Tài liệu Một số kiến thức toán học áp dụng giải bài tập vật lí thpt

Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành PHẦN I MỞ ĐẦU 1/ Lí do chọn đề tài: Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh tiếp thu khá tốt kiến thức lí thuyết Vật lí của bài giảng. Tuy nhiên, khi giải bài tập thì nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các kiến thức toán học cơ bản cho bài tập Vật lí, các em chưa hình dung các kiến thức toán (đường hyperbol, elip, tròn; đồ thị hàm số, đạo hàm, tích phân; số phức …) được áp dụng như thế nào cho Vật lí. Điều này không chỉ các em học sinh yếu mà cả học sinh giỏi khi dạy đội tuyển ở trường. Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề “Một số kiến thức toán học áp dụng giải bài tập vật lí THPT” nhằm giúp các em học sinh áp dụng kiến thức toán học giải bài tập vật lí được tốt hơn. Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã cố gắng trình bày chuyên đề một cách ngắn gọn và đầy đủ nhất để các em học sinh dễ hiểu. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề thật sự là tài liệu tham khảo bổ ích. 2/ Phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu. * Để hoàn thành đề tài này tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau đây: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: + Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách Đại học và tư liệu từ các bạn đồng nghiệp trên mạng Internet. + Đọc các sách lí luận để làm cơ sở cho việc trình bày hệ thống lý thuyết của chuyên đề. * Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu các dạng bài tập thuộc chương trình Vật lí THPT. Trang 1 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành PHẦN II: NỘI DUNG Vấn đề 1 TÍCH PHÂN (Áp dụng cho bài toán chuyển động cơ và điện …) KIẾN THỨC TÍCH PHÂN Tích phân là mảng kiến thức Toán học xuất hiện được khoảng 5 thế kỷ, nhưng đã có ứng dụng vô cùng mạnh mẽ vào hầu hết tất cả các ngành khoa học nghiên cứu khác, đặc biệt là Vật lí học. Người đầu tiên tính Tích phân là nhà toán học Archimedes (Ác-si-mét), sống cách đây 2 thiên niên kỷ, nhưng những người đầu tiên đưa ra các khái niệm và ứng dụng rõ ràng của Tích phân lại là hai nhà toán học Newton và Lepniz. Trong khoa học và đời sống nói chung - Vật lí học nói riêng. Nếu có một đại lượng nào biến thiên theo một quy luật hàm trong một khoảng (có thể là khoảng thời gian hoặc khoảng không gian), thì các thành phần liên quan đến đại lượng đó (giá trị tích phân cần tìm) đều có thể biểu diễn dưới dạng một Tích phân! 1. Định nghĩa tích phân xác định Tích phân xác định của hàm số y = f(x) cho trên khoảng đóng  a , b  trong giới hạn từ a đến b là một số xác định như sau: + Chia khoảng  a , b  ra n phần bởi các số tùy ý là x1, x2, …, xn-1 bằng cách chọn sao cho a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b + Trong mỗi khoảng  xi 1 , xi  chọn ra một số tùy ý i sao cho xi 1  i  xi . + Nhân các giá trị f (i ) của hàm số f(x) tại các điểm đã chọn với các hiệu số xi 1  xi  xi1 tương ứng. + Cộng tất cả n tích f ( i ) . xi 1 vừa nhận được lại. n + Tính giới hạn của tổng nhận được:  f ( ).x i 1 i . i 1 Khi độ dài mỗi khoảng sơ cấp xi1 dẫn đến 0 (do đó n   ). Nếu giới hạn đó tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn các số xi và i thì nó được gọi là: b TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH  a n f ( x)dx  lim  f ( ).x xi1  0 i 1 n  i i 1 . Lưu ý: * Tích phân trên là tồn tại – tức là giới hạn tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn các số xi và i . Trang 2 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành * Giá trị của tích phân chỉ phụ thuộc vào dạng của hàm số f(x) và các cận a, b và không b phụ thuộc vào biến lấy tích phân:  a b b f ( x) dx   f (t ) dt  f ( z ) dz  ... a a * Tích phân là quá trình phân chia rồi tổng hợp lại (Dấu tích phân  có nguồn gốc từ chữ La tinh S – chữ đầu của danh từ Somma, nghĩa là TỔNG). ỨNG DỤNG VẬT LÍ Dạng 1: Đại lượng cần tìm có dạng “tích” giá trị hàm và biến số thì dùng phép tính tích phân để tính. Chẳng hạn: + Lực đàn hồi F là hàm số của độ biến dạng x  ta biểu diễn dạng tính phân để tính công x2 A= toàn phần A.  F ( x)dx x1 + Dòng điện i là hàm số của thời gian t  ta biểu diễn dạng tính phân để tính điện tích q. t2 q   idt t1 + Vận tốc v là hàm số của thời gian t  ta biểu diễn dạng tính phân để tích quãng đường t2 đi được S. S   A sin( t   ) dt t1 + v.v… Dạng 2: Từ phương trình các cơ bản của Vật lí  chuyển về các phương trình dạng vi phân (biến của vi phân nào thì nằm cùng vế của vi phân đó)  lấy tích phân hai vế theo các cận xác định  suy ra đại lượng cần tìm! BÀI TẬP Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò xo có độ cứng k và khối lượng không đáng kể như hình vẽ. Vật m có thể trượt không ma sát. Từ vị trí cân bằng O kéo lò xo dãn một đoạn nhỏ rồi buông nhẹ, ta thấy vật dao động quanh vị trí cân bằng O. Xác định công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2. Hướng dẫn: + Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành n đoạn biến dạng vô cùng nhỏ x sao cho tương ứng với độ biến dạng này lực đàn hồi F được coi là không đổi. n + Ta tính giới hạn của tổng:  F .x . i 1 Trang 3 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành x2 + Khi x dẫn đến không (do đó n   ). Ta có: n  F ( x)dx  lim  F .x x  0 n  i 1 x1 + Công toàn phần A của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là: x2 A=  F ( x)dx x1  3 Bài 2: Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có biểu thức i  2cos(100 t  ) (A) (t tính bằng giây). Tính điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong 1/300 (s) kể từ lúc t = 0. Hướng dẫn: + Dòng điện là hàm số của thời gian t. Áp dụng lí luận phần trên, ta có: t2 1/ 300 t2  2  + Điện lượng: q   idt   2cos(100 t  )dt  sin(100 t  ) 3 100 3 0 t1 t1  5, 513mC Bài 3: Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu v0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn Fc = kv, v là vận tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s). a. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t. b. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng. Hướng dẫn: a. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t. + Chọn chiều dương là chiều chuyển động + Định luật II Niu-tơn:  Fc  ma dv dv dv   Fc  m   kv  m  dt   m  dt dt k .v  t  t v dv  d t    m k .v 0 v0 m m v (ln v  ln v 0 )  ln ( ) k k v0  v  v0 e  k t m b. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng. v + Ta có:  dv   v0 s k k ds  v  v0   s  m0 m + Khi vật dừng lại v = 0: s  v0 m 10.1   10m k 1  2  Bài 4: Mét dßng ®iÖn xoay chiÒu i = I0 sin  t    ch¹y qua mét ®o¹n m¹ch cã  T  ®iÖn trë thuÇn R. H·y tÝnh nhiÖt l­îng Q táa ra trªn ®o¹n m¹ch ®ã trong thêi gian mét chu k× T. Trang 4 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành Hướng dẫn: T T  2  + Ta cã: Q =  Ri 2 dt   RI 20 sin 2  t    dt  T  0 0  2  1  cos2     T  dt  RI 20  2 0 T T RI 2  T RI 2  2   0  t  sin 2  t      0 T 2  4 2  T  0 Bài 5: §Æt vµo mét ®o¹n m¹ch mét hiÖu ®iÖn thÕ xoay chiÒu u = U0 sin 2 t . Khi ®ã T  2  trong m¹ch cã dßng ®iÖn xoay chiÒu i = I0 sin  t    víi  lµ ®é lÖch pha gi÷a  T  dßng ®iÖn vµ hiÖu ®iÖn thÕ. H·y tÝnh c«ng cña dßng ®iÖn xoay chiÒu thùc hiÖn trªn ®o¹n m¹ch ®ã trong thêi gian mét chu k×. Hướng dẫn: T T  2  2 + Ta cã: A =  uidt   U 0 I 0 sin  t    sin tdt T  T  0 0 T 1  4   U 0 I 0   cos  cos  t     dt 2  T  0 T U I 1  4   0 0   cos  cos  t     dt 2 0 2  T  T U I  T U I  4   0 0  tcos  sin  t      0 0 Tcos 2  4  T 2  0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 5 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Vấn đề 2 Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Áp dụng cho bài toán chuyển động cơ, sóng, dao động điện …) KIẾN THỨC HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM 1. Khái niệm hàm số 1.1. Định nghĩa Cho X R, một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y. Kí hiệu y = f(x). Với: + x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc. + X được gọi là miền xác định của hàm số. + Tập Y = được gọi là miền giá trị của hàm số. 1.2. Các phương pháp cho hàm số Phương pháp giải tích, phương pháp bảng và phương pháp đồ thị. Mỗi phương pháp cho hàm số đều có những ưu và nhược điểm: + Phương pháp giải tích: Ta tìm được giá trị y của hàm số ứng với bất kỳ giá trị x nào của đối số thuộc tập xác định của hàm, nhưng không thấy ngay được mà phải tính toán. + Phương pháp bảng: Ta thấy ngay được giá trị của y ứng với giá trị của x, nhưng không thể liệt kê được tất cả giá trị x vào bảng. + Phương pháp đồ thị: Ta có thể biết được ngay giá trị của y ứng với bất kỳ giá trị x nào nhưng chỉ là gần đúng. @ Trong Vật lí hay áp dụng phương pháp đồ thị. 1.3. Hình dáng đồ thị các hàm số thường dùng + Các loại hàm số: Hàm số bị chặn và giới nội; hàm số đơn điệu; hàm số chẵn, lẻ; hàm tuần hoàn; hàm lượng giác; hàm lũy thừa; hàm mũ; hàm lôgarit, … + Đồ thị các hàm cơ bản: a/ Hàm số đơn điệu Kể từ trái sang phải hàm số đồng biến có hướng đi lên. Kể từ trái sang phải hàm số nghịch biến có hướng đi xuống. b y b/ Hàm số chẵn, hàm số lẻ y x c/ Hàm số tuần hoàn Trang 6 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành d/ Hàm số lũy thừa y =ax (a>1) e/ Hàm số mũ y =ax (0 tốc độ truyền sóng v  15  50cm / s . 0,3 + Ta lại thấy bước sóng bằng 8 ô =>   8.5  40cm . 2 2 v + Ta có     2,5 rad / s . T  + Vận tốc của N tại thời điểm t2 là vận tốc của dao động điều hòa tại VTCB có độ lớn vmax   A  2, 5.3.14.5  39, 3cm / s . + Ở thời điểm t1 N đang ở phía dưới, trong khi đó T T  0,3   N đang đi lên. 4 2 + Vậy tại thời điểm t2 vận tốc của N là: vN = 39,3 cm/s. Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Hiệu điện thế đặt vào hai đầu mạch là u  U 2 sin t , với U và  không đổi. Đồ thị nào biểu diễn đúng nhất sự phụ thuộc của hiệu điện thế hiệu dụng trên tụ điện vào dung kháng? U Hướng dẫn: + Hiệu điện thế hiệu dụng trên tụ điện: U c  I .Z c  U .Z c 2 R  ( Z L  Z c )2  Khi Z c  0  U c  0 R 2  Z L2  Khi Z c   U c  max ZL  Hình đúng là B.  Khi Z c    U c  U Trang 10 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành Bài 5: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp như hình a. A M  C 300 B N  X U (V) 250 200 L 150 Hình a 100 Biết tụ điện có dung kháng Z C , cuộn cảm thuần có cảm kháng Z L với 3Z L  2 Z C . Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB như hình b. Viết biểu thức điện áp tức thời giữa hai điểm M và N 50 0 0.00 -50 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 UMB -100 -150 -200 UAN -250 -300 Hình b Hướng dẫn: + Từ đồ thị u AN  200cos  200 t V  ;   uMB  100cos  200 t   V  . 3  + Vì 3Z L  2Z C nên 3uL  2uC + Ta có: u AN  uc  u x ; uMB  uL  u x ; Hay: 2u AN  2uc  2ux ;3uMB  3uL  3ux  2uAN  3uMB  5ux  2uc  3uL  5ux  ux  2uAN  3uMB 5  2uAN 5  3uMB 5 + Kết quả: u X  20 37cos  200 t  0, 4413064324 V  . Bài 6: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa dao động theo phương thẳng đứng mà lực đàn hồi và chiều dài của lò xo có mối liên hệ được cho bởi đồ thị như hình vẽ. Tính độ cứng của lò xo? Hướng dẫn: + Ta có  Fdh max  k (l  A)  2 lmax  lmin  F 4  dh min  k (l  A)  2  A    k  50 N / m 2  l  l   l  A  14 m ax 0   Fdh max  Fdh min  2kA lmax  l0  l  A  6 Trang 11 -2 t (10 s) l(cm) Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4  (cm/s). Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5 là A. 4,0 s. B. 3,25 s. C. 3,75 s. D. 3,5 s Câu 2: Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với các cường độ dòng điện tức thời trong hai mạch là i1 và i 2 được biểu diễn như hình vẽ. Tổng điện tích của hai tụ điện trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất bằng A. 4 C  B. 3 C  5 C  C. D. 10 C  Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp (hình vẽ). Biết tụ điện có dung kháng ZC, cuộn cảm thuần có cảm kháng ZL và 3ZL = 2ZC. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB như hình vẽ. Điệp áp hiệu dụng giữa hai điểm M và N là A. 173V. B. 86 V. C. 122 V. D. 102 V. Câu 4 : Lần lượt đặt điện áp u = U 2 cos  t (U không đổi, ω thay đổi được) vào hai đầu của đoạn mạch X và vào hai đầu của đoạn mạch Y; với X và Y là các đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Trên hình vẽ, PX và P Y lần lượt biểu diễn quan hệ công suất tiêu thụ của X với ω và của Y với ω. Sau đó, đặt điện áp u lên hai đầu đoạn mạch AB gồm X và Y mắc nối tiếp. Biết cảm kháng của hai cuộn cảm thuần mắc nối tiếp (có cảm kháng ZL1 và ZL2) là ZL = ZL1 + ZL2 và dung kháng của hai tụ điện mắc nối tiếp (có dung kháng ZC1 và ZC2) là ZC = ZC1 + ZC2. Khi ω = ω2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây? A. 14 W. B. 10 W. C. 22 W. D. 18 W. Câu 5: Một học sinh xác định điện dung của tụ điện bằng cách đặt điện áp u = U0cosωt (U0 không đổi, ω = 314 rad/s) vào hai đầu một đoạn mạch gồm tụ điện có điện dung C 1 2 2 1 mắc nối tiếp với biến trở R. Biết 2  2  . 2; 2 2 U U o C R Uo trong đó, điện áp U giữa hai đầu R được đo bằng đồng hồ đo điện đa năng hiện số. Dựa vào kết quả thực nghiệm được cho trên hình vẽ, học sinh này tính được giá trị của C là A. 1,95.10 −3 F. B. 5,20.10 −6 F. C. 5,20.10−3 F. Trang 12 D. 1,95.10 −6 F. Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành Câu 6: Đặt điện áp u  200 2 cos(100t  0,132) vào 2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình dưới. Giá trị x, y, z lần lượt là: A. 400, 500, 40 B. 400, 400, 50 C. 500, 40, 50 D. 50, 400, 400 Câu 7: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai chất điểm). Biết đồ thị li độ dao động của hai chất điểm theo thời gian lần lượt là x và y (hình vẽ). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm khi dao động là A. 3 2 cm B. 3 cm C. 2 3 cm D. 2 cm Câu 8: Đặt điện áp u  U 2 cos(100t  ) lần lượt vào 2 đầu đoạn mạch gồm X và Y. Mỗi mạch đều chứa các phần tử: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình dưới. Giá trị x là: A. 200 3 B. 180 3 C. 200 3 D. 180 3 Câu 9: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3 . Gọi x12 =x1 +x2 , x13 =x1 +x3 , x23 = x2 + x3 như hình vẽ. Khi li độ dao động x = x1+x2 +x3 đạt giá trị cực tiểu thi li độ dao động x3 là A. – 3cm và đang đi theo chiều dương B. – 3cm và đang đi theo chiều âm C. 3 cm và đang đi theo chiều dương D. 3 cm và đang đi theo chiều âm. Trang 13 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành Câu 10: Đặt một điện áp xoay chiều: u  10 2 cos(100t  ) vào 2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ xoay C mắc nối tiếp. Trong quá trình thay đổi R, C, người ta luôn điều chỉnh sao cho công suất tiêu thụ của mạch không đổi và thu được đồ thị như hình dưới. Biết tại R  x thì Z C  50 . Giá trị công suất đó và cảm kháng lần lượt là: A. 80, 100 B. 100, 80 C. 50, 100 D. 100, 50 Câu 11: Cho đoạn mạch AB gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ dung C mắc nối tiếp, với L  C 103 (F). 7, 2 Đặt điện áp 1 (H) ,  xoay chiều u  U 2 cos(120 t) vào 2 đầu A, B. Hình vẽ bên dưới thể hiện quan hệ giữa công suất tiêu thụ trên AB với điện trở R trong 2 trường hợp: mạch điện AB lúc đầu và mạch điện AB sau khi mắc thêm điện trở r nối tiếp với R. Giá trị Pm là: A. 200 B. 200 3 3 C. 150 D. 100 3 3 Câu 12: Lần lượt đặt vào 2 đầu đoạn mạch xoay chiều RLC (R là biến trở, L thuần cảm) 2 điện áp xoay chiều: u1  U1 cos(1t  1,32) và u2  U 2 cos(2 t  1,32) , người ta thu được đồ thị công suất mạch điện xoay chiều toàn mạch theo biến trở R như hình dưới. Giá trị gần nhất của y là: A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 ĐÁP ÁN 1D 2C 3B 4C 5D 6A 7A Trang 14 8A 9A 10D 11A 12B Trường THPT Pleiku -Gia Lai Vấn đề 3 Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành SỐ PHỨC – TAM THỨC BẬC HAI – BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Áp dụng cho bài toán tổng hợp) KIẾN THỨC TOÁN HỌC 1. Số phức + Số phức là số có dạng z = a + ib, a, b  R, i2 = -1. Tập tất cả các số phức kí hiệu là C. + Rez = a gọi là phần thực, Imz = b gọi là phần ảo của số phức z. + Dạng lượng giác và dạng mũ: z = r (cos + i sin) = rei . Kí hiệu z  r   nên trong Vật lí ta sử dụng kí hiệu này để tính biên độ và pha), với r  a 2  b 2 là môđun của số phức – tương ứng với biên độ A…   z  z  ( a  a )  i (b  b ) 1 2 1 2  1 2 + Phép toán số phức:  z1.z2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  a2 b1 ) z (a a  b b )  i((a2b1  a1b2 )  1  1 2 1 22 a2  b22  z2 Lưu ý: - Nếu biểu diễn trên vòng tròn và xét tại điểm M: z = xM + yM . i. Khi đó nếu vật dao động điều hòa với x  A cos(t   0 ) thì z = Acos(t + 0)+ Asin(t + 0). i = Aei (t  ) ) - Một dao động điều hòa hay một đại lượng biến thiên điều hòa x  A cos(t   0 ) có thể 0 i ( t   ) 0  A(t   0 ) . biểu diễn bằng số phức dạng lượng giác như sau: z  Ae - Tổng hợp dao động điều hòa cùng phương cùng tần số đồng nghĩa với việc cộng các số phức: z  z1  z2  A  A11  A22 tại thời điểm t = 0). 2. Tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c. + a > 0 th× ymin t¹i ®Ønh Parabol. + a < 0 th× ymax t¹i ®Ønh Parabol. b  + To¹ ®é ®Ønh: x = ; y ( = b2 - 4ac) 2a 4a + NÕu  = 0 th× ph­¬ng tr×nh y = ax2+ bx + c = 0 cã nghiÖm kÐp. + NÕu  > 0 th× ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 3. Bất đẳng thức Cô-si Với a, b, c là các số thực không âm, khi đó ta có: a + b  2 ab ; a + b + c  3 3 abc (DÊu b»ng x¶y ra khi c¸c sè b»ng nhau) Hệ quả: + Khi tÝch 2 sè kh«ng ®æi, tæng nhá nhÊt khi 2 sè b»ng nhau. + Khi tæng 2 sè kh«ng ®æi, tÝch 2 sè lín nhÊt khi 2 sè b»ng nhau. Trang 15 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành ỨNG DỤNG VẬT LÍ DẠNG 1: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHO PHẦN DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU Số phức có thể viết a + bi (dạng Đề-các) hoặc r  φ (dạng tọa độ cực). Có thể xem: + R như một số phức nhưng chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành). + ZL, ZC là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung); ZL nằm ở phần dương nên được biểu diễn là bi, ZC nằm ở phần âm nên được biểu diễn là – bi, với i là số ảo. + u hoặc i cũng được xem là số phức nhưng viết dưới dạng tọa độ cực r  φ. Khi máy tính hiển thị dạng a + bi , cho ta biết phần thực và phần ảo. Khi máy tính hiển thị dạng r  φ, cho ta biết độ dài (modul) và góc φ (argumen) của số phức. Tổng trở Biểu thức Z  R  ( Z L  ZC ) Dạng phức trong máy tính fx-570 Z  R  i(Z L  ZC )  Z  Dòng điện i  I 0cos(t  i ) i  I 0i Điện áp u  U0 cos( t   u ) u  U0 u Định luật Ôm 2 I 2 U u nhöng i  Z Z i u Z  u  i.Z  I 0 i .R  i(Z L  ZC )  U 0 u *Ứng dụng viết biểu thức điện áp, dòng điện tức thời:    u  i .Z  I 0   i . R  i ( Z L  Z C )  U 0   u   u  u1  u2  (U 01  1 )  (U 02   2 )  U 0  u i  u   I 0  i  R  i( Z L  Z C ) Z *Ứng dụng để tìm hộp kín khi cho biểu thức dòng hoặc điện áp: Z  a  R : ñieän trôû thuaàn u U 0 u   R  ( Z L  ZC )i  a  bi   i I 0 i  b  Z L  ZC : trôû khaùng Nếu đoạn mạch chỉ có một thành phần trở kháng (cảm kháng L hoặc dung kháng C) thì phần ảo dương: đoạn mạch chứa L, phần ảo âm đoạn mạch chứa C. DẠNG 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA + Mỗi dao động điều hòa x  A cos(t   ) có thể biểu diễn bằng một số phức. Khi đề cho x0, v0,  ứng với (t=0), ta dùng số phức tính x  x0  v0 shift 23  i   A   Hoaëc x a 0 v0 shift 23   i   A  2  Trang 16 . Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành + Phương pháp cộng số phức tổng hợp dao động:  x  x1  x2  x2  x  x1  A  A11 x  x1  x2  ...  A11  A2 2  ..    x  x1  x2  x3  x3  x  x1  x2  A  A11  A2 2 * Bấm máy tính bằng số phức (máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus) Các bước Nút lệnh Kết quả Chỉ định dạng nhập / xuất toán Thực hiện phép tính về số phức Dạng toạ độ cực: r  A Tính dạng toạ độ đề các: a + ib Chọn đơn vị đo góc là độ: (D) Chọn đơn vị đo góc là Rad: (R) Để nhập ký hiệu góc:  Bấm Bấm Bấm Bấm Bấm Bấm Bấm Màn hình xuất hiện Math Màn hình xuất hiện CMPLX Hiển thị số phức kiểu r  Hiển thị số phức kiểu a+bi Màn hình hiển thị chữ D Màn hình hiển thị chữ R Màn hình hiển thị dấu  SHIFT MODE 1 MODE 2 SHIFT MODE  3 2 SHIFT MODE  3 1 SHIFT MODE 3 SHIFT MODE 4 SHIFT (-) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có   phương trình là x1, x2, x3. Biết x12  6cos( t  )cm ; x 23  6cos( t  )cm ; 6 3  x13  6 2 cos( t  )cm . Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại. Tìm li độ của dao 4 động x3. Hướng dẫn: x12  x13  x 23   3 6 2 12 x  x 23  x12  x 3  13  3 2 2 12  + Ta thấy x3 sớm pha hơn x1 góc  x1 max thì x3 = 0. 2 + Ta có: x1  Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có   phương trình là x1, x2, x3. Biết x12  6cos( t  )cm ; x 23  6cos( t  )cm ; 6 3  x13  6 2 cos( t  )cm . Tính x biết x 2  x12  x 23 . 12 Hướng dẫn: x12  x13  x 23   6 2 6 x  x 23  x12  x 3  13  6 2 3 + Ta có: x1  + Suy ra A  A12  A 23  6 2cm Trang 17 Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành Bài 3: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R =15Ω, cuộn thuần cảm có cảm kháng ZL = 25 Ω và tụ điện có dung kháng Zc = 10 Ω. Nếu dòng điện qua mạch có  biểu thức i  2 2cos(100 t+ )( A) . Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu mạch. 6 Hướng dẫn:  5 + Áp dụng số phức trên: u  i.Z  (2 2 ).(15  i (25  10))  60 6 + Biểu thức điện áp: i  60cos(100 t+ 12 5 )(V ) 12 Bài 4: Cho m¹ch ®iÖn nh­ h×nh vÏ. E = 12V; r = 4R lµ biÕn trë. H·y t×m Rx ®Ó c«ng suÊt m¹ch ngoµi cùc ®¹i. E,r Hướng dẫn: E rR E2 E2 E2 2 + C«ng suÊt: P = I R = 2   2 2 r y r    R  2r  R   R R  + Dßng ®iÖn: I= R + Pmax  ymin. + Theo B§T C«si tÝch hai sè kh«ng ®æi, tæng nhá nhÊt khi hai sè b»ng nhau. r E2 . VËy khi R = r = 4 th× Pmax =  Ymin  R   9(W) 4r R Bài 5: Cã hai ®iÖn tÝch ®iÓm q1 = q2 = q > 0 ®Æt t¹i hai ®iÓm A, B trong kh«ng khÝ ( = 1). Cho biÕt AB = 2d. H·y x¸c ®Þnh c­êng ®é ®iÖn tr­êng t¹i M trªn ®­êng trung trùc AB c¸ch ®­êng th¼ng AB mét kho¶ng x. T×m x ®Ó EM ®¹t cùc ®¹i. Hướng dẫn:  * X¸c ®Þnh E M    + E M  E 1M  E 2 M ; víi E1M = E2M = k  E 2M q d  x2  EM 2  M  + Dïng quy t¾c tæng hîp vect¬  E M  AB h­íng ra xa  q1 AB.  A Trang 18  E 1M x d  H d  B Trường THPT Pleiku -Gia Lai + EM = 2E1M cos = Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành 2kq x x .  2kq. 2 3 d x d2  x 2 (d 2  x 2 ) 2 2 (a) * T×m vÞ trÝ M: - Theo B§T C«si ta cã: 3 d2 d2 2 3 d4 x 2 3 3 2   x 3  d2  x 2 2  .d .x (b) 2 2 4 2 4kq + Tõ (a) vµ (b)  EM  . 3 3 d2 4kq d + VËy EM(Max) = khi x = . 3 3 d2 2 Bài 6: Mét con bä dõa ®Ëu ë ®Çu B cña mét thanh cøng m¶nh A AB cã chiÒu dµi L ®ang dùng ®øng c¹nh mét bøc t­êng th¼ng ®øng (H×nh vÏ). Vµo thêi ®iÓm mµ ®Çu B cña thanh b¾t ®Çu chuyÓn ®éng sang ph¶i theo sµn ngang víi vËn tèc kh«ng ®æi v th× con bä b¾t ®Çu bß däc theo thanh víi vËn tèc kh«ng ®æi u Con bä dõa ®èi víi thanh. Trong qu¸ tr×nh bß trªn thanh, con bä ®¹t ®­îc ®é cao cùc ®¹i lµ bao nhiªu ®èi víi sµn. Cho ®Çu A cña thanh lu«n B tú lªn t­êng th¼ng ®øng.  Ta cã d2 + x2 =  Hướng dẫn: + XÐt (0 < t < L L ) vµ (t  ) u v  u + Khi B di chuyÓn 1 ®o¹n s = v.t th× con bä ®i ®­îc l = u.t  v   vv u.t L2  v 2 t 2 + §é cao mµ nã ®¹t: h = l. sin = . L u 22 24 u  h= L t v t  y và hmax khi y = ymax. L L  L4 L2 + y = -v2X2 + L2X (víi X = t2 > 0). yMax = t¹i X  4v 2 2v 2  h  (y lµ tam thøc bËc 2 cã a = -v2 < 0  ymax t¹i ®Ønh Parabol). u uL + VËy ®é cao cùc ®¹i con bä dõa ®¹t ®­îc lµ: hMax = y Max  . L 2v Bài 7: Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = Uo cost. Cuộn dây thuần cảm. Xét điện áp hiệu dụng UL giữa hai đầu cuộn dây. Lần lượt cho biến thiên A các đại lượng điện (R, L, C, ). Tìm giá trị các đại lượng L,  để U L max và biểu thức UL max ứng với các đại lượng trên. Hướng dẫn: Trang 19 R L C B Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành + Cho L biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi. Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai: - Ta có: UL  ZLI  Z LU R 2  (Z L  Z C ) 2 U  R 2  Z C2 2 Z C  1 ZL Z L2 R A B (1)  A min   4a o 2  - Suy ra: A = ax + bx + 1. Đồ thị của tam thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh ứng với Amin (bề lõm hướng lên). - Khi Amin thì U L max : và C A  R 2  Z C2 2 Z C A   1  Z L2 ZL  Đặt   x  1 ; a  R 2  Z 2  0; b  2 Z C C  ZL - Khi đó: x   L x b 2a 2Z C b 1 R2 1    Z  Z   L  R 2C  L C 2 2 2a Z L 2( R  Z C ) ZC C 2 Amin   - Từ (1) => U L max  - Vây: L  R 2C   4( R 2  Z C2 )  4 Z C2 R2   4a 4( R 2  Z C2 ) R 2  Z C2 U R 2  Z C2 R U R 2  Z C2 1 => U  L max C 2 R + Cho  biến thiên từ 0 đến  (rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi. - Ta có: UL  ZLI  LU R 2  ( L  1 2 ) C   2 CLU R 2 C 2 2  ( LC 2  1) 2 A => U L  CLU 2 1 R C 2  2 LC   L2 C 2 4 2  1 R 2 C 2  2 LC A    L2 C 2  4 2   Đặt   x  1 ; b  R 2 C 2  2 LC ; c  L2 C 2  2 (1)  Amin   4a o 2 - Suy ra: A = x + bx + c. Đồ thị của tam thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh ứng với Amin (bề lõm hướng lên). Trang 20  b 2a x