Tài liệu Một số lớp toán tử chuẩn hợp nhất trong lôgic mờ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN HUY CHINH MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LÔGIC MỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGUYỄN HUY CHINH MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LÔGIC MỜ Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số : 604635 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG Hà Nội - 2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 CHƢƠNG 1 : CHUẨN HỢP NHẤT ........................................................................3 1.1. Tập mờ, Logic mờ ........................................................................................3 1.1.1. Khái niệm tập mờ ...........................................................................................3 1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ. ....................................6 1.1.3. Hàm chuyển .................................................................................................18 1.2. Chuẩn hợp nhất ..........................................................................................19 1.2.1. Chuẩn hợp nhất ............................................................................................19 1.2.2. Tính chất của toán tử chuẩn hợp nhất: .........................................................20 1.2.3 Chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max .......................................................22 1.2.4. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng .............................................................................25 1.2.4. Chuẩn hợp nhất biểu diễn.............................................................................31 CHƢƠNG 2: PHÉP KÉO THEO ...........................................................................35 2.1 Phép kéo theo ..............................................................................................35 2.1.1. Định nghĩa phép kéo theo ............................................................................35 2.1.2. Các dạng hàm kéo theo định nghĩa bằng các hàm t-chuẩn, t-đối chuẩn và phủ định : .................................................................................................35 2.2 Phép kéo theo (U,N) ...................................................................................36 2.3 Phép kéo theo RU .......................................................................................38 2.4 Phép kéo theo QL .......................................................................................42 2.5 Phép kéo theo D ..........................................................................................50 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA CHUẨN HỢP NHẤT TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ.................................................................................................54 3.1. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng ..........................................................................54 3.2. Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn ...........................55 3.3. Biến ngôn ngữ .............................................................................................58 3.4. Cấu trúc cơ bản ..........................................................................................58 3.5. Cơ sở luật ....................................................................................................59 3.6. Khâu mờ hóa ..............................................................................................59 3.7. Mô tơ suy diễn ............................................................................................61 3.7.1. Xác định giá trị của các luật: ........................................................................61 3.7.2. Xác định giá trị luật hợp thành: ....................................................................63 3.8. Khâu giải mờ ..............................................................................................63 KẾT LUẬN ...............................................................................................................65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................66 MỞ ĐẦU Từ nhiều năm trở lại đây, lí thuyết tập mờ và logic mờ phát triển rất nhanh và đa dạng. Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơ-ron đã cung cấp nhiều công nghệ mới cho các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm thông minh, đáp ứng nhu cầu thị trường cần có bộ điều khiển linh hoạt hơn, những thiết bị biết làm việc với những bài toán khó, phải xử lí nhiều loại thông tin mập mờ, chưa đầy đủ và thiếu chính xác. Logic mờ đã đóng góp rất cơ bản cho lập luận xấp xỉ trong những tình huống mới phức tạp như là tình huống thông tin thiếu chính xác, chưa đầy đủ. Trong lôgic mờ khái niệm t-chuẩn và t-đối chuẩn đóng vai trò quan trọng trong việc tổng quát hóa các toán tử kết hợp and và or. Các toán tử này được xác định trong đoạn [0,1] nhưng khác nhau ở phần tử trung hòa của chúng. Đối với tchuẩn phần tử đơn vị là 1 còn đối với t-đối chuẩn phần tử đơn vị là 0. Hợp nhất và tổng quát hóa các toán tử này bằng cách gán phần tử đơn vị là một số nằm trong một khoảng đơn vị. Ta gọi cách tổng quát hóa lớp các toán tử này là toán tử chuẩn hợp nhất. Nội dung chính của luật văn là tôi tìm hiểu toán tử chuẩn hợp nhất, ứng dụng của nó trong việc xây dựng phép kéo theo và phần tiếp theo tôi mạnh dạn đề xuất « mang tính chất định hướng » : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ. Luận văn gồm 3 chương: Chƣơng 1, Toán tử Chuẩn hợp nhất. Trong luận văn này, tôi chỉ đề cấp đến các lớp chuẩn hợp nhất phổ biến sau đây và các tính chất của nó: + Lớp chuẩn hợp nhất dạng min và dạng max + Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng. + Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất liên tục. Chƣơng 2, Phép kéo theo . Nội chính là ứng dụng của toán tử chuẩn hợp nhất trong việc xậy các phép kéo theo sau : 1 + Phép kéo theo (U,N) + Phép keo theo RU + Phép kéo theo QL + Phép kéo theo D Chƣơng 3, Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong Điều khiển mờ : Nội dung chính là : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp thành trong điều khiển mờ. Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo để hoàn thiện hơn bản luận văn của mình. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã hướng dẫn chúng em trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn PGS.TSKH Bùi Công Cường đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài luận văn này. 2 CHƢƠNG 1 CHUẨN HỢP NHẤT 1.1. Tập mờ, Logic mờ 1.1.1. Khái niệm tập mờ a. Định nghĩa tập mờ * Định nghĩa 1.1.1: Tập mờ A trên tập X là tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp (x,μA(x)), với x  X và μA là một ánh xạ:  A : X [0,1] . X gọi là tập nền (không gian nền)  A gọi là hàm thuộc (membership function).  A ( x) là độ thuộc của x vào tập mờ A. Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó không có phần tử nào. Kí hiệu là: A   * Các ví dụ: + Ví dụ 1.1.1: Cho không gian nền X = [0, 200] là tập chỉ các tốc độ của xe ôtô (đơn vị là km/h). Xét tập mờ A = ”Những tốc độ được coi là nhanh ” xác định bởi hàm thuộc  A như đồ thị sau: A 1 0.85 0.5 X 40 60 80 100 120 Hình 1.1 Đồ thị hàm thuộc  A 3 + Ví dụ 1.1.2 : Vết vân tay của tội phạm trên hiện trường là một ví dụ về tập mờ được cho trong hình sau:  A ( x1 )  1  A ( x2 )  0.7 Hình 1.2: Để cho gọn, ta kí hiệu độ thuộc là A(x) thay cho  A ( x) . Ta cũng kí hiệu A={(  A ( x) /x):x  X} + Ví dụ 1.1.3: A0 = một vài (quả cam) ={ (0/0),(0/1),(0.6/2),(1/3),(1/4),(0.8/5),(0.2/6)} Ta sẽ kí hiệu: F(X) = {A tập mờ trên X} b. Các phép toán đại số trên tập mờ : * Định nghĩa 1.1.2: Cho A , B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các hàm thuộc là  A , B . Khi đó phép hợp A  B , phép giao A  B và phần bù AC là các tập mờ trên X với các hàm thuộc cho bởi:  A B ( x)  max{ A ( x),  B ( x)}, x  X  A B ( x)  m in{ A ( x),  B ( x)}, x  X  A ( x)  1   A ( x), x X C * Định nghĩa 1.3: Cho A, B  F ( X ) . Ta nói: A  B nếu  A ( x)  B ( x) với mọi x  X A  B nếu  A ( x)  B ( x) với mọi x  X Do đó: A  B nếu  A ( x)  B ( x) với mọi x  X Với các tập mờ thì nhiều tính chất của tập rõ vẫn còn đúng. Mệnh đề sau sẽ minh họa điều đó. 4 * Mệnh đề 1.1.1: Cho A, B, C  F ( X ) . Ta có các tính chất sau: a) Giao hoán: A  B  B  A; A  B  B  A b) Kết hợp: A  ( B  C )  ( A  B)  C A  ( B  C )  ( A  B)  C c) Lũy đẳng: A  A  A; A  A  A d) Phân phối: A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) A     và A  X  X e) f) Đồng nhất: A    A và A  X  A g) Hấp thu: A  ( A  B)  A và A  ( A  B)  A h) Luật De Morgan: ( A  B)C  AC  BC và ( A  B)C  AC  BC i) Cuộn: ( AC )C  A j) Dạng tƣơng đƣơng: ( AC  B)  ( A  BC )  ( AC  BC )  ( A  B) k) Hiệu đối xứng: ( AC  B)  ( A  BC )  ( AC  BC )  ( A  B) Chứng minh:(Ở đây ta chứng minh một vài đẳng thức để minh họa) + Chứng minh đẳng thức của tính chất phân phối: A  ( B  C )  ( A  B)  C Đặt: D1  A  ( B  C), D2  ( A  B)  C Lấy x tùy ý, cố định.Ta sẽ chỉ rõ rằng: D ( x)  D ( x) 1 2 Kí hiệu a   A ( x), b  B ( x), c  C ( x) Do x cố định, như vậy ứng với véc tơ (a, b, c) ta chỉ cần xét 6 trường hợp và được cho trong bảng sau: ( B  C )( x) abc acb bca bac cab cba c b c c b b D1 ( x) c b a c b a 5 ( A  C )( x) c c a c a a D2 ( x) c b a c b a 1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ. Trong những suy luận đời thường cũng như trong các suy luận khoa học chặt chẽ, logic toán học đã đóng vai trò rất quan trọng . Nhưng đáng tiếc, chiếc áo logic toán học cổ điển đã quá chật hẹp đối với những ai mong muốn tìm kiếm những cơ sở vững chắc cho những suy luận phù hợp hơn với những bài toán nảy sinh từ nghiên cứu và thiết kế những hệ thống phức tạp, đặc biệt là những cố gắng đưa những suy luận giống như cách con người vẫn thường sử dụng vào các lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (chẳng hạn trong các hệ chuyên gia, các hệ hỗ trợ quyết định, các bộ phần mềm lớn,…) hay vào trong công việc thiết kế và điều khiển, vận hành các hệ thống lớn, phức tạp sao cho kịp thời và hiệu quả. Trong sự phát triển đa dạng của các hệ mờ, dựa trên cách tiếp cận mới của lí thuyết tập mờ, logic mờ giữ một vai trò cơ bản.Trong chương này, ta sẽ hiểu logic mờ theo nghĩa đủ “hẹp” – đó là phần trực tiếp suy rộng logic mệnh đề cổ điển thông qua việc trình bày một số công cụ củ chốt của logic mờ: các liên kết logic cơ bản. 1.1.2.1. Logic mệnh đề cổ điển: Ta kí hiệu P là tập hợp các mệnh đề và P, P1, Q, Q1 …là những mệnh đề. Với mỗi mệnh đề P  P, ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lí của mệnh đề. Logic cổ điển đề nghị v(P) =1 nếu P là đúng, v(P) = 0 nếu P là sai. Trên P chúng ta xác định trước tiên 3 phép toán cơ bản và rất trực quan: - Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu là P  Q , đó là mệnh đề “hoặc P hoặc Q” - Phép hội: P AND Q, kí hiệu là P  Q , đó là mệnh đề “vừa P vừa Q” - Phép phủ định: NOT P , kí hiệu là P , đó là mệnh đề “không P”. Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này, người ta đã định nghĩa nhiều phép toán khác, nhưng quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là P  Q . * Định nghĩa 1.1.4: Khi sử dụng các liên kết logic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương (  ), giá trị chân lí của mệnh đề hệ quả được xác định phụ thuộc vào giá trị chân lí của các mệnh đề gốc P, Q cho trong bảng sau: 6 P Q P PQ P Q PQ P Q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Sử dụng những định nghĩa trên, trong logic cổ điển, các luật suy diễn quan trọng sau đây giữ vai trò rất quyết định trong các lập luận truyền thống. Đó là các luật sau: - Modus ponens: ( P  ( P  Q))  Q - Modus tollens: (( P  Q)  Q)  P - Syllogism: (( P  Q)  (Q  R))  ( P  R) - Contraposition: ( P  Q)  (Q  P) * Mệnh đề 1.1.2: Luật modus ponens luôn đúng trong logic cổ điển. Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của ( P  ( P  Q))  Q . Thật vậy P Q PQ P  ( P  Q) ( P  ( P  Q))  Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh. * Mệnh đề 1.1.3: Luật Modus tollens: (( P  Q)  Q)  P luôn đúng trong logic cổ điển. Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của (( P  Q)  Q)  P . 7 Thật vậy: P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P Q PQ ( P  Q)  Q (( P  Q)  Q)  P 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh. Ta có thể lí giải luật modus ponens làm ví dụ. Luật này có thể giải thích như sau: Nếu mệnh đề P là đúng và định lí “ P kéo theo Q “ đúng thì mệnh đề Q cũng đúng. Tương tự ta có thể lí giải cho các luật khác. 1.1.2.2. Một số phép toán cơ bản của logic mờ Năm 1973, L.Zadeh đã chính thức định nghĩa và làm việc với các liên kết logic mờ cơ bản, đồng thời với việc đưa ra khái niệm biến ngôn ngữ đã bước đầu ứng dụng vào suy diễn mờ. Đây là bước khởi đầu rất quan trọng tính toán các suy diễn dùng logic mờ trong các hệ mờ. Thật tự nhiên để có thể tiến hành mô hình hóa các hệ thống có nhiều thông tin bất định và nhiều tri thức còn mập mờ và tìm cách biểu diễn các quy luật vận hành trong các hệ thống này, chúng ta cần suy rộng các phép liên kết logic cơ bản với các mệnh đề có giá trị chân lí v(P) nhận trong đoạn [0,1],( thay cho quy định v(P) chỉ nhận giá trị 1 hoặc 0 như trước đây). Ta đưa vào các phép toán cơ bản của logic mờ qua con đường tiên đề hóa. Cho các mệnh đề P, P1, Q …, giá trị chân lí v(P),v(P1),v(Q) … sẽ nhận trong đoạn [0, 1]. Sau đây là bốn phép liên kết cơ bản nhất: a. Phép phủ định * Định nghĩa 1.1.5: Hàm n: [0, 1]  [0,1] không tăng thỏa mãn các điều kiện: n(0) = 1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định). * Định nghĩa 1.1.6: a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt. b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x,  x [0,1] 8 * Ví dụ 1.1.4: - Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh - Hàm n(x) = 1-x2. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh. - Họ phủ định(Sugeno) N ( x)  1 x ,   1 . Với họ Sugeno này ta có mệnh 1  x đề sau: * Mệnh đề 1.1.4: Với mỗi   1 , N ( x) là một phủ định mạnh. Chứng minh: Thật vậy, do 1    0 với x1  x2 ,  x1  x1   x2  x2 . Điều này tương đương với N ( x1 )  N ( x2 ) . Hơn nữa, N ( N ( x))  (1   x)  (1  x)  x với mỗi 0  x  1 . (1   x)   (1  x) Vậy ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho  là không gian nền, một tập mờ A trên  tương ứng với hàm thuộc A:   [0,1] . * Định nghĩa 1.1.7: Cho n là hàm phủ định , phần bù AC của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc cho bởi AC (a)  n( A(a)) , với mỗi a  . Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1.1 là trường hợp riêng khi n(x) là hàm phủ định thường dùng. b. Phép hội Phép hội( conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất. Thông thường ta xét mấy tiên đề sau: TĐ 1: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2) TĐ 2: Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AND P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2. TĐ 3: Giao hoán: v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1) TĐ 4: Nếu v( P1 )  v( P2 ) thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3 TĐ5: Kết hợp: v(P1 AND (P2 AND P3)) = v((P1 AND P2 )AND P3) * Định nghĩa 1.1.8: Hàm T: [0, 1]2  [0, 1] là một t-chuẩn (t-norm) nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 9 a) T(1, x) = x , với mọi 0  x  1 b) T có tính chất giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với mọi 0  x, y  1 c) T không giảm theo nghĩa T ( x,y)  T (u, v) , với mọi x  u, y  v d) T có tính kết hợp: T(x,T(y, z)) = T(T(x, y), z), với mọi 0  x, y, z  1 Từ những tiên đề trên ta suy ra ngay T(0,x)=0 với mọi 0  x  1 . Ví dụ 1.5: 1) Min(Zadeh): T1(x, y) = min(x, y) 2) T2 ( x, y)  3) t-chuẩn dạng tích: T3(x, y) = xy 4) T4 ( x, y )  5) t-chuẩn Lukasiewicz: TL(x, y) = max{x+y-1,0} 6) t-chuẩn yếu nhất: min( x, y) khi max(x, y) =1 Z ( x, y )   0 khi max(x, y) <1 xy x  y  xy xy 2  ( x  y  xy) * Tính chất của t-chuẩn: + Mệnh đề 1.1.5: Với mỗi t- chuẩn T thì: Z ( x, y)  T ( x, y)  T1 ( x, y)  min( x, y) với mọi 0  x, y  1 . Chứng minh: Thật vậy, - Nếu max(x,y) = 1 Khi x = 1, T(1, y) = y = min(x, y) hay Z(x,y) = T(x, y) =T1(x, y). Tương tự nếu y = 1. - Nếu max(x, y) < 1, Z(x, y) = 0 < T(x, y). Giả sử y = min(x, y), khi đó T(x, y) < T(1, y) = y = T1(x, y). Tương tự nếu x = min(x, y). * Định nghĩa 1.1.9: a) Một t-chuẩn T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2. b) Hàm T gọi là Archimed nếu T(x, x)< x với mọi 0  x  1 10 c) Hàm T gọi là chặt nếu T tăng chặt trên (0,1)2 * Ví dụ 1.1.6: 1) T4 ( x, y)  a2 xy là Archimed vì T4 (a, a)  và do: 2  ( x  y  xy) 2  (2a  a 2 ) a 2  2a  2  (a  1)2  1  1  a2 a2  a 2  (2a  a 2 ) 1 Vậy T4(a,a) < a với mọi a  (0,1) . 2) T3(x,y) = xy là chặt vì 0  x1  x2 , 0  y1  y2 , ta có x1 y1  x2 y2 . 3) T1(x,y) = min(x,y) là một hàm liên tục trên [0,1]2, nên t-chuẩn T là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có T1(x,x) = min(x,x) = x. * Đồ thị của một số hàm t-chuẩn: + Hình 1.3: Đồ thị hàm T3(x, y) = xy: z 1 0.5 0 0 1 0.8 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 x y 0 + Hình 1.4: Đồ thị h àm TL(x, y) = max{x+y-1,0}: z 1 0.5 0 0 1 0.8 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 x 1 11 0 y c. Phép tuyển Cũng như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông thường thỏa mãn các tiên đề sau: * Định nghĩa 1.1.10: Hàm S: [0, 1]2  [0, 1] gọi là một phép tuyển (OR suy rộng) hay là t-đối chuẩn (t-cornorm) nếu thỏa mãn các tiên đề sau: a) S(0, x) = x , với mọi 0  x  1 b) S có tính chất giao hoán, tức là S(x, y) = S(y, x), với mọi 0  x, y  1 c) S không giảm theo nghĩa S ( x,y)  S (u, v) , với mọi 0  x  u  1, 0  y  v  1 d) S có tính kết hợp: S(x,S(y, z)) = S(S(x, y), z), với mọi 0  x, y, z  1 Từ định nghĩa ta thấy: S (0,1)  S ( x,1)  1  S ( x,1)  1  S ( x,1)  1 * Ví dụ 1.1.7: 1) S0(x, y) = max(x, y) 2) S1 ( x, y)  x  y  xy 3) S2(x, y) = min{x+y,1} max( x, y) khi x  y =1 4) S3 ( x, y)  max1 (x, y)=  1 khi x  y  1 5) max( x, y) khi min( x, y)  0 S 4 ( x, y )   1 khi min( x, y)  0 Các hàm này đều là các t-đối chuẩn. * Đồ thị của một số hàm t-đối chuẩn: + Hình 1.5: Đồ thị hàm S0(x,y)=max(x,y) z 1 0.5 1 0.8 0 0 0.6 0.2 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 1 x 12 0 y + Hình 1.6: Đồ thị hàm S1(x,y)=x+y-xy z 1 0.5 1 0 0 0.8 0.2 0.6 0.4 0.4 0.6 0.2 0.8 x 1 0 y * Tính chất của t-đối chuẩn: + Định lí 1.1.1: Với S là một t-đối chuẩn bất kì thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y [0,1] : a) S0 ( x, y)  S ( x, y)  S4 ( x, y) b) S0  S1  S2  S4 Chứng minh: a) Khi x = 1, ta có: S(1,y) = 1, S0(1,y) = max(1,y) =1 = S4(x,y). Khi y = 1, tương tự: S0(x,1) = S(x,1) = S4(x,y). Khi x = 0, tương tự ta cũng có: S0(0,y) = S(0,y) = S4(0,y). Khi y = 0 ta có: S0(x,0) = S(x,0) = S4(x,0). - Xét 0 y, suy ra S0(x,y) = x < S4(x,y) =1. Thấy x  S (0, x)  S ( y, x) (theo tính không giảm). Vì vậy S0 ( x, y)  S ( x, y)  S4 ( x, y) Nếu x < y, suy ra S0(x,y) = y < S4(x,y) = 1. Thấy y  S (0, y)  S ( y, x) . Do đó S0 ( x, y)  S ( x, y)  S4 ( x, y) Vậy, x, y [0,1] thì S0 ( x, y)  S ( x, y)  S4 ( x, y) . b) Phần a) ta đã chứng minh được rằng S0 ( x, y)  S ( x, y)  S4 ( x, y) Bây giờ ta phải chứng minh: S0  S1  S2  S4 và S0  S2  S3  S4 13 - Chứng minh S0  S1 : +Xét x  y suy ra S0(x,y)=max(x,y) = x và S1(x,y) = x+y-xy = x+(1-x)y Thấy 0  x, y  1 1  x  0  (1  x) y  0  x  (1  x) y  x . Vậy S0 ( x, y)  S1 ( x, y) . + Tương tự, với y  x ta có: S0 ( x, y)  S1 ( x, y) Vậy x, y [0,1] luôn có S0 ( x, y)  S1 ( x, y) . - Chứng minh S1  S2 : + Xét x  y  1 . Khi đó S2(x,y) = x+y.Thấy 0  x, y  1 suy ra 1  x  1  (1  x) y  y  x  (1  x) y  x  y Vậy, S1 ( x, y)  S2 ( x, y) + Xét x  y  1 , khi đó S2(x,y) = 1. Do x, y[0,1]  (1-x)(1-y)  0  x+y-1  xy  x  y  xy 1 Vậy, S1 ( x, y)  S2 ( x, y) Do đó x, y [0,1] luôn có S1 ( x, y)  S2 ( x, y) . - Chứng minh S2  S4 : + Xét x = 0  x  y  1 , do đó S3(x,y) = max(x,y). Lại do x = 0 suy ra min(x,y) = 0  S4 ( x, y)  max(x,y) =S3 ( x, y) + Tương tự xét y = 0 ta cũng có kết quả trên. + Xét tiếp với x  0, y  0 . Khi đó S4(x,y) = 1. Khi x+y <1  S3 ( x, y)  max(x,y)  1=S4 ( x, y) . Khi x+y >1  S3 ( x, y) 1=S4 ( x, y) . Vậy, x, y [0,1] luôn có S2 ( x, y)  S4 ( x, y) . Từ các kết quả trên ta được: S0 ( x, y)  S1 ( x, y)  S2 ( x, y)  S4 ( x, y) * Định nghĩa 1.1.11: Cho S là t-đối chuẩn. Khi ấy: a) S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2. b) Hàm S gọi là Archimed nếu S(x,x) > x với mọi 0< x< 1. 14 c) S gọi là chặt nếu S tăng chặt trên (0,1)2. * Ví dụ 1.1.8: S1(x,y) = x+y-xy là chặt vì: Giả sử x1 < x2, ta có: S1(x1,y) = x1+y-x1y < x2+y-x2y = S1(x2,y),  y  (0,1) . Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có: S1(x1,y1) < S1(x2,y2),  0  x1  x2  1 và  0  y1  y2  1 S0 = max(x,y) là một hàm liên tục trên [0,1]2, nên t-đối chuẩn S là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có S0 = max(x,y) = x S2(x,y) = min{1,x+y} là Archimed vì S2(x,x) = min{1,x+x} = min{1,2x} > x. * Một số toán tử có liên quan: Phép toán giao, hợp của hai tập mờ suy rộng. Bộ ba De Morgan: + Phép giao của hai tập mờ: Định nghĩa 1.1.12: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho T là một t-chuẩn. Ứng với t-chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ A T B trên X với hàm thuộc cho bởi: ( A T B)( x)  T ( A( x), B( x)), x  X Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t_chuẩn T nào tùy thuộc bài toán ta quan tâm. * Ví dụ 1.1.9: Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống. A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ; Khi đó hợp của hai tập A, B với T(x,y)=min(x,y) và T(x,y)=xy. Chúng ta biểu diễn trên hình vẽ như sau: 1 1 15 20 40 25 45 30 50 35 55 15 U Hình 1.7 : Dạng T(x,y)=min(x,y) 20 40 25 45 30 50 35 55 Hình 1.8 : Dạng tích T(x,y)=xy 15 U + Phép hợp của hai tập mờ: Định nghĩa 1.1.13: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho S là một t-đối chuẩn. Ứng với t-đối chuẩn S, phép hợp của hai tập mờ A và B là một tập mờ A S B trên X với hàm thuộc cho bởi: ( A S B)( x)  S ( A( x), B( x)), x  X Việc lựa chọn phép hợp, tương ứng với t_đối chuẩn S nào tùy thuộc bài toán ta quan tâm. * Ví dụ 1.1.10: Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống. A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ; Khi đó hợp của hai tập A,B với S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=min(1,x+y). Chúng ta biểu diễn trên hình vẽ như sau: 1 1 15 20 40 25 45 30 50 35 55 15 U 20 40 25 45 30 50 35 55 U Hình 1.10 Dạng S(x,y)=min(1,x+y) Hình 1.9 : Dạng Max S(x,y)=max(x,y) + Bộ ba De Morgan: - Luật De Morgan trong lí thuyết tập mờ: Cho A, B là hai tập con của X, khi đó: ( A  B)C  AC  BC ( A  B)C  AC  BC - Trong lí thuyết tập hợp, luật De Morgan nói trên đã được sử dụng nhiều nơi. Có nhiều dạng suy rộng hai đẳng thức này. Sau đây là một dạng suy rộng cho logic mờ: - Định nghĩa 1.1.14: Cho T là một t-chuẩn, S là một t-đối chuẩn, n là một phép phủ định mạnh. Ta nói bộ ba (T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu thỏa mãn một trong hai đẳng thức sau: 16