Tài liệu Một số dạng toán lập pt hpt_l5

Một số dạng Toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Đại số - Số học của bậc THCS và Tiểu học phần kiến thức về giải toán bằng cách lập phương trình được đưa ra rất sớm từ lớp 3, 4, 5 đối với tiểu học, lớp 6, 7, 8, 9 đối với THCS. Vì vậy bài tập có liên quan đến vấn đề này rất phong phú, thú vị... Tuy nhiên đối với học sinh, việc giải quyết loại toán này lại gặp nhiều trở ngại với lý do: 1. Loại toán này có sự đan xen giữa kỹ năng tính toán với lời văn biểu đạt, sự liên hệ qua các ngôn từ. 2. Khả năng chuyển hoá từ ngôn ngữ thông thường qua ngôn ngữ toán học của học sinh còn yếu. 3. Loại toán này rất đa dạng, phong phú và có liên hệ mật thiết với đời sống thực tế và các môn khoa học khác. Đặc biệt học sinh chưa hình thành quá trình giải quyết và phương pháp làm việc qua từng giai đoạn của bài toán đặc trưng. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu đề tài tôi nhận thấy đối với học sinh, việc giải quyết loại toán trên là một vấn đề cần phải được đề cập đến một cách sâu sắc và sát thực hơn. Đó chính là lý do mà tôi chọn đề tài này. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Dựa vào bộ sách giáo khoa đại số 8 và 9, sách hướng dẫn giảng dạy và một số sách tham khảo, những phương pháp giảng dạy cải tiến giúp cho học sinh có được phương pháp nghiên cứu, tìm tòi khám phá, sáng tạo và biết giải quyết loại toán nêu trên một cách nhanh hơn, hiệu quả hơn cùng với sự hình thành năng lực, kỹ năng giải toán và tư duy logic khoa học nhằm giảm bớt khó khăn cho việc dạy và học ở trường phổ thông. Đồng thời thúc đẩy chất lượng dạy và học đạt kết quả mong muốn. TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU. - Sách giáo khoa đại số 8 - 9. - Tài liệu hướng dẫn ôn tập và ôn thi tốt nghiệpTHCS thi vào lớp 10 THPT. - Toán ôn tập theo trọng điểm Đại số 8 -9 - Để học tốt Đại số 8- 9 - Phương pháp giảng dạy bộ môn toán. PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Quy tắc chung giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình). Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn, đơn vị của ẩn, điều kiện của ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn. - Dựa trên mối liên hệ viết thành phương trình. Trang 1 Bước 2. Giải phương trình. Tuỳ thuộc vào phương trình (hệ phương trình) chọn cách giải thích hợp ... tìm được kết quả nhanh gọn. Bước 3. Nhận định kết quả và trả lời. - So sánh giá trị được với điều kiện bài toán. - Trả lời bài toá theo yêu cầu đặt ra của bài toán. 2. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phưng trình (hệ phương trình). Trên cơ sở quy tắc chung và các thao tác của từng bước hình thành quả trình làm việc qua từng giai đoạn giúp học sinh triển khai bài toán dễ dàng hơn . Giai đoạn 1: Phân tích và ghi giả thiết - kết luận của bài toán: - Giúp học sinh hiểu bài toán: Cho giữ kiện gì? Yêu cầu tìm những gì? - Mô tả bằng hình vẽ - sơ đồ được không? Giai đoạn 2: Biểu diễn các đại lượng - Chọn ẩn, đơn vị của ẩn và điều kiện phù hợp với yêu cầu của bài toán. - Đại lượng, đối tượng được biểu diễn thông qua ẩn bằng các biểu thức đại số Giai đoạn 3: Lập phương trình (hệ phương trình). - Thông qua mối liên hệ ràng buộc của bài toán từ các biểu thức đại số viết thành phương trình (hệ phương trình). (Ba giai đoạn này chính là bước 1 trong qui tắc chung) Giai đoạn 4: Giải phương trình (hệ phương trình) - Vận dụng kĩ năng giải phương trình (Hệ phương trình) đưa phương trình (hệ phương trình) về dạng cơ bản. - Tìm giá trị của ẩn (hợp lý - nhanh chóng). Giai đoạn 5: Nhận định, đánh giá kết quả: Xem xét nghiệm qua phương trình (hệ phương trình) vừa tìm được đã phù hợp với bài toán chưa? Có phù hợp với ý nghĩa thực tế không? Giai đoạn 6: Trả lời bài toán. Trên cơ sở của giai đoạn 5, tính phù hợp. Ta khẳng định số nghiệm của bài toán. Giai đoạn 7: Phân tích và biện luận cách giải. Sau khi thực hiện xong lời giải cần phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡng học sinh thông qua việc: - Tổng quát hoá bài toán: + Thay đổi dữ kiện bài toán giữ nguyên ẩn số. + Thay đổi ẩn số giữ nguyên dữ kiện và các yếu tố khác. - Có thể giải bài toán bằng cách khác tốt hơn không? VÍ DỤ MINH HOẠ CHO CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN Bài toán: Anh Quang lái xe tải từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 40km/h. Sau 1h30phút anh Vinh lái xe con cũng từ thành phố A đến thành phố B với vân tốc trung bình 60km/h. Anh Vinh gặp anh Quang ở chính giữa quãng đường từ thành phố A đến thành phố B. Hỏi hai thành phố cách nhau bao nhiêu kilômet? Hướng dẫn học sinh: Trang 2 Giai đoạn 1: Hai xe chạy cùng chiều từ A đến B và chúng gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Xe tải: v1 = 40km/h. Thời gian t1 Xe con: v2 = 60km/h. Thời gian t2 1 2 Thời gian hơn kém nhau: t2  t1  1 (giờ) Tính quãng đường AB = ? Giai đoạn 2: Gọi khoảng cách giữa hai thành phố A và B là: x (km); (điều kiện x>0). Hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường nên mỗi xe đi được: x (km) 2 x x :40 = (h) 2 80 x x Thời gian của xe con: :60 = (h) 2 120 Thời gian của xe tải: Giai đoạn 3: Vì xe tải xuất phát trước 1h30phút = 3 (h) nên ta có hệ phương trình: 2 x x 3 = (1) 80 120 2 Giai đoạn 4: (1)  3x - 2x = 360  x = 360 Giai đoạn 5: Với x = 360 thoả mãn điều kiện bài toán Thử lại: 360 360 3   (nghiệm đúng). 80 120 2 Giai đoạn 6: Vậy hai thành phố cách nhau 360 (km) Giai đoạn 7: - Thay đổi vị trí gặp nhau của 2 ôtô yêu cầu tìm khoảng cách của hai thành phố. - Thay đổi thời gian xuất phát (vận tốc của 2 xe) tìm khoảng cách của hai thành phố. Lời giải Gọi khoảng cách giữa hai thành phố A và B là x (km); (điều kiện: x>0) Theo bài ra hai xe gặp nhau ở chính giữ quãng đường nên mỗi xe đi được: x (km). 2 x x :40 = (h) 2 80 x x Thời gian của xe con là: :60 = (h) 2 120 3 Vì xe tải xuất phát trước 1h30phút = (h) nên ta có phương trình: 2 Do đó: Thời gian của xe tải là: Trang 3 x x 3   80 120 2  3x - 2x = 360  x = 360 Với x = 360 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy khoảng cách giữa hai thành phố A và B là: 360 (km) YÊU CẦU VỀ LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN Yêu cầu 1: Không sai sót (tính chính xác) Học sinh cần hiểu bài toán đúng đắn nếu không hoặc hiểu sai thì sẽ không gải được hoặc giải sai. Học sinh cần hiểu hết các chi tiết của bài toán nếu không sẽ bỏ sót. Chẳng hạn: Bỏ qua đơn vị của ẩn, điều kiện của ẩn. Khi đó lời giải không toàn diện. - Nếu chọn ẩn là động thực vật, số chi tiết máy thì điều kiện là nguyên dương... - Nếu chọn ẩn là chữ số thì điều kiện là: 0 ≤ x ≤9; xN. - Nếu chọn ẩn là thời gian, quãng đường, vận tốc, độ dài thì điều kiện là: Dương Yêu cầu 2: Lời giải có lập luận. - Quá trình thực hiện từng bước có logic chặt chẽ với nhau. - Xác định, chọn ẩn phù hợp làm nổi bật mối quan hệ và vấn đề phải tìm. - Thiết lập phương trình (hệ phương trình) tìm giá trị của ẩn nhanh gọn. Muốn vậy: Học sinh xây dựng được kế hoạch giải bài toán hình thành qua 7 giai đoạn. Yêu cầu 3: Lời giải phải toàn diện. - Kết quả của bài toán tìm được phải phù hợp với cái chung. - Nếu thay đổi điều kiện để đưa bài toán đến trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn phù hợp. Yêu cầu 4: Lời giải phải đơn giản Lời giải ngắn gọn dễ hiểu vẫn đảm bảo các yêu cầu trên. Yêu cầu 5: Trình bày lời giải khoa học - Mối liên hệ giữa các bước giải trong bài phải logic, chặt chẽ. - Bước sau phải kế thừa bước trước đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng. Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng - Các thao tác lập luận tiến hành lời giải không chồng chéo. Không phủ định lẫn nhau. Các bước giải phải thật đúng đắn, chính xác, đảm bảo khoa học. Kết quả vẫn đúng dù tiến hành bằng cách nào? PHÂN LOẠI BÀI TOÁN - Bài toán về chuyển động - Bài toán có nội dung số học. - Bài toán có nội dung hình học - Bài toán về năng suất lao động (tỷ số, phần trăm...) - Bài toán về tỷ lệ chia phần, thêm bớt, tổng hiệu, tích... - Bài toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị) Trang 4 - Bài toán có nội dung vật lý, hoá học - Bài toán có chứa tham số (bài toán tổng hợp...) Trang 5 PHẦN II PHẦN CỤ THỂ CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (HỆ PHƯƠNG TRÌNH) DẠNG 1: DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Công thức chuyển động đều: S = v.t (1) Trong đó: S - Quãng đường (km, m, cm...) v - Vận tốc (km/h, m/s.....) t - Thời gian (giờ, phút, giây) Mở rộng từ (1) ta có: v  s (2); t t s (3) v 2. Chuyển động trong môi trường động (dòng nước, gió: Vxuôi = Vthực + Vnước Vngược = Vthực - Vnước 3. Bài toán có sự tham gia của nhiễu động tử: Sau 1 giờ khoảng cách giữa 2 động tử thay đổi: d  v1  v2 (Nếu chuyển động ngược chiều) d  v1  v2 (Nếu chuyển động cùng chiều) 4. Kỹ năng phân chia thời gian của quá trình chuyển động: B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG: Bài toán 1: Anh Hùng đi xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo con đường dài 48km. Lúc về anh đi theo con đường khác ngắn hơn 13km. Do đường khó đi nên vận tốc chỉ bằng 5/6 vận tốc lúc đi. Tuy nhiên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi 1/2 giờ. Tính vận tốc lúc đi của anh Hùng? Hướng dẫn học sinh: 1. Phân tích bài toán: - Học sinh thấy rõ hai quá trình chuyển động đi và về. - Có 3 đại lượng tham gia: S, v, t - Mối liên hệ giữa hai quá trình: Svề + 13 = Sđi 5 vđi 6 1 tvề = tđi - (h) 2 vvề = 2. Công thức sử dụng: S = v.t; t s s ; v v t 3. Kết luận bài toán: Tìm vận tốc lúc đi? Lời giải: Gọi vận tốc lúc đi của anh Hùng là: x(km); (x>0) Trang 6 5 x (km/h) 6 48 - Thời gian lúc đi là: (h) x 5 42 - Thời gian lúc về là: 48-13: x = (h) 6 x 1 Vì thời gian về ít hơn thời gian đi (h) nên ta có phương trình: 2 48 42 1 6 1      x = 12 x x 2 x 2 Khi đó: - Vận tốc lúc về là: Với x = 12 thoả mãn điều kiện bài toán Vậy vận tốc lúc đi của anh Hùng là 12 (km/h) Bài toán 2: Một ca nô chạy trên sông. Nếu xuôi dòng 1km và ngược dòng 1km thì hết 3,5 phút. Nếu ca nô đó chạy xuôi dòng 20km và ngược dòng 15km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc của dòng nước và vận tốc của ca nô khi nước yên lặng? Hướng dẫn học sinh: - Học sinh thấy được sự chuyển động ở đây có hai quá trình xuôi dòng và ngược dòng. - Mỗi quá trình thực hiện trong hai lần - Công thức vận dụng: S = v.t Vxuôi = Vthực + Vnước Vngược = Vthực - Vnước Kỹ năng giải hệ phương trình. Lời giải: Gọi vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước là x và y (km/h); (x>y>0). Khi đó: - Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: x + y (km/h) - Vận tốc ngược dòng của ca nô là: x - y (km/h) Vì: Ca nô xuôi dòng 1km và ngược dòng 1km hết 3,5 phút = 1 1 7 giờ nên 120 7 ta có phương trình: x  y  x  y  120 (1) Mặt khác: Ca nô xuôi dòng 20km và ngược dòng 15 km hết 1 giờ nên ta 20 15 có phương trình: x  y  x  y  1 (2) Vậy ta có hệ phương trình:  1 x y     20   x  y 1 7  x  y 120 (I) 15 1 x y Trang 7 1  X  x y  Đặt:  Hệ phương trình trở thành Y  1  x y 1  X   40 Giải hệ (II) ta được:  1 Y   30 1  1  x  y  40  x  y  40  x  35      Hay   x  y  30 y 5  1  1  x  y 30 7  X Y  120 (II)   20 X  15Y  1 Với x = 5, y = 35 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy: - Vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 35 (km/h) - Vận tốc của dòng nước chảy là 5 (km/h). Chú ý: Khi giải hệ phương trình trên ngoài dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể quy đồng mẫu thức đưa hệ phương trình về dạng phương trình bậc 2. Tìm giá trị thích hợp của ẩn. Bài toán 3: Nhà Nam và nhà Lan cùng nằm trên đường quốc lộ 6 và cách nhau 7km. Nếu Nam và Lan đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều nhau thì sau 15 phút họ gặp nhau. Tính vận tốc mỗi người biết vận tốc của mối người biết vận tốc của Nam hơn vận tốc của Lan 4km/h. Hướng dãn học sinh: - Bài toán có hai động tử chuyển động ngược chiều nhau - Biết tổng quãng đường của hai động tử - Thời gian chuyển động của chúng - Quan hệ vận tốc của hai động tử - Công thức vận dụng: S = v.t - Sau 1 giờ hai động tử đi được quãng đường là: v1 + v2 (km) Lời giải: Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) và vận tốc của LAn là y (km/h) điều kiện (x>y>0) Sau 1 giờ hai bạn đi được tổng quãng đường là: x + y (km) Sau 15 phút hai bạn đi được tổng quãng đường là: ( x  y ) 1 (km) 4 1 4 Theo bài ra ta có phương trình: ( x  y )  7 (1) Mặt khác vận tốc của Nam hơn vận tốc của Lan là 4km/h nên ta có phương trình: x -y =4 (2) 1   x  y  28  x  16  ( x  y)  7     4 Vậy ta có hệ phương trình:  x  y  4  y  12  x  y  4 Với x = 16, y = 12 thoả mãn điều kiện bài toán. Trang 8 Vậy vận tốc của hai bạn Nam và Lan là 16 km và 12 km. Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình, đặt ẩn gián tiếp. Cách 2: Gọi quãng đường bạn Nam đi được sau 15 phút là x (km) Thì quãng đường Lan đi được là: 7 - x (km) x  4 x (km/h) 1/ 4 7x  4(7  x) (km/h) Vận tốc của Lan: 1/ 4 Vận tốc của Nam: Theo bài ra ta có phương trình: 4x - 4(7-x) = 4 Giải ra ta được: x = 4 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy quãng đường Nam đi được 4km DẠNG 2: TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Quy tắc giải bài toán: 2. Mối liên hệ giữa các đại lượng: K, N, T K = N.T; N K K và T  T N Trong đó: K: Khối lượng công việc N: Năng suất lao động T: Thời gian lao động - Sự tỷ lệ giữa K và N là thuận nếu T không đổi - Sự tỷ lệ giữa K và T là thuận nếu N không đổi - Sự tỷ lệ giữa N và T là nghịch nếu K không đổi 3. Sự phân tích trong quá trình lao động: B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài toán 1: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40ha, khi thực hiện được mỗi ngày cày được 52ha. Vì vậy không những đội cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch? Hướng dẫn học sinh: - Đây là bài toán năng suất lao động thể hiện mối quan hệ của: K, N, T - Bài toán phân chia hai quá trình thực hiện: Theo kế hoạch và thực tế khi thực hiện công việc. - Bảo đảm sự hưởng ứng của hai quá trình làm việc. Lời giải: Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x (ha); (điều kiện x>0) Thế thì: Thời gian đội cày theo kế hoạch là: x (ngày) 40 Thực tế diện tích đội cày được là: x + 4 (ha) x4 (ngày) 52 x x4  2 Theo bài ra ta có phương trình: 40 52 Thời gian thực tế đội cày hết: Trang 9 x x4   2  13x  10( x  4)  520.2  13x  10 x  1040 40 52  3 x  1080  x  360  Với x=360 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy diện tích thửa ruộng đội dự định cày theo kế hoạch là: 360ha Bài toán 2: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất cùng làm được 400 chi tiết máy. Sang tháng sau, tổ 1 vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15%, nên cả 2 tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy? Hướng dẫn học sinh: - Bài toán có hai đối tượng tham gia (hai tổ sản xuất) - Đề cập tới năng suất lao động của hai tổ khác nhau (phức tạp hơn) - Sự tăng năng suất ở dạng phần trăm (học sinh hiểu được 10%, 15%) - Biết khối lượng công việc ban đầu và khi vượt mức. Lời giải: Gọi số chi tiết máy là được trong tháng đầu của tổ I là x (chi tiết) (điều kiện 0 4 ) 1 (phần bể) x 1 1 3 Khi đó vòi I chảy được: 1 .  (phần bể) 2 x 2x 1 3 Một giờ cả hai vòi chảy được:  (phần bể) x 2x Một giờ vòi II chảy được: Theo bài ra ta có phương trình: 4 24 1 3 5 4    (vì đổi 5 25 ) x 2 x 24  5 x  24  36  5 x  60  x  12 Với x = 12 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy: Một mình vòi II chảy đầy bể là 12 giờ 1 1 1  (bể). Nên một mình vòi I chảy đầy 2 12 8 Còn vòi I một giờ chảy được 1 . bể là 8 giờ. Bài toán 2: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội I được điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất lao động tăng gấp đôi, nên đội II làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc? (Với năng suất bình thường) Hướng dẫn học sinh: - Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng đội làm một mình xong công việc. - Chọn toàn bộ khối lượng công việc quy về đơn vị một công việc. - Lập và giải hệ phương trình. Lời giải: Gọi thời gian cần thiết để đội I và đội II làm xong công việc một mình là: x (ngày) và y (ngày); (điều kiện x, y  12) Mỗi ngày: Đội I làm được 1 (phần công việc) x Trang 11 1 Đội II làm được y (phần công việc) 1 1 Một ngày cả hai đội làm được: x  y (phần công việc) 1 1 1 Nên ta có phương trình: x  y  12 (1) 1 1 Tám ngày cả hai đội làm được: 8( x  y ) (phần công việc) Do năng suất tăng gấp đôi nên ba ngày rưỡi đội II làm được: 2 7 .3,5  (phần công việc) y y 1 1 7 Vậy ta có phương trình: 8( x  y )  y  1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1  x  y  12 (1)    8( 1  1 )  7  1(2)  x y y 1 1 1  x  y  12      8  7 1  12 y 1 1 1  x  y  12    7  4  y 12 1 1 1 x  8     x y 12    y  21  y  21  x  8 thoả mãn điều kiện bài toán.  y  21 Với  Vậy thời gian đội I làm một mình xong công việc là 28 ngày Và thời gian đội II làm một mình xong công việc là 21 ngày Bài toán 3: Hai công nhân cùng làm chung để hoàn thành một công việc trong 7 ngày. Trong đó, người thứ 2 làm sau người thứ nhất là 1 1 ngày. Hỏi nếu mỗi người 2 làm một mình thì sau bao lâu xong công việc. Biết rằng người thứ 2 có thể hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là 3 ngày. Lời giải: Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x>7) Thế thì người thứ nhất làm hết: x+3 (ngày) Người thứ hai làm trong 5,5 ngày được 5,5 1 (công việc) x Theo bài ra ta có phương trình: 7 5,5   1  7 x  5,5( x  3)  x( x  3)  2 x 2  19 x  33  0 x3 x 6  x  1; x   4 Với x=11 thoả mãn điều kiện bài toán Trang 12 Vậy: Người thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày) Người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày) Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phương trình. DẠNG IV. DẠNG TOÁN VỀ TỶ LỆ, CHIA PHẦN, TĂNG GIẢM, THÊM BỚT TỶ SỐ CÁC ĐẠI LƯỢNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. 2. Biểu diễn các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức... 3. Các tính chất của tỷ lệ thức 4. Sự tăng giảm, thêm bớy qua các biểu thức B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG. Bài toán 1: Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai là 100 tấn. Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ nhất bằng 12 số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc 13 đầu? Lời giải: Gọi số thóc lúc đầu ở kho thứ hai là: x (tấn); (điều kiện: x>0) Thì số thóc lúc đầu ở kho thứ nhất là: x+100 (tấn) Số thóc có được ở kho thứ hai là: x+60 (tấn) Số thóc có được ở kho thứ hai là: x+40 (tấn) Theo bài ra ta có phương trình: x  40 12   13x  520  12 x  720  x  200 x  60 13 Với x = 200 thoả mãn điều kiện bài toán Vậy: Số thóc lúc đầu ở kho thứ hai là: 200 (tấn) Số thóc lúc đầu ở kho thứ nhất là: 300 (tấn) Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phương trình. Bài toán 2: Một đội xe cần chuyển 120 tấn hàng. Khi làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chuyển thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc? Lời giải: Gọi số xe lúc đầu của đội là: x (chiếc); (điều kiện: x>2; x nguyên) Theo dự định mỗi xe phải chở: 120 (tấn hàng) x Thực tế khi làm việc có x-2 (chiếc) chở Nên mỗi xe phải chở: 120 (tấn hàng) x2 Theo bài ra ta có phương trình 120 120  16   120( x  2)  16 x( x  2)  120 x x2 x  120 x  240  16 x 2  32 x  120 x  16 x 2  32 x  240  0  x 2  2 x  15  0  x1  5; x2  3 Trang 13 Với x = 5 thoả mãn điều kiện bài toán Vậy: Số xe lúc đầu của đội là 5 chiếc DẠNG V. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG SỐ HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ngoài kiến thức chung về giải toán, học sinh cần nắm các kiến thức sau: 1. Cấu tạo thập phân của một số 2. Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số. 3. Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài toán 1: Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị. Nếu đặt ở giữa hai chữ số đó bởi chữ số 1 thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho 370 đơn vị. Tìm số đã cho? Hướng dẫn học sinh: - Cấu tạo thập phân của một số tự nhiên Số có hai chữ số: ab  10a  b Số có ba chữ số: abc  10a  10b  c - Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn; các chữ số: 0≤a,b,c≤9; a,b,c nguyên Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là: x (điều kiện: x nguyên; 00). Khi đó chu vi của mảnh vườn là: 2(a+b) Ta có phương trình: 2(a+b)=124  a+b = 62 (1) Chiều dài của mảnh vườn khi tăng: a+5 (m) Chiều rộng của mảnh vườn khi tăng: b+3 (m) Diện tích của mảnh vườn khi tăng: (a+5)(b+3)=ab+5b+3a+15 (m2) Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: a.b (m2) Theo bài ra ta có phương trình: ab+5b+3a+15-ab = 255  3a+5b = 240 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: a  a  b  62  2a  70  a  35       3a  5b  240  2b  54  b  27  a  35 Với  thoả mãn điều kiện bài toán.  b  27 Vậy: Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đã cho là: 35(m) và 27(m). Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình. Trang 15 Bài toán 2: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm và diện tích của tam giác đó bằng 12cm2. Hãy xác định tam giác vuông trên? Hướng dẫn học sinh: - Công thức sử dụng (Pitago): a2 = b2 + c2 - Công thức tính diện tích tam giác vuông: S 1 bc 2 (Trong đó: a là độ dài cạnh huyền; b, c: độ dài các cạnh góc vuông). Lời giải: Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là: x(cm) và y(cm) (điều kiện: 0y>0) Theo bài ra ta có phương trình: x-y = 5,6 (1) Mặt khác: Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có phương trình: x.y = 9,62 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:  ( x  y ) 2  5, 62  x  y  5, 6    2 2  x. y  9, 6  4.x. y  4.9, 6  ( x  y ) 2  4 xy  19, 22  5, 62  x  y  20  ( x  y ) 2  400    x  y  20 Với x+y = 20 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy: Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là: 20(cm) Trang 16 DẠNG VII. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VẬT LÝ, HOÁ HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Ngoài kiến thức chung của quy tắc giải, học sinh cần nắm vững kiến thức sau: 1. Công thức tính nhiệt lượng: Qtoả = C.m(t1-t2) Qthu = C.m(t2-t1) m ct 2. Nồng độ dung dịch: C %  m .100% dd M 3. Nồng độ mol/l: CM  V 4. Tính theo phương trình hoá học, công, công suất. II. BÀI TOÁN ÁP DỤNG. Bài toán 1: Trong 200g dung dịch có chứa 50g muối. Cần phải pha thêm bao nhiêu gam nước để được một dung dịch chứa 10% muối. Hướng dẫn học sinh: m ct - Nồng độ dung dịch: C %  m .100% dd Gọi số gam nước pha thêm là x(g) thì mdd = x+200(g) Số gam muối 50g  mct = 50(g)  C%  50 .100% x  200 Lời giải: Gọi số gam muối cần pha thêm là x(g); (điều kiện: x>0) Khi đó số gam dung dịch mới là: x+200(g) Khối lượng muối trong dung dịch mới là: 50(g) Nồng độ dung dich: C %  50 .100% x  200 Theo bài ra ta có phương trình: 50 10 50 1    x  200 100 x  200 10  500  x  200  x  300 Với x = 300 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy: Số gam nước cần pha thêm là 300(g) Bài toán 2: (Ôn luyện toán THCS) Dùng hai nhiệt lượng mỗi nhiệt lượng 168KJ để đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg. Thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn là 200C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm bao nhiêu độ? Hướng dẫn học sinh: - Công thức sử dụng: Q  Cm(t2  t1 )  Nhiệt độ tăng lên là; t2 - t1 Q Khối lượng cần đun nóng: m  C (t  t ) 2 1 - Nhiệt dung riêng: C =4,2(KJ/kg độ) Lời giải: Trang 17 Gọi độ tăng thêm của khối nước nhỏ là: x0C; (điều kiện: x>0) Q 168 Khối lượng của khối nước nhỏ là: C.x  4, 2 x (kg) Q 168 Khối lượng của khối nước lớn là: C ( x  2)  4, 2( x  2) (kg) Theo bài ra ta có phương trình: 168 168 1   x 2  2 x  80  0  x1  10; x2  8 4, 2 x 4, 2( x  2) Vậy: Nhiệt độ tăng thêm của khối nước nhỏ là: 100C DẠNG VIII. DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Dạng tổng hợp của nhiều loại toán trên 2. Kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình ở dạng chứa chữ. 3. Điều kiện của tham số để bài toán có kết quả. 4. Kết quả của bài toán dẫn đến là một biểu thức cụ thể. II. BÀI TOÁN ÁP DỤNG. Bài toán 1: (Luyện giải toán 9) Hai kho sách gồm m quyển. Nếu chuyển 1 số sách ở kho II sang kho I thì 5 số sách ở kho I gấp không lầm số sách ở kho II. Tính số sách lúc đầu của mỗi kho. Lời giải: Gọi số sách ở kho II ban đầu là: x (quyển); (điều kiện: 00) Trang 18 Ta sẽ biểu thị 1 quãng đường AB bởi tham số a(km); (a>0) 2 a (h) 20 a Thời gian đi trên nửa quãng đường AB với vận tốc 30km/h là: (h) 30 Thời gian đi trên nửa quãng đường AB với vận tốc 20km/h là: Thời gian người đó đi trên cả quãng đường AB với vận tốc trung bình x(km/h) là: 2a (h) x a a 2a   20 30 x Ta có phương trình: 1 1 2     3 x  2 x  120  5 x  120  x  24 20 30 x Với x = 24 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy vận tốc trung bình của người đó là: 24km/h. PHẦN III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trên đây là một số dạng toán cơ bản học sinh thường gặp. Trong từng loại toán, với từng bài toán có mức độ yêu cầu từ thấp đến cao trong sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng tôi đã thực hiện ở trường THCS và thu được kết quả sau: Lớp Số HS được kiểm tra 8D 9B 36 36 Kết quả chưa áp dụng Trên TB Dưới TB 65% 43% 35% 57% Kết quả áp dụng Trên TB Dưới TB 90% 65% 10% 35% Trang 19 PHẦN IV KẾT LUẬN Trong đề tài này được trình bày những vấn đề đã nghiên cứu qua thực trạng của việc dạy học và thực tế ở trường phổ thông và các tài liệu nghiên cứu phương pháp dạy học. Giúp học sinh làm quen, biết vận dụng phương pháp làm việc, tiếp cận và giải quyết dễ dàng hơn loại toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Hệ phương trình”. Rèn luyện kỹ năng của học sinh khi trình bày một lời giải đảm bảo tính yêu cầu chính xác, ngắn gọn, khoa học, hợp logic. Trên cơ sở các kết quả thu được qua nghiên cứu, áp dụng vào giảng dạy dù chưa có điều kiện thực nghiệm trên diện rộng nhưng khi trao đổi với các giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy những khó khăn, vướng mắc và sai lầm của học sinh trong quá trình tiếp thu kiến thức sớm được khắc phục và phát hiện, đồng thời giúp học sinh làm quen với hệ thống bài tập và cách giải quyết chúng. Thông qua đề tài này cũng mong được giảm bớt khó khăn cho việc dạy và học, đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học đạt kết quả mong muốn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô và đồng nghiệp trong trường./. Quảng Tiến, tháng 02 năm 2011 NGƯỜI THỰC HIỆN Lê Thanh Bình Trang 20