Tài liệu Một số dạng toán luyện thi vào lớp 10

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10 Người soạn Vũ Văn Bắc Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC 1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có  Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về căn thức  Rút gọn biểu thức  Giải bất phương trình : chú ý điều kiện ban đầu  Giải phương trình : chú ý điều kiện ban đầu để loại nghiệm nếu có  Chia nhỏ các biểu thức để tính nếu như biểu thức cần tính là phức tạp hay dài dòng  Lưu tâm rằng đây là câu hỏi đơn giản các em cần cẩn thận trong việc làm toán.  3 x 1 1  1  Tổng quan: Cho biểu thức B    với x  0 ; x  1 : x  1  x  x  x 1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để 2P  x  3 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011) Lời giải a) Với điều kiện x  0 ; x  1 ta có   3 x 1 x 1 B  x  x     ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)     x ( x  1).  3 x 1 x 1 ( x  1)( x  1) x (2 x  2) 2 x ( x  1)  2 x x 1 x 1 Vậy với x  0 ; x  1 thì P  2 x b) Với điều kiện x  0 ; x  1 và P  2 x ta có 2P  x  3  4 x  x  3  x 4 x 3  0    x 1  x 3  0  x 1  0  x 1 x  1    x  9  x  3  0  x  3 Kết hợp với điều kiện thì chỉ có x  9 là thỏa mãn Vậy x  9 là giá trị thỏa mãn bài toán đã cho Nhận xét: cách giải chung trong bài toán trên như sau  Đặt điều kiện thích hợp (nếu đề bài trước như trên thì ta vẫn phải nêu lại sau đó biến đổ rút gọn biểu thức.  Kết luận: nêu lại điều kiện và kết quả tìm được.  Khi gặp dạng như câu hỏi 2 thì cách làm trên là điển hình. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc 1.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 1.1. Cho biểu thức P  a 2 a 3  5 a a 6  1 2 a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho P  1 c) Tìn a sao cho P  2012  Bài toán 1.2. Cho biểu thức P = 1    a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x sao cho P  0 x   x  3 x 2 x  2  :    x  1   x  2 3  x x  5 x  6   x 1 1 8 x   3 x 2  : 1   Bài toán 1.3. Cho biểu thức P =      3 x 1  9 x  1 3 x  1 3 x  1     a) Rút gọn P 6 b) Tìm các giá trị của x để P  5   a   1 2 a  Bài toán 1.4. Cho biểu thức P = 1  :    a 1 a a  a  a 1 a  1     a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho P  1 c) Tìm giá trị của P sao cho a  19  8 3 Bài toán 1.5. Cho biểu thức P =   1  a3  a (1  a)2  1  a 3 :  a .  a    1 a  1 a  1  a   a) Rút gọn P 1  b) Xét dấu của biểu thức M  a  P   2   x 1   2x  x x 1 2 x  x  Bài toán 1.6. Cho biểu thức P =    1 : 1   2x  1 2x  1 2 x  1   2x  1   a) Rút gọn P 3 b) Tính giá trị của P khi x   2 2  2 x Bài toán 1.7. Cho biểu thức P =   x x  x  x  1  1   x  : 1  x  1  x  1   a) Rút gọn P b) Tìm x để P  0   2a  1   1  a3 a  . Bài toán 1.8. Cho biểu thức P =    a  1 a 3  a  a  1 a    a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P 1  a www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc 1   2x  x 1 2x x  x  x   1 Bài toán 1.9. Cho biểu thức P      : x   1  x 1 x x  1 x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho P  a 1  a a  1  a a  Bài toán 1.10. Cho biểu thức P =   a .  a   1 a  1 a  a) Rút gọn P b) Tìm a sao cho P  7  4 3  2 x Bài toán 1.11. Cho biểu thức P =    x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tìm x để P  2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x 3 x  3   2 x  2   :  1 x  3 x  9   x  3   x3 x   9x x 3 Bài toán 1.12. Cho biểu thức P    1 :     x9   x x 6 2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P  1 Bài toán 1.13. Cho biểu thức P  x  2  x  3  15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P  c) Chứng minh rằng : P  1 2 2 3 2 x  x m Bài toán 1.14. Cho biểu thức P  x m2  trong đó m  0 2 x  m 4 x  4m a) Rút gọn P b) Tính x theo m sao cho P  0 c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x  1 Bài toán 1.15. Cho biểu thức P  a2  a 2a  a  1 a  a 1 a a) Rút gọn P b) Biết a  1 Hãy so sánh P với | P | c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a 1   a 1  ab  a ab  a Bài toán 1.16. Cho biểu thức P     1 :    1 ab  1 ab  1  ab  1   ab  1  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi a  2  3 và b  3 1 1 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu www.MATHVN.com a b 4 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Bài toán 1.17. Cho biểu thức P  Biên soạn Vũ Văn Bắc a a 1 a a 1  1  a  1 a  1    a    a a a a  a  a  1 a  1  a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P  7 c) Với giá trị nào của a thì P  6  a 1  Bài toán 1.18. Cho biểu thức P    2 a   2 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a sao cho P  0 c) Tìm các giá trị của a sao cho P  2 2  a 1 a  1    a 1  a 1   ( a  b )2  4 ab a b  b a . a b ab a) Tìm điều kiện sao cho P có nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi a  2 3 và b  3 Bài toán 1.19. Cho biểu thức P   x2 x 1  Bài toán 1.20. Cho biểu thức P     :  x x 1 x  x 1 1 x  a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : P  0 với mọi x  1 2 x  x Bài toán 1.21. Cho biểu thức P     x x 1 a) Rút gọn P b) Tính P khi x  5  2 3  x y  Bài toán 1.22. Cho biểu thức P    x y  a) Rút gọn P b) Chứng minh P  0 x 1 2 1   x  2  : 1  x  1   x  x  1  x3  y3 yx  :     2 x  y  xy x y  1 3 ab   1 3 ab  ab  Bài toán 1.23. Cho P    .  :       a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b  a) Rút gọn P b) Tính P khi a  16 và b  4  2a  a  1 2a a  a  a  a  a . Bài toán 1.24. Cho biểu thức P  1     2 a 1 1  a 1  a a   a) Rút gọn P b) Cho P  6 1 6 tìm giá trị của a  x5 x   25  x Bài toán 1.25. Cho biểu thức P    1 :    x  25   x  2 x  15 a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì P  1 www.MATHVN.com x 3  x 5 x  5  x  3  www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc     a  1. a  b 3 a 3a 1 : Bài toán 1.26. Cho biểu thức P     a  b  2a  2 ab  2b  a  ab  b a a  b b a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên 1   a  1 a  2   1 Bài toán 1.27. Cho biểu thức P     : a   a 2 a  1   a 1 a) Rút gọn P 1 b) Tìm giá trị của a sao cho P  6  1 1  2 1 1 Bài toán 1.28. Cho biểu thức P    .   :  y  x  y x y   x a) Rút gọn P b) Cho xy  16 xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất x3  y x  x y  y 3 x 3 y  xy 3 x3 2x 1 x  . xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x Bài toán 1.29. Cho biểu thức P  a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho y  625 và P  0, 2 VẤN ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Một số câu hỏi mang tính tương đối  Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải  Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng chú ý về điều kiện  để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó. Ví dụ như điều kiện để phương trình có nghiệm là x  1 thì ta phân tích về dạng b.( x  1) trong đó b  x  1 . Nếu như b  x  1 thì phân tích thành dạng bình phương cộng hằng số và đánh giá.  Phương trình trùng phương và số nghiệm  Có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Lưu ý ở đây phương trình (*) là phương trình ẩn t sau khi đặt t  x 2  Có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại là dương.  Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu.  Có một nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất bằng 0.  Tổng quan: Xét phương trình (m  1)x 2  4mx  4m  1  0 a) Hãy giải phương trình trên khi m  2 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 chứng minh rằng m  1x 1   x2  m2  m  5 h) Tìm m khi ta có hệ thức sau x1  x 2  2 7 trong đó x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình. i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. j) Chứng minh rằng khi m  1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 . Khi đó hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 x1x 2  4  x1  x 2  4  4 5 Lời giải a) Khi m  2 thay vào phương trình đã cho ta được x 2  8x  9  0 Phương trình này có  '  16  9  7  0 khi đó thì phương trình có 2 nghiệm x1  4  7 ; x2  4  7 Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có tập nghiệm là  S  4 7 ; 4 7  b) Để giải quyết được câu hỏi này thì ta chia làm hai trường hợp như sau Trường hợp 1. m  1 thì ta có 5  4x  0  x  5  m  1 thỏa mãn. 4 Trường hợp 2. m  1 khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai Xét biệt thức  '  4m 2  (m  1)(4m  1)  3m  1 Để phương trình có nghiệm thì  '  0  3m  1  0  m   Vậy với m   1 thì phương trình đã cho là có nghiệm. 3 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m  1   1   '  0  3m  1  0  m    3 Khi đó theo hệ thức Viet thì ta có x1  x2  Mặt khác ta lại có : 4m 4m  1 ; x 1x 2  m 1 m 1 4m 4(m  1)  4 4  4 m 1 m 1 m 1 4m  1 4(m  1)  5 5  4 m 1 m 1 m 1 www.MATHVN.com 1 3 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau   5 x 1  x 2  4x1x 2  20  16  4   Vậy hệ thức cần tìm là 5 x 1  x 2  4x 1x 2  20  16  4  '  0  d) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi x1x 1  0 x  x  0 2  1    '  0  m   1 3 m  1 4m  1 x 1x 2  0  0 m   1 m 1  4 x1  x2  0  m  1 4m 0 m 1 m  0 Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi m  1 or  1 m 0 3  '  0  e) Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt khi x 1x1  0 x  x  0 2  1 1  '  0  m   3 m  1 4m  1  x 1x 2  0  0 m   1 m 1  4 4m  x1  x2  0  0 0m 1 m 1 Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.   '  0 f) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi  x 1x1  0 1  '  0  m   3  x 1x 2  0  4m  1 1 0  m 1 m 1 4 Vậy phương trình có hai nghiệm âm phân biệt trái dấu khi   1 m 1 3 g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta có x1  x 2 www.MATHVN.com 2   x 1  x2 2   4x 1x 2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10  Áp dụng hệ thức Viet ta được x1  x 2   m 1  1  x2 2 m  1  x  Mặt khác 2  x 2  m  1  x  1  x2 1 2   x2 Biên soạn Vũ Văn Bắc 2   3m  1 m 2  m  5  (m  1)2 (m  1)2  m2  m  5 2   m2  m  5 2   m  1x 1  x2   Vậy m  1 x 1  x 2  m 2  m  5 dấu bằng có khi m  2. h) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 là m    Xét x1  x 2 2   x 1  x2  2 1 và m  1 3  4x 1x 2 Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta được 16m 2 4(4m  1)   28 2 m 1 (m  1)  16m 2  4(m  1)(4m  1)  28(m  1)2  16m 2  4(4m 2  3m  1)  28(m 2  2m  1)  28m 2  56m  28  12m  4  0  28m 2  68m  24  0  7m 2  17m  6  0 Ta dễ dàng tìm được m  2 ; m  3 thỏa mãn bài toán. 7 1 3 x 2  2x1  0 i) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt m  1 và m   Từ giả thiết bài toán ta có : x1  2x 2 hoặc x 2  2x1  x 1  2x 2      5x 1x 2  2 x12  x 2 2  0  9x 1x 2  2 x 1  x 2  2   0 Từ đây áp dụng hệ thức Viet ta được 9(4m  1) 2.16m 2   0  9(m  1)(4m  1)  32m 2  0 2 m 1 (m  1)  36m 2  27m  9  32m 2  0  4m 2  27m  9  0 Khi đó các em làm tiếp chú ý điều điện phương trình có hai nghiệm phân biệt j) Đễ dàng chứng minhđược ý đầu tiên của bài toán ta có x1  x2  x 1x 2  4m 4(m  1)  4 4  4 m 1 m 1 m 1 4m  1 4(m  1)  5 5 5  4  x 1x 2  4  m 1 m www.MATHVN.com 1 m 1 m 1 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Khi đó ta có : 1 x1x 2  4  x1  x 2  Biên soạn Vũ Văn Bắc m 1 4  4 5 m 1 Với m  1  m  1  0 từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchuy cho hai số dương ta có bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dấu bằng có khi và chỉ khi m  1  2 5 2.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 2.1. Cho phương trình m 2 x  ( 2  1) 2  2  x  m2 a) Giải phương trình khi m  2  1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x  3  2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài toán 2.2. Cho phương trình m  4x 2  2mx  m  2  0 (x là ẩn số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  2 tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài toán 2.3. Cho phương trình x 2  2m  1x  m  4  0 (x là ẩn số ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M  x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào m Bài toán 2.4. Tìm m để phương trình : a) x 2  x  2m  1  0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4 x 2  2 x  m  1  0 có hai nghiệm âm phân biệt c) ( m 2  1) x 2  2( m  1) x  2m  1  0 có hai nghiệm trái dấu Bài toán 2.5. Cho phương trình x 2  a  1x  a 2  a  2  0 a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 tìm giá trị của a để x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 1 Bài toán 2.6. Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức   b c 2  x 2  bx  c  0 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm  2  x  cx  b  0 Bài toán 2.7. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung 2  2 x  (3m  2)  12  0  2  4 x  (9m  2) x  36  0 Bài toán 2.8. Cho phương trình 2 x 2  2 mx  m 2  2  0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình Bài toán 2.9. Cho phương trình bậc hai tham số m : x 2  4 x  m  1  0 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện x12  x22  10 Bài toán 2.10. Cho phương trình x 2  2m  1x  2m  5  0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 2.11. Cho phương trình x 2  2m  1x  2m  10  0 (với m là tham số) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất Bài toán 2.12. Cho phương trình m  1x 2  2mx  m  1  0 với m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m  1 b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m x x 5 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức 1  2   0 x2 x1 2 Bài toán 2.13. Giả sử phương trình a.x 2  bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Đặt S n  x1n  x2n với n nguyên dương. Chứng minh rằng : a.S n  2  bS n 1  cS n  0 Bài toán này nói về ″Công thức truy hồi″ các em thi Chuyên cần lưu ý. Bài toán 2.14. Cho f ( x)  x 2  2(m  2) x  6m  1 a) Chứng minh rằng phương trình f ( x)  0 có nghiệm với mọi m b) Đặt x  t  2 tính f ( x ) theo t từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f ( x)  0 có hai nghiệm lớn hơn 2 Bài toán 2.15. Cho phương trình x 2  2m  1x  m 2  4m  5  0 a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình tính x12  x22 theo m Bài toán 2.16. Cho phương trình x x  2m  2x  m  1  0 1 a) Giải phương trình khi m  2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của m để x1 (1  2 x2 )  x2 (1  2 x1 )  m 2 Bài toán 2.17. Cho phương trình x 2  4 x 3  8  0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức M  6 x12  10 x1 x2  6 x22 5 x1 x23  5 x13 x2 Bài toán 2.18. Cho phương trình x 2  2k  2x  2k  5  0 (k là tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của k sao cho x12  x22  18 Bài toán 2.19. Cho phương trình 2m  1x 2  4mx  4  0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m  1 b) Giải phương trình (1) khi m bất kì c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài toán 2.20. Cho phương trình x 2  2 m  3x  m 2  3m  0 a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1  x1  x2  6 www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Về câu hỏi này thì các em cần chú ý đến việc đặt ẩn phụ để giải toán và điều kiện xác định khi gặp bài toán có chứa căn thức hay mẫu thức. m  1x  y  m  1 Bài toán 3.1. Tìm giá trị của m để hệ phương trình   x  m  1 y  2 có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x  y nhỏ nhất. Bài toán 3.2. Giải hệ phương trình và minh hoạ bằng đồ thị  x 1  y a)  2 y  5  x x  y  2  b)  x y  4  4  1  y 1  x 1 c)   y  3 x  12 2 x  by  4 Bài toán 3.3. Cho hệ phương trình  bx  ay  5 a) Giải hệ phương trình khi a  b b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có vô số nghiệm.  mx  y  2 m Bài toán 3.4. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số  4 x  my  6  m  x  ay  1 Bài toán 3.5. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình  ax· y  2 a) Có một nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm  x 2  xy  y 2  19 Bài toán 3.6. Giải hệ phương trình sau   x  xy  y  1  x 1  y  2  1 Bài toán 3.7. Tìm m sao cho hệ sau có nghiệm  2  x  y   m x  y  1  x  y  0  2 x 2  xy  3 y 2  13 Bài toán 3.8. Giải hệ phương trình  2 2  x  4 xy  2 y  6 a 3  2b 2  4b  3  0 Bài toán 3.9. Cho a và b thoả mãn hệ phương trình  2 2 2  a  a b  2b  0 Tính giá trị của biểu thức P  a 2  b 2 (a  1) x  y  3 Bài toán 3.10. Cho hệ phương trình   a.x  y  a a) Giải hệ phương rình khi a   2 b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x  y  0 VẤN ĐỀ 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 4.1. Cho hàm số (d ) : y  (m  2) x  n Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d ) của hàm số a) Đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3www.MATHVN.com ; -4) b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1  2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2  2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc c) Cắt đường thẳng x  2 y  3  0 d) Song song vối đường thẳng 3 x  2 y  1 Bài toán 4.2. Cho hàm số (P) : y  2x 2 a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d ) : y  mx  1 theo m d) Viết phương trình đường thẳng ( d ') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài toán 4.3. Cho (P) : y  x 2 và đường thẳng (d ) : y  2 x  m 1. Xác định m sao cho hai đường đó a) Tiếp xúc nhau tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B một điểm có hoành độ x  1 . Tìm hoành độ của điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B 2. Trong trường hợp tổng quát giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài toán 4.4. Cho đường thẳng (d ) : 2( m  1) x  ( m  2) y  2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) : y  x 2 tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để (d ) cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d ) đi qua khi m thay đổi Bài toán 4.5. Cho (P) : y   x 2 a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 3 Bài toán 4.6. Cho đường thẳng (d ) : y  x  3 4 a) Vẽ đồ thị (d ) b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d ) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d ) Bài toán 4.7. Cho hàm số (d ) : y  x  1 a) Nhận xét dạng của đồ thị vẽ đồ thị ( d ) b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x 1  m Bài toán 4.8. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (d ) : y  ( m  1) x  2 ; (d ') : y  3 x  1 a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau Bài toán 4.9. Tìm giá trị của a để ba đường thẳng ( d1 ) : y  2 x  5 ; ( d 2 ) : y  x  2 và (d3 ) : y  ax  12 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Bài toán 4.10. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d ) : 2 x  (m  1) y  1 luôn đi qua một điểm cố định nào đó. 1 Bài toán 4.11. Cho ( P ) : y  x 2 và đường thẳng (d ) : y  ax  b . Xác định a và b để đường thẳng 2 (d ) đi qua điểm A(-1 ; 0) và tiếp xúc với ( P) Bài toán 4.12. Cho hàm số y  x  1  x  2 a) Vẽ đồ thị hàn số trên www.MATHVN.com b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình x  1  x  2  m www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 4.13. Cho ( P ) : y  x 2 và đường thẳng (d ) : y  2 x  m a) Vẽ ( P) b) Tìm m để ( P) tiếp xúc (d ) 1 Bài toán 4.14. Cho ( P ) :  x 2 và (d ) : y  x  m 4 a) Xác định m để (P) và (d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4 c) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bài toán 4.15. Cho hàm số ( P) : y  x 2 và hàm số (d ) : y  x  m a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Áp dụng tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 Bài toán 4.16. Cho điểm A(-2 ; 2) và đường thẳng ( d1 ) : y  2( x  1) a) Điểm A có thuộc ( d1 ) không hãy giải thích. b) Tìm a để hàm số ( P ) : y  ax 2 đi qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC Bài toán 4.17. Cho ( P ) : y  1 2 x và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm 4 lượt là -2 và 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x   2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. 1 Bài toán 4.18. Cho ( P ) : y   x 2 và điểm M (1;-2) 4 a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Gọi x A ; xB lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB  x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.  Tính S theo m và xác định m để S  4 8  m 2 m 2  m  2  Bài toán 4.19. Cho hàm số (P) : y  x 2 a) Vẽ (P) b) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) 1 Bài toán 4.20. Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) : y   x 2 và (d ) : y  mx  2m  1 4 a) Vẽ (P) b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc 1 Bài toán 4.21. Cho (P) : y   x 2 và điểm I(0;-2). Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m. 4 a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với m  R b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất x2 3  và đường thẳng (d) đi qua điểm I  ;1 có hệ số góc là m 4 2  a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Bài toán 4.22. Cho (P) : y   Bài toán 4.23. Cho (P) : y  x2 x và đường thẳng (d) : y    2 4 2 a) Vẽ (P) và (d) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bài toán 4.24. Cho (P) : y  x 2 a) Vẽ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài toán 4.25. Cho (P) : y  2x 2 a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x  1 và điểm B có hoành độ x  2 . Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d ) : y  mx  n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài toán 4.26. Xác định giá trị của m để  d1  : x  y  m và  d 2  : mx  y  1 cắt nhau tại một điểm trên (P) : y  2x 2 VẤN ĐỀ 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Loại 1. Bài toán chuyển động Bài toán 4.1. Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi. Bài toán 4.2. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài toán 4.3. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h. Bài toán 4.4. Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi. Bài toán 4.5. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30 km/h 3 xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 4 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ www.MATHVN.com 20 phút. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 4.6. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h. Tính vận tốc lúc đi, biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút. Bài toán 4.7. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h. Bài toán 4.8. Hai địa điểm A, B cách nhau 56 km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km. Bài toán 4.9. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B . Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai ngưòi gặp nhau tại C cách B 10 km . Tính quãng đường AB. Bài toán 4.10. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính quãng đường AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút. Bài toán 4.11. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h , sau đó ngược từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi . Bài toán 4.12. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài toán 4.13. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc. Bài toán 4.13. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bài toán 4.14. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô. Bài toán 4.15. Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h. Bài toán 4.16. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h. Bài toán 4.17. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường . Bài toán 4.18. Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô. Bài toán 4.19. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Loại 2. Bài toán về năng xuất Bài toán 4.20. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu. Bài toán 4.21. Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch. Bài toán 4.22. Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định. Bài toán 4.23. Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. Bài toán 4.14. Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ thì 2 hoàn thành được mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi 3 tổ phải làm trong bao lâu. Bài toán 4.25. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Bài toán 4.26. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong . Loại 3. Bài toán về thể tích Bài toán 4.27. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể. Bài toán 4.28. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu. Bài toán 4.29. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định 1 thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3. Sau khi bơm được thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với 3 công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3 . Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa. Bài toán 4.30. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 1 phút thì sẽ được bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể. 5 Bài toán 4.31. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 6. HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài 1. (HSG Hải Phòng năm 2003) Cho tam giác ABC nhọn với BE và CD là các đường cao. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt các đường phân giác trong và ngoài góc BAC tại P và Q tương ứng. Chứng minh rằng : a) PQ  DE b) PQ đi qua trung điểm của cạnh BC. Bài 2. (HSG Nghệ An năm 2003) Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB của nó. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm P chính giữa của cung AB lớn kẻ đường kính PQ của đường tròn. Đường kính này cắt dây AB ở D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai là I. Các dây AB và QI cắt nhau ở K. a) Chứng minh rằng : CID và CKP đồng dạng. b) Đường thẳng qua B và vuông với CI cắt AI ở E. Chứng minh BCE cân. c) Giả sử A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B. Chứng minh rằng : QI luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3. (HSG Thanh Hóa năm 2003) Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APB và H là trực tâm của tam giác CPD. Chứng minh rằng O, P, H thẳng hàng. Bài 4. (HSG Phú Thọ năm 2003) Cho đường tròn tâm (O, R) và dây BC bé hơn 2R. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A.Lấy M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC và không trùng với B và C.Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB ; BM cắt HK tại P ; CM cắt HI tại Q. a) Chứng minh PQ song song với BC. b) Xác định vị trí của điểm M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất. Bài 5. (HSG Đồng Nai năm 2003) Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B C theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, PM, MN. Trên các đoạn thẳng AC và AB lần lượt lấy D và E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho hai góc DMK và NMP bằng nhau. Chứng minh rằng : a) MD = ME b) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc ADK của tam giác ADK. Bài 6. (HSG Bình Định năm 2003) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. Gọi I là trung điểm BC. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BIE và tam giác CDI cắt nhau ở K. a) Chứng minh rằng hai góc BDK và CEK bằng nhau b) Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh M, H, K thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp. Bài 7. (HSG Ninh Bình năm 2003) Cho đường tròn đường kính AB và một đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn vuông góc với AB tại C. Cát tuyến bất kỳ CMN cắt đường tròn tại M, N. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với AM và AN.Chứng minh rằng : tứ giác DEMN nội tiếp một đường tròn. Bài 8. (HSG Đà Nẵng năm 2003) Cho tam giác ABC vuông ở A có A và B là cố định, C chuyển động theo chiều của tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC tại M và N tương ứng. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định. Bài 9. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài 10. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002) Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q. Chứng minh rằng : đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đường thẳng d. Bài 11. (Vô địch Toán Nhật Bản năm 2002) Cho đường tròn (O). Hai điểm B và C cố định trên đường tròn và BC không phải đường kính. Lấy A là điểm trên đường tròn không trùng với B, C. Gọi AD, AE là các đường phân giác trong và ngoài và I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam tam giác ABC kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AD tại M và N. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm A sao cho SAMN đạt giá lớn nhất. Bài 12. (Vô địch Toán Nhật Bản năm 2002) Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi d là đường thẳng đi qua D và nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho AE  BE ; AF  CF và E, F không trùng D. Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng : AN  MN. Bài 13. (Vô địch Toán Nam Phi năm 2002) Cho tam giác ABC có phân giác trong AD. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng AH vuông góc với BC. Bài 14. (Vô địch Toán Trung Quốc năm 2002) Gọi G và I theo thứ tự là trọng tâm và tâm nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng đi qua G song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại Bc và Cb. Qua G song song với AC cắt BC và AB lần lượt tại Ca và Ac. Qua G song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại Ab và Ba. Các điểm Ia ; Ib ; Ic theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác GBaCa ; GCbAb ; GAcBc. Chứng minh rằng : AIa ; BIb ; CIc đồng quy tại một điểm thuộc GI. Bài 15. (HSG Hải Phòng năm 2008) Cho ΔABC với O và I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Chứng minh   90 rằng : AB + AC  2BC  AIO Bài 16. (Đề thi chọn đội tuyển Toán Quốc Gia năm 1992) Gọi H, I, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng : 2IO  IH. Bài 17. (Vô địch Toán Đài Loan năm 1997) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R) ; AO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC ở D ; BO cắt đương tròn ngoại tiếp tam giác OAC ở E ; CO cắt đường tròn ngoai tiếp tam giác OAB ở F. Chứng minh rằng : OD.OE.OF  8R3 Bài 18. (HSG Nghệ An năm 2008) Tứ giác ABCD nội tiếp. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các cạnh AB và CD sao cho MA NC PM AB S  . Điểm P thay đổi trên đoạn thẳng MN sao cho  . Chứng minh : tỉ số PAD MB ND PN CD SPBC không phụ thuộc vào vị trí của M và N. Bài 19. (Vô địch Toán Địa Trung Hải năm 1997) Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CD, DA, AB của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : 4(AP 2 + BQ 2 + CR 2 + DS2 )  5(AB2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 ) Bài 20. (HSG Nghệ An năm 2008) Cho tam giác ABC thay đổi. Gọi H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính OH đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định GTNN của hằng số k sao cho  k. R www.MATHVN.com www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài 21. (HSG Đại Học Vinh năm 2008) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung. Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng d và M là một điểm trên d với M không trùng với H. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA và MB với (O). Gọi C va D lần lượt là hình chiếu của H lên MA và MB. Các đường thẳng AB và CD cắt OH lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK. Bài 22. (HSG Cần Thơ năm 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Đường thẳng d cắt các cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua I khi và chỉ khi AB  BC  CA 1 1   AB. AC AM AN b) Gọi K là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K thuộc cung BC không chứa A ; K khác B và C. Các tia phân giác của các góc BKA và CKA cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng DE luôn đi qua I khi K thay đổi. Bài 23. (HSG Vũng Tàu năm 2008) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R). Gọi I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A và K là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B, C của (O, R) cắt nhau tại M ; AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : a) AI là phân giác của góc MAK AB NB  AC NC Bài 24. (HSG Thanh Hóa năm 2008) Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm bất kỳ trên tia đối của tia CB. Đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi. Bài 25. (HSG Thanh Hóa năm 2008) Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Gọi M là trung điểm của BC. 1 Chứng minh rằng : MA 2 + MH 2 = AH 2 + BC2 2 Bài 26. (HSG Đồng Tháp năm 2008) Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn (C) tiếp xúc với các đường thẳng AB và AC lần lượt tại B và C. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn (C). Gọi m, n, k theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các đường thẳng AB, AC và BC. Chứng minh rằng : m.n = k2 Bài 27. (HSG Bình Phước năm 2008) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của BA và CA lần lượt lấy các điểm E và F. Gọi M là giao điểm MB MC AB.AC của BF và CE. Chứng minh rằng :   MF ME AE.AF Bài 28. (HSG Bình Định năm 2008) Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Từ điểm C trên tia đối của tia AB kẻ các tiếp tuyến CD và CE với (O1; R1) ; D và E là các tiếp điểm E nằm trong đường tròn (O2; R2). Gọi giao điểm của AD và AE với (O2; R2) lần lượt là M và N. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của MN. Bài 29. (HSG Vĩnh Phúc năm 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Đường cao BH bằng R 2 . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và BC. Chứng minh rằng O, D, E thẳng hàng. Bài 30. (HSG Thái Bình năm 2008) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn. Đường thẳng qua C cắt các tia đối của BA và DA lần SBCD BD lượt tại M và N. Chứng minh rằng :  www.MATHVN.com SAMN 2AC b)