Tài liệu Một số hệ thức mới trong dãy fibonacci suy rộng

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG ANH TUẤN MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên – 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Leonardo Pisano Bogollo (1170–1250), còn được biết đến với tên Leonardo của Pisa. Fibonacci là nhà toán học người Ý tài ba nhất thời Trung Cổ. Fibonacci đã có công giới thiệu hệ đếm Hindu – Ả Rập ở Châu Âu và đặc biệt nổi tiếng với dãy số mang tên Ông, dãy Fibonacci, vì Ông là người đầu tiên nghiên cứu dãy số này trong cuốn sách Liber Abbaci (sách về tính toán) xuất bản năm 1202. Dãy Fibonacci là một trong dãy số đẹp nhất trong toán học. Dãy Fibonacci xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của tự nhiên, với rất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Một trong những phát triển quan trọng của dãy Fibonacci là dãy Lucas. Sau Fibonacci, rất nhiều các nhà khoa học nghiên cứu về dãy Fibonaci: Cassini (1625–1712), Catalan (1814–1894), Lucas (1842–1891), Binet (1857–1911), D’Ocagne (1862– 1938),…Và rất nhiều hệ thức của dãy Fibonacci đã được mang tên các nhà khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều, mặc dù đã có một vài luận văn về dãy Fibonacci, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề thú vị của dãy Fibonacci và dãy Fibonacci suy rộng chưa được đề cập. Vì vậy việc nghiên cứu và phổ biến các kiến thức về đề tài này, theo chúng tôi là thú vị và cần thiết. 2. Mục đích nghiên cứu Tập hợp và chứng minh các hệ thức mới cho dãy Fibonacci và dãy Fibonacci suy rộng. 3. Bố cục của luận văn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 3 Luận văn Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng gồm hai chương. Chương 1 Dãy Fibonacci suy rộng Chương 1 trình bày một số kiến thức của dãy Fibonacci, dãy Fibonacci suy rộng và một số dãy số liên quan. Chương 2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng Chương 2 tập hợp và chứng minh các hệ thức mới cho dãy Fibonacci và dãy Fibonacci suy rộng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 4 Chương I DÃY FIBONACCI SUY RỘNG 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Dãy Fibonacci và các dãy Fibonacci suy rộng thực chất chỉ là các phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Vì vậy, mục này trình bày công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất trong trường hợp hai nghiệm của phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt. Kiến thức này là đủ để áp dụng vào dãy Fibonacci và các dãy Fibonacci suy rộng. 1.1.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất là phương trình có dạng Aun 1 Bun Cun 1 (1.1.1) 0, n 1,2,..., trong đó A 0, B, C là những hằng số. 1.1.2 Công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Phương trình (1.1.1) có phương trình đặc trưng là A 2 B C 0. (1.1.2) Mệnh đề 1.1 Giả sử phương trình (1.1.2) có hai nghiệm và phân biệt. Khi đó phương trình (1.1.1) có nghiệm là un C1 n C2 n , (1.1.3) trong đó C1 và C2 là những số bất kì, được gọi là các hằng số tự do. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 5 Chứng minh. Vì A 2 B là hai nghiệm của phương trình (1.1.2) nên và 2 C 0 và A B C 0. Thay (1.1.3) vào phương trình (1.1.1) ta được: Aun 1 Bun Cun 1 A C1 C1 n 1 n 1 A n 1 C2 2 B B C1 C n C2 n 1 C2 A n C C1 2 B C n 1 C2 n 1 0 C1, C2 . Vậy (1.1.3) là nghiệm của phương trình (1.1.1). Nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì ta có thể tìm được hai hằng số tự do C1 và C2 , khi ấy nghiệm hoàn toàn được xác định. Ví dụ1.1. Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất un 1 3un với điều kiện ban đầu u0 7, u1 (1.1.4) 28un 1 6. Giải: Phương trình đặc trưng của phương trình (1.1.4) là 2 3 28 0 7, 4. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.4) là un Với n 0 ta có u0 C1.7 n C1 C2 hay C1 C2 C2 n 4 . 7. Với n 1 ta có u1 C1.7 C2 . 4 hay 7C1 4C2 C1 C2 7 7C1 4C2 6 Giải hệ phương trình ta được C1 2; C2 6. 5. Vậy nghiệm của phương trình (1.1.4) với điều kiện ban đầu u0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 7, u1 6 là http://www.lrc.tnu.edu.vn 6 n un = 2.7 n + 5. 4 . 1.2 Các phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất đặc biệt 1.2.1 Dãy Fibonacci 1.2.1.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci là dãy cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai un 1 un un 1 0, n = 1,2,..., với điều kiện ban đầu u0 (1.2.1) 0, u1 =1. Công thức (1.2.1) còn có thể viết dưới dạng un 1 un un 1 , n = 1,2,..., u0 0, u1 = 1. 1.2.1.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Fibonacci Phương trình đặc trưng 2 1 0 của (1.2.1) có nghiệm là 1 5 2 1 , 5 2 . Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.1) là un C1 n C2 n , trong đó C1 và C2 là những hằng số tự do. Với u0 0, u1 1 ta có C1 C2 C1 C2 0; 1 C1 C2 1 1 1 ; 5 1 . 5 Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci có công thức là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 7 n 1 5 un n Ta sẽ chứng minh un 1 n 5 1 2 5 . 2 n . 5 Thật vậy, với n 1 và n 2 ta có: u1 2 1 1 5 1 5 2 2 5 5 2 1, u2 5 1. 5 Với n 3, theo định nghĩa dãy Fibonacci và theo qui nạp ta có n 1 un un 1 un 2 n 1 n 2 5 n 2 2 5 n 2 n 2 5 n 2 n 2 1 5 2 n 5 1 5 n . 5 Như vậy, dãy un cũng chính là dãy Fibonacci Fn thỏa mãn F0 n Fn trong đó , n n 5 0, F1 1 và n , là nghiệm của phương trình bậc hai 2 1 0. Để tôn vinh Fibonacci, người ta thường kí hiệu dãy Fibonacci dưới dạng dãy Fn . Từ nay về sau ta cũng sử dụng kí hiệu Fn cho dãy Fibonacci. 1.2.2 Dãy Lucas 1.2.2.1 Định nghĩa Dãy Lucas là dãy được cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất un 1 un un 1 0, n = 1,2,..., với điều kiện ban đầu u0 2, u1 =1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.2) 8 Như vậy, dãy Lucas cũng có phương trình đặc trưng là 2 1 0, hoàn toàn trùng với phương trình đặc trưng của dãy Fibonacci. Hai dãy số này chỉ khác nhau ở điều kiện ban đầu. 1.2.2.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Lucas Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) là un n C1 n C2 , trong đó C1 và C2 là những hằng số tự do. Với u0 2, u1 1 ta có C1 C2 2 C1 C2 1 C1 1, C2 1. n Vậy công thức tổng quát của dãy Lucas là un Kí hiệu L0 2 Ln n . là dãy Lucas. Khi ấy, số hạng tổng quát của dãy Lucas là 2, L1 1 và Ln n n , trong đó là nghiệm của phương trình , 1 0. 1.2.3 Dãy Jacobsthal 1.2.3.1 Định nghĩa Dãy Jacobsthal là dãy được cho bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất un 1 un u0 2un 1 , n = 1,2,..., 0, u1 =1. 1.2.3.2 Công thức nghiệm tổng quát của dãy Jacobsthal Phương trình đặc trưng của (1.2.3) là Phương trình đặc trưng có nghiệm là 2 1 2 0. 1, 2 2. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.3) là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.3) 9 un Với u0 C1 n n C2 . 0, u1 1 ta có C1 C2 C1 C2 0 1 2 1 , C2 3 C1 1 3 Vậy công thức tổng quát của dãy Jacobsthal là un Kí hiệu J n J0 n n . là dãy Jacobsthal. Khi ấy, số hạng tổng quát của dãy Jacobsthal là 0, J1 1 và J n 2 1 . 3 1 3 n n , trong đó là nghiệm của phương trình , 2 0. 1.2.4 Dãy k Fibonacci 1.2.4.1 Định nghĩa Dãy k Fibonacci là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi Fn 1 kFn F0 Fn 1 , n =1,2,..., (1.2.4) 0, F1 =1. 1.2.4.2 Công thức tổng quát của dãy k Fibonacci Phương trình (1.2.4) có phương trình đặc trưng là k2 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là 2 4 k , 1 0. k2 2 k 4 . Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.4) là Fn Với F0 C1 n n C2 . 0, F1 1 ta có C1 C2 0 C1 C2 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN C1 1 k2 4 , C2 1 k2 . 4 http://www.lrc.tnu.edu.vn 10 1 Vậy Fn 2 k k n 2 n 4 , trong đó 1 là nghiệm của phương trình , 1 0. Với k 1 ta trở về dãy Fibonacci. 1.2.5 Dãy k Lucas 1.2.5.1 Định nghĩa Dãy k Lucas là dãy đuợc cho bởi hệ tthức truy hồi Ln 1 kLn L0 Ln 1 , n =1,2,..., (1.2.5) 2, L1 = k. 1.2.5.2. Công thức hệ số tổng quát của dãy k Phương trình đặc trưng của (1.2.5) là 2 k Lucas 1 0. Phương trình đặc trưng có nghiệm là k2 2 k 4 k2 2 k , 4 . Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.5) là Ln Với L0 2, L1 C1 C2 C1 C2 Vậy Ln n C2 n . k ta có 2 k n C1 n C1 1, C2 1. , trong đó , là nghiệm của phương trình 2 k 1 0. Với k 1 ta trở về dãy Lucas. 1.2.6 Dãy k Jacobsthal 1.2.6.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi J n 1 kJ n J0 2 J n 1 , n = 1,2,..., 0, J1 = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2.6) 11 1.2.6.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k Jacobsthal Phương trình đặc trưng của (1.2.6) là 2 0. 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là k k2 8 , 2 k2 8 . 2 k Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.6) là Jn Với J 0 2 k n C2 . 0, J1 1 ta có C1 C2 0 C1 C2 1 Vậy J n n C1 1 k n 2 n 8 1 C1 k , trong đó 2 8 , C2 1 k 2 . 8 là nghiệm của phương trinh , 2 0. 1.2.7 Dãy k Jacobsthal – Lucas 1.2.7.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal–Lucas là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi J n 1 kJ n J0 2 J n 1 , n = 1,2,..., (1.2.7) 2, J1 = k. 1.2.7.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k Jacobsthal – Lucas Phương trình đặc trưng của (1.2.7) là 2 0. 2 k k2 8 , 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là k k2 8 . 2 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.7) là Jn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN C1 n C2 n . http://www.lrc.tnu.edu.vn 12 Với J 0 2, J1 k ta có C1 C2 C1 1 C2 Vậy J n n n , trong đó 0 C1 1, C2 1. k 2 là nghiệm của phương trình , 2 k 2 0. Với k 1 ta trở về dãy Jacobsthal. 1.2.8 Dãy Fibonacci suy rộng 1.2.8.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci suy rộng là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi Gn 1 Gn Gn 1 , n G0 1,2,..., (1.2.8) a, G1 b. 1.2.8.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy Fibonacci suy rộng Công thức hệ số tổng quát của phương trình (1.2.8) là Gn bFn aFn 1 , trong đó Fn là số hạng của dãy Fibonacci. Chứng minh Với n 2, vì F2 G2 F1 1, nên ta có G1 G0 b a bF2 aF1 Tương tự, với n 3, ta có G3 G2 G1 b F2 1 b.F2 a. F1 a.F1 b F0 b F2 F1 a. F1 F0 bF3 aF2 . Vậy công thức trên đúng với n 3. Giả sử công thức đúng với k Gn 1 Gn b Fn 3, k  . Theo qui nạp ta có Gn 1 Fn 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN bFn aFn 1 a Fn 1 Fn bFn 1 2 bFn 1 aFn 2 aFn . http://www.lrc.tnu.edu.vn 13 Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên n 1 . 1.2.9 Dãy k Fibonacci suy rộng 1.2.9.1 Định nghĩa Dãy k Fibonacci suy rộng được cho bởi hệ thức truy hồi Fn 1 kFn F0 2 Fn 1 , n = 1,2,..., (1.2.9) 2, F1 = 0. 1.2.9.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k Fibonacci suy rộng Phương trình (1.2.9) có phương trình đặc trưng là k 2 0. k2 8 , 2 k Phương trình đặc trưng có nghiệm là 2 k2 8 . 2 k Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.9) là Fn Với F0 n C1 C2 n . 2, F1 0 ta có C1 C2 C1 C2 2 2 0 C1 k2 8 k k 2 2 8 k 2 2 8 , C2 k2 8 k k 2 8 2 k 2 1 . 8 Vậy Fn trong đó , 4 k 2 n 1 n 1 , n 2, 8 là nghiệm của phương trình 2 k 2 0. Thật vậy, ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 14 Fn C1 n 2 k 2 k 2 2 n C2 k2 n 1 n 1 n 1 n 1 2 n n k2 8 8 8 2 4 2 8 k n 1 2 n 1 . 8 Ta cũng có thể chứng minh công thức trên theo qui nạp như sau: Fn 1 kFn 4 k 2 n 2 k 4 k k k 2 n 1 n 1 8 n 2 2 k 4 2 n 2 2 4 2 8 4 2 2 Fn 1 k n n 2 k n 2 2 n 2 8 n 2 2 n 2 2 8 . 8 Vậy công thức được chứng minh. 1.2.10 Dãy Fibonacci tổng quát 1.2.10.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi un 1 u0 pun qun 1 , n = 1,2,..., a, u1 = b. (1.2.10) Chọn p, q, a, b thích hợp ta sẽ được các dãy: Fibonacci, Lucas, Jacobsthal,… 1.3 Các đẳng thức tiêu biểu trong dãy Fibonacci tổng quát 1.3.1 Công thức Binet 1.3.1.1 Công thức Binet cho dãy Fibonacci Công thức Binet’s của dãy Fibonacci được cho bởi n Fn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN n , (1.31) http://www.lrc.tnu.edu.vn 15 1 trong đó 2 5 2 1 , 5 2 1 là các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 0. 1.3.1.2 Công thức Binet cho dãy Lucas Công thức Binet của dãy Lucas được cho bởi công thức n Ln 1 trong đó 2 5 2 1 , 5 2 n , (1.3.2) là các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 0. 1.3.1.3 Công thức Binet cho dãy Fibonacci suy rộng Đặt c a a b và d c Gn 1 trong đó 2 5 2 a n 1 1 , a b n 1 d 5 5 2 . Ta có công thức sau: c n 1 n 1 d , (1.3.3) là các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 0. Chứng minh Theo công thức đã chứng minh trong Mục 1.2.8, ta có Gn Mặt khác, vì 1, 2 bFn aFn 1. là nghiệm của phương trình bậc hai , 1; 2 2 1 0 nên ta có 1. n Hơn nữa, ta lại có (xem Mục 1.2.1): Fn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN n 5 . Suy ra http://www.lrc.tnu.edu.vn 16 5Gn b n n n 1 b a n 1 b a n 1 n 1 a 2 n 1 a b n 1 a 2 n 1 b n 1 2 2 a n 1 1 a ( a b) b n 1 b a 1 a ( a b) n 1 c n 1 d . Vậy n 1 c Gn n 1 d 5 n 1 c d n 1 . 1.3.2 Hệ thức Catalan cho dãy Fibonacci Cho k là số nguyên dương và n k .Ta có Fn k Fn Fn2 k 1 n k 1 Fk2 . (1.3.4) 1.3.3 Hệ thức D’Ocagne cho dãy Fibonacci Fm .Fn 1 n Fm 1.Fn 1 Fm n . (1.3.5) 1.3.4 Hệ thức Cassini cho dãy Fibonacci n Fn2 1 Fn 2 .Fn 1 2n 3. (1.3.6) 1.4 Các đẳng thức liên quan giữa dãy Fibonacci và dãy Lucas Hệ thức 1.4.1 (Hoggatt, 1969) Ln Ln 2 4 n 1 5 Fn 1Fn 3 . (1.4.1) Chứng minh. Ta có: Ln Ln 2 4 1 n n n 2n 2 2n 2 n n 2 2n 2 2n 2 n n 2n 2 2n 2 L2 n n 2 2 n n 2 n 2 2 n 2 2 4 4 2 2 n 2 n 4 n n 4 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2 n 2 7 n 1 . http://www.lrc.tnu.edu.vn 17 Mặt khác, n 1 5 Fn 1 Fn 3 = = 2n 2 2n 2 = 2n 2 2n 2 n 1 n 3 n 1 n 3 2 = L2 n 2 n 3 n 1 n = L2 n n 3 4 4 2 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 = L2 n n 7 2 1 . Vậy Ln Ln 4 2 1 n 5 Fn 1Fn 3 . Hệ thức 1.4.2 5 Fn2 L2 n n 2 1 . (1.4.2) Chứng minh. Ta có: L2 n 2n 2n n n n 2 n 2 n 2 5 n 2 n 5Fn2 2 1 . Hệ thức 1.4.3 (Blazej, 1975) 2Fm Fm Ln n (1.4.3) Fn Lm . Chứng minh. Ta có: m Fm Ln m n n Fn Lm m n = 2 m n m n n n m m n n m m n m m n n m m n m n 2 Fm n . Hệ thức 1.4.4 (Ruggles, 1963) Fm n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN Fm Ln n 1 Fm n . http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.4.4) 18 Chứng minh. Ta có: m Fm Ln m m n n 1 Fm n m n n n n m n m n n m m n m n m n n m m n n m n m n n n m m n m n m n Fm n . Hệ thức 1.4.5 (Hoggatt, 1967) (1.4.5) F4 n 1 1 L2 n 1F2 n . Chứng minh. Ta có: 2n L2 n 1 F2 n 2n 1 2n 1 4n 1 4n 1 2n 4n 1 4n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 2n F4 n 1 1. Hệ thức 1.4.6 (Carlitz, 1967) Fn 1Ln 2 Fn 2 Ln F2 n 1. Chứng minh. Ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.4.6) 19 n 1 Fn 1 Ln 2 n 1 n 2 n 2 Fn 2 Ln 2n 3 n 1 2n 1 n 2 n 2 2 2n 1 2n 1 2n 1 n n 1 2n 1 2n 1 n 2 n 2 2n 3 2n 2 n n 2 n n n 1 2 n 2 n 2n 2 2 2 n F2 n 1 . (do 0) Hệ thức 1.4.7 L2n L2n 1 (1.4.7) 5F2 n 1. Chứng minh. Ta có: L2n L2n 1 n 2n n 2 2n 2n 1 2n 2 1 2n 1 n 1 2n 2 2n 1 1 2n 1 2n 1 = n 1 2 n 1 n 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2 2n 1 2n 1 2n 1 2 5F2 n 1. Vậy L2n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN L2n 1 5F2 n 1. http://www.lrc.tnu.edu.vn 2n 2 20 Chương 2 MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG Trong chương này, để cho tiện, ta kí hiệu dãy Fibonacci như sau: Fn 1 F0 Fn Fn 1 , n = 1,2,..., 0, F1 =1. 2.1 Dãy Fibonacci Ta đã biết một số hệ thức về các số Fibonacci sau đây (Sharpe, 1965) : Fn2 2 k + Fn2 = Fn Fn 2k 1 (Sharpe, 1965) : Fn2 2 k 1 + Fn2 = F2 k 1F2 n 2k 1 (Sharpe, 1965) : Fn2 2 k (Sharpe, 1965) : Fn2 2 k (Tadlock, 1965) : Fn2 k 2k 2 + F2 k 1F2 n 2k 1 . (2.1.1) . (2.1.2) Fn2 = F2 k F2 n 2 k . Fn2 = Fn 1Fn 1 (2.1.3) F2 k F2 n 2 2k 2 . (2.1.4) Fn2 k = F2 n 1F2 k 1. 1 (2.1.5) Các hệ thức trên được thiết lập từ các hệ thức: Fn 1 5 n n n , Ln n , = 1 5 2 , = 1 5 2 , = 1. Chứng minh công thức (2.1.1) Ta có 2 n 2k F 1 5 1 5 1 +F = 5 2 n 2 n 2k 1 5 n 2k 2n 4k 2n 4k 2n 2n 2 2n 4k 2n 4k 2n 2n 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 2 n n 2k n n n 2 2k 1 1 L2 n 5 4k L2 n 4 1 http://www.lrc.tnu.edu.vn n .