Tài liệu Một số lớp phương trình tích phân kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM viÖn to¸n häc ------ TỐNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM viÖn to¸n häc TỐNG THỊ HỒNG NGỌC MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mà SỐ: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NCVC. NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội – 2015 Möc löc Mð ¦u 1 1 3 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 T½ch ph¥n suy rëng v  gi¡ trà ch½nh Cauchy cõa t½ch ph¥n 3 Bi¸n êi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Bi¸n êi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bi¸n êi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bi¸n êi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tr¶n kho£ng væ h¤n 25 3 C¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tr¶n kho£ng húu h¤n 42 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 D¨n luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C¡c ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng bi¸n êi Mellin . . . . . . . . Ph÷ìng tr¼nh gi£i b¬ng bi¸n êi Fourier . . . . . . . . . . Ph÷ìng tr¼nh Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà nh¥n Cauchy tr¶n to n tröc Ph÷ìng tr¼nh Abel lo¤i mët . . . . . . . . . Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Abel lo¤i hai . . . . Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà nh¥n Cauchy Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Carlemann . . . . . Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 29 35 40 42 45 46 49 51 K¸t luªn 55 T i li»u tham kh£o 56 i Mð ¦u Nhi·u v§n · trong To¡n håc, Cì håc, Vªt lþ v  c¡c ng nh kÿ thuªt kh¡c d¨n ¸n nhúng ph÷ìng tr¼nh, trong â h m ch÷a bi¸t ÷ñc chùa d÷îi d§u t½ch ph¥n. Nhúng lo¤i ph÷ìng tr¼nh â ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n l  mët chuy¶n ng nh quan trång cõa to¡n håc hi»n ¤i v  l  cæng cö húu ½ch trong nhi·u l¾nh vüc n¶n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu theo nhi·u kh½a c¤nh kh¡c nhau nh÷ sü tçn t¤i nghi»m, c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng, t½nh °t ch¿nh... Lþ thuy¸t têng qu¡t v· c¡c lo¤i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh ÷ñc x¥y düng ð buêi giao thíi cõa c¡c th¸ k¿ XIX, XX, chõ y¸u l  trong c¡c cæng tr¼nh cõa Volterra, Fredholm v  Hilbert, v.v.. X²t ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh tr¶n kho£ng (a, b) câ d¤ng sau ( xem [1], [4] ) Z λu(x) + b K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, a (1) trong â u(x) l  h m c¦n t¼m (©n h m), K(x, y) l  h m ¢ bi¸t v  ÷ñc gåi l  "nh¥n" hay "h¤ch" cõa ph÷ìng tr¼nh, f (x) l  h m ¢ cho v  ÷ñc gåi l  " v¸ ph£i" cõa ph÷ìng tr¼nh, λ l  tham sè cõa ph÷ìng tr¼nh. Ph÷ìng tr¼nh (1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n lo¤i mët hay lo¤i hai, tòy thuëc v o tham sè λ = 0, hay λ 6= 0, t÷ìng ùng. Trong ph÷ìng tr¼nh (1) c¡c cªn t½ch ph¥n a, b l  c¡c sè húu h¤n, væ h¤n hay nûa væ h¤n, v  l  c¡c ¤i l÷ñng cè ành hay bi¸n thi¶n, nh¥n K(x, y) câ thº l  h m li¶n töc, kh£ têng, hay câ ký b§t th÷íng n o â. èi vîi ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh d¤ng (1), Luªn v«n n y quan t¥m tîi hai d¤ng °c bi»t sau ¥y: 1. (a, b) l  kho£ng væ h¤n, hay nûa væ h¤n, cán nh¥n K(x, y) l  h m li¶n töc, hay câ b§t th÷íng n o â K(x, x) = ∞. 1 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc 2. (a, b) l  K(x, x) = ∞. Tèng Thà Hçng Ngåc kho£ng húu h¤n, cán nh¥n K(x, y) l  câ b§t th÷íng Theo thuªt ngú trong [4], nhúng ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tr¶n ¥y ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà v  l  · t i håc tªp cõa Luªn v«n n y. Möc ½ch cõa Luªn v«n l  t¼m hiºu v  håc tªp c¡ch gi£i h¼nh thùc cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà theo ngh¾a tr¶n ¥y. Luªn v«n bao gçm c¡c nëi dung sau: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà. Tr¼nh b y v· t½ch ph¥n suy rëng, t½ch ph¥n ký dà Cauchy, c¡c bi¸n êi t½ch ph¥n Mellin, Fourier, Laplace v  Hilbert l m cì sð nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ð ch÷ìng sau. Ch÷ìng 2: Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tr¶n kho£ng væ h¤n. Tr¼nh b y mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n câ thº gi£i ÷ñc b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n Mellin, Fourier, Laplace v  Hilbert. Ch÷ìng 3: X²t c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà tr¶n kho£ng húu h¤n vîi nh¥n Cauchy, Logarit v  Hilbert. Luªn v«n ÷ñc h¼nh th nh düa tr¶n c¡c t i li»u [1]-[4], trong â [4] l  t i li»u ch½nh. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Vi»n To¡n håc - Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y TS. NCVC. Nguy¹n V«n Ngåc. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Th¦y ¢ tªn t¥m h÷îng d¨n v  ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n Luªn v«n. Tæi xin c£m ìn c¡c Th¦y, Cæ trong pháng Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¢ quan t¥m gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban l¢nh ¤o Vi»n To¡n håc Vi»t Nam còng c¡c Th¦y, Cæ ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K21, c¡c b¤n håc vi¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi»n gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Vi»n. H  Nëi, ng y 28/08/2015 T¡c gi£ luªn v«n Tèng Thà Hçng Ngåc 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 T½ch ph¥n suy rëng v  gi¡ trà ch½nh Cauchy cõa t½ch ph¥n • ¡nh gi¡ t½ch ph¥n suy rëng Câ hai lo¤i t½ch ph¥n suy rëng: (1) t½ch ph¥n m  h m d÷îi d§u t½ch ph¥n câ iºm gi¡n o¤n væ còng trong cªn cõa t½ch ph¥n v  (2) t½ch ph¥n m  cªn cõa t½ch ph¥n l  væ h¤n. Sü tçn t¤i cõa c£ hai lo¤i t½ch ph¥n phö thuëc sü tçn t¤i cõa mët giîi h¤n ho°c nhi·u giîi h¤n. T½ch ph¥n suy rëng ÷ñc gåi l  hëi tö n¸u måi giîi h¤n li¶n quan tçn t¤i, v  ph¥n ký n¸u mët trong c¡c giîi h¤n khæng tçn t¤i. 1. N¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n f (t) li¶n töc tr¶n kho£ng [a, c) v  câ iºm gi¡n o¤n væ còng t¤i ¦u mót b¶n ph£i cõa kho£ng, th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng [a, c) l  c Z c−ε Z f (t)dt = lim ε↓0 a f (t)dt, a n¸u giîi h¤n tçn t¤i. T÷ìng tü, n¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n câ iºm gi¡n o¤n væ còng t¤i ¦u mót tr¡i cõa kho£ng, th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng (c, b] l  Z b Z b f (t)dt = lim ε↓0 c 3 f (t)dt, c+ε Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc n¸u giîi h¤n tçn t¤i. N¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n câ iºm gi¡n o¤n væ còng t¤i iºm trong c cõa kho£ng [a, b], th¼ ta ành ngh¾a Z b c Z f (t)dt = b Z f (t)dt + a f (t)dt, a c n¸u c£ hai giîi h¤n mët ph½a tçn t¤i ëc lªp vîi nhau. 2. N¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n f (t) li¶n töc tr¶n kho£ng [c, +∞), th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng n y l  +∞ Z b Z f (t)dt = lim f (t)dt, b→+∞ c c n¸u giîi h¤n tçn t¤i. N¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n li¶n töc tr¶n kho£ng (−∞, c], th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng n y l  Z c Z c f (t)dt = lim a→−∞ −∞ f (t)dt, a n¸u giîi h¤n tçn t¤i. N¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n li¶n töc tr¶n kho£ng (−∞, +∞), th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng n y l  Z +∞ Z c f (t)dt = −∞ Z f (t)dt + −∞ +∞ f (t)dt, c n¸u c£ hai giîi h¤n mët ph½a tçn t¤i ëc lªp vîi nhau. Mët t½ch ph¥n cho tr÷îc câ thº l  c£ hai lo¤i t½ch ph¥n suy rëng. • Gi¡ trà ch½nh Cauchy cõa t½ch ph¥n Ta th§y r¬ng n¸u h m d÷îi d§u t½ch ph¥n câ iºm gi¡n o¤n væ còng trong ph¦n trong cõa cªn t½ch ph¥n ho°c n¸u cªn t½ch ph¥n mð rëng tîi væ còng theo c£ hai h÷îng, th¼ sü tçn t¤i cõa t½ch ph¥n phö thuëc sü tçn t¤i cõa hai giîi h¤n mët c¡ch ëc lªp. Thªm ch½ 4 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc n¸u khæng câ giîi h¤n n o trong hai giîi h¤n tçn t¤i, mët giîi h¤n èi xùng ìn câ thº v¨n tçn t¤i. Cho t½ch ph¥n câ h m d÷îi d§u t½ch ph¥n f (t) câ iºm gi¡n o¤n væ còng c trong ph¦n trong cõa cªn t½ch ph¥n, ta ành ngh¾a gi¡ trà ch½nh Cauchy cõa t½ch ph¥n cõa f (t) tr¶n kho£ng [a, b] l  b Z PV Z c−ε f (t)dt = lim b f (t)dt + ε↓0 a Z a  f (t)dt , c+ε n¸u giîi h¤n tçn t¤i. Cho t½ch ph¥n câ cªn t½ch ph¥n mð rëng ra væ còng theo c£ hai h÷îng, ta ành ngh¾a gi¡ trà ch½nh Cauchy cõa t½ch ph¥n vîi f (t) tr¶n kho£ng (−∞, +∞) l  Z +∞ PV Z +a f (t)dt = lim a→∞ −∞  f (t)dt , −a n¸u giîi h¤n tçn t¤i. Ta s³ vi¸t P V ph½a tr÷îc c¡c t½ch ph¥n nh÷ tr¶n. C¦n chó þ r¬ng c£ hai giîi h¤n n y ÷ñc x¡c ành b¬ng giîi h¤n èi xùng. Giîi h¤n khæng èi xùng câ thº công tçn t¤i, nh÷ng gi¡ trà cõa nâ câ thº kh¡c i. X²t v½ dö minh håa sau. Mët m°t, ta câ Z PV 0 2 1 dt = lim ε↓0 t−1 Z 1−ε 0 1 dt + t−1 2  1 dt = 0. 1+ε t − 1 Z M°t kh¡c, ta câ Z 0 1−2ε 1 dt + t−1 Z 2 1 dt = t − 1 1+ε Z 1+2ε 1+ε 1 dt = ln 2. t−1 Vi»c chån 2ε l  b§t ký. N¸u ta ¢ chån kε, th¼ gi¡ trà cõa t½ch ph¥n l  ln k. iºm quan trång ð ¥y l  gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n l  mët gi¡ trà cö thº m  ÷ñc chån tø væ sè c¡c gi¡ trà câ thº. 5 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc Mët v½ dö kh¡c minh håa sü quan trång cõa giîi h¤n èi xùng nh÷ sau. Mët m°t, ta câ Z +∞ PV −∞ 2t dt = lim a→∞ 1 + t2 Z +a −a  2t dt = 0, 1 + t2 v¼ h m d÷îi t½ch ph¥n l  l´. M°t kh¡c, ta câ Z +2a −a 2t dt = 1 + t2 Z +2a +a   2t 1 + 4a2 dt = ln → ln 4, 1 + t2 1 + a2 khi a → +∞. Khæng câ g¼ °c bi»t v· c¡ch chån 2a ð ¥y. N¸u ta ¢ chån ka, th¼ gi¡ trà cõa t½ch ph¥n l  ln(k2). • T½ch ph¥n Gamma T½ch ph¥n Gamma (h m Gamma) vîi bi¸n phùc z = x + iy, (i2 = −1) ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc Z ∞ e−t tz−1 dt, Rez > 0. Γ(z) = 0 Mët sè cæng thùc cì b£n cõa t½ch ph¥n Gamma Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N, π Γ(z)Γ(z + 1) = , 0 < Rez < 1, sin(πz) 1 √  1  1.3.5...(2n + 1) √ Γ = π, Γ n + = π. 2 2 2n • T½ch ph¥n Beta Câ mët sè ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng cõa h m Beta B(p, q)(h m Beta) ÷ñc ành ngh¾a theo cæng thùc Z B(p, q) = 1 up−1 (1 − u)q−1 du, 0 trong â p v  q d÷ìng º t½ch ph¥n tçn t¤i. B¬ng ph²p êi bi¸n thæng th÷íng ch¿ ra B(p, q) = B(q, p). 6 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc N¸u ta °t u = sin2(θ), th¼ t½ch ph¥n trð th nh Z π/2 sin2p−1 (θ) cos2q−1 (θ)dθ. B(p, q) = 2 0 N¸u ta °t u = x/(1 + x), th¼ t½ch ph¥n trð th nh ∞ Z B(p, q) = 0 xp−1 dx. (1 + x)p+q Ta câ thº chùng minh B(p, q) = Γ(p)Γ(q) , Γ(p + q) vîi måi c¡ch chån p > 0 v  q > 0. V½ dö, n¸u p + q = 1, th¼ ta câ h» thùc π B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) = sin(πp) . Gi¡ trà Γ(1/2) = √π ÷ñc rót ra b¬ng c¡ch °t p = 1/2. 1.2 Bi¸n êi Mellin • ành ngh¾a bi¸n êi Mellin Gi£ sû f (t) li¶n töc tr¶n kho£ng (0, ∞) v  nâ thäa m¢n i·u ki»n kh£ t½ch tuy»t èi Z ∞ tσ−1 |f (t)|dt < +∞, 0 vîi gi¡ trà phùc s = σ + iτ . Ph²p bi¸n êi Mellin cõa f (t) ÷ñc ành ngh¾a bði Z F (s) = M{f (t)} = ∞ t s−1 Z f (t)dt = lim A→∞ 0 7 0 A ts−1 f (t)dt. Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc N¸u c£ hai i·u ki»n kh£ t½ch Z 1 σ1 −1 t v  |f (t)|dt < +∞ 0 ∞ Z tσ2 −1 |f (t)|dt < +∞ 1 óng th¼ F (s) l  gi£i t½ch trong d£i væ h¤n Σ = {s : σ1 < σ < σ2}. • Ph²p bi¸n êi Mellin ng÷ñc cõa F (s) ÷ñc cho bði 1 f (t) = M {F (s)} = 2πi −1 Z c+i∞ t−s F (s)ds, c−i∞ (1.1) trong â σ1 < c < σ2. T¤i mët gi¡ trà cõa t m  f (t) gi¡n o¤n, t½ch ph¥n hëi tö tîi gi¡ trà trung b¼nh cõa giîi h¤n tr¡i v  giîi h¤n ph£i, tùc l  (f (t+) + f (t−))/2. • T½ch chªp Mellin cõa h m f (t) v  g(t) ÷ñc ành ngh¾a bði ∞ Z (f ∗ g)(t) = 0 1 f u   t g(u)du. u N¸u F (s) = M{f (t)} v  G = M{g(t)}, th¼ M{(f ∗g)} = F (s)G(s). 1.3 Bi¸n êi Fourier • ành ngh¾a bi¸n êi Fourier thuªn v  ng÷ñc N¸u f (x) v  f 0(x) l  c¡c h m li¶n töc tøng o¤n v  n¸u f (x) kh£ t½ch tuy»t èi tr¶n kho£ng (−∞, +∞), th¼ f (x) câ biºu di¹n 1 f (x) = π Z +∞ Z +∞ f (t) cos[s(t − x)]dtds, 0 −∞ vîi måi gi¡ trà x m  f (x) li¶n töc. Ngo i ra, n¸u x l  gi¡ trà m  f (x) câ iºm b÷îc nh£y gi¡n o¤n t¤i x, th¼ t½ch ph¥n hëi tö tîi gi¡ trà trung b¼nh cõa giîi h¤n tr¡i v  giîi h¤n ph£i cõa f (x) t¤i x, tùc l  (f (x−) + f (x+))/2. T½ch ph¥n k²p n y câ d¤ng thay th¸ m  câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng 8 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc mô phùc. V¼ cos θ = e + e−iθ 2 +iθ 1 f (x) = 2π Z ta câ +∞ e −isx +∞ Z −∞ e+ist f (t)dtds. −∞ Ta gi£ sû r¬ng s v  t trong c¡c biºu di¹n t½ch ph¥n tr¶n l  c¡c bi¸n thüc. Câ nhi·u c¡ch º t¡ch d¤ng mô phùc cõa t½ch ph¥n Fourier th nh mët c°p bi¸n êi Fourier. C¡ch têng qu¡t l  vi¸t s F (s) = v  s f (x) = |b| (2π)1−a Z 1 |b|(2π)1+a Z +∞ f (t)eibst dt −∞ +∞ F (s)e−ibxs ds, −∞ trong â a v  b l  tham sè thüc. Ta chån a = 0 v  b = 1. Vîi c¡ch chån n y, c°p bi¸n êi Fourier trð th nh 1 F (s) = F{f (t)} = √ 2π Z 1 {F (s)} = √ 2π Z v  f (x) = F −1 +∞ eist f (t)dt (1.2) e−ixs F (s)ds. (1.3) −∞ +∞ −∞ N¸u chån |b| = (2π)1−a th¼ ta câ c°p bi¸n êi Fourier thuªn-ng÷ñc sau ¥y Z +∞ eist f (t)dt, −∞ Z +∞ 1 −1 e−ixs F (s)ds. f (x) = F {F (s)} = 2π −∞ F (s) = F{f (t)} = (1.4) (1.5) Bi¸n êi Fourier thuªn v  ng÷ñc ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng ùng bði c¡c cæng thùc (1.4) v  (1.5) công th÷íng ÷ñc sû döng. 9 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc • Tèng Thà Hçng Ngåc C¡c t½nh ch§t cõa bi¸n êi Fourier 1. N¸u f (x) kh£ t½ch tuy»t èi, th¼ F (s) bà ch°n, v¼ 1 |F (s)| ≤ √ 2π +∞ Z |f (x)|dx < +∞. −∞ T÷ìng tü, n¸u F (s) kh£ t½ch tuy»t èi, th¼ f (x) bà ch°n, v¼ 1 |f (x)| ≤ √ 2π Z +∞ |F (s)|ds < +∞. −∞ 2. Ph²p bi¸n êi Fourier F (s) li¶n töc ngay c£ khi f (x) ch¿ li¶n töc tøng khóc. Ngo i ra, n¸u F (s) tçn t¤i th¼ F (s) → 0 khi s → ±∞. 3. Thæng th÷íng, ta c¦n t½nh bi¸n êi Fourier cõa ¤o h m cõa f (t) theo bi¸n êi Fourier cõa f (t). Cæng thùc F{f (n) (t)} = (−is)n F (s) (1.6) óng d÷îi gi£ thi¸t c¦n l  f (n)(t) trìn tøng khóc v  kh£ t½ch tuy»t èi, ngo i c¡c gi£ thi¸t f (t), f 0(t), . . . , f (n−1)(t) li¶n töc måi nìi, bà tri»t ti¶u khi t → ±∞, v  kh£ t½ch tuy»t èi trong kho£ng (−∞, +∞). • T½ch chªp cõa bi¸n êi Fourier N¸u f (t) v  g(t) kh£ t½ch Riemann tr¶n måi kho£ng húu h¤n [a, b] v  |f (t − u)g(u)| kh£ t½ch Riemann vîi méi t ∈ (−∞, +∞), th¼ t½ch chªp Fourier cõa f (t) v  g(t) ÷ñc ành ngh¾a l  1 (f ∗ g)(t) = √ 2π Z +∞ f (t − u)g(u)du, −∞ hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, qua ph²p êi bi¸n, 1 (f ∗ g)(t) = √ 2π Z +∞ f (u)g(t − u)du. −∞ i·u ki»n kh£ t½ch ÷ñc thäa m¢n, v½ dö, n¸u f (t) v  g(t) kh£ t½ch 10 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc b¼nh ph÷ìng, v¼ ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz thu ÷ñc Z +∞ Z +∞ |f (t−u)g(u)|du ≤ −∞ 1/2 Z |f (u)| du +∞ 2 −∞ 1/2 . |g(u)| du 2 −∞ Bi¸n êi Fourier cüc ký húu ½ch khi gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà li¶n quan t½ch ph¥n kiºu t½ch chªp. º l m vªy, ta ph£i t½nh bi¸n êi Fourier cõa t½ch ph¥n chªp. °t F (s) = F{f (t)} v  G(s) = F{g(t)}. • H» thùc Parseval Ti¸p theo ành lþ t½ch chªp Fourier ph¡t biºu r¬ng F{(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s). (1.7) Nâ th÷íng ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng thay th¸ nh÷ sau Z +∞ −ist e Z +∞ f (u)g(t − u)du. F (s)G(s)ds = −∞ −∞ (1.8) Cö thº, n¸u t = 0 v  g(−u) = (f (u)), th¼ G(s) = F (s) v  Z +∞ Z 2 +∞ |F (s)| ds = −∞ −∞ |f (t)|2 dt. (1.9) H» thùc giúa f (t) v  ph²p bi¸n êi Fourier cõa nâ F (s) n y ÷ñc gåi l  h» thùc Parseval. Tø â suy ra f (t) l  kh£ t½ch b¼nh ph÷ìg khi v  ch¿ khi F (s) l  kh£ t½ch b¼nh ph÷ìng. • Bi¸n êi Fourier-sin v  Fourier-cosin N¸u f (t) x¡c ành v  ch¿ kh£ t½ch trong kho£ng [0, +∞), th¼ ph²p bi¸n êi Fourier cõa mð rëng èi xùng cõa nâ câ thº v¨n t½nh ÷ñc. Mð rëng ch®n cõa f (t) l¶n (−∞, +∞) ÷ñc ành ngh¾a b¬ng c¡ch °t fE (t) = f (|t|), v  mð rëng l´ cõa f (t) l¶n (−∞, +∞) ÷ñc ành ngh¾a b¬ng c¡ch °t fo(t) = signum(t)f (|t|), trong â signum(t) b¬ng +1 n¸u t d÷ìng v  -1 n¸u t ¥m. 11 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc N¸u f (t) ch®n, th¼ biºu di¹n t½ch ph¥n Fourier d¤ng ìn gi£n 2 f (x) = π ∞Z ∞ Z cos(xs) cos(st)f (t)dtds. 0 0 Bi¸n êi Fourier (1.2) trð th nh bi¸n êi Fourier theo h m cosin r Z ∞ 2 FC (s) = FC {f (t)} = cos(st)f (t)dt (s > 0) π 0 (1.10) v  F{f (t)} = FC {f (t)}. Bi¸n êi Fourier ng÷ñc (1.3) trð th nh bi¸n êi Fourier ng÷ñc theo h m cosin r Z ∞ 2 f (x) = FC−1 {FC (s)} = cos(xs)FC (s)ds (x > 0). π 0 (1.11) N¸u f (t) l´, th¼ biºu di¹n Fourier thøa nhªn d¤ng ìn gi£n 2 f (x) = π Z ∞Z ∞ sin(xs) sin(st)f (t)dtds. 0 0 Bi¸n êi Fourier (1.2) d¨n tîi bi¸n êi Fourier theo h m sin r Z ∞ 2 FS (s) = FS {f (t)} = sin(st)f (t)dt (s > 0) π 0 (1.12) v  F{f (t)} = iFS {f (t)}. Bi¸n êi Fourier ng÷ñc (1.3) d¨n tîi bi¸n êi Fourier ng÷ñc theo h m sin r Z ∞ 2 f (x) = FS−1 {FS (s)} = sin(xs)FC (s)ds (x > 0). π 0 (1.13) 1.4 Bi¸n êi Laplace • ành ngh¾a. Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi Laplace khæng ch¿ l  mët cæng cö cüc k¼ húu ½ch º gi£i nhúng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng ành ngh¾a 1.1. 12 Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc tuy¸n t½nh m  cán câ gi¡ trà t÷ìng èi trong vi»c gi£i nhúng ph÷ìng t½ch ph¥n Volterra tuy¸n t½nh cõa mët lo¤i nh§t ành. Cho f (t) x¡c ành tr¶n [0, ∞). Bi¸n êi Laplace cõa f (t) ÷ñc cho bði t½ch ph¥n suy rëng Z∞ F (s) := L{f(t)} = e−st f (t)dt = lim ZA A→∞ e−st f (t)dt. 0 0 T½ch ph¥n s³ tçn t¤i n¸u f (t) li¶n töc tøng m£nh tr¶n [0, A] vîi måi A v  câ c§p t«ng khæng qu¡ d¤ng mô. (Nh­c l¤i h m f (t) li¶n töc tøng m£nh tr¶n [0, A] n¸u nâ li¶n töc t¤i ngo¤i trø mët sè húu h¤n c¡c iºm gi¡n o¤n [0, A]). H m f (t) câ c§p t«ng d¤ng mô n¸u tçn t¤i c¡c h¬ng sè a, c v  m sao cho |f (t)| ≤ c.eat , vîi måi t ≥ m. C¡c v½ dö. º minh håa cho ành ngh¾a, x²t mët sè v½ dö sau ¥y. V½ dö 1.4.1. X²t h m sè ìn và Heaviside  0 n¸u t < 0, σ0 (t) = 1 n¸u t ≥ 0. Bi¸n êi Laplace cõa σ0 l  ∞ Z F (p) = e −pt 0 vîi Rep > 0 . V½ dö 1.4.2. t=∞ 1 −pt  1 d (t) = − e  = , p p t=0 Bi¸n êi Laplace cõa h m f (t) = eαt nh÷ sau Z F (p) = ∞ ∞ 1 1 (α−p)t  e , e dt =  = t=0 α−p α−p −pt αt e 0 vîi Re (p − α) > 0 . V½ dö 1.4.3. Bi¸n êi Laplace cõa h m f (t) = tn l  Z F (p) = 0 ∞ 1 e t dt = − p pt n 13 ∞ Z tn d e−pt 0
Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc   Z ∞ 1 n −pt ∞ = − t e −n tn−1 e−pt t=0 p 0 Z ∞ n tn−1 e−pt dt = p 0 n! = . . . = n+1 , Re p > 0. p V½ dö 1.4.4. α∈Q Ta câ . T¼m bi¸n êi Laplace cõa h m f (t) = tα, α > 1, ∞ ∞ uα du e t dt = e−u α p p 0 0 Z ∞ 1 Γ (α + 1) = α+1 , e−u uα du = p pα+1 0 Z −pt α F (p) = L{tn } = n! sn+1 , Z L{eat } = 1 , s−a L{sin(at)} = s2 a . + a2 Bi¸n êi Laplace cõa c¡c ¤o h m f (n)(t) cõa f (t) câ thº ÷ñc biºu thà trong nhúng sè h¤ng cõa bi¸n êi Laplace cõa f (t). Cæng thùc ch½nh x¡c l  L{f (n) n (t)} =s L{f(t)}− n−1 X f (m) (0)sn−1−m . m=0 Thüc t¸ n y l  lþ do bi¸n êi Laplace câ thº ÷ñc dòng º gi£i nhúng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng. C¡c t½nh ch§t cõa bi¸n êi Laplace T½nh ch§t 1.4.1. Cho c¡c h m gèc fk câ c¡c ch¿ sè t«ng l  λk , bi¸n êi Laplace l  Fk , k = 1, 2, ..., n. Khi â bi¸n êi Laplace cõa h m tê hñp tuy¸n t½nh f cõa c¡c h m fk f (t) = n X k=1 14 ck fk (t) , Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc ck l  Tèng Thà Hçng Ngåc h¬ng sè, l  h m F ành bði F (p) = n X (1.14) ck Fk (p). k=1 Vîi mi·n x¡c ành Re p > max αk . Chùng minh. Suy ra tø ành ngh¾a v  t½nh ch§t tuy¸n t½nh cõa t½ch ph¥n. V½ dö 1.4.5. Trong möc tr÷îc, ta câ   L eαt = 1 , Re (p − α) > 0. p−α ¯ng thùc tr¶n l  vi¸t t­t, vi¸t ch°t ch³ l  L [t 7→ eαt] = p 7→ p −1 α . Nh÷ng n¸u khæng nh¦m l¨n, sau n y ta s³ vi¸t d¤ng t­t cho thuªn ti»n. Tø t½nh ch§t 1 v  k¸t qu£ nâi tr¶n, ta s³ t¼m bi¸n êi Laplace cõa c¡c h m thæng döng  sau ¥y   
1 iβt 1 1 1 (a) L [cos βt] = L 2 e + e−iβt = 2 p − iβ + p + iβ Vªy p L [cos βt] = p2 + β 2 , Re p > |Imβ| . (b) T÷ìng tü, ta câ L [sin βt] = β , Re p > |Imβ| . p2 + β 2 (c)  
1 βt p −βt L [cosh βt] = L e +e = 2 , 2 p − β2 Rep > |Re β| . (d)  
1 βt β −βt L [sinh βt] = L e −e = 2 , 2 p − β2 15 Re p > |Re β| . Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc T½nh ch§t 1.4.2. Cho h m gèc f v  c > 0 l  h¬ng sè. Khi â câ ch¿ sè t«ng l  λ0, L [f ] = F (p), 1 p L [t → f (ct)] = p → F , Re p > cα0 . c c (1.15) Chùng minh. Z∞ L [f (ct)] = 1 e−pt f (ct) dt = c 0 Z∞ −pu/c e 1 p f (u) du = F . c c 0 Cho L [f (t)] = F (p) , Re p > a0. °t  0 n¸u t < τ , fτ (t) = f (t − τ ) n¸u t ≥ τ . T½nh ch§t 1.4.3. Khi â L (fτ ) = p 7→ e−pτ F (p) , Re p > α0 . (1.16) Chùng minh. Z∞ L [fτ ] (p) = 0 Z∞ = e−pt fτ (t) dt = Z∞ e−pt f (t − τ ) τ f (u) e−p(u+τ ) du = e−pτ F (p) . 0 T½nh ch§t 1.4.4. Cho L (f ) = F , f sè. Khi â câ ch¿ sè t«ng l  α0, λ l  h¬ng   L eλt f (t) = F (p − λ) , Re p > α0 + Re λ. Chùng minh. Ta câ   L eλt f (t) = Z∞ e(λ−p)t f (t) = F (p − λ) . 0 16 (1.17) Luªn v«n Th¤c s¾ to¡n håc Tèng Thà Hçng Ngåc Tø t½nh ch§t 1.4.4 v  c¡c v½ dö tr÷îc, ta s³ t¼m bi¸n êi Laplace cõa mët v i h m thæng döng sau ¥y (e) V½ dö 1.4.6.   L eλt cosβt = p−λ , (p − λ)2 + β 2 Re p > |Imβ| + Re λ.   L eλt sin βt = β , (p − λ)2 + β 2 Re p > |Imβ| + Re λ. (f) (g)   L eλt tn = n! , (p − λ)n+1 Re p > Re λ. Cho L (f ) = F . Gi£ sû f (k) tçn t¤i v  l  h m gèc, f (k−1) (0+) tçn t¤i, ∀k = 1, n , th¼ ta câ T½nh ch§t 1.4.5.  L f (n)  =p n   f (0+ ) f + (0+ ) f (n − 1) (0+ ) F (p) − − −···− . p p2 pn (1.18) Chùng minh. Sû döng cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n, ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc (1.18) óng vîi n = 1. Gi£ sû qui n¤p r¬ng (1.18) óng vîi n = 1, N . Khi â  L f (N +1)   0 (N )  = L (f )   00 + (n+1) + 0 + f (0 ) f (0 ) f (0 ) = pN L [f 0 ] (p) − − −··· p p2 pn v 
L [f 0 ] = pF (p) − f 0+ , suy ra h L f (N +1) i =p N +1   f (0+ ) f (0+ ) f (N ) (0+ ) F (p) − − − · · · N +1 . p p2 p 17