Mô tả:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT VĂN QUÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
“MỘT SỐ GIẢI PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Tổ:
Toán – Lý
Năm học:
2013 - 2014
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
“MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN”
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Tổ : Toán - Lí
Đơn vị công tác: Trường THPT Văn Quán - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ
Số tiết dự kiến:05T trên lớp + 05T tự học
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình Toán Giải tích 12 học sinh được làm quen với bài toán tính
tích phân. Đây là phần kiến thức rất quan trọng, thường có trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi Đại học – Cao đẳng. Có rất nhiều phương pháp tính tích
phân, trong đó có phương pháp tích phân từng phần. Đây là một phương pháp cơ
bản, nhưng nếu học sinh không biết cách lựa chọn u và dv thì sẽ dẫn đến bài toán
phức tạp. Thông thường ta đặt dv cho phần dễ thấy nguyên hàm và u là phần còn
lại, bởi vì từ u tìm du thì chắc chắn tìm được còn từ dv mà tìm v thì không phải
dễ.
Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản khi tính
tích phân và các dạng toán cơ bản khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân
từng phần.
B. NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN
1. Định nghĩa tích phân:
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
1
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: �f ( x) dx
a
b
b
Vậy �f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a)
a
2. Các tính chất của tích phân:
b
b
a
a
+ Tính chất 1: �kf ( x) dx k �f ( x) dx
b
b
b
a
a
a
[f ( x) �g ( x)] dx �f ( x) dx ��g ( x) dx
+ Tính chất 2: �
b
c
b
a
a
c
+ Tính chất 3: �f ( x) dx �f ( x) dx �f ( x) dx (a c b)
3. Định lí:
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]
thì
b
' ( x) dx (u( x)v( x)) b b u ' ( x)v( x) dx
u
(
x
)
v
�
a a�
a
b
b
u dv uv ba �
v du
Hay �
a
a
4.Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp:
0dx C
�
x
x dx a C (0 a �1)
a
�
ln a
1
dx x
x
C ( �1)
�
1
cos xdx sin x C
�
sin xdx cos x C
�
dx x C
�
dx
�x ln x C ( x �0)
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
e x dx e x C
Quán
�
dx
� 2 tgx C
cos x
dx
THPT Văn
C
� 2 cot gx Trường
sin x
2
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
C. GIẢI PHÁP
Giải pháp 1: Nếu gặp tích phân
u P ( x)
�
b
Dạng 1 : �P( x).sin( x )dx ta đặt �dv sin( x )dx ta có
a
�
�du P '( x).dx
�
�
1
v cos( x )
�
�
u P ( x)
�
b
Dạng 2 : �P( x).cos( x )dx ta đặt �dv cos( x )dx ta có
a
�
�du P '( x).dx
�
� 1
v sin( x )
�
�
b
Dạng 3 : �P( x).e( x ) dx ta đặt
a
u P( x)
�
�
�
x dx
�
�dv e
b
Dạng 4 : �f ( x).ln( x )dx ta đặt
a
ta có
u ln( x )
�
�
�dv f ( x)dx
�du P '( x).dx
�
� 1 x
v e
�
�
ta có
�
.dx
�du
x
�
�
v F ( x)
�
π
(2x-1)sin2xdx
Ví dụ 1 : Tính tích phân A= �
0
Giải
Đặt u = 2x - 1 du = 2dx ;
dv = sin2x dx v =
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
cos2x
2
Trường THPT Văn
3
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
1
1
1 1
cos2xdx 2 1 sin 2x
suy ra: A 2x 1 cos2x �
0 0
0
2
2
2 2
2
Ví dụ 2: Tính tích phân B= lnx dx
1
Giải
Đặt u = lnx du =
dx
x
dv = dx v = x
2
2
dx 2 ln 2 x
suy ra: B = xlnx 1 �
1
2
2 ln 2 1
1
2
Ví dụ 3: Tính tích phân C = �(x 3)e2x dx
1
Giải
Đặt u = x - 3 du = dx
dv =
e 2x dx
v=
1 2x
e
2
2
1
1 2x
e4
1 2x 2
3e4 5e2
2x 2
2
e dx e e
suy ra: C = x 3 e 1 �
1
2
21
2
4
4
*) Chú ý: Có những tích phân phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Mỗi
lần từng phần thì mũ của biểu thức u giảm một bậc cho tới khi không còn mũ.
π
Ví dụ 4: Tính tích phân I = (x
2
3x 1)sin2x dx
0
Giải
Đặt u = x2 + 3x - 1 du = (2x + 3)dx ;
dv = sin2x dx v =
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
cos2x
2
Trường THPT Văn
4
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
1
1
I �
(x 3x 1)sin2x dx x 2 3x 1 cos2 x �
2 x 3 cos2 xdx
0
2
2
0
0
π
2
1
1
2 3 �
2 x 3 cos2 xdx
2
20
π
Sau đó ta phải tính: J= (2x 3)cos2xdx
0
Đặt u = 2x + 3 ; du = 2dx ;
dv = cos2x dx v =
sin2x
2
π
1
1
(2x 3)cos2xdx 2 x 3 sin 2 x �
sin2xdx cos2 x 1
Suy ra J �
0 0
0
2
2
0
π
π
(x 2 3x 1)sin2x dx
Vậy I = �
0
1 2
3 1
2
e
Ví dụ 5: Tính tích phân H = (x 3
4x 2 x 2)ln 2 xdx
1
Giải
Đặt u = ln2x du =
2lnx
dx
x
dv = (x3 – 4x2 + x + 2)dx v =
x 4 4x 3 x 2
2x
4
3
2
Suy ra:
e
H �
(x 3 4x 2 x 2)ln 2 xdx
1
�x
� 2 e e x 3 4x 2 x
4x 3 x 2
�
2x �
ln x �
(
2)lnxdx
3
2
3
2
�4
� 1 1 4
4
e
e 4 4e3 e 2
x 3 4x 2 x
2e-�
(
2)lnxdx
4
3
2
4
3
2
1
e
�x 3 4x 2 x
�
K
2
lnx dx
Sau đó ta phải tính:
�
�
�
4
3
2
�
1�
đặt: u = lnx ; du =
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
dx
x
;
Trường THPT Văn
5
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
dv =
(
x 3 4x 2 x
2)dx
4
3
2
v=
x 4 4x 3 x 2
2x
16
9
4
e
�x 3 4x 2 x
�
K �
2�
lnx dx
�
4
3
2
�
1�
�x 4 4x 3 x 2
� e e �x 3 4x 2 x
�
=�
2x �
ln x �
2 �dx
�
9
4
16
9
4
�16
� 1 1�
�
�x 4 4x 3 x 2
�e
e 4 4e3 e 2
=
2e- �
2x �
16 9
4
8
�64 27
�1
�e 4 4e3 e2
� �1
e 4 4e3 e 2
1 1
�
2e �
2e � �
2�
16 9
4
�
�64 27 8
� �64 27 8
3e 4 8e3 e 2 3635
64 27 8 1728
Suy ra H=
3e 4 8e3 e 2 3635
64 27 8 1728
Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
2
2
b) I 2 �
3 x.e dx
x
a ) I1 �
( x 1)sin xdx
1
0
π
d )I4 �
(1 2x 3 )cos
0
2
c) I 3 �
(3 x 2 1) ln xdx
1
x
dx ( từng phần 3 lần )
4
2
e) I 5 �
(x 2 3x) 2e 2x dx ( từng phần 4 lần )
1
2
f )I 6 �
(x 2 2x 1) ln 3x dx ( từng phần 3 lần )
1
Giải pháp 2: Nếu gặp tích phân
b x
Dạng 1: I = �
e
sin(mx n)dx
a
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
6
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
x .dx
�
du
.
e
x
�
�
�
u e
ta đặt �
ta có �
1
dv
sin(
mx
n
)
dx
v cos(mx n)
�
�
�
m
�
(hoặc có thể đặt ngược lại
u sin(mx n)
�
�
�
x dx
�
�dv e
ta có
�du m.cos(mx n)dx
�
� 1 x
)
v e
�
�
b x
Dạng 2: J = �
e
cos(mx n)dx
a
ta đặt
�
�
u e x
�
�
�dv cos(mx n)dx
(hoặc có thể đặt ngược lại
ta có
x .dx
�
�du .e
� 1
v sin(mx n)
�
� m
u cos(mx n)
�
�
�
x dx
�
�dv e
ta có
�du m.sin(mx n)dx
�
� 1 x
)
v e
�
�
*) Chú ý: Từng phần lần thứ nhất thì dạng 1 chuyển sang dạng 2, từng phần lần
thứ hai thì lại về dạng cũ. Khi đó ta được một phương trình với I (hoặc J) là ẩn số,
giải tìm I (hoặc J)
Ví dụ : Tính tích phân I = e
2x -1
sin3x dx
0
Giải
Đặt u = e2x-1 du = 2e2x-1 dx
dv = sin3x v =
suy ra: I
=
1 2x 1
(e
cos3x)
3
π
0
cos3x
3
+
2
e 2x -1cos3x dx
30
=
2
1 2π 1 1
(e
) + e 2x -1cos3x dx
30
3
e
( dạng I chuyển về J )
Gọi J = e
2x -1
cos3x dx
0
Đặt u = e2x-1 du = 2e2x-1 dx
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
7
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
dv = cos3x v =
suy ra: J =
2
1 2x 1
(e sin3x) I ( dạng J lại chuyển về I )
0 3
3
Do đó: I =
Vậy: I =
sin3x
3
1 2π 1 1
(e
)
3
e
4
9
-
I
3 2π 1 1
(e
)
13
e
Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
π
a) I = e
0
1 x
4
b) J �e x sin xdx
0
x
cos dx
2
Giải pháp 3: Lựa chọn nguyên hàm v phù hợp để tính tích phân dễ dàng hơn
5
2xln x 1 dx
Ví dụ 1 : Tính tích phân M = �
2
Giải:
Đặt u = ln(x-1) du =
1
x 1
dx
dv = 2xdx v = x 2 1
5
5 5 x2 1
x 1 dx
suy ra: M = x ln x 1 � dx 25ln 4 �
2 2 x 1
2
2
x 1
= 25ln 4
2
2
5
2
25ln 4
27
2
*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v = x 2 1 thay vì chọn v = x 2 như quen thuộc.
Với sự lựa chọn này vdu có biểu thức đẹp hơn và nhờ đó việc tính tích phân sẽ
thuận lợi hơn.
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
8
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
1
ln 2 x 1 dx
Ví dụ 2 : Tính tích phân N = �
0
Giải:
Đặt u = ln(2x+1) du =
dv = dx v =
x
2
2x 1
dx
1
2
1 1
1 3
3
� 1�
ln 2 x 1 �
dx ln 3 x ln 3 1
suy ra: N = �x �
0 0
0 2
2
� 2�
*) Lưu ý: Ta đã chọn nguyên hàm v =
x
1
2
thay vì chọn v = x.
Bài tập rèn luyện:
Tính các tích phân sau đây:
e 1
a)
ln x 1 dx
�
0
dv = cosnx v =
1
b)
xln x 1
�
2
dx
0
1
sinnx
n
D. KẾT LUẬN
Trên đây là nội dung chuyên đề “Một số giải pháp tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần”. Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi
tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao đẳng. Chuyên đề giúp cho học sinh tính tích
phân từng phần tốt hơn và nhanh hơn nếu gặp các dạng này, nếu gặp dạng tương
tự thì cũng có thể làm được. Hoặc ít ra cũng lựa chọn cách đặt đúng đối với một
bài tích phân nào đó nếu dùng phương pháp tích phân từng phần.
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
9
Chuyên đề: “Một số giải pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”
Chuyên đề đã được áp dụng cho lớp 12A1, 12A3, 12A5. Nhìn chung các em đã
biết cách nhận biết các bài tích phân phải sử dụng phương pháp tích phân từng
phần, biết cách đặt u và dv phù hợp, biết tích phân nào phải từng phần nhiều lần,
tích phân nào có hai cách đặt. Đặc biệt lớp 12A1 rất nhanh trong bài toán nhận
biết lựa chọn nguyên hàm v sao cho phù hợp để tính tích phân đơn giản hơn.
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục
2. Vũ Tuấn, Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục
3. Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục
4. TS Nguyễn Cam, Phân loại- phân tích và phương pháp giải toán tích phân,
NXB ĐHQG Hà Nội
Tổ trưởng
Trần Quang Huy
Người thực hiện
Nguyễn Thị Hồng
Nhung
Giáo viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Quán
Trường THPT Văn
10
- Xem thêm -
.DOC 
11 
515 
134 
