C1 ρ1 (x) ≤ ρ2 (x) ≤ C2 ρ1 (x), ∀x ∈ X. Hai chuẩn tương đương thì một dãy điểm {xn } ⊆ X là hội tụ theo chuẩn ρ1 về x0 ∈ X khi và chỉ khi {xn } hội tụ về x0 theo chuẩn ρ2 . Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Rn đều tương đương. 1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục Cho X ⊆ Rn , định nghĩa C(X, Rm ) = {f : X → Rm |f là ánh xạ liên tục}. Cho f ∈ C(X, Rm ), đặt ||f ||◦ = sup ||f (x)||, x∈X 7 trong đó, || · || là một chuẩn trong Rn . Vì giới hạn của một dãy các ánh xạ liên tục hội tụ đều cũng là một ánh xạ liên tục nên C(X, Rm ) là không gian Banach. 1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục Cho D ⊂ Rn là một tập mở bị chặn của Rn . Cho β = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn , đặt |β| = i1 + . . . + in . Cho Dβ f : D → Rm là đạo hàm riêng của hàm f : D → Rn bậc β Dβ f (x) = ∂ β f (x) , ∂ i1 x1 . . . ∂ in xn trong đó x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D. Định nghĩa C k (D, Rm ) = {f : D → Rm |Dβ f (x) liên tục trên D, ∀β : |β| ≤ k}. Khi đó C k (D, Rm ) là không gian Banach với chuẩn của f ∈ C k (D, Rm ) được xác định bởi ||f ||k = 1.1.4 X max {||Dβ f ||0 }. |β|≤k Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có một hàm song tuyến tính, đối xứng h·, ·i : X × X → R thỏa mãn hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X và hx, xi = 0 thì x = 0. Ta gọi X là không gian tiền Hilbert. Hơn nữa, nếu ta định nghĩa ||x|| = p hx, xi, thì (X, || · ||) là không gian định chuẩn. Nếu không gian này đủ thì (X, h·, ·i) được gọi là không gian Hilbert. 8 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng Cho hai không gian véctơ bất kỳ X, Y . Một ánh xạ A:X →Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu (i) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ). (ii) A(αx) = αA(x) với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ R. Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x). Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → Ax0 với mọi dãy {xn } ⊂ X, x0 ∈ X. Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho ||Ax||Y ≤ K||x||X , ∀x ∈ X. Định lý 1.2.1. Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. Cho X, Y là hai không gian Banach với X ∗ = {f |f : X → R, f tuyến tính liên tục}; Y ∗ = {g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục}, tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và Y . Cho A : X → Y là một toán tử liên tục. Khi đó, toán tử A∗ : Y ∗ → X ∗ của A là toán tử tuyến tính được xác định bởi hA∗ y, xi = hy, Axi, x ∈ X, y ∈ Y ∗ , với h·, ·i là cặp đối ngẫu giữa X và X ∗ , Y và Y ∗ . Cho X là không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi là 9 đối xứng nếu hAy, xi = hy, Axi. Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Banach X là hoàn toàn liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn. Một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục A bao giờ cũng có một giá trị riêng λ (với |λ| = ||A||). Tức là, tồn tại x 6= 0 để Ax = λx. Khi ấy nghiệm x này gọi là một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. 1.3 Toán tử Fredholm Cho X, Y là hai không gian Banach, A : X → Y là một toán tử tuyến tính với A∗ : Y ∗ → X ∗ là toán tử liên hợp. Xét các không gian con ker A = {a ∈ X|Ax = 0}; ker A∗ = {y ∈ Y ∗ |A∗ y = 0}. Các không gian này được gọi là các không gian riêng của A và A∗ . Nếu dim ker A = p, (p < ∞) và dim ker A∗ = q, (q ≤ p, q < ∞) thì A được gọi là toán tử Fredholm với chỉ số s = p − q. 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ta nói rằng (i) Toán tử f : X → Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ||f (x) − f (y)||Y ≤ L||x − y||X , ∀x, y ∈ X. (ii) f là Lipschitz địa phương tại x̄ nếu tồn tại lân cận U chứa x̄ để f là Lipschitz trên U . 10 Xét toán tử A : X → X ∗ , A được gọi là toán tử thế năng nếu tồn tại hàm khả vi f : X → R sao cho A(x) = ∂f (x), với ∂f (x) là vi dưới phân của hàm f tại x. 1.5 Định lý hàm ẩn Cho X, Y, Z là các không gian Banach. U ⊂ X × Y là một tập mở. f : U → Z là ánh xạ liên tục tại điểm (a, b) ∈ U thỏa mãn các điều kiện sau (i) f (a, b) = 0, (ii) Đạo hàm riêng fy′ (a, b) tồn tại trong U và liên tục tại (a, b), (iii) fy′ (a, b) là ánh xạ 1-1 và lên. Khi đó, tồn tại một lân cận V1 của a trong X; tồn tại một lân cận V2 của b trong Y , sao cho V1 × V2 ⊂ U , và một ánh xạ g : V1 → V2 liên tục tại a sao cho với mọi (x, y) ∈ V1 × V2 ta có f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = g(x). 11 Chương 2 Lý thuyết bậc ánh xạ Trong chương này ta định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục từ tập D (D là tập mở bị chặn) vào Rn và mô tả một số tính chất cơ bản của bậc ánh xạ. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về ánh xạ khả vi. 2.1 Một vài ký hiệu và bổ đề Định nghĩa 2.1.1. Cho f : Rn → R, Nếu các đạo hàm riêng x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . tồn tại với mọi i = 1, 2, . . . , n thì véctơ   ∂f ∂f (x), . . . , (x) ∂x1 ∂xn ∂f ∂xi (x) được gọi là gradient của f tại x, ký hiệu grad f (x). Định nghĩa 2.1.2. Cho ánh xạ f = (f1 , . . . , fn ) : Rn → Rn . Nếu tại thời điểm x = (x1 , . . . , xn ) của Rn , tồn tại các đạo hàm riêng với mọi i, j = 1, . . . , n thì ma trận  ∂f1 (x) ∂x  1  Jf (x) =   · ∂fn ∂x1 (x) 12 ... ... ...  ∂f1 ∂xn (x)    ∂fn ∂xn (x) · ∂fi ∂xj (x), được gọi là ma trận Jacobi của f tại điểm x, còn Định thức của nó, ký hiệu |Jf (x)| gọi là Jacobian của f tại x. Cho D ⊆ Rn là một tập mở, ánh xạ f ∈ C 1 (D, Rn ) và điểm x ∈ D. Nếu |Jf (x)| = 0 thì x được gọi là điểm tới hạn của f và tập các điểm tới hạn của f trong D ký hiệu là Z = {x ∈ D||Jf (x)| = 0}. Điểm y ∈ Rn gọi là điểm chính quy của f nếu f −1 (y) ∩ Z = ∅. Ta có kết quả sau. Định lý 2.1.1 (Bổ đề Sard). Cho tập mở D ⊆ Rn và hàm f ∈ C 1 (D, Rn ). Khi đó, với mỗi tập E ⊆ D đo được, thì f (E) cũng đo được và Z µ(f (E)) ≤ |Jf (x)|dx. E Từ đây suy ra µ(f (Z)) = 0. Định nghĩa 2.1.3. Ta nói hai ánh xạ liên tục f, g : D → Rn đồng luân với nhau nếu có một ánh xạ liên tục h : [0, 1] × D → Rn sao cho h(0, ·) = f (·), h(1, ·) = g(·). 2.2 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi Trước hết chúng ta định nghĩa bậc của ánh xạ khả vi liên tục tại các điểm chính qui. Xét hàm φ ∈ C 1 (D, Rn ) và điểm p ∈ Rn , p ∈ / φ(∂D). Ta sẽ định nghĩa bậc của hàm φ trên D đối với p là một số nguyên, được ký 13 hiệu là deg(p, φ, D). Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu φ ∈ C 1 (D, Rn ), p ∈ Rn \ φ(∂D), φ−1 (p) ∩ Z = ∅ thì tập φ−1 (p) hữu hạn. Thật vậy, giả sử có x0 ∈ D, x0 ∈ φ−1 (p) thì Jφ (x0 ) 6= 0. Theo Định lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận U của x0 và một lân cận V của p sao cho φ : U → V là một đồng phôi nên tập φ−1 (p) là rời rạc. Hơn nữa, D là tập compact nên φ−1 (p) là hữu hạn. Do đó ta định nghĩa deg(p, φ, D) = X φ(x)=p sign |Jφ (x)|. Như vậy, hiển nhiên ta thấy nếu p ∈ / φ(D) thì deg(p, φ, D) = 0. Ví dụ 2.2.1. Cho hàm φ xác định bởi φ(x, y) = (x2 − y 2 − ǫ, 2xy), với 0 < ǫ < 1. √ √ Xét điểm p = (0, 0) ⇒ φ−1 (p) = {(− ǫ, 0), ( ǫ, 0)}. Nếu D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1} thì φ−1 (p) ∩ ∂D = ∅. Ta có  Jφ (x, y) =  Suy ra φ−1 (p) ∩ Z = ∅. 2x −2y 2y 2x   ⇒ |Jφ (x, y)| = 4(x2 + y 2 ). Do đó, deg(p, φ, D) là xác định và theo định nghĩa ta có deg(p, φ, D) = 1 + 1 = 2. Trường hợp 2: φ ∈ C 1 (D, Rn ), p ∈ Rn \ φ(∂D), φ−1 (p) ∩ Z 6= ∅. Trong trường hợp này, theo Định lý 2.1.1 ta có µφ(Z) = 0. Từ đây ta suy ra intφ(Z) = 0, nên tồn tại một dãy {qn } (qn ∈ φ(∂D)) sao cho qn → p và 14 φ−1 (qn ) ∩ Z = ∅. Theo trường hợp 1 ta định nghĩa được deg(qn , φ, D) và ta sẽ thấy giới hạn limqn →p deg(qn , φ, D) tồn tại và không phụ thuộc vào dãy {qn }. Do đó ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim deg(qn , φ, D), qn →p (φ−1 (qn ) ∩ Z = ∅). Để chứng minh được điều này, chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất của các hàm thuộc lớp C 1 . Trước hết, ta xét biểu diễn tích phân của deg(p, φ, D) với ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện trong trường hợp 1. Định lý 2.2.1. Cho hàm φ ∈ C 1 (D, Rn ), p ∈ Rn \φ(∂D) sao cho φ−1 (p)∩Z = ∅ và họ hàm liên tục fǫ : Rn → R thỏa mãn (i) Z fǫ (x)dx = 1; Rn (ii) Kǫ = support fǫ = S(p, ǫ) Khi đó deg(p, φ, D) = = {q ∈ Rn ||p − q| < ǫ} = {x ∈ Rn |fǫ (x) 6= 0}. Z fǫ (φ(x))|Jφ (x)|dx. D Chứng minh. Theo giả thiết φ−1 (p) ∩ Z = ∅ nên φ−1 (p) là hữu hạn hay phương trình φ(x) = p chỉ có k nghiệm (x1 , . . . , xk ) và Jφ (xi ) 6= ∅ (i = 1, . . . , k). Theo Định lý hàm ẩn, tồn tại lân cận U i của xi và K i của p(K i ) = S(p, ǫi ) sao cho là đồng phôi. φ : U i → Ki Chọn ǫ = min ǫi sao cho i=1,...,k Uǫi ∩ Uǫj = ∅ (i 6= j; i, j = 1, . . . , k); 15 và đồng phôi. φ : Uǫi → Kǫi Do hàm fǫ triệt tiêu ở bên ngoài ∪ni=1 Kǫi và Uǫi ∩ Uǫj = ∅ nên Z Z fǫ (φ(x))|Jφ (x)|dx fǫ (φ(x))|Jφ (x)|dx = i ∪k i=1 Uǫ D = k Z X fǫ (φ(x))|Jφ (x)|dx. i=1 Vì |Jφ (xi )| = 6 0 (i = 1, . . . , k) nên ta có thể cho giả thiết rằng |Jφ (x)| = 6 0 tại mỗi điểm trong Uǫi . Trong trường hợp này, dấu của Jφ trên mỗi Uǫi là không đổi. Theo định lý đổi biến của phép tính tích phân đối với các đồng phôi φ : Uǫi → Kǫi , ta đi đến công thức: Z fǫ (φ(x))|Jφ (x)|dx = D k X i=1 sign |Jφ (xi )| = deg(p, φ, D). Vậy định lý đã được chứng minh. Tiếp theo, ta xét hàm véctơ v : Rn → Rn thuộc lớp C 1 , v(x) = (v 1 (x), . . . , v n (x)) với vi : Rn → R. Đặt n X ∂v i , f= ∂x i i=1 thì hàm f : Rn → R được gọi là divergence của v và ký hiệu là div v, (f = div v). Khi đó, ta thu được kết quả của bổ đề sau, chứng minh của nó suy ra ngay từ Định lý Fubini về tích phân bội. Bổ đề 2.2.1. Cho hàm véctơ v : Rn → Rn thuộc lớp C 1 , v = (v 1 , . . . , v n ) và f = div v. Nếu supp v = K là tập giới nội trong Rn , thì Z f (x)dx = 0. Rn 16 Cho v như ở trên và φ ∈ C 1 (D, Rn ) ta thu được kết quả: Bổ đề 2.2.2. Nếu K ∩ φ(∂D) = ∅, thì hàm g(x) = f (φ(x))|Jφ (x)| cũng là divergence của một hàm u nào đó thuộc lớp C 1 với supp u chứa trong D. Chứng minh. Theo giả thiết hàm φ ∈ C 1 (D, Rn ), do đó tồn tại ma trận Jacobi của φ tại x là Jφ (x) =  ∂φi ∂xj  . Giả sử ai,j là định thức con của |Jφ (x)| bỏ đi thành phần ∂φi ∂xj . Ta xác định hàm u bởi ui (x) = X v j (φ(x))ai,j (x), (i = 1, . . . , n). j Vì v ∈ C 1 (D, Rn ), φ ∈ C 1 (D, Rn ) nên u ∈ C 1 (D, Rn ). Từ giả thiết K ∩ φ(∂D) = ∅ nên ta có thể coi u được định nghĩa trên toàn Rn (với giá trị 0 nằm ngoài D) và có supp u nằm trong D. Bây giờ ta chứng minh div u = g. Ta dễ dàng tính được uii = X j [vk (φ(x))φ)ik (x)ai,j (x) + v j (φ(x))ai,j i (x)]; k,j div u = X uii = div vJφ (x) + X v j (φ(x))ai,j i i,j i = g(x) + X j X i,j ai (x)). v j (φ(x))( Theo định nghĩa thì ta có (n − 1)!ai,j = X i,m ,...,m n−1 j1 ,...,jn−1 ǫj,j11,...,jn−1 φm1 ,...,mn−1 , i,m ,...,m n−1 với ǫj,j11,...,jn−1 là chu kỳ của hoán vị mh → jh . P Lấy đạo hàm ta được i ai,j i = 0. Từ đó suy ra div u = g(x). 17 i Bổ đề 2.2.3. Cho hàm f là hàm liên tục xác định trên Rn với supp f ⊂ D. Giả sử x0 ∈ Rn và conv(K ∪ (K − x0 )) ⊂ D, khi đó hàm f (x) − f (x + x0 ) là divergance của ánh xạ v : Rn → Rn có supp v ⊂ D. Chứng minh. Đặt φ(x) = f (x) − f (x + x0 ), khi đó, supp φ ⊂ conv(K ∪ (K − x0 )). Ta định nghĩa Z Φ(x) = ∞ φ(x + tx0 )dt, −∞ v (x) = x0i Φ(x). i Suy ra supp v i ⊂ conv(K ∪ (K − x0 )). Hơn nữa, nếu v = (x1 , . . . , v n ), ta có div v = φ. Thực tế, ta có div v = X vii = i i P X x0i ∂Φ , ∂xi ∂Φ là đạo hàm theo phương của hàm Φ tại điểm x0 và bằng d Φ(x+ x0i ∂x i dt 0 tx )t=0 . do i Theo định nghĩa của Φ thì d d Φ(x + tx0 )t=0 = dt dt Z = = Z Z 0 0 −∞ −∞ 0 −∞
φ(x + (t + u)x0 )du t=0
d φ(x + (t + u)x0 )du t=0 dt
d φ(x + ux0 )du t=0 = φ(x). du Tức là div v = φ(x) = f (x) − f (x + x0 ). Bổ đề đã được chứng minh. Cho x(s) là đường cong liên tục trên Rn , 0 ≤ s ≤ 1. Ta định nghĩa quan hệ tương đương trên [0, 1] như sau: s1 , s2 ∈ [0, 1], s1 tương đương với s2 nếu f (x + x(s1 )) − f (x + x(s2 )) 18 là divergence của một ánh xạ u ∈ C 1 nào đó với giá nằm trong D. Theo Bổ đề 2.2.2 ta thấy tính divergence được bảo toàn qua một đường cong liên tục. Điều này được thể hiện rõ qua hệ quả sau: Hệ quả 2.2.1. Cho x(s) là một đường cong liên tục trong Rn , 0 ≤ s ≤ 1. f : Rn → R là hàm liên tục với K = supp f ⊂ D. Giả sử (i) K ⊂ convM, M là tập compact, M ⊂ D; (ii) M − x(s) ∩ ∂D = ∅ với mọi s ∈ [0, 1], khi đó f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của ánh xạ v ∈ C 1 , v : Rn → Rn mà supp v ∈ D. Chứng minh. Lấy s, s′ ∈ [0, 1]. Đặt x0 = x(s′ ) − s(s); K1 = K + x(s). Suy ra K1 + x0 = K + x(s′ ). Do K ∪ K − x0 ⊂ D nên K1 ∪ K1 − x0 ⊂ M ⊂ D. Theo Bổ đề 2.2.3 thì f (y) − f (y + x0 ) là divergence của một hàm v ∈ C 1 và supp v ⊂ D. Mặt khác, y ∈ K1 nên suy ra y = x + x(s), (x ∈ K). Do đó f (y) − f (y + x0 ) = f (x + x(s)) − f (x + x(s) + x0 ) = f (x + x(s)) − f (x + x(s′ )) là divergence của hàm v ∈ C 1 có supp v ⊂ D, tức là s ∼ s′ . Cũng theo Bổ đề 2.2.3 ta kết luận rằng mọi lớp tương đương là tập mở. Nhưng [0, 1] là tập liên thông, vì vậy chỉ có một lớp tương đương là duy nhất, nghĩa là 0 ∼ 1, hay f (x + x(0)) − f (x + x(1)) là divergence của v ∈ C 1 có supp v ⊂ D. 19