Tài liệu MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------------------------ NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------------------------ NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn 2. PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn HÀ NỘI - 2012 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 LỚP NGHIỆM N -SOLITON KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN 17 1.1 Phương trình Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . . 18 1.1.2 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ Mj (x, t) . 27 1.1.3 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries trên nửa trục . . . . . . . . 37 1.1.4 Các ví dụ về nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries trên nửa trục . . . 40 1.2 Phương trình Schrödinger phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 46 1.2.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . . 47 1.2.2 Biểu diễn của các hàm F (x, t) và G(x, t) . . . . . . 58 1.2.3 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ pj (x, t) . 64 1.2.4 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Schrödinger phi tuyến trên nửa trục . . . . . 71 1.2.5 Các ví dụ về nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Schrödinger phi tuyến trên nửa trục . 76 2 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHÔNG GIAN 81 iv 2.1 2.2 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp . 2.1.2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Hệ phương trình điều kiện chính tắc . . . . . . . . Các lớp nghiệm tường minh của phương trình mKdV-sG . 2.2.1 Ma trận Γm là ma trận đường chéo thực . . . . . . 2.2.2 Ma trận Γm là một khối Jordan thực cấp m . . . . 2.2.3 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp hai 2.2.4 Ma trận Γ được xây dựng từ các khối Jordan dạng thực cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp 2n 82 83 86 96 98 99 105 112 117 123 Kết luận và kiến nghị 132 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 133 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Tài liệu tham khảo 135 v Bảng ký hiệu Đơn vị ảo. i2 = −1 Phần ảo của số phức ρ Liên hợp của số phức a Tập hợp các số thực Tập hợp các số phức Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông A det A Định thức của ma trận A W (φ) Định thức Wronskian theo biến x (cấp N ) có cột đầu tiên là φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T L(t) Toán tử Schrödinger phụ thuộc tham số vào biến t D(t) Toán tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t S(t) Tập dữ liệu tán xạ của toán tử Schrödinger L(t) hoặc tập dữ liệu tán xạ của toán tử Dirac D(t) ACloc [0, ∞) Không gian các hàm số liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞) 2 ACloc ([0, ∞), C ) Không gian các hàm véc tơ hai chiều liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞) 2 L (0, ∞) Không gian các hàm khả tích bậc hai trên (0, ∞) 2 2 L ((0, ∞), C ) Không gian các hàm véc tơ hai chiều khả tích bậc hai trên (0, ∞) signσ Dấu của phép thế σ.  Res  Thặng dư tại điểm ρj i Im ρ ā R C tr A ρ=ρj X1 X2 m Y   Tập hợp (ε1 , ε2 , . . . , εm ) εj = ±1, εj = 1    Tập hợp (ε1 , ε2 , . . . , εm )  εj = ±1, j=1 m Y j=1 vi εj = −1 MỞ ĐẦU Trong các phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng có một nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trình soliton. Về nguồn gốc vật lý, các phương trình này được dẫn ra từ một loạt bài toán thuộc nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến, vật lý plasma và lý thuyết dây ([3, 20, 39]). Mỗi phương trình thuộc nhóm này đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt được xác định tường minh và các nghiệm đó mô tả sự lan truyền, tương tác phi tuyến của những sóng đơn có tốc độ, biên độ không đổi. Tốc độ và biên độ của chúng được bảo toàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác. Với đặc tính vật lý như vậy các sóng này được gọi là các soliton. Thuật ngữ soliton được sử dụng lần đầu tiên bởi V. E. Zabusky và M. D. Kruskal năm 1965 trong một công trình nghiên cứu của hai ông về bài toán Fermi-Pasta-Ulam và phương trình Korteweg-de Vries trong Vật lý plasma ([42]). Trước đó, sóng soliton được quan sát lần đầu tiên trong thực tế bởi J. S. Russell vào năm 1834 dưới dạng một sóng nước xuất hiện và lan truyền trên một kênh nước nông ở Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]). Trong các phương trình soliton mô tả quá trình lan truyền sóng trong một chiều không gian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau đây: Phương trình Korteweg-de Vries là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến ut + 6uux + uxxx = 0, (1) trong đó u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 là ẩn hàm phải tìm, ut , ux . . . là ký hiệu các đạo hàm riêng của u. Biến x là biến không gian, biến t là biến thời gian. Phương trình Korteweg-de Vries được dẫn ra năm 1895 từ nghiên cứu của D. J. Korteweg và một học trò của ông là G. de Vries về quá trình lan truyền của sóng nước nông trên kênh hẹp có đáy phẳng; 1 Phương trình Schrödinger phi tuyến là phương trình iut = uxx + 2|u|2 u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 . (2) Phương trình Schrödinger phi tuyến được dẫn ra từ bài toán truyền sóng quang học; Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng là phương trình ut + 6u2 ux + uxxx = 0, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 . (3) Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (modified Korteweg-de Vries equation - viết tắt: mKdV) được dẫn ra bởi R. G. Miura trong bài báo mở đầu cho một chuỗi các nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries và các mở rộng ([32]). Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽ với phương trình (1). Thật vậy nếu v(x, t) là nghiệm của (3) thì u(x, t) = v(x, t) ± vx (x, t) là nghiệm của (1) ([3, 32]); Phương trình sine-Gordon là phương trình uxt = sin u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 . (4) Phương trình sine-Gordon xuất hiện khá sớm từ đầu thế kỷ 19 và ban đầu nó được đưa ra trong các nghiên cứu về các mặt giả cầu trong hình học vi phân (xem [38]). Trong Vật lý người ta cũng dẫn ra các phương trình soliton mô tả quá trình truyền sóng trong hai hoặc ba chiều không gian (xem [4, 20]). Tuy nhiên trong khuôn khổ các kết quả nghiên cứu của Luận án chúng tôi không đề cập đến các phương trình này. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU Có nhiều phương pháp toán học đã được sử dụng để nghiên cứu các phương trình soliton. Hai phương pháp trong số đó có liên quan mật thiết và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toán tán xạ ngược và kỹ thuật Wronskian. Phương pháp bài toán tán xạ ngược là phương pháp giải bài toán Cauchy trên toàn trục không gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trình soliton trong lớp các hàm giảm nhanh. Phương pháp này được hình thành từ một chuỗi bài báo với khởi đầu là kết quả trên phương trình truyền sóng nước nông Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45]). 2 Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phương trình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng của các toán tử tuyến tính Schrödinger và toán tử Dirac, mà là các toán tử vi phân theo biến x, trong đó t đóng vai trò là tham số. Từ đó sử dụng các kết quả đã biết của bài toán tán xạ đối với các toán tử này chúng ta xây dựng được lời giải của bài toán Cauchy. Lời giải của bài toán Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries cụ thể như sau. Chúng ta xét toán tử Schrödinger d2 L(t)y = 2 y + u(x, t)y, dx (5) với biến thời gian t được coi là một tham số tự do. Theo kết quả của bài toán tán xạ thuận, từ thế vị u(x, t) nào đấy là hàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, chúng ta xác định được một tập hợp có dạng  S(t) = r(t, k), k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ; C1 (t), C2 (t), . . . , CN (t) . (7) với κj > 0, Cj (t) > 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N . Tập S(t) được gọi là tập dữ liệu tán xạ của toán tử L(t). Toán tử L(t) chỉ có các giá trị riêng đơn là −κ21 , −κ22 , . . . , −κ2N (Chúng ta xét bài toán trong lớp đẳng phổ, tức là trường hợp các giá trị riêng của toán tử không phụ thuộc vào biến t). Các giá trị Cj (t) là giá trị liên quan tới chuẩn của hàm riêng tương ứng với giá trị riêng −κ2j , j = 1, 2, . . . , N . Thành phần còn lại của tập dữ liệu tán xạ là hàm r(t, k) được gọi là hệ số phản xạ của toán tử. Có thể tham khảo các mô tả chi tiết hơn về tập dữ liệu tán xạ S(t) trong các tài liệu [3, 5, 7, 13, 39, 46]. Đảo lại, từ một tập hợp S(t) nào đấy có cấu trúc như (7), bài toán tán xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ để xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) nhận được vào toán tử Schrödinger (5) thì dữ liệu tán xạ của toán tử đó lại chính là S(t) (xem [3, 5, 7, 46]). Khâu then chốt trong bài toán ngược là việc giải một phương trình tích phân kỳ dị có tên là phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko. Sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các không gian hàm được sử dụng trong bài toán tán xạ. Tuy nhiên việc tính tường minh nghiệm của phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko mới chỉ thực hiện được trong một vài tình huống. Trong số các tình huống này có một trường hợp đặc biệt là tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = 0 với mọi 3 k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t). Thế vị u(x, t) được tính ra theo bài toán tán xạ ngược trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ. Thế vị không phản xạ của toán tử Schrödinger (5) có biểu diễn như sau (xem [11] và [3, 46]): ∂2 u(x, t) = 2 2 ln det(I + A(x, t)), ∂x (8) ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các phần tử là Cj (t)Cn (t)e−(κj +κn )x Ajn = . (9) κj + κn Đến đây, khi thế vào (5), hàm u(x, t) nói trên mà là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries (1) thì người ta sẽ nhận được quy luật tiến hóa theo biến thời gian t tập dữ liệu tán xạ S(t). Từ đó, lời giải bài toán Cauchy trong lớp thế vị không phản xạ được xây dựng theo quy trình gồm ba bước như sau: Bước 1, tính toán tập dữ liệu tán xạ ứng với t = 0 từ giá trị ban đầu u(x, 0) mà thuộc lớp thế vị không phản xạ. Kết quả ta nhận được tập hợp  S(0) = r(0, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ; C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) . (10) Bước 2, xây dựng phương trình tiến hóa để tính toán dữ liệu tán xạ S(t). Nếu u(x, t) được xác định bởi (8) là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries (1) thì người ta đã chứng minh rằng: dữ liệu tán xạ S(t) có quy luật tiến hóa như sau  S(t) = r(t, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , . . . , iκN ; 3 3 3 C1 (0)e−4κ1 t , C2 (0)e−4κ2 t , . . . , CN (0)e−4κN t , (11) trong đó, C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) là các số thực dương nào đó. Bước 3, phục hồi lại hàm u(x, t) bởi công thức (8) từ dữ liệu tán xạ S(t) trong (11). Hàm u(x, t) nhận được là nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Lớp nghiệm này mô tả sự lan truyền và tương tác của N sóng nước đơn độc và được gọi là nghiệm N solion không phản xạ của phương trình (1). Chúng ta có nhận xét rằng lớp nghiệm này nhận giá trị thực. Sơ đồ giải bài toán Cauchy cho phương trình Schrödinger phi tuyến (2) là hoàn toàn tương tự. 4 Chúng ta xét toán tử Dirac     −1 0 d 0 −iu(x, t) D(t) = −i + , 0 1 dx −iū(x, t) 0 (12) với thế vị u(x, t) là hàm số nhận giá trị phức và thuộc lớp hàm giảm nhanh, biến thời gian t được coi là một tham số tự do. Đối với toán tử Dirac có thế vị giảm nhanh, kết quả của bài toán tán xạ thuận là tập dữ liệu tán xạ S(t) = {b(t, k), b(t, k), k ∈ R; λj , λj , Cj (t), Cj (t), j = 1, 2, . . . , N }, (13) trong đó các đại lượng λj , j = 1, 2, . . . , N nằm trên nửa mặt phẳng trên của mặt phẳng phức (Im λj > 0) và chúng tạo thành phổ rời rạc của toán tử D(t) ([46]). Các đại lượng Cj (t), j = 1, 2, . . . , N là đại lượng liên quan đến chuẩn của hàm riêng ứng với phổ rời rạc. Đặc tính của tập dữ liệu tán xạ S(t) trong (13) đã được mô tả chi tiết trong các tài liệu [3, 7, 46]. Từ một tập hợp S(t) có cấu trúc như (13), bài toán tán xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) này vào (12) thì tập dữ liệu tán xạ của toán tử D(t) lại chính là S(t). Khi b(t, k) = 0 với mọi k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t), thì bài toán tán xạ ngược cũng giải được tường minh và thế vị u(x, t) nhận được trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ. Hơn nữa, thế vị không phản xạ của toán tử Dirac có biểu diễn là u(x, t) = ∂2 ln det(I + A(x, t)A(x, t)), ∂x2 (14) ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các phần tử là Cn (t)e−2iλn x . (15) Ajn = λj − λn Bài toán Cauchy đối với phương trình (2) được giải theo một sơ đồ hoàn toàn giống như đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Kết quả tính toán về tiến hóa của dữ liệu tán xạ đối với một thế vị không phản xạ u(x, t) mà là nghiệm của phương trình (2) là: S(t) ={b(t, k) ≡ 0, b(t, k) ≡ 0, k ∈ R; λj , λj , 2 2 Cj (0)e4iλj t , Cj (0)e−4iλj t , j = 1, 2, . . . , N }, 5 (16) trong đó, C1 (0), C2 (0), . . . , CN (0) là các số phức nào đó. Thế Cj (t) từ (16) vào (14) ta thu được một lớp nghiệm tường minh của phương trình Schrödinger phi tuyến (2). Lớp nghiệm này mô tả sự lan truyền và tương tác của N sóng soliton đơn và được gọi là nghiệm N -soliton không phản xạ của phương trình Schrödinger phi tuyến. Trên nửa trục, chúng ta cũng có các bài toán biên-giá trị ban đầu đối với các phương trình soliton ([9], [14]-[17], [40, 41]). Một vấn đề được đặt ra là có thể sử dụng được hay không phương pháp bài toán tán xạ ngược để giải bài toán nêu trên. Cấu trúc của dữ liệu tán xạ của các toán tử Schrödinger và Dirac trên nửa trục x > 0 sẽ được mô tả tương ứng trong các Tiểu mục 1.1.1 và 1.2.1 dưới đây. Yếu tố then chốt của việc sử dụng kết quả của bài toán tán xạ để nghiên cứu phương trình soliton chính là việc xây dựng được quy luật tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ theo thời gian. Kết quả về quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ của bài toán toàn trục được đưa ra trên cơ sở tính giảm nhanh của u(x, t) khi x −→ ±∞. Khi chuyển về xét bài toán nửa trục các kết quả của toàn trục nhận được khi cho x −→ −∞ không còn hiệu lực nữa. Việc sử dụng điểm x = 0 cho thấy trong phương trình tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ chứa các đại lượng u(0, t), ux (0, t) hoặc cả uxx (0, t). Việc cho biết toàn bộ các giá trị này sẽ làm bài toán biên-giá trị ban đầu trở thành quá xác định. Ở một cách nhìn khác, chúng ta cần đưa ra cách tính ux (0, t) hoặc uxx (0, t), ... theo các giá trị u(x, 0) và u(0, t) và đây là một bài toán khó (xem [9], [14]-[17]). P. L. Vu đã đưa ra một phương án trong hai bài báo [40, 41] và giải được bài toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục trong một trường hợp đặc biệt. Trong phương án này ông đã đưa ra thêm một điều kiện đủ có tính kỹ thuật để tính toán tiến hóa của dữ liệu tán xạ. Để minh họa cho kết quả nhận được, trong hai bài báo đó P. L. Vu đã đưa ra lớp thế vị không tán xạ (lớp tương tự với thế vị không phản xạ) và lấy ví dụ về nghiệm của phương trình soliton trong lớp hàm này. Lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schrödinger trên nửa trục được P. L. Vu xây dựng trong bài báo [41] là lớp hàm số sau đây u(x, t) = 2 ∂2 ln(det B(x, t)), ∂x2 (17) ở đây, ma trận B(x, t) = I + A(x, t) vuông cấp N và A(x, t) có các phần 6 tử là Z∞ Ajn = Mj (x + ξ, t)ei(ρj +ρn )ξ dξ, j, n = 1, 2, . . . , N. (18) x Thêm nữa, trong công thức (18), các đại lượng ρ1 , ρ2 , . . . , ρN là N số phức (cho trước) nằm trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0, các đại lượng M1 (x, t), M2 (x, t), . . . , MN (x, t) là N đa thức của biến không gian x và các hệ số của đa thức phụ thuộc tự do vào biến thời gian t. Các đa thức Mj (x, t), j = 1, 2, . . . , N được gọi là các đa thức chuẩn ([24, 41]). Trong bài báo [41], P. L. Vu mới chỉ xây dựng hai ví dụ về nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries ứng với N = 1 và N = 2 và các đa thức M1 (x, t), M2 (x, t) chỉ được xét với giả thiết chúng là các đa thức có bậc 0 theo x. Vấn đề còn tồn tại đối với thế vị không tán xạ (17) là việc tìm quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn M1 (x, t), M2 (x, t), . . . , MN (x, t) (mà không ràng buộc gì về bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries (1). Lớp thế vị không tán xạ trên nửa trục của toán tử Dirac mà liên kết với nghiệm của phương trình (2) được P. L. Vu đưa ra trong [40] là lớp hàm số có dạng như sau: u(x, t) = G(x, t) . F (x, t) (19) Trong (19) hàm F (x, t) là định thức của ma trận A kích thước 2N × 2N : ! I M F (x, t) = det A = det f , (20) M I  N  N 1 1 (kl +kj+N )x (kj +kl+N )x f 2 2 M = − Mlj (x, t)e , M = M lj (x, t)e , l,j=1 1 Mlj (x, t)e 2 (kl +kj+N )x = Z∞ l,j=1 1 pl (x + ξ, t)e 2 (kl +kj+N )ξ dξ, (21) x − với I là ma trận đơn vị cấp N và kj = 2iλ+ j , kj+N = −2iλj . Thêm nữa, − − + λ+ j , λj , j = 1, 2, . . . , N là N cặp số phức liên hợp với nhau (λj = λj ) và Im λ+ j > 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N . Các đại lượng p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t) là N đa thức đối với biến không gian x với các hệ số phụ thuộc tự do vào biến thời gian t. Chúng ta gọi các đa thức p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t) là các đa thức chuẩn của toán tử Dirac ([37, 40]). 7 Tiếp theo trong (19), hàm G(x, t) xác định bởi G(x, t) = −2 N  X (j+N ) det A  1 e 2 kj+N x , (22) j=1 trong đó A(j+N ) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j + N bởi cột  T 1 1 1 k1+N x k2+N x k2N x 2 2 2 0, 0, . . . 0, −p̄1 (2x, t)e , −p̄2 (2x, t)e , . . . , −p̄N (2x, t)e . Trong bài báo [40], P. L. Vu cũng chỉ mới đưa ra một ví dụ ứng với N = 1 và chỉ xét đa thức p1 (x, t) trong trường hợp nó có bậc 0 theo x. Do đó, vấn đề còn tồn tại đối với thế vị không tán xạ (19) là việc tìm quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn p1 (x, t), p2 (x, t), . . . , pN (x, t) (mà không ràng buộc gì về bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến (2). Tiếp theo, chúng tôi tổng quan một vấn đề có liên quan đến nội dung nghiên cứu khác của Luận án. Năm 1979, J. Satsuma đã biểu diễn được một lớp nghiệm N -soliton của phương trình Korteweg-de Vries dưới dạng một định thức Wronskian. Để mô tả cụ thể hơn, chúng ta xét định thức Wronskian    φ1 φ1,x . . . φ(N −1)  1   (N −1)  φ φ  2  2,x . . . φ2 . (23) f (x, t) =  . . . . .. .. ..   ..   (N −1)  φ φ ... φ N N,x N Để thuận tiện chúng ta gọi các phần tử φ1 (x, t), φ2 (x, t), . . . , φN (x, t) trên cột thứ nhất là các phần tử sinh của định thức Wronskian (23). Các phần tử còn lại của định thức Wronskian là các đạo hàm riêng theo biến x của (l) ∂lφ phần tử sinh (φj = ∂xlj ). Đối với phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3), N. C. Freeman và J. J. C. Nimmo đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là ([33]) 3 3 φj (x, t) = (1 − i)Cj1 ekj x−4kj t + (1 + i)Cj2 e−kj x+4kj t , j = 1, 2, . . . , N, (24) trong đó, i2 = −1 và kj , Cj1 , Cj2 , j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với định thức Wronskian f (x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (24) thì 8 hàm số u(x, t) = i ∂ f (x, t) ln ∂x f (x, t) chính là nghiệm N -soliton của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3) (Ở đây, hàm f (x, t) là liên hợp phức của hàm f (x, t)). Đối với phương trình sine-Gordon (4), N. C. Freeman và J. J. C. Nimmo đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là ([33]) kj x− 4k1 t φj (x, t) = Cj1 e j −kj x+ 4k1 t + iCj2 e j , j = 1, 2, . . . , N, (25) trong đó, kj , Cj1 , Cj2 , j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với định thức Wronskian f (x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (25) thì hàm số u(x, t) = 2i ln f (x, t) f (x, t) chính là nghiệm N -soliton của phương trình sine-Gordon (4). Điểm then chốt trong chứng minh chính là các hàm sinh φj được sử dụng như nghiệm của một hệ quá xác định và khá đặc biệt các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất sau đây: φjx = kj φj , (26a) φjt = −4αφjxxx + β φj , 4kj (26b) trong đó, phương trình (3) ứng với trường hợp α = 1, β = 0 và phương trình (4) ứng với trường hợp α = 0, β = 1. Để thuận tiện, hệ phương trình như vậy đối với các phần tử sinh của định thức Wronskian được gọi là hệ phương trình điều kiện. Cách xây dựng nghiệm tường minh theo phương án này được gọi là kỹ thuật Wronskian và nó đã được sử dụng cho khá nhiều phương trình soliton ([6, 8, 19], [23], [33]-[36], [47]-[51]). Chúng ta gọi các nghiệm của phương trình soliton được xây dựng từ các định thức Wronskian là nghiệm Wronskian. Sau một chuỗi nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries ([25]-[29]),W. X. Ma đã liên tục mở rộng các lớp nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries bằng cách thay đổi hệ phương trình điều kiện đối với định thức Wronskian. Tuy vậy, việc mở rộng này mới chỉ được thực hiện với phương trình Korteweg-de Vries, Boussinesq và hệ phương trình lưới của Toda ([23], [25]-[29], [50]). Do đó, việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để tính toán các nghiệm 9 Wronskian tường minh mới của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3) và của phương trình sine-Gordon (4) là một việc cần thiết và có ý nghĩa. Từ sự tương đồng trong việc sử dụng kỹ thuật Wronskian trên hai phương trình (3), (4), năm 2003 D. J. Zhang đã xét phương trình truyền sóng phi tuyến sau đây 3  2 uxt + α ux uxx + uxxxx = β sin u, α, β ∈ R. (27) 2 Phương trình (28) chứa cả hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3) và phương trình sine-Gordon (4) như hai trường hợp riêng. Rõ hơn, khi α = 1, β = 0 phương trình (27) sẽ là 3 uxt + u2x uxx + uxxxx = 0 2 mà được đưa về phương trình (3) bằng cách đặt v(x, t) = 12 ux (x, t). Khi α = 0, β = 1 phương trình (27) sẽ chính là phương trình (4). Vì thế, phương trình (27) được gọi là phương trình hỗn hợp Korteweg-de Vries biến dạng và sine-Gordon, viết tắt là phương trình mKdV-sG ([38, 49]). Để xây dựng nghiệm Wronskian cho phương trình (27), D. J. Zhang đã đưa ra hệ phương trình điều kiện dạng đơn giản như sau φjx = kj φj , (28a) φjt = −4αφjxxx + β φj . 4kj (28b) Việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để xây dựng các lớp nghiệm Wronskian mới cho hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng và sineGordon là một công việc vẫn chưa được thực hiện. Chúng ta thấy rằng, công việc này có thể thực hiện theo phương án mở rộng hệ phương trình điều kiện (28a), (28b) để xây dựng nghiệm của phương trình hỗn hợp mKdV-sG (27) và đây là một tồn tại cần giải quyết. Nếu đưa ra được các lớp nghiệm mới của phương trình hỗn hợp mKdV-sG (27) thì chúng ta cũng nhận được các lớp nghiệm của hai phương trình riêng rẽ Korteweg-de Vries biến dạng (3) và sine-Gordon (4). NỘI DUNG VÀ MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Luận án bao gồm hai nội dung nghiên cứu chính. Nội dung thứ nhất là khảo sát hai lớp thế vị không tán xạ (17) và (19) để đưa ra từ hai lớp này 10 các nghiệm N -soliton tường minh tương ứng của phương trình Kortewegde Vries (1) và phương trình Schrödinger phi tuyến (2). Nội dung thứ hai là xây dựng nghiệm tường minh của các phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3) và sine-Gordon (4) theo kỹ thuật Wronskian. Tuy nhiên, do các tính toán chi tiết đối với cả hai phương trình (3) và (4) có nhiều tương đồng nên chúng tôi gộp chúng thành việc xây dựng nghiệm cho phương trình hỗn hợp mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian. Trong nội dung nghiên cứu thứ nhất, mục tiêu của chúng tôi là xác định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn Mj (x, t) trong (18) sao cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries (1). Tiếp theo là xác định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn pj (x, t) trong (21) sao cho thế vị không tán xạ (19) là nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến (2). Sau đó, với quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn, chúng tôi sẽ tìm nghiệm N -soliton tường minh tương ứng của phương trình Korteweg-de Vries và phương trình Schrödinger phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ. Trong nội dung nghiên cứu thứ hai, mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là xây dựng hệ phương trình điều kiện đối với các phần tử sinh của định thức Wronskian, để từ đó xây dựng nghiệm Wronskian tường minh mới cho phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện được chúng tôi đưa ra là mở rộng đáng kể so với hệ đơn giản (28a), (28b) của D. J. Zhang ([49]). CÁCH TIẾP CẬN MỤC TIÊU VÀ CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA LUẬN ÁN Mục tiêu thứ nhất của Luận án là tìm quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn Mj (x, t) và pj (x, t) tương ứng với các toán tử Schrödinger và Dirac trên nửa trục x > 0. Việc tìm nghiệm trên nửa trục x > 0 của phương trình Korteweg-de Vries trong lớp thế vị không tán xạ (17), (18) được xét trong hai trường hợp N = 1 và N ≥ 2. Trường hợp N = 1 đã được chúng tôi giải quyết triệt để. Chúng tôi xây dựng điều kiện cần và đủ đối với đa thức chuẩn M1 (x, t) để thế vị không tán xạ (17) cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả nhận được là đa thức M1 (x, t) có quy luật tiến hóa: nó là đa thức bậc không theo biến x và phụ thuộc vào t như sau 3 M1 = −kCe−k t , k = 2iρ1 , 11 (29) với C là hằng số phức nào đó. Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý được chúng tôi giải quyết trên cơ sở đưa thêm vào một giả thiết có tính kỹ thuật (Giả thiết (1.1.42), trang 34). Kết quả nhận được là tương tự với trường hợp N = 1, các đa chuẩn Mj (x, t) có quy luật tiến hóa: chúng là các đa thức bậc 0 theo x và phụ thuộc vào t như sau 3 Mj = −kj Cj e−kj t , kj = 2iρj , (30) với Cj là hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N ). Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp nghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (1) được mô tả trong Định lý 1.1.5. Tương tự, việc tìm nghiệm phương trình Schrödinger phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ (19) − (22) cũng được chia thành hai trường hợp N = 1 và N ≥ 2. Trường hợp N = 1 chúng tôi tìm được quy luật tiến hóa đối với đa thức chuẩn p1 (x, t) là 2 p1 = Ceik1 t , k1 = 2iλ+ 1, (31) với C là hằng số phức nào đó. Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý, chúng tôi đưa vào một giả thiết kỹ thuật đối với các số phức λ+ j (Giả thiết (1.2.51), trang 67) và chứng minh được rằng các đa thức chuẩn pj (x, t) có quy luật tiến hóa: chúng là các đa thức bậc 0 theo x và phụ thuộc vào t theo công thức 2 pj = Cj eikj t , kj = 2iλ+ j , (32) với Cj là các hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N ). Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp nghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (2) được mô tả trong Định lý 1.2.5. Mục tiêu thứ hai của Luận án là tìm nghiệm tường minh cho phương trình mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian. Trong bài báo [49], D. J. Zhang đã chứng minh rằng nếu các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là nghiệm của hệ phương trình (28a), (28b) thì hàm số u(x, t) được xây dựng theo công thức sau f¯(x, t) u(x, t) = 2i ln , f (x, t) 12 (33) là một nghiệm của phương trình mKdV-sG ([33, 49]). Để mở rộng lớp nghiệm Wronskian nói trên, chúng tôi xét véc tơ hàm φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát hơn sau đây φx = Aφ̄, (34a) β φt = −4αφxxx + A−1 φ̄ + Bφ. 4 (34b) trong đó A(t) = (ajl (t))N ×N , B(t) = (bjl (t))N ×N là các ma trận thực chỉ phụ thuộc biến t sao cho A(t) là không suy biến và At + AB − BA = 0. Chúng tôi chứng minh được rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33) thông qua giá trị f (x, t) của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của phương trình (27), nếu chúng ta lấy các phần tử sinh φ = (φ1 , φ2 , . . . , φN )T là nghiệm của (34a), (34b). Tiếp theo, chúng tôi đưa hệ phương trình (34a), (34b) về dạng chính tắc trong đó ma trận A là ma trận dạng Jordan thực và B là ma trận không. Hệ chính tắc sau đó được phân rã thành các hệ con độc lập. Nghiệm tổng quát của từng hệ con được mô tả một cách đầy đủ và tạo thành một không gian tuyến tính hữu hạn chiều trên R. Từ đó chúng tôi tính được các lớp nghiệm Wronskian tường minh mới cho phương trình mKdV-sG (27). CẤU TRÚC LUẬN ÁN Bên cạnh các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được cấu trúc bởi hai chương chính: Chương 1: Trình bày các kết quả về nghiệm không tán xạ của hai phương trình Korteweg-de Vries và Schrödinger phi tuyến trên nửa trục không gian. Chương này được chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 1.1 và 1.2. Các kiến thức chuẩn bị của chương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểu mục 1.1.1 và 1.2.1. Nội dung của của hai tiểu mục này là những mô tả vắn tắt về cặp bài toán tán xạ thuận và ngược trên nửa trục của toán tử Schrödinger, toán tử Dirac và mô tả lớp thế vị không tán xạ của hai toán tử này. Mục 1.1 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schrödinger. Sau các nội dung của Tiểu mục 1.1.1, trong Tiểu mục 1.1.2 chúng tôi trình bày hai 13 định lý chính là Định lý 1.1.3 và Định lý 1.1.4. Định lý 1.1.3 phân tích thế vị không tán xạ (17) tương ứng với số lượng giá trị kỳ dị là N = 1. Kết quả định lý này là quy luật tiến hóa đối với đa thức M1 (x, t) mà nó được chỉ ra là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả đó cụ thể là M1 (x, t) phải có bậc 0 đối với x và phụ thuộc vào t theo công thức (29). Định lý 1.1.4 đưa ra điều kiện cần cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries khi số lượng giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N giá trị kỳ dị này tuân theo Giả thiết (1.1.42). Điều kiện nhận được là quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn Mj (x, t) và nó được mô tả trong (30). Trong Tiểu mục 1.1.3 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định lý 1.1.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định lý 1.1.5. Tiểu mục 1.1.4 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries nhận được từ hai Định lý 1.1.3 và 1.1.5. Mục 1.2 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Dirac. Sau các nội dung của Tiểu mục 1.2.1, trong Tiểu mục 1.2.2, chúng tôi đưa ra các công thức biểu diễn hàm F (x, t) trong (20) và G(x, t) trong (22) theo các hàm số mũ của biến x. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi chỉ ra rằng, khi số cặp giá trị kỳ dị là N = 1 thì điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (19) là nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến là đa thức chuẩn p1 (x, t) phải tiến hóa theo công thức (31). Kết quả này được phát biểu và chứng minh trong Định lý 1.2.3. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi cũng xét trường hợp số cặp giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N cặp giá trị kỳ dị này thỏa mãn Giả thiết (1.2.51). Định lý 1.2.4 mô tả điều kiện cần để thế vị không tán xạ (19) là nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến. Điều kiện này chính là các đa thức chuẩn pj (x, t) phải tiến hóa theo công thức (32). Trong Tiểu mục 1.2.4 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định lý 1.2.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định lý 1.2.5. Tiểu mục 1.2.5 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến nhận được từ hai Định lý 1.2.3 và 1.2.5. Chương 2: Trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình hỗn hợp mKdV-sG được xây dựng theo kỹ thuật Wronskian. Chương này được chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 2.1 và 2.2. Các kiến thức chuẩn bị của chương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểu mục 2.1.1. Nội dung của tiểu mục này mô tả vắn tắt về phép đổi biến Hirota, hệ song tuyến tính ứng với phương trình mKdV-sG và nghiệm Wronskian của D. J. Zhang. 14 Mục 2.1 trình bày về việc mở rộng hệ phương trình điều kiện. Cụ thể là chúng tôi lấy hệ phương trình (34a), (34b) để thay thế cho hệ (28a), (28b). Việc chỉ ra rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33) thông qua giá trị f (x, t) của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của phương trình (27) được chúng tôi phát biểu và chứng minh trong Định lý 2.1.2. Thay vì tính toán các nghiệm của phương trình mKdV-sG (27) từ hệ phương trình điều kiện (34a), (34b), chúng tôi chỉ ra rằng có thể chuyển hệ phương trình điều kiện (34a), (34b) về một dạng gọn hơn mà vẫn không làm thu hẹp lớp nghiệm đó của phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện ở dạng này được gọi là hệ chính tắc, mà nó chính là hệ (34a), (34b) với A được thay bằng ma trận hằng Γ có dạng chính tắc Jordan thực và B được thay bằng ma trận không (B = 0). Mục 2.2 trình bày về việc giải tường minh hệ phương trình điều kiện dạng chính tắc. Với kết quả tính nghiệm của hệ phương trình điều kiện dạng chính tắc, chúng tôi tính được giá trị của định thức Wronskian f (x, t) và tính được nghiệm u(x, t) của phương trình mKdV-sG theo (33). Hệ phương trình điều kiện dạng chính tắc có thể phân rã thành các hệ con độc lập mà vẫn ở dạng (34a), (34b) trong đó thay cho Γ là các trường hợp khác nhau của khối Jordan thực. Tương ứng với các khối Jordan thực khác nhau chúng tôi trình bày các kết quả thu được của Luận án trong năm tiểu mục của Mục 2.2. Các kết quả tính định thức Wronskian f (x, t) của Luận án được mô tả trong bốn mệnh đề gồm Mệnh đề 2.2.1 và từ Mệnh đề 2.2.3 đến Mệnh đề 2.2.5. Chúng ta cũng xác định được ở đây hai trường hợp của hàm f (x, t) trong (23) dưới dạng định thức Wronskian kép (xem các trang 109, 128). Trong Tiểu mục 2.2.4 chúng tôi cũng đã xây dựng hàm f (x, t) trong trường hợp ma trận Γ chứa n khối Jordan 2 × 2 ứng với n cặp giá trị riêng phức đơn liên hợp. Định thức Wronskian (23) trong trường hợp Γ chứa các khối Jordan thuộc về các dạng khác nhau là vẫn có thể tính toán được tường minh. Tuy nhiên các tính toán chi tiết sẽ phức tạp hơn những tính toán trong trường hợp đã nêu cụ thể ở trên. Tương ứng với các tính toán về định thức Wronskian f (x, t) chúng tôi đã xây dựng được các lớp nghiệm tường minh cho các phương trình mKdV-sG (27), mKdV (3) và sine-Gordon (4). Các kết quả này được mô tả trong các Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và 2.2.8. Một số ví dụ đã được chúng tôi đưa ra để minh họa cho các trường hợp được xét và hầu hết là các kết quả tính toán mới. Trong số đó, các ví dụ cụ thể thuộc các Tiểu mục 2.2.4, 2.2.5 15