Tài liệu MỘt sỐ kẾt quẢ vỀ bÀi toÁn cỰc trỊ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Phong MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Phong MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình chỉ dạy và hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng chân thành cám ơn các thầy cô trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong quá trình học tập của em. Các thầy cô trong văn phòng Sau Đại Học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong quá trình làm luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên thực hiện Nguyễn Thanh Phong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chương 1. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................... 3 1.1. Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều....................................... 3 1.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 3 1.1.2. Định lý nhân tử Lagrange ........................................................................... 4 1.1.3. Cực đại - cực tiểu ....................................................................................... 5 1.2. Cực trị có điều kiện trong không gian Banach ................................................. 6 1.2.1. Đa tạp tuyến tính ........................................................................................ 6 1.2.2. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát....................................................... 8 Chương 2. ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT.......................................................................... 10 2.1. Kiến thức chuẩn bị .......................................................................................... 10 2.2. Bổ đề biến đổi số lượng .................................................................................. 14 2.3. Nguyên lý biến phân Ekeland ......................................................................... 18 2.4. Nguyên lý minimax tổng quát ........................................................................ 20 2.5. Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính.................................................................... 24 2.6. Định lý định vị ................................................................................................ 33 2.7. Kỳ dị phi tuyến ............................................................................................... 34 Chương 3. ĐA TẠP NEHARI ................................................................................ 42 3.1. Định nghĩa đa tạp Nehari ................................................................................ 42 3.2. Những điều kiện cơ sở .................................................................................... 42 3.3. Những tính chất của giá trị tới hạn ................................................................. 47 3.4. Nghiệm nút ..................................................................................................... 49 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57 1 LỜI MỞ ĐẦU Nhiều bài toán biên tương đương với phương trình: Au = 0 (1) Trong đó A : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian Banach. Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số ϕ : X →  sao cho A = ϕ ′ ( Đạo hàm Gateaux của ϕ ) nghĩa là: Au , v = lim ϕ (u + tv) − ϕ (u ) t →0 t Không gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X ′ của X và phương trình (1) tương đương với ϕ ′(u ) = 0 nghĩa là: ϕ ′(u ), v = 0, ∀v ∈ X (2) Điểm tới hạn của ϕ , ϕ ′(u ) = 0 là nghiệm của (2) và giá trị ϕ (u ) là giá trị tới hạn của ϕ. Làm thế nào để tìm giá trị tới hạn? Khi ϕ là hàm bị chặn dưới thì: c := inf ϕ X Là ứng viên tự nhiên. Nguyên lý Ekeland dẫn đến sự tồn tại một dãy (un ) n sao cho: ϕ (un ) → c,ϕ ′(un ) → 0 Một dãy như vậy được gọi là dãy Palais-Smale tại mức c . Phiếm hàm ϕ được gọi là thỏa điều kiện ( PS )c nếu mọi dãy Palais-Smale tại mức c chứa một dãy con hội tụ. Nếu ϕ bị chặn dưới và thỏa điều kiện ( PS )c tại mức c := inf ϕ thì c là giá trị X tới hạn của ϕ . Theo Ambrosetti và Rabinowitz, ta xét trường hợp khi có cực tiểu địa phương tại 0 nhưng không là cực tiểu toàn cục. Tồn tại r → 0 và e ∈ X sao cho e > r và: inf ϕ (u ) > ϕ (0) ≥ ϕ (e) u =r Điểm (0, ϕ (0)) tách biệt (e, ϕ (e)) bởi một “vòng núi”. Nếu xét tập hợp Γ các đường nối 0 và e thì: 2 c := inf max ϕ (γ (t )) γ ∈Γ t∈[0,1] Cũng là ứng viên tự nhiên. Cũng do nguyên lý Ekeland suy ra sự tồn tại dãy (un ) n sao cho: ϕ (un ) → c,ϕ ′(un ) → 0 . Nhưng c tổng quát không là giá trị tới hạn của ϕ . Việc tìm hiểu và ứng dụng điểm tới hạn là một vấn đề quan trọng của bài toán cực trị. Trong luận văn này tài liệu tìm hiểu chủ yếu của tôi là Michel Willem, Minimax Theorems, Birkhauser, 1996 và PGS.TS Lê Hoàn Hóa, Phép tính vi tích phân trên không gian Banach, TP Hồ Chí Minh, 2000. 3 Chương 1. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Trong phần này ta nhắc lại (không chứng minh) cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều và trong không gian Banach. Mục đích nhắc lại chương này cho ta thấy rõ việc tìm hiểu bài toán cực trị trong không gian hữu hạn chiều và không gian Banach cũng là tìm hiểu điểm dừng trong toán tử Larange. 1.1. Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều 1.1.1. Định nghĩa Cho D là tập mở trong  n + p , mỗi phần tử của D có dạng ( x, y ) với ( y1 , y2 ,..., y p ) . Cho x ∈ n , x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , y ∈ y p , y = f , ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p : D →  .Ta khảo sát cực trị địa phương của hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., y p ) với điều kiện: = 0 ϕ1 ( x, y ) ϕ= 1 ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., y p )  = 0 2 ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., y p ) ϕ 2 ( x, y ) ϕ= ..................................  = 0 ϕ p ( x, y ) ϕ= p ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., y p ) (2) Hệ phương trình (2) được gọi là hệ phương trình ràng buộc. Đặt ϕ : D →  p với ϕ = (ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p ) . Bài toán cực trị địa phương có điều kiện được viết dưới dạng véc tơ, gọn hơn. Khảo sát cực trị địa phương của : f ( x, y ),( x, y ) ∈ D với ràng buộc ϕ ( x, y ) = 0y p { (3) } Đặt E = ( x, y ) ∈ D : ϕ ( x, y ) = 0y p . Định nghĩa 1.1 Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) địa phương có điều kiện với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) nếu ( x0 , y0 ) ∈ E mà tồn tại r > 0 sao cho : f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x, y ) ( f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x, y )) 4 Với mọi ( x0 , y0 ) ∈ E , ( x, y ) − ( x0 , y0 ) 2 < r . Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) ta nói f đạt cực trị địa phương có điều kiện (hoặc với ràng buộc (3)) tại ( x0 , y0 ) . 1.1.2. Định lý nhân tử Lagrange Cho D là tập mở trong  n + p , f : D →  và ϕ : D →  có đạo hàm liên tục p trên D. Giả sử tại ( x0 , y0 ) ∈ D, ϕ ( x0 , y0 ) = 0y p và det D2ϕ ( x0 , y0 ) ≠ 0 .Với: det D2ϕ ( x0 , y0 ) = D (ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p ) D ( y1 , y2 ,..., y p ) ( x0 , y0 ) Nếu f đạt cực trị địa phương với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) thì tồn tại duy nhất các số thực λ1 , λ2 ,..., λ p sao cho x0 , y0 và λ1 , λ2 ,..., λ p là nghiệm của hệ ( n + 2 p ) phương trình : p ∂j  ∂f ( x0 , y0 ) ∑ λi i ( x0 , y0 ), j 1, 2,..., n = =  ∂x i =1 ∂x j j  p  ∂f ∂ji ( , ) x y = = ∑  ∂y 0 0 i =1 λi ∂x ( x0 , y0 ), k 1, 2,..., p j  k ji ( x0 , y= 0,= i 1, 2,..., p 0)   (4) Bộ (λ1 , λ2 ,..., λ p ) được gọi là nhân tử Lagrange của f tại ( x0 , y0 ) với ràng buộc (3). Định lý 1.2 Điều kiện đủ cho cực trị có điều kiện: Cho D là tập mở trong  n + p và f , ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p : D →  . Giả sử f , ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p ∈ C ( D ) và 2 trình (4). Giả sử thêm: ( x0 , y0 ) ∈ D , λ1 , λ2 ,..., λ p là nghiệm của hệ phương 5 = det D2ϕ ( x0 , y0 ) D (ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p ) D ( y1 , y2 ,..., y p ) ( x0 , y0 ) ≠ 0 Do định lý ánh xạ ẩn nên tồn tại tập mở A ⊂  , x0 ∈ A và ánh xạ µ : A →  có n p đạo hàm liên tục thỏa mãn: ) y0 , ϕ ( x, µ ( x= )) 0 y p , ∀x ∈ A ⊂ y µ ( x0= Đặt A(u ) = F (2) n (5) ( x0 , y0 )(u , v ) với u ∈  và v = µ ′( x0 )(u ) với µ ′ là hàm ẩn n 2 thỏa mãn (5) thì A(u ) là dạng toàn phương. Khi đó: 1) Nếu A(u ) là dạng toàn phương xác định dương thì f đạt cực tiểu địa phương với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) . 2) Nếu A(u ) là dạng toàn phương xác định âm thì f đạt cực đại địa phương với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) . 3) Nếu A(u ) là dạng toàn phương không xác định thì f không đạt cực trị địa phương với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) . 4) Nếu A(u ) là dạng toàn phương nửa xác định dương hoặc nửa xác định âm thì chưa thể kết luận gì về cực trị địa phương của f với ràng buộc (3) tại ( x0 , y0 ) . 1.1.3. Cực đại - cực tiểu Cho D là tập mở bị chặn trong  n + p có biên ∂D xác định bởi hệ phương trình: n p ,y∈ ,i = 1, 2,..., p . ϕi ( x, y ) = 0 với x ∈ yy Cho f : D= D ∪ ∂D →  liên tục. Khi đó, do D đóng và bị chặn nên f đạt cực đại và cực tiểu trên D . Gỉa sử f đạt cực trị địa phương tại ( x0 , y0 ) ∈ D . Nếu ( x0 , y0 ) ∈ D thì f đạt cực trị địa phương tại ( x0 , y0 ) . Nếu ( x0 , y0 ) ∈ ∂D thì f đạt cực trị địa phương có điều kiện trên biên ∂D . 6 Giả sử Ω là tập mở trong  n + p sao cho D ⊂ Ω và f , ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ p ∈ C ( D ) .Giả sử 2 f đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) ∈ D . Nếu ( x0 , y0 ) ∈ D thì ( x0 , y0 ) là điểm dừng của f trong D , nghĩa là nghiệm của hệ ( n + p ) phương trình:  ∂f y ) 0,= i 1, 2,..., n  ∂x ( x, =  i  ∂f y ) 0,= j 1, 2,..., p  ∂y ( x,=  j Nếu ( x0 , y0 ) ∈ ∂D thì ( x0 , y0 ) là điểm dừng của f trong bài toán cực trị địa phương có điều kiện trên biên ∂D nghĩa là ( x0 , y0 ) là nghiệm của hệ thống ( n + 2 p ) hệ phương trình (4). Như vậy để xác định cực trị của f trên D ta tìm các điểm dừng của f trong D và trên biên ∂D . Giá trị lớn nhất và bé nhất của f tại các điểm dừng sẽ là cực đại và cực tiểu của f trên D . 1.2. Cực trị có điều kiện trong không gian Banach 1.2.1. Đa tạp tuyến tính Định nghĩa 1.3 Cho M 0 là không gian Banach thực, tập M ⊂ E được gọi là một đa tạp tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ M thì λ x + (1 − λ ) y ∈ M với mọi λ ∈  . { Tập λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ y} là đường thẳng đi qua hai điểm x, y (nếu x ≠ y ) Mệnh đề 1.4 Cho E là không gian Banach thực, tập M ⊂ E . i) Nếu M là đa tạp tuyến tính và 0 E ∈ M thì M là không gian véctơ của E . ii) Nếu M là đa tạp tuyến tính nếu và chỉ nếu: { M =x0 + M 0 = x0 + u : u ∈ M 0 } 7 Trong đó M 0 là không gian véc tơ con của E và x0 ∈ M . Hơn nữa không gian con M 0 không phụ thuộc x0 ∈ M . M 0 được gọi là không gian con song song với đa tạp M . Định nghĩa 1.5 Cho E là không gian Banach thực, M là đa tạp tuyến tính đóng, M= x0 + M 0 với x0 ∈ M cố định và M 0 là không gian Banach con, song song với M , cho f : M → . Với x ∈ M tồn tại duy nhất u ∈ M 0 sao cho x= u + x0 . Đặt f0 : M 0 →  định bởi: với u ∈ M 0 , f0 (u ) = f ( x) = f (u + x0 ) . Ta nói: i) f khả vi tại x ∈ M nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ M 0 vào  , ghi là f ′( x ) ∈ L ( M 0 ,  ) và gọi là đạo hàm của f tại x , sao cho với h ∈ M 0 thì: f ( x + h ) − f= ( x) ii) f ′( x )( h ) + h E .ϕ ( h ) với lim ϕ ( h ) = 0 . h→0 E f đạt cực tiểu địa phương (cực đại địa phương) tại x ∈ M nếu tồn tại δ > 0 sao cho với h ∈ M 0 , h E < δ thì f ( x + h ) ≥ f ( x ) ( f ( x + h ) ≤ f ( x ) ) Định lý 1.6 Cho E là không gian Banach thực, M là đa tạp tuyến tính đóng và f : M →  . Điều kiện cần để f đạt cực trị địa phương tại a ∈ M : i) Nếu f khả vi tại a thì f ′( a ) = 0 L ( M , ) . 0 ii) Nếu f khả vi liên tục bậc hai và f đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại a thì f (2) ( a )( h, h ) ≥ 0 ( f (2) ( a )( h, h ) ≤ 0) với mọi h ∈ M 0 . Điều kiện đủ Nếu f khả vi liên tục bậc hai, f ′( a ) = 0 L ( M f (2) ( a )( h, h ) ≥ c. h 2 ,( f E (2) ( a )( h, h ) ≤ c h 0 , ) 2 E ) và có c > 0 sao cho : 8 Thì f đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại a ∈ M . 1.2.2. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E . Cho f : M →  và H : D → F khả vi liên tục. Xét cực trị địa phương của phiếm hàm f với điều kiện ràng buộc H ( x ) = 0 F . Định nghĩa 1.7 Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm chính qui của H nếu H ′( x0 ) là toàn ánh từ E lên F . Mệnh đề 1.8 Giả sử f đạt cực trị địa phương với ràng buộc H ( x ) = 0 F tại x0 và x0 là điểm chính qui của H thì f ′( x0 )( h ) = 0 với mọi h thỏa mãn H ′( x0 ) = 0 F . Định nghĩa 1.9 * Cho E , F là không gian Banach, T : E → F tuyến tính liên tục. Gọi E , F * không gian đối ngẫu của E , F theo thứ tự. * * * * * * * * Đặt T : F → E định bởi T ( y ) = y T với mọi y ∈ F . Tính chất i) * −1 * Nếu T : E → F là đẳng cấu thì T là đẳng cấu và (T ) ii) Nếu T : E → F là tuyến tính liên tục và song ánh và * * −1 * = (T ) . * f ∈ E thỏa mãn: * * f ( x ) = 0 với mọi x ∈ KerT thì tồn tại y ∈ T sao cho T ( y ) = f . Định lý 1.10 ( Nhân tử Lagrange) Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E . Cho f : D →  và H : D → F khả vi liên tục. Giả sử f đạt cực trị địa phương với ràng buộc H ( x ) = 0 F nên theo mệnh đề 1.8 f ′( x0 )( h ) = 0 với mọi h ∈ KerH ′( x0 ) . * * Áp dụng ii) tồn tại z0 ∈ F sao cho: [ ] * 0 E* . f ′( x0 ) = − H ′( x0 ) ( z0 ) hay f ′( x0 ) + z0 H ′( x0 ) = * * là 9 Vậy * ( x ) f ( x ) + z0 H ( x ) . x0 là điềm dừng của phiếm hàm L= Định nghĩa * * Phần tử z0 ∈ F trong định lý 1.10 được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán cực trị phương của f với ràng buộc H ( x ) = 0 F . 10 Chương 2. ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về điểm tới hạn, đưa ra các nguyên lý Ekeland, nguyên lý minimax tổng quát và các định lý quan trọng như định lý nối kết, định lý qua đèo trong việc chứng minh sự tồn tại của điểm tới hạn, định lý định vị cho ta biết trong một vài trường hợp giới hạn có thể xác định giá trị tới hạn và ứng dụng của điểm tới hạn trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet nửa tuyến tính. Trước hết ta trình bày các kiến thức chuẩn bị sau: 2.1. Kiến thức chuẩn bị Ta nhắc lại vài khái niệm về sự khả vi của phiếm hàm. Định nghĩa đạo hàm Gateaux Cho U là tập mở trong không gian Banach X . Phiếm hàm ϕ :U →  có đạo hàm Gateaux f ∈ X ′ tại u ∈ U nếu với mọi h ∈ X : 1 lim [ϕ (u + th) − ϕ (u ) − f , th ] = 0 t →0 t Ký hiệu: f , th = f (th) Định nghĩa 2.1 Không gian 1 {u ∈ L ( N 2 H ( ) = N 2 N } ) : ∇u ∈ L (  ) Với phép nhân vô hướng: u , v 1=: [ ∫ ∇u.∇v + uv N ] Và tương ứng với chuẩn: u 1= ( ∫  N  ∇u + u  )   2 2 1 2 N 1 Là không gian Hilbert. Cho Ω là tập con mở trong  . Không gian H 0 (Ω ) là 1 N bao đóng của D (Ω ) trong H (  ) .Với : D (Ω ) := {u ∈C ∞ (Ω) : supp u là 1 tập con compact của Ω} 11 2N * Cho N ≥ 3 và 2 := .Không gian N −2 1,2 D N (  ) =: {u ∈ L 2* 2 N N } (  ) : ∇u ∈ L (  ) Với phép nhân vô hướng: ∫ ∇u.∇v N Và tương ứng với chuẩn: 2 ( ∫ ∇u ) 1 2 N 1,2 Là một không gian Hilbert. Không gian D0 (Ω ) là bao đóng của D (Ω ) trong 1,2 N D ( ) . * Trong trường hợp N = 1 hoặc N = 2 ta quy ước 2 = ∞ . Cho ϕ : H10 (Ω) →  xác định bởi: ∇u λu 2 u ϕ (u= + − ) : ∫[ ]dx p 2 2 Ω p 2 Thì ϕ ′(u ), v = ∫ [∇u∇v + λuv − u p −2 uv]dx . Ω Ta có các kết quả sau Định lý 2.2 ( Định lý nhúng Sobolev). Các phép nhúng sau đây là liên tục: 1 N p N 1 N p N H (  ) ⊂ L (  ), 2 ≤ p < ∞, N =1, 2 * H (  ) ⊂ L (  ), 2 ≤ p < 2 , N ≥ 3 1,2 D N 2* N (  ) ⊂ L (  ), N ≥ 3 Đặt biệt ta có bất đẳng thức Sobolev: = S: inf 1,2 u∈D (  N ) u 2* =1 2 ∇u 2 > 0 12 Định lý 2.3 ( Định lý nhúng Rellich). Nếu Ω < ∞ các phép nhúng sau là conpact: 1 p * H 0 (Ω ) ⊂ L (Ω ),1 ≤ p < 2 . Hệ quả 2.4 ( Bất đẳng thức Poincaré). Nếu Ω < ∞ khi đó: 2 inf ∇u 2 > 0 u∈H10 (Ω ) = λ1 (Ω) : u 2 =1 Định lý 2.5. [3] ( Bất đẳng thức Holder): p′ p Nếu f ∈ L , g ∈ L , 1 1 + p′ p ∫ fg d µ ≤ f X p . g p′ 1 1 thì fg ∈ L và ta có : = với 1 ≤ p ≤ ∞ Hệ quả 2.6. [3] Nếu µ ( X ) < ∞ và p < q thì L ⊂ L , hơn nữa phép nhúng là q p liên tục: f p [ ≤ µ(X ) ] q− p pq . f q . Định lý Aubin, Talenti, 1976 U ( x) := [ N ( N − 2)] (1 + x ) 2 S: Là một phần tử cực tiểu của= N −2 4 N −2 2 inf 1,2 ∇u 2 > 0 . 2 u∈D (  ) u 2* =1 N Bổ đề Brezis-Lieb (1983). Cho Ω là một tập con mở của  N và cho (un ) ⊂ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ . Nếu: a) (un ) bị chặn trong Lp (Ω) . b) un → u hầu khắp nơi trên Ω , khi đó: lim( un p − un − u p ) = u p. p n →∞ p p 13 Định nghĩa liên tục Lipschitz Giả sử X là không gian Banach, f : X →  . Hàm f được gọi là liên tục Lipschitz địa phương tại x0 , hay Lipschitz ở gần x0 nếu tồn tại lân cận U của x0 và số K > 0 sao cho: (∀x, x′ ∈ U ) f ( x ) − f ( x′) ≤ K x − x′ Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên Y ⊂ X nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ Y . Sự hội tụ yếu [4]. Cho Ω ⊂  N là một tập mở và giả thiết 1 ≤ p < ∞ . Khi đó * không gian đối ngẫu của = X Lp (Ω) là X= Lq (Ω) trong đó 1 1 + = 1, 1 < q < ∞ . Đặc biệt, một phiếm hàm tuyến tính bị chặn f trên p q Lp (Ω) có thể biểu diễn bởi f  ∫ gfdx với g ∈ Lq (Ω) . Ω Từ đó: f k  f trong Lp (Ω) nghĩa là: ∫ gf dx → ∫ gfdx khi k → ∞ với k Ω mọi g ∈ Lq (Ω) (*) Ω Do định lý compact yếu nên từ một dãy bị chặn trong Lp (Ω) ta có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu thỏa mãn (*). Nếu uk u u thì u ≤ lim inf uk và dãy hội tụ yếu thì bị chặn. k →∞ Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue. Giả sử ( f n ) là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn: a) f n bị chặn đều bởi một hàm khả tích g không âm trên X : f n ( x ) ≤ g ( x ), ∀n ≥ 1, ∀x ∈ X . b) ( f n ) hội tụ hầu khắp nơi hoặc hội tụ theo độ đo µ tới f . = ∫ fd . Khi đó f khả tích và lim ∫ f n d mm n→∞ X X 14 2.2. Bổ đề biến đổi số lượng Định nghĩa 2.7. Cho M là không gian mê tric, X là không gian định chuẩn và h : M → X ′ \ {0} là ánh xạ liên tục ( X ′ là không gian đối ngẫu của X ). Một trường véc tơ tựa gradient của h trên M là một trường véc tơ liên tục Lipschitz địa phương g : M → X sao cho với mọi u ∈ M : g (u ) ≤ 2 h (u ) h (u ), g (u ) ≥ h (u ) 2 Bổ đề 2.8. Cho các giả thiết định nghĩa 2.7, khi đó tồn tại một trường véc tơ tựa gradient của h trên M . Chứng minh Với mỗi v ∈ M , tồn tại x ∈ X sao cho x = 1 và h (v ), x > 2 h(v ) . 3 Ta xác định y := 3 2 h (v ) . x, khi đó: 2 y < 2 h (v ) , h (v ), y > h (v ) . Từ h liên tục, tồn tại một lân cận mở N v của v sao cho: 2 y < 2 h (u ) , h (u ), y > h (u ) , ∀u ∈ N v . (2.1) = ℵ: Họ {N v : v ∈ M } là một phủ mở của M . M là không gian mê tríc do đó là M: = paracompact khi đó tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương. {M i : i ∈ I} của M mịn hơn ℵ . Với mỗi i ∈ I tồn tại v ∈ M sao cho: M i ⊂ N v . Như vậy tồn tại y = yi sao cho (2.1) được thỏa mãn với mọi u ∈ M i . Xác định trên M : ρ i (u ) := dist (u , X \ M ) g (u ) := ∑ i∈I ρ i (u ) ∑ ρ j (u ) j∈I yi 15 ρ i (u ) Ta có: g (u ) = ∑ i∈I ∑ ρ j (u ) yi ≤ ∑ i∈J j∈I ρ i (u ) ∑ ρ j (u ) . yi < 2 ∑ i∈I j∈I ρ i (u ) ∑ ρ j (u ) . h(v ) j∈I = 2 h(v ) h (u ), g (u ) = ρ i (u ) ρ i (u ) h (u ), ∑ yi h (u ), yi = ∑ i∈I ∑ ρ (u ) i∈I ∑ ρ (u ) j j j∈I ≥ ∑ i∈I j∈I ρ i (u ) ∑ ρ j (u ) . h (u ) 2 2 h (u ) = j∈I Do đó g là một trường véc tơ tựa gradient của h trên M . Bổ đề 2.9. Cho X là không gian Banach ϕ ∈ C ( X ,  ), S ⊂ X , c ∈  , ε , δ > 0 1 sao cho: −1 ∀u ∈ ϕ ([c − 2ε , c + 2ε ]) ∩ S 2δ : ϕ ′(u ) ≥ 8ε δ (2.2) Khi đó tồn tại η ∈ C ([0,1] × X , X ) sao cho: −1 (i) η (t , u ) = u nếu t = 0 hoặc nếu u ∉ ϕ ([c − 2ε , c + 2ε ]) ∩ S 2δ (ii) η (1, ϕ (iii) η (t ,.) là một đồng phôi của X , ∀t ∈ [0,1] (iv) c +ε ∩ S) ⊂ ϕ c −ε η (t , u ) − u ≤ δ , ∀u ∈ X , ∀t ∈ [0,1] (v) ϕ (η (., u )) là hàm không tăng ∀u ∈ X . (vi) ϕ (η (t , u )) < c, ∀u ∈ ϕ ∩ Sδ , ∀t ∈ [0,1] Trong đó: ϕ := {u ∈ X : ϕ (u ) ≤ d} d Sd := {u ∈ X : dist (u , S ) ≤ d } Chứng minh c 16 Do bổ đề 2.8 tồn tại một trường véc tơ tựa gradient g của ϕ ′ trên M , M := {u ∈ X : ϕ ′(u ) ≠ 0} .Ta xác định: −1 A =: ϕ ([c − 2ε , c + 2ε ]) ∩ S 2δ −1 B=: ϕ ([c − ε , c + ε ]) ∩ Sδ ψ (u ) := dist (u , X \ A) dist (u , X \ A) + dist (u , B ) Ta ký hiệu dist = d Ta có: = ψ (u ) −ψ (u′) = = ≤ ≤ d (u , X \ A) d (u′, X \ A) − d (u , X \ A) + d (u , B ) d (u′, X \ A) + d (u′, B ) d (u , X \ A).d (u′, B ) − d (u , B ).d (u′, X \ A) (d (u , X \ A) + d (u , B ))(d (u′, X \ A) + d (u′, B )) d (u , X \ A).d (u′, B ) − d (u′, X \ A).d (u′, B ) + d (u′, X \ A).d (u′, B ) − d (u , B).d (u′, X \ A) (d (u , X \ A) + d (u , B ))(d (u′, X \ A) + d (u′, B )) d (u′, B ). d (u , X \ A) − d (u′, X \ A) + d (u′, X \ A). d (u , B) − d (u′, B) (d (u , X \ A) + d (u , B ))(d (u′, X \ A) + d (u′, B )) (d (u′, B ) + d (u′, X \ A)).d (u , u′) ( Do (d (u , X \ A) + d (u , B )).(d (u′, X \ A) + d (u′, B )) d (u , A) − d (u′, A) ≤ d (u , u′) ) ≤ d (u , u′) (*) (d (u , X \ A) + d (u , B )) Ta thấy rằng ánh xạ u  dist (u , X \ A) + dist (u , B ) là liên tục và bị chặn dưới trên các tập bị chặn trong X nên từ (*) suy ra ψ là liên tục Lipschitz địa phương và ψ = 0 trên X \ A, ψ = 1 trên B . Ta xác định: −ψ (u ). g (u ) f (u ) :=  0, u ∈ X \ A −2 . g (u ), u ∈ A Do định nghĩa 2.7 và (2.2) ta có: