MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN

  • Số trang: 67 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 26 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Ngọc Lan MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hoàng Thị Ngọc Lan MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số:60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Hà Thanh Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh.Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động viên và giúp đỡ tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán.Sự động viên và sự hướng dẫn tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác của nghiên cứu khoa học.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Th.S Võ Quốc Ấn đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình làm luận văn để tác giả có thể hoàn thành tốt luận văn này. Xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình học và tôpô khóa 22 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã luôn quan tâm động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình làm luận văn. Hoàng Thị Ngọc Lan 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU........................................................................................................... 4 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 7 1.1. Không gian tôpô ...........................................................................................................7 1.1.1. Định nghĩa. .............................................................................................................. 7 1.1.2. Ví dụ ........................................................................................................................ 7 1.2. Không gian Hausdorff và cơ sở ..................................................................................7 1.2.1. Không gian Hausdorff ............................................................................................. 7 1.2.2. Cơ sở........................................................................................................................ 8 1.2.3. Ánh xạ liên tục ........................................................................................................ 8 1.2.4. Tập compact ............................................................................................................ 9 1.2.5. Liên thông.............................................................................................................. 10 1.3. Metric ..........................................................................................................................11 CHƯƠNG 2: CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN....................................... 14 2.1. Lý thuyết continuum .................................................................................................14 2.1.1. Định nghĩa. ............................................................................................................ 14 2.1.2. Ví dụ ...................................................................................................................... 14 2.2. Các khái niệm tổng quát của siêu không gian.........................................................17 2.3. Metric Hausdorff H d .................................................................................................18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CÁC SIÊU KHÔNG GIAN ................ 20 3.1. Giới thiệu ....................................................................................................................20 3.2. Khoảng đơn vị, C ( X ) ................................................................................................22 3.3. Vòng tròn, C ( X ) ........................................................................................................23 3.4. Triod đơn, C ( X ) ........................................................................................................25 3.5. X là một Noose ...........................................................................................................26 3.6. Mô hình cho C ( X ) với X là n-od đơn .....................................................................29 3.7. Mô hình cho C ( X ) khi X là điểm Sợi ....................................................................32 3.8. Mô hình cho 2 X khi X là compactum vô hạn đếm được bất kỳ ...........................35 2 3.9. Noose, C ( X ) ..............................................................................................................39 3.10. Một số mô hình không quá liên thông địa phương cho C ( X ) trong  3 ............40 3.11. Một số continuum X với C ( X ) nhúng được vào  3 ..........................................41 3.12. Continuum liên thông địa phương X với C ( X ) nhúng được vào trong  4 và  5 ........................................................................................................................................44 3.13. Một số mô hình vô hạn chiều của Cn ( X ) ..............................................................45 3.14. Cn ([ 0,1]) với n ≥ 2 .....................................................................................................46 3.15. Cn ( S 1 ) với n ≥ 2 .........................................................................................................47 X 3.16. Một số mô hình cho 2 ............................................................................................48 3.17. Định lý. [7]. Cho X là một continuum. Các kết quả sau tương đương. .............48 3.18. Khoảng đơn vị Fn ( X ) ...............................................................................................48 3.19. Vòng tròn, Fn ( X ) ....................................................................................................50 3.20. Triod đơn, F2 ( X ) ....................................................................................................52 3.21. 4-od đơn, F2 ( X ) ......................................................................................................54 3.22. Noose, F2 ( X ) ............................................................................................................55 3.23. Continuum hình số 8, F2 ( X ) ..................................................................................56 1 3.24. sin   − continuum, F2 ( X ) ....................................................................................58 x 3.25. Một số câu hỏi mở rộng ...........................................................................................60 3.26. Khối lập phương Hilbert, Fn ( X ) ...........................................................................60 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 64 3 BẢNG KÍ HIỆU ≅ : phép đồng phôi ⊂ : phép bao hàm × hoặc ∏ : tích Đề các lim: giới hạn A : bao đóng của A Inf: cận dưới lớn nhất Sup: cận trên nhỏ nhất Min: giá trị nhỏ nhất Max: giá trị lớn nhất [ ]  : lớp tương đương ∑ : phép lấy tổng CL ( X ) : tập các tập con đóng khác rỗng của X 2X : tập các tập con compact của CL ( X ) C(X ) : tập các tập con liên thông của 2 X Cn ( X ) : tập các tập con có tối đa n thành phần liên thông của 2 X Fn ( X ) : tập các tập con có tối đa n điểm của 2 X Hd : metric trên CL ( X ) TV : tôpô Vietoris 4 MỞ ĐẦU Lý thuyết siêu không gian được hình thành từ những năm 1900 với sự nghiên cứu của F. Hausdorff và L. Vietoris. Vào năm 1922, L. Vietoris đã trang bị cho siêu không gian 2 X các tập đóng của không gian tôpô X cho trước một tôpô mang tên ông và ông đã chứng minh những kết quả cơ bản về cấu trúc của 2 X liên hệ với continuum: tính compact của Xkéo theo tính compact của 2 X ; 2 X liên thông khi và chỉ khi X liên thông. Trong trường hợp X là không gian metric thì họ các tập con đóng khác rỗng và bị chặn của X có thể được metric hóa nhờ vào metric Hausdorff mà được đưa ra vào năm 1914 từ F. Hausdorff. Từ đó đến nay, lý thuyết siêu không gian đã phát triển rất mạnh mẽ với nhiều tính chất tôpô được nghiên cứu trên siêu không gian và cùng với đó là những công cụ mạnh được dùng để nghiên cứu về siêu không gian, đặc biệt là ánh xạ Whitney. Đến nay, nhiều bài toán trong lý thuyết continuum và siêu không gian vẫn còn là bài toán mở và nếu được giải quyết triệt để thì các kết quả mà chúng đem lại sẽ mang đến những ứng dụng quan trọng trong toán học và thực tiễn. Do đó, lý thuyết về continuum và siêu không gian đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới như K. Kuratowski, J. Charatonik, Kelley, K. Bersuk, P. Alexanderoff, W. Sierpinski. Đặc biệt trong những năm gần đây siêu không gian đã được quan tâm đặc biệt bởi S.B.Nadler, A.Illanes,… Khái niệm và các tính chất của siêu không gian khá trừu tượng, để có một cách nhìn trực quan về siêu không gian, các mô hình cụ thể của nó cần được chú ý. Với mong muốn tiếp cận sâu thêm về các mô hìnhsiêu không gian, luận văn của chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm, hình dạng, tính chất cơ bản nhất về các siêu không gian.Do đó đề tài luận văn chúng tôi lựa chọn là " Một số mô hình trong các siêu không gian ". Luận văn này được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày sơ lược một số kiến thức cơ bản về tôpô đại cương và không gian metric,cùng các tính chất cơ bản của nó trong đó hai tính chất compact và liên thông được liên quan tâm đặc biệt làm nền tảng cho việc nghiên cứu ở các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày những lý thuyết cơ bản về continuum và siêu không gian, các ví dụ và tính chất cơ bản của continuum. 5 Chương 3 chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày một số phương pháp xây dựng tổng quát mô hình của các siêu không gian trong C X và 2 X . Sau đó đưa ra một số mô hình của các siêu không gian trong đó trình bày các khái niệm cơ bản và hình dạng của các siêu không gian Cn ( X ) , C ( X ) , Fn ( X ) và cập nhật các mô hình đã phát triển trong siêu không gian. Trong phần kết luận chúng tôi sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận văn. 6 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng ta chủ yếu nhắc lại các khái niệm, tính chất căn bản của không gian tôpô. Chương này sẽ là chương làm nền tảng cho việc nghiên cứu về continuum và các siêu không gian trong hai chương tiếp theo. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa. Một không gian tôpô là một cặp ( X , T ) trong đó X là một tập hợp khác rỗng và T là một họ các tập con của X (được gọi là tôpô của X ) mà những phần tử của nó được gọi là các tập mở sao cho: i. ∅, X ∈ T (tập rỗng và X là mở) ii. Nếu {Uα }α ∈A ⊂ T thì iii. Nếu {U i }i =1 ⊂ T thì k  Uα ∈ T với mọi A (hợp vô hạn của những tập mở là mở) α ∈A k U i ∈ T (giao hữu hạn của những tập mở là mở) i =1 Với x ∈ X , một tập mở chứa x được gọi là một lân cận của x . Ta thường bỏ qua T trong kí hiệu và thường nói đơn giản là không gian tôpô X. 1.1.2. Ví dụ a.  với họ các tập mở xây dựng từ các quả cầu là một không gian tôpô. b. Cho tập X khác rỗng thì: P ( X ) họ tất cả các tập con của X là một tôpô trên X , đó là tôpô lớn nhất trên X và được gọi là tôpô rời rạc. T0 = {∅, X } cũng là một tôpô trên X , đó là tôpô nhỏ nhất trên X và gọi là tôpô thô. 1.2. Không gian Hausdorff và cơ sở 1.2.1. Không gian Hausdorff Không gian tôpô X gọi là không gian Hausdorff (hay không gian T2 ) nếu với hai điểm khác nhau luôn chứa trong hai tập mở rời nhau. Tức là: 7 ∀x, y ∈ X : x ≠ y , tồn tại U mở chứa x và V mở chứa y sao cho U ∩ V ≠ ∅. 1.2.2. Cơ sở 1.2.2.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X , T ) , một họ con B của tôpô T trên X gọi là cơ sởcủa T nếu mọi tập mở V của T chứa X , tồn tại một tập mở G của B sao cho x ∈ G ⊂ V . 1.2.2.2. Định lý. Họ con B của T là cơ sở của nó khi và chỉ khi mọi tập mở V của T đều là một hợp thành của các phần tử trong B . Tức là ∀V ⊂ T ⇒ ∃Gα ⊂ B, ∀α ∈ I : V =  Gα . α ∈I 1.2.2.3. Hệ quả. Nếu T có cơ sở là B thì T là tôpô nhỏ nhất chứa B . Mỗi cơ sở xác định duy nhất một tôpô. 1.2.2.4. Định lý. Nếu họ B các tập con của X thỏa: G= X i. G∈B ii. ∀G1 , G2 ∈ B và x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃G ∈ B : x ∈ G ⊂ G1 ∩ G2 thì tồn tại một tôpô trên X nhận làm cơ sở. 1.2.3. Ánh xạ liên tục 1.2.3.1. Định nghĩa. Cho X , Y là hai không gian tôpô và f : X → Y . Khi đó f gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi V mở chứa f ( x0 ) , tồn tại U mở chứa x0 sao cho f (U ) ⊂ V . f gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm của X . 1.2.3.2. Định lý. Cho X , Y là hai không gian tôpô và f : X → Y , các mệnh đề sau tương đương: i. f liên tục trên X . ii. Ảnh ngược của mở là mở. iii. Ảnh ngược của đóng là đóng. 8 1.2.3.3. Định nghĩa. Cho f : X → Y , khi đó f gọi là: Ánh xạ mở nếu ảnh của mở là mở. Ánh xạ đóng nếu ảnh của đóng là đóng. Phép đồng phôi nếu f song ánh liên tục và có ánh xạ ngược liên tục. Nếu f là một phép đồng phôi thì X và Y gọi là hai không gian đồng phôi hay hai không gian tương đương tôpô X ≅ Y . 1.2.3.4. Nhận xét i. Quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương. ii. Mọi tính chất không gian được bảo toàn qua một phép đồng phôi gọi là một tính chất tôpô. 1.2.3.5. Định lý. Một song ánh liên tục là một phép đồng phôi khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng (hay ánh xạ mở). 1.2.4. Tập compact 1.2.4.1. Định nghĩa. Tập con mở của A A của không gian tôpô gọi là tập compact nếu mọi phủ đều có chứa một phủ con hữu hạn. Tức là: nếu (Vα )α ∈I là một phủ mở của Nếu X X là tập compact thì 1.2.4.2. Nhận xét. Tập A X n A thì tồn tại α1 , α 2 ,..., α n ∈ I : A ⊂ Vα . k =1 k gọi là không gian compact. là compact khi và chỉ khi không gian con A là không gian compact. 1.2.4.3. Định lý i. X là không gian compact khi và chỉ khi mọi họ tập đóng có tính giao hữu hạn đều có giao khác trống. ii. Ảnh liên tục của tập compact cũng là tập compact. iii. Nếu X= A ∪ B trong đó A và B là hai tập compact thì 9 X compact. iv. Tích Đềcác X ×Y của hai không gian compact là compact. Hơn nữa, tích Đềcác của bất kỳ một họ các không gian compact là compact. Tức là: ∏C t t∈T compact nếu Ct compact với t ∈ T . 1.2.4.4. Tính chất i. Tập con đóng của tập compact là compact. ii. Tập compact trong không gian T2 là tập đóng. 1.2.5. Liên thông 1.2.5.1. Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô X gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở U ,V sao cho: i. A ⊂ U ∪ V ii. A ∩ U ≠ ∅ iii. A ∩ V ≠ ∅ iv. A ∩ U ∩ V = ∅ Nếu tập X là liên thông thì X còn gọi là không gian liên thông. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: i. X là không gian liên thông. ii. X không biểu diễn được là hợp của hai tập mở khác trống rời nhau. iii. X không biểu diễn được là hợp của hai tập đóng khác trống rời nhau. Nhận xét. A là tập liên thông khi và chỉ khi không gian con A là không gian liên thông. 1.2.5.2. Định nghĩa. Một không gian tôpô ( X , T ) được gọi là liên thông đường(liên thông cung) nếu với bất kì hai điểm x0 , x1 ∈ X thì tồn tại một đường nối liền từ x0 đến x1 . Tức là một ánh xạ c : [ 0,1] → X sao cho c = ( i ) x= i,i {0,1} . 1.2.5.3. Định nghĩa. Một không gian tôpô được gọi là liên thông địa phương nếu với mỗi điểm thuộc không gian đó và mỗi lân cận của điểm đó, tồn tại một lân cận liên thông chứa trong lân cận ban đầu. 10 1.2.5.4. Định nghĩa. Tập C của một không gian tôpô được gọi là một thành phần liên thôngcủa không gian đó nếu C liên thông và nếu C1 là tập liên thông nào đó thỏa C ⊂ C1 thì C = C1 . Nói cách khác thành phần liên thông của một không gian tôpô chính là tập con liên thông lớn nhất của không gian tôpô đó. 1.2.5.5. Định lý Nếu A là tập liên thông và nếu A ⊂ B ⊂ A thì Nếu ( Aα )α ∈I là tập liên thông và B cũng liên thông.  Aα ≠ ∅ thì α Aα α ∈I liên thông. ∈I Ảnh liên tục của tập liên thông là liên thông. 1.2.5.6. Định lý. Nếu C là tập con liên thông của hợp hai tập rời nhau M , N thì ta có ∅. C∩M = ∅ hoặc C ∩ N = 1.2.5.7. Định lý. Tích Đềcác X = ∏ Ct của các không gian liên thông là liên thông. t∈T 1.3. Metric 1.3.1. Khoảng cách và không gian metric Cho X là một tập hợp khác rỗng. Hàm d : X × X →  là một metric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có: i. d ( x, y ) ≥ 0, ii. d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y, iii. d ( x, y ) = d ( y, x ) , iv. d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) . Tập X với metric d được gọi là không gian metric và được kí hiệu bởi ( X , d ) . Hàm d ( x, y ) được gọi là khoảng cách giữa x và y . Lưu ý. Không gian metric cũng chính là không gian T2 . 11 = B Họ các quả cầu {B ( x, r ) : x ∈ X , r ≥ 0} tạo thành cơ sở cho không gian tô pô X . Do đó không gian metric X là không gian tôpô. 1.3.2. Tập hoàn toàn bị chặn Tập con dương, A A của không gian metric ( X , d ) gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi số r được phủ bởi hữu hạn quả cầu mở có cùng bán kính r , nghĩa là: n ∀r > 0 ⇒ ∃x1 , x2 ,..., xn ∈ X : A ⊂  B ( xk , r ) k =1 Hay đơn giản hơn: ∀r > 0 ⇒ ∃D ∈ X là tập hữu hạn sao cho A ⊂  B ( x, r ) x∈D 1.3.3. Compact theo dãy Không gian X gọi là compact theo dãy nếu mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ. 1.3.4. Dãy Cauchy Dãy ( xn )n∈ trong không gian metric X gọi là dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0, ∃n0 : ∀m, n ≥ n0 ⇒ d ( xn , xm ) < ε hoặc ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 , p ∈  ⇒ d ( xn , xn + p ) < ε hay lim d ( xn , xm ) = 0 n , m →∞ 1.3.5. Định nghĩa. Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. 1.3.6. Định nghĩa. Không gian ( X , T ) gọi là metric hóa được nếu tồn tại một metric trên X sao cho T là tôpô sinh bởi metric đó. 1.3.7. Định nghĩa.Một không gian khác rỗng, compact và metric hóa được là một compactum (compacta). 12 1.3.8. Định nghĩa. Một tính chất tôpô nào đó được gọi là di truyền (trên các tập con đóng, mở) nếu không gian tôpô đã cho có tính chất đó thì các tập con (đóng, mở) của nó có tính chất đó. 1.3.9. Định nghĩa. Cho f : X → Y là một hàm liên tục giữa các không gian metric. f được gọi là một phép nhúng nếu X đồng phôi với f ( X ) . 1.3.10. Định lí. Nếu X là một compactum thì X có thể được nhúng vào hình lập phương Hilbert. 13 CHƯƠNG 2: CONTINUUM VÀ SIÊU KHÔNG GIAN 2.1. Lý thuyết continuum 2.1.1. Định nghĩa. Continuum là không gian metric (Hausdorff), compact và liên thông. Sau đây là một số khái niệm cơ bản khi nghiên cứu về continuum: Cho một continuum, một tập con của nó thỏa định nghĩa trên được gọi là một continuum con của continuum đó. Một continuum được gọi là không suy biến nếu có nhiều hơn một điểm. Một continuum đồng phôi với một tập con của mặt phẳng Euclide  2 được gọi là một continuum phẳng. Một continuum X được gọi là thuần nhất nếu với hai điểm x, y bất kỳ trong X tồn tại một phép đồng phôi h : X → X sao cho h ( x ) = y . Một continuum được gọi là continuum Peano nếu continuum đó liên thông địa phương tại mỗi điểm. Một continuum X được gọi là phân tích được nếu X có thể biểu diễn được thành hợp của hai continuum con thực sự. Một continuum không thỏa điều kiện đó gọi là không phân tích được. Một continuum được gọi là không phân tích được di truyền nếu mỗi continuum con của nó là continuum không phân tích được. Ta gọi không gian liên thông, compact, khác rỗng và T2 (không gian Hausdorff) là T2 − continuum (Hausdorff continuum). Chú ý rằng thuật ngữ continuum có nghĩa là một metric continuum. 2.1.2. Ví dụ 2.1.2.1. Cung 14 Một cung là một không gian đồng phôi với đoạn đóng [ 0,1] . Vì [ 0,1] là một continuum nên cung cũng là một continuum. Cho A là một cung, h là một đồng phôi từ [ 0,1] lên đặt p h= A, = ( 0 ) , q h (1) . Khi đó p, q được gọi là các điểm cuối (điểm đầu mút) của A . 2.1.2.2. n-tế bào Một n − tế bào là không gian đồng phôi với quả cầu đóng n - chiều B n , với Bn = {x ∈  n : x ≤ 1} , n =1, 2,... Vì B n là continuum nên n − tế bào cũng là một continuum. 2.1.2.3. n-cầu Một n − cầu là một không gian đồng phôi với mặt cầu n - chiều S n trong không gian  n+1 , trong đó 1} , n = 1, 2,... Sn = {x ∈  n+1 : x = Vì S n là một continuum nên n − cầu là continuum. 1-cầu được gọi là một đường cong đóng đơn. Trên đây là các ví dụ đơn giản về continuum. Các tính chất của continuum phần lớn được suy từ tính liên thông và compact của không gian tôpô. Ta sử dụng các tính chất sau khi nghiên cứu về tính compact và liên thông. Tính chất i. Hợp của hai continuum, có một điểm chung, là một continuum. ii. Các thành phần liên thông của không gian compact X là continuum. iii. Ảnh liên tục của một continuum là một continuum. iv. Tích Đềcác (hữu hạn hay vô hạn) của các continuum là một continuum. 2.1.2.4. Hình lập phương Hilbert 15 Ta dùng ∏ hoặc × để kí hiệu tích Đềcác. Ta thường tập trung về tích Đềcác của các đoạn, khoảng; hầu hết là các đoạn đóng [ 0,1] . Chúng ta dùng [ 0,1]i để kí hiệu các nhân tử thứ i của tích Đềcác. ∞ Hình lập phương Hilbert là không gian đồng phôi với tích Đềcác đếm được ∏ I i , i =1 trong đó I i = [ 0,1] , với một tích tôpô. Hình lập phương Hilbert là một continuum. 1 2.1.2.5. sin   − continuum x 1 sin   − continuum là một bao đóng W của W với x    1  = W  x,sin    ∈  2 : 0 < x ≤ 1  x    1 Hình2.1. sin   − continuum x 2.1.2.6. Đường tròn Warsaw Đường tròn Warsaw là continuum đồng phôi với và Z Y ∪Z với Y 1 là sin   − continuum x là hợp của ba cung lồi trong  2 , đó là các cung từ ( 0, −1) đến ( 0, −2 ) , ( 0, −2 ) đến (1, −2 ) , từ (1, −2 ) đến (1,sin (1) ) . 16 Ngoài các continuum trên, trong lý thuyết continuum, ta có kỹ thuật quan trọng để xây dựng các continuum từ các continuum đã cho là phép giao lồng và giới hạn ngược. Tuy nhiên trong luận văn này ta sẽ không đề cập đến và có thể tham khảo thêm trong [24]. 2.2. Các khái niệm tổng quát của siêu không gian 2.2.1. Định nghĩa siêu không gian. Cho là một không gian tôpô với tôpô X T . Ta có các siêu không gian sau: CL ( X= ) { A ⊂ X : A là tập đóng và khác rỗng trong X } { A ∈ CL ( X ) : A compact} X 2= C ( X= ) {A∈ 2 Cn ( X= ) X {A∈ 2 X : A lien thông } : A có tối đa n thành phần liên thông Fn ( X= ) {A∈ 2 X : A có tối đa n điểm Không gian Fn ( X ) được gọi là n − tích đối xứng cuộn của X } } . Vì một tập đóng trong không gian compact là tập compact nên khi xét siêu không gian của các continuum, ta có 2 X ≡ CL ( X ) . Với tôpô T trên X ta sẽ xây dựng tôpô mới trên CL ( X ) cảm sinh từ tôpô T và khi đó CL ( X ) trở thành một không gian tôpô.Tôpô này được gọi là tôpô Vietoris. Tôpô Vietoris được xác định như sau 2.2.2. Định nghĩa. Cho ( X , T ) là một không gian tôpô. Tôpô Vietoris trên CL ( X ) là tôpô TV thỏa những tính chất sau: i. { A ∈ CL ( X ) : A ⊂ U } ∈ T ii. { A ∈ CL ( X ) : A ⊂ B} là T V V khi U ∈ T . đóng khi B đóng trong T . Ta có định lý cơ bản trên siêu không gian như sau: 17 2.2.3. Định lý. [17]. Nếu X ≅Y thì CL ( X ) ≅ CL (Y ) . Nếu không gian tôpô X là không gian metric với metric d thì ta có thể xây dựng metric H d trên CL ( X ) cảm sinh từ metric d và do đó CL ( X ) trở thành không gian metric. Sau đây là cách xây dựng H d . 2.3. Metric Hausdorff H d Cho ( X , d ) là một không gian metric. Với bất kì x ∈ X và mọi A ∈ CL ( X ) , đặt = d ( x, A ) inf {d ( x, a ) : a ∈ A} Với bất kì r > 0 và mọi A ∈ CL ( X ) , đặt N d ( r , A) = { x ∈ X : d ( x, A ) < r } Hình 2.2. Quả cầu d-mở suy rộng Ta gọi N d ( r , A ) là quả cầu d − mở suy rộng trong X tâm A bán kính r. Với bất kỳ A, B ∈ CL ( X ) , đặt H d ( A, B ) = inf {r > 0 : A ⊂ N d ( r , B ) và B ⊂ N d ( r , A )} Ta chứng minh được H d là metric trên CL ( X ) (chứng minh chi tiết được trình bày trong [17]). Mối liên hệ giữa các tính chất trên không gian tôpô X ban đầu với siêu không gian CL ( X ) của nó được trình bày qua các định lý dưới đây: 18
- Xem thêm -