Tài liệu MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG - - - - - - - - - - BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Họ và tên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Đơn vị: Trường THPT Tam Dương Năm học 2013- 2014 LỜI GIỚI THIỆU 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 1. Lý do chọn chuyên đề: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi xác định phương pháp giải các bài toán hình học giải tích, mà đó là điều không đáng mắc phải khi các em biết nhận dạng và định hình phương pháp giải quyết, từ đó các em có thể giải bài toán một cách nhanh chóng, chính xác và đạt điểm tối đa cho câu này. Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận dạng và có lời giải bài toán dạng này một cách hiệu quả từ đó phát triển sang các bài toán khác phức tạp hơn và để tiết kiệm thời gian, tránh được những sai lầm đáng tiếc, giúp cho việc học tập và ôn thi Đại học của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ”. Với mục đích của tôi là giúp các em nhận thấy một bài toán giải tích phức tạp cũng trở nên dễ dàng đơn giản. 2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề: Phạm vi : Áp dụng rộng rãi trên toàn quốc Đối tượng: Học sinh lớp 12 Mục đích : Giúp các em đạt điểm tối đa trong dạng toán này, tránh những sai lầm đáng tiếc dễ mắc phải. 3. Thực trạng : a, Thuận lợi: Đa số học sinh các lớp tôi giảng dạy là học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp dụng đề tài này khá thuận lợi. b, Khó khăn: Nhiều học sinh vẫn rất mơ màng khi gặp bài toán giải tích dạng này, do các em chưa thật sự hiểu rõ bản chất của bài toán, vì thế các em còn rất lúng túng khi giải quyết bài toán hoặc cách giải quyết của các em quá phức tạp hoá vấn đề dẫn đến đáp số cuối cùng dễ bị sai. 4. Cơ sở thực hiện chuyên đề: Căn cứ vào tình hình nhận thức của đa số học sinh còn thụ động, hạn chế, mặt khác do từng tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng cho học sinh tôi đã tự đúc rút ra kinh nghiệm cho mình và phân chia dạng toán theo ý chủ quan dưới đây Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên chuyên đề của tôi chắc hẳn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các em học sinh! ……………………………………………… Phần II - Nội Dung Của Chuyên Đề A. Tóm Tắt Lý Thuyết 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng: 1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng: a, Định nghĩa: r r Một véc tơ n �0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó có giá vuông góc với mặt phẳn g (P). b, Tính chất: Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, các véc tơ này rcùng phương với nhau r Nếu véc tơ n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n ;k �0 cũng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). c, Chú ý: r r Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song hoặc trùng mặt r r r � a; b � phẳng (P) thì khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) là n  � �. 2, Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng (P) đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có véc tơ phấp tuyến r n  A; B; C  ; A2  B 2  C 2  0 có phương trình là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 Ngược lại mọi phương trình có dạng: Ax  By  Cz  D  0, A 2  B 2  C 2  0 đều là phương trình của mặt phẳng. II, Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng: + Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Nếu mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: + Nếu mặt phẳng (P) song song hoặc trùng Ox thì phương trình có dạng: By  Cz  D  0, B 2  C 2  0 + Mặt phẳng song song hoặc trùng mặt phẳng Oxy có phương trình z  D  0 + Mặt phẳng Oxy có phương trình z  0 III, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: 2 2 2 A1x  B1 y  C1 z  D1  0, A1  B1  C1  0 , A 2 x  B2 y  C2 z  D2  0, A22  B22  C22  0 A1 B1 C1 D1   � 1, Hai mặt phẳng song song: A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    2, Hai mặt phẳng trùng nhau: A2 B2 C2 D2 3, Hai mặt phẳng cắt nhau: A1 : B1 : C1 �A2 : B2 : C2 IV, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình đường thẳng: 1, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: 3 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương a, Định nghĩa: r r Một véc tơ u �0 được gọi là chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song với đường thẳng d. b, Tính chất: Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương, các véc tơ này cùng phương với nhau. r r Nếu véc tơ u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì ku ;k �0 cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. c, Chú ý: r r Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song vuông góc với đường r r r � a; b � thẳng d thì khi đó một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d u  � �. 2, Phương trình đường thẳng: r M x ; y ; z u   Đường thẳng d đi qua điểm  a; b; c  0 0 0 có véc tơ chỉ phương �x  x0  at � 2 2 2 + Có phương trình tham số là: d : �y  y0  bt ; t �R, a  b  c  0 �z  z  ct � 0 x  x0 y  y0 z  z0 + Có phương trình chính tắc là:   ; abc �0 a b c V, Vị trí tương đối của đường thẳng vàmặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình lần lượt là: �x  x0  at � Ax  By  Cz  D  0, A 2  B 2  C 2  0; d : �y  y0  bt ; t �R , a 2  b 2  c 2  0 �z  z  ct � 0 r r Gọi n; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và chỉ phương của đường thẳng. Ta có các r r trường hợp sau: + Nếu n.u �0 thì d cắt (P) rr � n.u  0 + Nếu � thì d nằm trên (P). �M �d � M �( P ) rr n.u  0 � + Nếu � thì d song song với (P). �M �d � M �( P ) VI, Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là: 4 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương �x  x1  a1t �x  x2  a2l � � d : �y  y1  b1t ; t �R, a12  b12  c12  0; d ' : �y  y2  b2l ; l �R , a2 2  b2 2  c2 2  0 �z  z  c t �z  z  c l � 1 1 � 2 2 ur uu r Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. Ta có các trường hợp sau: ur uu r r �� � u1 , u2 � 0 �� + Nếu �uuuu r uu r r thì hai đường thẳng trùng nhau � � MN , u  0 � 2� �� ur uu r r �� � u , u  0 ��1 2 � + Nếu �uuuu r uu r r thì hai đường thẳng song song � � MN , u � 0 � 2� �� ur uu r r �� � u , u � 0 ��1 2 � + Nếu �ur uu thì hai đường thẳng cắt nhau. r uuuu r � � u , u MN �0 � ��1 2 � ur uu r r �� � u , u � 0 ��1 2 � + nếu �ur uu thì hai đường thẳng chéo nhau r uuuu r � � u , u MN  0 � ��1 2 � VII, Khoảng cách 1, Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) có phương trình là: Ax  By  Cz  D  0, A 2  B 2  C 2  0 và điểm M  x0 ; y0 ; z0  Ta có: d  M ;  P    Ax 0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 2, Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong không gian cho và đường thẳng d có �x  x0  at � d : �y  y0  bt ; t �R, a 2  b 2  c 2  0 và điểm M  x0 ; y0 ; z0  �z  z  ct � 0 uuuu r r � � MN � r ,u� d M ; d    Ta có: u phương trình: 3, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 5 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trong không gian cho và đường thẳng d và d’ có phương trình: �x  x1  a1t �x  x2  a2l � � d : �y  y1  b1t ; t �R, a12  b12  c12  0; d ' : �y  y2  b2l ; l �R , a2 2  b2 2  c2 2  0 �z  z  c t �z  z  c l � 1 1 � 2 2 ur uu r Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. ur uu r uuuu r � � u , u . MN �1 2 � ; M �d, N �d' Ta có: d  d ; d '  ur uu r � � u1 , u2 � � VIII, Góc 1, Góc giữa hai mặt phẳng: Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: A1x  B1 y  C1 z  D1  0, A12  B12  C12  0 , A 2 x  B2 y  C2 z  D2  0, A22  B22  C22  0 r uu r Gọi n1 ; n2 lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng ur uu r n1.n2 r; Ta có: cos  ( P); (Q)   ur uu n1 n2 2, Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình: �x  x0  at � Ax  By  Cz  D  0, A 2  B 2  C 2  0 , d : �y  y0  bt ; t �R, a 2  b 2  c 2  0 �z  z  ct � 0 r r Gọi n ; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và đường thẳng uu rr n .u Ta có: sin  ( P);(Q)   r r ; n u 3, Góc giữa hai đường thẳng; Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là: �x  x1  a1t �x  x2  a2l � � d : �y  y1  b1t ; t �R, a12  b12  c12  0; d ' : �y  y2  b2l ; l �R , a2 2  b2 2  c2 2  0 �z  z  c t �z  z  c l � 1 1 � 2 2 ur uu r Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. ur uu r u1.u2 r; Ta có: sin  d1; d 2   ur uu u1 u2 6 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương B. Một số bài toán liên quan đến lập phương trình mặt phẳng I, Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của nó Phương pháp: Xác định điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: 1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A  1; 2;0  , B  0;1;0  , C  1;0;1 2, Mặt phẳng đi qua A  1; 2; 1 và vuông góc với hai mặt phẳng:  P  : x  2 y  z  1  0;  Q  : x  y  2 z  2  0 3,Mặt phẳng đi qua A  0; 2; 1 và song song với hai đường thẳng: �x  1 �x  l � � d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  2  l �z  t �z  1 � � �x  t � 4, Mặt phẳng đi qua A  2; 2;1 và song song với đường thẳng: d : �y  1  t đồng �z  2t � thời vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 5, Mặt phẳng đi qua  P  : x  2z  2  0 A  2; 2;1 , B  1;0;1 và vuông góc với mặt phẳng 6, Mặt phẳng đi qua A  1; 2;1 , B  1;1;1 và song song với đường thẳng: �x  1  t � d : �y  t �z  2  t � �x  t � 7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : �y  1  t và vuông góc với �z  2t � mặt phẳng  Q  : x  y  2 z  2  0 8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:  P  : x  y  2 z  2  0;  Q  : x  z  2  0 và song song với đường thẳng �x  2  t � d : �y  1  t �z  t � 7 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương �x  t � 9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : �y  1  t sao cho khoảng �z  t � cách từ điểm A  1; 2;0  đến mặt phẳng là lớn nhất. �x  1 �x  l � � 10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  2  l . Viết phương trình �z  t �z  1 � � mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2 Giải: 1, Mặt phẳng cần tìm đi qua A  1; 2;0  và có véc tơ pháp tuyến r uuur uuur n� AB, AC � � �  1;1; 2  nên có phương trình là:  x  y  2 z  1  0 ur uu r 2,Ta có n1  1; 2; 1 , n2  1;1; 2  . Mặt phẳng cần tìm đi qua A  1; 2; 1 và có véc tơ r ur uu r � � n  n , n pháp tuyến �1 2 �  3;1; 1 , nên có phương trình là: 3x  y  z  0 ur uu r 3, Ta có u1  1; 2; 1 , u2  1;1; 2  . Mặt phẳng cần tìm đi qua A  0; 2; 1 và có véc tơ r ur uu r � u , u pháp tuyến n  � �1 2 �  1;1;1 , nên có phương trình là:  x  y  z  1  0 uu r r 4, Ta có u  1; 1; 2  , n  1;1; 2  . Mặt phẳng cần tìm đi qua A  2; 2;1 và có véc tơ pháp r uu r r � u tuyến n  � � , n �  0; 4; 2  , nên có phương trình là: 2 y  z  5  0 uuu r r 5,Ta có AB  1; 2;0  , n  1;0; 2  . Mặt phẳng cần tìm đi qua A  2; 2;1 và có véc tơ r uuur r AB, n � pháp tuyến n  � � �  4; 2; 2  , nên có phương trình là: 2 x  y  z  3  0 uuu r r 6, Ta có AB  0;3;0  , u  1;1;1 . Mặt phẳng cần tìm đi qua B  1;1;1 và có véc tơ pháp r uuu r r � AB tuyến n  � � , n �  3;0;3 , nên có phương trình là: x  z  2  0 r r 7, Ta có u  1; 1; 2  , n  1;1; 2  lần lượt là vec tơ chỉ phương của đường thẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng cần tìm đi qua A  0;1; 0  và có véc tơ pháp r r r � u tuyến n 1  � �, n �  4;0; 2  nên có phương trình là: 2 x  z  0 uu r 8, Ta có A  2;0;0  , B  0;6; 2  � P  ;  Q  , u  1;1; 2  . Mặt phẳng cần tìm đi qua r uuu r r � A  2;0;0  và có véc tơ pháp tuyến n 1  � AB � , u � 8  1;0; 1 nên có phương trình là: x  z  2  0 9, H là hình chiếu của A lên d. Ta có uuur r Gọi AH .u  0 � t  1  t  1  t  0 � t  0 � H  0;1;0  uuur Mặt phẳng cần tìm qua H và có véc tơ pháp tuyến AH  1; 1;0  nên có phương trình: x  y  1  0 8 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương ur r 10, chọn M  1;1;0  �d1 , N  0; 2;1 �d 2 ; u1  0; 1;1 , u 2  1;1;0  �1 3 1 � Mặt phẳng cần tìm đi qua trung điểm I � ; ; �của MN và có véc tơ pháp �2 2 2 � r ur uu r u1 , u2 � tuyến n 1  � � �  1;1;1 nên có phương trình: 2 x  2 y  2 z  3  0 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: 1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A  1;0; 2  , B  2;1;0  , C  1;3;1 2, Mặt phẳng đi qua A  1; 2;0   P  : x  2 y  1  0;  Q  : y  2 z  2  0 3,Mặt phẳng đi qua A  2; 2;1 và và vuông góc với hai mặt phẳng: song song với hai đường thẳng: �x  t �x  2l � � d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  l �z  t �z  1  l � � �x  2t � 4, Mặt phẳng đi qua A  1;1;1 và song song với đường thẳng: d : �y  t đồng �z  2  t � thời vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  1  0 5, Mặt phẳng đi qua  P  : x  y  2z  2  0 A  0; 2;1 , B  1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng 6, Mặt phẳng đi qua A  1; 2;1 , B  3;1;1 và song song với đường thẳng: �x  t � d : �y  2  t �z  2  t � �x  2  t � 7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : �y  1 và vuông góc với �z  2t � mặt phẳng  Q  : x  y  2 z  2  0 8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:  P  : x  y  2 z  2  0;  Q  : x  y  z  2  0 và song song với đường thẳng �x  2  t � d : �y  1  t �z  t � 9 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương �x  1  t � 9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : �y  1  t sao cho khoảng �z  1 � cách từ điểm A  1; 2; 2  đến mặt phẳng là lớn nhất. �x  t �x  l � � 10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  1  l . Viết phương trình �z  t �z  1 � � mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2 II.Bài toán 2. Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) x y z theo đoạn chắn là:    1 ,abc �0 a b c Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M  2;1; 3 lên các trục tọa độ 2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm G  1; 1; 2  làm trọng tâm. 3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm H  2; 1; 2  làm trực tâm. 4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao cho OA  2OB  4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M  2;1;1 Giải: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn x y z chắn là;    1 ,abc �0 a b c 1, Hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: A  2; 0;0  , B  0;1;0  , C  0;0; 3 . x y z  1 � 3x  6 y  2 z  6  0 Vậy phương trình mặt phẳng là:   2 1 3 10 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương a  0  0  3.1 a3 � � � � 0  b  0  3.(1) � � b  3 .Vậy phương trình mặt phẳng là: 2, Theo đề ra ta có: � � � 0  0  c  3.2 c6 � � x y z    1 � 2x  2 y  z  6  0 3 3 6 3, Cáchuu 1:ur uuur uuur uuur Ta có: AH  2  a; 1;2  , BC  0; b; c  , BH  2; 1  b; 2  , AC  a;0; c  uuur uuur � �AH .BC  0 � b  2c  0 9 � u u u r u u u r � ac � � � ac  0 �� 2. Theo đề ra ta có: �BH . AC  0 � � �H � ABC �2 1 2 � b  9 �   �   1 � �a b c Vậy phương trình mặt phẳng là: 2x y 2z    1 � 2x  y  2z  9  0 9 9 9 Cách 2: Chứng minh trong tứ diện OABC thì OH   ABC  . Vậy mặt phẳng cần tìm qua H uuur và nhận véc tơ OH  2; 1; 2  làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: 2x  y  2z  9  0 � � a  2b a 8 � � b � � c �� b4 4, Theo đề ra ta có: OA  2OB  4OC � a  2b  4c � � 2 � � c2 � �2 1 2   1 � �2b b b Vậy phương trình mặt phẳng là: x y z    1 � x  2 y  4z  8  0 8 4 2 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M  1;1;3 lên các trục tọa độ 2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm G  2;1; 2  làm trọng tâm. 3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm H  1; 1; 2  làm trực tâm. 4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao cho 2OA  OB  4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M  1; 2;1 . 11 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương III, Bài toán 3. Lập phương trình mặt chứa một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó; hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau. 3.1. Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Phương pháp: Giả sử A là điểm đã cho và M là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng. Khi đó mặt r uuuu r uu r � �. n  AM ; u phẳng cần tìm đi qua A( hoặc M) có véc tơ pháp tuyến � � Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz �x  2t � Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A  1; 2; 1 và đường thẳng d : �y  t �z  2  t � Giải: uuuu r Chọn M  0;0; 2  �d � AM  1; 2;3 r uuuu r ur � AM Mặt phẳng cần tìm qua A và có véc tơ pháp tuyến n  � � ; u1 �  5;7;3 nên có phương trình là: 5 x  7 y  3 z  6  0 3.2. Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng: Phương r r pháp: Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’). M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng. Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp r uuuuuur ur M 1M 2 ; u1 � tuyến n  � � � Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: �x  1 �x  0 � � d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  2  u �z  t �z  1  u � � Giải: ur Ta có: u1   0; 1;1 , M  1;1;0  �d1 , N  0; 2;1 �d 2 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M  1;1; 0  và có véc tơ pháp r uuuu r ur � n� MN tuyến nên có phương trình là: � ; u1 �  2;1;1 2  x  1  y  1  z  0 � 2 x  y  z  3  0 3.3. Cho hai đường thẳng cắt nhau (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng: r r Phương pháp: Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’), . 12 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng. Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp r ur uu r � u ; u tuyến n  � �1 2 � Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: �x  1 �x  t � � d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  1  t �z  t �z  1 � � Giải: ur uu r Ta có: u1   0; 1;1 , M  1;1;0  �d1 , u2   0; 2;1 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M  1;1;0  và có véc tơ pháp r ur uu r � � n  u ; u tuyến nên có phương trình là: �1 2 �  1;1;1  x  1  y  1  z  0 � x  y  z  2  0 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz �x  t � 1, Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A  2; 2;1 và đường thẳng d : �y  1  t �z  2  t � 2, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: �x  t �x  0 � � d1 : �y  1  t ; d 2 : �y  2  u �z  t �z  1  u � � 3, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: �x  1 �x  t � � d1 : �y  2  t ; d 2 : �y  1  2t �z  t �z  2  t � � IV. Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn tính chất khác 4.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng là một số m cho trước. Phương pháp: 2 2 2 Giả sử phương trình mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0; A  B  C  0 �A � P  � � Theo đề ra ta có: �B � P  � d  C;  P    m � 13 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  1;1;1 , B  0;1; 2  sao cho khoảng cách từ 1 điểm C  2; 1;1 bằng . 3 Giải:  P  : Ax  By  Cz  D  0; A 2  B 2  C 2  0 . � � �A  B  C  D  0 3A  D � � �� Theo đề ra ta có hệ: �B  2C  D  0 23 A  11D � � 2A  B  C  D 1 � d  C;  P     2 2 2 � 3 A  B C � *) Chọn A = 1, D = -3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x  y  z 3  0 *) Chọn A = 11, D = - 23, C =11, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: 11x  y  11z  23  0 4.2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho góc giữa (P) và (Q) bằng giá trị  cho trước. Phương pháp: 2 2 2 Giả sử phương trình mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0; A  B  C  0 �A � P  � � Theo đề ra ta có: �B � P  � cos   P  ;  Q    cos � Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  1;0;0  , B  1;1; 1 sao cho.góc giữa mặt 8 phẳng đó và mặt phẳng 2 x  y  2 z  3  0 thỏa mãn: cos  9 Giải:  P  : Ax  By  Cz  D  0; A 2  B 2  C 2  0 . � � A  D  0 � 2A  B � � A  B  C  D  0 �� Theo đề ra ta có hệ: � 14 A  47 B � � 2 A  B  2C 8 � cos  (Q );  P     2 2 2 � 9 3 A  B C � *) Chọn A = 1, B = 2, C =2, D = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x  2 y  2z 1  0 14 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương *) Chọn A = 47, B = 14, C =14, D = 47, khi đó phương trình mặt phẳng là: 47 x  14 y  14 z  47  0 Ví dụ 2: Trên hệ trục Oxyz �x  1  t � Viết phương trình mặt phẳng đi qua d : �y  1  t sao cho góc giữa mặt phẳng đó và �z  1  t � x2 y 3 z 5   đường thẳng l : bằng 600. 2 1 1 Giải:  P  : Ax  By  Cz  D  0; A 2  B 2  C 2  0 . � � �A  B  C  D  0 C 0 � � 2B  D  0 �� Theo đề ra ta có hệ: � C  A � � 2 A  B  C 3 � sin  ( P); l    2 2 2 � 2 6 A  B C � *) Chọn A = 1, B = 1, C =0, D = -2, khi đó phương trình mặt phẳng là: x y20 *) Chọn A = 1, B = 0, C =-1, D = 0, khi đó phương trình mặt phẳng là: x  z  0 4.3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng bằng nhau. Phương pháp: Cách1: Giả sử phương trình mặt phẳng 2 2 2  P  : Ax  By  Cz  D  0; A  B  C  0 �A � P  � � Theo đề ra ta có: �B � P  � d  C ;  P    d  D;  P   � Cách 2: Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm I của CD Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với CD Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  1;1;1 , B  0;1; 2  sao cho khoảng cách từ điểm C  2; 1;1 , D  0; 0; 2  đến mặt phẳng bằng nhau. Giải: 2 2 2 Cách 1. Giả sử  P  : Ax  By  Cz  D  0; A  B  C  0 . 15 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Theo đề ra ta có hệ: �A  B  C  D  0 �A  C  0 �A  C � � � � �D  2C  B � �� 3A  D �B  2C  D  0 �2 A  B  C  D  2C  D �5 A  2D  2 A  D �� 7 A  3D �� � � *) Chọn A = 1, D = - 3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x  y  z 3  0 *) Chọn A = 3, D = -7 , C =3, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: 3x  y  3z  7  0 Cách 2. � 1 3� 1;  ; �. Mặt phẳng cần tìm qua Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm CD � I � � 2 2� r uuur uur 1 �  3;1;3 nên có phương trình A  1;1;1 , và có véc tơ pháp tuyến n  � AB ; AI � � 2 là: 3x  y  3z  7  0 . Trường hợp 2. Mặt phẳng cần tìm qua A  1;1;1 , và có véc tơ pháp tuyến r uuur uuur n� AB; CD � � �  1;1;1 nên có phương trình là: x  y  z  3  0 . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1 ;1 ;1), B( 1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) . Giải: 2 2 2 Gỉa sử mặt (P) có dạng: a  x  1  b  y  1  c  z  1  0 , a  b  c �0 B �( P ) � b  0 � ( P ) : a  x  1  c  z  1  0 Mặt khác: d  C;( P )   d  D;( P)  � c  a a 2  b2 a 2  b2 a  c � ( p) : x  y  2  0 a  c � ( p ) : x  y  0 � a  �c Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  1;1;1 , B  3;0;0  sao cho khoảng cách từ 3 điểm C  2; 1;1 bằng . 5 2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  0;0; 5  , B  1; 1; 3  sao cho.góc giữa 2 mặt phẳng đó và mặt phẳng 2 x  y  z  3  0 thỏa mãn: cos  3 16 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 3, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A  2;0;1 , B  0;1; 2  sao cho khoảng cách từ điểm C  3; 1;1 , D  1;1;1 bằng nhau. �x  t � 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d : �y  t sao cho góc giữa mặt phẳng đó �z  0 � �x  1  u 1 � và đường thẳng l : �y  2u là  thỏa mãn sin   . 15 �z  1 � C. Một số bài toán khác liên quan đến mặt phẳng: I. Bài toán1. Tìm hình chiếu 1.1. Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: a, Hình chiếu vuông góc: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lân (P) ta làm như sau: Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) Hình chiếu H là giao điểm của d và (P) Ví dụ: Trong không gian cho A  1;1;0  ;  P  : x  y  z  5  0 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P). Giải: �x  1  u � Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d : �y  1  u �z  u � �x  1  u �y  1  u � � H  2; 2;1 Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: � z  u � � �x  y  z  5  0 b, Hình chiếu song song: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lên (P) theo phương chiếu l ta làm như sau: Gọi d là đường thẳng qua A và song song với l Hình chiếu H là giao điểm của d và (P) Ví dụ: 17 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trong không gian cho A  1;1;0  ;  P  : x  y  z  5  0 . Tìm hình chiếu song song �x  2  u � của A lên (P) theo phương chiếu l : �y  1  u . �z  u � Giải: �x  1  u � Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d : �y  1  u �z  u � �x  1  u �y  1  u � � H  4; 2;3  Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: l : � z  u � � �x  y  z  5  0 1.2. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và đường thẳng d Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. khi đó hình chiếu H là giao của (P) và d. uuur r Cách 2: Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A lên d, khi đó ta có AH .u  0 Ví dụ: xt � � Trong không gian cho A  1; 2; 0  ; d : �y  1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên � z  t � d. Giải: Cách 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, phương trình mặt phẳng (P): x  z  1  0 . xt � �y  1 1� � �1 � H � ;1;  � Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: � z  t 2� �2 � � x  z 1  0 � Cách 2. Giả sử H �d � H  t;1; t  . H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi uuur r �1 1 � AH .u  0 � H � ;1; � 2 � �2 1.3. Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng a, Hình chiếu vuông góc: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Cách 1. 18 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương + Nếu d P( P) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng d’ đi qua A’ + Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d. Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng d’ đi qua A’, I. Cách 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (P). Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) b, Hình chiếu song song theo phương chiếu l Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), phương chiếu l. Cách 1. + Nếu d P( P) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua A’ + Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d. Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua A’, I. Cách 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và song song với l. Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Ví dụ: Trong không gian cho d : x  2 y 1 z 1   ,(Q):2x+y+z-8=0 2 3 5 a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương l: x y 1 z 1   2 1 1 Giải: a, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). r r uur � u (Q) qua A và có véc tơ pháp tuyến n  � �; nP �  1; 4; 2  � ( P) : x  4 y  2 z  8  0 �8 8 � Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I � ;0; �và có véc tơ chỉ phương �3 3 � � 8 �x  3  2t r uur uur � �  6; 3; 9  có phương trình là: d ' : �y  t u� n ; n Q P � � � 8 �z   3t � 3 b, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với l (Q) qua A và có véc r uu r ur n� ud ; ul � � �  8;12; 4  � ( P) : 2 x  3 y  z  8  0 tơ pháp tuyến 19 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I  0;0;8  và có véc tơ chỉ phương �x  t r uur uur �  4;0; 8  có phương trình là: d ' : � u� n ; n �y  0 Q P � � �z  8  2t � Bài tập tương tự: 1, Trong không gian cho A  1;1; 2  ;  P  : x  y  z  2  0 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P). 2, Trong không gian cho A  2;1; 2  ;  P  : x  y  z  5  0 . Tìm hình chiếu song �x  u � song của A lên (P) theo phương chiếu l : �y  1  u . �z  2u � x  1 t � � 3, Trong không gian cho A  1; 2;3 ; d : �y  1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A � z  t � lên d. 4 Trong không gian cho d : x y 1 z 1   ,(Q):3x+y-8=0 2 1 1 a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương l: x  2 y  1 z 1   1 1 1 II. Bài toán 2. Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 2.1. Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và mặt phẳng (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho: uuuur uuuur uuuur k1 MA1  k2 MA2  ...  k n MAn đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: uuur uuu r uuu r Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1  k2 IA2  ...  kn IAn � I uuuur uuuur uuuur M  k1 MA1  k2 MA2  ...  kn MAn = Theo đề ra ta có: uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r k1 ( MI  IA1 )  k2 ( MI  IA2 )  ...  kn ( MI  IAn )   k1  k 2  ...  kn  MI Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P). Ví dụ 1: Trong không gian cho ba điểm A  0;0;5  , B  1; 1;3 , C  4;1;1 và mặt phẳng x y  z 3 0 uuur uuur uuuu r a, Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất 20