^
-25 ^^,.3.
/• GlAU
( DUC & D A O T A O
KO
miÒNGDAI HOCTÓNG HOP HANOI
HoDinhDuàn
C.-I|..rt!i. » ! . M » l . r . „
>. KQl I
^^'. •' S'.rvl:"''*^-*
•••.. V . - ' . '
T\^'J% ik-
J-
M^'ilMP
^-*—«^
MOT SO NGHIÈN CÙU VE VÀNH
AISLANDER-GORENSTEIN KHÒNG GIAO HOAN
Chuvèn nsdnh: Dai sS'và Ly thuyet so'
Ma $0: I J L 0 3
Luàn àn Pho tien si khoa hoc Toàn - Ly
Nguòi huóng d2n khoa hoc: Gs. Ts Nguyen fiinh Ngoc
Hanoi-1991
M U C
LUIC
CHJdNG O : Phan chuan b l
0.0 Cac ki hiéu.
0,1^ Nhac lai mot so két qua e uà 1y thuyet vành va dai
so dóng diéu.
0.2 N h a e lai mot so k é t c^ u a e u a d ai s o g i a a h t:) a n .
CHlJdNG 1 : vành Auslander - Gorenstein,
va mò dun holonom.
mò dun
thuàn
tuy
1.0
1 . 1 Day phò Roos - Bjork - Isc^lebeck
1.1-0
1-1,1 Xay ddng day phd.
1.1.1.0
1-1.1-1
1-1.1.2
1.1-2 Ménh de (sd hpi tu cua day pho 1 . 1 -i- 2 ) .
1.1-3 B~-lpc cua mot mò dun.
1.1-3-0
,
1.1-4 He qua ( euà Nenh de 1.1.2)
1.1.5 Dinh nghia ( vành Ausi andt^r - Gorenstei n )
1.1-6 Nhan xéti
1 - 2 vành Ausiander ~ Gorenstei n;
1.2.0 Dièu kién Auslander.
1
1-2-0-0
1.2. 1 Nhan ;-;ét1-2.2 Dinh nghla ( vành Ausiander - Gorenstei n )1-2.3 Cac VI du1-2.3-0
;
1-2-3.1
1-2.3.2
1 o T -r
1.2.4 Qui dóc1-2-5 Dinh nphia (so tS(M))
1.2.6 Ménh de ( j (M) + (S(ti) - j..\ ) .
1-2-7 He 1 uan (cua Menti de 1 . 2.6 ) .
1-2-8 He qua ( cua tlé luan 1.2.7 )1.2.9 Nhan xét.
1-2.10 Bò de ( mot bàt dàng thdc cua qrade ) .
1.2-10.0
1.2-10.1
^
^
1.2-11 Ménh de (mot day khóp ngancua B-1oc).
1 - 3 Mó dun thuan tuy (pure modules)J. - 3 - 0
1.3.1 Dinh nghla (mó dun thuan t u y ) .
1.3-2 Vi du>
1-3-3 Nhan xét.
1.3-4 Ménh de (tinh thuan tuy cixa E;;t (M,R)).
1.3.5 He qua (cua Ménh de 1-3-4).
1.3,0 Dinh li (cac diéu kién tddng dddng cua tinh
•
'
'
» i
'
..
•
!
!
•
!
thuan tuy)•
I
1.3.7 He qua ( e uà D i n h 1 i 1 . 3. 6 ) . :
;•
1-3-8 Mot mó tà khàc cua B-lpci
1.3-8.0 Menh de ( B;^ =: F^ , k ~ 0,
^M ^ •
1 , 3 - 8 . 1 D i n h li (E^-lpc c u a m ó d u n cari ) j
1.4 Mò dun holonom ( holonomic modules).
;
1-4.0
I
ì '
1,4.1 Dinh nghia (mò dun holonom)|
Ì,"4-2 Càc vi du1.4.2-0
'.
1.4.2-1
1.4-3 Nhan xét.
!
1.4.4 Nhan xét.
: 1.4.5 Ménh de (ve hàm td M
> Ff r: Ext^(M,R)).
1-4.6 He qua (cua Ménh de 1.4-5)1-4.7 Ménh de (day khdp cac mò dun holonpm)1.4.8 Ménh de (tinh holonom va tinh cyclic).
1.4-8-0 Ménh de (mot ket qua Sta-f-ford)1 . 4. V Ménh de ( t inh hol onom va t i rth thuan tuy ) .
1.4-9,0 Ménh de ( mot két qua eùa Bjork ) .
1.5 vành Ausiander - Gorenstei n gi ao hoàn 1.5.0 Nhac lai ve cac vành Gorenstei ri qioa hoàn1-5.0.0
1,5-0,1
1-5,0,2
;
1-5.0,3
1.5.1 Dinh li < diéu kién can va du de mot vành
gi ao hoàn 1à Ausiander - Gorenstei n ) .
1-5-2 He qua ( cua Dinh li 1.5.1).
1.5.3 Nhan liet.
1.5.4 Dinh 1i ( cac di éu ki én tddng dddng cua
t inh thuan tuy).
1.5.5 Menh de ( ve cac ideal nguyén tó 1ién két )1-5-6 Dinh nghla ( ideal dàng chiéu ) .
1-5.7 He qua ( cua Menh de 1.5.5).
'
CHlJdNG 2 : Vành Auslander—Gorenstein co loc, ideal dac trdng
va mò dun thuan tuy.
;
i
2-0
^
2. 1 Nhac 1 ai ve vành 1pc va mó dun 1pc 2.1.0 Lpc cua vành va mó dun.
2.1.1 Tò pò sinh bdi mot lpc.
2-1-2 vành phan bac lién két vdi mot lpc.
2.1.3 Dinh nghTa* ( lpc tot ) .
2-1-4 Dinh nghTa (1 oc Art i n~Fi;ees , 1 oc Arti n'-F\e£?s yéu)
2. 1.5 Nhan ;;ét.
2- 1-6 Menh _^dé ( tinh chat cua lpc Artin - Rees ) 2.2 Mot day phò cua mó dun 1 oc.
2-2-1 Ménh de ( sd ton tai cua mot day phò ) .
2.2.2 Nhan xét 2.2.3 He qua ( cua Nhan ;:ét 2.2.2 ) .
2-3 vành lpc va tinh Auslander - Gorenstein2.3-0
2-3-1 Menh de ( mot bat dang thuc cua grade ) .
2.3.2 Nhac lai Dinh li F(oos-Bjork (ve sd bào toàn
tinh Ausiander-Gorenstei n cua vành 1 oc)-
'
:
!
i
'
2.3.3 Nhan ;-;ét (ve tinh Ausi ander-Gorenstei n cua
cac vành toàn ttì vi phan quen biét ) .
2-4 Ideal dac trdng cua mò dun thuan tuy.
2.4.0
2-4-1 Dinh ngl~tTa (ideal dac triìng
eùa mòl: fdó dun )
2.4.2 KÌ hieu ( tap hdp V(M) ).
2.4.3 Nhac 1 ai Dinh 1 i Kashi wara- Gabbe?r-B jor k ve
dang chi éu cua i deal dac trdng,
2-4-4 Nhan xét]
2.4.5 Dinh nghìa (di éu ki eri Ass~cdc ti éu) .
2.4.6 Menh de (diéu kién can cua tinh thuan tuy)
2-4-6-0
2.4.7 Nhan xétj
2.4.7.0 Cau hai 2.4.8 Ménh de (dièu kién du cua tinh ttUan t u y ) .
2-5 Tap hdp V(M) .
,)
2-5,0
2.5-1 Menh de (mot tinh chat cua cac tap V(M))2-5-2 He qua ( cua Menh de 2.5.1 )f
2.5-3 Nhan xéti
2-5.3.0
t
2.5-4 Dinh nghia ( tap V(M) ) .
2.5.5 Dinh li (tinh chat cua càc tap Ass(grpM))2^5-5-0
2.5-6 Nhan :-:ét,
2.5.6.0 Cau bòi .
CHlJdNG 3: Ma dun hol onom trén
Gorenstein co loc-
vanh
Ausi ander —
3. 0
3.1 VàI'1 h
3.1.0
3-1-1
3-1.2
3.1.3
lpc va tinh ho 1 onam.
Sd tòn tai eùa càc mó duri holonom.
Qui ddcMenh dè(diéu kién can ?-: du cua tinh holonom)
So bòi theo ideal nguyén tò va cycle.
3-1-3-0 Dinh rìqhi'a (so bòi cua niòt mò dun)3-1,3.1 Ménh de ( so bòi va day khdp ngan )„
3,1-3-2 Dinh nghla ( cycle cua mot mó dun ).
3-1.3-3 Ménh de ( cycle va day khdp ngan ) .
3-1.4 Ménh de ( day hdp thành va cycle ) .
3-1.5 Nhan xét .
i
!
3.1.6 Nhan i<ét > Ff.
3- 1.7 Mò dun hol onom va hàm td M
3-1.7-0 Ménh de ( V(M) - V(M) )3.2 Mó dun thuòc 1óp Berntei n„
3-2-0
3-2.1 Ngoac Poisson va ideal doi hdp.
3.2-1.0
3.2.1-1 Dinh nghTa (ideal doi h d p ) .
3.2-1.2 Vi du .
, 3-2-2 Nhan xét 3-2,3 Nhac lai dinh li Gabber ( ve tinh doi hdp
eùa da tap dac trdng ),
3 - 2. '1' Cac ideal r^ g u y e n t o p h a n b a e v à d o i h ó p 3.2,5 Ménh de (mot bat dang thdc cua g r a d e ) .
3.2-6 Dinh nghla ( 1dp B e r n s t e i n ) -
i«M
3.2.7
Dini"^ l i
3^2.7.0
(IKÌÓ d u n
tio 1 onoin
va
dp B e r r i s t e i n )
3 . 2 . 7 . 1 Nhan ; : e t .
3 . 2 . 7 . 2 Nhan x é t .
3-3
3 . 2 . 8 tlé q u a ( e uà D i n h 1 i 3 . 2 . 7 )
3 . 2 . 9 Nhan x é t .
3 - 2 - 1 0 L i e ri h e v ó i ^: e t q u a e: u a E. s s e n .
F'hép
vi
mò
dia
phudng
boa,
1 dp
Bernstein
va t i n h dang c h i é u .
|.
3 , 3 - 0 F'hép v i mò d i a p h d d n g l i ò a .
3-3.0.0
•
3 - 3 . 0 , 1 N f 1 a e l a i (^ i n h l i e ù a E sii s e n ( v à i \ 11 v i
m ò d i a |::) h i.i d n g t:: u a m ò t v a n h 1 g e ) .
3 - 3 - 0 - 2 N h a c l a i d i n h 1 i e ù a E s s e r i v mò d u n
v i mò d i a p t t d d n g ) .
3 - 3 , 0 . 3 Qu i \\óc .
'
3 . 3 , 0 . 4 D i n h l i ( m o t d à r i g c à u e d ^;id ) .
3 - 3 - 1 Da t a p d a c t r LÌ n g e ù a mò d u n v i in ó dia
p h d d r"i g ,
3-3-1-0
3-3-1.1 Ménh de ( d a t a p d a e:; t r u n g e:: ù a m d d u n
vi mò dia phddng).
,
|
3-3-2 Nhan ;<ét.
3-3.3 Qui ddc.
3.3-4 Dinh 1i(dia phddng hóa va 1dp Bernstein)
3-3-5 Nhan xét,
3-3,6 Ménh de (dia phddng hóa va t inh dàng chi éu).
3.4 Vi mò dia phddng hóa, tinh Ausiander-Gorenstein va
t inh thuan tuy3-4-0
3-4.1 Dinh li (mot tinh chat eùa vành dia phddng)
3-4.1,0 Nhan xét.
e.4.2 He qua ( cua d inh 1i 3- 4. 1 )„
3-4-3 Li èn he gi uà u va
3.4-3-0
3 . 4 - 3 - 1 Ménh d e ( m o t d i é u kièkT d ù d e
p
^.>
3 - 4- 4 D i n h 1 i ( Sd b à o t o à r i t i n h h o l o n o m )
3 , 4 - 5 D i n hi l i ( S u hàa t o à n t i n h t h u a n t u y ) 3 . 4 . 5 . 0 Bo d e .
T - v à r i h , t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n .. k i d i e h i n r i q u i
3 . 5 - 1 Dinh nghi'a ( T - vành ) .
3 . 5 - 2 vi du3 . o- 3 Dinh 1 i ( s d
bào
toàn
t irth
Ausi a n d e r v à r 11" i ) .
G o r" e n s t e i f » c u a e a e "I "
3.5.4 He qua ( eùa dinh li 3.5-3 ).
3.5.5 Dia phddng hóa T - vành.
j:, 5,6 Dinh nghìa ( i deal dac trdng )
3,5-7' Dinh nghTa(ki di chinh qui theo rìchìa dai so)
3-5-8 Dinh nghìa (diéu kién cuc tiéu dai vdi Ass)
3-5-9 Dia phddng hóa the^j mot ideal nguyén tò3-5-10 Dia phddng hóa va tinh Ausiander-Gorenstein
3-5.11 Dinh li (dia p ti i.ì d n g ti ò a va k 1 di e h \ n ti qui )
3-5.12 Dinh 1i(Mò dun thuan tuy va kx di chinh qui)
TAI LIEU THAM KHAO-
Mci o A L J -
bàt dàu td càc còng tr m h
Ly thuyet Vànfi toàn td vi phan
Malgr^ange CMAL 613 va Matauura [MA 61 "J, da mó ra mot hddng
nghién cdu mdi cho ly thuyet phddng t r m h dao liam i- iéng,
dac b i e t là càc phddng t r" ì n h v ci i ti e so ha r i g so. Y. t L( d n g ;•
mot he phddng tr inh tuyér^ t inh nhd mot mòdun 1 à quen
thuòc
chàng han trong h inh hpe dai so, tuy nhi én vi èc vi éc dai so
hóa càc he vi phan thành nhdng mòdun trén càc vành nào dò
eh 1 mdi ;•; uàt h i en trong nhdng nàm t>(.)- 61 . Theo hddng do, indi
he ptiddng tr ì nh dao ham r i éng ddde h i éu 1 à mot ; ( bó ) mÒdun
trén mot (bó) vành toàn td vi phan thichi hdp„
Nhdng dóng góp dau tién cua D- Qui 11en , H-Kon atsu, I. NBernstein va M. Kashi wara trong nhidnq nàm 60 va dàu 70 da
dat mot ed sd vdng chàc cho 1y thuyet va khàng dinh hi éu
qua cua vi éc àp dung nhi éu phddng phàp
khàc nhau cua dai so
vào e a e b ài t oan p h ddng t r ì n h dao h àm r i én g .
Noi mot cach ngan gpn, 1y thuyet D-módun righi én ' cdu cac bó
vành toàn td vi phan trén mot da tap (giài tich, dai so) va
càc bó mòdun trén chung (ve mat dia nhddng , ta e: ò thè coi
ehung là càc vành va mòdun thòng thddng). Càc
vành toàn td
ed bàn nhat là : dai so Weyl A„ (K) , càc bó
va E^
trén
mot da tap X. Trong nhi éu trddng hdp , cà e 11 nh chat
dia
phddnq cua bó lìói 1 én hau hét nhdng
tinh chat cua bo do,
cho nèn ta 1udn luon co the nghién cdu cac stalk cua càc bó
vành va mòdun nói trén. Theo cach dò nhi éu ly thuyet
khàc
nhau dung nhdng còng cu cua 1y thuyet
van h , d ai so dòng
diéu, dai so giao hoàn ... co the dddc
xa y ddn g de nghién
cdu càc Viing toàn td nói trén ve mat dai s ò.
I
/
Chung ta bay mò ta qua cac vanh toàri td vi phan vda nèu.
Chufìg 1 à nguòn xuàt phat cua càc bài toàn vd a là dng dung
cua càcz righi én cdu ly thuyet- Cho k là trddng co dac so 0
(thddng là C ) , khi dò An(K) là vành càc toàn td vi phan vdi
he so trén vành da thdc kCx^ ^ . . . ,x^ 3. Cho Xà 1 mot da tap
ph de . Dy 1 a bó vành toàn td vi phan trén X si nh bdi
bó D^
càc hàm chinh h inh va dai so Li e càc trddng vectd trén X.
F- 1 à bó vành càe mam toan td vi mó-dia phddnq trén phan thd
dòi ti ép ;;uc T**X. Ngoài ra^ trong nhi éu trddn g hdp, càc dai
so bao U ^g) ( g -dai so Li e hdu han ehièu ) eCinq x u a t h i e n
trong càc vành toàn td vi phan nào dò
ixem
LMAC - RGB 8 7 ,
eh. 8 ) . Ti^ chd y ràng càc vành này deu Noether va co loc.
I - N. Bernstein là ngddi dau ti én nghi én cdu mot
àch co
hé^thòng dai so Weyl A ( O Trong nhdng nàm o9-72, b àng
nhdng còng cu tddng doi sd cap, òng da thiet 1ap dddc nh dng
tinh chat ed bàn nhat cua vành này nhd sd ton tai
cua càc
phddng trình hàm cho thàc trién chinh hình cua hàm
, d ành
già so.chiéu ^ cua da tap dac trdng cua càc he vi p
han
(bàt dàng thi'ìc Bernstein)^, sd ton tai cua mot 1 óp càc mò
dun
hòlònóm ^.. . Chi sau^nhdng còng trình eùa Bernstein mot
phài Niiat n d i
trong nhdnqj nàm dau cua thap ky 70 , trddng
bat
lén vdi càc còng trình cua H. Komatsu , M. Sato , M .
Kashiwara5
va T. Kawai. Trong so do dàu tién phài ke dén
ém
so cua cac he
luan an cua Kasniuara ve càc nghién cdu dai
vi phan CKASH 71] va bài bào cua Sato - Kashi wara - Kawai
ve 1y thuyet siéu hàm va toàn tu già vi phan CSA-KASH-KAW 73 3
Di^ém ^dàng chu y là, khàc vdi càc phddng phàp tddng dòi
co dién cua Bernstein, càc
tàc già nói trén da
hình thdc
hóa khà thành còng càc khài niem QÌ^^i tich sang càc ^ khài
niem dai so, nhd dò àp dung dddc nhdng
két qua sau sac eùa
dai so hi én dai nhd 1y thuyet giài ky d i cua
H. Hi ronaka.
Vdi còng trình
vdà ké , càc
tàc già
da
dda
ra ,
mot quan diém mdi 'vi mò dia phddng"
ve càc he vi phan, qua
dò dat dddc nhdng két qua quan trpng nhd tinh ^dòil hdp eùa,
da tap dac trdng hoac càc dinh ly càu truc tóng ì quàt ...|
{ xem tSCHA 8511 ) . Td dò cho dén nay, ly thuyet vành toàn
td vi phan co mot vai tró quan trpng trong nhiéu n'gành toàn
hpe khàc nhd hình hoc dai so , 1y thuyet ky dii » dai so Lii
va cà ly thuyet tich phan Feynman.
1
Dén cuoi nhdng nàm 70, da co thém nhiéu tac già tham già
nghién cdu ly thuyet D-mòdun , trong ^sò dò co the ké
là
T. Oshima (Nhat), J, E. Bjork (Thuy Dién), va dac biét
trddng phài Phàp vdi P. Schapi^ra, F. F'ham, Z. Mebkhout, 0.
Gabber ... Tat nhién khòng the khòng nhac dén nhdng két qua
cua càc ngành toàn hpe khàc co ành hdong 1dn dén ly thuyet
D-mòdun trong dò co càc còng trình eùa V. P.
Maslov,
Hormander, „.. trong phddng trình dao hàm riéng, eùa
A. Grothendj. eck, J, P. Serre, R. Hartshorne, J, T, Sta-f-f ord
... trong dai so , cua L. Schwartz, M. Sato ... trong ly
thuyet hàm suy róng, va eùa nhiéu tàc già khàc.
Xuat phat td giài tich va sd dung phddng phàp cua dai
so ,
bau hét càc bai toan cua 1y thuyet vành toàn td vi phan
dèu nàm gida ranh gioì eùa hai llnh vuc này . Tuy nhién, do
ràng
sd sàng sua va tinh khài quàt cua minh, co thè nói
y
ngòn ngd va còng cu dai so da bau nhd Kuyén suòt càc
toàn Cauchy trong
tddng eùa 1y thuyet. Chàng han, bài
cach nhìn eùa ly thuyet
phddng trình dao hàm riéng dddi
D~-mòdun , là gidi han ngddc
(inverse limit) eùa mot ho
co
mòdun nào dó^. Qua do , Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia
dién dddc dién dat bang sd tddng dddng eùa hai pham
trù
(Dinh li Cauchy ~ Kowalepskaia - Kashiwara, xem
CBCHA 8511)
Mot thi du khàc , ta co thè Ket dai so Weyl r^„ (k ) theo
mot quan diém thuàn tuy ly thuyet vành nhd mot k-dai so sinh
bdi 2n phan td K, , . . - ,K„ ,y, , - . . , y^ vdi quan he
LK-, ,Kj 1
» 0 , Ly. ,y. ] == 0 , Cx; ,^,^3 - 1,
va ^nhd thè mot he vi phan vdi he so da thdc
(trén k) dddc
hi éu 1 a mot k-khòng gi an vectd cùng vdi
mot tàc dòng
eùa
càc phan td K-^ ^y^^ ,v-v.
vi nhdng 1i do trén, mot hddng td nhi én eùa 1y
thuyet
D-mòdun là khài quàt càc tinh chat eùa càc vành toàrì th cu
thè thành mot 1 óp vành trdu tddng de nqhién CLÌU bang dai
so . Nh i éu tàc già da quan tam dén
hddng này nhd J. E.
Bjcjrk, 0. Gabber, A. van den Essen, . . , Mot nghién cdu nhd
(dai so) cho mot
thè bao gòm vièc^xay ddng mot ly thuyet
lóp vành mang rihdng dac trdng eùa càc vành toàn td
, nhdng
mot
linh vuc àp dung
dòng thdi dù tòng c|uàt de co dilóc
là bay tìm nhdng
rpng rai , Theo hdóng do, viéc dau tién
dac di ém chung eùa càc vành toàn td quen bi et .
Nhd da thày, càc vành Art(k), càc stalk eùa càc bó D^ ,
Ex déu Noether (hai phia) va co lpc- Ngoài
ra
, ^ chung
Lièu co chiéu dòng dièu hdu han ^. Theo mot ^quan diém nào
dò, càc tinh chat vda nèu co thè xem là dù de xày ddng
mot
mò hình eùa mot Idp càc vành toàn td nhd J. E. Bjork dà làm
trong tBJO BSÌ va CBJO 87]|
J. E- Bjork , khi nghién cdu Idp vành Noether nhd trén,
dà chù y dén mot bat bién
quan trpng trong pham trù mòdun
tddng dng - Bàt bi én dò gàn cho mòi mòdun M mot so nguyén
khòng àm j sao. cho càc mòdun Eiìt ^ (M,F\) déu tri et tiéu
vdi k
j va EMt^(M,R) 5^ 0 - Day là mot thay thè tòt trong
trddng hdp h:hóng giao hoàn eùa khài niem grade ,(hay dòi
chiéu) cua mot mòdun trong Dai so gi ao hoàn - Dai 1 ddrig này,
theo mot nghTa nào dò, co thè dùng de dành già kich thddc
eùa mot mòdun ve mat dòng dièu , va dà dddc xét
dèn
trong
CFOS - GFTII -- REI 75] . Trong bài bào này , càc tàc già
dà • de ngh j. mot dinh ngh3^a
cho
càc vành Gorenstei n
"khòng giao hoàn' , trong dò co aiòt diéu kién qpi
là Diéu
ki èn Ausiander . Tuy nhién , J- E. Bjork
1à ngdoi dàu ti én
;ìét dèn Idp vành này mot càch co he thòng va ;;ày ddng mot
ly thuyet ve càc vành * Gorenstein khòng giao hoàn
'- Tat
nhi èn 1y thuyet eùa Bjork hddng tdi càc àp dung trong
càc
vành toàn til vi phan, nèn ngoài tinh Gorenstein, mot
khào
sàt tddng dòi ky ve càc ' vành Noether
co lpc
' cùng da
dddc thdc hièn, Bac biét , ly thuyet eùa Bjork dda trén sd
tòn tai va fiòi tu cua nhiéu day phò dòi dòng diéu trddc
dò
dà dddc khào sàt trong CRD 733 va [ISCH 693Ly thuyet cua J, E. Bjork ve càc vành Gorenstein khòng giao
hoàn (trong 1uan àn gpi 1à càc vành Ausiander-Gorenstei n)
ngan gpn nhd sau, Cho
va varih Noether co lpc co thè nói
vdi
chiéu nói
Jia hdu han
vành R Noethier trai va phài
inj-dim R ~ K < =-« (già thiét này yéu hdn ql.dim R < »<> ) .
Vdi mdi R -mddun M , tòn tai^ mot day phò ma sd bang E^
là E;i t^ (ELKt^(M, R) ,R) - Day pho này mang nhiéu thòng tin ve
mòdun M ,dàc biét nò chdng minh sd tòn tai eùa bat
bien
khòng am j(M) :- min ^ k
grade nói d trén : dò 1à so nguyén
( E;;t^ (M,FO v^ 0 } . R dddc gpi là mot vành Gorenstein neu :
mòdun con N
vdi mpi R -mòdun M, mpi so nguyén k ^ 0 , mpi
eùa Ext^(M,R) , ta déu eó j(M) ^ k - ( Diéu kién này do
F( là vành Gorenstein, day
Auslander dda ra dau tién )- Khi
pho này bòi tu,va nhiéu két luan bò ich dddc rùt ra td dóChàntj han, mpi mòdun M déu co mot lpc M^^ e, , , e M^ :::: M, trong
do mòi thddng M; /M^^^ déu thuòc mot 1 dp mòdun dac bi et, qpi
1 à càc mòdun thuàn tù>^ (pure modul es) - Cac
mòdun này dddc
dac trdng bdi tinh chat :tat cà càc mòdun con dèu co cùng
(
:
:
:
: h*. )
mot grade. Bac biét, Idp càc mòdun eó grade CLIC dai
dddc gpi là càc mòdun hòlònòm - Khi trén vành R dddc trang
bi mot lpc FR , chung ta quan tam dén ành hddng cua tinh
Gorenstein eùa vành phan bac
1ién két
grR dén t inh
Gorenstei n eùa bàn thàn vành R , Khi 1pc FR 1à Arti rv Rees,
J - E, Roos va J - E Bjork dà eh LÌ n g min h r~ a n g né u g r H 1 à
vành giao
Gorenstein thì R cCing co tinh chat dò . Do mpi
hoàn chinh quy déu Gorenstein ta suy ra rang càc vành A < k ) ,
, dèu là vành Gorenstein- Diéu này cho!thày ly
càc stalk
thuyet dang de cap dén da dàp óng dddc mot dai bòi
dat ra
tùi dàu là nò phài bao gom càc
vành toàn tu vi phan
quen
biét-Nhd vay mpi tinh chat vành va mòdun dà thiét
1ap déu
àp dung dddc vào càc trddng hdp cu thè eùa A ( k ) , D
va
E
cua
mot
dai so Li e hdu han chi é u ) .
(va cà càc
dai so bao
Ti èp
dèn , vdi
già thiet
grR
gi ao
hoàn
ta
Ket
càc
i deal dac tr dng va
da tap
dac trdng
eùa mot
nió d u n , dac
co
bi et khi mó dun dò 1à thuàn tuy hoac bòiònòm. Chàng h a n ,
thè chdnq minh ràng mpi mòdun thuàn tuy déu co
da
tap
dac
chdng
trdng dàng chiéu (kèt qua rìày dau tién dddc Kashiwara
dò
dddc
mi nh cho trddng hdp vành vi mò - dia phddng , sau
dai sd
bao) . Ngoài
ra,
« Babber ctidng mi nh cho trddng h d ^
càc khào sàt ve vành lpc cùng dàn dén viee
nghién
cdu
càc
thanh
khài
vành Rees tddng dng va Bjork dà khài quàt chung
niem
T-vành ( ;:em CBJO 8 7 , Part i n , TEK 8 B ] ) . Vdi
ky
chdng
minh
mdi
eó
thuat riày, chang h a n , Eijork dà cho mot
phan t ò n g quàt h d n cua D i n ^i 1 y Gabber' ve ti ri h d ó i , h d p
e:: ù a
'
da tap dac trdng .
Nhdng
két qua vùa
nèu co mot so dng dung
vao cac
v^nh
toan
Xet
dai sd
Neyl A ^(C) vài già
sd
tu 'vi phan nhd sau
Khi dò
vanh
dia
philc3rtg | CI;•; , F'' J
P, £ CLx3 -: ceM • » • " ? '- „ ]
diéu
A„(C)
là
niòt
vành
l!à mot A n (C)-mòdun . Sd dunq
là
Auslander - Gorenstein ta co the chdng minti ràng C [ K , P 3
niòt mòdun bòi óndm (day 1 à mot d inh 1 i cua 1. I-J. Be^nstei n ) ddng
càc
b-tiàm
(con
gpi
là
da
tliùc
Td d ò , co thè xày
Bernstein - Sato) dòi vdi mpi da thdc
P € CLK]
cho truócBày
gi d
cho
X
là
mot
da tap phdc n cìii èu va gi à sd Fi:
cà
hai
trddng
hdp,
là mot stalk eùa bó D hoac
E - ìrong
, nhd
dò
trén R
déu co càc lpc de cho gì - dim (grR) -- 2n
ciu-ing mi nh dddc dàng thdc
j (M) -^ d (M)
2n,
vdi
mpi
Rra
dddc
bat
dang
thdc
Bernstein
mòdun MTd
day
suy
M
là
d(M) ^ n (d(M) ki hieu chiéu Gelfand - K i r r i l o v ) . Nèu
chdng
mi nh
ddde
hoac
M
mot mòdun sao cho d(m) = n + 1 , ta
( khàc 0 ) hoac
M/f(M)
1à
chda mot mòdun con hòlònòm
hòlònòm vdi mpi ddn cau -f : M
> M.
Nhd ta co thè thay dddc^
ly thuyet eùa
Bjork
ve
càc
vành
Auslander- - Gorenstei n theo
mò
t a
d
tr- éri 1 à
mpt
hiL.Ìóng
nghi én cdu vanh - 1y thuyet co dòng ed td càc
van
de
1i én
quan
den
dai
so
Weyl
A„(k) , càc vành
Dj^ , E^ , U(g) . - Ly thuyet cua
Bjork
dà
;;àc
1 ap
mot
pham vi nghi én cdu
khà rpng rai dòng thdi
cùng manq nhii éu dac
trdng
eùa
càc
vành toàn t e , va bddc dàu dà thi et 1ap dupe càc co sd eùa nóTàt nhi én bàn than 1y thuyet cùng eó su 1y thù ri éng cua nò ,
nhd là mot van dà eùa ly thuyet càc vành két hdp
, va
càc
t::èl: qua trình bay trén day
ngoài
nhdng
àp
durig vào
càc
D-mòdun , ec-n co mot y nghìa nhat
dinh
ve
mat
ly
thuyet
vành - Tuy n h i é n , theo chung tòi con n h i é u van
de
co
1ién
chat che dén càc trình bay trén ma Bjork chdai chda
de
cap
dèn hoac chda khào sàt day^ dù. Chung tòi néu
ra
sau
day ,
ddói dang
cau h ó i , mot so van de khà ed bàn , va
chung
dà
1à dòng 1 de cho càc nghi én cdu eùa 1uan àn
này
.
( Trong
e: a e
p h à t; b i è u
s a u , F( k i h i e u
mot
v a n ti A u s 1 a ri ci e r • - G o r e ri s t e i n ) ,
l.Khào sàt tinh A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n trong càc Idp vành quen
thuòc
(càc vành gi ao h o à n , vành ma t r a n , vành n h ó m , PI-vanti
.--)càc
khào
sàt này se cho ta thém nhiéu thi du ve càc
A u s i a n d e r Gorenstei n .
vành
2.Nghién cdu cac B- lpc trén cac R-mò d u n . Mot trong nhdng
chat ed bàn nhat eùa vành A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n 1à sd
t inh
4
..W4. ^v_j L-utcì iHLJu u d / p n o , g p i 1 a d a y p h ò R u o s - B j o r k ~ I s c h e b e e k
V d i ' m ò i m ó (iJ u ri hi, d a y p hi ò n à y c o
E ^ --: E ; i t ^ ( E x t ^ ( M, R ) , R )va
b o i t u v e c h i n h Nò d u n M- Dac b i e t , La c o m o t 1 oc
i
M^ e M^ e , . .
e H^ :^ M ,
t r " o ri g dò ^ là c h i é u nói x a e ù a va n h E< ( B -1 g e ) . C a u h à i d d a y
là bay k h a o sàt
s a u h ó n n i.l a càc B ~ 1 p e 3. T ì (lì e: a e li dac: t r" d n g càc mò d u n dac t:) i e t ( m ò d u n t h u a n t u y ,
mò dun ho lo nòm . - - ) - Vdi già thiét R dddc loc sao cho vành
p hi a n bac lién I-:: è t
grR là v à n hi g i a o hi o à ri, t a h a y m ò t a e a e
1 d p m ó d u ri nói trén qua càc dòi t d d ri g " h i n hi i i p e '' h d n ri hi il
ideal dac t r~ il n g , da tap dac t r u n g , t a p e: a e ideal n g u y e n t ó
1i én két''I. N 9 hi i è n e il u Idp càc lpc tòt trén (n ò t m ò d u n e \ 11;:) t r" u d e .
C h a fi g lì a n càc: ideal dac t r d n g , càc i tJ e a 1 1 i e ri k et - - . d i.l d e
dinh n'ghi'a thòng qua eàe ìge
tòt trén mot mò dun M, nhdng
r • ò t e LI e e hi ù n g k hi ò n g p hi u t h u ò e v à o 1 p e d d d e e hi c) n . X e t e a e
ideal
I p M ;- A n n grp M e grF<, càc t a p
A p M :- A s s grp M
e
S p e e ( g r" F( ) , nói e hi u n g p h LI thi u o c v a o l p c t ò Iv. F. C' h LI n g t a hi a y
khào sàt sd phu thuòc này.
mò d u n h o l o n ò m . V e m a t g i à i t i c h ,
l^hh i Un cdu s à u h d n cac
mot h e h o 1 ò nòm 1 à m o t b ó c o h e r e n t v ó i d a t a p d a c t r c ì n g
L a g r a n g c d ^ n ( d ò i h d p v a c o c h i é u e de t i é u ) u Cau hc)i d d a y l à
b a y 1 i é n h e k h à i n i em n à y v d i k h à i n i em h o 1 ó n ò m d d d c d i nhi
mò d u n
n g l"ì i a m ò t e à e hi " t h u à n 11 j y d a i s o ' t v o n g p hi a m t r ù eàe
t r é n mot vanh A u s i a n d e r - G e r e n s t e i n «
6 - L i é n h e v d i p h é p v i ma d i a p h L Ì d r ì g hcja ( m i c r o - 1 o c a l i i r a t i o r i )
X é t v à n h 1 p c F( v d i 1 p c
FR ~ { R^ , n e 2 J .
Mot
vi
du t i éu
b i è u v e c à c 1 oc ( k h ò n g r d i r a c ) n à y l à 1 p c t h e o b a c e ù a t o à n
t LÌ t r è n e a e e a n hi ( s t a 1 h: ) e ù a eàe b ó Ej^ . M o t 1 y t hi u y è t d a y d ù
v e p h é p v i mò d i a p h L Ì d n g b o a ( g i à i t i c h )
d a dLÌdc
xày
dLÌng
b d i KaBh i t-jar" a , K a w a i v a 0 s h i i ma - L y t hi LIy è t
d a j.
s o t: d d r i g drig
( a l g e b r a i e (di cr' a - - l o c a l i z a t i o n ) d a d L Ì d c t r i n h b a y t r o n g
CES
Bòa~}.
ChLtng t a b a y n g h i é n CLÌU s d t L Ì d n g q u a n g Ì L Ì à t i n h
thuan
t u y v a t i n h h o l o nòm q u a p h é p d i a phLÌdng h o à d a i s o n à y -
L u a n à n " M o t s o n g h i é n CLIU v e
vành
Auslander Gorenstein
khòng g i a o hoàn"
nhàm
phàt
triérì
ly thuyet
nói t r é n eùa
Bjork
theo
hdcing
giài
quy e t
eàe
van de
1 - 6 VLU-<
néu.
T r é n t i n h t h a n d ò ,'^ c h ù d e n g h i é n c d u c u a 1 u a n à n 1 à càc
vành
Ausiander-Gorenstein,
vành
Noether
c o 1 p c ^ p h é p v i mó d i a
p h d d n g h c j à , v a Lìng d u n g c à c l y t h u y e t
này de n g h i é n cdu càc
h e h o l o n ò m v a h e t h u a n t u y . DÓrig (:4Ó|:J
cua
chung t ò i
l:.r o n q
1 u a n a fi t) a o g ò di n hi LÌ fi g k e t c:| u a t r i n hi ti à y d LI d i d a y .
( C à e v à n hi
A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n dddc g p i t a t l à vành A - G ) -
1. Dinh fighia cua vành A-G khòng g i a o hoàn do
J„
E.
Bjork
d d a r" a ( 1 9 8 7 ) e: ó i t f i h i è u 1 i è ri q u a ri t d i càc
v à n hi
B o r" e n s t e i n
q u e n b i è t t r o n g D a i s ò g i a o hi o à n . V a fi d e t d
n hi i è n
dat
r a
1 à t i n h A--G t r o n g t r d d n g h d p g i a o h o à n
va
t ifih
Gorenstei n
t h ò n g t h L Ì d n g 1 i é n h e v d i n h a u nhLÌ t h è r ì à o . C h i ù n g t ò i d a
e l i 5.
r a t r o n g 1 u à f i à n r à n g m o t v à r i h i g i a o h(::)àn FA' l à A G k h i v a c h i ì
khi F: 1 à vành Gorenstein va co
chiéu
Krull
hdu
hanDiéu này dac biét hiLÌu ich trong càc khiào sàt tièp theo ve
vành A~G co lpc vdi vành phan bac lién két giao hoàn. Cùng
td két qua này, suy ra ràng mot R -(iiòdun hdu han sinh M là
thuàn tuy khi va chi khi mpi ideal nguyén tò eùa Ass(M)
dèu co cùng mot dò eao h - grade (M) - Mot he qua dàriq nói
eùa tinh chat trén là vdi H - móduri M bat kì ta co phan
tich
* I
Ass(M) -- U A5s(EKt^(EKt^(M,R) ,R) ,
i
trong dò thành phan t h d k d v e p h i a i chi i g o d i ntiLUig
i deal
dò cao bàriq k ( 0 •-! k <: K = i n j - d i m R ) ( e a u b o i 1 ) .
2 . Cho mòdun M t r é n
vanh
dò day phò
Roos - Eijork
tréf» M mot l o c
(B-loc)
^X^
v a g i à t h i e t FA
Ischi eh eck
bòi
e
M.
1à v a n h
t u
Và
A-G.
càm
ed
Khi
sinh
M
M^ / M ^ . ^ l a t h u à r i t ù y , L p c n a y
lién
t r o r i g qo mòi thiddng
guari
t
h
u
à
n
t
L
i
y
h
o
a
c
t
i
n
h
h
o
l
o
n
o
m
.
C
h
u
n
g
t
c
j
i
d
à
dac trLÌrig
dén I t i n h
M
duida l p c n à y nbcì s a u
la mddun con 1 dri n h a t
so
trp, g
iDU
càc mòdun con cua M co grade khdng vLÌdt c^ua | H - k .
dung
dièu này , chung tòi xét dèn t inh chat ki éu A r t i n - F ^ e e s "
eù a
N e M
B-lpc va chdng minh rang vói m n i
'^k
trnnq
da
N„ e N, e:
- N (\ M,
N„
la
B-1 oc
cua
mò d u r i
N
(càu
boi
2)
3- M. K cishi wara (eho trLidnq hdp vanh vi md dia phìLÌcing) v
Gabber (cho tru!dng hdp dai so bao eùa dai so Li e) dà e hiLÌfig
minh ra ng da tap d ac trdng eùa (noi diòdun 1 à rdòt tap d à n g
chiéu - J- E. Bjor ^. nhan xét ràng diéu dò van dùng d ò i
voi càc vành A-G. d day, eó trong tay mot hièu biét k h à
day dù ve càc vành A-G va vành 1pc, chung
tòi
dà cho m o t
chLUK^ m inh gpn, r 6 cho khàng dinh dò . Luan àn cùng dà d d a
r a d i f1 hinghla cua mot mò dun thóa man
t i è LI
dièu kién
edc
dòi vdi càc ideal nguyén tó lién két, va chLÌnq minh ràncj d a y
cùng là (dot di éu k ieri can eùa tinh thuàn tùy, cho diót 1 cip
càc F< - mò dun. Id d ò ,, r
k..
èi=.
t- hdp
Dinh
1 i Kashi wara
vvdi
di
Dinh
Gabber ~ Bjork mot d i è u k i è n c a n v a dLi c h o t i n h
tuy
thuàri
dLÌdc thi iét 1ap (cà u b ò i 3 ) 4. Ta biét néu ideal (càn) I(X) cua da tap dai
X e k
so
eó phan tich "nguyén tò
I (X) ::: p^ n . . - 0 p^ , vdi
là cac
ideal figuyén té tron g vành da thcìc A kE!;;^ , . . - ,x^ 3 ,thì
h) àf 1 t ti ari X
d LId e p hni atich thành càc thành phan bat khà
qui
tLÌdng LÌng
X ™ X^ U- . . U Xj , vdi
I (X;_ ) - pi^
(k - trtidng
dac so 0 ) . vi ly do dò^ trong nhiéu trLk^ng hdp nQdhi
ta
dòng fìbàt da tap X v di tap { p, ,, - . , PJJ C Spee (A) . Dei
vói
trLicìng hdp eàe mò du n trén mot vành toàn td, ta cùng 1àm nhd
thè- FU^y gid già thi et trén vànhi Fi; eùa chung ta eó mot lpc
sao cho grFc là vành Noether giao hc^àn va M là idòt Fi; - mò
d u ri hi LÌ u hi a n sinh- uNé F là mot lpc t ò t t. r" è ri i '1 t a g pi J ( 1^1 )
:-: v'^ Ann gr^ M là ideal dac trdng va V(ii) :~ tap càc
ddc
nguyén tò eùa J ( M ) .
Ideal
dac trdng ^ (va do dò tap V(M))
khòng phu thucpc va o viéc chpn lpc tòt F. Tuy nhién ta con
co eàe ideal va tap hdp sau, nói chung phu thuòc thdc sd vào
1 pc
ApM
ApM
càc
F : ideal
1inh hóa td
IpM : - Ann grp M e grR, tap hdp
:~ Ass grp M
5pec(grR). Do nhLÌng khào sàt ci trén, tap
e Spee(grR) co ly do de dddc dac biét chù y. Thòng qua
tap hdp L^^M : = E;ta symbol chinh. CÓ
hpe
cho
t inh
holonomTd két qua này
, suy
ra
tinh
holonom eùa mot loat càc mòdun dia phddng vi mo
a u b o i 5) cua
6- Chung tòi chLÌng minh sd bao toan cua tinh A - G
vanh
voi
già
R qua càc phép dia pbtldng hóa vi (nò . Chin h xàc,
thiét R co mot lpc Artin-Rees va grR là vành A - G g i a o h o à n ,
chung tòi chdng minh dddc mpi vành vi mò - d i a p h i L Ì d n g
E R
déu 1à vành A-G
d i éu
này
va
vdi p e Bpec(grR). Bu dun g
c a c k é t q u a n o i d 2^
phép
dia
, chung tòi chting minh r à n q
p h L l d n g h ó a t i ò t mó d u n t h u à n t ù y gid
nquyen
t inh
thuàn
tuy
eùa
mò d u r i d ò - N g o à i r a , n è u c h i d i a
phLÌdng
càc
hóa t h e o
ideal
nguyén
tò
cua
tap
V(M)
,
ta
1 Liòn
thu
1 udrì
dLÌdc c à c
mò d u n
t h u ò c 1 d p B e r n s t e i n (ma t he o
5trén ,
d
dLÌdi nhcUig d i è u k i é n n a o d ò , 1 à e à e
mó
dun
h o l onom) NhLÌ
v a y chung t ò i dà khào s à t tLÌdng d ò i day
dù
ành
hddng
eùa
p h é p d i a p h L i d n g h ó a v i mò d ò i v d i c à c t i n h e h à t v à n h
va
mò
dun dàng quan tam _ t i n h
A-G, t inh thuan
tùyt inh
hiol onom
(càu bòi
6)-
V d i . ^ n h d n g n o i d u n g n é u t r è r i , l u a n à ri fi g cj à i m o t e h d d ri g 0 d e
c h u à n b i , gòm e o 3 c h c ì d n g - Cac c à u b o i
1 i<2 d d d e x&t dèn d
tòi
c h d d n g 1 ; t r o n g chLidng 2 c h u n g
et e à e e a u bòi 3 ?/. 4 ; va
chLÌdng
dành cho càc cau hói 5?<òNói dung eàe chddng eó
t h e n o i van tat nhLÌ sau(Trong eàe trình bay s a u , " vành"
dLÌdc hi ed
1a
vanh kèt h d p , co ddn VI
va
cae mo dun neu
khòng nói
khàc di dèu là mò dun trai
)
ChLÌdng
1
nghién
cdu
tòng
quan
ve
eàc
vanh
Ausiander-Gorenstein va càc mò dun eùa chung, dac b i e t
là
càc (Tiò dun thuàn tùy va mò dun hòlònòm- Càc dinh n g h i ' a va
eàe tinh chat ed bàn phan 1 dn dà co d LBJG 8711,
e il uri g
tòi
chi cài
tién mot so va dda ra eàe
vi du v e
vành
Ausiander-Gorenstein. Dac biét, sd tòn tai (va bòi t u
trong
trddng hdp vành Ausiander - Gorenstein) eùa day p hi ò m a r i g
tèn Roos - pjork - Isehebeck là ed sa cho nhiéu e h d f i g (fi i fi hi
Bau này, dLÌdc khào sàt tddng doi ky. Ri éng trcjnq 4;- 1 . 5 , c h i ù n g
tòi chLÌnq mi nh mot
di éu k i èn can va dù de (11 d t V a fi hi
gi ao hoàn 1à Ausiander- Gorenstein (Dinh li 1.5.1)
Ké t
qua
nay cho t h à y t è n
gpi
nguyén t h ù y
' vành
Gorenstein '
eùa
B j o r k 1 à chLÌa
th ich
dàng ,
va
chung
tòi
dà
(jpi
cac
vanh
này
1à
A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n , t h e o CEK 8811 ) .
NhiLÌ
1 à mot hié
qua, chung t ò i suy
ra
mot d i n h 1 y p h a n t i c h c h o
tap
Ass M t r é n
mot
vành
Auslander - Gc^renstein
giao
h o à n eó c h i é u K r u l l hLÌu h a n ( D i n h l i 1 . 5 . 7 ) .
i
ChLÌdng 2 n g h i é n CLÌU c à c v à n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i ri c o 1 pc
va
càc mò d u n 1 pc t L Ì d n g LÌng. C h u n g t ò i
gi di
t h i éu
khài
n i ém
l p c A r t i r i - R e e s t r é n mot v à n h R v a k h à o s à t s u l i é n
he
giLÌa
vành R va vành grR- Dinh l y
eùa
Fi;oos
va
Bjork
(dinh
ly
2 - 3 - 2 ) v e si.ì
t r u y é n t i n h A u s i a n d e r - G o r e n s t e i n tLÌ
grR
BC\ng
R v a d à n g t b c ì c j (M) ~ j ( g r M ) l à cc3 b à n c h o càc k è t
qua
sau
TLÌ
mot
dinh
li
eùa
K a s h i war" a
,
Gabber
va
Bjork ,
B j o r k , c h u n g t ò i t ì m dcìpc (iiòt d i é u k i é n c à n v a d ù d e mot
(nò
d u n 1 à t h u à n t ù y t h ò n g q u a i d e a l dac t r c ì n g v a i d e a l 1 i é n k é t
t r o n g c à c Menh d e 2 . 4 - 3 , 2 - 4 - 6 , v a 2 - 4 - 8 . Dac b i è t
luan
àn
d à dda ra d i u i h n g h ì a c u a mot mei duri t h ó a mari d i é u
k i èn
cdc
t i é u d ò i vd:. i d e a l n g u y é n t ò
lién
két
( D i n h ngh'L'a 2 - 4 - 5 ) Trorìg
$ 2-5
chùng
tòi
nghién
cdu
càc
tap
con
eùa
Spee (grFi;)
va
càc
ideal
eùa
grR
dinh
nghTa
trén
mot mò duri M t h e o càc l p c t ò t :
ApM
;~
A s s g r p M ',
IpM
: ™Ann g r p M. V d i s d dLÌa ra d i n h n g h i a c u a
tap
V(M)
(dinh
r i g h i a 2 - 5 - 4 / , chiùng t ò i d à d a n h g i à , t r o n g mot e h LÌng mdc n à o
d ó , s L Ì p h u t h u ò c e ù a M v à o làp càc l p c t ò t F ( d i n h l y 2 - 5 - 5 ) .
T r o n g chLÌdng 3 , cbLing t ò i n g h i é n eu'u s d l i é n q u a n g i c ì a
eàe
v à n h l p c , mòdun h ò l ò n ò m , mòdun t h i u à f i t ù y , p h é p v i mò
dia
p hi d d n g hi o a , v a ^: hi a i n i è m (n ò d u ri v d i kì d i c h i n hi c:| u i . -$• 3 - 1
ehiLÌng mi fih (tiòt s o t i n h c h a t eùa mòdun hidl óriòm
1 i én
he
vdi
v à n h 1 p c . Dac b i e t , chLing t ò i cìdc 1 LÌdng mot
chiari
trén
cho
càc d a y h(5p t b l - i n h eùa mot mòdun h ò l ònòid t h e o " e y c l e
"
eùa
fio ( Menh d e 3 - 1 - 4 ) . Cac
mòdun
"
thiuóc
Idp
JJiiernstein
"
dLÌdc k h à o s a t d
:t 3 - 2 v a mot d i é u k i è n d e chio
1 cip
này
va
1 c)p eàe mòdun h ò l ò n ò m t r ù n g n h a u ( D i n h l i
3 . 2 . 7 ).
Tièp
t f i e o , k h à i n i e m v i mò - d i a p h d d n g hc^a dLÌdc g i d i t h i è u , nhicì
t r ì n h b a y t r p n g CES 8 6 a 3 .
Chùng
tói
chiLÌng
(ninh
sd
bào
t o à n c u a nhi i è u t i n h c h a t v à n h v a mòd u n q u a phi èp
dia
p h LÌdng
h ó a n à y ( Càe D i n h l i
3 - 4 - 1 , 3 . 4 - 4 , 3 - 4 . 5 ).
Cuòi c ù n g ,
nièdi
T - v à n h nhLÌ dcide d i n h n g h ì a
chùng t ò i
khào
sàt
khài
t r o n g CBJO 8 7 3 v a c à c 1 d p mò d u n
vdi
k1
d i eh i n h q u i t h e o
n g h l a d a i s o (;iem t E B Bob 3 ) v a c h d n g (ni nh
su
bào
toàn
eùa
t i n h k ì d i c h i n h q u i q u a mot s o
phép
dia
phLÌdnq
hóa
càc
3' v à n h n à y Dè
cho
hgudi
dpc
t i é n t h a m k h à o mot s o k é t q u a ( r à i
ràe)
tìì
ly
t h u y e t v à n h , d a i s o g i a o h o à n , d a i sci d ó n g d i é u ,
...
v a dcìde d ù n g k h à t h t ì d n g ^ x u y è n t r o n g
luan
à n , chùng t ò i
bat
d a u b a fi g m ò t e h LÌ d n g e h u a f i b i ( e: hi LÌ d n g 0 )
n hi a e
lai
càe
^:; é t
c:jùa d ò - Trcjng ehLÌc3rig n à y , e h ù f i g t ò i eL(rig
t r ì nhi
bay
fihdng
q u y LÌÓc v e
t h u a t ngd va ky h i e u sé dùng t r o n g l u a n àn-
hidcL^ng
dan
nhi i e t
t ì nh
va
L u à n àn ddde h o à n t h à n h CILÌCÌÌ s d
n g h i é m k h à c ^ e ù a Gs- N g u y é n D Ì n h N g p c - Càc b à i g i à n g
va
càc
b u o i s e m i n a r e ù a Gs- J - E, B j o r k t a i V i é n D a i h p e
Btockholm
v a n h d n g t h i à o l u a n v d i E. K. E k s t r o m da eung c a p c h o t à c g i à
n h i é u y t d d n g va tei l i è u q u i b a u - Gs. Huynh Mùi va T r u n g t a m
CAMICE d à d à n h c h o t à c g i à n h i é u s u d u à i
trong
thói
gian
chuàn bl luan àn- Tàc^già chàn thành eain dn cac giao sd, ban
hpe va trung tàm da ke trén day, va tat ea nhdng ngddi da
giùp tàc già hoàn thành luan àn này-
#-"
Ghilòng 0:
PHÀN CHUAN BL
§ 0.0
càc thuat ngù va ki hléu dùng trong luan àn.
Chimg tol sé dùng càc qui Uóc sau:
" Vành " dUdc hléu là vành két hóp, co dòn vi, khàc
0,
va
dong càu vành chuyén phan tiJ dòn vi thành phan til dòn vi- Moi mó
dim dé\i unital
, tiic phan tii dòn vi cua vành
tàc
dong
dòng
nhàt lén mò dun ddKl hléu
" e "(hoac " ^ ") diing de' chi bao
hàm
thiic
thùc
31/ , va A £1 B, chàng han, co nghià là A e B ìioac A == B.
Cho truóc vành R, pham trù càc
R-modun
trai
phài) dUdc kl hieu là R~mod (tddng ùng, mod-R).
(Utóng ùng,
Trong
luan
àn
này chù yéu chùng ta quan tàm dén càc mo dun hùu han slnhì^ chi' can eùa ideal I trong vành
{ r t R Ir"" € R vói n nào do } va
giao hodn
R,
tue
ht-1 , vói I?^R . ki' hieu
tap
do
cao (height) cua ideal I.
§ 0.1 Nhàc lai mot so k§t qua cua ly thuyet vành két hòp.
0.1.0 Trong tlét này R kl hléu mot vành co dinh.
nhac lai khài niem dia pMóng
Chùng
hóa (trong vanii khòng
giao
va mot so tinh chat cua ideal Jacobson eùa vanii R. Chi
the' tlm ò [MAC-ROB 861, [LAM 763.
10
tòi
sé
hoàn)
tièt
co
0.1.1 vành va mo dun dia phifdng hòa.
0.1.1-0 Cho tap dóng nhàn tinh S e R ( x *-: S, y ^S ^ xy ^ S ).
Mot vanh cdc thilóng
(ben trai)
vói mot dóng càu vành
1) t|)(s) ^d
cua R theo S là mot vành Q
cùng
cp : R — > S thóa man
nghich
trong Q vói mpi s € S ;
il) moi phàn tu q e Q déu co dang
q = (p(s)~^(p(r), vói
s t S va r t R nào dò;
ili) V r € R, cp(r) = 0 khi va chi khi a s e S de sr = 0.
Vành Q nhd vùa nói, néu tòn tal, là duy nhàt (sai kém mot
dàng càu).
0.1.1.1 càc diéu kién Ore. Gol càc diéu kién
sau dòi
vói tap
dong nhàn tinh S là càc dieu kien Ore ben trai:
1) V r ^ R, V s € S, 3r*€ R, s'eS sao cho s'r - r*s (nói
càch khàc Sr f\ Rs ^ 0);
li) V r e R, sr = 0 (tuóng Uhg rt = 0) vói s (tifong ùng, t)
nào dò €S khi va chi khi 3 s'ddòng ùrig, t') è S sao cho rs'=0
(tdóng ùng, l'r = 0 ) .
(Chù y l'ang ii) thdc ra là tràl-phài dòi xùng).
Cac diéu
klen Ore ben phài cùng dUóc dinh nghla tttóng td-
0.1-1.2 DINH LÌ. Vành càc tMóng ben trai cita R theo S
toh
tai
ìihi va chi' M'd S thóa man cdc dieii kién Ore ben trai ^
Kl hièu vành nói ò dinh 11 trén là S"''R- Tal nhièn cùng co
dinh 11' tdóng' td cho vành càc thdòng ben phài cua R theo
S. kl'
hléu RS".^ Néu cà S"''R va RS"'' cùng tòn tal, ta co S~''R ^ RS"]
11
0.1.2
Ideal Jacobson-
0-1.2.0
Kl hieu ideal Jacobson eùa R là Rad(R). Ta co Rad(R)
n { càc ideal trai cdc dai } ^ n ^ ^^c ideal phài cUc
dai
n { càc ideal cdc dai }.
,
>
^
0.1.2.1 DINH LI. Rad(R) là ideal lón nhàt cua R sao cho 1~r Mia
nghich vói moi r t Rad(R) ^
0-1.2.2 BÓ DE (Nakayama). Neu 0 -/ M là mot R-modun hùu han sinh
vd I ^ Rad(R) là mot ideal cua R , ta co IM / M ^
§ 0.2 Nliàc lai mot so két qua cua dal so dòng diéu.
0.2.0
Trong tiet này chùng tòi nhac lai mot
so
kèt
qua
lién
qjan dén Ext, chiéu dòng diéu, chicu noi xa, va day pho (chù yèù
day phò sinh bòi mot song phùc).
0.2.1 Ext và chiéu dòng dléù.
0.2-1.0 vói mpi R-mò dun trai N, Ext^(_,N) ddòc
dinh
nghià
là
hàm til ddn xudt thù n cua hàm tu Hom"(__,N) tu R-mod vào 2-mod.
Néu M € R~mod và già su
0 < — M < — PQ<
P^...
là mot giài thùc xa ành eùa M. Khi do Ext^(M,N)
là
nhóm
dòng
dieu ó' chiéu thù n eùa phifc
0 — >
PQ
> P^...
( P :- Hom^(P^,N))
Ta cùng co the xuat phàt tu mot giài thùc nói xa eùa mòdun M
và
nhan ddòc cùn,? mot nhóm Abel nhu trén.
Dac bièt, khi N = R và M là mot R-mòdiuì
12
ti-ài
(tdòng ilng,
phài), càu
trùc song
Ext^(M,R)
mò dun hièn nhlen trén R làm cho càc nhom
tró'thành mot R-modun phài (tdóng ùng, trai). Tu day
trò' di, khi nói tòi càc Ext- mò dun, càu trùc mò dun
luòn
luòn
dai
cua
hieu là cau trùc vùa neu.
vói mpi day khòp ngan
0
> M»
> M
> M"
> 0
và mpi mò dun N, ta eó day khóp dai (gpi là
day
Miòp
Ext) :
0—> Ext°(M*',N)—>Ext2(M,N)—>Ext^(M',N)—>Exti(M»\N) --.
K
0-2-1-1
cho
K
n
K
Chiéu noi xa eùa mò dun N là so'nguyén n lÒn
Ext2(M,N) '/ 0 , VÓI mò dun M nào dò (hoac bang co neu
nay khòng xay ra), kf hléu
chiéu nói xa eùa R
sao
dieu
InJ-dlm N-
Dac biet, khi N = R, gpi n là chiéu nói xa eùa
va
nhàt
R và
n
là
. Khi R Noether trai và phài, ta eó n = n
dùóc gpi chung là
,
inj.dim R (xem [ZAK 69]).
0.2-1.2 Chiéu dóng dlèìa toan the trai eùa R du'òc dinh nghià
là
so' nguyén ( co thè' bang oo )
1 gì.dim R := sup inj-dlm N ,
trong dò N chay khàp càc R-mo dun tz-'àl- Chiéu dòng
the phài
diéu
toàn
r gì.dim R ddòc dinh nghià tuóng tu.
Khi R Noether trai và phal, ta co
1 gì.dim R = r gì.dim R,
và so' nguyén này duoc gpi là ehleu dòng diéu toan the
eùa
vành
R, kf hièu gì.dim R.
0.2.2 Day phol
0.2.2.0 ó day chùng tòi dung khài niem day phò^ ( doi dòng dièu)
theo [CAR-EIL 57] (vói moi r>2, vi phan d, eùa so bang E
13
eùa day
phò co
song bac (r,1-r))-
0-2.2.1 Cho song phùc A ^ ' ^ gòm càc mò dun trén mot vành
R cho
trddc, vói càc vi phàn d^: A^'^^—> A^"*"''''!, d^: A ^ ' ^ — > A^'^i"^]
Dat
A:= © A^^, vói A":= © ^
n
A^'"^ và vi phàn d:= d, + d^- Ta
p+q=n
^
1
gpi (A,d) là nhóm vi phan phàn bac ùng vói song phùc
trùc song phan bac eùa A sinh ra hai lpc: Zoe thù iihàt
© . © A^'^ và Zoe thù hai
rs^p
q
'
2
A^'^. Càu
F^A : =
F^^A := © . © A^''^.
II
s>^q
p
Hai loc này trén (A,d) sinh ra hai day phò"! E , r>2 } và
, r>2 } tuóng ùng ddòc gol là day phó' thù ìììiat và
{ E
phò^ thù hai
dièu
eùa song phùc
A^:^ Chù y ràng trén mò dun dóng
H(A) ciong eó hai lpc tuòng ùng.
Gol
H (A) là mò dun dòng diéu theo vi phàn d
A^'^. Vi phàn d
H
day
eùa song phùc
càm sinh trén H (A) mot vi phàn 6 và ta kf hléu
H (A) la dóng dièu eùa H^(A) theo ò . Tuóng td, ta co mÒ dun
dòììg dièu
HjHjj(A). cà hai mò dun noi tren déu song phàn bac.
Tà co H^Hjj(A) = jE^
, H^^H^(A) - ^^E, .
Chùng ta sé quan tàm dè'n trdóng hóp dac biét
sau cua day
phò' vuà trlhh bay
0.2.2.2 MENH DE. Già su
A^*"^ = 0 vói q<0. Khi dò day phò"i^E^}
hòi tu I
14
§0.3 Nliàc lai mot so'ket qua cua dal so giao hoàn.
0.3.0
Trong liét này R ki" hléu mot
vành
hoàn
giao
co' dinh.
Chùng tol sé nhac lai v'e phàn tióh nguyén so ,
Ass,
khài niem
grade và vành Gohen-Uacaulay,
Chi
tièt eó thè'
xem 0
vành Gorenstein.
tAT-MA 69], [MAT 86]. De'cho dòn giàn , ta xem vanh R là
Noether.
0.3.1 Ass và phàn tich nguyén so. Cho M là mot R-mò dun hùu
sinh, Ass(M) là tap càc ideal nguyén tò'/i eùa
R
sao
cho
han
fi
^
Ann(u) , vói u nào do € R . De" thay vói mot ideal nguyén to' fi ,
fi t Ass(M) o
3 N £ M vói N ^ R/fu
vói mòi fi € Ass(M) , toh tal mò dun con
N(fi) ^
M
và
là
/i-nguyén so (tue i/(N(/i):M) = /i) sao cho
^ ^ Ha^AssCM) ^^^^
(phàn ti'ch nguyén so eùa 0 trong M)
Néu N £ M, ta co Ass(N) £
ra Ass(M)= 0
Supp(M),
«
ASS(M) Ì= ASS(N) U
Ass(M/N)- Ngoài
M = 0 .
support
cua
M,
là
tap
càe
fi f Spec(A) sao cho mò dun dia phùóng hóa M
15
ideal
nguyén
/ 0. Ta eó
to
Supp(M)
- Xem thêm -