Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

  • Số trang: 85 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 15 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ MôC LôC Trang Më ®Çu……………………………………………….…………………………..3 Ch−¬ng 1: KIÕN THøC chuÈn bÞ.……………………………………………...5 1.1. Bæ xung vÒ kh«ng gian Banach……………………………………………..5 1.1.1. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn…………………………………………………...5 1.1.2. Kh«ng gian Banach………………………………………………………10 1.1.3. Kh«ng gian Banach kh¶ li………………………………………………..10 1.1.4. To¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc………………………………………………. 9 1.2. Kh«ng gian Hilbert………………………………………………………...12 1.2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian tiÒn Hilbert……………………………………...12 1.2.2. BÊt ®¼ng thøc schwarz, chuÈn trªn kh«ng gian tiÒn Hilbert……………..12 1.2.3. Kh¸i niÖm kh«ng gian Hilbert…………………………………………...14 1.2.4. HÖ thèng trùc giao vµ trùc chuÈn………………………………………...15 1.2.4.1. Vect¬ trùc giao……………………………………………..………… 15 1.2.4.2. Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n…………………………………..………….16 1.2.4.3. HÖ thèng trùc giao……………………………………………..………17 1.2.4.4. HÖ thèng trùc chuÈn…………………………………………...……….17 1.2.4.5. BÊt ®¼ng thøc Bessel…………………………………………..……….19 1.2.4.6. HÖ trùc chuÈn ®Çy ®ñ……………………………………………..……20 1.2.4.7. C¸c ®Þnh lý………………………………………………………..……20 1.2.4.8. C¬ së trùc chuÈn…………………………………………………….....23 1.2.5. PhÐp chiÕu…………………………………………………………….….24 1.2.6. Gi¸ trÞ riªng, vect¬ riªng…………………………………………………26 1.2.7. Kh«ng gian Hilbert t¸ch ®−îc……………………………………………28 1.2.8. §Þnh lý biÓu diÔn Riesz, phiÕm hµm tuyÕn tÝnh vµ song tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert……………………………………………………………...31 1.2.9. To¸n tö tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert……………………………...36 1.2.9.1. To¸n tö tù liªn hîp……………………………………………..........…36 1.2.9.2. To¸n tö ®èi xøng……………………………………………….............36 1 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 1.2.9.3. To¸n tö hoµn toµn liªn tôc……………………………………………..40 1.2.10. To¸n tö tÝch ph©n………………………………………………………43 1.2.11. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………………………….46 1.2.12. Bµi to¸n dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n………………………………...47 Ch−¬ng 2: MéT Sè D¹NG PH¦¥NG TR×NH TÝCH PH¢N TUYÕN TÝNH………49 2.1.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch ®èi xøng………………………………….49 2.1.1. §Þnh nghÜa 2.1…………………………………………………………...49 2.1.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….49 2.2. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch tho¸i ho¸………………………………...51 2.2.1. §Þnh nghÜa 2.2…………………..……………………………………….51 2.2.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….51 2.2.3. §inh lý Fredholm ( tr−êng hîp h¹ch tho¸i ho¸ )………………………...56 2.3.Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n víi h¹ch kh«ng ®èi xøng…………………………..56 2.3.1. §Þnh nghÜa 2.3……..…………………………………………………….56 2.3.2. XÐt sù tån t¹i nghiÖm…………………………………………………….57 2.3.3. §Þnh lý Fredholm ( trong tr−êng hîp tæng qu¸t )………………………..61 2.4. Ph−¬ng tr×nh Volterra……………………………………………………...61 2.5. Mét sè c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh……………………….62 2.5.1. P−¬ng ph¸p ®¹i sè………………………………………………………..61 2.5.2. Ph−¬ng ph¸p xÊp xØ……...………………………………………………62 2.5.3. Ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp……….....……………………………………..64 2.5.4. Bµi tËp ¸p dông…………………………………………………………..67 KÕt luËn……………………………………………………………………..….84 Tµi liÖu tham kh¶o……………………………………………………..........….85 2 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ Më ®Çu 1) Lý do chän ®Ò tµi Gi¶i tÝch hµm lµ mét ngµnh To¸n häc ®−îc x©y dùng vµo kho¶ng ®Çu thÕ kû XX vµ ®Õn nay hÇu nh− ®c ®−îc xem nh− mét ngµnh to¸n häc cæ ®iÓn. Trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn, Gi¶i tÝch hµm ®c tÝch lòy ®−îc mét néi dung hÕt søc phong phó. Nh÷ng ph−¬ng ph¸p vµ kÕt qu¶ mÉu mùc, tæng qu¸t cña Gi¶i tÝch hµm ®c x©m nhËp vµo tÊt c¶ c¸c ngµnh to¸n häc cã liªn quan vµ sö dông ®Õn c«ng cô Gi¶i tÝch vµ kh«ng gian vect¬. ChÝnh ®iÒu ®ã ®c më ra ph¹m vi nghiªn cøu lín cho ngµnh To¸n häc. Ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n trªn kh«ng gian Hilbert lµ mét m¶ng trong gi¶i tÝch hµm ®−îc x©y dùng tõ c¸c bµi to¸n thùc tÕ trong vËt lý, ho¸ häc vµ nhiÒu khoa häc øng dông kh¸c. Cô thÓ nh− trong nghiªn cøu tÝnh ®µn håi, tÝnh dÎo, nhiÖt vµ sù thay ®æi khèi l−îng cña vËt, lý thuyÕt dao ®éng, lý thuyÕt xÕp b¶ng, kü thuËt ®iÖn, kinh tÕ, y häc,... Víi mong muèn ®−îc nghiªn cøu vµ t×m hiÓu s©u s¾c h¬n vÒ bé m«n nµy vµ b−íc ®Çu tiÕp cËn víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc, em ®c chän ®Ò tµi “Mét sè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh”. 2) Môc ®Ých và nhiệm vụ nghiªn cøu B−íc ®Çu gióp em lµm quen víi c«ng viÖc nghiªn cøu khoa häc vµ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ Gi¶i tÝch hµm ®Æc biÖt vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert. HÖ thèng l¹i nh÷ng c¬ së lý thuyÕt cÇn thiÕt vÒ to¸n tö trªn kh«ng gian Hilbert tõ ®ã ®−a ra mét sè d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert vµ sù tån t¹i nghiÖm cña nh÷ng ph−¬ng tr×nh d¹ng nµy. §Æc biÖt hÖ thèng ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n bao gåm ph−¬ng ph¸p ®¹i sè ho¸, ph−¬ng ph¸p lÆp liªn tiÕp, ph−¬ng ph¸p xÊp xØ vµ cã bµi tËp ¸p dông. 3) §èi t−îng nghiªn cøu §èi t−îng chÝnh mµ kho¸ luËn nghiªn cøu lµ nh÷ng ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert, bªn c¹nh ®ã kho¸ luËn cßn nghiªn cøu vÒ kh«ng 3 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ gian Hilbert lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu ®èi t−îng chÝnh. 4) Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc tiªn lµ ®äc c¸c tµi liÖu liªn quan tíi néi dung cña ®Ò tµi. Cô thÓ nh− tµi liÖu viÕt vÒ nguån gèc thùc tiÔn vµ c¬ së lý thuyÕt dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert. Tõ ®ã lµm tiÒn ®Ò cho viÖc t×m hiÓu vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian Hilbert vµ vËn dông c¸c kiÕn thøc c¬ së trªn ®Ó ®äc hiÓu vÒ ®èi t−îng chÝnh ta cÇn nghiªn cøu, ph©n tÝch, tæng hîp råi rót ra kÕt luËn - Hái ý kiÕn chuyªn gia: Chñ yÕu lµ gi¸o viªn h−íng dÉn 5) Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khoá luận là tài liệu tham khảo cho thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa toán. Về bản thân bên cạnh việc ñược tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert còn ñược nâng cao kiến thức cơ sở về Giải tích hàm. 6) CÊu tróc cña khãa luËn Ngoài lời nói ñầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận là tài liệu dày 85 trang gồm hai chương: Ch−¬ng 1 - KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng 2 - Mét sè ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n tuyÕn tÝnh 4 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC chuÈn bÞ 1.1. BỔ SUNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1 Không gian ñịnh chuẩn ∗ Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức), hàm thực ⋅ : X → ℝ thoả mãn ba tính chất: (i ) x ≥ 0 ∀x ∈ Χ, x = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ Χ ( ii ) λ x = λ . x , ∀x ∈ Χ, ∀λ ∈ Κ ( iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Χ Được gọi là một chuẩn trên Χ , cặp ( Χ , ⋅ ) ñược gọi là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, hay không gian ñịnh chuẩn. ∗ Ví dụ 1.1.1. Không gian vect¬ tất cả các hàm số x = x ( t ) xác ñịnh và ño ñược trên ñoạn [ a; b ] với bình phương moñun khả tích trên [ a; b ] , ( −∞ < a < b < +∞ ) ta kí hiệu là L2[ a ,b] .  L2[ a ,b] =  x = x(t )  b ∫ a 2  x(t ) dt < +∞   Khi ñó ( L2[ a ,b] , ⋅ ) là không gian ñịnh chuẩn, với chuẩn ⋅ xác ñịnh bởi 1 2   2 x =  ∫ x ( t ) dt  , x ∈ L2[a ,b] a  b Thật vậy: ∀ x ∈ L2[a ,b] : x ( t ) ≥ 0 , ∀t ∈ [ a, b ] suy ra 2 b ∫ x (t ) a 1 2 b 2 2 dt ≥ 0 hay  ∫ x ( t ) dt  = x ≥ 0 a  1 b 2 2 ⇒ x = 0 ⇔  ∫ x ( t ) dt  = 0 a  5 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ b ⇔ ∫ x ( t ) dt = 0 ⇔ x ( t ) = 0 hầu khắp nơi trên [ a, b ] 2 2 a ⇔ x ( t ) = 0 hầu khắp nơi trên [ a, b ] ⇔ x ( t ) = 0, ∀t ∈ [ a, b ] ⇔ x = θ 1 2     2 2 2 ∀λ ∈ Κ , x ∈ L2[a ,b] : λ x =  ∫ λ x ( t ) dx  =  ∫ λ x(t ) dt  a  a  b b 1 2 1 2 1 2  2    2 2 =  λ ∫ x ( t ) dt  = λ  ∫ x ( t ) dt  = λ ⋅ x . a   a  b b ∀y, x ∈ L2[a ,b] : ( x + y )( t ) = x ( t ) + y ( t ) , ∀t ∈ [ a, b ] nên: 1 1 b 2  b 2 2 2 x + y =  ∫ ( x + y )( t ) dt  =  ∫ ( x ( t ) + y ( t ) ) dt  . a  a  từ bất ñẳng thức Holder:  b b ∫ x ( t ) ⋅ y ( t ) dt ≤  ∫ x ( t ) a a 2 1 2    2 dt  ⋅  ∫ y ( t ) dt   a  b 1 2 Ta có: b b ( x + y = ∫ x ( t ) + y ( t ) dt ≤ ∫ x ( t ) + y ( t ) 2 2 a ) 2 dt a 1 1 b 2  b 2 b 2 2 2 ≤ ∫ x ( t ) dt + 2 ⋅  ∫ y ( t ) dt   ∫ x ( t ) dt  + ∫ y ( t ) dt a a a  a  b 2 2 1 1  b  b 2 2     2 2  =  ∫ x ( t )  +  ∫ y ( t ) dt   =    a    a  Cho nên x + y ≤ ( x + y 2 ) 2 hay: x+ y ≤ x + y . 6 (x + y ) 2 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ ∗ Tính Chất +) d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ ( Χ, ⋅ ) là một mêtric trên X +) Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ( i ) Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục ( ii ) Chuẩn ⋅ là một hàm số liên tục trên X Chứng minh. ( i ) : Giả sử hai dãy { xn } , { yn } trong không gian ñịnh chuẩn X, lần lượt hội tụ tới x0 , y0 thuộc X, tức lim xn = x0 , lim yn = y0 và {λn } là dãy số trong trường K với lim λn = λ0 ∈ Κ . Khi ñó: xn + yn − ( x0 + y0 ) = xn − x0 + yn − y0 ≤ xn − x0 + yn − y0 → 0 +) ⇒ lim ( xn + yn ) = x0 + y0 . +) λn xn − λ0 x0 = λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ λn ( xn − x0 ) + ( λn − λ0 ) x0 ≤ ≤ λn xn − x0 + λn − λ0 x0 → 0 (khi n → ∞ ) Tõ ®ã cã: lim ( λn xn ) = λ0 x0 . ( ii ) : Với mọi x, y ∈ Χ ta có: x = x− y+ y ≤ x− y + y ⇒ x − y ≤ x− y (1) y = y−x+x ≤ y−x + x = x− y + x ⇒ y − x ≤ x− y Từ (1) và (2) suy ra: x − y ≤ x− y . Do ñó, với { xn } là một dãy phần tử trong X mà hội tụ tới x0 ∈ Χ thì: 7 (2) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ xn − x0 ≤ xn − x0 → 0 (khi n → ∞ ) Suy ra lim xn = x0 , hay ta có chuẩn ⋅ là một hàm số liên tục trên X. 1.1.2. Không gian Banach ∗ Định nghĩa 1.1.2. Một không gian ñịnh chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản của X ñều hội tụ trong X. ∗ Dãy { xn } trong không gian ñịnh chuẩn X ñược gọi là dãy cơ bản nếu ∀ε >0 cho trước, ∃n0 ∈ Ν ∗ ñể ∀m, n ≥ n0 ta ñều có xn − xm < ε . ∗ Ví dụ 1.1.2. Không gian ℝ với chuẩn x = n n ∑x i =1 2 i , trong ñó x = ( xi )i =1, n Định lý 1.1.2. Không gian ñịnh chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ. ∞ Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach, chuỗi ∑x n =1 ∞ X, tức chuỗi ∑ n =1 xn n hội tụ tuyệt ñối trong hội tụ, gọi {Sn } là dãy tổng riêng của chuỗi ∞ ∑x n =1 n với n Sn = ∑ xk , khi ñó với mọi số tự nhiên n, p ta có: k =1 S n + p − Sn = n+ p ∑x k k = n +1 ≤ n+ p ∑ k = n +1 xk → 0 khi n, p → ∞ Suy ra {Sn } là một dãy cơ bản trong không gian X, vì X là không gian Banach ∞ nên dãy này hội tụ, do ñó chuỗi ∑x n =1 n hội tụ. Ngược lại, X là không gian ñịnh chuẩn thỏa mãn mọi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ, ta chỉ ra X là không gian Banach. Thật vậy, giả sử { xn } là một dãy cơ bản bất kì của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X, khi ñó với mỗi số tự nhiên n tồn tại số tự nhiên kn sao cho m ≥ kn , l ≥ kn thì khi ñó xl − xm ≤ 8 1 2n (3) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ { } của dãy Ta chọn các kn sao cho: k1 < k2 < k3 < ... < kn < ... thì ta sẽ có dãy con xkn { xn } hội tụ trong X, vì từ (3) suy ra xkn+1 − xkn < 1 , ∀n ∈ ℕ∗ n 2 Suy ra chuỗi ( ) ( ) ( ) xk1 + xk2 − xk1 + xk3 − xk2 + ... + xkn+1 − xkn + ... (4) có xkn+1 − xkn → 0 khi n → ∞ Do vậy (4) hội tụ tuyệt ñối, theo giả thiết thì chuỗi (4) hội tụ. Mặt khác, { } hội tụ trong X, vì {x } là dãy cơ bản suy ra Sn = xkn , với mọi n ∈ ℕ . Do vậy xkn n chuỗi { xn } hội trong X. Suy ra ( Χ, ⋅ ) là không gian Banach. 1.1.3. Không gian Banach khả li ∗ Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X ñược gọi là khả li (hay tách ñược) nếu tồn tại một dãy { xn }n các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X. ∗ Ví dụ 1.1.3. Không gian các hàm số liên tục trên [0,1] kí hiệu là C[0,1] , là không gian khả li với dãy { xn } ⊂ C[0,1] xác ñịnh bởi: x0 = 1 , xn ( t ) = t n , n ∈ ℕ trù mật khắp nơi trong C[0,1] . 1.1.4.Toán tử tuyến tính liên tục ∗ Định nghĩa 1.1.4. Cho ( X , . X ) và (Y , . Y ) là hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng một trường K. Ánh xạ A : X → Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục. ∗ Chú ý. A liên tục tại ñiểm x0 ∈ Χ ⇔ với mọi dãy { xn } các phần tử của Χ thỏa mãn lim xn − x0 X = 0 thì lim Axn − Ax0 y =0 + ) A liên tục trên X khi A liên tục tại mọi ñiển thuộc X + ) A ñược gọi là tuyến tính nếu ∀x, y ∈ Χ :  A ( x + y ) = Ax + Ay 9 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ A ( λ x ) = λ Ax, ∀λ ∈ Κ  Định lý 1.1.4. Giả sử cho A : X → Y là một toán tử tuyến tính từ không gian ñịnh chuẩn X vào không gian ñịnh chuẩn Y, khi ñó 3 mệnh ñề sau là tương ñương: i A liên tục ii A liên tục tại θ ∈ Χ iii A bị chặn ( ∃M > 0 : Ax ≤ M x , ∀x ∈ Χ ) Chứng minh. i ⇒ ii : A liên tục, tức A liên tục tại mọi ñiểm thuộc X do vậy A hiển nhiên liên tục tại θ ∈ Χ . ii ⇒ i : Giả sử A liên tục tại θ ∈ Χ , với mỗi x bất kỳ thuộc Χ và dãy { xn }n hội tụ tới ñiểm x ∈ Χ , ta chỉ ra lim Axn = Ax . Thật vậy, vì xn , x ∈ Χ , ∀n ∈ ℕ∗ nên ( xn − x ) ∈ Χ và lim ( xn − x ) = 0 (do tính liên tục của phép cộng trên không gian n →∞ ñịnh chuẩn ). Theo giả thiết A liên tục tại θ ∈ Χ suy ra: lim A ( xn − x ) = Aθ = 0 ⇒ lim Axn = Ax . Nên A liên tục tại x , với mọi x ∈ Χ nên A liên tục. i ⇒ iii : Giả sử A liên tục, ta chứng minh A bị chặn. Thật vậy, vì A liên tục trên X nên A liên tục tại phần tử θ ∈ Χ , do ñó ∃∂ > 0 sao cho mọi x ∈ Χ mà x ≤ ∂ thì ta có Ax ≤ 1 . Bây giờ với mọi x ∈ Χ , x ≠ 0 ñặt u = ∂x thì u = ∂ nªn: x Au ≤ 1 Thay u = ∂x ñược: x A ∂x ∂ 1 = ⋅ Ax ≤ 1 ⇔ Ax ≤ ⋅ x x x ∂ (5) Bất ñẳng thức (5) ñúng cho cả trường hợp x = θ , do ñó A bị chặn. iii ⇒ i : Giả sử A bị chặn, ta chứng minh A liên tục. Thật vậy, với x là phần 10 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ tử bất kỳ của Χ , { xn } là dãy phần tử trong X hội tụ tới x, tức xn − x → 0 khi n → ∞ . Do Α bị chặn nên tồn tại M sao cho Ax ≤ M x , ∀x ∈ Χ V× ( xn − x ) ∈ Χ, ∀n = 1, 2,... nên: n→∞ A ( xn − x ) ≤ M xn − x  →0 Kéo theo A ( xn − x ) → 0 khi n → ∞ . Do tính tuyến tính của A suy ra lim Axn = Ax . Vậy A liên tục tại x , với x là bất kỳ suy ra A liên tục. ∗ Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn Cho X,Y là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng trường K. Ta ký hiệu L ( X ,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Khi ñó với phép cộng các toán tử và phép nhân vô hướng thông thường: +) ( A + B ) x = Ax + Bx, ∀A, B ∈ L ( X , Y ) , +) ( λ A) x = λ ( Ax ) , ∀A ∈ L ( X , Y ) , Tập x∈Χ x ∈ Χ, λ ∈ Κ L ( X ,Y ) là một không gian vectơ trên trường Κ và với chuẩn ñược xác ñịnh như sau: A = Inf {M : ∀x ∈ X , Ax ≤ M x } , ∀A ∈ L ( X , Y ) Thì L ( X ,Y ) là một không gian ñịnh chuẩn, hay còn còn gọi là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Đặc biệt khi Y = Κ ta viết Χ∗ thay cho L ( X ,Y ) và gọi Χ ∗ là không gian liên hợp của không gian ñịnh chuẩn X. Mỗi phần tử của Χ ∗ ñược gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục. 11 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 1.2. KHÔNG GIAN HILBERT 1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert ∗ Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm g : E × E → ℝ thỏa mãn: i g ( x, y ) = g ( y, x ), ∀x, y ∈ E. ii g ( x + y, z ) = g ( x, z ) + g ( y, z ) , ∀x, y, z ∈ E . iii g ( λ x, y ) = λ g ( x, y ) , ∀x, y ∈ E , λ ∈ Κ . iiii g ( x, x ) ≥ 0, ∀x ∈ E , g ( x, x ) = 0 ⇒ x = θ ∈ E . Khi ñó g ñược gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là ⋅, ⋅ ( Ε, .,. ) ñược gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert. ∗ Nhận xét: i θ , x = x,θ = 0 ( θ là vectơ không trên E ). Thật vậy: θ , x = 0 ⋅ x, x = 0 x, x = 0 x , θ = x , x ⋅ 0 = 0 x, x = 0 . ii x, λ y + µ z = λ x, y + µ x, z , ∀x, y, z ∈ E . Thật vậy: x, λ y + µ z = λ y + µ z , x = λ y , x + µ z , x = λ y , x + µ z , x = λ x, y + µ x, z 1.2.2. Bất ñẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert Kí hiệu x = x, x , với mọi x ∈ Ε thì ta có: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ Ε Bất ñẳng thức trên ñược gọi là bất ñẳng thức Schwarz. 12 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ Chứng minh. Nếu y = θ thì x, y = x,θ = 0, ∀x ∈ Ε và y = 0 nên hiển nhiên bất ñẳng thức ñúng. Nếu y ≠ θ , khi ñó 0 ≤ x + α y, x + α y , ∀α ∈ Κ : x + α y , x + α y = x, x + α x, y + α y , x + α 2 y, y = x + α y , x + α x, y + α ⋅ y . 2 2 2 Vì ñẳng thức ñúng với mọi α ∈ Κ nên ta có thể chọn α = x, y 0≤ x − 2 y 2 Kéo theo 0 ≤ x ⋅ y − x, y 2 2 2 − 2 2 x, y 2 y 2 hay x, y y ≤ x ⋅ y 2 y 2 , khi ñó: 2 x, y + − x, y 4 2 ⋅ y 2 suy ra: x, y ≤ x ⋅ y Bây giờ ta xét xem dấu " = " xảy ra khi nào?. Chúng ta sẽ chứng minh dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử x và y phụ thuộc tuyến tính, tức x = λ y, λ ∈ Κ thì: x, y = λ y , y = λ y , y = λ y = ( λ y 2 )( y ) = λ y Ngược lại, giả sử dấu " = " xảy ra, tức có: x, y = x ⋅ y Suy ra x, y 2 = x, x y , y Từ ñó x, x y , x = x, x y , y Hay x, y y , x − y , y x, x = 0 ñúng với mọi x ∈ Ε . Suy ra: x, y y − y , y x = 0 Hay x, y phụ thuộc tuyến tính. 13 y = x ⋅ y Trường ĐH Hùng Vương ∗ Công thức x = Khoa Toán – Công nghệ x, x là một chuẩn trên không gian tích vô hướng E. Thật vậy: ∀x ∈ Ε , x, x ≥ 0 ⇒ x = x =0⇔ x, x ≥ 0, ∀x ∈ Ε . Và x , x = 0 ⇔ x, x = 0 ⇒ x = θ ∈ Ε ∀x, y ∈ Ε , ta có: x + y = x + y , x + y = x, x + x, y + y , x + y , y 2 = x + 2 Re x, y + y 2 Vì rằng x, y = ( Re x, y 2 ) + ( Im 2 x, y ) 2 ≥ Re x, y nên: x + y ≤ x + 2 x, y + y 2 2 2 Mặt khác theo bất ñẳng thức Schwarz x, y ≤ x ⋅ y ta có: x + y2 ≤ x + 2 x y + y = ( x + y 2 ) 2 2 Kéo theo x+ y ≤ x + y Với mọi λ ∈ Κ , ∀x ∈ Ε ta có: λx = λ x, λ x = λ ⋅ x, x = λ 2 x, x = λ ⋅ x Do vậy ⋅ xác ñịnh như trên là một chuẩn trên E và ( Ε, ⋅ ) là một không gian ñịnh chuẩn. ∗ Nhận xét. Mọi không gian tích vô hướng ñều là không gian ñịnh chuẩn và chuẩn xác ñịnh như trên ñược gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng ⋅, ⋅ . ∗ Đẳng thức hình bình hành ( ∀x, y ∈ Ε : 2 x + y 2 2 )= x+ y 2 + x− y 2 1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert ∗ Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng ñầy ñủ (tức mọi dãy cơ bản ñều hội tụ trong nó). 14 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 1.2.3.2. Một số không gian Hilbert + ) Không gian tích vô hướng các số phức ℂ , với tích vô hướng z , z ' = zz ' là không gian Hilbert. + ) Không gian ℂ , ℝ là những không gian Hilbert với tích vô hướng ñược xác k k ñịnh lần lượt là: ( k  ) z , z ' = ∑ z j z j ' , z = z1,..., Zk , z ' = ( z1 ',..., zk ' ) . j =1 k  x, y = ∑ xi yi , x = ( xi )i =1, k , y = ( yi )i =1, k i =1 + ) Không gian L[ a ,b] các hàm số xác ñịnh và ño ñược trên [ a, b ] và có bình 2 phương moñun khả tích trên [ a, b ] là không gian Hilbert với tích vô hướng ñược xác ñịnh: b x, y = ∫ x ( t ) y ( t )dt , x, y ∈ L2[ a ,b] . a + ) Không gian l 2 (các dãy số thực hoặc phức ( xn )n thỏa mãn ∞ ∑x n =1 n 2 < ∞ ) là không gian Hilbert với tích vô hướng ñược xác ñịnh như sau: ∞ ( x, y ) = ∑ xn yn n =1 , x = ( xn )n , y = ( yn )n ∈ l 2 . 1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn 1.2.4.1.Vect¬ trực giao. Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể ñịnh nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian ℝ 3 thông thường. Ta nói hai véctơ x, y của một không gian Hilbert Η trực giao với nhau, và kí hiệu x ⊥ y nếu x, y = 0 . 1.2.4.2. Một số tính chất ñơn giản + ) Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x . Ta nói x ⊥ x khi và chỉ khi x = θ ,vectơ mọi vectơ. + ) Nếu x ⊥ y1 , y2 ,..., yn thì x ⊥ (α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn ) . 15 θ trực giao với Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ + ) Nếu x ⊥ yn , yn → y ( n → ∞ ) thì x ⊥ y . + ) Nếu tập hợp Μ trù mật trong H thì M ⊥ gồm một phần tử duy nhất là θ , nghĩa là x ⊥ Μ ⇒ x = θ , trong ñó M ⊥ là phần bù trực giao của Μ , tức: Μ ⊥ = { x ∈ H : x ⊥ Μ} . Thật vậy, vì M trù mật trong H nên mọi x ∈ Η ñều là giới hạn của một dãy { xn } thuộc M và x = lim xn vậy x ⊥ Μ kéo theo x ⊥ xn với mọi n , và do ñó x ⊥ x suy ra x = θ . + ) Nếu x ⊥ y thì x + y = x + y 2 2 2 (ñinh lý Pythago). Mở rộng { yi }i =1, k là một 2 k ∑ yi dãy các phần tử của H ñôi một trực giao nhau thì khi ñó i −1 k = ∑ yi . 2 i =1 Chứng minh. Ta chứng minh theo qui nạp, với k = 2, y1 ⊥ y2 : y1 + y2 = y1 + y2 , y1 + y2 = y1 , y2 + y1 , y2 + y2 , y1 + y2 , y1 Vì y1 ⊥ y2 nên y1 , y2 = y2 , y1 = 0 suy ra: y1 + y2 2 = y1 + y2 2 Giả sử ñẳng thức ñúng với n = k ( k ≥ 2 ) , tức có 2 2 k ∑y i =1 k = ∑ yi i 2 i =1 Khi ñó: k +1 ∑ yi k =1 2 = i i =1 ∑y ∑ yi i =1 ∑y 2 i 2 + i + yk +1 k ∑y,y i i =1 k = ∑ yi i =1 2 2 k i =1 k i =1 + yk +1 2 i =1 ∑y k +1 = ∑ yi 2 k +1 = k 2 k ∑y = i =1 i + yk +1 , ∑ yi + yk +1 i =1 k k +1 + yk +1 2 k + yk +1 , ∑ yi + yk +1 = 2 i =1 2 k +1 = ∑ yi i =1 Vậy ta có ñẳng thức cần chứng minh. 16 2 2 k ∑y i =1 i + yk +1 2 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 2 k ∑y = ∑ yi i i =1 k 2 i =1 1.2.4.3. Hệ thống trực giao. Một họ S các vect¬ khác θ trong không gian tích vô hướng E ñược gọi là một hệ thống trực giao nếu x ⊥ y với mọi x, y ∈ S , x ≠ y . 1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn. Hệ thống trực giao S thỏa mãn ñiều kiện x = 1 với mọi x ∈ S thì S ñược gọi là một hệ trực chuẩn của Ε . ∗ Ví dụ: + ) Trong không gian tích vô hướng l dãy các véctơ xn = (δ mn )n 2 ( m, n ∈ Ν ) ∗ x1 = (1, 0, 0,..., 0,...) x2 = ( 0,1, 0,..., 0,...) xn = ( 0,..., 0,1, 0,...) là một dãy trực chuẩn. + ) Trong không gian tích vô hướng L[−π ,π ] dãy các phần tử ( yn )n của L[−π ,π ] xác ñịnh 2 2 einx , n ∈ Z là một dãy trực chuẩn trong không gian L2[−π ,π ] , vì với bởi ϕn = 2π m ≠ n ta có: ϕ n ,ϕ m π 1 = ∫ ϕ n ( x )ϕ m ( x )dx = 2π −π π i( n − m) = e −e π ∫π e i( n − m ) x dx − − π i( n − m ) =0 2π i ( n − m ) Khi n = m thì: ϕn ,ϕm 1 = 2π π ∫π dx = 1 − ∗ Nhận xét. Mọi hệ trực giao ñều ñộc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử S là một hệ trực giao của không gian tích vô hướng E, ta phải 17 Trường ĐH Hùng Vương chỉ ra với mọi n ∈ ℕ∗ : Khoa Toán – Công nghệ n ∑α x i =1 i i = θ kéo theo α i = 0, i = 1, n . Trong ñó xi là các phần tử tùy ý của S. Khi ñó: n n i =1 i =1 x j , ∑ α i xi = ∑ α i x j , x j = α j x j , x j = α j , j = 1, n Suy ra θ , x j = α j hay 0 = α j , j = 1, n . Ngược lại: Một hệ các vect¬ ñộc lập tuyến tính { yn } trong không gian tích vô hướng E, bao giờ cũng tồn tại một hệ trực chuẩn { xn } sao cho với mọi n ∈ ℕ∗ : span { y1 , y2 ,..., yn } = span { x1 ,..., xn } . Thật vậy, ñặt ω1 = y1 và x1 = ω1 ω1 k −1 ωk = yk − ∑ yk , xi xi và xk = i =1 ωk , k = 2,3,... ωk Khi ñó các ωk ≠ θ , nếu không ωk = θ thì { y1 ,..., yk } phụ thuộc tuyến tính ñiều này mâu thuẫn với dãy { yn } ñộc lập tuyến tính. Hệ {ωk }k trực giao ta sẽ chứng minh bằng qui nạp. Với k = 1 vì ω1 ≠ θ hiển nhiên. Với k = 2 , ta có: ω2 , ω1 = y2 − y2 , x1 x1 , ω1 = y2 − y2 , x1 x1 , y1 y2 , y1 = y2 , y1 − y2 , x1 x1 , y1 = y1 , y2 − y1 y1 , y1 2 = y2 , y1 − y2 , y1 = 0 ⇒ ω2 ⊥ ω1 . Giả sử ω2 , ω1 ,..., ωk −1 ñôi một trực giao với nhau, ta có: k −1 k −1 i =1 i =1 ωk , ωm = yk − ∑ yk , xi xi , ωm = yk , ωm − ∑ yk , ωi ωi , ωm với mọi i ≠ m thì ωi ⊥ ωm , i = 1, k − 1 (theo qui nạp) nên: 18 ωi 2 Trường ĐH Hùng Vương k −1 ∑ i =1 Khoa Toán – Công nghệ yk , ωi ωi , ωm ωi 2 yk , ωm ωm , ωm = ωm = yk , ωm 2 ⇒ ωk , ωm = yk , ωm − yk , ωm = 0 . Suy ra hệ {ω1 ,..., ωk } trực giao. Vậy hệ {ωn }n là một hệ trực giao, do ñó { xn }n là một hệ trực chuẩn của không gian tích vô hướng Ε . Với mỗi n ∈ ℕ∗ ta có: Mỗi tổ hợp tuyến tính của các vect¬ y1 ,..., yn ñều biểu diễn ñược qua các vect¬ x1 ,..., xn và ngược lại, do ñó: span { y1 ,..., yn } = span { x1 ,..., xn } . 1.2.4.5. Bất ñẳng thức Bessel Giả sử { xn }n là một dãy trực chuẩn trong không gian tích vô hướng E. Khi ñó với mỗi số tự nhiên n ≠ 0 , ∀x ∈ Ε ta có:. 2 n x − ∑ x, xk n = x − ∑ x, xk 2 k =1 2 (6) k =1 từ ñó kéo theo: n ∑ 2 x, xk K =1 ≤ x 2 ñặc biệt ∞ ∑ k =1 x, xk ≤ x 2 (bất ñẳng thức Bessel). Chứng minh.Với mỗi n ∈ ℕ∗ , áp dụng ñịnh lý Pythago ta có: 2 n ∑ α k xk k =1 n = ∑ α k xk k =1 2 n = ∑ αk 2 k =1 với mọi α1 ,..., α n ∈ Κ suy ra: n 0 ≤ x − ∑ α k xk k =1 2 n n k =1 k =1 = x − ∑ α k xk , x − ∑ α k xk n n n k =1 k =1 k =1 x, x − ∑ x,α k xk − ∑ α k xk , x + ∑ α k 19 2 Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ n n n k =1 n k =1 n k =1 = x − ∑α k x, xk − ∑α k xk , x + ∑ α k 2 = x − ∑ x, xk 2 2 k =1 2 + ∑ xk , x − α k . 2 k =1 Chọn α k = x, xk ta có: 2 n n x − ∑ x, xk xk = x − ∑ x, xk 2 k =1 vì rằng x − k =1 k =1 2 n ∑ 2 ≥ 0 nên: x , xk xk n x ≥ ∑ x, xk 2 2 (7). k =1 Mặt khác vì bất ñẳng thức (7) ñúng với mọi n ∈ ℕ∗ và chuẩn là hàm số liên tục cho nên khi n → ∞ ta có: ∞ ∑ x, xk k =1 2 ≤ x . 2 Bất ñẳng thức trên ñược gọi là bất ñẳng thức Bessel. ∗ Chú ý. Từ ñó suy ra rằng chuỗi n ∑ k =1 x, xk xn bao giờ cũng hội tụ. 1.2.4.6. Hệ trực chuẩn ñầy ñủ. Một hệ trực chuẩn {en }n trong không gian tích vô hướng E gọi là ñầy ñủ khi chỉ duy nhất vect¬ θ trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là: x ⊥ en ( n = 1, 2,.. ) kÐo theo x = θ . 1.2.4.7. Các ñịnh lý Định lý 1.2.4.8.1. Giả sử { xn }n là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H và giả sử {α n }n là một dãy các phần tử trong trường Κ khi ñó chuỗi tụ khi và chỉ khi chuỗi ∞ ∑α n =1 2 n < +∞ và trong trường này: ∞ ∑α n =1 20 ∞ ∑α n =1 x hội n n ∞ n xn = ∑ α n . n =1 2
- Xem thêm -