Tài liệu MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N ----------------------T„ V‹N NAM MËT SÈ D„NG B€I TON V— PH×ÌNG TRœNH H€M Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M¢ sè: 60.46.01.13 LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: PGS.TS VÔ É LONG H  Nëi  N«m 2015 Mö lö LÍI NÂI †U 1 Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè 2 4 1.1 nh x¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 H m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do 8 2.1 H m sè h®n, h m sè l´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 H m sè tun ho n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¡ ph²p bi¸n êi tành ti¸n v  çng d¤ng . . . . 16 2.4 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¡ ph²p bi¸n êi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . . 24 2.5 H» ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Mët sè d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7 Mët sè d¤ng b i to¡n kh¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do 69 3.1 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Cau hy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¡ ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . 78 3.3 Ph÷ìng tr¼nh h m nhi·u ©n h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng gi¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5 Mët sè d¤ng b i to¡n kh¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o 117 118 1 LÍI NÂI †U Ph÷ìng tr¼nh h m l  mët huy¶n · quan trång thuë h÷ìng tr¼nh huy¶n to¡n trong ¡ tr÷íng THPT huy¶n. C¡ b i to¡n â li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh h m ng l  nhúng b i tªp khâ, th÷íng g°p trong ¡ k¼ thi hå sinh giäi mæn to¡n §p què gia, khu vü , què t¸ v  Olympi Sinh vi¶n. H» thèng ¡ b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m r§t a d¤ng v  phong phó, ¡ h gi£i hóng ng khæng ìn gi£n, â thº b¬ng mët ph÷ìng ph¡p hay ph£i k¸t hñp nhi·u ph÷ìng ph¡p mîi gi£i ÷ñ . Vîi mong muèn gióp ho ¡ b¤n hå sinh â thº nhanh hâng ti¸p ªn v  gi£i quy¸t ¡ b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m n¶n tæi hån · t i Mët sè d¤ng b i to¡n v· Ph÷ìng tr¼nh h m. Vi» ph¥n hia th nh ¡ d¤ng to¡n ·u â t½nh ë lªp t÷ìng èi. Thªt khâ m  ph¥n hia ¡ d¤ng to¡n theo mët bi¶n giîi r¤ h rái v¼ ¥u â trong v i v§n · õa b i n y ¢ xu§t hi»n bâng d¡ng v§n · õa b i kia. Mö ½ h õa luªn v«n n y l  ung §p mët sè k¾ thuªt gi£i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m v  thæng qua vi» gi£i to¡n nh¬m kh­ s¥u mët sè ki¸n thù v· h m sè, r±n luy»n t÷ duy, hu©n bà ho ¡ k¼ thi hå sinh giäi. Hi vång luªn v«n n y l  t i li»u tham kh£o húu ½ h ho ¡ hå sinh, gi¡o vi¶n lîp huy¶n to¡n trung hå phê thæng. Bè ö õa luªn v«n n y gçm 3 h÷ìng : Ch÷ìng 1: Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè Trong h÷ìng n y â tr¼nh b y mët sè ki¸n thù hung nh§t v· h m sè v  ¡nh x¤ nh÷ ành ngh¾a ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh, h m sè h®n, h m sè l´, h m sè tun ho n,... án nhúng ki¸n thù thæng döng kh¡ ÷ñ dòng v o gi£i to¡n s³ ÷ñ tr¼nh b y v o ngay phn u õa ¡ b i t÷ìng ùng õa tøng mö , ho° ngay tr÷î ho° sau ¡ b i to¡n ö thº, ho° trong ¡ nhªn x²t, hó þ. Ch÷ìng 2: Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do Trong h÷ìng n y tr¼nh b y mët sè d¤ng b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m m  h¿ hùa mët bi¸n tü do nh÷ ¡ b i to¡n v· h m sè h®n, h m sè l´, h m sè x¡ ành bði ¡ ph²p bi¸n êi tành ti¸n, çng d¤ng, vîi ¡ ph²p bi¸n êi ph¥n tuy¸n t½nh, h» ph÷ìng tr¼nh 2 LÍI NÂI †U h m, ph÷ìng tr¼nh h m a thù ... Ch÷ìng 3: Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do Trong h÷ìng n y tr¼nh b y mët sè d¤ng b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hùa hai bi¸n tü do nh÷ ¡ b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Cau hy, h m sè huyºn êi giúa ¡ ¤i l÷ñng trung b¼nh, ph÷ìng tr¼nh h m a ©n, ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng gi¡ ... Luªn v«n n y ÷ñ ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n, h¿ b£o tªn t¼nh õa PGS.TS V é Long - tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n - ¤i hå Què gia H  Nëi. Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p ¡ th­ m­ õa tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi muèn b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­ ¸n ng÷íi thy õa m¼nh. Qua ¥y, tæi xin gûi líi £m ìn s¥u s­ tîi ¡ thy æ gi¡o trong Khoa To¡n - Cì - Tin hå , tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n, ¤i hå Què gia H  Nëi ¢ trü ti¸p gi£ng d¤y v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi ho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp Tæi xin £m ìn gia ¼nh, b¤n b± v  t§t £ måi ng÷íi ¢ quan t¥m, t¤o i·u ki»n, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y. H  Nëi, Th¡ng 1 n«m 2015. 3 Ch÷ìng 1 Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè 1.1 nh x¤ ành ngh¾a 1.1. méi B, a ∈ A t÷ìng Cho hai tªp hñp v  B. ùng vîi óng mët phn tû f : A −→ B. k½ hi»u l  A Phn tû b N¸u â mët quy t­ b∈B th¼ ta nâi gåi l  £nh õa a f f n o â sao ho vîi l  mët ¡nh x¤ tø v  vi¸t l  A ¸n b = f (a). Chó þ: N¸u ho ¡nh x¤ f : A −→ B th¼ ta th÷íng quan t¥m ¸n hai tªp hñp sau ¥y: Tªp hñp f (A) = {f (a)|a ∈ A} (gåi l  tªp £nh õa tªp A, hay gåi l  tªp gi¡ trà õa ¡nh x¤ f ) v  tªp hñp f −1(b) = {a ∈ A|f (a) = b} (gåi l  nghà h £nh õa b). 1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh ành ngh¾a 1.2. ho a1 6= a2 ta â f : A −→ B nh x¤ ÷ñ gåi l  ìn ¡nh n¸u vîi måi f (a1 ) 6= f (a2 ). Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l  ìn ¡nh n¸u f (a1) = f (a2) th¼ a1 = a2. ành ngh¾a 1.3. f : A −→ B nh x¤ tçn t¤i a∈A sao ho a1 , a2 ∈ A ÷ñ gåi l  to n ¡nh n¸u vîi måi f (a) = b. b∈B sao luæn Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l  to n ¡nh khi v  h¿ khi f (A) = B. ành ngh¾a 1.4. f : A −→ B f nh x¤ gåi l  song ¡nh n¸u vøa l  ìn ¡nh, vøa l  to n ¡nh. Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l  song ¡nh khi v  h¿ khi vîi måi b ∈ B luæn tçn t¤i duy nh§t a ∈ A sao ho f (a) = b. ành ngh¾a 1.5. méi phn tû k½ hi»u l  Gi£ sû y∈B f : A −→ B vîi t¤o £nh l  mët song ¡nh. Khi â ¡nh x¤ ho t÷ìng ùng x = f −1 (y) f −1 . 4 õa nâ ÷ñ gåi l  ¡nh x¤ ng÷ñ õa f v  Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè Ch÷ìng 1. 1.3 H m sè ành ngh¾a 1.6. h m sè tø tªp X Cho X⊂R ¸n tªp v  Y. Y ⊂ R. Khi â ¡nh x¤ f : X −→ Y ÷ñ gåi l  mët Chó þ: Cho h m sè f : X −→ Y. Khi â: - Tªp X gåi l  tªp x¡ ành õa h m sè f. - N¸u x0 ∈ X th¼ f (x0 ) gåi l  gi¡ trà õa h m f t¤i x0. - Tªp hñp f (X) ÷ñ gåi l  gåi l  tªp gi¡ trà õa h m sè f. - y0 l  mët gi¡ trà õa h m sè f khi v  h¿ khi ph÷ìng tr¼nh f (x) = y0 â nghi»m. Hay nâi ¡ h kh¡ l : ph÷ìng tr¼nh f (x) = y0 â nghi»m khi v  h¿ khi y0 thuë tªp gi¡ trà õa h m sè f. - f l  to n ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m. - f l  song ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x ∈ X, y ∈ Y ) â nghi»m duy nh§t. 1.3.1 H m sè h®n, h m sè l´ ành ngh¾a 1.7. a) H m sè M) n¸u f : D −→ R ÷ñ gåi l  h m h®n tr¶n ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M b) H m sè M ⊂D f (−x) = f (x), ∀x ∈ M. v  f : D −→ R ÷ñ gåi l  h m l´ tr¶n M ⊂ D ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M v  (gåi t­t l  h m h®n tr¶n (gåi t­t l  h m l´ tr¶n M ) n¸u f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M. 1.3.2 H m sè tun ho n v  ph£n tun ho n ành ngh¾a 1.8. a) H m sè M n¸u b) Cho M ⊂D f õa h m b² hìn f : D −→ R v  ÷ñ gåi l  h m tun ho n ( ëng t½nh) hu ký  M. f T f tr¶n ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M l  mët h m sè tun ho n tr¶n n¸u a (a > 0) tun ho n vîi hu ký Khi â T (T > 0) ÷ñ gåi l  hu ký ì sð m  khæng tun ho n vîi b§t ký hu ký n o T. ành ngh¾a 1.9. a) H m sè tr¶n M f : D −→ R n¸u M ⊂D ÷ñ gåi l  h m ph£n tun ho n ( ëng t½nh) hu ký v   ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M 5 b (b > 0) Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè Ch÷ìng 1. b) N¸u f l  h m sè ph£n tun ho n hu ký ho n vîi b§t ký hu ký n o b² hìn tun ho n f tr¶n b0 tr¶n M b0 M tr¶n th¼ b0 m  khæng l  h m ph£n tun ÷ñ gåi l  hu ký ì sð õa h m M. 1.3.3 H m sè tun ho n v  ph£n tun ho n nh¥n t½nh ành ngh¾a 1.10. f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, −1}) tr¶n M ÷ñ gåi l  h m tun ho n nh¥n t½nh hu ký n¸u M ⊂D  ành ngh¾a 1.11. hu ký ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M. f : D −→ R H m sè a (a ∈ / {0, 1, −1}) tr¶n M  1.3.4 H m sè li¶n tö ành ngh¾a 1.12. Cho h m sè x0 l  li¶n tö t¤i iºm ành ngh¾a 1.13. kho£ng (a; b) H m sè x¡ ành tr¶n ành ngh¾a 1.17. D⊂R v  x0 ∈ D. H m sè f ÷ñ gåi f (x) x¡ ành tr¶n kho£ng (a; b) ÷ñ gåi l  li¶n tö tr¶n x ∈ (a; b). f (x) x¡ ành tr¶n o¤n [a; b] ÷ñ gåi l  li¶n tö tr¶n o¤n H m sè (a; b) f (x) f (x) lim f (x) = f (a), lim − f (x) = f (b). x−→a+ x−→b ÷ñ gåi l  t«ng tr¶n kho£ng ∀x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè v  m  m  n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). ÷ñ gåi l  gi£m tr¶n kho£ng ∀x1 , x2 ∈ (a, b) (a; b) (a; b) n¸u x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). H m sè t«ng ho° gi£m tr¶n kho£ng (a; b) ÷ñ gåi l  h m ìn (a; b). ành ngh¾a 1.18. H m sè f (x) ÷ñ gåi l  t«ng thü sü (çng bi¸n) tr¶n kho£ng n¸u ành ngh¾a 1.19. (a; b) f lim f (x) = f (x0 ). H m sè ành ngh¾a 1.16. v  ∀x ∈ M ⇒ a±1 ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M. n¸u nâ li¶n tö tr¶n kho£ng i»u tr¶n M ⊂D x−→x0 1.3.5 H m sè ìn i»u ành ngh¾a 1.15. (a; b) n¸u ÷ñ gåi l  h m ph£n tun ho n nh¥n t½nh n¸u nâ li¶n tö t¤i måi iºm ành ngh¾a 1.14. [a; b] n¸u v  ∀x1 , x2 ∈ (a, b) H m sè f (x) m  x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). ÷ñ gåi l  gi£m thü sü (nghà h bi¸n) tr¶n kho£ng n¸u ∀x1 , x2 ∈ (a, b) m  x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). 6 Ch÷ìng 1. Mët sè t½nh h§t ì b£n õa h m sè ành ngh¾a 1.20. i»u thü sü tr¶n H m sè t«ng hay gi£m thü sü tr¶n (a, b) ÷ñ gåi l  h m sè ìn (a; b) Mët sè t½nh h§t õa ¡ h m sè ìn i»u - Måi h m ìn i»u thü sü tr¶n kho£ng (a; b) ·u l  ìn ¡nh tr¶n kho£ng - N¸u f (x) v  g(x) l  hai h m t«ng (gi£m) th¼ - N¸u f (x) v  g(x) l  hai h m t«ng v  khæng ¥m th¼ - N¸u f (x) l  h m ìn i»u tr¶n (a; b) th¼ f (x) + g(x) f (f (x)) 7 (a; b) . ng l  h m t«ng (gi£m). f (x)g(x) ng l  h m t«ng. l  h m t«ng. Ch÷ìng 2 Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do 2.1 H m sè h®n, h m sè l´ B i to¡n 2.1.1. Gi£i. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) sao ho f (x) = f (−x), ∀x ∈ R. (1) D¹ th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi f (x) = 12 [f (x) + f (−x)], ∀x ∈ R. (2) f (x) = 21 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè trong â sè f g l  h m sè tòy þ tr¶n R. Khi â d¹ th§y f thäa m¢n (1) th¼ do (2) n¶n f thäa m¢n (1). Ng÷ñ l¤i n¸u h m â d¤ng (3). Vªy ¡ h m sè n t¼m â d¤ng 1 f (x) = [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R 2 trong â g l  h m sè tòy þ tr¶n B i to¡n 2.1.2. Gi£i. R. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) sao ho f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R. (1) D¹ th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi f (x) = 12 [f (x) − f (−x)], ∀x ∈ R. (2) f (x) = 12 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R (3) X²t h m sè trong â sè f g l  h m sè tòy þ tr¶n R. Khi â d¹ th§y f thäa m¢n (1) th¼ do (2) n¶n f thäa m¢n (1). Ng÷ñ l¤i n¸u h m â d¤ng (3). Vªy ¡ h m sè n t¼m â d¤ng 1 f (x) = [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R 2 8 Ch÷ìng 2. trong â g Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do l  h m sè tòy þ tr¶n B i to¡n 2.1.3. Gi£i. Cho x0 ∈ R. R. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f sao ho f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R. °t x = x0 − t(⇔ t = x0 − x). Khi â (1) 2x0 − x = x0 + t v  (1) â d¤ng f (x0 + t) = f (x0 − t), ∀t ∈ R. °t g(t) = f (x0 + t) Khi â (2) â d¤ng th¼ (2) g(−t) = f (x0 − t), f (t) = g(t − x0 ). g(t) = g(−t), ∀t ∈ R. Vªy g(t) l  h m h®n tr¶n R. K¸t luªn: f (x) = g(x − x0 ), ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m h®n tòy þ tr¶n R. B i to¡n 2.1.4. Gi£i. Cho a, b ∈ R. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f (x) sao ho f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R. °t a 2 − x = t. Khi â x= a 2 Khi â (1) â d¤ng −t v  a−x= a 2 + t. f ( a2 + t) + f ( a2 − t) = 2b, ∀t ∈ R. °t f ( a2 + t) − b = g(t), ∀t ∈ R. (1) (2) Khi â (2) â thº vi¸t d÷îi d¤ng g(t) + g(−t) = 0, ∀t ∈ R ⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R. Vªy g(t) l  h m l´ tr¶n R. K¸t luªn: f (x) = g(x − a2 ) + b trong â g(x) l  h m l´ tr¶n R. B i to¡n 2.1.5. Gi£i. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) sao ho f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R. (1) Ta th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi f (x) − f (−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R ⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R. °t g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R. Thay v o (2) ta ÷ñ g(x) = g(−x), ∀x ∈ R. 9 (2) Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do Ch÷ìng 2. Vªy g(x) R. l  h m h®n tr¶n K¸t luªn: f (x) = g(x) + 1007 sin x, ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m h®n tòy þ tr¶n R. B i to¡n 2.1.6. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) + f (−x) = Gi£i. f (x) sao ho 2 cos x √ , ∀x x2 +1 ∈ R. (1) Ta â (1) t÷ìng ÷ìng vîi cos x cos x f (x) + f (−x) = √ +√ , ∀x ∈ R x2 + 1 x2 + 1 ⇔ f (x) − °t g(x) = f (x) − cos(−x) ], ∀x ∈ R. = −[f (−x) − √ 2 √cos x x2 +1 √cos x , ∀x x2 +1 (−x) +1 ∈ R. (2) Thay v o (2) ta ÷ñ g(x) = −g(−x), ∀x ∈ R. ⇔ g(−x) = −g(x), ∀x ∈ R. Vªy g(x) K¸t luªn: trong â l  h m l´ tr¶n R. cos x , ∀x ∈ R, f (x) = g(x) + √ x2 + 1 g(x) l  h m l´ tòy þ tr¶n R. 2.2 H m sè tun ho n B i to¡n 2.2.1. Gi£i. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f thäa m¢n i·u ki»n f (x + π) − f (x) = 2 cos x, ∀x ∈ R. Ta â (1) t÷ìng ÷ìng vîi f (x + π) + cos(x + π) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R. °t (1) g(x) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R th¼ f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R. g(x + π) = g(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy g K¸t luªn: l  h m tun ho n hu ký π tr¶n R. f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R, trong â g l  h m sè tun ho n hu ký π, tòy þ tr¶n 10 R. (2) Thay v o (2) ta ÷ñ Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do B i to¡n 2.2.2. Gi£i. X¡ ành t§t £ ¡ h m f thäa m¢n i·u ki»n f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈ R. (1) Ta â sin x = x + 2π x (x + 2π) − x sin(x + 2π) = sin(x + 2π) − sin x 2π 2π 2π Thay v o (1) ta ÷ñ f (x + 2π) − f (x) = f (x + 2π) − °t g(x) = f (x) − x 2π Thay v o (2) ta ÷ñ Nh÷ vªy g K¸t luªn: x+2π 2π x x + 2π sin(x + 2π) − sin x, ∀x ∈ R 2π 2π sin(x + 2π) = f (x) − sin x, ∀x ∈ R th¼ x 2π f (x) = g(x) + x 2π g(x + 2π) = g(x), ∀x ∈ R. l  h m sè tun ho n hu ký 2π tr¶n sin x, ∀x ∈ R. (2) sin x, ∀x ∈ R. R.. x sin x, ∀x ∈ R, 2π 2π , tòy þ tr¶n R. f (x) = g(x) + trong â g l  h m sè tun ho n hu ký B i to¡n 2.2.3. Gi£i. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f thäa m¢n i·u ki»n f (x + 1) − f (x) = 2x, ∀x ∈ R. (1) Ta â 2x = [(x + 1)2 − (x + 1)] − (x2 − x) Thay v o (1) ta ÷ñ f (x + 1) − f (x) = [(x + 1)2 − (x + 1)] − (x2 − x), ∀x ∈ R ⇔ f (x + 1) − [(x + 1)2 − (x + 1)] = f (x) − (x2 − x), ∀x ∈ R. °t g(x) = f (x) − (x2 − x), ∀x ∈ R ta ÷ñ th¼ f (x) = g(x) + (x2 − x), ∀x ∈ R. g(x) = g(x + 1), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy g(x) K¸t luªn: l  h m sè tun ho n hu ký 1 tr¶n R. f (x) = g(x) + (x2 − x), ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký 1 11 tòy þ tr¶n R. (2) Thay v o (2) Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do B i to¡n 2.2.4. f X¡ ành t§t £ ¡ h m sè thäa m¢n i·u ki»n f (x + 1) − f (x) = 2.3−x , ∀x ∈ R. Gi£i. (1) Ta â 2.3−x = 3.3−x − 3−x = 31−x − 3−x = 31−x − 31−(x+1) . Thay v o (1) ta ÷ñ f (x + 1) − f (x) = 31−x − 31−(x+1) , ∀x ∈ R ⇔ f (x + 1) + 31−(x+1) = f (x) + 31−x , ∀x ∈ R. °t g(x) = f (x) + 31−x , ∀x ∈ R th¼ Thay v o (2) ta ÷ñ (2) f (x) = g(x) − 31−x , ∀x ∈ R. g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy g(x) K¸t luªn: l  h m sè tun ho n hu ký 1 tr¶n R. f (x) = g(x) − 31−x , ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký B i to¡n 2.2.5. 1, tòy þ tr¶n X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f R. thäa m¢n i·u ki¶n f (3x) = f (x), ∀x ∈ R. Gi£i. - Vîi x > 0, °t x = 3u (u = log3 x). (1) Thay v o (1) ta ÷ñ f (3u+1 ) = f (3u ), ∀u ∈ R. °t g(u) = f (3u ), ∀u ∈ R. (2) Thay v o (2) ta ÷ñ g(u + 1) = g(u), ∀u ∈ R. Nh÷ vªy Ta â: g l  h m sè tun ho n hu ký f (x) = Thû l¤i: f (3u ) ∀x > 0, 1 tr¶n R. = g(u) = g(log3 x), ∀x > 0. khi â f (3x) = g(log3 (3x)) = g(1 + log3 x) = g(log3 x) = f (x) Vªy khi tr¶n x>0 th¼ f (x) = g(log3 x), trong â g l  h m sè tun ho n hu ký 1, tòy þ R. - Vîi x<0 °t −x = 3u (u = log3 (−x)). f (−3u+1 ) Thay v o (1) ta ÷ñ = f (−3u ), ∀u ∈ R. 12 (3) Ch÷ìng 2. °t Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do h(u) = f (−3u ), ∀u ∈ R. Thay v o (3) ta ÷ñ h(u + 1) = h(u), ∀u ∈ R. h Nh÷ vªy Ta â : l  h m sè tun ho n hu ký f (x) = f (−3u ) ∀x < 0, Thû l¤i : 1 tr¶n R. = h(u) = h(log3 (−x)), ∀x < 0. khi â f (3x) = h(log3 (−x)) = h(1 + log3 (−x)) = h(log3 (−x)) = f (x) Vªy khi þ tr¶n x<0 th¼ f (x) = h(log3 (−x)), h l  h m sè tun ho n hu ký 1, tòy R. K¸t luªn: f (x) = trong â g, h   g(log3 x)  khi x>0 c ( l  h¬ng sè tòy þ ) h(log3 (−x)) khi x < 0 X¡ ành t§t £ ¡ h m sè R, khi x=0 1 tr¶n f thäa m¢n i·u ki»n l  ¡ h m sè tun ho n hu ký B i to¡n 2.2.6. Gi£i. trong â tòy þ. f (−2014x) = f (x), ∀x ∈ R. (1) Theo (1) ta â f (20142x) = f [(−2014)2 x] = f [−2014(−2014x)] = f (−2014x) = f (x), ∀x ∈ R. Do â (1) t÷ìng ÷ìng vîi  f (x) = 21 [f (x) + f (−2014x)], ∀x ∈ R f (x) = f (20142 x), ∀x ∈ R. (2) X²t h m sè f (x) = 12 [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R trong â g l  h m sè tun ho n nh¥n t½nh hu ký 20142 tr¶n (3) R g(x) = g(20142x), ∀x ∈ R. Khi â d¹ th§y f thäa m¢n (1). Ng÷ñ l¤i n¸u f thäa m¢n (1) th¼ â d¤ng (3) v¼ (2) t÷ìng ÷ìng vîi (1). Vªy trong â g l  h m sè 1 f (x) = [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R 2 2 tun ho n nh¥n t½nh hu ký 2014 tr¶n R. Theo 2.2.5 th¼ g(x) =   g1 ( 21 log2014 x)  khi x>0 c ( l  h¬ng sè tòy þ ) khi x = 0 g2 ( 21 log2014 (−x)) khi x < 0 13 k¸t qu£ b i to¡n Ch÷ìng 2. trong â Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do g1 , g2 l  ¡ h m sè tun ho n hu ký 1 tr¶n R, tòy þ. Nhªn x²t: T÷ìng tü nh÷ b i to¡n 2.2.5, 2.2.6 ta gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh h m f (ax) = f (x), ∀x ∈ R B i to¡n 2.2.7. a 6= 0, a 6= ±1 ). ( a l  h¬ng sè , T¼m t§t £ ¡ h m sè f tun ho n hu ký 2 tr¶n R thäa m¢n i·u ki»n Gi£i. f f (x + 1) = −2f (x) + 3, ∀x ∈ R. l  h m sè tun ho n hu ký 2 tr¶n R (1) tù l  f (x + 2) = f (x), ∀x ∈ R. Trong (1) thay x bði x+1 (2) ta ÷ñ f (x + 2) = −2f (x + 1) + 3, ∀x ∈ R. K¸t hñp vîi (2) ta ÷ñ f (x) = −2f (x + 1) + 3, ∀x ∈ R. (3) Gi£i (1) v  (3) ta ÷ñ f (x) = 1, ∀x ∈ R. Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1). K¸t luªn: f (x) ≡ 1. B i to¡n 2.2.8. Cho h(x) l  mët h m x¡ ành tr¶n R. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) tun ho n hu ký 3 v  thäa m¢n i·u ki»n Gi£i. f (x) f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) = h(x), ∀x ∈ R. R tù f (x + 3) = f (x), ∀x ∈ R. l  h m sè tun ho n hu ký Ln l÷ñt thay x bði x + 1, x + 2 3 tr¶n (1) l  (2) v o (1) v  sû döng (2) ta ÷ñ i·u ki»n º (1) â nghi»m l  h(x) = h(x + 1) = h(x + 2), ∀x ∈ R. (3) Khi i·u ki»n (3) ÷ñ thäa m¢n th¼ ta â thº vi¸t h(x) = 31 [h(x) + h(x + 1) + h(x + 2)], ∀x ∈ R. Tø (1) , (2) v  (4) ta suy ra 14 (4) Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do  g(x) = g(x + 3) g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0, ∀x ∈ R (5) trong â g(x) = f (x) − 31 h(x), ∀x ∈ R. (6) Ta â (5) t÷ìng ÷ìng vîi  g(x) = g(x + 3) g(x) = 13 (2g(x) − g(x + 1) − g(x + 2)), ∀x ∈ R. (7) X²t h m sè g(x) = 31 (2q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)), ∀x ∈ R. trong â Vîi måi q(x) l  h m sè tun ho n hu ký x∈R 3 tr¶n (8) R. ta â 1 g(x + 1) = (2q(x + 1) − q(x + 2) − q(x)) 3 Do â 1 g(x + 2) = (2q(x + 2) − q(x) − q(x + 1)) 3 1 g(x + 3) = (2q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)) = g(x). 3 g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0 v  g(x + 3) = g(x). Vªy g(x) thäa Ng÷ñ l¤i n¸u g(x) q(x + 3), ∀x ∈ R thäa m¢n (5) th¼ ta h¿ n hån q(x) = g(x), m¢n (5). khi â v  ta â 1 1 (2q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)) = (2g(x) − g(x + 1) − g(x + 2)) 3 3 1 = (3g(x) − (g(x) + g(x + 1) + g(x + 2))) = g(x). 3 Vªy (5) t÷ìng ÷ìng vîi (8). K¸t luªn: i·u ki»n º (1 ) â nghi»m l  h(x) = h(x + 1) = h(x + 2), ∀x ∈ R. Khi â måi nghi»m õa (1) ·u â d¤ng 1 f (x) = g(x) + h(x), 3 trong â vîi q(x) l  h m sè 1 g(x) = (2q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)), ∀x ∈ R. 3 tun ho n hu ký 3 tr¶n R, tòy þ. 15 q(x) = Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do 2.3 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¡ ph²p bi¸n êi tành ti¸n v  çng d¤ng Trong mö n y ta s³ kh£o s¡t lîp ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng f (ax + b) = cf (x) + d, B i to¡n 2.3.1. Gi£i. T¼m t§t £ ¡ h m sè f (x) vîi a 6= 0, c 6= 0. sao ho f (x + 1) = f (x) + 3, ∀x ∈ R. °t f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R. (1) Thay v o (1) ta ÷ñ 3(x + 1) + g(x + 1) = 3x + g(x) + 3, ∀x ∈ R ⇔ g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy Do â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R, trong â 1 tr¶n g(x) R. l  h m sè tun ho n hu ký 1 tr¶n R. Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1). K¸t luªn: f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký 1 tòy þ tr¶n R. Nhªn x²t: Ph²p °t f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R ÷ñ t¼m ra nh÷ sau: Tø (1) ta t÷ðng t÷ñng r¬ng f (x + 1) = f (x) + f (1), ∀x ∈ R vîi f (1) = 3. Suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R. Ta â f (1) = 3 ⇔ a.1 = 3 ⇔ a = 3. Do â (1) â mët nghi»m l  f (x) = 3x. Tø â ta °t f (x) = 3x + g(x). B i to¡n 2.3.2. Gi£i. X¡ ành ¡ h m sè f (x) sao ho f (x + 103) = f (x) − 515, ∀x ∈ R. °t f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈ R. (1) Thay v o (1) ta ÷ñ −5(x + 103) + g(x + 103) = −5x + g(x) − 515, ∀x ∈ R ⇔ g(x + 103) = g(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy Do â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈ R, R. Thû 103 trong â l¤i ta th§y thäa m¢n (1). tr¶n g(x) R. l  h m sè tun ho n hu ký 103 tr¶n K¸t luªn: f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m sè tun ho n hu ký 103 16 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do tòy þ tr¶n R. Nhªn x²t: T÷ìng tü ta gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh h m sau: f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R. B i to¡n 2.3.3. P (1) = 2 Gi£i. °t X¡ ành t§t £ ¡ a thù h» sè thü P (x) thäa m¢n i·u ki»n v  P (x + 4) = P (x + 1) + 2, ∀x ∈ R. Thay x bði x−1 P (x) = 32 x + Q(x). (1) v o (1) ta ÷ñ P (x + 3) = P (x) + 2, ∀x ∈ R. Thay v o (2) ta ÷ñ Q(x) (2) l  a thù thäa m¢n 2 2 (x + 3) + Q(x + 3) = x + Q(x) + 2, ∀x ∈ R 3 3 ⇔ Q(x + 3) = Q(x), ∀x ∈ R ⇔ Q(x) = c, ∀x ∈ R Vªy P (x) = 32 x + c, ∀x ∈ R. Do P (1) = 2 n¶n Thû l¤i ta th§y thäa m¢n (1). K¸t luªn : 2 = 23 .1 + c ⇔ c = 34 . P (x) = 32 x + 34 , ∀x ∈ R. B i to¡n 2.3.4. Gi£i. ( l  h¬ng sè ). X¡ ành ¡ h m sè f (x) sao ho f (x − 3) = −f (x) + 2, ∀x ∈ R. °t f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R. (1) Thay v o (1) ta ÷ñ 1 + g(x − 3) = −1 − g(x) + 2, ∀x ∈ R ⇔ g(x − 3) = −g(x), ∀x ∈ R. ⇔ g(x) = −g(x + 3), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy Do â g(x) l  h m sè ph£n tun ho n hu ký f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R, R. Thû trong â g(x) 3 tr¶n R. l  h m sè ph£n tun ho n hu ký 3 tr¶n l¤i ta th§y thäa m¢n (1). K¸t luªn: f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R, trong â g(x) l  h m sè ph£n tun ho n hu ký 3 tòy þ tr¶n R. Nhªn x²t: Ph²p °t f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R ÷ñ t¼m ra nh÷ sau : Ta s³ t¼m mët 17 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do nghi»m ri¶ng õa (1) , tèt nh§t l  t¼m h m h¬ng (n¸u â) thäa m¢n (1). Tø (1) ta x²t ph÷ìng tr¼nh c = −c + 2 . Vªy iºm b§t ëng õa h m f l  c = 1. Do â ta °t f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R. Vîi ph²p °t n y ta ¢ ÷a iºm b§t ëng 2 v· iºm b§t ëng 0. Nhªn x²t: T÷ìng tü ta gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh h m sau f (x + a) = −f (x) + b, ∀x ∈ R B i to¡n 2.3.5. Gi£i. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f (a v  b l  h¬ng sè) . sao ho f (x + 2) = 2f (x) + 3, ∀x ∈ R. °t f (x) = −3 + g(x), ∀x ∈ R. (1) Thay v o (1) ta ÷ñ −3 + g(x + 3) = −6 + 2g(x) + 3, ∀x ∈ R ⇔ g(x + 2) = 2g(x), ∀x ∈ R. °t √ g(x) = ( 2)x h(x), ∀x ∈ R. (2) Thay v o (2) ta ÷ñ √ √ ( 2)x+2 h(x + 2) = 2( 2)x h(x), ∀x ∈ R ⇔ h(x + 2) = h(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy h(x) l  h m sè tun ho n hu ký K¸t luªn: f (x) = −3 + ( 2 tòy þ tr¶n R. √ 2)x h(x), ∀x ∈ R, 2 tr¶n R. trong â h(x) l  h m sè tun ho n hu ký Nhªn x²t: Ph²p °t g(x) = (√2)xh(x), ∀x ∈ R ÷ñ t¼m ra nh÷ sau: Tø (2) ta t÷ðng t÷ñng r¬ng g(x + 2) = g(x)g(2), ∀x ∈ R vîi g(2) = 2. Suy ra h m sè g â ° iºm bi¸n têng th nh t½ h, do â g(x) = ax . Tø √ g(2) = 2 ⇒ a2 = 2 ⇒ a = 2. Bði vªy n¸u °t √ g(x) = ( 2)x h(x), ∀x ∈ R th¼ s³ khû ÷ñ sè 2. Nhªn x²t: T÷ìng tü ta gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh h m sau f (x + a) = αf (x) + b, ∀x ∈ R vîi α, a, b l  h¬ng sè, α 6= ±1. 18 Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do Ch÷ìng 2. B i to¡n 2.3.6. Gi£i. X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f sao ho f (x + 2) + 3f (x) = x, ∀x ∈ R. Ta â (1) 1 1 1 1 x = [ (x + 2) − ] + 3( x − ) 4 8 4 8 Thay v o (1) ta ÷ñ 1 1 1 1 f (x + 2) + 3f (x) = [ (x + 2) − ] + 3( x − ), ∀x ∈ R 4 8 4 8 1 1 1 1 ⇔ f (x + 2) − [ (x + 2) − ] = −3[f (x) − 3( x − )], ∀x ∈ R 4 8 4 8 1 ⇔ g(x + 2) = −3g(x), ∀x ∈ R (vîi g(x) = f (x) − ( 4 x − 81 )) . °t √ g(x) = ( 3)x h(x), ∀x ∈ R. (2) Thay v o (2) ta ÷ñ √ √ ( 3)x+2 h(x + 2) = −3( 3)x h(x), ∀x ∈ R ⇔ h(x + 2) = −h(x), ∀x ∈ R. Nh÷ vªy h(x) l  h m sè ph£n tun ho n hu ký K¸t luªn: f (x) = ho n hu ký 2 1 8) − tòy þ tr¶n B i to¡n 2.3.7. Gi£i. ( 41 x √ 2 + ( 3)x h(x), ∀x ∈ R, tr¶n R. trong â h(x) l  h m sè ph£n tun R. T¼m t§t £ ¡ h m sè f thäa m¢n i·u ki»n f (3x) = f (x) − 2, ∀x > 0. °t f (x) = log √1 x + g(x), ∀x > 0. (1) Thay v o (1) ta ÷ñ 3 log √1 (3x) + g(3x) = log √1 x + g(x) − 2, ∀x > 0 3 3 ⇔ g(3x) = g(x), ∀x > 0. °t x = 3u (u = log3 x). (2) Thay v o (2) ta ÷ñ ⇔ g(3u+1 ) = g(3u), ∀u ∈ R. °t h(u) = g(3u ), ∀u ∈ R. Nh÷ vªy h Thay v o (3) ta ÷ñ l  h m sè tun ho n hu ký 1 tr¶n (3) h(u + 1) = h(u), ∀u ∈ R. R. Ta â: f (x) = log √1 x + g(x) = log √1 x + g(3u ) = log √1 x + h(u) = log √1 x + h(log3 x), ∀x > 0 3 3 3 19 3