Một số dạng bài toán về pt bậc cao_skkn thcs

  • Số trang: 27 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 12 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn I 1- Lý do chän ®Ò tµi : §Æt vÊn ®Ò To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn cã tõ rÊt l©u ®êi. Nã tån t¹i vµ ph¸t triÓn cïng víi sù tån t¹i vµ ph¸t triÓn cña x· héi loµi ngêi. Tõ 2000 n¨m tríc c«ng nguyªn ngêi Cæ ®¹i ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ngêi cæ Babilon ®· biÕt gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai vµ ®· dïng c¸c b¶ng ®Æc biÖt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba. Nhng ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n ph¶i ®Õn ®Çu thÕ kû 19, nhµ To¸n häc Nauy lµ Abet ( 1802 – 1829) chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc 5 vµ lín h¬n bËc 5 lµ kh«ng ®Ó gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng tiÖn thuÇn tuý ®¹i sè. Sau cïng nhµ to¸n häc Ph¸p lµ Galoa ( 1811 – 1832) ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch trän vÑn vÒ vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh ®¹i sè. Sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y m«n To¸n ë bËc trung häc c¬ së t«i nhËn thÊy m¶ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®îc ®a ra ë s¸ch gi¸o khoa líp 8, 9 lµ rÊt khiªm tèn, néi dung s¬ lîc, mang tÝnh chÊt giíi thiÖu kh¸i qu¸t, quü thêi gian giµnh cho nã lµ qu¸ Ýt ái. Bªn c¹nh ®ã lµ c¸c néi dung bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a d¹ng vµ phøc t¹p. C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ mét néi dung thêng gÆp trong c¸c kú thi ë BËc THCS, THPT vµ ®Æc biÖt trong c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc vµ cao ®¼ng. XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao. Cïng víi sù tÝch luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh §¹i häc To¸n mµ ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thÇy c« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi “Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao.” Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸ bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp. 2 - NhiÖm vô nghiªn cøu : - Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh c¸c d¹ng : ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng ... - Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt, bËc hai ë c¸c d¹ng c¬ b¶n mµ häc sinh ®· häc. 3- §èi tîng nghiªn cøu : Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 1 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao - Häc sinh líp 8, 9 trêng THCS B¹ch Long. - C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ bËc nhÊt, bËc hai trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 8, 9. 4- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : Tham kh¶o tµi liÖu, thu thËp tµi liÖu, ®óc rót, tæng kÕt kinh nghiÖm, kiÓm tra kÕt qu¶. Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc, thÓ hiÖn trªn nhiÒu ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau : Häc sinh kh¸, giái vµ häc sinh trung b×nh vÒ m«n To¸n. 5- Ph¹m vi nghiªn cøu : Giíi h¹n ë vÊn ®Ò gi¶ng d¹y phÇn ph¬ng tr×nh bËc cao trong ch¬ng tr×nh líp 8, 9 ë THCS ( cô thÓ ë trêng THCS B¹ch Long). Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 2 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn II : Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu I - C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn : §Ó gi¶i mét bµi to¸n ®ßi hái ngêi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch ®Ó khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, c¸c ®iÒu kiÖn yªu cÇu cña ®Ò bµi, thÓ lo¹i bµi to¸n .... ®Ó tõ ®ã ®Þnh h íng c¸ch gi¶i. §¹i bé phËn häc sinh chóng ta kh«ng hiÓu râ sù quan träng cÇn thiÕt cña viÖc ph©n tÝch vµ nhËn ®Þnh híng gi¶i, nhiÒu em kh«ng häc lý thuyÕt ®· vËn dông ngay, kh«ng gi¶i ®îc th× ch¸n n¶n, bá kh«ng gi¶i hoÆc gië s¸ch gi¶i ra chÐp v.v.... Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt khi d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh ta thÊy c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a d¹ng vµ phong phó, mµ ta ph¶i vËn dông nhiÒu kü n¨ng biÕn ®æi ®¹i sè nh sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµ mét sè h»ng ®¼ng thøc më réng, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ... C«ng cô gi¶i ph¬ng tr×nh ®ßi hái kh«ng cao xa, chØ víi kiÕn thøc to¸n cÊp hai lµ ®ñ. C¸i quan träng lµ yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc, ph¶i cã sù lËp luËn chÆt chÏ, ph¶i biÕt xÐt ®Çy ®ñ c¸c khÝa c¹nh, c¸c trêng hîp cô thÓ cña tõng vÊn ®Ò. §Æc biÖt lµ yªu cÇu ®èi víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ph¶i hÕt søc s¸ng t¹o, linh ho¹t trong khi gi¶i ph¬ng tr×nh, biÕt ®Æc biÖt ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸ nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt. Lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y viÖc cung cÊp kiÕn thøc cho häc sinh ph¶i thùc sù ®óng quy tr×nh c¸c bíc biÕn ®æi, ph¶i ®¶m b¶o l«gÝc, cã hÖ thèng, kh«ng tù tiÖn c¾t bá kiÕn thøc ®Ó rÌn cho c¸c em häc sinh thãi quen cÈn thËn, kü n¨ng gi¶i bµi tËp hîp l«gÝc to¸n häc. ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc mét n»m trong ch¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn phÇn cuèi ch¬ng, ®©y lµ mét vÊn ®Ò khã víi c¸c em häc sinh trung b×nh vµ häc sinh ®¹i trµ, sè tiÕt d¹y cho phÇn nµy l¹i Ýt. * §èi víi gi¸o viªn : Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh nghÜa c¬ b¶n cña c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Nghiªn cøu, t×m tßi, khai th¸c ®Ó t×m ®îc nh÷ng øng dông ®a d¹ng, phong phó cña ph¬ng tr×nh. MÆt kh¸c ph¶i lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, ®ång thêi n©ng cao nghiÖp vô cña gi¸o viªn. * §èi víi häc sinh : N¾m ch¾c mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c hÖ qu¶. Tõ ®ã ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t duy, l«gÝc cho ngêi häc. Gióp cho häc sinh cã mét kh¶ n¨ng ®éc lËp, suy diÔn vµ vËn dông, rÌn trÝ th«ng minh cho häc sinh. §ång thêi cho häc sinh thÊy ®îc sù thuËn tiÖn h¬n rÊt nhiÒu trong gi¶i ph¬ng tr×nh. II- Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh : 1- C¸c ®Þnh nghÜa : 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh : Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 3 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa mét biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph¬ng tr×nh, ta hiÓu r»ng ph¶i t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hai biÓu thøc nµy b»ng nhau. BiÕn x ®îc gäi lµ Èn. Gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn gäi lµ nghiÖm. ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh Mçi biÓu thøc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng. 1.2. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0, víi a, b lµ nh÷ng h»ng sè; a 0 ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do. 1.3. TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh : Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghÜa. 1.4. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm. 1.5. C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng : Khi gi¶i ph¬ng tr×nh ta ph¶i biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh nh÷ng ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã ( nhng ®¬n gi¶i h¬n). PhÐp biÕn ®æi nh thÕ ®îc gäi lµ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng. 1.6. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn : Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0; trong ®ã x lµ Èn sè; a, b, c lµ c¸c hÖ sè ®· cho; a  0. 1.7. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao : Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n trªn trêng sè thùc lµ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng : anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0 Trong ®ã n nguyªn d¬ng; x lµ Èn; a1, a2, a3, ..., an lµ c¸c sè thùc x¸c ®Þnh ( an  0). 2- C¸c ®Þnh lý biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña ph¬ng tr×nh : a) §Þnh lý 1 : NÕu céng cïng mét ®a thøc cña Èn vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x. * Chó ý : NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : x – 2 (1) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 4 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao Kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh x 2 1 1  x 2 x 2 V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1: NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña mét ph¬ng tr×nh ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : 8x – 7 = 2x + 3 <=> 8x – 2x = 7 + 3 * HÖ qu¶ 2 : NÕu xo¸ hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : -9 – 7x = 5 ( x +3) – 7x <=> -9 = 5 x ( x + 3) * Chó ý : NÕu nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh víi mét ®a thøc cña Èn th× ®îc ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. III- Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao : A- Ph¬ng híng : ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc bèn cßn ph¬ng tr×nh bËc 5 kh«ng cã phÐp gi¶i tæng qu¸t. Tuy nhiªn trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc 1, bËc 2. Ta ph¶i dùa vµo ®Æc thï cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i ®Ó cã ph¬ng ph¸p thÝch hîp. Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2. Nãi chung bao gåm nhiÒu d¹ng vµ phong phó ®îc c¸c nhµ to¸n häc vµ s ph¹m quan t©m vµ ®Ò cËp tíi trong nhiÒu tµi liÖu, tËp san to¸n häc v.v... C¨n cø vµo môc ®Ých ý nghÜa kÕt qu¶ ®iÒu tra vµ thùc tÕ gi¶ng d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i ®· nghiªn cøu, ¸p dông lý luËn trong qu¸ tr×nh d¹y häc, c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc trng bé m«n, ¸p dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó ®a c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ bËc nhÊt, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh bËc cao thêng gÆp lµ c¸c ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng, ph¬ng tr×nh thuËn nghÞch... B- C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i : 1- Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : 1.1. ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : §Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng tÝch. Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 5 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao f(x).g(x) ... h(x) = 0 <=> f(x) = 0 g(x) = 0 ..... = 0 h(x) = 0 V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt 1 phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh : f(x) = 0; g(x) = 0; ..... ; h(x) = 0. * Bµi to¸n 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 (1) Gi¶i : (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3 <=> x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 <=> x3 - 3x2 - 3x – 4 = 0 <=> x3 – 1 – 3x2 – 3x – 3 = 0 <=> (x-1) ( x2 + x+ 1) – 3 (x2 + x + 1) = 0 <=> ( x2 + x + 1) ( x – 4) = 0 (2) Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau: Do x2 + x + 1  0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖp x – 4 = 0 <=> x = 4 Víi häc sinh líp 9 : (2) <=> x2 + x + 1 = 0 x–4 =0 (*) (**) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) :  = 1 – 4 = -3 < 0 nªn (*) v« nghiÖm. Gi¶i (**) : x = 4. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm lµ x = 4. 1.2 . NhÈm nghiÖm råi dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. * Lîc ®å Hoãcne : NÕu f(x) cã nghiÖm lµ x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö ( x – x0) tøc lµ : f(x) = ( x – x0).g(x). Trong ®ã : f(x) = anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0 g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + ... + b1x + b0 = 0 víi : bn – 1 = an bn – 2 = x0bn – 1 + an – 1. ............... bi – 1 = x0b1 + ai b0 = x0b1 + a1. Ta cã b¶ng sau ( Lîc ®å Hoãcne). xi an an - 1 .......... a1 a0 x0bn-1 .......... x0b1 x0b1 x = x0 bn-1=an bn-2 ......... b0 0 ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau : Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 6 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao 1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x –1 . 1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè ( x + 1). 1.2.3. Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc sè cña hÖ sè tù do a0. 1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tØ cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn : xn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 ®Òu lµ sè nguyªn. * Bµi to¸n 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + x3 – x – 1 = 0 (2) NhËn thÊy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0 Vµ : a4 + a2 + a0 = 1 + 0 + (-1) = a3 + a1 = 1 + (-1) . ¸p dông môc 1.2.1 vµ 1.2.2 ta cã 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ : x1 = 1; x2= -1. ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã : xi a4 =1 a3 =1 a2 =0 a1=-1 a0=-1 x =1 1 2 2 1 0 x=-1 1 1 1 0 Ph¬ng t×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau : (x-1) (x+1) (x2 + x + 1 ) = 0 Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh(2) cã 2 nghiÖm lµ : x1 = 1; x2 = -1. * Bµi to¸n 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 – 5x2 + 8x – 16 = 0 (3) ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông ®îc viÖc nhÈm nghiÖm theo nhËn xÐt ë 1.2.1 vµ 1.2.2. ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã: ¦ (4) { 1;  2;  3;  4;  8;  16} KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm ¸p dông lîc ®å Hoocne ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng (x – 4) ( x2 – x + 4) = 0 <=> x – 4 = 0 (*) x2 – x + 4 = 0 (**) (*) <=> x – 4 = 0 <=> x = 4 (**) <=> x2 – x + 4 = 0 ∆ = 1 – 4.4 = 1 – 16 = - 15 < 0 => (**) v« nghiÖm VËy nghiÖm cña pt (3) lµ x = 4 * Bµi to¸n 4: Gi¶i pt: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 ( 4) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 7 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao ViÖc ¸p dông nhËn xÐt c¸c môc 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò ( v× ë ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn). Ta nghÜ ®Õn c¬ héi cuèi cïng nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ vµ ¸p dông nhËn xÐt ë môc 1.2.4 (4) <=> 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = 0 <=> (2x)3 – 5 (2x)2 + 16(2x) – 12 = 0 §Æt y= 2x ta cã: 3 2 y - 5y + 16y – 12 = 0 ( 4’) NhËn thÊy: a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0 ¸p dông 1.2.1 ta cã y = 1 ¸p dông lîc ®å Hoãcne (4’) vÒ d¹ng ( y – 1) ( y2 – 4y + 12) = 0 <=> y–1=0 (*) 2 y – 4y + 12 = 0 (**) (*) <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2 (**) <=> y2 – 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v× <=> ( y – 2)2 + 8 > 0  y VËy ph¬ng tr×nh ( 4) cã mét nghiÖm vµ x = 1/2 1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng t¹ do a0 lín vµ cã nhiÒu íc sè. Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng. - NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1)  0; f(-1)  0 th× f (1) x0  1 vµ f (  1) x0  1 ®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn. *Bµi to¸n 5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 0 Gi¶i : (0) U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18} HiÓn nhiªn –1, 1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) =>f(1) 0, f(-1) 0. Ta thÊy : f (1)  18   9  Z 3 1 2 f (`1)  44   11  Z 3 1 4 => Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¶ n¨ng cã nhiÖm lµ x1 = 3. ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a (5) vÒ d¹ng sau : (x-3) ( 4x2 – x + 6 ) = 0 <=> x – 3 = 0 (*) 4x2 – x + 6 = 0 (**) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 8 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao (*) <=> x = 3 (**) <=> 4x2 – x = 6 = 0  = (-1)2 – 4.4.6 < 0 => (**) v« nghiÖm. Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ : x = 3. * Chó ý : - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt to¸n chia ®a thøc cho ®a thøc ®Ó h¹ bËc vµ ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. - Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè nµo kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a ngay ra d¹ng ph©n tÝch. VD : XÐt ph¬ng tr×nh : x3 – 5x2 – 8x - 4 = 0 (*) ¦(4) 1, 2, 4} ¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã : x0 x =1 x=-1 a3 =1 1 1 a2 =-5 -4 -6 a1 =8 4 14 a0=-4 0 -18 x=2 1 -3 2 0 x = -2 1 -7 22 -48 x=4 1 -1 4 12 x = -4 1 -9 44 172 NhËn thÊy x= 1 vµ x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lóc ®ã (*) viÕt díi d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch nh sau : ( x – 1 ) ( x – 2) ( x – 2 ) = 0 2- Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô : - Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh. * D¹ng 1 : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. + C¸ch gi¶i : §Æt Èn phô y = x2 ( y 0) ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y nh sau : ay2 + by + c = 0 * Bµi to¸n 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 5x2 + 4 = 0 (1) Gi¶i : §Æt y = x2 ( y 0) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 9 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao (1) <=> y2 – 5y + 4 = 0 <=> (y-1)(y-4) = 0 <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 y–4=0 y=4 x2 = 1 <=> x1 = 1; x2 = -1 x2 = 4 <=> x3 = 2; x4 = -2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2. * D¹ng 2 : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c. * Bµi to¸n 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1) Gi¶i : (1) <=> ( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) =9 <=> ( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = 9 §Æt y = x2 + 4x – 5 Ta ®îc ph¬ng tr×nh : y ( y+8) = 9 <=> y2 + 8y – 9 = 0 <=> (y-1)(y+9) = 0 <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 y +9 = 0 y = -9 x2 + 4x – 5 = 1 <=> x2 + 4x - 6 = 0 <=> x1,2 =  2  10 x2 + 4x – 5 = -9 <=> x2 + 4x + 4 = 0 <=> x3,4 = - 2 VËy ph¬ng tr×nh ( 1) cã 3 nghiÖm : x1 =  2  10 ; x2 =  2  10 ; x3 = -2 * D¹ng 3 : Ph¬ng tr×nh d¹ng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + C¸ch gi¶i :Ta ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng b»ng c¸ch ®Æt y = x + ( a+b)/2 * Bµi to¸n 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Gi¶i : §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh. ( y-1)4 + ( y+1)4 = 16 Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 10 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 2y4 + 12y2 + 2 = 16 <=> y4 + 6y2 – 7 = 0 ( Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) §Æt m = y ( m0) ta ®îc ph¬ng tr×nh. m2 + 6m – 7 = 0 (8) Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ( a+b+c = 0) (*) <=> m1 = 1 (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i) y2 = 1 => y1 = 1; y2 = -1 x+2=1 => x = -1 x + 2 = -1 => x = -3 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ : x = - 1; x = -3 D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n cã d¹ng: a0x2n + a1x2n-1 + .... + an – 1xn + anxn –1 + .....+ a1x + a0 = 0 C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt y = x + 1/x * Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1) Gi¶i: x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ( 1) Víi x  0 chia 2 vÕ cña (1) cho x2 ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 2 x 2  3x  3  3 2  0 x x2 1 1 )  3( x  )  5 0 2 x x 1 1  2( x  ) 2  3( x  )  5 0 x x  2( x 2  2  §Æt y = 1 x §a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y – 5 = 0 (2)  = 9 + 40 = 49 > 0 => Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm x y1  x  37  3 7  5 1; y 2   4 4 2 1 1 x ( nh©n 2 vÕ víi x  0) <=> x2 – x + 1 = 0 ( *)  = 1 – 4 = -3 < 0 => Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm x 1  5  x 2 ( nh©n 2 vÕ víi 2x  0) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 11 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 2x2 + 5x + 2 = 0 ( **)  =25 – 16 = 9 > 0 => ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm  53  1  4 2  5 3  2 ; x2  4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1/2 ; x2 = -2 * D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ cã d¹ng: a0x2n-1 + an-1x2n + .... + anxn -1 + anxn + .....+ a1x + a0 = 0 C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x0 = -1 vµ khi chia 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh cho ( x +1) ta ®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n. * Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 + 5x + 2 = 0 ( 1) Gi¶i: Ta cã 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) +2 => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0 => x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1  Víi x  - 1 chia c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh ( 1) cho ( x+1) ta cã ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0 ( 3) DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3) Chia c¶ 2 vÕ cña ( 3) cho x2  0, ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 1 x 2x2 + 3x – 16 + 3.  2. 1 1  2( x  ) 2  3( x  )  20 0 x x §Æt y = ta ®îc ph¬ng 1 x x 1 0 x2 tr×nh 2y2 + 3y – 20 = 0 ( 4)  = 9 + 160 = 169 > 0 => ph¬ng tr×nh ( 4 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt y1   3  13 5  4 2 ; y2   3  13  4 4 Tõ ®ã gi¶i 2 ph¬ng tr×nh x 1  4 x ( nh©n 2 vÕ víi x  0) <=> x2 + 4x + 1 = 0 ( *) ’ = 4 - 1 = 3 > 0 => ph¬ng tr×nh ( *) cã 2 nghiÖm : x x1  2  3 ; x 2  2  3 1 5  x 2 Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 12 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao ( nh©n 2 vÕ víi 2x  0) <=> 2x – 5x + 2 = 0 ( **)  = 25 – 16 = 9 > 0 => ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm 2 x1  53 3 4 x2  5 3 1  4 2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm: x1  2  3 ; x 2  2  ; 3 ; x 3 3 x4  1 2 * NhËn xÐt: Bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai th¸c hÕt gi¶ thiÕt, nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ®Ó ph©n tÝch cho thÝch hîp. Mçi bµi tËp gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c kiÕn thøc sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i nh»m gióp häc sinh n¾m ®îc bµi vµ c¸c kiÕn thøc cÇn sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t, bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng ®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy. * D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2 C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + ad/2 hoÆc y = (x + a) (x + d) *Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh 4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2 (1) Gi¶i: * C¸ch 1: (1) <=> 4 (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2 <=> 4(x + 17 + §Æt y = ( x + 16 + 60 ) (x x + 16 + 60 )= x 3 ( v× x  0) ( 2) 60 ) x (2) <=> 4y ( y + 1) = 3 <=> 4y2 + 4y – 3 = 0 <=> y1 = 1/2 ; y2 = -3/2 Víi y = 1/2 ta cã : 2x2 + 31x + 120 = 0 <=> x1 = - 8; x2 = -15/2 Víi y = -3/2 ta cã :2x2 + 35x + 120 = 0  x3   35  265 4 ; x4   35  265 4 * C¸ch 2: §Æt y = x2 + 16x + 60, ta ®îc ph¬ng tr×nh 4y ( y + x) – 3x2 = 0 (3) <=> ( 2y – x) ( 2y + 3x) = 0 <=> x1 = 2y Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 13 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Gi¶i: Ph¬ng tr×nh bËc cao x2 = -2y/3 Thay vµo ( 3) ta t×m ®îc 4 nghiÖm *Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( x – 3) ( x +2) ( x – 4)( x + 6) = 14x2 (1) * C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn * C¸ch 2: NhËn thÊy ( -3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) <=> ( x – 3)( x – 4)( x + 2)( x + 6) = -14x2 <=> (x2 – 7x + 12) ( x2 – 8x + 12) = - 14x2 (2) DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2 (2) <=> §Æt t = (x  7  x 7 12 12 )( x  8  )  14 x x => 12 x x 8  12 x (3) = t + 15 (3) trë thµnh: t (t + 15) = -14 <=> t2 + 15t + 14 = 0 <=> t1 = -1; t2 = -14 Víi t = -1: x 7 12 x = -1 <=> x2 – 6x + 12 = 0 (*) (v× x  0) ’ = 9 – 12 = -3 < 0 => (*) v« nghiÖm Víi t = -14: x 7 12  14 x <=> x2 + 7x + 12 = 0 (**) (v× x  0)  = 49 – 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm x1 = 3; x2 = 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3 ; x = 4 * D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx Trong ®ã: d a b c ; 2 m = (d – a)(d – b)(d – c) * C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0 * NhËn xÐt: Mét sè thiÕu sãt thêng m¾c khi biÕn ®æi ph¬ng tr×nh: - Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thµnh f1(x) = f2(x) - Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2) thµnh f(x) = g(x). Hai phÐp biÕn ®æi nµy cã thÓ lµm mÊt nghiÖm. Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 14 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao - §èi víi ph¬ng tr×nh ®Çu nªn chuyÓn vÕ ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc gi¶i ph¬ng tr×nh f1(x) = f2(x) - §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x). * D¹ng 8 : x3 + ax2 + bx + c = 0 (Ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ) + C¸ch gi¶i : - Bíc 1 : Quy vÒ d¹ng y3 + py + q = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = a/3 + x - Bíc 2 : §Æt y = u + v ( u+v)3 + p( u+v) + q = 0 <=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv + p ) + q = 0 Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : u3 + v3 = - q 3uv = - p 3 3 <=> u + v = - q u3v3 = - p3/27 Sau ®ã ¸p dông hÖ thøc ViÐt ®Ó t×m nghiÖm u, v. *Bµi to¸n 14 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*) §Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y – 3 (*) <=> y3 – 9y + 28 = 0 ( **) §Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 – 9 ( u + v) + 28 <=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv – 9) + 28 = 0 ( ***) NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh( ***) th× u,v lµ nghiÖm cña hÖ 3 3 u3 + v3 = - 28 <=> u + v = - 28 uv = 3 u3v3 = 27 => u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0 => u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - 3 => y = u + v = - 1 – 3 = - 4 mµ x = y – 3 => x = -7 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã mét nghiÖm lµ x = 7 3 – Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hai luü thõa cïng bËc * C¸ch gi¶i: Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi tõ ®ã ®a hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Sau ®ã vËn dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh. *Chó ý: A2n = B2n <=> A =  B A2n – 1 = B2n – 1 <=> A = B Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 15 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao *Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 24x + 32 (1) Gi¶i: Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1) x4 + 4x + 4 = 4x4 = 24x + 36 <=> (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 (2)  2 x  2 2 x  6   2  x  2  (2 x  6) (3) Gi¶i (2): x2 + 2 = 2x + 6 <=> x2 – 2x – 4 = 0 ’ = 1 + 4 = 5 > 0 => ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 =  1  5 ; x2 =  1  Gi¶i (3): x2 + 2 = - 2x – 6 <=> x2 + 2x + 8 = 0 5 ’ = 1 – 8 = -7 < 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 =  1  *Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 8x2 – 8x + 17 = 0 (1) Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + 1 = 0 <=> ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = 0(2) V× 5; x2 =  1 5  ( x 2  4) 2 0   (4 x  1) 2 0  x 2  4 0 Nªn (2) <=>   4 x  1 0  x 2  <=>  1  x  4 VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm *Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – x2 – x = 1 3 (1) Gi¶i : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3 (1) <=> 3x3 – 3x2 – 3x = 1 Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 16 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao <=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 <=> (3 4 .x) 3 ( x  1) 3 <=> 3 4.x x  1 <=> (3 4  1).x 1 <=> x  3 1 41 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x  3 1 41 4 – Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc: * C¸ch gi¶i: Dïng tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn tõng kho¶ng * Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  8  x  9 1 (1) Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng x  8  x  9 1 (1) DÔ thÊy x = 8 ; x = 9 ®Òu lµ nghiÖm cña (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x +) Víi x < 8 th× 9  x  1  9  x  1 5 6 5 6 6 x 8 5 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm +) Víi x > 9 th× x  8  1  x  8  1 5 9 x 6 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm +) Víi 8 < x < 9 th× 0 < x – 8 < 1 => x  8  x  8 5 0 < 9 – x < 1 => 9  x  9  x Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x – 8 + 9 – x = 1 ; ( 1) v« nghiÖm VËy (1) cã 3 nghiÖm : x = 8 ; x = 9 5 – Ph¬ng ph¸p dïng ®iÒu kiÖn dÊu “ =” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt: * Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh x  x  1  x  x  2 3 (1) 6 2 2 Gi¶i: Ta cã x2 – x + 1  0 nªn (1) <=> x2 – x – 2 = 3 – ( x2 – x +1) <=> x2 – x – 2 = – ( x2 – x - 2) Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 17 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao ¸p dông bÊt ®¼ng thøc A  - A x¶y ra dÊu “ =” víi A  0 tøc lµ x2 – x – 2  0 <=> ( x + 1) ( x – 2)  0 <=> - 1  x  2 6 – Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:  a1  a2 a  a a  b  b b 12 1 2   a1b2  a2 b1 c  b1b2 d TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a 1; b1; a2 ; b2 . B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn. *Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh trªn ph©n tÝch ®îc thµnh d¹ng: (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0  a1  a2  4  a a  b  b  10 12 1 2 Ta cã:   b1  2; b2  7; a1  5; a2 1  a1b2  a2b1 37  b1b2  14 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x – 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x1  5  17 ; 2 x2  5 17 2 ; x3   1  29 ; 2 x4   1 29 2 * Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tû. Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 18 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn III KÕt luËn chung Ph¬ng ph¸p d¹y häc cña ngêi thÇy ®Ó häc sinh n¾m b¾t ®îc néi dung cÇn thiÕt lµ c¶ mét qu¸ tr×nh nghÖ thuËt. §Ó gióp c¸c em häc sinh n¾m ®îc bµi, hiÓu bµi vµ yªu m«n häc, cã høng thó trong c¸c giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi tËp khã. Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ tr×nh tÝch luü ph¬ng ph¸p gi¶ng cña ngêi thÇy, kh«ng chØ mét sím mét chiÒu cã ®îc ngay mµ ph¶i lµ c¶ mét qu¸ tr×nh rÌn ròa, t×m tßi, ®óc rót kinh nghiÖm, nghiªn cøu ®èi tîng th× míi lµm cho häc sinh yªu quý m«n häc vµ khao kh¸t ®îc häc. D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v« cïng quan träng. §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×, tËn tuþ víi häc sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t duy vµ kh¶ n¨ng lËp luËn Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n To¸n cña bËc THCS vÒ m«n ®¹i sè trong phÇn ch¬ng tr×nh. B¶n th©n t«i ®· ®óc rót ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc. Ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p t duy, ph¬ng ph¸p lµm bµi. T×m c¸ch gi¶i trong ®ã x¸c ®Þnh râ c¸c bíc cÇn tiÕn hµnh theo mét tr×nh tù l«gÝc ®Ó hoµn thµnh bµi gi¶i. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai trong ch¬ng tr×nh líp 8, 9 hiÖn nay mµ b¶n th©n t«i ®· ®óc rót trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. Trong mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi. Gi¸o viªn cÇn cã yªu cÇu cô thÓ ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, t¨ng cêng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng c¸ch gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, Ø n¹i vµ chê gi¸o viªn ch÷a bµi tËp. B¶n th©n t«i lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i còng ®· trao ®æi tham kh¶o, bµn b¹c, xin ý kiÕn cña c¸c thÇy c« ®i tríc vµ c¸c thÇy c« gi¸o d¹y trong bé m«n To¸n cña nhµ trêng. Song ®©y lµ mét vÊn ®Ò míi mµ mét bµi to¸n cã v« vµn c¸ch gi¶i kh¸c nhau. B¶n th©n t«i kÝnh mong c¸c thÇy c« ®i tríc t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i, ®ãng gãp cho t«i nhiÒu ý kiÕn hay vµ bæ Ých ®Ó t«i tiÕp tôc gi¶ng d¹y cho c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña t«i. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 19 §Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m: Ph¬ng tr×nh bËc cao Tµi liÖu tham kh¶o 1 – S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 8 – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2 – S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 9 – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 3 – Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n 8 – Vâ §¹i Mau, Vâ §¹i Hoµi §øc 4 – Mét sè ph¬ng ph¸p chän läc gi¶i c¸c bµi to¸n s¬ cÊp – Nhãm t¸c gi¶ ( Phan §øc ChÝnh, Ph¹m V¨n §iÒu, §ç V¨n Hµ, NguyÔn §×nh TrÝ) 5 – To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 8 – Vò H÷u B×nh 6 – To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 9 – Vò H÷u B×nh 7 – C¸ch t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n THCS – Lª H¶i Ch©u, NguyÔn Xu©n Quú 8 – Gi¸o tr×nh thùc hµnh vµ gi¶i to¸n – §Æng §×nh L¨ng, NguyÔn H÷u Tóc 9 - ¤n tËp vµ kiÓm tra ®¹i sè 8 – Vò H÷u B×nh, T«n Th©n 10 - ¤n tËp vµ kiÓm tra ®¹i sè 9 – Vò H÷u B×nh, T«n Th©n Ngêi thùc hiÖn: T« Ngäc S¬n 20
- Xem thêm -