Một số nghiên cứu didactic về hàm số và phương trình lượng gáic trong dạy học toán 11

  • Số trang: 83 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thùy Trang LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thùy Trang Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức, giúp đỡ tôi làm quen với công việc nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS.Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quí thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian 3 tham gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán. Xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS.Annie Bessot, GS.TS Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn. Xin chân thành cảm ơn: • Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. • Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT DTNT N’Trang Lơng đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. • Cảm ơn những người bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ, hỗ trợ cho chúng tôi thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 19, những người đã chia xẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học. Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này. Phạm Thị Thùy Trang MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1: VAI TRÒ CỦA HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ..........................................................................................................................5 1.1. Nghiên cứu dao động điều hòa.........................................................................5 1.2. Nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác ............................................12 1.2.1. Hàm số lượng giác ..................................................................................12 1.2.2. Phương trình lượng giác..........................................................................17 1.3. Kết luận chương 1 ..........................................................................................20 Chương 2: HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ TRONG NGHIÊN CỨU HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ...................................................................................................................................21 A. PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH .....................................................................21 B. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH ..........................................23 2.1. Hàm số lượng giác .....................................................................................23 2.2. Phương trình lượng giác.............................................................................42 Kết luận .................................................................................................................51 Chương 3: THỰC NGHIỆM ................................................................................53 3.1. Hình thức thực nghiệm...................................................................................53 3.2. Bài toán thực nghiệm .....................................................................................54 BÀI TOÁN 1 (30 phút) .....................................................................................54 BÀI TOÁN 2 (20 phút) .....................................................................................54 BÀI TOÁN 3 (30 phút) .....................................................................................55 3.3. Phân tích các bài toán .....................................................................................55 3.4. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm ...........................................57 3.4.1. Biến và các giá trị của biến .....................................................................57 3.4.2. Phân tích chi tiết các bài toán thực nghiệm ............................................58 3.5. Phân tích hậu nghiệm .....................................................................................71 BÀI TOÁN 1 .....................................................................................................71 BÀI TOÁN 3 .....................................................................................................73 BÀI TOÁN 2 .....................................................................................................73 3.6. Kết luận về thực nghiệm ................................................................................75 KẾT LUẬN ..............................................................................................................76 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác. Trong những hàm số được dạy ở trường phổ thông, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hàm số lượng giác, bởi vì: các hàm số lượng giác là những hàm số siêu việt; tuần hoàn; đồ thị của chúng “lặp đi, lặp lại” trên từng khoảng xác định. Một hàm số lượng giác có thể được biểu diễn bằng ba cách sau: biểu thức đại số, đường tròn lượng giác hay đồ thị hàm số. Đường tròn lượng giác là ngôn ngữ biểu đạt đặc trưng riêng dùng để biểu diễn các hàm số lượng giác cơ bản, nó được dùng để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản. Biểu thức đại số thể hiện bởi các hệ thức, các công thức, làm việc trên biểu thức đại số thường thực hiện những phép biến đổi phức tạp. Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan thể hiện các tính chất hàm số, làm việc trên đồ thị thường đơn giản, nhanh chóng nhưng khó vẽ đồ thị. Ngày nay, sự tác động của công nghệ thông tin làm cho việc vẽ đồ thị hàm số nói chung, đồ thị hàm số lượng giác nói riêng trở nên rất dễ dàng. Do đó, sử dụng đồ thị hàm số vào việc giải toán là một xu thế hiện đại được khuyến khích trên thế giới. Ở Việt Nam, nói về hàm số lượng giác, Sách giáo viên đại số và giải tích 11, trang 5 viết như sau: “Nhiều học sinh thích nghe, thích học về các biến đổi lượng giác và do đó có thể áp dụng tốt nhưng không tập trung nghe giảng nên không hiểu bản chất khái niệm các hàm số = y sin = x, y cos x,... cũng có giáo viên chỉ giảng qua loa phần này.” Như vậy, phải chăng học sinh chỉ quen làm việc với các biểu thức lượng giác, sử dụng các lập luận và các biến đổi lượng giác cồng kềnh, phức tạp. Xét bài toán sau: Giải phương trình sin x = − x Sau đây là hai cách giải bài toán: Cách giải 1 : Xét các trường hợp sau • x = 0 : là nghiệm của phương trình (1) (1) • x < −1 hoặc x > 1 : suy ra − x > 1 , do đó phương trình (1) vô nghiệm • 0 < x ≤ 1 : Vì điểm ngọn M trên đường tròn lượng giác thuộc góc vuông phần tư thứ nhất nên sin x > 0 , mặt khác − x < 0 Do đó phương trình (1) vô nghiệm • −1 ≤ x < 0 : Vì điểm ngọn M trên đường tròn lượng giác thuộc góc vuông phần tư thứ tư nên sin x < 0 , mặt khác − x > 0 Do đó phương trình (1) vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0 Cách giải 2 : • Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin x và y = − x trên cùng một hệ trục tọa độ • Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại một điểm duy nhất là gốc tọa độ. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 Trong cách giải thứ nhất việc tìm ra nghiệm x = 0 và chứng minh nghiệm đó là duy nhất bằng phương pháp chia khoảng không hề đơn giản. Rõ ràng, cách giải thứ hai đơn giản, trực quan và dễ hiểu hơn. Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: Trong hai cách giải trên, cách giải nào được thể chế dạy học Việt Nam mong đợi? Phương pháp sử dụng đồ thị hàm số để tìm nghiệm phương trình có được xét đến trong chương trình phổ thông nước ta không? Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi tới việc đặt ra các câu hỏi xuất phát sau: Q’ 1 : Vị trí của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác ở trường phổ thông Việt Nam? Q’ 2 : Học sinh hiểu và vận dụng các ngôn ngữ của hàm số lượng giác và phương trình lượng giác của học sinh? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên. Để đạt được mục đích này, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học) và của lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic, đồ án didactic) Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi như sau: Q 1 : Tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? Q 2 : Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, hệ thống biểu đạt của hàm số đã tác động ra sao trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? Q 3 : Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? 3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu Để đạt được mục đích đã đề ra cũng như tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:  Phân tích, tổng hợp một số giáo trình vật lí và toán học bậc đại học để làm rõ vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt trong hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác.  Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác.  Tổng hợp các kết quả phân tích trên, đưa ra giả thuyết nghiên cứu và thiết kế thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết.  Kết luận về giả thuyết nghiên cứu đã đưa ra ở trên 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn này bao gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận • phần mở đầu • Chương 1 Trình bày việc phân tích vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là nghiên cứu sự thể hiện các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác được trình bày trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. • Chương 2 Thông qua việc phân tích lí thuyết và các tổ chức toán học liên quan đến hàm số và phương trình lượng giác ở lớp 11, chúng tôi làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các ngôn ngữ biểu đạt biểu thức đại số, đường tròn lượng giác và đồ thị hàm số. • Chương 3 - Trình bày các bài toán thực nghiệm với đối tượng học sinh - Phân tích tiên nghiệm các tình huống. - Phân tích hậu nghiệm các dữ liệu thu thập được. • Kết luận Trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn. Chương 1: VAI TRÒ CỦA HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi Q 1 : Tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?. Cụ thể, qua việc phân tích một số giáo trình toán học, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tầm quan trọng của hàm số lượng giác cũng như vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác đối với khái niệm hàm số, phương trình lượng giác và một số ngành khoa học khác. Trong tự nhiên, dao động hay chuyển động tuần hoàn là những chuyển động rất thường gặp. Có nhiều hiệu ứng là tuần hoàn chẳng hạn nhịp tim của động vật, các mùa trong năm, sự lắc lư của con lắc đồng hồ, sự dao động của các nguyên tử trong chất rắn, dòng điện trong dây dẫn của bóng đèn điện,…Tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác làm cho chúng phù hợp để mô hình hóa nhiều hiện tượng lặp đi lặp lại như thủy triều, lò xo rung và sóng âm thanh, dao động của các nguyên tử,…Như vậy, các hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong cuộc sống và trong các ngành khoa học khác. Như đã nói ở trên, hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong các ngành khoa học khác. Sau đây, chúng tôi tiến hành nghiên cứu vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác trong việc nghiên cứu dao động điều hòa, một lĩnh vực cơ bản của ngành vật lí học. 1.1. Nghiên cứu dao động điều hòa Tài liệu nghiên cứu chính: Biên khảo: Trần Ngọc Hợi (chủ biên), Phạm Văn Thiều (2006), Vật lí đại cương – Các nguyên lí và ứng dụng, Tập 2: Điện, từ, dao động và sóng, NXB Giáo dục. (chúng tôi gọi tắt là VLĐC) * Định nghĩa dao động điều hòa Trong giáo trình này, dao động điều hòa được định nghĩa bằng biểu thức đại số: “Một vật thực hiện dao động điều hòa nếu tọa độ của nó biến thiên theo thời gian như một hàm sin hoặc côsin: = x A cos ( ω t + φ ) ” [VLĐC,tr.300] Một số yếu tố của dao động điều hòa: biên độ dao động A đặc trưng cho phạm vi dao động, tần số góc ω xác định tốc độ dao động, ngoài ra còn các yếu tố pha ban đầu φ, pha ω t + φ ,… Đồ thị biểu diễn tọa độ (hay còn gọi là li độ) của x theo thời gian (hình 26-1) cho thấy: đặc trưng của dao động điều hòa là chuyển động tự lặp lại sau một khoảng thời gian T được gọi là chu kì, tức là “vật thực hiện một vòng trọn vẹn chuyển động của nó trong khoảng thời gian T” [VLĐC,tr.300] Biểu thức đại số T = 2π ω chứng tỏ “chu kì T tỉ lệ nghịch với ω , tần số góc càng lớn thì chu kì càng nhỏ và vật sẽ thực hiện một vòng chuyển động càng nhanh.” * Vận tốc và gia tốc của một vật dao động điều hòa Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa được suy ra từ biểu thức= li độ x A cos (ω t + φ ) , cụ thể: dx dt + Vận tốc: vx = = −ω A sin (ω t + φ ) + Gia tốc: dv d 2x ax = x = 2 = −ω 2 A cos (ω t + φ ) = −ω 2 x dt dt Đồ thị ba hàm số x, v x , a x (hình 26-2) phản ánh trực quan sự biến đổi của ba đại lượng li độ, vận tốc, gia tốc của vật: x dao động giữa A và -A, v x dao động giữa ωA và -ωA, a x dao động giữa ω2A và -ω2A. Do đó tốc độ cực đại của một vật dao động là v max = ωA và gia tốc cực đại có độ lớn là a max = ω2A. Mặt khác từ hình vẽ 26-2 và các biểu thức của v x , a x cho thấy mối liên hệ giữa ba đại lượng trên như sau: v x sớm pha so với x là 900, a x sớm pha so với v x là 900 và a x sớm pha so với x là 1800. Từ phương trình ax = −ω 2 x cho thấy “Đối với một vật bất kì dao động điều hòa, gia tốc và độ chuyển dời của nó luôn ngược hướng nhau và có độ lớn tỉ lệ với nhau.” [VLĐC, tr.301] * Năng lượng của dao động điều hòa Xét một vật có khối lượng m gắn với một lò xo khối lượng không đáng kể và có độ cứng là k (hình 26-3). Nếu đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng, vật sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng. Đây là một dao động tử điều hòa tiêu biểu. Bằng những lập luận vật lí về động lực học của vật họ chứng minh được thế năng của dao động tử điều hòa lí tưởng tạo bởi lò xo và vật trong hình 26-3 là U = 1 2 kA cos 2 (ω t + φ ) , động năng của hệ vật - lò xo là 2 K = 1 2 2 kA sin (ω t + φ ) 2 Kiến thức toán học cho thấy: Giá trị cực đại của các hàm sin 2 (ω t + φ ) và cos 2 (ω t + φ ) đều bằng 1 nên từ hai biểu thức trên họ suy ra được U= K= max max 1 2 1 2 kA 2 1 2 Cơ năng của hệ E = K + U = kA2 sin 2 (ω t + φ ) + kA2 sin 2 (ω t + φ ) = 1 2 kA 2 (vì sin 2 θ + cos 2 θ = 1) Như vậy, cơ năng của dao động tử điều hòa là không đổi, dao động tử điều hòa là một hệ bảo toàn= ( E U= K max ). max Mặt khác, từ đồ thị biểu diễn K và U theo thời gian (hình 26-4) (để đơn giản chọn φ = 0) cho thấy mỗi hàm đều dao động giữa không và E, “năng lượng của dao động tử biến đổi liên tục từ thế năng sang động năng, rồi lại trở về thế năng và cứ như thế mãi” [VLĐC,tr.305]. Những ví dụ và bài tập về một số dao động điều hòa (hệ vật - lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lí, dao động tử xoắn,…) và nghiên cứu các yếu tố của nó cho thấy: để tính toán chính xác các yếu tố của dao động điều hòa như li độ của vật, vận tốc, gia tốc, động năng, thế năng,… tại một thời điểm t nào đó người ta dùng các biểu thức đại số. Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan phản ánh sự biến đổi của các đại lượng qua các thời điểm t, biên độ dao động, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các đại lượng. * Quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Người ta tiến hành khảo sát mối liên hệ giữa dao động điều hòa của một vật chuyển động trên một đường thẳng và chuyển động của một hạt với tốc độ không đổi trên vòng tròn để hiểu rõ hơn mỗi loại chuyển động đó và thấy được một số loại chuyển động khác có quan hệ như thế nào với chuyển động điều hòa. “Xét một hạt hay một điểm Q chuyển động với tốc độ v không đổi trên vòng tròn bán kính A (hình 26-10a). Đường bán kính OQ kẻ từ gốc tới điểm Q tạo một góc θ với hướng dương của trục Ox. Vì Q chuyển động với tốc độ không đổi nên góc θ biến đổi đều […] tốc độ góc ω = v […].Vì ω không đổi nên = θ ω t + φ , trong đó pha ban đầu A là giá trị ban đầu của θ.” [VLĐC,tr.314] + Tọa độ x của điểm Q (cũng là tọa độ x của điểm P) nằm trên trục Ox được suy ra từ hình 26-10a: = x A= cos θ A cos (ω t + φ ) . Đây chính là phương trình của dao động điều hòa, do đó họ kết luận “khi điểm Q chuyển động trên vòng tròn với tốc độ không đổi thì điểm P sẽ dao động điều hòa trên trục Ox”. + Trong chuyển động tròn đều, vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo tròn (hình 26-10b), gia tốc hướng tâm (hình 26-10c). Dựa vào hai hình trên, họ suy ra được “thành phần x” của vận tốc và gia tốc của Q và P là π  −v sin θ = −ω A sin (ω t + φ ) vx = v cos  θ +  = 2  ax = a cos (θ + π ) = −a cos θ = −ω 2 A cos (ω t + φ ) Lập luận tương tự với “thành phần y”của chuyển động. Từ đó người ta kết luận rằng: “Dao động điều hòa tương đương với hình chiếu của một chuyển động tròn đều trên trục x hoặc trên trục y hoặc trên một đường kính bất kì của vòng tròn”. Ngược lại, “một chuyển động tròn đều tương đương với tổng hợp hai dao động điều hòa dọc theo hai đường kính vuông góc với nhau” [VLĐC,tr.316]. Tổng quát hơn, các chuyển động phức tạp hơn cũng có thể tổ hợp từ các dao động điều hòa, chẳng hạn các dao động phức tạp của nguyên tử trong tinh thể. Nhận xét: Có thể thấy tọa độ của vật, các vectơ vận tốc và gia tốc được lập luận dựa trên hình 26-10 với hình ảnh quen thuộc là đường tròn lượng giác. Nói cách khác, thực chất điểm Q chuyển động trên đường tròn chính là hình ảnh của một điểm chuyển động trên đường tròn lượng giác tương ứng góc lượng giác θ biến thiên. Hoành độ và tung độ của điểm Q chính là các hàm côsin và sin của góc θ . Như vậy, ngôn ngữ biểu đạt đường tròn lượng giác trong toán học đã được sử dụng để nghiên cứu quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều trong vật lí. Từ kết quả trên về quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, người ta ứng dụng vào việc biểu diễn một dao động điều hòa và tổng hợp hai dao động điều hòa. Từ đó, chuyển một bài toán vật lí về giải bài toán toán học. * Biểu diễn dao động điều hòa Một dao động điều hòa có đại lượng x biến đổi như sau: x A cos (ω t + ϕ ) (*) =  Để biểu diễn dao động điều hòa (*) người ta dùng “một vectơ OM có độ dài là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ góc là ω. Ở thời điểm  ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và OM là ϕ (pha ban đầu)” [Vật lí 12NC, tr.33]  Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM sẽ là ω t + ϕ (hình 6.7).  Vì chx OM = OP = A cos (ω t + ϕ ) nên suy ra được: “Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay  OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.” Như vậy, một dao động điều hòa được thể hiện bằng biểu thức đại số là một hàm dạng sin có thể chuyển sang biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Từ đó có thể tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω bằng phương pháp giản đồ vectơ quay(cách vẽ Fresnel): [Vật lí 12NC, tr.57] Phương pháp này được tóm lược như sau: Tổng hợp hai đại lượng biến đổi điều hòa x= x1 + x2 = với x1 A1 cos (ω t + ϕ1 ) và = x2 A2 cos (ω t + ϕ 2 ) bằng cách vẽ hai vectơ   quay OM 1 và OM 2 biểu diễn hai dao động    điều hòa x 1 và x 2 . Khi đó OM = OM 1 + OM 2 chính là vectơ quay biểu diễn tổng x1 + x2 , (hình 12.2, [Vật lí 12NC, tr.58]) Cuối cùng, chúng tôi xin nêu ra một ví dụ rất hay sau đây về việc ứng dụng các phép biến đổi đồ thị trong toán học để mô hình hóa hàm số của một hiện tượng tự nhiên: * Ví dụ về số giờ ánh sáng ban ngày vào các thời điểm trong năm tại Philadelphia Từ kết quả thống kê số giờ ánh sáng trong một ngày tại các thời điểm trong năm ở một số vĩ độ, người ta biểu diễn nó bằng một đồ thị. Hình: Đồ thị của số giờ ánh sáng ban ngày từ 21 tháng 3 đến hết ngày 21 tháng 12 ở các vĩ độ khác nhau [Calculus, James Stewart] Để dự đoán được số giờ ánh sáng ban ngày tại bất kì một thời điểm nào đó trong năm ở một vĩ độ nào đó, người ta cần mô hình hóa đồ thị bằng một công thức. Mỗi đường cong đều có hình dáng như đồ thị của một hàm sin, do đó người ta mô hình hóa hàm số này là một hàm sin. Chẳng hạn: Với Philadelphia nằm ở vĩ độ khoảng 400 Bắc, số giờ ánh sáng ban ngày theo thời gian tại Philadelphia được mô tả bằng đường cong màu xanh. Đường cong này có thể được tạo thành từ đồ thị hàm y = sin t qua các phép biến hình. Cụ thể như sau: Từ đồ thị cho thấy ở vĩ độ của Philadelphia, ánh sáng ban ngày kéo dài khoảng 14,8 giờ vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12 (ứng với hai điểm cao nhất và thấp nhất của đồ thị). Do đó cần phải kéo dãn đồ thị hàm số y = sin t theo chiều dọc với hệ số kéo dãn là 1 2,8 . Để tìm ra hệ số co (14,8 − 9, 2 ) = 2 dãn theo chiều ngang người ta so sánh chu kì của hàm cần tìm và chu kì của hàm số y = sin t . Một năm có khoảng 365 ngày nên chu kì của hàm là 365 và chu kì của hàm y = sin t là 2π. Do đó hệ số co dãn theo phương ngang là c = 2π . 365 Mặt khác, đường cong màu xanh bắt đầu chu kì của nó vào ngày 21 tháng 3 (là ngày thứ 80 của năm) với số giờ ánh sáng ban ngày là 12 giờ. Do đó cần tiếp tục tịnh tiến đồ thị sang bên phải 80 đơn vị và tịnh tiến lên trên 12 đơn vị. Do đó, đồ thị số giờ ánh sáng ban ngày tại Philadelphia t ngày sau ngày 01 tháng 1 được mô hình hóa bởi hàm số  2π L (t ) = 12 + 2,8sin  ( t − 80 )   365  Như vậy, từ kết quả thống kê số giờ ánh sáng trong một ngày tại các thời điểm trong năm, biểu diễn nó bằng một đồ thị. Sau đó dựa vào các phép biến đổi đồ thị để mô hình hóa đồ thị hàm số bằng một công thức. Từ công thức này, có thể tính toán được số giờ ánh sáng ban ngày tại bất kì ngày nào trong năm. Nghiên cứu tiếp theo sau đây cho thấy vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác trong nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác, nghiên cứu này sẽ là cơ sở cho việc phân tích sách giáo khoa mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 của luận văn. 1.2. Nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác * Tài liệu phân tích: - V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Elementary Mathematics A review course Translated from the Rusian by George Yankovsky, Mir publishers Moscow. (Chúng tôi kí hiệu là [M 1 ]) - Franklin Demana, Bert K.Waits (1990), Trigonometry-A graphing approach, with the assistance of Alan Osborne, Gregory D.Foley, The Ohio State University, Addison-Wesley Publishing Company (Chúng tôi kí hiệu là [M2]) Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là: Việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số và phương trình lượng giác trong hai giáo trình này là khá phong phú. Bên cạnh đó, mỗi giáo trình tiếp cận các khái niệm hàm số và phương trình lượng giác theo những cách khác nhau, vai trò của các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác đối với khái niệm hàm số và phương trình lượng giác trong từng giáo trình cũng khác nhau. Do đó việc phân tích đồng thời cả hai giáo trình nhằm làm rõ hơn vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số 1.2.1. Hàm số lượng giác * Hàm số lượng giác trong giáo trình [M 1 ] Trước hết, [M 1 ] định nghĩa hàm số lượng giác của góc tùy ý (có số đo độ hay radian) thông qua đường tròn lượng giác như sau: [M 1 ,tr.277] sin α = y với y là tung độ của điểm cuối của vectơ  bán kính đơn vị OM ( r = 1) , cos α = x với x là hoành độ của điểm M. y tan α = ( x ≠ 0) , x x cot α = ( y ≠ 0) y Vì các hàm số lượng giác cơ bản được định nghĩa thông qua đường tròn lượng giác nên trong [M 1 ], các tính chất của hàm số lượng giác như tính chẵn-lẻ, tính đơn điệu, tính tuần hoàn đều được chứng minh thông qua đường tròn lượng giác. Chẳng hạn: + Xét tính đơn điệu của hàm số sin: “0 ≤α ≤ π 2 0 ≤ α1 < α 2 ≤ (góc vuông phần tư thứ nhất): Nếu góc α 1 và góc α2 thỏa mãn điều kiện π 2 (Hình 88), thì y1 < y2 , do đó sin α1 < sin α 2 . Khi góc α tăng từ 0 đến π 2 thì sin α đơn điệu tăng từ 0 đến 1.” [M1,tr.278] + Giải thích về tính chẵn của hàm số côsin: “Xét hai góc được tạo thành từ vectơ bán kính đơn vị r:  AOE = α và  AOE1 = −α . Chú ý rằng hoành độ của các điểm E và E 1 là bằng nhau (x).[…] ta có cos α = x và cos ( −α ) = x , do đó cos ( −α ) = cos α ” [M 1 ,tr.290] + Chứng minh tính tuần hoàn của hàm số tang: Xét hai góc α và π + α như hình 108, ta có: tan (π + α ) = y1 − y y = = =tan α x1 − x x tan α Do đó tan (π n + α ) = Những chứng minh trên cho thấy sự kết hợp giữa hai ngôn ngữ biểu đạt bằng biểu thức đại số và đường tròn lượng giác. Cần lưu ý rằng các tính chất trên đều đúng cho hàm số lượng giác biến số thực bởi vì “Hàm số lượng giác biến số thực x đúng bằng hàm số lượng giác của một góc có số đo x radian” [M1,tr.306]. Ngoài hai ngôn ngữ trên, hàm số lượng giác biến số thực còn được thể hiện bằng đồ thị hàm số. Về cách dựng đồ thị hàm số, trong luận văn của Bùi Anh Tuấn: “Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nó”, chúng tôi tìm được cách dựng đồ thị của một hàm số ở cấp độ tri thức khoa học như sau: “Chúng tôi nhận thấy, ở cấp độ tri thức khoa học, kiểu nhiệm vụ T “Dựng đồ thị hàm số” có ba kỹ thuật để giải quyết: (1) Kỹ thuật τ 1: Dùng các công cụ của giải tích để khảo sát hàm số, sau đó, dựng đồ thị; (2) Kỹ thuật τ 2 : Dựng một phần đồ thị, sau đó dùng các phép biến đổi (tịnh tiến song song, kéo dãn ra, nén co lại, biến đổi đối xứng) để dựng toàn bộ phần còn lại của đồ thị; (3) Kỹ thuật τ 3 : Dựa vào đồ thị một hàm số khác, dùng các phép biến hình để dựng đồ thị hàm số đã cho.” [LV Tuấn, tr.14] Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: Đối với các hàm số lượng giác, [M1] đã sử dụng kỹ thuật nào trong 3 kỹ thuật trên để dựng đồ thị? Phân tích cách dựng đồ thị hàm số trong mục 111 của giáo trình M1, trang 311 cho thấy: [M 1 ] đã vẽ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách kết hợp hai kỹ thuật τ 1 , τ 2 . Tức là khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một đoạn có độ dài là một chu kì (sử dụng kỹ thuật τ 1 ). Sau đó dựa vào các tính chất giải tích, dựng đồ thị hàm số trên các chu kỳ còn lại (sử dụng kỹ thuật τ 2 ). Việc kết hợp giữa hai kỹ thuật trên là thực sự cần thiết vì hàm số lượng giác là những hàm siêu việt (chúng là những hàm tuần hoàn), việc khảo sát hàm số trên toàn trục số là điều không thể. Ở đây, chúng tôi thấy có sự phối hợp một cách uyển chuyển giữa các ngôn ngữ biểu đạt đồ thị và biểu thức đại số. Tính chất giải tích (thể hiện bằng biểu thức đại số) quyết định đến hình dáng đồ thị, đồ thị của hàm số trên một đoạn nào đó kết hợp với tính chất giải tích của hàm số cho ta đồ thị hàm số ở những đoạn khác trên trục số. Đối với đồ thị hàm số y = cos x , [M 1 ] đã sử dụng kỹ thuật τ3 để vẽ. Tức là, dựng đồ thị hàm số y = cos x dựa vào đồ thị hàm số y = sin x đã biết bằng cách dùng phép tịnh tiến đồ thị. Phải chăng trong kỹ thuật này chỉ hoàn toàn trong phạm vi hình học, không có sự can thiệp của phạm vi đại số? Điều đó là không chính xác, π  bởi vì biểu thức đại số = cos x sin  + x  quyết định đến việc lựa chọn phép biến 2  hình cần sử dụng. Hai hàm số tang và côtang cũng được trình bày tương tự. Ngoài ra, [M 1 ] còn nêu lên cách dựng đồ thị một số hàm số khác như: = y 2sin = x, y sin= 2 x , y sin = x , y sin x … Các đồ thị này đều được dựng từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách sử dụng kỹ thuật τ 3 , Như chúng tôi đã phân tích đối với hàm số y = cos x . Kỹ thuật τ 3 không hẳn chỉ thuộc phạm vi hình học mà cách dựng đồ thị bằng tịnh tiến đồ thị hay kéo dãn ra, co nén lại, hay lấy đối xứng qua các trục hoàn toàn bị chi phối bởi các biểu thức đại số về mối liên hệ giữa các hàm số với nhau. Tóm lại: 1) Để dựng đồ thị các hàm số lượng giác [M 1 ] áp dụng cả 3 kỹ thuật τ1 , τ 2 , τ 3 . Vì đặc trưng của hàm số lượng giác nên kỹ thuật τ 1 không bao giờ đứng riêng lẻ mà luôn đi kèm với kỹ thuật τ 2 . 2) Để vẽ đồ thị hàm số cần có sự phối hợp uyển chuyển giữa các ngôn ngữ biểu đạt thuộc hai phạm vi hình học và đại số. * Hàm số lượng giác trong giáo trình [M 2 ] Giáo trình [M 2 ] cũng định nghĩa các hàm số lượng giác cơ bản dựa trên đường tròn lượng giác (họ gọi là đường tròn đơn vị), và gọi các hàm số lượng giác là những “hàm số vòng” với “tính chất vòng” sau: “cho số nguyên k bất kì và số thực x bất kì. Giá trị của 6 hàm số lượng giác tại x bằng giá trị tại x + 2kπ .”. Tuy nhiên, [M 2 ] tiếp cận các tính chất của hàm số lượng giác theo một cách hoàn toàn khác. Chẳng hạn để π xét sự biến thiên của hàm số y = sin x trên đoạn 0;  , người ta tiến hành dựng đồ  2 π thị hàm số y = sin x trên đoạn 0;  bằng cách chuyển từ việc biểu diễn x và sinx  2 trên hệ trục tọa độ gắn liền với đường tròn lượng giác tương ứng sang biểu diễn trên hệ trục tọa độ thông thường. “Cho x là số thực bất kì và P(x) là điểm tương ứng trên đường tròn đơn vị (hình 2.5.11). Tọa độ của P(x) là ( cos x;sin x ) , và góc ở tâm xác định bởi cung của đường tròn từ điểm (1;0 ) đến P(x) có số đo x radian. Ta vẽ được đồ thị trong hình 2.5.11 với 0 < x < π 2 .” Sau đó dựa vào đồ thị vừa vẽ được, họ suy ra tính biến thiên của hàm số trên π π đoạn 0;  : “Với x biến thiên từ 0 đến , sin x biến thiên từ 0 đến 1.” [M 2 ,tr.168]. 2  2 Đồ thị hoàn chỉnh của hàm số y = sin x được vẽ chính xác nhờ công cụ máy tính (hình 2.5.13) Tính lẻ của hàm số y = sin x được suy ra từ đồ thị: “Chú ý rằng đồ thị của hàm số f ( x ) = sin x trong hình 2.5.13 là một đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vì vậy sin x là một hàm số lẻ và sin ( − x ) = − sin x .” [M 2 ,tr.170]. Ở một ví dụ khác, chúng tôi nhận thấy tính chẵn của hàm số y = cos x cũng được suy ra từ đồ thị. Về chu kì của hàm số tuần hoàn, vì “tính chất vòng” của hàm số lượng giác nên “2π là một ứng cử cho chu kì của hàm số f ( x ) = sin x . Rõ ràng từ đồ thị trong hình 2.5.13 ta thấy không có số nào nhỏ hơn có thể là chu kì của hàm số. Như vậy, 2π là chu kì của hàm số sinx” [M 2 ,tr.169]. Vậy là tính nhỏ nhất của chu kì được nhìn thấy bằng hình ảnh trực quan của đồ thị. Đối với chu kì của hàm số cosx: “Vì đồ thị hàm số y = cos x có được bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sin x sang trái một đoạn có độ dài π 2 nên chu kì của f phải giống như của sin x . Do vậy, chu kì của cos x là 2π.” [M 2 ,tr.172] Một lần nữa, chúng tôi lại thấy chu kì của hàm số lượng giác được suy ra từ hình ảnh trực quan của đồ thị hàm số trong phần nhận xét dưới đây: “Đồ thị của hàm số f(x) = tanx trong hình 2.6.1 chỉ ra rằng chu kì của hàm số f là π.” [M 2 , tr.176]
- Xem thêm -