Tài liệu Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình được trình bày theo nhận thức của riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực và sự chính xác Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong, Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh iii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Phôi và điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Các điểm kì dị đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 7 9 1.3.3. Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp . . 10 2 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng 12 2.1. Định lý rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 1 Mở đầu Họ các đường cong tích phân của phương trình đặc trưng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của các phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [7], [13]). Xét phương trình vi phân cấp 2 trên mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (1) trong đó x, y là các tọa độ, a, b, c là các hàm số trơn, và F là hàm số nào đó. Phương trình đặc trưng tương ứng được định nghĩa a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0. (2) Như vậy, vấn đề nghiên cứu các dạng chuẩn địa phương của phương trình đặc trưng dẫn đến sự thay đổi trơn của các tọa độ đã có các nghiên cứu tới thế kỷ XIX. Từ xuất phát ban đầu của bài toán cho tới cuối thế kỷ đã nhận được các dạng chuẩn bao gồm các phương trình Laplace, phương trình sóng, và phương trình Cibrario - Tricomi đã biết. Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng trên là dy 2 + dx2 = 0, dy 2 − dx2 = 0 và dy 2 − xdx2 = 0, (3) (xem [4], [6], [7], [15]). Dạng chuẩn đầu tiên và dạng chuẩn thứ 2 được lấy gần một điểm của miền xác định elliptic và hyperbolic của phương trình ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm 0 và hai nghiệm thực dy : dx tại một điểm tương ứng. Dạng thứ ba là dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí tại một điểm điển hình của loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) của 2 phương trình, ở đây biệt thức là bằng 0 nhưng vi phân của nó khác 0, hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường tại điểm này. Sự chứng minh dạng này đã được hoàn thành bởi Tricomi F. (xem [15]) nhưng còn có chỗ thiếu sót và sau này đã được chứng minh hoàn chỉnh bởi Cibrario M. (xem [6]). Đây là dạng chìa khóa trong công thức của vấn đề đã được nghiên cứu bởi Tricomi và các sự thay đổi khác nhau của nó. Danh sách hoàn thành của các dạng chuẩn địa phương của mạng đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 tổng quát trong mặt phẳng đã tìm được ở cuối thế kỷ XX, khi các dạng chuẩn trơn tìm gần một điểm của đường suy biến, tại điểm mà hướng đặc trưng là tiếp tuyến tới đường (xem [8], [9], [10], [11]). Nó đã chứng minh rằng, một phương trình đặc trưng gần một điểm của tiếp tuyến này là rút gọn được đến dạng dy 2 + (kx2 − y)dx2 = 0, (4) trong đó k là tham số thực, bởi phép nhân trên hàm số không triệt tiêu trơn và sự lựa chọn thích ứng của các tọa độ trơn mới với gốc tại điểm này, nếu các điều kiện tiêu chuẩn được đưa vào. Chính xác hơn, trường hướng đặc trưng có thể nâng lên tới trường giá trị đơn trên mặt phương trình đã xác định trong không gian của các hướng trên mặt phẳng (với các tọa độ địa phương x, y, p, trong đó p = dx : dy ) bởi phương trình (2). Tại một điểm của bề mặt này giá trị của trường hướng nâng lên được là giao của mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt và mặt phẳng tiếp xúc xác định được 0 của dạng dy − pdx nếu các mặt phẳng này là khác nhau. Nội dung chủ yếu của luận văn trình bày lại các kết quả trong bài báo [3], [2]. Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo luận văn được chia thành hai chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1 đưa ra một số khái niệm, ví dụ minh họa và tính chất cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu trong chương 2. Chương 2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn 3 hợp trong mặt phẳng Trong chương này đã trình bày định lý rút gọn và sử dụng phương pháp chứng minh của định lý rút gọn để nhận được các kết quả về dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân ẩn cấp 1 trên mặt phẳng R2 của x,y hàm số trơn trong không gian của các hướng được gọi là mặt của phương trình. Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát là phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi nào đó của tập hợp trong không gian tôpô được lựa chọn. Định nghĩa 1.2. Giới hạn trên mặt của phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo trục của các hướng, nghĩa là ánh xạ của mặt này trên mặt phẳng pha (thường gọi là hướng) được gọi là gấp của phương trình ẩn. Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ gấp của phương trình ẩn là phép chiếu của phương trình mặt trên mặt phẳng với các biến x, y dọc theo trục p. Một điểm trên mặt gọi là chính quy nếu nó không là điểm tới hạn gấp của phương trình. Định nghĩa 1.4. Đường cong tích phân của phương trình ẩn là đường cong tích phân của trường các hướng trên bề mặt của phương trình. Định nghĩa 1.5. Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đi đến điểm của bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng được gọi là phép đối hợp gấp của phương trình. Định nghĩa 1.6. Họ vi phân của trường véctơ v (hoặc của trường hướng), phôi của trường véc tơ (hoặc của trường hướng) với tham số ε ∈ Rm , m ≥ 1 5 r r là Cv −tương đương nếu nó dẫn đến trong các phôi khác của họ, phép Cv − vi đồng phôi với tham số bảo toàn sự phân lớp tự nhiên trên không gian tham số đi tới các đường cong pha (hoặc các đường cong tương ứng) của trường (v, ε = 0) (tương ứng (v, 0)) trong chính nó. ˙ r Định nghĩa 1.7. Cv −tương đương của các phôi của họ được gọi là mạnh nếu nó bảo toàn tham số. 1.2. Phôi và điểm kì dị Định nghĩa 1.8. Hai đối tượng có tính chất giống nhau (các tập hợp, các trường véctơ, các họ của đường cong, phép ánh xạ,...) được gọi là tương đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong lân cận của điểm đó. Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của nó tại điểm đó. x + |x| 2 có một phôi chung tại mỗi điểm của nửa trục x dương và các phôi khác tại mỗi điểm khác. Ví dụ 1.1. Các hàm số của hàm một biến g1 (x) = x và g2 (x) = Định nghĩa 1.9. Hai sự biến dạng (của phôi) của phương trình ẩn gọi là tương đương trơn nếu hai sự biến dạng tạo thành một trong phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi của phép vi đồng phôi trơn). Định nghĩa 1.10. Sự biến dạng phôi của phương trình vi phân ẩn được gọi là quy nạp từ phôi khác nếu phôi thứ nhất nhận được là ánh xạ trơn của phôi thứ hai. Định nghĩa 1.11. Với r ≥ 0 hai phôi của các đối tượng có cùng tính chất (chẳng hạn các ánh xạ, các hàm số, các đường cong,..) được gọi là C r −tương đương dọc theo C 1 −trường véctơ (hoặc trường của các hướng) r v (= Cv −tương đương) nếu chúng đưa đến một phôi khác của phép C r − vi đồng phôi đưa đến các đường cong pha (tương ứng các đường cong tích phân) của trường v trong chính nó. Ví dụ 1.2. Trên mặt phẳng R2 , cho trường véctơ v = (x, βy) với β = 1 x,y của phôi trong O và của hai đường thẳng đi qua O trong tọa độ ban 6 r Hình 1.1: Cv −tương đương của đường thẳng trong điểm kì dị dạng yên ngựa đầu với góc phần tư thứ nhất và thứ 3 (góc phần tư thứ 2 và thứ 4) thì r Cv −tương đương. Thật vậy, luồng pha của trường này với thời gian t đi đến điểm (x, y) của đường thẳng y = sx, với s = 0 trong điểm (et x, eβt y) nằm trên đường thẳng y = e(β−1)t sx. Trực tiếp suy ra đường thẳng y = qx s ln q nếu sq > 0 trong thời gian hiện thời với t = (Hình 1.1). β−1 Hình 1.2: Định nghĩa 1.12. Hai phôi (có tính chất như nhau) được gọi là phép C k −vi đồng phôi nếu tại đó tồn tại một phôi của phép C k −vi đồng phôi dịch chuyển phôi thứ nhất trong phôi thứ hai. Lớp các phôi của phép C k −vi đồng phôi được gọi là một điểm kì dị C k hay đơn giản là một kì dị. Nhận xét. Một phép C k −vi đồng phôi là ánh xạ 1 − 1 mà cùng với nghịch đảo của nó là khả vi k lần, còn phép vi đồng phôi−C 0 gọi là phép đồng phôi. 7 Ví dụ 1.3. Tập hợp y = x2 − 1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau tại các điểm (−1, 0) và (1, 0) trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại O (Hình 1.2). 1.3. Các điểm kì dị đơn giản Xét hệ phương trình vi phân (xem [1])   dx = P (x, y);  dt  dy  = Q(x, y). dt (1.1) Điểm (x0 , y0 ) mà tại đó P (x0 , y0 ) = 0, Q(x0 , y0 ) = 0 được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.1) hoặc điểm kì dị. Bây giờ ta xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bắt đầu từ hệ 2 phương trình   dx = a x + a y;  11 12 dt (1.2)  dy  = a21 x + a22 y, dt a11 a12 = 0. Điểm (0, 0) là a21 a22 điểm cân bằng của hệ (1.2). Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạo đối với hệ (1.2) ở lân cận điểm đó. Ta tìm nghiệm dưới dạng trong đó aij (i, j = 1, 2) là các hằng số và x = a1 ekt , y = a2 ekt . (1.3) Để xác định k ta có phương trình đặc trưng a11 − k a12 = 0. a21 a22 − k (1.4) Ta sẽ xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra và đưa ra khái niệm các điểm kì dị. 1.3.1. Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa Các nghiệm của (1.4) là thực và khác nhau. Trong trường hợp này có thể xảy ra 3 trường hợp sau: 8 i. k1 < 0; k2 < 0. Điểm kì dị sẽ ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định, Hình 1.3a). Hình 1.3: ii. k1 > 0; k2 > 0. Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn định, Hình 1.3b). Hình 1.4: iii. k1 > 0; k2 < 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình 1.4a). Hình 1.5: 9 1.3.2. Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm Các nghiệm của (1.4) là phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi. Ở đây có 3 trường hợp sau: i. p < 0; q = 0. Điểm cân bằng ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định, Hình 1.4b). ii. p > 0; q = 0. Điểm cân bằng không ổn định (tiêu điểm không ổn định, Hình 1.5a). iii. p = 0; q = 0. Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.5b). 1.3.3. Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ). Ở đây có 2 trường hợp: Hình 1.6: i. k1 = k2 < 0. Điểm cân bằng ổn định trên tiệm cận (điểm nút (suy biến) ổn định, Hình 1.6a-b). ii. k1 = k2 > 0. Điểm cân bằng không ổn định (điểm nút (suy biến) không ổn định, Hình 1.6c). Chú ý. 1. Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều có phần thực âm thì điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Còn nếu chỉ cần một nghiệm của (1.4) có phần thực dương thì điểm cân bằng sẽ không ổn định. 2. Các kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng dxi = dt n aij xj (i = 1, 2, ..., n). (1.5) j=1 3. Để ngắn gọn đôi khi ta có thể viết x (y, z, ...) thay cho ˙ ˙ ˙ dx dy dz ( , , ...). dt dt dt 10 1.4. Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 trong mặt phẳng với các biến x, y dạng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.6) trong đó a, b, c là các hàm số khả vi, F là một hàm số đã cho, và u là hàm số chưa biết. Các miền hàm số ở đây ∆ = b2 − ac là âm và dương tương ứng gọi là các miền elliptic và hyperbolic. Phương trình vi phân ẩn a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0 (trong một dạng là đối xứng với mối quan hệ dx và dy ) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.6). Trong lân cận mọi điểm của miền hyperbolic, đường cong tích phân đặc trưng của hai phương trình cấp 1 mô tả 2 nhánh trơn của trường các hướng. Các đường cong tích phân của trường này gọi là các đặc trưng. Chúng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong trường hợp tổng quát, gradient của một hàm ∆ là khác 0 trên tất cả các điểm mà ở đấy hàm số tự nó triệt tiêu. Như vậy, đường mức 0 của hàm số là đường cong trơn (một cách chính xác hơn, được nhúng trơn) trong mặt phẳng. Đây là đường cong dạng biến đổi thay cho phương trình (1.6) trong miền elliptic nằm trên một phía của đường, và miền hyperbolic trên phía khác. Do đó, (1.6) là phương trình hỗn tạp trong lân cận của mỗi điểm của đường cong này. Trong trường hợp chung, các hàm số a và c không triệt tiêu một cách đồng thời tại một điểm nào đó trên đường của dạng biến đổi vì nếu không thì gradient của hàm số ∆ tại điểm này có thể cũng triệt tiêu. Do đó, trong lân cận của một điểm như thế phương trình đặc trưng có thể đã được rút gọn về phương trình bậc 2, với mối dx dy hoặc bằng cách phân chia nó tương ứng bằng quan hệ đạo hàm dx dy dx2 hoặc dy 2 . Vì vậy, chúng ta nhận được một phương trình ẩn cấp 1 gần giống dạng phương trình đường thay đổi không khó hơn khi tích phân hai 11 phương trình cấp 1 trơn không giải được với đạo hàm. Khi phép xấp xỉ trên một đường của 2 hướng đặc trưng tiến đến 2 hướng khác, trên một đường chính nó trùng khớp nhau và xác định một trường trơn của các đường thẳng trên nó. Nói chung, trường quay khi chuyển động dọc theo một đường và bởi vậy nó có thể tiếp xúc đường ở một vài điểm cấp 1 của sự tiếp xúc. Tại một điểm của véctơ tiếp xúc (−∆y, ∆x) xác định một hướng đặc trưng và thỏa mãn đường cong a(x, y)∆2 + 2b(x, y)∆x∆y + c(x, y)∆2 = 0. x y Trong một trường hợp chung, họ của các đặc trưng của các phương trình (1.6) có một điểm kì dị gấp ở tại điểm tiếp xúc. Tính kì dị có thể là một yên ngựa, một điểm nút, hay một tiêu điểm. Chẳng hạn, cho phương trình uxx + (kx2 − y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0 số không là một yên ngựa gấp, một nút gấp, hay một tiêu điểm gấp tương 1 1 , hoặc < k . Mỗi phương trình (1.6) là ứng đối với k < 0, 0 < k < 16 16 rút gọn được đến dạng này (với k nào đó) trong một lân cận các điểm kì dị gấp. 12 Chương 2 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng Xét phương trình vi phân cấp 2 trên mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (2.1) trong đó x, y là các tọa độ, a, b, c là các hàm số trơn, và F là hàm số nào đó. Phương trình đặc trưng tương ứng được định nghĩa a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0. (2.2) Các hướng đặc trưng tại một điểm là các nghiệm của phương trình này. Tại một điểm ở đó có thể có hai hướng đặc trưng, trong đó có hai hướng ảo tương ứng với giá trị của biệt thức D := b2 − ac là dương, bằng 0, và âm. Một điểm của sự trùng khớp các mặt phẳng là các điểm kì dị của trường hướng nâng lên được, và sự thích hợp chính xác tới các điểm của tiếp tuyến của trường hướng đặc trưng với dạng đường suy biến. Nó được biểu diễn gần một điểm kì dị của trường nâng lên được, ở đó tồn tại trường véctơ trơn xác định trường hướng ở ngoài điểm. Khi đó điểm là một kì dị của trường véctơ này. Dạng chuẩn (4) có thể nhận được trong tất cả các trường hợp khi tồn tại trường véctơ cho dạng chuẩn, điểm này là không suy biến và trường là tuyến tính hóa gần điểm. Trong trường hợp này tham số 13 1 + α2 α(α + 1)−2 đối với một yên ngựa hay một điểm nút và k = k= 4 16 đối với một tiêu điểm, ở đây số mũ α được định nghĩa như tỉ số của giá trị riêng với môđun lớn nhất của sự mở rộng trường véctơ tại điểm đi đến trường với môđun nhỏ nhất trong hai trường hợp đầu, và môđun của tỉ số phần ảo của giá trị riêng tới phần thực trong trường hợp thứ 3. Trong 1 và 3 trường hợp này tham số là nhỏ hơn 0, lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn 16 1 lớn hơn , tương ứng. Ở đây, tham số k trong phương trình đặc trưng có 16 1 thể rút gọn bất kỳ trong khoảng tương ứng, ví dụ tương ứng −1, , và 1 20 (xem [12], [13], [8], [9]) bởi sự thay đổi liên tiếp của các tọa độ. Định lý rút gọn là một định lý quan trọng, hiện nay nó là chìa khóa trong các chứng minh của các dạng chuẩn (xem [8], [9]). Định lý này quy về vấn đề của các dạng chuẩn cho phương trình (2.2) gần điểm của tiếp tuyến của trường đặc trưng với đường suy biến theo lý thuyết các dạng chuẩn của cặp đối hợp gấp hoán vị trên phương trình bề mặt, các điểm với các tọa độ x, y giống nhau và một trường véctơ trên bề mặt xác định trường hướng nâng lên được gần điểm kì dị của các trường. Ở đây các kết quả chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp của các họ của phương trình (2.2) khi các hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham số ε với số chiều hữu hạn. Sau đó, sử dụng định lý này và các kết quả đã biết cho dạng chuẩn với biến dạng trơn của phôi của phương trình đặc trưng tại điểm tiếp tuyến của hướng đặc trưng với đường suy biến, khi điểm kì dị của trường véctơ nâng được là không suy biến và thêm vào đó số mũ α là số vô tỉ trong trường hợp của yên ngựa và không là số tự nhiên cho trường hợp điểm nút. Khi đó nhận được các dạng chuẩn cho các họ, gần các điểm mà phép nhân bởi hàm số không triệt tiêu và sự lựa chọn của các tọa độ x, y thích hợp phụ thuộc tham số của họ và của các hàm số trơn cho trước nào đó, giống như trong (4) nhưng với k là một hàm số đã biết trên tham số này. Chú ý rằng, tập hợp cho các họ của các phương trình(2.2) là các dạng chuẩn đối với phương trình Laplace, phương trình sóng, và phương trình Cibrario - Tricomi là như nhau. 14 Đây là các sự phân nhánh địa phương đã nhận được bởi các họ của các đường cong tích phân của phương trình (2.2) trong trường hợp tham số một chiều hay tham số hai chiều. 2.1. Định lý rút gọn Cho một họ trơn của phương trình (2.1) với tham số ε hữu hạn chiều, phân tích dáng điệu của họ tương ứng của lưới đặc trưng gần điểm P của đường suy biến, ở đây sự khác nhau của biệt thức là khác 0 và hướng đặc trưng là tiếp tuyến tới đường, và cho một vài dạng chuẩn của các họ đặc trưng gần điểm trên các tọa độ trơn hay đủ trơn. Trong chương này luôn giả thiết phương trình là địa phương gần điểm nghiên cứu. Mệnh đề 2.1. Một họ trơn của phương trình a(x, y, ε)dy 2 − 2b(x, y, ε)dxdy + c(x, y, ε)dx2 = 0, (2.3) với tham số ε hữu hạn chiều gần điểm P của đường cong biệt thức, trong đó D(P ) = 0, dD(P ) = 0 và hướng đặc trưng là tiếp tuyến tới đường cong. Khi đó nhận được dạng dy 2 + c(x, y, ε)dx2 = 0 (2.4) với c là hàm số trơn nào đó, c(O) = 0 = cx (O) = cy (O), sau khi nhân hàm số trơn không triệt tiêu với sự lựa chọn thích hợp của các tọa độ trơn với gốc O tại điểm này. Chứng minh. Lựa chọn điểm P với ε = ε0 trong hệ của các tọa độ địa phương trơn sao cho hướng đặc trưng trong tọa độ ban đầu trùng với hướng của trục hoành. Các tọa độ địa phương trong không gian của các hướng trên mặt phẳng dy và họ của phương trình (2.3) được gần điểm gốc có thể lấy x, y , và p = dx viết dưới dạng a(x, y, ε)p2 − 2b(x, y, ε)p + c(x, y, ε) = 0, có a(O) = 0 = b(O) = c(O), cy (O) = 0, vì theo điều kiện D(O) = 0 và |Dx (O)| + |Dy (O)| = 0 và hướng đặc trưng tiếp xúc đường suy biến. Nếu 15 khử được hệ số b thì b = 0, chia phương trình cuối cho a địa phương gần điểm gốc chúng ta nhận được dạng cần tìm của họ. Triệt tiêu hệ số b, lựa chọn tọa độ tham số mới y như sau y = Y (x, y , ε), ˜ ˜ trong đó Y là hàm số trơn nào đó. Khi đó nhận được d˜ y dy = Yx (x, y , ε) + Yy (x, y , ε) . ˜ ˜ ˜ dx dx Tiếp theo, đặt tọa độ mới trong họ của phương trình, nhận được phương trình d˜ y Yx + Yy ˜ dx 2 − 2b(x, Y, ε) Yx + Yy ˜ d˜ y dx + c(x, Y, ε) = 0, biến đổi phương trình trên ta nhận được d˜ y dx 2 d˜ y + c(x, Y, ε) + Yx2 − 2b(x, Y, ε)Yx = 0. dx (2.5) d˜ y đủ để biểu thức trong ngoặc Do đó, triệt tiêu số hạng với đạo hàm dx vuông bằng 0 Yx ≡ b(x, Y, ε). Yy2 ˜ + 2Yy [Yx − b(x, Y, ε)] ˜ Phương trình này với đạo hàm riêng cấp một và họ trơn của phương trình đặc trưng xác định trường véctơ (1, 0, 0) không tiếp xúc mặt phẳng tọa độ x = 0. Vì địa phương gần gốc có duy nhất nghiệm trơn nếu các trơn tùy ý ban đầu nào đó trên mặt phẳng x = 0. Lấy nghiệm này của phương trình nếu Y (0, y , ε) = y trên bề mặt của phương trình. Do bổ đề ˜ ˜ Hadamard [4] nên nghiệm có thể viết dưới dạng Y (x, y , ε) = y + xB(x, y , ε), ˜ ˜ ˜ trong đó B là hàm số trơn nào đó. Thế biểu thức trên vào phương trình (15) và nhận được phương trình gần O trên hàm số trơn Yy2 = (1 + xB(x, y , ε))2 , ˜ ˜ chúng ta nhận được dạng cần tìm của phương trình với hàm số C mới nào đó với C = C(x, y, ε). Mệnh đề được chứng minh.