Tài liệu Một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình toán thpt

më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Thêi ®¹i ngµy nay lµ thêi ®¹i c«ng nghÖ th«ng tin hiÖn ®¹i cïng víi sù ph¸t triÓn nh− vò bo cña c¸c ngµnh khoa häc kü thuËt v× vËy sù nghiÖp gi¸o dôc cÇn ph¶i ®¸p øng nh÷ng ®ßi hái cña c¸ch m¹ng khoa häc c«ng nghÖ. §ãng gãp cho sù ph¸t triÓn ®ã cã mét phÇn kh«ng nhá cña to¸n häc. To¸n häc n¶y sinh tõ thùc tiÔn vµ øng dông réng ri trong thùc tiÔn nhÊt lµ to¸n øng dông, trong c¸c lo¹i to¸n øng dông ph¶i kÓ ®Õn x¸c suÊt thèng kª. Nã ®−îc b¾t ®Çu tõ nh÷ng th− tõ trao ®æi gi÷a hai nhµ to¸n häc vÜ ®¹i ng−êi ph¸p lµ Pa-xcan(1623-1662) vµ Phec-ma(1601-1665) xung quanh c¸ch gi¶i ®¸p mét sè vÊn ®Ò r¾c rèi n¶y sinh trong c¸c trß ch¬i cê b¹c mµ nhµ quý téc ph¸p §êmª-rª ®Æt ra cho Pa-xcan. N¨m 1812 nhµ to¸n häc ph¸p Laplax¬ ® dù b¸o r»ng: “M«n khoa häc b¾t ®Çu tõ viÖc xem xÐt c¸c trß ch¬i may rñi nµy sÏ høa hÑn trë thµnh mét ®èi t−îng quan träng nhÊt cña tri thøc loµi ng−êi”. §Æc biÖt lµ vµo n¨m 1933 Kolmogrov ® ®−a ra mét hÖ tiªn ®Ò ®Ó x©y dùng x¸c suÊt thèng kª thµnh mét khoa häc chÝnh x¸c vµ trõu t−îng. KÓ tõ ®ã x¸c suÊt thèng kª trë thµnh ngµnh to¸n häc ®a diÖn gåm c¶ chiÒu s©u lÝ luËn lÉn néi dung øng dông. Ngµy nay lÝ thuyÕt x¸c suÊt ® trë thµnh ngµnh to¸n häc ®−îc øng dông trong rÊt nhiÒu lÜnh vùc cña khoa häc tù nhiªn, khoa häc x héi, c«ng nghÖ, kinh tÕ, y häc, sinh häc, ... Kh«ng nh÷ng thÕ nã cßn ®ãng gãp cho sù h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn thÕ giíi quan khoa häc v× vËy x¸c suÊt thèng kª ® ®−îc ®−a vµo d¹y cho häc sinh THPT ë líp 10, líp 11. ViÖc hiÓu vµ vËn dông nh÷ng kiÕn thøc ®−îc trang bÞ trong tr−êng §¹i häc vµo c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau khi ra tr−êng lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu vµ lµ nhiÖm vô cña ng−êi sinh viªn khi ®ang ngåi trªn ghÕ tr−êng ®¹i häc. Ngoµi viÖc ®−îc häc nh÷ng kiÕn thøc do gi¶ng viªn cung cÊp, b¶n th©n mçi sinh viªn cÇn ph¶i tù t×m hiÓu, tù nghiªn cøu ®Ó thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë bËc häc ®¹i häc vµ nh÷ng kiÕn thøc ®−îc gi¶ng d¹y sau nµy ë tr−êng phæ th«ng. Tõ c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lý ®−îc häc trong tr−êng phæ th«ng tæng qu¸t lªn cßn ®óng hay kh«ng? hay c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lý ®−îc häc ë tr−êng ®¹i häc ®Æc biÖt ho¸ sÏ cho ta c¸i g×? ViÖc liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë tr−êng THPT víi kiÕn thøc ë tr−êng ®¹i häc ®Ó phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng 5 d¹y sau nµy lµ viÖc lµm cÇn thiÕt cña mçi sinh viªn. Do ®ã t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi “Mét sè néi dung cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh To¸n THPT". 2. Môc ®Ých nghiªn cøu - Môc tiªu khoa häc c«ng nghÖ: + HÖ thèng ho¸ mét sè néi dung cña lý thuyÕt x¸c suÊt thèng kª ë tr−êng ®¹i häc. + X©y dùng, chän läc vµ t×m mèi liªn hÖ gi÷a néi dung x¸c suÊt thèng kª trong tr−êng ®¹i häc víi tr−êng THPT. - S¶n phÈm khoa häc c«ng nghÖ: §Ò tµi cã thÓ lµ tµi liÖu tham kh¶o cho häc sinh, gi¸o viªn to¸n tr−êng THPT vµ sinh viªn to¸n tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng . 3. §èi t−îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu - Nghiªn cøu mét sè néi dung lÝ thuyÕt cña x¸c suÊt thèng kª vµ sù thÓ hiÖn cña nã trong ch−¬ng tr×nh to¸n THPT. - Nghiªn cøu mét sè bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao . 4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lÝ luËn: §äc c¸c tµi liÖu, gi¸o tr×nh, s¸ch gi¸o khoa, s¸ch tham kh¶o vÒ x¸c suÊt thèng kª . - Ph−¬ng ph¸p lÊy ý kiÕn chuyªn gia: T×m hiÓu kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn h−íng dÉn vµ c¸c gi¶ng viªn bé m«n to¸n khoa To¸n - C«ng nghÖ. - Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm 5. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn §Ò tµi cã thÓ lµ tµi liÖu tham kh¶o cho häc sinh, gi¸o viªn to¸n THPT nhÊt lµ víi sinh viªn s− ph¹m to¸n thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a kiÕn thøc ë ch−¬ng tr×nh §¹i häc víi kiÕn thøc ë tr−êng Phæ th«ng phôc vô cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y sau nµy. Víi b¶n th©n viÖc nghiªn cøu gióp em bæ sung hoµn thiÖn nh÷ng kiÕn thøc ® häc vÒ x¸c suÊt thèng kª ® häc ®ång thêi n©ng cao kh¶ n¨ng kiÕn thøc nghiÖp vô s− ph¹m trong qu¸ tr×nh häc tËp. 6 6. Bè côc cña kho¸ luËn Ngoµi lêi c¶m ¬n, më ®Çu, môc lôc, tµi liÖu tham kh¶o, néi dung cña ®Ò tµi gåm cã 3 ch−¬ng: Ch−¬ng I: BiÕn cè vµ x¸c suÊt cña biÕn cè 1.1. BiÕn cè 1.1.1. Mét sè kh¸i niÖm më ®Çu 1.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè 1.2. X¸c suÊt cña biÕn cè 1.2.1. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ tæ hîp 1.2.2. C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt 1.2.3. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt 1.2.4. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn 1.2.5. Liªn hÖ gi÷a x¸c suÊt vµ sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè 1.2.6. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt Ch−¬ng II: BiÕn ngÉu nhiªn 2.1. BiÕn ngÉu nhiªn 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ biÕn ngÉu nhiªn 2.1.2. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn 2.2. C¸c sè ®Æc tr−ng cña biÕn ngÉu nhiªn 2.2.1. Kú väng 2.2.2. Ph−¬ng sai 2.2.3. B¶n chÊt vµ ý nghÜa cña kú väng vµ ph−¬ng sai 2.2.4. Mét sè sè ®Æc tr−ng kh¸c 2.3. C¸c bÊt ®¼ng thøc moment 2.3.1 §Þnh nghÜa moment 2.3.2. C¸c bÊt ®¼ng thøc moment Ch−¬ng III: Bµi tËp 3.1. X¸c suÊt c¬ b¶n 3.2.C¸c qui t¾c tÝnh x¸c suÊt 3.3. §¸nh gi¸ x¸c suÊt, sè lÇn 3.4. X¸c suÊt ®iÒu kiÖn 3.5. X¸c suÊt më réng 3.6. BÊt ®¼ng thøc x¸c suÊt 3.7. BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c 7 Ch−¬ng I biÕn cè vµ x¸c suÊt cña biÕn cè 1.1. biÕn cè 1.1.1. Mét sè kh¸i niÖm më ®Çu 1.1.1.1. PhÐp thö ngÉu nhiªn PhÐp thö ngÉu nhiªn ®−îc hiÓu lµ thùc hiÖn mét nhãm ®iÒu kiÖn nµo ®ã ®Ó quan s¸t mét hiÖn t−îng nµo ®ã cã thÓ x¶y ra hay kh«ng x¶y ra. C¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö ®−îc gäi lµ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ. TËp hîp tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ trong phÐp thö ngÉu nhiªn lµ kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp øng víi mçi phÐp thö ngÉu nhiªn ®ã. Mçi kÕt qu¶ cã thÓ gäi lµ mét biÕn cè s¬ cÊp. NhËn xÐt: ë tr−êng THPT, kh«ng gian c¸c biÕn cè s¬ cÊp chÝnh lµ kh«ng gian mÉu, kÝ hiÖu lµ: Ω. 1.1.1.2. BiÕn cè a, BiÕn cè ngÉu nhiªn: BiÕn cè ngÉu nhiªn lµ biÕn cè cã thÓ x¶y ra còng cã thÓ kh«ng x¶y ra khi phÐp thö ngÉu nhiªn ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: A, B, C.... b, BiÕn cè ch¾c ch¾n: BiÕn cè ch¾c ch¾n lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: Ω. c, BiÕn cè kh«ng thÓ cã: BiÕn cè kh«ng thÓ cã lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh kh«ng x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. KÝ hiÖu: Ø. d, Mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè: - BiÕn cè thuËn lîi: BiÕn cè A ®−îc gäi lµ thuËn lîi (thÝch hîp) ®èi víi biÕn cè B nÕu A x¶y ra th× B x¶y ra. KÝ hiÖu: A ⊂ B. - BiÕn cè b»ng nhau: Hai biÕn cè A vµ B ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu biÕn cè A lµ thuËn lîi ®èi víi biÕn cè B vµ biÕn cè B lµ thuËn lîi ®èi víi biÕn cè A: A ⊂ B A=B ⇔  B ⊂ A 8 1.1.2. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè 1.1.2.1. C¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè a, PhÐp giao: Giao cña n biÕn cè A1, A2, ..., An lµ mét biÕn cè nã x¶y ra khi n A1 , A 2 , ..., A n ®ång thêi x¶y ra. KÝ hiÖu: ∩A i i =1 §Æc biÖt: Khi n = 2, giao cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè x¶y ra khi A vµ B cïng x¶y ra. KÝ hiÖu: AB hoÆc A ∩ B b, PhÐp hîp: Hîp cña n biÕn cè A1, A2,..., An lµ mét biÕn cè nã x¶y ra khi Ýt n nhÊt mét trong n biÕn cè A1, A2, ..., An x¶y ra. KÝ hiÖu: ∪A i i =1 §Æc biÖt: Khi n=2, hîp cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè x¶y ra khi A hoÆc B x¶y ra. KÝ hiÖu: A ∪ B c, HiÖu cña hai biÕn cè: HiÖu cña hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè x¶y ra khi A x¶y ra vµ B kh«ng x¶y ra. KÝ hiÖu: A \ B d, BiÕn cè xung kh¾c: Hai biÕn cè A, B ®−îc gäi lµ xung kh¾c nÕu A, B kh«ng cïng x¶y ra khi phÐp thö ®−îc thùc hiÖn. Hay A ∩ B = Ø e, BiÕn cè ®èi lËp: A, B lµ hai biÕn cè xung kh¾c vµ hîp cña hai biÕn cè A vµ B lµ biÕn cè ch¾c ch¾n th× A ®−îc gäi lµ biÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè B. A ∩ B = ∅ A, B ®èi lËp ⇔  A ∪ B = Ω Ký hiÖu biÕn cè ®èi lËp cña biÕn cè A lµ Ac hoÆc A 1.1.2.2. Mét sè tÝnh chÊt cña phÐp to¸n vÒ biÕn cè a, (Ac)c = A. b, A ∩ Ac = Ø. c, A ∩ B = B ∩ A. d, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). e, A ∪ B = B ∪ A. f, ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). g, A ∪ Ac = Ω. h, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 9 i, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). j, A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac. k, A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac). n l, ( n ∩A ) = ∪ c i i =1 n m, ( i =1 n ∪A ) = ∩ c i i =1 ( Ai)c. (Ai)c. i=1 §Æc biÖt Khi n = 2 ta cã : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. 1.2. X¸c suÊt cña biÕn cè 1.2.1. Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc vÒ tæ hîp 1.2.1.1. Ho¸n vÞ: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mét dy tÊt c¶ n phÇn tö cña X s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, gäi lµ mét ho¸n vÞ cña X. Sè c¸c ho¸n vÞ cña X lµ : Pn = n!. 1. 2.1.2. ChØnh hîp lÆp : Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mçi dy cã ®é dµi k c¸c phÇn tö cña X, trong ®ã mçi phÇn tö cã thÓ lÆp l¹i nhiÒu lÇn, s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, gäi lµ mét chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö cña X. Sè c¸c chØnh hîp lÆp chËp k cña n phÇn tö lµ : Fnk = nk. 1.2.1.3. ChØnh hîp kh«ng lÆp: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö. Mçi dy gåm k phÇn tö kh¸c nhau cña X ( k ≤ n ) s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh gäi lµ mét chØnh hîp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö cña X. (Ta qui −íc gäi chØnh hîp kh«ng lÆp lµ chØnh hîp). n! . (n − k)! 1.2.1.4. Tæ hîp: Cho tËp hîp X gåm n phÇn tö vµ sè tù nhiªn k ( k ≤ n ). Ta Sè chØnh hîp (kh«ng lÆp ) chËp k cña n phÇn tö lµ: A kn = gäi mçi tËp con gåm k phÇn tö cña X lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cña X. Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö cña X lµ: Ckn = 10 n! . k!(n − k)! 1.2.2. C¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt 1.2.2.1. §Þnh nghÜa 1: X¸c suÊt lµ mét con sè kh«ng ©m biÓu thÞ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn kh¸ch quan cña biÕn cè ®ã. KÝ hiÖu: P(A). 1.2.2.2. §Þnh nghÜa 2 (theo quan ®iÓm thèng kª): Gi¶ sö A lµ biÕn cè liªn quan tíi phÐp thö ngÉu nhiªn ®ang xÐt. Khi ®ã nÕu ta tiÕn hµnh n lÇn phÐp thö, biÕn cè A xuÊt hiÖn m lÇn th× ng−êi ta gäi tØ sè m lµ tÇn suÊt xuÊt n hiÖn biÕn cè A. Víi mçi biÕn cè ngÉu nhiªn A, sè p gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A khi vµ chØ khi c¸c tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A sai kh¸c p kh«ng ®¸ng kÓ, nã cµng gÇn p khi sè lÇn thö nghiÖm cµng lín. 1.2.2.3. §Þnh nghÜa 3 (theo quan ®iÓm h×nh häc): Gi¶ sö mét ®iÓm r¬i ngÉu nhiªn vµo mét miÒn D, A lµ miÒn con cña D. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó ®iÓm r¬i vµo miÒn A lµ: sè ®o A P(A) = sè ®o D “ Sè ®o” ®−îc hiÓu: D lµ ®o¹n th¼ng th× sè ®o lµ ®é dµi D lµ h×nh ph¼ng th× sè ®o lµ diÖn tÝch D lµ h×nh kh«ng gian th× sè ®o lµ thÓ tÝch 1.2.2.4. §Þnh nghÜa 4 (theo quan ®iÓm cæ ®iÓn): NÕu A lµ biÕn cè cã n(A) biÕn cè s¬ cÊp thÝch hîp víi nã trong mét kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp gåm n( Ω ) biÕn cè cïng kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn th× tØ sè P(A) = n(A) ®−îc gäi lµ n(Ω) x¸c suÊt cña A. NhËn xÐt - Trong ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp chÝnh lµ kh«ng gian mÉu Ω , n( Ω ) = Ω vµ n(A) = Ω A . Khi ®ã x¸c suÊt cña A ®−îc x¸c ®Þnh bëi: P(A) = ΩA Ω 11 - §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt cã −u ®iÓm cho phÐp ta t×m ®−îc mét c¸ch chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña x¸c suÊt. - §Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt cã h¹n chÕ chØ ¸p dông ®−îc khi sè kÕt côc trong phÐp thö lµ h÷u h¹n. - §Þnh nghÜa h×nh häc vÒ x¸c suÊt cã thÓ xem sù më réng t−¬ng øng cña ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt, kh¾c phôc h¹n chÕ ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt. - §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt cã −u ®iÓm lín nã kh«ng ®ßi hái nh÷ng ®iÒu kiÖn ¸p dông nh− ®èi víi ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn, nã hoµn toµn dùa trªn c¸c quan s¸t thùc tÕ ®Ó lµm c¬ së kÕt luËn vÒ x¸c suÊt x¶y ra cña mét biÕn cè. - §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt cã h¹n chÕ chØ ¸p dông ®−îc ®èi víi c¸c hiÖn t−îng ngÉu nhiªn mµ tÇn suÊt cña nã cã tÝnh æn ®Þnh vµ ta ph¶i tiÕn hµnh trªn thùc tÕ mét sè ®ñ lín c¸c phÐp thö . Song trong thùc tÕ nhiÒu bµi to¸n rÊt khã hoÆc kh«ng thÓ tiÕn hµnh nhiÒu phÐp thö ®Ó dùa vµo ®ã mµ tÝnh x¸c suÊt cña mét biÕn cè. §Ó kh¾c phôc h¹n chÕ cña c¸c ®Þnh nghÜa vÒ x¸c suÊt ng−êi ta sö dông ®Þnh nghÜa x¸c suÊt theo tiªn ®Ò cña Kolmogorov. 1.2.2.5. §Þnh nghÜa 5: §Þnh nghÜa theo hÖ tiªn ®Ò cña Kolmogorov. a, HÖ tiªn ®Ò * Cã tËp Ω ≠ Ø gäi lµ kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp. Mçi ω ∈ Ω ®−îc gäi lµ biÕn cè s¬ cÊp. * Cã mét б - ®¹i sè A c¸c tËp con cña Ω. Mçi A ∈ A ®−îc gäi lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn. * Víi mçi A ∈ A cã mét sè thùc P(A) ≥ 0 gäi lµ x¸c suÊt cña A. * P(Ω) = 1. * NÕu {A i ;i ≥ 1} lµ hä v« h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn tõng ®«i mét xung ∞ kh¾c th×: P ( ∑ Ai ) = i =1 ∞ ∑ P(A ) (tiªn ®Ò б - céng tÝnh) i =1 i Bé ba (Ω, A , P) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt Kolmogorov. 12 b, M« h×nh rêi r¹c cña lý thuyÕt x¸c suÊt Gi¶ sö Ω = ( ω 1, ω 2, ..., ω n) lµ tËp hîp bÊt kú cã kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc c¸c phÇn tö, lÊy A lµ tËp gåm mäi tËp con cña Ω LÊy mét dy sè kh«ng ©m p1, p2, ..., pn tho¶ mn: p1 + p2 + ... + pn = 1 §Æt P(A )= ∑ pi (1) i∈I Khi ®ã (Ω, A , P) tho¶ mn c¸c tiªn ®Ò cña hÖ tiªn ®Ò Kolmogorov Kh«ng x¸c suÊt ®ã ®−îc gäi lµ m« h×nh rêi r¹c cña lý thuyÕt x¸c suÊt c, Mèi liªn quan gi÷a ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt vµ ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò cña x¸c suÊt §Æc biÖt, gi¶ sö Ω = ( ω 1, ω 2, ..., ω n) lµ tËp h÷u h¹n LÊy A lµ tËp gåm mäi tËp con cña Ω, A∈ A ®−îc gäi lµ biÕn cè 1 n §Æt p1 = p2 = ... = pn = (2) 1 n(A) = n n i∈I §©y chÝnh lµ ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt Khi ®ã theo (1), P(A) = ∑ pi = n(A) (3) H¬n n÷a tõ (2) vµ (3) suy ra : 1 n §iÒu ®ã nãi r»ng c¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö lµ ®ång kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn. P( ω 1) = P( ω 2) = ... = P( ω n) = Nh− vËy ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn cña x¸c suÊt lµ tr−êng hîp riªng cña ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò cña x¸c suÊt 1.2.3. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt 1.2.3.1. MÖnh ®Ò 1 Cho kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P) ta cã: i, P(Ø) = 0. ii, NÕu A1, A2, ..., An lµ hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c th×: n P ( ∑ Ai ) = i =1 n ∑ P(A ) i i =1 13 §Æc biÖt Khi n = 2: A, B lµ hai biÕn cè xung kh¾c th×: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Khi n = 3: A, B, C lµ ba biÕn cè ®«i mét xung kh¾c th×: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) §©y chÝnh lµ qui t¾c céng x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh THPT 1.2.3.2. MÖnh ®Ò 2 Cho kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P): i, Ai lµ hä biÕn cè bÊt k× th×: n n P ( ∪ A i ) = ∑ P(Ai ) i =1 i =1 ∑ P(A 1≤i, j≤ n n ∩ A j ) + ...+ (-1) P( ∩ A i ). n-1 i i =1 ii, NÕu A ⊂ B th× P(A) ≤ P(B). iii, 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ A ; P(Ω) = 1, P(Ø) = 0, vµ P( Α ) = 1 - P(A) Trong tÝnh chÊt i, víi n = 2 ta cã : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). (*) Ta cã thÓ chøng minh trùc tiÕp tÝnh chÊt (*) ThËt vËy víi A,B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ⇒ A ∪ B = A ∪ B Α P(A ∪ B) = P(A) + P(B Α ). Suy ra: Mµ: B = B ∩Ω = B ∩ ( A ∪ Α ) = BA ∪ B Α . P(B) = P(BA) + P(B Α ) ⇒ P(B Α ) = P(B) - P(AB) Suy ra: ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). §Æc biÖt Khi A, B xung kh¾c, tøc AB = Ø ⇒ P(AB) = 0. Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 1.2.3.3. MÖnh ®Ò 3 Trong kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P) cho hä biÕn cè ngÉu nhiªn {A n ;n ≥ 1} tho¶ mn ®iÒu kiÖn: i, A1 ⊃ A 2 ⊃ ... ⊃ A n ⊃ ... ∞ ii, ∩A k =Ø k =1 Khi ®ã: P(An) → 0 ( n → ∞ ), ( tÝnh liªn tôc cña x¸c suÊt). 14 1.2.4. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn 1.2.4.1. §Þnh nghÜa - XÐt kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P). Gi¶ sö B lµ biÕn cè ngÉu nhiªn cã P(B)> 0, A∈ A. A. §¹i l−îng: P(A/B) = P(A ∩ B) ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cña A P(B) víi ®iÒu kiÖn B - Nhãm ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè: TËp c¸c biÕn cè: A1, A2, ..., An ®−îc gäi lµ nhãm (hÖ) ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè nÕu chóng tho¶ mn ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn: +) Ai ∩ Aj = Ø ( i≠j, i, j = 1,n ) n +) ∪ A i = Ω ( Tõ ®Þnh nghÜa ta lu«n cã A, A lµ nhãm ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè). i =1 1.2.4.2. NhËn xÐt - Trong ®Þnh nghÜa cæ ®iÓn, ta cã: P(A/B) = n(A ∩ B) nghÜa lµ x¸c suÊt n(B) ®iÒu kiÖn P(A/B) cã thÓ xem nh− x¸c suÊt cña A xÐt trong kh«ng gian B. P(A ∩ B) P(A) = . P(B) P(B) P(A ∩ B) P(B) + B ⊂ A ⇒ P(A/B) = = = 1. P(B) P(B) §Æc biÖt + A ⊂ B ⇒ P(A/B) = MÖnh ®Ò 1 ( C«ng thøc nh©n x¸c suÊt ) Gi¶ sö {A1, A2, ..., An}lµ hä c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn sao cho: P(A1A2...An) > 0, khi ®ã: P(A1A2...An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2)... P(An/ A1A2...An-1). MÖnh ®Ò 2 ( C«ng thøc x¸c suÊt toµn phÇn ) Gi¶ sö {B1, B2, ..., Bn} lµ hä ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt d−¬ng. Khi ®ã: Víi mäi A ∈ A , ta cã: n P(A) = ∑ P(B )P(A / B ) i =1 i i 15 MÖnh ®Ò 3 ( C«ng thøc Bayes ) NÕu A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt d−¬ng, { Bi, i = 1,n } lµ hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè cã x¸c suÊt d−¬ng th× víi mçi j (j =1,n ), ta cã: P(Bj /A) = P(B j )P(A / B j ) n ∑ P(B )P(A / B ) i =1 i i 1.2.5. Liªn hÖ gi÷a x¸c suÊt vµ sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè 1.2.5.1. §Þnh nghÜa: XÐt kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P). Gi¶ sö B lµ líp nµo ®ã c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn (B B ⊂ A). A Ta nãi líp B ®éc lËp nÕu x¸c suÊt cña mét giao h÷u h¹n bÊt kú c¸c biÕn cè trong B b»ng tÝch c¸c x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã. 1.2.5.2. NhËn xÐt - C¸c biÕn cè A1, A2, ..., An ®−îc gäi lµ ®éc lËp tõng ®«i nÕu: P(AiAj) = P(Ai)P(Aj) , ∀ i,j = 1,n ; i ≠ j - §Ó xÐt tÝnh ®éc lËp cña c¸c biÕn cè nhiÒu khi ng−êi ta kh«ng c¨n cø vµo biÓu thøc ®Þnh nghÜa mµ c¨n cø vµo ®iÒu kiÖn thùc tÕ cña bµi to¸n. - Trong ch−¬ng tr×nh THPT sù ®éc lËp cña hai biÕn cè ®−îc ®Þnh nghÜa: Hai biÕn cè A vµ B ®−îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu viÖc x¶y ra cña biÕn cè nµy kh«ng lµm ¶nh h−ëng tíi x¸c suÊt x¶y ra cña biÕn cè kia. Thùc chÊt néi dung chÝnh lµ A, B lµ hai biÕn cè ®éc lËp víi nhau nÕu: P(A / B) = P(A)   P(B / A) = P(B) MÖnh ®Ò 1: NÕu {A1, A2, ..., An} lµ hä biÕn cè ®éc lËp, {j1, j2, ..., jn} lµ mét ho¸n vÞ bÊt kú cña (1, 2, ..., n). Khi ®ã hä {A’j1, A’j 2, ..., A’jn } ë ®©y A’ji = Aji hoÆc Acji còng lµ hä ®éc lËp. 16 §Æc biÖt: Khi n=2 nÕu {A, B} ®éc lËp th× {A, B }; { A , B}; { A , B } còng ®éc lËp Khi n=3 nÕu {A, B, C} ®éc lËp th× { A , B, C}; {A, B , C}; {A, B, C }; { A , B , C}; {A, B , C }; { A , B, C }còng ®éc lËp MÖnh ®Ò 2: Gi¶ sö {ζ i, i=1,n } lµ hä c¸c ®¹i sè con ®éc lËp cña A , B = б(ζi), i= 1,n lµ hä c¸c б - ®¹i sè c¶m sinh t−¬ng øng, khi ®ã hä {B B i , i = 1,n } lµ ®éc lËp. 1.2.6. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt 1.2.6.1. Quy t¾c céng (§Þnh lý céng x¸c suÊt): X¸c suÊt cña hîp c¸c biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i A1, A2, ..., An b»ng tæng n x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®ã: P ( ∪ A i ) = i =1 n ∑ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n=2 A, B lµ hai biÕn cè xung kh¾c (ΩA ∩ ΩB = Ø) th×: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Khi n=3 A, B, C lµ ba biÕn cè ®éc lËp toµn phÇn th×: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) +P(C) Ta lu«n cã: A, A xung kh¾c nªn: P(Ω) = P(A ∪ A ) = P(A) + P( A ) ⇔ P( A ) = 1 - P(A) 1.2.6.2. Quy t¾c nh©n ( §Þnh lý nh©n x¸c suÊt) X¸c suÊt cña giao n biÕn cè ®éc lËp toµn phÇn b»ng tÝch c¸c x¸c suÊt thµnh n phÇn: P( ∩ Pi ) = i =1 n ∏ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n=2 A, B lµ hai biÕn cè ®éc lËp th×: P(A ∩ B) = P(A)P(B). Khi n=3: A, B, C lµ ba biÕn cè ®éc lËp th× : P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). §©y chÝnh lµ qui t¾c nh©n x¸c suÊt trong ch−¬ng tr×nh THPT 17 1.2.6.3. HÖ qu¶ cña ®Þnh lý céng vµ nh©n x¸c suÊt a, HÖ qu¶ 1: X¸c suÊt cña hîp n biÕn cè kh«ng xung kh¾c ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: n P ( ∪ Ai ) = i =1 n ∑ P(A ) - ∑ P(A A ) + i i j ... + (-1)n-1P(A1A2...An). i〈 j i b, HÖ qu¶ 2: X¸c suÊt cña giao n biÕn cè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: n P( ∩ A i ) = i =1 n ∑ P(A ) - ∑ P(A i i =1 i ∪ A j ) + ... + (-1)n-1P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) i〈 j c, HÖ qu¶ 3: X¸c suÊt cña hîp n biÕn cè kh«ng xung kh¾c vµ ®éc lËp toµn phÇn víi nhau b»ng mét trõ ®i tÝch x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®èi lËp víi c¸c n biÕn cè ®ã: P ( ∪ Ai ) = 1 i =1 n ∏ P(A ) . i =1 i §Æc biÖt: Khi n = 2: +) A, B lµ hai biÕn cè kh«ng xung kh¾c khi ®ã x¸c suÊt cña hîp hai biÕn cè b»ng tæng x¸c suÊt cña hai biÕn cè trõ ®i x¸c suÊt cña tÝch hai biÕn cè: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). +) A, B lµ hai biÕn cè, x¸c suÊt cña biÕn cè giao ®−îc x¸c ®Þnh: P(AB) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B). +) A, B lµ hai biÕn cè ®éc lËp toµn phÇn víi nhau. Khi ®ã: P(A ∪ B) = 1 - P( A )P( B ). Khi n =3: +) A, B, C lµ ba biÕn cè kh«ng xung kh¾c khi ®ã x¸c suÊt cña hîp ba biÕn cè ®−îc x¸c ®Þnh: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 18 +) A, B, C lµ ba biÕn cè, x¸c suÊt cña biÕn cè giao ®−îc x¸c ®Þnh: P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∪ B) - P(B ∪ C) - P(A ∪ C) + P(A ∪ B ∪ C) +) A, B, C lµ ba biÕn cè ®éc lËp toµn phÇn víi nhau. Khi ®ã: P(A ∪ B ∪ C) = 1 - P( A )P( B )P( C ) KÕt luËn ch−¬ng I Ch−¬ng 1 bao gåm c¸c kh¸i niÖm më ®Çu kh¸i niÖm vÒ biÕn cè, c¸c d¹ng ®Þnh nghÜa kh¸c nhau vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè c¸c phÐp to¸n vÒ biÕn cè, tÝnh chÊt cña x¸c suÊt cña biÕn cè, x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, c¸c qui t¾c tÝnh x¸c suÊt. Bªn c¹nh ®ã, t¸c gi¶ còng ® ®Æc biÖt ho¸ ra c¸c kÕt qu¶ ë phæ th«ng ®Ó ng−êi ®äc thÊy ®−îc mèi liªn hÖ gi÷a néi dung cña x¸c suÊt ë ch−¬ng tr×nh §¹i häc víi ch−¬ng tr×nh ë Phæ th«ng. Tõ ®ã cã c¸ch nh×n tæng quan h¬n vÒ kiÕn thøc, ®ång thêi gióp cho ng−êi ®äc thÊy ®−îc nh÷ng kiÕn thøc thiÕt thùc liªn quan tíi viÖc nghiªn cøu gi¶ng d¹y ë THPT sau nµy, gãp phÇn n©ng cao kiÕn thøc nghiÖp vô s− ph¹m trong qua tr×nh häc tËp m«n x¸c suÊt thèng kª. 19 ch−¬ng ii BiÕn ngÉu nhiªn 2.1. biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1. Kh¸i niÖm vÒ biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1.1. §Þnh nghÜa Gi¶ sö (Ω, A , P ) lµ mét kh«ng gian x¸c suÊt ℝ = (- ∞ ; + ∞ ) lµ ®−êng th¼ng sè thùc víi σ -®¹i sè c¸c tËp borel B, ta cã kh«ng gian ®o ( ℝ , B). Khi ®ã: Mét ¸nh x¹ X: Ω → ℝ ®o ®−îc theo (A, A, B) ®−îc gäi lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ( Hay ®¹i l−îng ngÉu nhiªn) trªn (Ω, A , P). ë ®©y ta hiÓu X ®o ®−îc theo (A, A, B) nÕu ∀ B ∈ B th× X-1(B) ∈ A 2.1.1.2. MÖnh ®Ò Gi¶ sö X,Y lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn x¸c ®Þnh trªn Ω lÊy gi¸ trÞ trong ℝ ; a,b∈ ℝ . Khi ®ã : aX+bY lµ biÕn ngÉu nhiªn XY lµ biÕn ngÉu nhiªn X Y lµ biÕn ngÉu nhiªn (Y ≠ 0) Min(X, Y) lµ biÕn ngÉu nhiªn Max(X, Y) lµ biÕn ngÉu nhiªn 2.1.1.3. Ph©n lo¹i a, BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c: BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c lµ biÕn ngÉu nhiªn chØ nhËn mét sè h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®−îc c¸c gi¸ trÞ. b, BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc: BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc lµ biÕn ngÉu nhiªn nhËn mäi gi¸ trÞ trong kho¶ng (a; b) nµo ®ã ( a cã thÓ lµ - ∞ ; b cã thÓ lµ + ∞ ). 20 §Æc biÖt ë tr−êng THPT kh¸i niÖm biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c ®−îc ®Þnh nghÜa: §¹i l−îng X ®−îc gäi lµ mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c nÕu nã nhËn gi¸ trÞ b»ng sè thuéc mét tËp h÷u h¹n nµo ®ã vµ gi¸ trÞ Êy lµ ngÉu nhiªn kh«ng dù ®o¸n tr−íc ®−îc 2.1.2. Hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn Ta cã thÓ nghÜ r»ng chØ cÇn x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña mét biÕn ngÉu nhiªn lµ ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh biÕn ngÉu nhiªn Êy. Tuy nhiªn ®iÒu nµy ch−a ®ñ, trong thùc tÕ cã nh÷ng ®¹i l−îng rÊt kh¸c nhau mµ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña chóng l¹i gièng nhau. H¬n n÷a viÖc c¸c biÕn ngÉu nhiªn nhËn mét gi¸ trÞ nµo ®ã trong kÕt qu¶ cña phÐp thö chØ lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn, do ®ã nÕu míi chØ biÕt ®−îc c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã th× ta míi n¾m ®−îc rÊt Ýt th«ng tin vÒ biÕn ngÉu nhiªn Êy. V× vËy ta cßn ph¶i x¸c ®Þnh c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña biÕn ngÉu nhiªn ®Ó hoµn toµn x¸c ®Þnh nã. Tõ ®ã ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y: 2.1.2.1. §Þnh nghÜa Trong kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A , P) cho biÕn ngÉu nhiªn X. Ta gäi hµm thùc F(x) ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: F(x) = FX(x) = P[X x2 th×: F(x1) ≥ F(x2) 21 HÖ qu¶ 1: X¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X nhËn gi¸ trÞ trong nöa kho¶ng [a;b) b»ng hiÖu sè cña hµm ph©n phèi t¹i hai ®Çu kho¶ng ®ã: P(a ≤ X - Xem thêm -