Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o
Trêng §¹i Häc Vinh
NguyÔn Thanh DiÖu
MétsèkÕtqu¶vÒgi¶itÝch
ngÉunhiªntrªnthangthêigian
LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
Vinh - 2012
Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o
Trêng §¹i Häc Vinh
NguyÔn Thanh DiÖu
MétsèkÕtqu¶vÒgi¶itÝch
ngÉunhiªntrªnthangthêigian
Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc
M· sè: 62.46.01.06
LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc:
Vinh - 2012
GS.TS NguyÔn H÷u D
Môc lôc
Môc lôc
i
Lêi cam ®oan
iii
Lêi c¶m ¬n
iv
Më ®Çu
1
1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
7
1.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian . . . . . . .
7
1.2 Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian . . . . . . . . . . . . .
18
1.3 KÕt luËn ch¬ng 1
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian
24
2.1 §Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.1 TÝch ph©n theo martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch . . . . . .
35
2.2.2 TÝch ph©n theo martingale ®Þa ph¬ng b×nh ph¬ng kh¶ tÝch
40
2.3 C«ng thøc It« vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4 Ph¸t biÓu bµi to¸n martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.5 KÕt luËn ch¬ng 2
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ph¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian
i
65
3.1 Ph¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian
. . . . . .
65
3.2 TÝnh Markov cña nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3 ¦íc lîng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.4 KÕt luËn ch¬ng 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
93
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i díi sù híng
dÉn cña GS.TS NguyÔn H÷u D. C¸c kÕt qu¶ nªu trong luËn ¸n lµ trung thùc,
®îc c¸c ®ång t¸c gi¶ cho phÐp sö dông vµ luËn ¸n kh«ng trïng lÆp víi bÊt k× tµi
liÖu nµo kh¸c.
NghÖ An, ngµy .... th¸ng .... n¨m 2012
T¸c gi¶
NguyÔn Thanh DiÖu
iii
Lêi c¶m ¬n
B¶n luËn ¸n ®îc thùc hiÖn t¹i Trêng §¹i häc Vinh díi sù híng dÉn
cña GS.TS NguyÔn H÷u D, ThÇy ®· ®Æt bµi to¸n, dµy c«ng d¹y cho t«i kiÕn
thøc, kinh nghiÖm trong nghiªn cøu. ChÝnh ThÇy ®· cho t«i niÒm tin vµ kh¸t väng
trong nghiªn cøu khoa häc. Trong cuéc sèng, gia ®×nh ThÇy ®· dµnh cho gia
®×nh t«i t×nh c¶m vµ sù quan t©m ®Æc biÖt, t×nh c¶m ®ã kh«ng chØ gióp cho b¶n
th©n t«i vît qua mäi khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó häc tËp mµ cßn cho t«i c¶ bµi
häc lµm ngêi nh©n hËu. Nh©n dÞp nµy, t«i xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n v« h¹n
®Õn gia ®×nh ThÇy C«. Ngoµi ra, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ viÕt luËn ¸n t«i còng
®· nhËn ®îc sù quan t©m gióp ®ì cña quý thÇy gi¸o c« gi¸o trong: Khoa To¸n
häc (Trêng §¹i häc Vinh); bé m«n To¸n Sinh - Khoa To¸n C¬ Tin häc (Trêng
§¹i häc Khoa häc Tù nhiªn §¹i häc Quèc gia Hµ Néi). §Æc biÖt lµ sù quan t©m
gióp ®ì cña PGS.TS NguyÔn V¨n Qu¶ng, TS NguyÔn Trung Hßa, PGS.TS Phan
§øc Thµnh, PGS.TS TrÇn Xu©n Sinh, PGS.TS TrÇn V¨n ¢n, PGS.TS §inh Huy
Hoµng, PGS.TS Ng« Sü Tïng, PGS.TS Ph¹m Ngäc Béi, PGS.TS NguyÔn Thµnh
Quang, TS NguyÔn ThÞ Hång Loan, TS §inh §øc Tµi,... T«i xin ch©n thµnh c¶m
¬n nh÷ng sù gióp ®ì quý b¸u ®ã.
NghÖ An, ngµy ... th¸ng ... n¨m 2012
T¸c gi¶
iv
Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
Gi¶i tÝch ngÉu nhiªn lµ mét lÜnh vùc to¸n häc nghiªn cøu c¸c phÐp tÝnh gi¶i
tÝch (tÝch ph©n, ®¹o hµm, tÝnh liªn tôc, kh¶ vi, . . . ) ®èi víi qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn,
nh»m môc ®Ých x©y dùng c¸c m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ ®éng lùc cã sù t¸c
®éng cña c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn. Do ®ã, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn lµ ngµnh khoa häc
cã nhiÒu øng dông trong sinh häc, y häc, vËt lý häc, kinh tÕ, khoa häc x· héi,...
vµ ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu. Cho ®Õn nay, gi¶i tÝch ngÉu
nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ thêi gian rêi r¹c ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ ®Çy ®ñ.
N¨m 1923, N. Wiener ®· sö dông lý thuyÕt ®é ®o ®Ó x©y dùng qu¸ tr×nh
chuyÓn ®éng Brown vµ chøng minh sù tån t¹i duy nhÊt cña nã. Trong c«ng tr×nh
cña m×nh, N. Wiener ®· chØ ra r»ng quü ®¹o cña qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng Brown
cã biÕn ph©n kh«ng giíi néi. Do ®ã, tÝch ph©n theo qu¸ tr×nh Wiener kh«ng thÓ
x©y dùng theo c¸ch th«ng thêng nh lµ tÝch ph©n Lebesgue-Stieljes. §iÒu nµy
®· ®îc kh¾c phôc bëi K. It«, nhµ to¸n häc ngêi NhËt b¶n, «ng ®· x©y dùng tÝch
ph©n ngÉu nhiªn theo qu¸ tr×nh Wiener vµo n¨m 1944 trong [24]. Sau ®ã, J. L.
Doob [8] ®· më réng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo qu¸ tr×nh cã gia sè trùc giao. TÝch
ph©n ngÉu nhiªn tiÕp tôc ®îc më réng ®èi víi martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch
bëi P. A. Meyer [40]; bëi H. Kunita vµ S. Watanabe [31]. N¨m 1970, P. A. Meyer
vµ C. DolÐans-Dade [42] ®· x©y dùng tÝch ph©n theo martingale ®Þa ph¬ng b×nh
ph¬ng kh¶ tÝch. Còng trong n¨m ®ã, C. Dellacherie vµ K. Bichteler ®· x©y dùng
tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale. Ngµy nay, ngêi ta gäi tÝch ph©n ngÉu
nhiªn ®îc chØ ra ë trªn lµ
tÝch ph©n ngÉu nhiªn It«
.
§èi víi c¸c tÝnh to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c, c¸c phÐp biÕn ®æi
martingale ®îc xem lµ tÝch ph©n ngÉu nhiªn It«.
C«ng thøc It« ®èi víi qu¸ tr×nh Wiener ®· ®îc K. It« [25] x©y dùng n¨m
1951 vµ ®îc xem lµ c«ng cô then chèt trong tÝnh to¸n ngÉu nhiªn. N¨m 1967,
1
H. Kunita vµ S. Watanabe [31] ®· më réng c«ng thøc It« ®èi víi martingale b×nh
ph¬ng kh¶ tÝch; P. A. Meyer [39] ®· më réng c«ng thøc It« ®èi víi martingale
cã bíc nh¶y. C«ng thøc It« ®èi víi semimartingale ®îc x©y dùng n¨m 1969
bëi McKean trong [36], ®îc më réng bëi P. A. Meyer vµ C. DolÐans-Dade trong
[42].
§èi víi tÝnh to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c, c«ng thøc It« ®îc x©y
dùng n¨m 2002 bëi D. Kannan vµ B. Zhan trong [28].
N¨m 1953, J. L. Doob [8] ®· ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý khai triÓn
Doob ®èi víi submartingale víi thêi gian rêi r¹c vµ pháng ®o¸n ®Þnh lý ®èi víi
submartingale víi thêi gian liªn tôc. C¸c ®Þnh lý nµy ®îc chøng minh vµo n¨m
1962 vµ 1963 bëi P. A. Meyer (xem [40, 41]). Do ®ã, ngêi ta gäi ®Þnh lý khai
triÓn Doob lµ
.
®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer
Ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ qu¸ tr×nh Wiener ®îc x©y
dùng vµo n¨m 1951 bëi K. It« [26]vµ tiÕp tôc ®îc nghiªn cøu bëi H. P. McKean
[36], I. I. Gihman vµ A. V. Skorohod trong [15]. Ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn
víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch ®îc nghiªn cøu bëi N. Kazamaki
[29] n¨m 1972. C¸c kÕt qu¶ nµy ®îc ph¸t triÓn bëi P. E. Protter [44] vµ nhiÒu
nhµ to¸n häc kh¸c (xem [23, 27, 32, 45]). Nh÷ng n¨m gÇn ®©y, X. Mao vµ céng
sù ®· nghiªn cøu ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ semimartingale
(xem [33, 34]). Bªn c¹nh ®ã, ph¬ng tr×nh sai ph©n ngÉu nhiªn lµ d¹ng ®¬n gi¶n
nhÊt cña ph¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn. Nã ®ãng vai trß quan träng trong
nghiªn cøu c¸c hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn. Trong rÊt nhiÒu trêng hîp, ngêi ta
thêng chuyÓn viÖc nghiªn cøu ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn vÒ nghiªn cøu
ph¬ng tr×nh sai ph©n b»ng c¸c ph¬ng ph¸p rêi r¹c hãa ph¬ng tr×nh vi ph©n.
Víi nh÷ng ý nghÜa ®ã, ph¬ng tr×nh sai ph©n ngÉu nhiªn ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc
quan t©m nghiªn cøu (xem [20, 35, 49, 50]).
Khi x©y dùng m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn theo thêi gian
2
ngêi ta thêng gi¶ thiÕt hÖ thèng ho¹t ®éng liªn tôc hoÆc rêi r¹c ®Òu, tøc lµ c¸c
thêi ®iÓm quan s¸t c¸ch nhau mét kho¶ng cè ®Þnh. Tõ ®ã, c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch
liªn tôc (phÐp tÝnh vi ph©n) vµ rêi r¹c (phÐp tÝnh sai ph©n) ®îc nghiªn cøu ®Ó
m« t¶ hÖ thèng t¬ng øng víi c¸c gi¶ thiÕt lý tëng ®îc ®Æt ra. Song trªn thùc
tÕ, hÇu hÕt c¸c hÖ thèng ho¹t ®éng kh«ng hoµn toµn liªn tôc vµ còng kh«ng hoµn
toµn c¸ch ®Òu nhau. §«i khi c¸c quan s¸t cßn xen lÉn c¸c kho¶ng thêi gian liªn
tôc víi c¸c thêi ®iÓm rêi r¹c. Ch¼ng h¹n mét loµi s©u nµo ®ã chØ ph¸t triÓn trong
suèt mïa hÌ nhng ®Õn mïa ®«ng th× sù ph¸t triÓn cña chóng bÞ gi¸n ®o¹n. V×
vËy, trong nhiÒu trêng hîp ph¬ng tr×nh vi ph©n hoÆc sai ph©n kh«ng ®ñ ®Ó m«
t¶ c¸c th«ng tin cÇn thiÕt cña m« h×nh. Lý thuyÕt thang thêi gian ra ®êi nh»m
kh¾c phôc nhîc ®iÓm nµy cña gi¶i tÝch cæ ®iÓn. Lý thuyÕt nµy ®îc ®a ra lÇn
®Çu tiªn n¨m 1988 bëi S. Hilger, mét nhµ To¸n häc ngêi §øc (xem [21]). C¸c
kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian cho phÐp chóng ta x©y dùng
®îc m« h×nh to¸n häc cña c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn kh«ng ®Òu theo thêi gian, ph¶n
¸nh ®óng c¸c m« h×nh thùc tÕ. Do ®ã, chñ ®Ò thang thêi gian thu hót ®îc sù
quan t©m nghiªn cøu cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi vµ ®· cã nhiÒu c«ng
tr×nh ®îc c«ng bè trªn c¸c t¹p chÝ to¸n häc cã uy tÝn (xem [3, 4, 5, 12, 13, 22]).
Cho ®Õn nay, c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ thang thêi gian chØ míi dõng l¹i ë
gi¶i tÝch tÊt ®Þnh. V× thÕ c¸c kÕt qu¶ nµy chØ m« t¶ ®îc c¸c m« h×nh ph¸t triÓn
trong c¸c ®iÒu kiÖn m«i trêng kh«ng cã nhiÔu biÕn ®æi. HiÓn nhiªn, c¸c m« h×nh
thùc tÕ kh«ng nh vËy vµ ta ph¶i tÝnh ®Õn c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng vµo
m«i trêng. Do ®ã, viÖc chuyÓn c¸c kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian cña
c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh sang m« h×nh ngÉu nhiªn lµ mét nhu cÇu cÊp thiÕt.
Víi c¸c lý do nªu trªn, trªn c¬ së c¸c vÊn ®Ò cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn vµ
lý thuyÕt thang thêi gian, chóng t«i lùa chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn ¸n lµ:
"Mét sè kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian".
3
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn cøu lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn
thang thêi gian, nh»m thèng nhÊt vµ më réng mét sè kÕt qu¶ vÒ d·y c¸c biÕn ngÉu
nhiªn vµ lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc.
3. §èi tîng nghiªn cøu
Nghiªn cøu mét sè vÊn ®Ò vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian, cô
thÓ lµ ®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian;
tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale trªn thang thêi gian; c«ng thøc It« vµ
c¸c øng dông; c¸c tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh lîng cña ph¬ng tr×nh ®éng lùc
ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian.
4. Ph¹m vi nghiªn cøu
Nghiªn cøu mét sè kÕt qu¶ bíc ®Çu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang
thêi gian.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Chóng t«i sö dông ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. Trªn c¬ së c¸c kÕt
qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c vµ liªn tôc chóng t«i t×m c¸ch
tæng qu¸t hãa c¸c kÕt qu¶ ®ã trªn thang thêi gian.
6. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn
Thèng nhÊt vµ më réng mét sè kÕt qu¶ vÒ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ lý
thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc. T¹o ra bøc tranh chung cho lý
thuyÕt d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc.
Lµm phong phó thªm c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn.
Cã thÓ sö dông luËn ¸n lµm tµi liÖu tham kh¶o vÒ lÜnh vùc gi¶i tÝch ngÉu
nhiªn cho sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh.
7. Tæng quan vµ cÊu tróc luËn ¸n
7.1. Tæng quan luËn ¸n
N¨m 2008, S. Bhamidi vµ céng sù trong [2] ®· c«ng bè kÕt qu¶ nghiªn cøu
4
vÒ chuyÓn ®éng Brown nhËn gi¸ trÞ trªn thang thêi gian. S. Sanyal trong luËn ¸n
tiÕn sü cña m×nh n¨m 2008 ®· ®Þnh nghÜa ''tÝch
®éng lùc ngÉu nhiªn
ph©n ngÉu nhiªn vµ ph¬ng tr×nh
" trªn thang thêi gian víi hµm h¹t d¬ng trong [47]. N¨m
2011, S. Sanyal vµ D. Grow [18] ®· c«ng bè kÕt qu¶ cña m×nh vÒ chuyÓn ®éng
Brown trªn thang thêi gian. Cho ®Õn nay, míi chØ cã mét sè Ýt kÕt qu¶ nghiªn
cøu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Trong khi ®ã, c¸c bµi to¸n vÒ lý
thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ rêi r¹c ®· ®îc nghiªn cøu
kh¸ ®Çy ®ñ.
Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu
nhiªn trªn thang thêi gian b»ng c¸ch thèng nhÊt vµ më réng c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh
to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ rêi r¹c. Cô thÓ lµ ph¸t biÓu vµ chøng
minh ®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian;
x©y dùng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale trªn thang thêi gian; thiÕt lËp
c«ng thøc It« ®èi víi bé
d−semimartingale trªn thang thêi gian vµ øng dông; x©y
dùng ph¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph¬ng kh¶
tÝch, chØ ra mét sè tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy.
7.2 CÊu tróc luËn ¸n
Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o, LuËn ¸n ®îc chia lµm
3 ch¬ng.
Ch¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ. Néi dung chÝnh cña ch¬ng nµy
chñ yÕu tr×nh bµy nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch tÊt ®Þnh vµ qu¸ tr×nh ngÉu
nhiªn trªn thang thêi gian.
Ch¬ng 2. TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Néi dung cña
ch¬ng nµy ®îc viÕt thµnh 4 môc: Môc 2.1 tr×nh bµy ®Þnh lý khai triÓn Doob Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian. Môc 2.2 x©y dùng tÝch ph©n
ngÉu nhiªn theo martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch, martingale ®Þa ph¬ng b×nh
ph¬ng kh¶ tÝch vµ më réng tÝch ph©n ®èi víi semimartingale trªn thang thêi
5
gian. Môc 2.3 x©y dùng c«ng thøc It« ®èi víi bé
d−semimartingale
trªn thang
thêi gian. Môc 2.4 tr×nh bµy ®é ®o ®Õm sinh bëi martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch,
øng dông c«ng It« ph¸t biÓu martingale.
Ch¬ng 3. Ph¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian.
Néi dung cña ch¬ng nµy ®îc viÕt thµnh 3 môc. Môc 3.1 x©y dùng ph¬ng tr×nh
®éng lùc ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph¬ng kh¶ tÝch, chØ ra ®iÒu
kiÖn vÒ sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã. Môc 3.2 tr×nh bµy mét
sè kÕt qu¶ vÒ tÝnh Markov cña nghiÖm vµ to¸n tö sinh phô thuéc thêi gian cña
qu¸ tr×nh Markov nghiÖm. Môc 3.3 x©y dùng c«ng thøc íc lîng moment ®èi
víi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
NghÖ An, ngµy..... th¸ng .... n¨m 2012
T¸c gi¶
6
Ch¬ng 1
Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy (kh«ng chøng minh) mét sè kÕt qu¶
c¬ b¶n cña gi¶i tÝch tÊt ®Þnh vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian ®Ó lµm
c¬ së cho viÖc tr×nh bµy néi dung chÝnh cña LuËn ¸n ë c¸c ch¬ng sau. Mét vµi
chç lµ kÕt qu¶ nghiªn cøu cña t¸c gi¶ LuËn ¸n, chóng t«i cã tr×nh bµy chøng minh.
1.1
C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch trªn thang
thêi gian
C¸c kÕt qu¶ tr×nh bµy trong môc nµy ®îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [3] vµ [4].
§Þnh nghÜa 1.1.1.
Mét tËp con ®ãng, kh¸c rçng cña tËp sè thùc
thang thêi gian (time scales). Ký hiÖu thang thêi gian lµ
DÔ thÊy r»ng c¸c tËp hîp: R,
R
®îc gäi lµ
T.
Z, N, N0 , [0, 1]∪[2, 3], [0, 1]∪N
vµ tËp Cantor
lµ c¸c thang thêi gian.
Trong khi ®ã c¸c tËp hîp:
Q, R \ Q, (0, 1) kh«ng ph¶i lµ thang thêi gian
v× chóng kh«ng ph¶i lµ c¸c t©p ®ãng.
Trong LuËn ¸n, chóng t«i lu«n gi¶ thiÕt r»ng trªn thang thêi gian cã mét
t«p«, chÝnh lµ t«p« c¶m sinh cña t«p« th«ng thêng trªn tËp hîp c¸c sè thùc.
7
§Þnh nghÜa 1.1.2.
T
Gi¶ sö
¸nh
lµ mét thang thêi gian.
x¹
σ :T→T
x¸c
®Þnh bëi
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t},
®îc
gian
gäi
lµ
to¸n tö bíc nh¶y tiÕn (forward jump operator) trªn thang thêi
T. ¸
nh x¹
ρ:T→T
x¸c ®Þnh bëi
ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t},
®îc
gian
gäi
lµ
to¸n tö bíc nh¶y lïi (backward jump operator) trªn thang thêi
T.
Quy íc
inf ∅ = sup T
phÇn tö lín nhÊt lµ
gian
T
M
(nghÜa lµ
sup ∅ = inf T
) vµ
cã phÇn tö nhá nhÊt lµ
§Þnh nghÜa 1.1.3.
Gi¶ sö
T
ρ(t) < t
lµ mét thang thêi gian. Mét ®iÓm
σ(t) = t
ký hiÖu
t¬ng tù, ký hiÖu c¸c tËp hîp
nÕu thang thêi
,
t∈T
®îc gäi
c« lËp ph¶i (right-scattered) nÕu
, c« lËp tr¸i (left-scattered) nÕu
t
võa c« lËp tr¸i võa c« lËp ph¶i.
lµ tËp hîp
{t ∈ T : a 6 t 6 b},
(a, b]; (a, b); [a, b)
t¬ng øng lµ c¸c tËp hîp
[a, b]
{t ∈ T : a < t 6 b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a 6 t < b}.
Ta = {t ∈ T : t > a} vµ
T
kT =
T \ [m, σ(m))
Tk =
cã
ρ(t) = t
vµ lµ ®iÓm c« lËp (isolated) nÕu
a, b ∈ T,
ρ(m) = m
T
).
, trï mËt tr¸i (left-dense) nÕu
Víi mçi
(nghÜa lµ
nÕu thang thêi gian
m
lµ trï mËt ph¶i (right-dense) nÕu
σ(t) > t
σ(M ) = M
T
T \ (ρ(M ), M ]
8
nÕu
min T = −∞
nÕu
min T = m,
nÕu
max T = +∞
nÕu
max T = M.
Ký hiÖu
Ký hiÖu
I1 = {t : t
MÖnh ®Ò 1.1.4.
c« lËp tr¸i
TËp hîp
c« lËp ph¶i
}, I = I1 ∪ I2 .
(1.1)
gåm tÊt c¶ c¸c ®iÓm c« lËp tr¸i hoÆc c« lËp ph¶i
T lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®îc.
cña thang thêi gian
§Þnh nghÜa 1.1.5.
I
}, I2 = {t : t
Gi¶
sö
T
lµ
thang
thêi
gian.
¸nh
x¹
µ : Tk → R+
x¸c
®Þnh bëi
µ(t) = σ(t) − t,
®îc gäi lµ hµm h¹t tiÕn (forward graininess function) trªn thang thêi gian
¸nh
x¹
ν : T → R+
T.
x¸c ®Þnh bëi
ν(t) = t − ρ(t),
®îc gäi lµ hµm h¹t lïi (backward graininess function) trªn thang thêi gian
VÝ dô 1.1.6.
+) NÕu
+) NÕu
+) Víi
T=Z
h
T=R
th×
th×
T.
ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0;
ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1.
lµ sè thùc d¬ng, chóng ta ®Þnh nghÜa thang thêi gian
T = hZ
x¸c ®Þnh nh sau:
hZ = {kh : k ∈ Z} = {· · · − 3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, · · · },
khi ®ã
ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h.
+) Víi
a, b
lµ c¸c sè thùc d¬ng, ta xÐt thang thêi gian
Pa,b =
∞
[
T = Pa,b
[k(a + b), k(a + b) + b].
k=1
Khi ®ã,
σ(t) =
t
t + a
nÕu
nÕu
t∈
∞
S
t∈
k=1
∞
S
[k(a + b), k(a + b) + b)
{k(a + b) + b},
k=1
9
nh sau
ρ(t) =
t
nÕu
t − a
µ(t) =
0
nÕu
∞
S
t∈
k=1
∞
S
nÕu
∞
S
t∈
k=1
∞
S
[k(a + b), k(a + b) + b)
{k(a + b) + b}
k=1
0
nÕu
a
+) Víi
{k(a + b)},
t∈
vµ
ν(t) =
(k(a + b), k(a + b) + b]
k=1
nÕu
a
t∈
nÕu
t∈
∞
S
t∈
k=1
∞
S
(k(a + b), k(a + b) + b]
{k(a + b)}.
k=1
n ∈ N0 , xÐt d·y sè ®iÒu hßa
H0 = 0, Hn =
n
X
1
k=1
k
, n > 1.
X¸c ®Þnh thang thêi gian nh sau
H = {Hn : n ∈ N}.
Khi ®ã,
σ(Hn ) =
n+1
X
1
k=1
k
, ρ(Hn ) =
n−1
P1
k
0
vµ
µ(Hn ) =
§Þnh nghÜa 1.1.7.
1
1
n
, ν(Hn ) =
n+1
0
Cho hµm sè
i) chÝnh quy (regulated) nÕu
f :T→R
f
nÕu
n>2
nÕu
n = 0, 1,
k=1
nÕu
n>1
nÕu
n = 0.
. Hµm sè
f
®îc gäi lµ
cã giíi h¹n tr¸i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i vµ
cã giíi h¹n ph¶i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i.
10
ii)
rd−liªn
tôc (
rd−continuous
) nÕu
f
liªn tôc t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i
vµ cã giíi h¹n tr¸i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i. TËp hîp c¸c hµm
tôc ký hiÖu lµ
iii)
Crd
hoÆc
(
) nÕu
f
liªn tôc t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i, cã
giíi h¹n ph¶i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i.
Gi¶ sö
Cld
hoÆc
liªn
Crd (T, R).
ld−liªn tôc ld−continuous
ký hiÖu lµ
rd−
TËp hîp c¸c hµm
ld−
liªn tôc
Cld (T, R).
f :T→R
lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn
T.
Khi ®ã, chóng ta viÕt
f ρ : T → R lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi f ρ = f◦ ρ, nghÜa lµ f ρ (t) = f (ρ(t)) víi mäi
t∈
k T. Ký hiÖu
lim f (s) bëi f (t− ) hoÆc ft−
σ(s)↑t
t lµ ®iÓm c« lËp tr¸i th× ft− = f ρ (t).
r»ng nÕu
§Þnh lý 1.1.8.
Gi¶ sö
f : T → R lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn T. Khi ®ã,
i) NÕu
f
lµ hµm sè liªn tôc th×
ii) NÕu
f
lµ hµm sè
f
lµ hµm sè
§Þnh nghÜa 1.1.9.
f
l©n cËn
U
Gi¶ sö
t ∈ kT
cña
t
σ
rd−liªn tôc vµ ld−liªn tôc.
lµ hµm sè chÝnh quy.
lµ hµm sè
ld−liªn tôc th× f ρ
®îc gäi lµ cã
®¹o hµm) t¹i
lµ hµm sè
rd−liªn tôc.
ρ lµ hµm sè ld−liªn tôc.
iv) To¸n tö bíc nh¶y lïi
v) NÕu
f
rd−liªn tôc th× f
iii) To¸n tö bíc nh¶y tiÕn
Hµm sè
nÕu tån t¹i giíi h¹n tr¸i. Ta thÊy
f
còng lµ hµm sè
lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn
∇−®¹o hµm
nÕu tån t¹i
T
, nhËn gi¸ trÞ trªn
(cã ®¹o hµm Hilger hoÆc ®¬n gi¶n
f ∇ (t) ∈ R
sao cho víi mäi
ε>0
®îc gäi lµ
∇−®¹o hµm cña hµm sè f
11
t¹i t.
víi mäi
R
.
cã
tån t¹i mét
®Ó
|f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s)| 6 ε|ρ(t) − s|
f ∇ (t) ∈ R
ld−liªn tôc.
s ∈ U.
NÕu hµm sè
f
∇−
cã
®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm
t ∈ kT
th×
f
®îc gäi lµ
cã
∇−®¹o hµm trªn T
.
VÝ dô 1.1.10.
+) NÕu
+) NÕu
T=Z
§Þnh lý 1.1.11.
T=R
th×
Gi¶ sö
th×
f ∇ (t) ≡ f 0 (t)
chÝnh lµ ®¹o hµm th«ng thêng.
f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1)
f :T→R
chÝnh lµ sai ph©n lïi cÊp mét.
lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn
T
vµ
t∈
k T.
Khi ®ã,
∇−®¹o hµm t¹i t th× f
i) NÕu hµm sè
f
cã
ii) NÕu hµm sè
f
liªn tôc t¹i ®iÓm c« lËp tr¸i
f ∇ (t) =
iii) NÕu
t lµ ®iÓm trï mËt tr¸i th× f
lµ hµm sè liªn tôc t¹i
t th× f
cã
t.
∇−®¹o hµm t¹i t vµ
f (t) − f (ρ(t))
.
ν(t)
lµ hµm sè cã
∇−®¹o hµm t¹i t nÕu vµ chØ
nÕu giíi h¹n
f (t) − f (s)
,
s→t
t−s
lim
tån t¹i vµ h÷u h¹n. Trong trêng hîp ®ã,
f (t) − f (s)
.
s→t
t−s
f ∇ (t) = lim
iv) NÕu hµm sè
f
cã
∇−®¹o hµm t¹i t th×
f ρ (t) = f (t) − ν(t)f ∇ (t).
§Þnh lý 1.1.12.
Gi¶ sö
f, g : T → R
lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn
∇−®¹o hµm t¹i t ∈ k T. Khi ®ã,
i) Hµm tæng
f + g : T → R cã ∇−®¹o hµm t¹i t vµ
(f + g)∇ (t) = f ∇ (t) + g ∇ (t).
12
T
vµ cã
ii) Hµm tÝch
f g : T → R cã ∇−®¹o hµm t¹i t vµ ta cã quy t¾c ®¹o hµm cña
tÝch
(f g)∇ (t) = f ∇ (t)g(t) + f ρ (t)g ∇ (t) = f (t)g ∇ (t) + f ∇ (t)g ρ (t).
iii) NÕu
f
g
g(t)g ρ (t) 6= 0, th× hµm sè
cã
∇−®¹o hµm t¹i t vµ quy t¾c ®¹o hµm
cña th¬ng lµ
∇
f
f ∇ (t)g(t) − f (t)g ∇ (t)
.
(t) =
g
g(t)g ρ (t)
Sau ®©y lµ quy t¾c tÝnh ®¹o hµm cña lòy thõa bËc
§Þnh lý 1.1.13.
(i) NÕu
f
Gi¶ sö
n.
α lµ mét h»ng sè vµ n ∈ N. Khi ®ã,
f (t) = (t − α)n
lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi
∇
f (t) =
n−1
X
th×
(ρ(t) − α)i (t − α)n−i−1 .
i=0
(ii) NÕu
g
lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi
∇
g (t) = −
g(t) =
n−1
X
i=0
víi ®iÒu kiÖn
1
(t−α)n
th×
1
(ρ(t) − α)n−i (t − α)i+1
,
(t − α)(ρ(t) − α) 6= 0.
§Þnh nghÜa 1.1.14.
Hµm sè
p
x¸c ®Þnh trªn thang thêi gian
T
®îc gäi lµ håi
quy (regressive) nÕu
1 + µ(t)p(t) 6= 0,
víi mäi
t ∈ Tk .
Ký hiÖu
R = {p : T → R : p
lµ
R+ = {p : T → R : p
lµ
rd −
liªn tôc vµ
rd −
liªn tôc vµ
13
1 + µ(t)p(t) 6= 0}.
1 + µ(t)p(t) > 0}.
TiÕp theo, chóng t«i giíi thiÖu s¬ bé vÒ ®é ®o Lebesgue-Stieltjes trªn thang
thêi gian.
Gi¶ sö
A
lµ hµm t¨ng, liªn tôc ph¶i, x¸c ®Þnh trªn
{(a; b] : a, b ∈ T}
Khi ®ã,
M1
T.
Ký hiÖu
M1 =
lµ hä tÊt c¶ c¸c kho¶ng më bªn tr¸i vµ ®ãng bªn ph¶i cña
lµ nöa vµnh c¸c tËp con cña
T. LÊy m1
lµ hµm tËp x¸c ®Þnh trªn
T.
M1
vµ ®îc x¸c ®Þnh bëi
m1 ((a, b]) = Ab − Aa .
Chóng ta thÊy r»ng
m1
lµ hµm tËp céng tÝnh ®Õm ®îc trªn
lµ më réng CarathÐodory cña hµm tËp
∇A −®é
(1.2)
®o Lebesgue - Stieltjes
m1
liªn kÕt víi hä
liªn kÕt víi
A
M1
M1 .
Ký hiÖu
µA
∇
vµ nã ®îc gäi lµ
trªn thang thêi gian
T.
Chóng ta
chøng minh ®îc c¸c kÕt qu¶ sau:
Víi
t ∈ k T, tËp mét ®iÓm {t} lµ ∇A −®o ®îc vµ
µA
∇ ({t}) = At − At− .
Víi
a, b ∈ T vµ a 6 b,
A
A
µA
∇ ((a, b)) = Ab− − Aa ; µ∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ; µ∇ ([a, b]) = Ab − Aa− .
Chøng minh chi tiÕt cho c¸c kÕt qu¶ nµy cã thÓ xem trong [5].
A
⊂ k T lµ mét tËp µA
∇ −®o ®îc vµ f : T → R lµ mét hµm sè µ∇ −®o
R
®îc. Ký hiÖu E fτ ∇Aτ lµ tÝch ph©n cña hµm sè f liªn kÕt víi ®é ®o µA
∇ trªn E
LÊy E
∇A −tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. NÕu A(t) = t víi mäi t ∈ T
R
ta cã µA
lµ
∇−
®é
®o
Lebesgue
trªn
T
vµ
∇
E fτ ∇τ lµ ∇− tÝch ph©n Lesbesgue.
Rb
R
Trong luËn ¸n, chóng t«i sö dông ký hiÖu a f (τ )∇τ thay cho (a,b] f (τ )∇τ.
vµ ®îc gäi lµ
Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt quen thuéc cña
§Þnh lý 1.1.15.
hµm sè
i)
Rb
Gi¶ sö
a, b, c ∈ T, α ∈ R
∇−tÝch ph©n.
vµ
f : T → R, g : T → R
ld−liªn tôc. Khi ®ã,
a (f (τ ) + g(τ ))∇τ =
Rb
a
f (τ )∇τ +
14
Rb
a
g(τ )∇τ ;
lµ c¸c
- Xem thêm -
.PDF 
103 
19777 
64 
