Tài liệu Một số nghiên cứu về hệ phương trình g-navier-stokes hai chiều

BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— ĐÀO TRỌNG QUYẾT MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2013 BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— ĐÀO TRỌNG QUYẾT MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2013 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. NCS. Đào Trọng Quyết 2 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa. Tác giả vô cùng biết ơn GS. TSKH Phạm Thế Long, PGS.TS. Đào Thanh Tĩnh, PGS.TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS.TS. Tô Văn Ban, TS. Trần Đình Kế, TS. Trần Quang Vinh, TS. Nguyễn Công Minh đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự và Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án. Tác giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành, những người từng ngày đón đợi và hy vọng ở từng bước trưởng thành của tác giả. 3 Mục lục Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . 7 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . 12 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 15 1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 17 1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . 18 1.2.1. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 25 1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU . . 29 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 30 2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 40 2.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM . . 48 2.5.1. Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 48 Chương 3. NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . 51 3.3. DÁNG DIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . . . 58 3.3.1. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 63 3.4. XẤP XỈ NGHIỆM MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4.1. Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn . 67 3.4.2. Xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh . . . . . . 74 Chương 4. HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 79 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 81 4.3. SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 102 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Hg , Vg các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin xem chi tiết ở tr. 15-16) Vg′ không gian đối ngẫu của không gian Vg (·, ·)g , | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian Hg ((·, ·))g , ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian Vg ∥ · ∥∗ chuẩn trong không gian Vg′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa Vg và Vg′ | · |p chuẩn trong không gian Lp (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞ Id ánh xạ đồng nhất A, B, C các toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin xem chi tiết ở tr. 16) D(A) miền xác định của toán tử A ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng của Y trong X B(X) họ các tập con bị chặn của X dF (K) γ0 số chiều fractal của tập compact K |∇g|∞ γ0 = 1 − (xem trang 30) 1/2 m0 λ1 ut hàm trễ ut (.) xác định bởi ut (s) = u(t + s) dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B 7 MỞ ĐẦU 1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ..., dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t  ∇ · u = 0. ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực. Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên 8 khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng là: • Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Hölder, mô tả tập điểm kì dị). • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Trong trường hợp ngoại lực f “lớn”, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. • Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng một vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần cả những mô tả định tính và định lượng của nghiệm, nói riêng là việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìm được nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại). Việc xấp xỉ nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng thời gian hữu hạn hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm là những vấn đề hết sức quan trọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế. Về mặt toán học, chúng ta phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhận được 9 là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình. Về vấn đề này đối với hệ Navier-Stokes, xin xem các cuốn chuyên khảo [26, 58, 59] và những bài báo gần đây [20, 28, 30, 31, 32]. • Bài toán điều khiển được và bài toán điều khiển tối ưu. Tìm điều khiển thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự và khó này, xin xem các cuốn chuyên khảo [19, 23]. Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây nhiều lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Những phương trình này bao gồm một số mở rộng hoặc biến dạng của hệ Navier-Stokes: α-mô hình [29], hệ Navier-Stokes-Voigt [7, 8, 25, 36, 37], hệ Brinkman-Forchheimer [7, 38], hệ mô tả chuyển động của chất lỏng không Newton [21], hệ chất lưu loại hai [49, 50], ...; các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng: hệ Bénard [6, 12], hệ từ thủy động học [57, 60], ...; và các mô hình tiệm cận trong cơ học chất lỏng [1, 3, 4, 11, 44]. Một trong những lớp hệ phương trình trong cơ học chất lỏng được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t  ∇ · (gu) = 0. (1) ở đó g = g(x) là một hàm số dương cho trước. Như được đề cập trong [54], có hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc biệt là trong trường hợp hai chiều: 10 1. Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trong miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là miền hai chiều, và các tính chất tốt của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều (xem [54, 55]). 2. Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển. Vì vậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes. Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học lí thú. Do đó trong những năm gần đây, hệ phương trình g-Navier-Stokes đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [9, 22, 33, 34, 35, 39, 41, 40, 42, 54, 55, 56, 62, 63, 64]). Các kết quả đã đạt được là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu thông qua sự tồn tại tập hút, chủ yếu là trong trường hợp miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên tuần hoàn, hoặc là bài toán Cauchy trong cả không gian. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu liên quan đến lớp hệ g-Navier-Stokes, chẳng hạn: • Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f phụ thuộc thời gian t (trường hợp không ô-tô-nôm) và miền xét phương trình không nhất thiết bị chặn (nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré). Khó khăn cơ bản xuất hiện ở đây là các phép nhúng cần thiết chỉ liên tục chứ không compact. • Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh của hệ g-Navier-Stokes. Phần lớn các kết quả đã biết là đối với nghiệm yếu. • Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f 11 phụ thuộc trễ (hữu hạn hoặc vô hạn). Tình huống này xuất hiện, chẳng hạn, khi ta muốn điều khiển hệ (theo một nghĩa xác định nào đó) bằng cách sử dụng một ngoại lực không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại mà còn phụ thuộc vào quá khứ của nghiệm. Khó khăn cơ bản cần xử lí ở đây là số hạng chứa trễ. Lúc này phương trình đang xét là một phương trình đạo hàm riêng có trễ, nên hệ động lực tương ứng rất phức tạp bởi vì nó vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riêng gây ra) và biến thời gian (do số hạng chứa trễ gây ra). • Xấp xỉ trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes. Đây là những vấn đề quan trọng và có nhiều ý nghĩa trong các áp dụng thực tế. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về vấn đề này đối với lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes. Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn những vấn đề trên làm đề tài nghiên cứu của luận án "Một số nghiên cứu về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều". 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận án này tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều: • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh). • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng thông qua sự tồn tại tập hút và tính ổn định của nghiệm dừng. • Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu của nghiệm mạnh khi thời gian ra vô cùng. 12 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều: • Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều. • Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu tiệm cận và xấp xỉ nghiệm mạnh của hệ g-Navier-Stokes hai chiều. • Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều khi ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ đề compact, các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến. Ngoài ra, khi ngoại lực phụ thuộc trễ thì việc chuyển qua giới hạn số hạng chứa trễ cũng là một trở ngại lớn cần phải vượt qua. Để khắc phục điều này, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của lí thuyết phương trình đạo hàm riêng có trễ, một lí thuyết đang phát triển rất sôi động hiện nay, đặc biệt cho các phương trình trong cơ học chất lỏng (xem, chẳng hạn, [14, 15, 46, 47, 48, 65]). • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều (xem [17, 18, 53, 60]), một lí thuyết rộng lớn mới được phát triển hơn hai thập kỉ gần đây, và các phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân. Cụ thể khi ngoại lực f "lớn" và phụ thuộc 13 thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút lùi. Trong trường hợp ngoại lực f "lớn" và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục. Còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ g-Navier-Stokes dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng. • Để xấp xỉ nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của Giải tích số và Tính toán khoa học. Cụ thể chúng tôi nghiên cứu các lược đồ phù hợp rời rạc hóa không gian và thời gian để xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán và chứng minh lược đồ này ổn định, điều này dẫn đến dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán. 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán (1). Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi; sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội dung của Chương 2. • Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đối với bài toán (1). Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng mạnh. Chứng minh được các kết quả về xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu nghiệm mạnh. Đây là nội dung của Chương 3. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội dung của Chương 4. 14 Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc hoàn thiện việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes. Nói riêng các kết quả này, trong trường hợp đặc biệt khi g = 1, áp dụng được đối với hệ Navier-Stokes hai chiều. Như chúng ta đã biết, các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng có nguồn gốc từ các bài toán thực tế khi nghiên cứu chuyển động của chất lưu, do đó các kết quả đạt được trong luận án cũng góp phần tăng khả năng ứng dụng trong thực tiễn. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành, 01 bài đang gửi đăng và đã được báo cáo tại: • Xêmina của Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; • Xêmina của Bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; • Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; • Hội nghị nghiên cứu các nhà khoa học trẻ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2011. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của hệ g-Navier-Stokes hai chiều; Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và xấp xỉ nghiệm mạnh; Chương 4 trình bày các kết quả về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều với trễ vô hạn. 15 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes và thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong phương trình. Chúng tôi cũng trình bày các kết quả tổng quát về lí thuyết tập hút (tập hút toàn cục, tập hút lùi) và một số kết quả bổ trợ được dùng trong các chương sau. 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN 1.1.1. Các không gian hàm Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, chúng ta dùng các không gian hàm sau: Kí hiệu L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 và H01 (Ω, g) = (H01 (Ω))2 với tích vô hướng lần lượt là ∫ u.vgdx, u, v ∈ L2 (Ω, g), (u, v)g = Ω và ∫ ∑ 2 ((u, v))g = ∇uj · ∇vj gdx, u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H01 (Ω, g), Ω j=1 và chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g , ||u||2 = ((u, u))g . Từ giả thiết của hàm g được xét trong luận án (xin xem chi tiết ở §1 các Chương 2, 3, 4), dễ thấy chuẩn | · | và || · || tương đương với chuẩn thông thường trong (L2 (Ω))2 và trong (H01 (Ω))2 . 16 Đặt V = {u ∈ (C0∞ (Ω))2 : ∇ · (gu) = 0}. Ký hiệu Hg là bao đóng của V trong L2 (Ω, g), và Vg là bao đóng của V trong H01 (Ω, g). Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg′ ⊂ Vg′ , trong đó các phép nhúng trù mật và liên tục. Ta dùng ký hiệu || · ||∗ cho chuẩn trong Vg′ , và ⟨., .⟩ chỉ đối ngẫu giữa Vg và Vg′ . Các không gian trên đều là không gian Hilbert. 1.1.2. Các toán tử Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes như sau. Đặt A : Vg → Vg′ là toán tử xác định bởi ⟨Au, v⟩ = ((u, v))g . Kí hiệu D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg }, thì D(A) = H 2 (Ω, g) ∩ Vg và Au = −Pg ∆u, ∀u ∈ D(A), trong đó Pg là toán tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg . Đặt B : Vg × Vg → Vg′ là toán tử xác định bởi ⟨B(u, v), w⟩ = b(u, v, w), trong đó b(u, v, w) = 2 ∫ ∑ j,k=1 uj Ω ∂vk wk gdx. ∂xj Dễ thấy nếu u, v, w ∈ Vg , thì b(u, v, w) = −b(u, w, v). Do đó b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ Vg . Đặt C : Vg → Hg là toán tử xác định bởi (Cu, v)g = (( Do ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg . g g 1 ∇g − (∇ · g∇)u = −∆u − ( · ∇)u, g g ta có (−∆u, v)g = ((u, v))g +(( ∇g ∇g ·∇)u, v)g = (Au, v)g +(( ·∇)u, v)g , ∀u, v ∈ Vg . g g 17 Kí hiệu V(O) tương tự như V nhưng đối với tập mở O nằm trong Ω, và cũng như vậy, Vg (O) là bao đóng của V(O) trong H01 (O, g), Hg (O) là bao đóng của V(O) trong L2 (O, g), và D(A(O)) = H 2 (O, g) ∩ Vg (O). 1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến Sử dụng bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (với n = 2) sau đây: |u|L4 ≤ c|u|1/2 |∇u|1/2 , ∀u ∈ H01 (Ω), và bất đẳng thức nội suy, như trong [58, 59], ta có Bổ đề 1.1. Nếu n = 2, thì   c1 |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥|w|1/2 ∥w∥1/2 , ∀u, v, w ∈ Vg ,     c |u|1/2 ∥u∥1/2 ∥v∥1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ V , v ∈ D(A), w ∈ H , 2 g g |b(u, v, w)| ≤ 1/2 1/2   c3 |u| |Au| ∥v∥|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg , w ∈ Hg ,     c4 |u|∥v∥|w|1/2 |Aw|1/2 , ∀u ∈ Hg , v ∈ Vg , w ∈ D(A), trong đó ci , i = 1, . . . , 4, là các hằng số xác định. Bổ đề 1.2. ([9]) Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định bởi ⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ Vg , h.k. t ∈ [τ, T ], thuộc L2 (τ, T ; Vg′ ). Bổ đề 1.3. Cho u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ; Vg ). Khi đó hàm Bu xác định bởi ⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg , h.k. t ∈ [0, T ], thuộc L4 (0, T ; Hg ), bởi vậy cũng thuộc L2 (0, T ; Hg ). Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có |Bu(t)| ≤ c3 |u(t)|1/2 |Au(t)|1/2 ∥u(t)∥ ≤ c′3 ∥u(t)∥3/2 |Au(t)|1/2 . 18 Do đó ∫ T |Bu(t)| dt ≤ 4 0 c′3 ∫ T ∥u(t)∥6 |Au(t)|2 dt 0 ≤ ∫ c∥u∥6L∞ (0,T ;Vg ) T |Au(t)|2 dt < +∞. 0 Bổ đề 1.4. ([9]) Cho u ∈ L2 (τ, T ; Vg ). Khi đó hàm Cu xác định bởi (Cu(t), v)g = (( ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg , g g thuộc L2 (τ, T ; Hg ), và do đó cũng thuộc L2 (τ, T ; Vg′ ). Hơn nữa |Cu(t)| ≤ và ∥Cu(t)∥∗ ≤ 1.2. |∇g|∞ ∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ). m0 |∇g|∞ 1/2 m0 λ1 ∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ). TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục và tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án. Trong suốt mục này, giả sử X là một không gian Banach và nửa khoảng cách Hausdorff distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau distX (A, B) := sup inf ||a − b||, với A, B ⊂ X. a∈A b∈B 1.2.1. Tập hút toàn cục Một số khái niệm Định nghĩa 1.1. Một nửa nhóm liên tục trên X là một họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn 1) S(0) = Id, Id là ánh xạ đồng nhất;