Tài liệu Một số phương pháp giải bài toán dựng hình

MỤC LỤC MỤC LỤC ............................................................................................................. 1 A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 3 I. LÝ do chän ®Ò tµi................................................................................................. 3 II. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu ................................................................................... 4 III. Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi................................................................................ 4 B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 6 CHƢƠNG II. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HÌNH .............................. 6 1. ThÕ nµo lµ dùng h×nh ......................................................................................... 6 2. C¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n b»ng th-íc vµ compa: ........................................... 6 3. Gi¶i bµi to¸n dùng h×nh ..................................................................................... 6 4. Một số bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n: .................................................................... 7 5. C¸c b-íc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh ............................................................... 7 6. Áp dông............................................................................................................ 17 7. Dùng h×nh b»ng c¸c dùng cô kh¸c .................................................................. 23 8.§iÒu kiÖn ®Ó gi¶i ®-îc bµi to¸n dùng h×nh (b»ng th-íc vµ compa) ........... Error! Bookmark not defined. CHƢƠNG II.MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH ............ 27 1. Ph-¬ng ph¸p quỹ tícht-¬ng giao ..................................................................... 27 1.1. C¬ së lý thuyÕt .............................................................................................. 27 1.2.Các bài toán áp dụng. ................................................................................... 27 2. Ph-¬ng ph¸p ®¹i sè.......................................................................................... 35 2.1. Cơ sở lý thuyết .............................................................................................. 35 2.2.Các bài toán áp dụng .................................................................................... 36 3. Ph-¬ng ph¸p biÕn h×nh .................................................................................... 43 3.1. Cơ sở lý thuyết: ............................................................................................ 43 3.2.Các bài toán áp dụng .................................................................................... 43 3.2.1. Dựng hình bằng phương pháp biến hình với phép tịnh tiến: .................... 43 3.2.2. Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép đối xứng trục, đối xứng tâm: ............................................................................................................. 45 1 3.2.3. Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép quay ........................ 46 3.2.4. Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép vị tự ........................ 49 4. C¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c..................................................................................... 51 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................................................... 53 C. KẾT LUẬN CHUNG....................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 55 2 A. MỞ ĐẦU I. LÝ do chän ®Ò tµi Ở bậc THCS,b i h c dùng h×nh đ u ti n ®-îc ®-a vµo ở líp 7. Ở ®ã kh¸i niÖm vÒ dùng h×nh ng-êi ta kh«ng ®-a ra mét c¸ch tæng qu¸t mµ th«ng qua mét bµi tËp cô thÓ. TiÕp ®ã bµi häc chÝnh thøc thø hai vÒ dùng h×nh lµ bµi " Bµi to¸n dùng h×nh 4 b-íc" ®-îc ®-a vµo ch-¬ng I cña s¸ch "H×nh häc 8". Vµ ë THCS ng-êi ta kh«ng ®-a ra c¸c ph-¬ng ph¸p dùng h×nh mµ chØ th-êng dùng h×nh trªn nh÷ng sè liÖu cô thÓ nªn nhiÒu khi dùng h×nh kh«ng cã b-íc biÖn luËn. V× ®-îc ®-a vµo Ýt nh- vËy nªn gi¸o viªn vµ häc sinh THCS ®a sè kh«ng coi träng vµ dµnh nhiÒu thêi gian cho nã. V× c¸c emh c sinh hiÓu dùng h×nh mét c¸ch m¸y mãc vµ kh«ng vËn dông chóng mét c¸ch linh ho¹t. Dùng h×nh lµ mét d¹ng bµi tËp khã ®èi víi häc sinh THCS. Th«ng th-êng c¸c em h c sinh ch-a hiÓu mét c¸ch ®Çy ®ñ vÒ kiÕn thøc c¬ b¶n, c¸c suy luËn ®Ó gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh. Cßn ®èi víi sinh viªn s¾p vµo nghÒ còng gÆp khã kh¨n trong viÖc h-íng dÉn, gîi ý gióp häc sinh t×m ra yÕu tè liªn quan ®Ó dùng ®-îc h×nh tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n.NhËn thøc râ ®-îc tÇm quan träng cña viÖc gi¶ng d¹y vµ häc tËp to¸n dùng h×nh ë cÊp II nãi chung, viÖc båi d-ìng häc sinh giái nãi riªng nªn khi ®-îc chän lµm ®Ò tµi tèt nghiÖp th× em ®· chän ®Ò tµi "Một số ph-¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n dùng h×nh". §©y lµ mét ®Ò tµi khã nh-ng em m¹nh d¹n ®i s©u nghiªn cøu ®Ò tµi nµy mong r»ng phÇn nµo chØ ra ®-îc nh÷ng -u ®iÓm, sù cÇn thiÕt cña to¸n dùng h×nh còng nh- nh÷ng khã kh¨n, lóng tóng khi häc to¸n dùng h×nh. Qua ®ã c¸c em h c sinh biÕt c¸ch gi¶i to¸n dùng h×nh mét c¸ch nhanh chãng, cã ph-¬ng ph¸p vµ yªu thÝch, say mª häc lo¹i to¸n nµy. Ngoµi ra khi lµm ®Ò tµi nµy em còng hy väng tÝch luü ®-îc cho m×nh thªm kiÕn thøc ®Ó sö dông nã khi ra tr-êng. Em thùc hiÖn ®Ò tµi nµy víi c¶ sù cè g¾ng t×m tßi, ®-îc sù gióp ®ì nhiÖt t×nh cña thÇy gi¸o Ths. TrÇn M¹nh Hïng vµ tham kh¶o c¸c tliÖu cã liªn quan. §ång thêi cã tr×nh bµy thªm nh÷ng quan ®iÓm nhËn xÐt riêng cña m×nh. V× kinh nghiÖm, kh¶ n¨ng vµ kiÕn thøc cßn cã h¹n nªn ®Ò tµi cña em kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ h¹n chÕ, mong c¸c thÇy c« cïng c¸c anh 3 chÞ, c¸c b¹n nghiªn cøu ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó em hoµn chØnh, kh¾c phôc khuyÕt ®iÓm vµ lÊy nã lµm kinh nghiÖm cho viÖc d¹y häc sau khi ra tr-êng. II. Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu §Ó lµm ®Ò tµi nµy em ®· dïng ph-¬ng ph¸p sau: - S-u tÇm tµi liÖu vµ chän läc c¸c tµi liÖu cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi. - §äc vµ nghiªn cøu tµi liÖu, tõ ®ã tæng hîp vµ kh¸i qu¸t nªn rót ra nh÷ng kÕt luËn khoa häc ®-a vµo trong ®Ò tµi. III. Néi dung chÝnh cña ®Ò tµi §Ò tµi nµy hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ dùng h×nh, ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi tËp dùng h×nh b»ng ph-¬ng ph¸p t-¬ng giao, ph-¬ng ph¸p ®¹i sè vµ ph-¬ng ph¸p biÕn h×nh. Ở sau mỗi bµi tËp em cã ®-a ra nh÷ng bµi tËp më réng gióp sinh viªn s- ph¹m khi ®i thùc tËp vµ b¾t ®Çu b-íc vµo nghÒ cã thÓ l-u ý h¬n trong c¸ch d¹y, rÌn luyÖn t- duy cho häc sinh. §ång thêi gióp cho häc sinh tr¸nh ®-îc nh÷ng khã kh¨n sai lÇm trong qu¸ tr×nh lµm bµi tËp dùng h×nh. - §Ò tµi gåm hai ch-¬ng: Ch-¬ng I: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ dùng h×nh. Ch-¬ng II: Một số phương pháp giải b i toán dựng hình. - KÕt qu¶ nghiªn cøu: KiÕn thøc vÒ dùng h×nh ë cÊp THCS kh«ng ®-îc s¸ch gi¸o khoa ®i s©u vÒ lý thuyÕt vµ bµi tËp. §©y lµ d¹ng bµi tËp khã. S¸ch gi¸o khoa ®· ®øa ra mét sè bµi tËp c¬ b¶n, ®¬n gi¶n. B-íc ®Çu cho c¸c em c sinh lµm quen víi dùng h×nh. C¸c bµi tËp vÒ dùng h×nh cã t¸c dông tèt trong viÖc ph¸t triÓn kh¶ n¨ng ph©n tÝch, suy luËn, dù ®o¸n c¸c kh¶ n¨ng x¶y ra vµ rÌ a häc sinh. V× vËy trong ®Ò tµi nµy, em xin tr×nh bµy râ rµng, chi tiÕt c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ dùng h×nh: 1. ThÕ nµo lµ dùng mét h×nh, thÕ nµo lµ mét h×nh ®-îc dùng. 2. C¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n b»ng th-íc vµ compa (5 tiªn ®Ò vÒ dùng h×nh). 3. Gi¶i bµi to¸n dùng h×nh. 4. C¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n. 4 5. C¸c b-íc gi¶i vµ d¹y bµi to¸n dùng h×nh (th-êng gåm 4 b-íc). 6. Dùng h×nh b»ng c¸c dông cô kh¸c (eke, th-íc ®o ®é…). 7. Điều kiện để giải được b i toán dùng h×nh b»ng th-íc vµ compa. 8. Ph-¬ng ph¸p t-¬ng giao vµ mét sè vÝ dô cô thÓ vàcã b i tập më réng. 9. Ph-¬ng ph¸p ®¹i sè vµ mét sè vÝ dô cô thÓvà cã b i tậpmë réng. 10. Ph-¬ng ph¸p sử dụng phép biến h×nh vµ mét sè vÝ dô cô thÓvàcó b i tập më réng. 11. C¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c Nh÷ng vÝ dô vµ bµ tËp mµ em lùa chän tr×nh bµy, ®Òu mang tÝnh chÊt chñ quan, nã ch-a ®Æc tr-ng hÕt nh÷ng g× mµ em muèn nãi. Em nghÜ r»ng ng-êi ®äc cã thÓ t×m thªm nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c tèt h¬n hay h¬n. Dï vËy, víi lßng mong mái ®-îc tËp d-ît nghiªn cøu. Em m¹nh d¹n thùc hiÖn ®Ò tµi nµy. Do lÇn ®Çu thùc hiÖn c«ng viÖc nghiªn cøu, ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng nhËn xÐt chñ quan. KÝnh mong quý thÇy c« vµ c¸c b¹n gãp ý. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n. 5 B. NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HÌNH 1. ThÕ nµo lµ dùng h×nh: Cho bộ dụng cụ dựng hình B Dựng hình H đặc trưng bởi các phép dựng cơ bản (α). thỏa mãn các điều kiện T n o đó đã cho l liệt k dãy hữu hạn các phép dựng cơ bản trong (α) c n thực hiện để được hình H. Chó ý: Ta cÇn ph©n biÖt ®-îc viÖc vÏ h×nh mµ chóng ta th-êng thùc hiÖn tr-íc ®©y víi dùng h×nh võa míi nªu trªn. - VÏ h×nh lµ ta cã thÓ dïng bÊt k× mét dông cô nµo (th-íc kÎ, eke,compa, th-íc ®o gãc…) ®Ó vÏ h×nh Êy lªn giÊy. - Dùng h×nh lµ ta ph¶i nªu ®-îc mét d·y thø tù c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n ®Ó t¹o ra h×nh Êy chØ víi hai dông cô lµ th-íc kÎ vµ compa 2. C¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n(b»ng th-íc vµ compa): Cã 5 phÐp dùng h×nh c¬ b¶n: - Dùng nh÷ng h×nh ®· cho tr-íc. - Dùng ®-êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm - Dùng ®-êng trßn cã t©m vµ b¸n kÝnh cho tr-íc - Dùng giao ®iÓm (nÕu cã) cña hai h×nh ®· biÕt. - Dùng ®iÓm tuú ý trªn mÆt ph¼ng (thuéc hay kh«ng thuéc h×nh ®· dùng) Mäi phÐp dùng kh¸c ®Òu ph¶i quy vÒ 5 phÐp dùng c¬ b¶n trªn. 3. Gi¶i bµi to¸n dùng h×nh Lµ ta ®i t×m c¸c nghiÖm cña bµi to¸n. NghiÖm cña bµi to¸n dùng h×nh lµ h×nh dùng ®-îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n. §i t×m nghiÖm cña bµi to¸n nghÜa lµ chóng ta ph¶i: - X¸c lËp mét sè h÷u h¹n tr-êng hîp bao hµm tÊt c¶ nh÷ng kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra ®èi víi viÖc lùa chän nh÷ng c¸i ®· cho. - §èi víi mçi tr-êng hîp tr¶ lêi c©u hái bµi to¸n cã nghiÖm hay kh«ng vµ nÕu cã th× bao nhiªu nghiÖm. 6 - §èi víi mçi tr-êng hîp mµ bµi to¸n cã nghiÖm, chØ ra mét sè h÷u h¹n c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n cÇn tiÕn hµnh theo mét thø tù nµo ®ã ®Ó cã thÓ dùng ®-îc nã b»ng th-íc vµ compa. NÕu nh÷ng h×nh kh«ng yªu cÇu vÒ vÞ trÝ th× nh÷ng h×nh ®ã bµi to¸n yªu cÇu dùng coi nh- mét nghiÖm. NÕu cã yªu cÇu vÒ vÞ trÝ th× nh÷ng vÞ trÝ kh¸c nhau cho ta nh÷ng h×nh kh¸c nhau. §Ó cho ®¬n gi¶n trong thùc hµnh, tr×nh bµy lêi gi¶i ng-êi ta thªm c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n ngoµi nh÷ng phÐp dùng h×nh c¬ b¶n. 4. Một số bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n: Bµi to¸n 1: Dùng ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho trƣớc. C¸ch dùng: - Dùng ®o¹n th¼ng AB - Dïng Compa dùng ®ường trßn t©m B, b¸n kÝnh AB - Qua AB ta dùng mét ®ường th¼ng d c¾t ®ường trßn (B, AB) t¹i C. VËy ®o¹n th¼ng BC lµ ®o¹n th¼ng cÇn dùng. A B C Bµi to¸n 2: Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho trƣớc. C¸ch dùng: Cho trước góc ̂ và tia để dựng đường thẳng qua A hợp với một góc bằng ̂ , ta l m như sau: - Lấy trên tia một điểm B. - Dựng đường tròn tâm O bán kính bằng AB cắt Ox và Oy tại D v C. - Dựng đường tròn tâm A bán kính AB, v đường tròn tâm B bán kính CD hai đường tròn n y cắt nhau tại E v F. 7 Hai góc ̂ và ̂ = ̂ . E D x l A B O C y F Bµi to¸n 3: Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a, hoÆc hai gãc vµ mét c¹nh. 1 – Dựng ABC , biết ba cạnh BC = a, AB = b, AC = c. - Vẽ đoạn thẳng BC = a. - Vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng b. - Vẽ cung tròn tâm C, bán kính bằng c. - Lấy một giao điểm của hai cung tr n, g i giao điểm đó l A. - Vẽ đoạn thẳng AB, AC. Ta có tam giác ABC l tam giác c n dựng. A b c a C B 2 – Dựng ABC , biết AB = a, BC = b, ̂ - Dựng góc ̂ . (thước đo độ). - Trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB = a. 8 - Trên tia By lấy điểm C sao cho BC = b. - Dựng đoạn thẳng AC, ta được ABC . x A a B α b C 3 – Dựng ABC , biết BC = a, ̂ , ̂ y . - Vẽ đoạn thẳng BC = a. - Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC, dựng các tia Bxvà ̂ ̂ Hai tia tr n cắt nhau tại A. Ta được ABC . y B , x β α a C Bµi to¸n 4: Dùng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng. Dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng. C¸ch dùng: - Dùng ®o¹n th¼ng AB - LÊy A lµm t©m, vÏ cung trßn cã b¸n kÝnh lín h¬n 1 AB 2 - Sau ®ã lÊy B lµm t©m, vÏ cung trßn cã cïng b¸n kÝnh ®ã sao cho hai cung trßn nµy c¾t nhau tại hai ®iÓm M vµ N. - Dùng ®o¹n th¼ng MN. Giao ®iÓm cña MN vµ AB chÝnh lµ trung ®iÓm cña A 9 d M A I B N Bµi to¸n 5: Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng vuông góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc. Cách dựng: - Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A. - Lấy A l m tâm dựng một đường tròn cắt đường thẳng l tại hai điểm B, C. - Dựng đường trung trực của BC. Đây chính l đường thẳng đi qua A v vuông góc với l. Bài toán 6: Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng song song với một điểm đã cho. Cách dựng: - Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A. 10 - Dựng đường thẳng t đi qua A v vuông góc với l. - Dựng đường thẳng u đi qua A cuông góc với t. Đường thẳng u chính l đường thẳng đi qua A v song song với đường thẳng l. t u A l Bài toán 7: Dựng đƣờng phân giác của một góc. Cách dựng: - Cho trước góc ̂ . - Lấy O l m tâm dựng một đường tròn cắt Ox, Oy tại A, B. - Dựng đường trung trực của AB, đây chính l đường phân giác của góc ̂ . x A O B y Bài toán 8: Dựng tiếp tuyến đƣờng tròn đi qua một điểm cho trƣớc. Cách dựng: - Cho trước một đường tròn tâm O v một điểm A nằm ngo i đường tròn. 11 - Dựng trung điểm B của OA. - Lấy B l m tâm, dựng đường tròn bán kính AB. Đường tròn n y cắt (O) tại hai điểm C v D. - Hai đường thẳng AC v AD chính l tiếp tuyến của trường tròn (O). C A B O D Bài toán 9: Dựng tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn cho trƣớc. Cách dựng: Dựng sẵn hai đường tròn (O);(O’). *Tiếp tuyến chung ngoài: - Dựng bán kính OM bất kì. - Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’. - A l giao điểm của MM’ v OO’. - Dựng đường tròn đường kính O’A cắt (O’) tại B v C. Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung ngo i của (O); (O’). M B M' A O' O C 12 *Tiếp tuyến chung trong: - Dựng bán kính OM bất kì. - Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’. - A l giao điểm của MM’ v OO’. - Dựng đường tròn đường kính OA cắt (O) tại B v C. - Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung trong của (O); (O’). M B O' A O M' C Bài toán 10: Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trƣớc. Ví dụ: Dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x 2  ab ) Cách dựng: - E Dựng đoạn thẳng AC = a v BC = b. Trong đó A, B, C thẳng h ng. - Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB l x O. - Dựng đường tròn (O, OB). C O A a 13 b B - Dựng đường thẳng qua C v vuông góc với AB. Đường thẳng n y cắt (O, OB) tại E. Cách 1 - Dựng đường thẳng CE. Suy ra CE l đoạn thẳng c n dựng.  Chứng minh: Vì C  (O, OB) : OA  OB  OE  AB 2 E Mặt khác, vì AEB có đường trung tuyến OE ứng với cạnh huyền AB v bằng x 1 AB nên tam giác AEB vuông 2 C A tại E. O a Do đó theo hệ thức về đường cao v B b Cách 2 hình chiếu của hai cạnh góc vuông tr n cạnh huyền: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền l trung bình nhân của hai đoạn thẳng m nó định ra tr n cạnh huyền. Bài toán 11: Dựng cung chứa góc có hai điểm mút A và B. - Dựng đoạn thẳng AB. - Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB. - Dựng tia Ax tạo với AB một góc  . - Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax. - G i O là giao điểm của Ay với d.  - Vẽ cung tròn AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung n y nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.  - Cung AmB được dựng như tr n l một cung chứa góc A và B. 14 có hai điểm mút m y d O A  B x m B A  O d x y 5. C¸c b-íc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh Dạng toán: “Dựng hình H có tính chất  ”. Phương pháp giải toán: Để giải b i toán dựng hình ta thực hiện 4 bước. B-íc 1: Ph©n tÝch Xét xem yếu tố n o dựng được ngay. - Đoạn thẳng (khi biết độ d i). - Góc (khi biết số đo góc). - Tam giác (khi đủ b i toán yếu tố c.g.c, g.c.g, c.c.c). - Đường tròn (khi biết tâm v bán kính). Xét xem yếu tố n o c n dựng. 15 Ph n phân tích chính l ph n lý giải tại sao có cách dựng ở bước 2. Ph n phân tích bắt đ u bằng cách giả sử hình H đã dựng được. Từ đó suy ra muốn dựng được hình H phải dựng được hình H’, rồi trước khi dựng được H’ lại phải dựng được H’’, cứ như thế ta đi “giật lùi” để có thể tìm ra hình phải dựng đ u ti n. Nếu ph n phân tích của ta l đúng thì cách dựng chẳng qua l quá trình ngược lại của ph n phân tích. Chó ý: Ph©n tÝch lµ b-íc quan träng nhÊt v× nã cho ta biÕt ph¶i dùng nhthÕ nµo ®Ó ®-îc h×nh theo yªu cÇu cña ®Ò bµi. B-íc 2: C¸ch dùng - Trình b y cách dựng theo thứ tự các bước phân tích. - Minh hoạ bằng hình vẽ (có nét thước v compa lưu lại trên hình). Chó ý: - C¸c b-íc dùng ph¶i lµ c¸c phÐp dùng c¬ b¶n hay c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n. - Mçi b-íc dùng nÕu cÇn cã thÓ viÕt thªm ®iÒu kiÖn cã thÓ dùng ®-îc c¸c phÐp dùng Êy. - C¸c b-íc dùng ph¶i theo mét thø tù x¸c ®Þnh, tr¸nh lén xén. - Sè c¸c b-íc dùng ph¶i h÷u h¹n. B-íc 3: Chøng minh Sau khi dựng được hình H, ta c n chứng minh rằng hình H có tính chất  , thoả mãn điều kiện về hình dạng v kích thước theo y u c u b i toán. §Ó thùc hiÖn b-íc nµy ta dùa vµo c¸c b-íc dùng vµ c¸c ®Þnh lý ®· häc mµ chøng minh. §iÒu kiÖn dÔ chøng minh tr-íc, ®iÒu kiÖn khã chøng minh sau. Chó ý: CÇn chøng minh h×nh dùng ®-îc tho¶ m·n ®Ò bµi c¶ vÒ ®Þnh l-îng còng nh- ®Þnh tÝnh. B-íc 4: BiÖn luËn Lµ b-íc xem khi nµo bµi to¸n cã nghiÖm vµ nÕu cã th× cã bao nhiªu nghiÖm. Hay lµ ®Ó xÐt xem nh÷ng yÕu tè nµo ®· cho ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµo ®Ó cã thÓ dùng ®-îc h×nh ph¶i t×m, nÕu dùng ®-îc th× cã bao nhiªu nghiÖm h×nh. 16 - BiÖn luËn theo c¸ch dùng lµ ë mçi b-íc dùng ®ã xÐt xem ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× th× b-íc dùng nµy thùc hiÖn ®-îc vµ nÕu dùng ®-îc th× cã bao nhiªu nghiÖm. Chó ý:: - Ph©n chia c¸c tr-êng hîp tr¸nh lén xén dÉn ®Õn sãt hoÆc trïng lÆp c¸c tr-êng hîp. - NÕu h×nh ph¶i dùng kh«ng ¸p dông ®-îc c¸ch dùng tæng qu¸t trong phÇn dùng h×nh th× ph¶i tr×nh bµy c¸ch dùng t-¬ng øng cho tõng tr-êng hîp cô thÓ nµy. - Sè nghiÖm bµi to¸n dùng h×nh ta quy -íc nh- sau: NÕu bµi to¸n kh«ng quy ®Þnh vÞ trÝ cña h×nh ph¶i t×m ®èi víi mçi h×nh ®· cho t-¬ng øng th× nh÷ng h×nh b»ng nhau (chØ kh¸c nhau vÒ vÞ trÝ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ®· ®-îc xem lµ mét nghiÖm. BiÖn luËn lµ mét b-íc gãp phÇn rÌn luyÖn t- duy ®Çy ®ñ cho häc sinh (biÖn luËn ®ñ), t- duy kh¸i qu¸t cho häc sinh. Chú ý: Nếu các bước dựng hình đã rõ r ng thì không c n l m bước phân tích. Lêi gi¶i ®Çy ®ñ cña bµi to¸n dùng h×nh bao gåm 4 b-íc trªn, cèt yÕu lµ b-íc dùng, quan träng lµ b-¬c ph©n tÝch, nh-ng trong khi d¹y, ng-êi d¹y nªn sö dông linh ho¹t c¸c b-íc gi¶i cña mét bµi to¸n dùng h×nh. Tïy theo tõng bµi tËp cô thÓ, ng-êi d¹y cã thÓ h-íng dÉn häc sinh rót gän bít hoÆc thªm mét sè b-íc kh¸c nh- gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®Ó góp häc sinh n¾m râ ®Ò bµi cÇn dùng c¸i g× vµ c¸I g× ®· cho ®Ó dùng ®-îc h×nh. Tãm l¹i, khi lµm mét bµi to¸n dùng h×nh chóng ta kh«ng ®-îc bá mét b-íc nµo trong 4 b-íc trªn. NÕu bá b-íc ph©n tÝch hoÆc ph©n tÝch kh«ng râ rµng tæng qu¸t cã thÓ dÉn ®Õn sãt nghiÖm. NÕu bá b-íc chøng minh cã thÓ dÉn ®Õn thõa nghiÖm v× kh«ng ph¶i tÊt c¶ kÕt qu¶ cña c¸c b-íc dùng ®Òu lµ h×nh ph¶i t×m. 6. Áp dông Bµi to¸n 1: Dùng ABC biÕt c¹nh BC = a, ®-êng cao AH = h, trung tuyÕn AM = m 17 Bµi gi¶i: Bƣớc 1. Ph©n tÝch Gi¶ sö ta dùng ®-îc ABC tho¶ m·n: C¹nh BC = a, ®-êng cao AH = h, trung tuyÕn AM = m. Ta ph¶i x¸c ®Þnh ®Ønh A tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn: - A c¸ch BC mét kho¶ng b»ng h, suy ra A  ®-êng th¼ng p // BC vµ c¸ch BC mét kho¶ng h. - A c¸ch ®iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC mét kho¶ng m. Bƣớc 2. C¸ch dùng - DùngBC b»ng a. - Dùng ®-êng th¼ng p // BC vµ c¸ch BC mét kho¶ng b»ng h. - Dùng ®-êng trßn t©m M b¸n kÝnh m c¾t p t¹i A. ABC lµ tam gi¸c cÇn dùng. Bƣớc 3. Chøng minh ABC cã BC = a §-êng cao AH = h Trung tuyÕn AM = m ABC lµ tam gi¸c cÇn dùng. Bƣớc 4. BiÖn luËn - m > h  bµi to¸n cã 4 nghiÖm (4 ®iÓm A) - m = h  bµi to¸n cã 2 nghiÖm (2 ®iÓm A) 18 - m < h  bµi to¸n v« nghiÖm (kh«ng cã ®iÓm A) Bµi to¸n 2: Cho ®-êng th¼ng m song song víi ®-êng th¼ng n vµ ®iÓm A kh«ng thuéc 2 ®-êng th¼ng ®ã. Dùng ®iÓm Bm, C  n sao cho ABC lµ tam gi¸c ®Òu. Bµi gi¶i: Bƣớc 1. Ph©n tÝch Gi¶ sö ®· dùng ®-îc ®iÓm B  m, ®iÓm C  n ®Ó ABC ®Òu. Dùng h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trên m lµ E Dùng tam gi¸c ®Òu AEF. XÐt AEB vµ AFC ta cã: AE = AF (ABF ®Òu) ̂ ̂ ̂ AB = AC (ABC ®Òu) AEB = AFC (c.g.c) ̂ ̂ (v× AE  BE) Bƣớc 2. C¸ch dùng Tõ A h¹ AE  m t¹i E - Dùng  ®Òu AEF - Tõ F dùng ®-êng vu«ng gãc víi AF c¾t n t¹i C - Nèi A víi C, dùng ®-êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC c¾t m t¹i B. - Nèi A víi B, B víi C ta ®-îc ABC cÇn dùng 19 Bƣớc 3. Chøng minh XÐt  vu«ng AEB vµ  vu«ng AFC cã: AB = AC  vu«ng ABF =  vu«ng ACF (c.g.c) AE = AF ̂ ̂ Mµ ̂ ̂ ̂ Vµ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ABC cã AB = AC vµ ̂ ABC ®Òu Bƣớc 4. BiÖn luËn Bµi to¸n cã 2 nghiÖm v× ta cã thÓ dùng ®-îc 2 ®Òu Bµi to¸n 3: Dùng ABC biÕt BC = a; AB + AC = d; ̂  Bµi gi¶i: Bƣớc 1. Ph©n tÝch Gi¶ sö ta ®· dùng ®-îc ABC tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Çu bµi. KÐo dµi BA vµ trªn ®-êng kÐo dµi lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC. Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d 20