§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
PhÇn I
1- Lý do chän ®Ò tµi :
§Æt vÊn ®Ò
To¸n häc lµ m«n khoa häc tù nhiªn cã tõ rÊt l©u ®êi. Nã tån t¹i vµ ph¸t triÓn
cïng víi sù tån t¹i vµ ph¸t triÓn cña x· héi loµi ngêi. Tõ 2000 n¨m tríc c«ng
nguyªn ngêi Cæ ®¹i ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ngêi cæ Babilon ®·
biÕt gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai vµ ®· dïng c¸c b¶ng ®Æc biÖt ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc
ba.
Nhng ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao h¬n ph¶i ®Õn ®Çu thÕ kû 19, nhµ To¸n
häc Nauy lµ Abet ( 1802 – 1829) chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc
5 vµ lín h¬n bËc 5 lµ kh«ng ®Ó gi¶i ®îc b»ng c¸c ph¬ng tiÖn thuÇn tuý ®¹i sè. Sau
cïng nhµ to¸n häc Ph¸p lµ Galoa ( 1811 – 1832) ®· gi¶i quyÕt mét c¸ch trän vÑn
vÒ vÊn ®Ò ph¬ng tr×nh ®¹i sè.
Sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y m«n To¸n ë bËc trung häc c¬ së t«i nhËn thÊy
m¶ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®îc ®a ra ë s¸ch gi¸o khoa líp 8, 9 lµ rÊt khiªm
tèn, néi dung s¬ lîc, mang tÝnh chÊt giíi thiÖu kh¸i qu¸t, quü thêi gian giµnh cho
nã lµ qu¸ Ýt ái. Bªn c¹nh ®ã lµ c¸c néi dung bµi tËp øng dông th× rÊt phong phó, ®a
d¹ng vµ phøc t¹p. C¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ mét néi dung thêng gÆp trong c¸c kú
thi ë BËc THCS, THPT vµ ®Æc biÖt trong c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo §¹i häc vµ cao
®¼ng.
XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë
ng¹i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi ph¬ng tr×nh bËc cao. Cïng víi sù
tÝch luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi
nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh §¹i häc To¸n mµ ®Æc
biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thÇy c« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi
“Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao.”
Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy,
tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, nªu lªn mét sè ph¬ng
ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong
viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc
kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸ bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh
cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp.
2 - NhiÖm vô nghiªn cøu :
- Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh c¸c d¹ng : ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, ph¬ng
tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh tÝch, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng ...
- Kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt, bËc hai ë c¸c d¹ng c¬
b¶n mµ häc sinh ®· häc.
3- §èi tîng nghiªn cøu :
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
1
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
- Häc sinh líp 8, 9 trêng THCS B¹ch Long.
- C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ bËc nhÊt, bËc hai trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 8, 9.
4- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu :
Tham kh¶o tµi liÖu, thu thËp tµi liÖu, ®óc rót, tæng kÕt kinh nghiÖm, kiÓm tra
kÕt qu¶. Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra
trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc, thÓ hiÖn trªn nhiÒu ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau :
Häc sinh kh¸, giái vµ häc sinh trung b×nh vÒ m«n To¸n.
5- Ph¹m vi nghiªn cøu :
Giíi h¹n ë vÊn ®Ò gi¶ng d¹y phÇn ph¬ng tr×nh bËc cao trong ch¬ng tr×nh líp
8, 9 ë THCS ( cô thÓ ë trêng THCS B¹ch Long).
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
2
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
PhÇn II :
Néi dung ®Ò tµi nghiªn cøu
I - C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn :
§Ó gi¶i mét bµi to¸n ®ßi hái ngêi gi¶i ph¶i biÕt ph©n tÝch ®Ó khai th¸c hÕt
gi¶ thiÕt, c¸c ®iÒu kiÖn yªu cÇu cña ®Ò bµi, thÓ lo¹i bµi to¸n .... ®Ó tõ ®ã ®Þnh h íng
c¸ch gi¶i. §¹i bé phËn häc sinh chóng ta kh«ng hiÓu râ sù quan träng cÇn thiÕt
cña viÖc ph©n tÝch vµ nhËn ®Þnh híng gi¶i, nhiÒu em kh«ng häc lý thuyÕt ®· vËn
dông ngay, kh«ng gi¶i ®îc th× ch¸n n¶n, bá kh«ng gi¶i hoÆc gië s¸ch gi¶i ra chÐp
v.v....
Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ®Æc biÖt khi d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh ta thÊy c¸c
d¹ng ph¬ng tr×nh ®a d¹ng vµ phong phó, mµ ta ph¶i vËn dông nhiÒu kü n¨ng biÕn
®æi ®¹i sè nh sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµ mét sè h»ng ®¼ng thøc më
réng, dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö ...
C«ng cô gi¶i ph¬ng tr×nh ®ßi hái kh«ng cao xa, chØ víi kiÕn thøc to¸n cÊp
hai lµ ®ñ. C¸i quan träng lµ yªu cÇu häc sinh ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc, ph¶i cã sù
lËp luËn chÆt chÏ, ph¶i biÕt xÐt ®Çy ®ñ c¸c khÝa c¹nh, c¸c trêng hîp cô thÓ cña
tõng vÊn ®Ò. §Æc biÖt lµ yªu cÇu ®èi víi nh÷ng häc sinh kh¸, giái ph¶i hÕt søc
s¸ng t¹o, linh ho¹t trong khi gi¶i ph¬ng tr×nh, biÕt ®Æc biÖt ho¸ vµ tæng qu¸t ho¸
nh÷ng vÊn ®Ò cÇn thiÕt.
Lµ gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y viÖc cung cÊp kiÕn thøc cho häc sinh
ph¶i thùc sù ®óng quy tr×nh c¸c bíc biÕn ®æi, ph¶i ®¶m b¶o l«gÝc, cã hÖ thèng,
kh«ng tù tiÖn c¾t bá kiÕn thøc ®Ó rÌn cho c¸c em häc sinh thãi quen cÈn thËn, kü
n¨ng gi¶i bµi tËp hîp l«gÝc to¸n häc.
ViÖc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc mét n»m trong ch¬ng tr×nh bËc
nhÊt mét Èn phÇn cuèi ch¬ng, ®©y lµ mét vÊn ®Ò khã víi c¸c em häc sinh trung
b×nh vµ häc sinh ®¹i trµ, sè tiÕt d¹y cho phÇn nµy l¹i Ýt.
* §èi víi gi¸o viªn : Ph¶i hÖ thèng ®îc c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c ®Þnh nghÜa c¬
b¶n cña c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh tõ ®¬n
gi¶n ®Õn phøc t¹p. Nghiªn cøu, t×m tßi, khai th¸c ®Ó t×m ®îc nh÷ng øng dông ®a
d¹ng, phong phó cña ph¬ng tr×nh. MÆt kh¸c ph¶i lùa chän c¸c ph¬ng ph¸p thÝch
hîp ®èi víi tõng ®èi tîng häc sinh, ®ång thêi n©ng cao nghiÖp vô cña gi¸o viªn.
* §èi víi häc sinh : N¾m ch¾c mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh
nghÜa, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, c¸c tÝnh chÊt vµ c¸c hÖ qu¶. Tõ ®ã ph¸t triÓn
kh¶ n¨ng t duy, l«gÝc cho ngêi häc. Gióp cho häc sinh cã mét kh¶ n¨ng ®éc lËp,
suy diÔn vµ vËn dông, rÌn trÝ th«ng minh cho häc sinh. §ång thêi cho häc sinh
thÊy ®îc sù thuËn tiÖn h¬n rÊt nhiÒu trong gi¶i ph¬ng tr×nh.
II- Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh :
1- C¸c ®Þnh nghÜa :
1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh :
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
3
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa mét biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ
mét ph¬ng tr×nh, ta hiÓu r»ng ph¶i t×m gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña hai
biÓu thøc nµy b»ng nhau.
BiÕn x ®îc gäi lµ Èn.
Gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn gäi lµ nghiÖm.
ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh
Mçi biÓu thøc gäi lµ mét vÕ cña ph¬ng.
1.2. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn :
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0, víi a, b lµ nh÷ng h»ng sè; a 0 ®îc gäi lµ
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do.
1.3. TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh :
Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghÜa.
1.4. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng :
Hai ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm.
1.5. C¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng :
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh ta ph¶i biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh nh÷ng ph¬ng
tr×nh t¬ng ®¬ng víi nã ( nhng ®¬n gi¶i h¬n). PhÐp biÕn ®æi nh thÕ ®îc gäi lµ phÐp
biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.
1.6. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn :
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0;
trong ®ã x lµ Èn sè; a, b, c lµ c¸c hÖ sè ®· cho; a 0.
1.7. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao :
Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n trªn trêng sè thùc lµ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng :
anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0
Trong ®ã n nguyªn d¬ng; x lµ Èn; a1, a2, a3, ..., an lµ c¸c sè thùc x¸c ®Þnh (
an 0).
2- C¸c ®Þnh lý biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña ph¬ng tr×nh :
a) §Þnh lý 1 :
NÕu céng cïng mét ®a thøc cña Èn vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc
mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.
* Chó ý :
NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng
tr×nh th× ph¬ng tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô : x – 2
(1)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
4
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
Kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
x 2
1
1
x 2 x 2
V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2)
* HÖ qu¶ 1:
NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña mét ph¬ng tr×nh ®îc mét
ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô : 8x – 7 = 2x + 3 <=> 8x – 2x = 7 + 3
* HÖ qu¶ 2 :
NÕu xo¸ hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc mét
ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô :
-9 – 7x = 5 ( x +3) – 7x
<=> -9 = 5 x ( x + 3)
* Chó ý :
NÕu nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh víi mét ®a thøc cña Èn th× ®îc ph¬ng
tr×nh míi cã thÓ kh«ng t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
III- Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao :
A- Ph¬ng híng :
ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc
bèn cßn ph¬ng tr×nh bËc 5 kh«ng cã phÐp gi¶i tæng qu¸t. Tuy nhiªn trong mét sè
trêng hîp ®Æc biÖt cã thÓ ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc 1, bËc
2. Ta ph¶i dùa vµo ®Æc thï cña ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i ®Ó cã ph¬ng ph¸p thÝch hîp.
Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt
mét Èn hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc 2. Nãi
chung bao gåm nhiÒu d¹ng vµ phong phó ®îc c¸c nhµ to¸n häc vµ s ph¹m quan
t©m vµ ®Ò cËp tíi trong nhiÒu tµi liÖu, tËp san to¸n häc v.v... C¨n cø vµo môc ®Ých
ý nghÜa kÕt qu¶ ®iÒu tra vµ thùc tÕ gi¶ng d¹y ch¬ng ph¬ng tr×nh. Trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i ®· nghiªn cøu, ¸p dông lý luËn trong qu¸ tr×nh d¹y häc,
c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc trng bé m«n, ¸p dông c¸c kiÕn thøc ®· häc ®Ó ®a c¸c ph¬ng
tr×nh bËc cao vÒ bËc nhÊt, bËc hai b»ng nhiÒu c¸ch.
C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh bËc cao thêng gÆp lµ c¸c ph¬ng tr×nh trïng
ph¬ng, ph¬ng tr×nh ®èi xøng, ph¬ng tr×nh thuËn nghÞch...
B- C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i :
1- Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch :
1.1. ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö :
§Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng tÝch.
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
5
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
f(x).g(x) ... h(x) = 0
<=> f(x) = 0
g(x) = 0
..... = 0
h(x) = 0
V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt 1 phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh :
f(x) = 0;
g(x) = 0;
..... ; h(x) = 0.
* Bµi to¸n 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3
(1)
Gi¶i :
(x-1)3 + x3 + ( x+1)3 = (x+2)3
<=>
x3 – 3x2 +3x – 1+ x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8
<=>
x3 - 3x2 - 3x – 4 = 0
<=>
x3 – 1 – 3x2 – 3x – 3 = 0
<=>
(x-1) ( x2 + x+ 1) – 3 (x2 + x + 1) = 0
<=>
( x2 + x + 1) ( x – 4) = 0
(2)
Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau:
Do x2 + x + 1 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖp x – 4 = 0 <=> x = 4
Víi häc sinh líp 9 :
(2) <=>
x2 + x + 1 = 0
x–4
=0
(*)
(**)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) : = 1 – 4 = -3 < 0 nªn (*) v« nghiÖm.
Gi¶i (**) : x = 4.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm lµ x = 4.
1.2 . NhÈm nghiÖm råi dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.
* Lîc ®å Hoãcne :
NÕu f(x) cã nghiÖm lµ x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö ( x – x0) tøc lµ :
f(x) = ( x – x0).g(x).
Trong ®ã : f(x) = anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0
g(x) = bnxn + bn - 2xn - 2 + ... + b1x + b0 = 0
víi : bn – 1 = an
bn – 2 = x0bn – 1 + an – 1.
...............
bi – 1 = x0b1 + ai
b0 = x0b1 + a1.
Ta cã b¶ng sau ( Lîc ®å Hoãcne).
xi
an
an - 1
.......... a1
a0
x0bn-1 .......... x0b1
x0b1
x = x0 bn-1=an bn-2
......... b0
0
ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau :
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
6
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ mét nghiÖm cña ®a
thøc, ®a thøc chøa thõa sè x –1 .
1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng
c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa
sè ( x + 1).
1.2.3. Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc sè cña hÖ sè tù do a0.
1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tØ cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn :
xn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 ®Òu lµ sè nguyªn.
* Bµi to¸n 2 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + x3 – x – 1 = 0
(2)
NhËn thÊy : a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0
Vµ :
a4 + a2 + a0 = 1 + 0 + (-1) = a3 + a1 = 1 + (-1) .
¸p dông môc 1.2.1 vµ 1.2.2 ta cã 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ :
x1 = 1;
x2= -1.
¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã :
xi
a4 =1
a3 =1 a2 =0 a1=-1 a0=-1
x =1
1
2
2
1
0
x=-1 1
1
1
0
Ph¬ng t×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau :
(x-1) (x+1) (x2 + x + 1 ) = 0
Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh(2) cã 2 nghiÖm lµ : x1 = 1; x2 = -1.
* Bµi to¸n 3 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x3 – 5x2 + 8x – 16 = 0 (3)
ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông ®îc viÖc nhÈm nghiÖm theo nhËn xÐt
ë 1.2.1 vµ 1.2.2. ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã:
¦ (4) { 1; 2; 3; 4; 8; 16}
KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm
¸p dông lîc ®å Hoocne ta ®a ph¬ng tr×nh (3) vÒ d¹ng
(x – 4) ( x2 – x + 4) = 0
<=> x – 4 = 0
(*)
x2 – x + 4 = 0
(**)
(*) <=> x – 4 = 0 <=> x = 4
(**) <=> x2 – x + 4 = 0
∆ = 1 – 4.4 = 1 – 16 = - 15 < 0 => (**) v« nghiÖm
VËy nghiÖm cña pt (3) lµ x = 4
* Bµi to¸n 4: Gi¶i pt: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 ( 4)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
7
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
ViÖc ¸p dông nhËn xÐt c¸c môc 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®îc
vÊn ®Ò ( v× ë ph¬ng tr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn). Ta nghÜ ®Õn c¬ héi cuèi
cïng nÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ vµ ¸p dông nhËn xÐt ë môc 1.2.4
(4) <=> 8x3 – 20x2 + 32x – 12 = 0
<=> (2x)3 – 5 (2x)2 + 16(2x) – 12 = 0
§Æt y= 2x ta cã:
3
2
y - 5y + 16y – 12 = 0 ( 4’)
NhËn thÊy: a3 + a2 + a1 + a0 = 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0
¸p dông 1.2.1 ta cã y = 1
¸p dông lîc ®å Hoãcne (4’) vÒ d¹ng
( y – 1) ( y2 – 4y + 12) = 0
<=>
y–1=0
(*)
2
y – 4y + 12 = 0 (**)
(*) <=> y – 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2
(**) <=> y2 – 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v×
<=> ( y – 2)2 + 8 > 0 y
VËy ph¬ng tr×nh ( 4) cã mét nghiÖm vµ x = 1/2
1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng t¹
do a0 lín vµ cã nhiÒu íc sè. Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i
lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mét c¸ch nhanh chãng.
- NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1) 0; f(-1) 0 th×
f (1)
x0 1
vµ
f ( 1)
x0 1
®Òu lµ c¸c gi¸ trÞ nguyªn.
*Bµi to¸n 5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 0
Gi¶i :
(0)
U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
HiÓn nhiªn –1, 1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) =>f(1) 0, f(-1) 0.
Ta thÊy :
f (1) 18
9 Z
3 1
2
f (`1) 44
11 Z
3 1
4
=> Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¶ n¨ng cã nhiÖm lµ x1 = 3.
¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a (5) vÒ d¹ng sau :
(x-3) ( 4x2 – x + 6 ) = 0
<=> x – 3 = 0
(*)
4x2 – x + 6 = 0 (**)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
8
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
(*) <=> x = 3
(**) <=> 4x2 – x = 6 = 0
= (-1)2 – 4.4.6 < 0 => (**) v« nghiÖm.
Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ : x = 3.
* Chó ý :
- ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt to¸n
chia ®a thøc cho ®a thøc ®Ó h¹ bËc vµ ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.
- Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè
nµo kh«ng lµ nghiÖm vµ ®a ngay ra d¹ng ph©n tÝch.
VD : XÐt ph¬ng tr×nh : x3 – 5x2 – 8x - 4 = 0
(*)
¦(4) 1, 2, 4}
¸p dông lîc ®å Hoãcne ta cã :
x0
x =1
x=-1
a3 =1
1
1
a2 =-5
-4
-6
a1 =8
4
14
a0=-4
0
-18
x=2
1
-3
2
0
x = -2
1
-7
22
-48
x=4
1
-1
4
12
x = -4
1
-9
44
172
NhËn thÊy x= 1 vµ x = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) lóc ®ã (*) viÕt díi
d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch nh sau :
( x – 1 ) ( x – 2) ( x – 2 ) = 0
2- Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô :
- Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc sö dông víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh.
* D¹ng 1 :
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng.
+ C¸ch gi¶i : §Æt Èn phô y = x2 ( y 0) ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi y
nh sau :
ay2 + by + c = 0
* Bµi to¸n 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x4 – 5x2 + 4 = 0
(1)
Gi¶i :
§Æt y = x2 ( y 0)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
9
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
(1)
<=> y2 – 5y + 4 = 0
<=> (y-1)(y-4) = 0
<=> y – 1 = 0
<=> y = 1
y–4=0
y=4
x2 = 1 <=> x1 = 1; x2 = -1
x2 = 4 <=> x3 = 2; x4 = -2
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm :
x = 1; x = -1;
x = 2; x = -2.
* D¹ng 2 : Ph¬ng tr×nh cã d¹ng :
( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m
Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c.
* Bµi to¸n 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh
( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5)
= 9 (1)
Gi¶i :
(1) <=>
( x – 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5)
=9
<=>
( x2 + 4x – 5) ( x2 + 4x + 3) = 9
§Æt y = x2 + 4x – 5
Ta ®îc ph¬ng tr×nh :
y ( y+8) = 9
<=> y2 + 8y – 9 = 0
<=> (y-1)(y+9) = 0
<=> y – 1 = 0
<=> y = 1
y +9 = 0
y = -9
x2 + 4x – 5 = 1 <=> x2 + 4x - 6 = 0
<=> x1,2 = 2 10
x2 + 4x – 5 = -9 <=> x2 + 4x + 4 = 0
<=> x3,4 = - 2
VËy ph¬ng tr×nh ( 1) cã 3 nghiÖm :
x1 = 2 10 ; x2 = 2 10 ; x3 = -2
* D¹ng 3 : Ph¬ng tr×nh d¹ng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c
+ C¸ch gi¶i :Ta ®a ph¬ng tr×nh trªn vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng b»ng
c¸ch ®Æt y = x + ( a+b)/2
* Bµi to¸n 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh :
( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16
Gi¶i : §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh.
( y-1)4 + ( y+1)4 = 16
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
10
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
<=> 2y4 + 12y2 + 2 = 16
<=> y4 + 6y2 – 7 = 0 ( Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng)
§Æt m = y ( m0) ta ®îc ph¬ng tr×nh.
m2 + 6m – 7 = 0 (8)
Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ( a+b+c = 0)
(*) <=> m1 = 1 (tho¶ m·n);
m2 = -7 (lo¹i)
y2 = 1 => y1 = 1; y2 = -1
x+2=1
=> x = -1
x + 2 = -1 => x = -3
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ :
x = - 1; x = -3
D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n cã d¹ng:
a0x2n + a1x2n-1 + .... + an – 1xn + anxn –1 + .....+ a1x + a0 = 0
C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc n b»ng c¸ch ®Æt y = x + 1/x
* Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x4 + 3x3 – 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1)
Gi¶i: x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ( 1)
Víi x 0 chia 2 vÕ cña (1) cho x2 ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
2 x 2 3x 3
3 2
0
x x2
1
1
) 3( x ) 5 0
2
x
x
1
1
2( x ) 2 3( x ) 5 0
x
x
2( x 2 2
§Æt y =
1
x
§a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y – 5 = 0 (2)
= 9 + 40 = 49 > 0
=> Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm
x
y1
x
37
3 7 5
1; y 2
4
4
2
1
1
x
( nh©n 2 vÕ víi x 0)
<=> x2 – x + 1 = 0 ( *)
= 1 – 4 = -3 < 0 => Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm
x
1 5
x
2
( nh©n 2 vÕ víi 2x 0)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
11
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
<=> 2x2 + 5x + 2 = 0 ( **)
=25 – 16 = 9 > 0
=> ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm
53 1
4
2
5 3
2
; x2
4
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1/2 ; x2 = -2
* D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ cã d¹ng:
a0x2n-1 + an-1x2n + .... + anxn -1 + anxn + .....+ a1x + a0 = 0
C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x0 = -1 vµ khi chia 2 vÕ
cña ph¬ng tr×nh cho ( x +1) ta ®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n 2n.
* Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x5 + 5x4 – 13x3 – 13x2 + 5x + 2 = 0 ( 1)
Gi¶i:
Ta cã 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) +2
=> a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0
=> x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x1
Víi x - 1 chia c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh ( 1) cho ( x+1) ta cã ph¬ng tr×nh
2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0 ( 3)
DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3)
Chia c¶ 2 vÕ cña ( 3) cho x2 0, ta cã ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1
x
2x2 + 3x – 16 + 3. 2.
1
1
2( x ) 2 3( x ) 20 0
x
x
§Æt y =
ta
®îc
ph¬ng
1
x
x
1
0
x2
tr×nh
2y2 + 3y – 20 = 0 ( 4)
= 9 + 160 = 169 > 0
=> ph¬ng tr×nh ( 4 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
y1
3 13 5
4
2
;
y2
3 13
4
4
Tõ ®ã gi¶i 2 ph¬ng tr×nh
x
1
4
x
( nh©n 2 vÕ víi x 0)
<=> x2 + 4x + 1 = 0 ( *)
’ = 4 - 1 = 3 > 0
=> ph¬ng tr×nh ( *) cã 2 nghiÖm :
x
x1 2 3
;
x 2 2
3
1 5
x 2
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
12
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
( nh©n 2 vÕ víi 2x 0)
<=> 2x – 5x + 2 = 0 ( **)
= 25 – 16 = 9 > 0
=> ph¬ng tr×nh ( **) cã 2 nghiÖm
2
x1
53
3
4
x2
5 3 1
4
2
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm:
x1 2 3 ;
x 2 2
;
3
;
x 3 3
x4
1
2
* NhËn xÐt:
Bµi tËp nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai
th¸c hÕt gi¶ thiÕt, nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ®Ó
ph©n tÝch cho thÝch hîp. Mçi bµi tËp gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c
kiÕn thøc sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i nh»m gióp häc sinh n¾m ®îc bµi vµ c¸c
kiÕn thøc cÇn sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t, bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng
®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy.
* D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
(x + a) (x + b) ( x+ c) ( x + d) = mx2
C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + ad/2 hoÆc y = (x + a) (x + d)
*Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh
4(x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) = 3x2
(1)
Gi¶i:
* C¸ch 1: (1) <=> 4 (x2 + 17x + 60) ( x2 + 16 x + 60 ) = 3x2
<=> 4(x + 17 +
§Æt y = ( x + 16 +
60
) (x
x
+ 16 +
60
)=
x
3 ( v× x 0) ( 2)
60
)
x
(2)
<=> 4y ( y + 1) = 3
<=> 4y2 + 4y – 3 = 0
<=> y1 = 1/2 ;
y2 = -3/2
Víi y = 1/2 ta cã : 2x2 + 31x + 120 = 0
<=> x1 = - 8; x2 = -15/2
Víi y = -3/2 ta cã :2x2 + 35x + 120 = 0
x3
35 265
4
;
x4
35 265
4
* C¸ch 2: §Æt y = x2 + 16x + 60, ta ®îc ph¬ng tr×nh
4y ( y + x) – 3x2 = 0
(3)
<=> ( 2y – x) ( 2y + 3x) = 0
<=> x1 = 2y
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
13
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
x2 = -2y/3
Thay vµo ( 3) ta t×m ®îc 4 nghiÖm
*Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh
( x – 3) ( x +2) ( x – 4)( x + 6) = 14x2
(1)
* C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc
bËc bèn
* C¸ch 2: NhËn thÊy ( -3)(-4) = 12
2.6 = 12
(1) <=> ( x – 3)( x – 4)( x + 2)( x + 6) = -14x2
<=> (x2 – 7x + 12) ( x2 – 8x + 12) = - 14x2 (2)
DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2
(2)
<=>
§Æt t =
(x 7
x 7
12
12
)( x 8 ) 14
x
x
=>
12
x
x 8
12
x
(3)
= t + 15
(3) trë thµnh:
t (t + 15) = -14
<=> t2 + 15t + 14 = 0
<=> t1 = -1; t2 = -14
Víi t = -1:
x 7
12
x
= -1
<=> x2 – 6x + 12 = 0 (*) (v× x 0)
’ = 9 – 12 = -3 < 0 => (*) v« nghiÖm
Víi t = -14:
x 7
12
14
x
<=> x2 + 7x + 12 = 0 (**) (v× x 0)
= 49 – 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm
x1 = 3; x2 = 4
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3 ; x = 4
* D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d( x + a) (x + b) ( x + c) = mx
Trong ®ã:
d
a b c
;
2
m = (d – a)(d – b)(d – c)
* C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0
* NhËn xÐt: Mét sè thiÕu sãt thêng m¾c khi biÕn ®æi ph¬ng tr×nh:
- Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh
f1(x)g(x) = f2(x)g(x)
(1) thµnh f1(x) = f2(x)
- Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2)
thµnh f(x) = g(x). Hai phÐp biÕn ®æi nµy cã thÓ lµm mÊt nghiÖm.
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
14
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
- §èi víi ph¬ng tr×nh ®Çu nªn chuyÓn vÕ ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc
gi¶i ph¬ng tr×nh f1(x) = f2(x)
- §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x).
* D¹ng 8 : x3 + ax2 + bx + c = 0
(Ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ)
+ C¸ch gi¶i :
- Bíc 1 : Quy vÒ d¹ng y3 + py + q = 0 b»ng c¸ch ®Æt y = a/3 + x
- Bíc 2 : §Æt y = u + v
( u+v)3 + p( u+v) + q = 0
<=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv + p ) + q = 0
Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh :
u3 + v3 = - q
3uv = - p
3
3
<=> u + v = - q
u3v3 = - p3/27
Sau ®ã ¸p dông hÖ thøc ViÐt ®Ó t×m nghiÖm u, v.
*Bµi to¸n 14 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*)
§Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y – 3
(*) <=> y3 – 9y + 28 = 0 ( **)
§Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 – 9 ( u + v) + 28
<=> u3 + v3 + ( u + v) ( 3uv – 9) + 28 = 0 ( ***)
NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh( ***) th× u,v lµ nghiÖm cña hÖ
3
3
u3 + v3 = - 28
<=> u + v = - 28
uv = 3
u3v3 = 27
=> u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0
=> u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - 3
=> y = u + v = - 1 – 3 = - 4
mµ x = y – 3 => x = -7
VËy ph¬ng tr×nh (*) cã mét nghiÖm lµ x = 7
3 – Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hai luü thõa cïng bËc
* C¸ch gi¶i: Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi
tõ ®ã ®a hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ luü thõa cïng bËc. Sau ®ã vËn dông c¸c h»ng
®¼ng thøc ®· häc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh.
*Chó ý:
A2n = B2n <=> A = B
A2n – 1 = B2n – 1 <=> A = B
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
15
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
*Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x4 = 24x + 32
(1)
Gi¶i: Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1)
x4 + 4x + 4 = 4x4 = 24x + 36
<=> (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2
(2)
2
x 2 2 x 6
2
x 2 (2 x 6)
(3)
Gi¶i (2):
x2 + 2 = 2x + 6
<=> x2 – 2x – 4 = 0
’ = 1 + 4 = 5 > 0 => ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
x1 = 1 5 ;
x2 = 1
Gi¶i (3):
x2 + 2 = - 2x – 6
<=> x2 + 2x + 8 = 0
5
’ = 1 – 8 = -7 < 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = 1
*Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x4 + 8x2 – 8x + 17 = 0
(1)
Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2 + 16 + 16x2– 8x + 1 = 0
<=> ( x2 – 4)2 + ( 4x – 1)2 = 0(2)
V×
5;
x2 =
1
5
( x 2 4) 2 0
(4 x 1) 2 0
x 2 4 0
Nªn (2) <=>
4 x 1 0
x 2
<=> 1
x 4
VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
*Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x3 – x2 – x =
1
3
(1)
Gi¶i : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3
(1) <=> 3x3 – 3x2 – 3x = 1
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
16
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
<=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
<=>
(3 4 .x) 3 ( x 1) 3
<=> 3 4.x x 1
<=>
(3 4 1).x 1
<=> x 3
1
41
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x 3
1
41
4 – Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc:
* C¸ch gi¶i: Dïng tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña hµm sè trªn tõng kho¶ng
* Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 8 x 9 1
(1)
Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng
x 8 x 9 1
(1)
DÔ thÊy x = 8 ; x = 9 ®Òu lµ nghiÖm cña (1)
XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x
+) Víi x < 8 th× 9 x 1 9 x 1
5
6
5
6
6
x 8
5
0
Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm
+) Víi x > 9 th× x 8 1 x 8 1
5
9 x
6
0
Nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 1, (1) v« nghiÖm
+) Víi 8 < x < 9 th×
0 < x – 8 < 1 => x 8 x 8
5
0 < 9 – x < 1 => 9 x 9 x
Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x – 8 + 9 – x = 1 ; ( 1) v« nghiÖm
VËy (1) cã 3 nghiÖm : x = 8 ; x = 9
5 – Ph¬ng ph¸p dïng ®iÒu kiÖn dÊu “ =” ë bÊt ®¼ng thøc
kh«ng chÆt:
* Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x x 1 x x 2 3
(1)
6
2
2
Gi¶i: Ta cã x2 – x + 1 0 nªn (1)
<=> x2 – x – 2 = 3 – ( x2 – x +1)
<=> x2 – x – 2 = – ( x2 – x - 2)
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
17
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
¸p dông bÊt ®¼ng thøc A - A x¶y ra dÊu “ =” víi A 0 tøc lµ
x2 – x – 2 0
<=> ( x + 1) ( x – 2) 0
<=> - 1 x 2
6 – Ph¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh:
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh
(x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:
a1 a2 a
a a b b b
12 1 2
a1b2 a2 b1 c
b1b2 d
TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a 1; b1; a2 ; b2 . B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ
chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn.
*Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh trªn ph©n tÝch ®îc thµnh d¹ng:
(x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0
a1 a2 4
a a b b 10
12 1 2
Ta cã:
b1 2; b2 7; a1 5; a2 1
a1b2 a2b1 37
b1b2 14
Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = 0
TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x – 7 = 0 ta cã
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ :
x1
5 17
;
2
x2
5
17
2
;
x3
1 29
;
2
x4
1
29
2
* Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã
nghiÖm h÷u tû.
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
18
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
PhÇn III
KÕt luËn chung
Ph¬ng ph¸p d¹y häc cña ngêi thÇy ®Ó häc sinh n¾m b¾t ®îc néi dung cÇn
thiÕt lµ c¶ mét qu¸ tr×nh nghÖ thuËt. §Ó gióp c¸c em häc sinh n¾m ®îc bµi, hiÓu
bµi vµ yªu m«n häc, cã høng thó trong c¸c giê häc, nhÊt lµ say mª víi nh÷ng bµi
tËp khã. Th× ®©y lµ c¶ mét qu¸ tr×nh tÝch luü ph¬ng ph¸p gi¶ng cña ngêi thÇy,
kh«ng chØ mét sím mét chiÒu cã ®îc ngay mµ ph¶i lµ c¶ mét qu¸ tr×nh rÌn ròa,
t×m tßi, ®óc rót kinh nghiÖm, nghiªn cøu ®èi tîng th× míi lµm cho häc sinh yªu
quý m«n häc vµ khao kh¸t ®îc häc.
D¹y cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp cã ý nghÜa v«
cïng quan träng. §ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i say mª víi nghÒ nghiÖp, kiªn tr×,
tËn tuþ víi häc sinh, t¹o cho häc sinh cã thãi quen t duy vµ kh¶ n¨ng lËp luËn
Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n To¸n cña bËc THCS vÒ m«n ®¹i sè trong phÇn ch¬ng
tr×nh. B¶n th©n t«i ®· ®óc rót ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë mét chõng mùc nµo
®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc. Ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông
gióp häc sinh lµm quen víi ph¬ng ph¸p t duy, ph¬ng ph¸p lµm bµi. T×m c¸ch gi¶i
trong ®ã x¸c ®Þnh râ c¸c bíc cÇn tiÕn hµnh theo mét tr×nh tù l«gÝc ®Ó hoµn thµnh
bµi gi¶i.
Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai
trong ch¬ng tr×nh líp 8, 9 hiÖn nay mµ b¶n th©n t«i ®· ®óc rót trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y. Trong mét chõng mùc nµo ®ã vÊn ®Ò d¹y vµ häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi
gi¶i c¸c bµi tËp thùc sù cã t¸c dông cho c¸c d¹ng bµi tËp gióp häc sinh lµm quen
víi ph¬ng ph¸p suy nghÜ, t×m tßi. Gi¸o viªn cÇn cã yªu cÇu cô thÓ ®èi víi tõng ®èi
tîng häc sinh, t¨ng cêng c«ng t¸c kiÓm tra bµi cò, cã biÖn ph¸p khÝch lÖ nh÷ng
c¸ch gi¶i hay, h¹n chÕ tèi ®a cho häc sinh t©m lý ch¸n m«n häc, Ø n¹i vµ chê gi¸o
viªn ch÷a bµi tËp.
B¶n th©n t«i lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i còng ®· trao ®æi tham
kh¶o, bµn b¹c, xin ý kiÕn cña c¸c thÇy c« ®i tríc vµ c¸c thÇy c« gi¸o d¹y trong bé
m«n To¸n cña nhµ trêng. Song ®©y lµ mét vÊn ®Ò míi mµ mét bµi to¸n cã v« vµn
c¸ch gi¶i kh¸c nhau. B¶n th©n t«i kÝnh mong c¸c thÇy c« ®i tríc t¹o ®iÒu kiÖn gióp
®ì t«i, ®ãng gãp cho t«i nhiÒu ý kiÕn hay vµ bæ Ých ®Ó t«i tiÕp tôc gi¶ng d¹y cho
c¸c em häc sinh ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña t«i.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
19
§Ò tµi nghiÖp vô s ph¹m:
Ph¬ng tr×nh bËc cao
Tµi liÖu tham kh¶o
1 – S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 8 – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc
2 – S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 9 – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc
3 – Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n 8 – Vâ §¹i Mau, Vâ §¹i Hoµi §øc
4 – Mét sè ph¬ng ph¸p chän läc gi¶i c¸c bµi to¸n s¬ cÊp – Nhãm t¸c gi¶
( Phan §øc ChÝnh, Ph¹m V¨n §iÒu, §ç V¨n Hµ, NguyÔn §×nh TrÝ)
5 – To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 8 – Vò H÷u B×nh
6 – To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè 9 – Vò H÷u B×nh
7 – C¸ch t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n THCS – Lª H¶i Ch©u, NguyÔn Xu©n
Quú
8 – Gi¸o tr×nh thùc hµnh vµ gi¶i to¸n – §Æng §×nh L¨ng, NguyÔn H÷u
Tóc
9 - ¤n tËp vµ kiÓm tra ®¹i sè 8 – Vò H÷u B×nh, T«n Th©n
10 - ¤n tËp vµ kiÓm tra ®¹i sè 9 – Vò H÷u B×nh, T«n Th©n
Ngêi thùc hiÖn:
T« Ngäc S¬n
20
- Xem thêm -
.DOC 
27 
85 
86 
