Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp trung học phổ thông

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 36 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI U I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Bất đẳng thức Cô si: 2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski: 3. Tam thức bậc hai: 4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin: 5. Khảo sát hàm số: II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: 3.Áp dụng tam thức bậc hai: 4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin: 5. Dùng phương pháp đạo hàm: C. KẾT LUẬN 1 Một số cách giải bài 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 8 10 12 13 15 16 Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A. I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên và họ sinh. Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy một số vấn đề sau: 1. Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học. Dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học. Điều này gây rất nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy. 2. Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo phương pháp trắc nghiệm khách quan thì một số giáo viên mãi mở rộng kiến thức kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc nghiệm . Vì vậy vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về Vật lý của học sinh , đặc biệt là những học sinh khá của trường. Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lượng Vật lý. Mỗi loại bài toán đều có một số cách giải nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên , Bởi lẽ: Chưa có tài liệu nào viết về vấn đề này có tính hệ thống . Để góp phần cải thiện thực trạng trên , tôi quyết định thực hiện đề tài “Một số cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp , - phương ph III 2 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- IV - 3 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NỘI DUNG B. I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lượng Vật lý, ta thường một số công thức, kiến thức của toán học. Do đó, để giải được các bài tập đó cần nắm vững một số kiến thức sau đây: 1. Bất đẳng thức Cô si: a b 2 ab ( a, b dương). a b c 3 3 abc ( a, b, c dương). - Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau. - Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. - Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau. Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va chạm cơ học. 2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1b1 a2b2 ) 2 (a1 a2 ) 2 (b1 b2 ) 2 a b Dấu bằng xảy ra khi 1 1 a2 b2 Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học. 3. Tam thức bậc hai: y f ( x) ax 2 bx c + Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol. + Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol. Tọa độ đỉnh: x b ; y 2a 4a ( b2 4ac ). + Nếu = 0 thì phương trình : y f ( x) ax 2 bx c 0 có nghiệm kép. +Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. *Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện. 4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin: (cos ) max 1 0 (sin ) max 1 900 . *Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều. 5. Khảo sát hàm số: - Dùng đạo hàm. - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu. *Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều. 4 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính chất của phân thức: a b c d a c b d a c b d II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: 12V , r = 4 , R là một biến trở.Tìm giá trị của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại. r R BÀI GIẢI -Dòng điện trong mạch: I - Công suất: 2 R r P = 2 I2.R = (R r) 2 .R 2 P R 2 R 2rR r 2 = 2 r2 R ( R Đặt y ( R r ) R R 2r r 2 ) R . 2 P y2 Nhận xét: Để Pma x ymin Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau 2 Pmax r 2r r => 2 4r 122 4.4 ymin R r R R = r = 9(W ) Bài toán 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: uAB 200 2 cos100 t (V ). L 1 A R 4 (H ) , C 10 ( F ). R thay đổi. 2 a. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0. 5 Một số cách giải bài L,r C B 4 ( ) thì Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50 ( ) BÀI GIẢI a. + Cảm kháng Z L L 1 C + Dung kháng: ZC + Tổng trở: Z 100( ) . 200( ). R2 (Z L ZC )2 . U2 + Công suất : P = I .R = 2 .R Z 2 U2 (Z L ZC )2 R R P R2 (Z L Đặt y R U2 .R ( Z L ZC )2 ZC )2 R P + Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi y min U2 2 Z L ZC Pmax U2 2.100 2002 200 U2 y R ZL ZC 100( ) , lúc đó 200(W) . Vậy Pma x = 200(W) khi R = 100 ( ) b. + Tổng trở Z ( R r )2 ( Z L ZC ) 2 U2 .R Z2 + Công suất P I 2 .R P R2 U2 .R ( R r )2 ( Z L ZC ) 2 U2 .R = 2Rr r 2 (Z L ZC )2 r 2 (Z L ZC )2 Đặt y R 2r R ymin . +Nhận xét: Để Pmax R 2r U2 . y P Theo bất đẳng thức Côsi ymin U2 r 2 (Z L ZC )2 R R r 2 (Z L ZC )2 R r 2 ( Z L ZC ) 2 R U2 Pmax r 2 ( Z L ZC )2 r 2 ( Z L ZC )2 r 2 ( ZC ZC )2 2r U2 Pmax r 2 (Z L ZC )2 r 2 ( Z L ZC ) 2 . r 2 ( Z L r 2 ( Z L ZC )2 . r 2 ( Z L ZC )2 6 Một số cách giải bài ZC ) 2 2r Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pmax U2 2. r 2 ( Z L ZC )2 Pmax 2r 2002 2.( 502 (100 200) 2 124(W ) 50) Vậy để Pmax = 124(W) thì R r 2 (Z L ZC )2 100( ) . *Mở rộng: Khi tính P của mạch: + Nếu ZL ZC r thì Pmax khi R ZL ZC r . +Nếu ZL ZC r thì Pmax khi R = 0. Bài toán 3: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 tại A và đồng thời va chạm với vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m1 có vận tốc v1' . Hãy xác định tỉ số v1' của m1 để góc lệch v1 giữa v1 và v1' là lớn nhất max . Cho m1 > m2, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín. BÀI GIẢI p1 * Động lượng của hệ trước va chạm: PT P1 m1v1 ps * Động lượng của hệ sau va chạm : PS P1' P'2 m1v1' m2v2' Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn : PS PT p2 P1 Gọi (v1, v1' ) (P1, PS ). Ta có: P2'2 P1'2 P12 2 P1P2 cos (1). Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn: m1v12 2 m1v1'2 2 m2v2 '2 2 m12v12 2m1 P2'2 2m2 P12 P1'2 2m1 P12 2m1 P1'2 2m1 P2'2 m2 ( P12 P1'2 (2). m1 m12v12 2m1 P2'2 . 2m2 m22v2'2 2m2 P12 P1'2 m2 v1' ). m1 v1 (1 m1 '2 .P2 . m2 Từ(1)và(2) ta suy ra (1 m2 P1 ) m1 P1' (1 m2 P1' ) m1 P1 2cos (1 7 Một số cách giải bài m2 v1 ). m1 v1' 2cos Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đặt x v1' v1 Để thì (cos )min max (1 0 m2 m2 1 ).x (1 ). m1 m1 x 2 cos Theo bất đẳng thức Côsi (cos )min (1 m2 m2 1 ).x (1 ). m1 m1 x min Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau 1 m2 .x m1 Vậy khi 1 v1' v1 Khi đó, cos m2 1 . m1 x x m1 m2 m1 m2 m1 m2 thì góc lệch giữa v1 và v1' cực đại. m1 m2 max m12 m2 2 . m1 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: Bài toán 1: Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với v2 v1 ; 3 300 . Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách từ vật một đến O là d1' 30 3(cm) . Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O. BÀI GIẢI Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 A ). Áp dụng định lý hàm sin ta có: d sin Vì v2 d1' d2' d sin sin sin v1 nên ta có: 3 d1 v1t sin d sin 300 d1 v1t sin d 2 v2t . sin 3d 2 v1t . 3 sin d2’ B Áp dụng tính chất của phân thức ta có: d1 v1t sin 3d2 v1t 3 sin d sin 300 ( 3d 2 v1t ) (d1 v1t ) 3 sin sin 3d2 d1 3 sin sin 8 Một số cách giải bài d1’ d 3d 2 d1 3 sin sin O Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mặt khác, tacó: sin sin(1800 3 sin(300 3 sin d sin 300 ) sin(300 ) sin( 3 cos 2 ) 3(sin 300 cos 3 cos 2 d1 )sin 300 d ( 3d2 3 cos 2 1 sin 2 3 cos sin )2 3 1  ymax= 2 Lúc đó: d1' sin 300 (( 3)2 12 ).(cos 2 cos sin d 2' sin1200 sin 3d 2 d1 . y Khoảng cách giữa hai vật dmin ymax với y = ( 3 cos Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: ( 3 cos 3 sin 2 3d2 d1 cos 30 0 sin ) 3d 2 d1 1 1 sin sin 2 2 3d2 d1 3 cos sin Vậy d ) 2 3 300 và sin1200 ' .d1 sin 300 3d1' cot g d2' sin 2 ) sin )2 1200 90(m) Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d2’ = 90(m) F Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ: m Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2. M Hệ số ma sát giữa M và m là k1. Tác dụng một lực F lên M theo phương hợp với phương ngang một góc Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.tính góc tương ứng? BÀI GIẢI y + Xét vật m: P1 N1 Fms 21 ma (1). Chiếu lên Ox: Fms21= ma Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 Fms21= k1.N1 = k1.mg a1 N1 Fmn 21 m k1mg m N2 Fms12 Fms 21 N1 = P1 P1 P2 k1 g . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1mg. 9 Một số cách giải bài F O Fms a1 . x Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Xét vật M: F P2 P1 N2 Fms12 Fms (M m)a2 . Chiếu lên trục Ox: F cos Chiếu lên Oy: F sin Ta có: Fms12 k1mg Fms12 Fms ( P1 P2 ) N 2 0 (M N2 m)a2 P1 P2 Fms k2 N 2 k2 ( P1 P2 F sin ) F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) a2 M m F cos k1mg k2 ( P1 P2 Khi vật trượt a1 a2 k1 g M m k1 g ( M m) F (cos k2 sin ) k1mg k2 ( P1 P2 ) (k1 k2 ) Mg (2k1 k2 )mg cos k2 sin F Nhận xét: Fmin y ymax Vậy Lúc đó: Fms12 M m Fms F sin F sin ) (k1 k2 ) Mg (2k1 k2 ) mg y ymax . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: k2 sin )2 (cos F cos a2 (12 k2 2 )(cos 2 sin 2 ) 1 k2 2 1 k2 2 . Fmin sin cos (k1 k2 )Mg (2k1 k2 )mg 1 k2 2 k2 1 tg k2 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một A thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tường thẳng đứng. Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh. Trong B quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng. BÀI GIẢI Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi được một đoạn l = u.t. Độ cao mà con kiến đạt được: u h B 10 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- h l sin L2 v 2t 2 L với sin ut sin u 22 2 4 u L t v .t y L L Vói y = L2t 2 v 2 .t 4 Đặt X = t2 h Nhận xét: hmax Parabol ymax L4 4( v 2 ) ymax 4a L4 tại X 4v 2 v2 X 2 L. X y là tam thức bậc hai có a = - v2 < 0 ymax . 2 ymax y L4 4v 2 L2 2v 2 b 2a Vây độ cao mà con kiến đạt được là : hmax Bài toán 2: Cho mạch điện như hình vẽ: u AB A 200 2 cos100 t (V ). R 100( ); C 10 ymax tại đỉnh u ymax L R L u.L 2v C B 4 (F ) Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm . Hãy xác định L để hiệu điện thế UL đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI + Cảm kháng: Z L L , dung kháng ZC + Tổng trở: Z R 2 ( ZC Ta (R2 U 1 ZC 2 ). 2 ZL b' a 1 ZL Thay số : L ZC 2 R ZC 2 1002 1002 100.100 UL 2Z C . 1 1 ZL I .Z L U .Z L Z U .Z R 2 ( Z L ZC )2 U y ymin, với y là tam thức bậc hai có a = R2+ZC2 > 0 + Nhận xét: để ULmax nên ymin tại đỉnh Parabol x 100( ) Z L )2 có: UL 1 C R 2 ZC 2 ZC ZL 2 L (H ) 11 Một số cách giải bài R 2 ZC 2 ZC L R 2 ZC 2 ZC Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- U R 2 ZC 2 U L max 200 2(V ) R Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để UC cực đại ta làm tương tự như trên và kết quả: U R2 U C max ZC 2 R khi ZC R2 Z L 2 ZL 4. Áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin: Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc . Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc 600 . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động? Xét tại thời điểm t : Vật A ở A Vật B ở B’ Khoảng cách d = A’B’ Ta có: ’ BÀI GIẢI d sin d sin d sin AO vt BO vt sin sin BO AO 10 sin sin sin sin 10 O A’ A với 2cos 2 10sin 600 d .sin 2 Nhận xét: dmin B sin 2 (sin 2 B’ 5 3 d 0 2 cos 60 .sin 1200 2 ) 1 dmin V1 Bài toán 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho biết: L 0.9 5 3(cm) L,r ( H ) , UMN không đổi, B M C thay đổi, RA = 0, RV rất lớn, tần số của dòng điện f = 50Hz ; r = 90( ). Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C C V2 A để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc cực đại. 12 Một số cách giải bài N 2 thì UC đạt giá trị Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BÀI GIÀI Mạch điện được vẽ lại : Ta có : Z L L 90( ) đồ véc tơ: Từ giản đồ véc tơ ta có: UL ZL + tg 1 Ur r U UC + MN sin sin( 1 ) 1 1 4 C B . N A U MN .sin( sin UC L,r M ) 1 V1 V2 Mà UC 1 2 2 U MN sin( 1 sin 4 ) UL 4 2U MN sin( U BM ) 1 4 Nhận xét: UC cực đại khi sin( 1 ) 1 1 2 =1 Ur 1 o Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau 2 (U BM ,U MN ) 2 1 2 2 2 U MN Điều phải chứng minh 5. Dùng phương pháp đạo hàm: Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ: u AB 200 2 cos100 t (V ). R A 4 R 100( ); C UC 10 (F ) 2 L Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được. Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. BÀI GIẢI Dung kháng: ZC Tổng trở : Z 1 C 200( ) R 2 (Z L ZC )2 ; Z AM R2 ZL2 13 Một số cách giải bài C M B Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta có : U AM U .Z AM Z I .Z AM Nhận xét: UAM cực đại y ' ZL R2 U Z L 2 2Z C Z L R2 Z L2 ZC 2 1 Z C 2 2Z C Z L R2 Z L2 Z C 2 2Z C Z L R2 Z L 2 Đăt y = 1 y' U U AM y ymin 2ZC ( Z L 2 ZC Z L R 2 ( R 2 Z L 2 )2 0 ZL 2 ZC Z L R ZC 2 4 R 2 ZC . 2 0 ZC 2 4 R 2 ZC ZL 2 241( ) hoặc 0 (loại). 2 Bảng biến thiên: ZL y’ y 0 241 0 - + + ymin Vậy, khi ZL = 241( ) U AM max U ( 4R 2 ZC 2 L = 0,767(H) thì ymin ZC ) UAM cực đại. 482( ). 2R Bài toán 2: Cho mạch điện như hình vẽ: C R A L B M uAB U 2 cos t R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi. Tụ C có điện dung thay đổi . Tìm C để UAM cực đại? Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI U AM I .Z AM U .Z AM R 2 ( Z L ZC ) 2 2 1 UAM cực đại khi y = ymin . 14 Một số cách giải bài U U AM Z L 2Z L ZC R 2 ZC 2 U y Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi ZC UAM cực đại. U AM max U ( 4R2 Z L 2 2R ZL ) 2 khi C ( 4R 15 Một số cách giải bài 2 ZL2 ZL 4R2 Z L2 2 ZL thì ymin và Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- C. KẾT LUẬN Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy “các cách giải bài toán Vật lý ” tìm giá trị cực đại, cực tiểu của các đại lượng vật lý được nêu trên đã phát huy được những ưu điển , đã cũng cố được cách làm bài tập Vật lý cho học sinh. Đây là một đề tài được áp dụng để giải các bài toán tương đối khó trong Vật lý, nên với kiến thức cá nhân còn hạn chế, đề tài thì quá rộng nên bài viết còn những sai sót nhất định. Tha thiết kính mong quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài được , hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Người thực hiện 16 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- – 2.Gi - - 4. :Lê Nguyên Long 17 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ………………………………………………………………………………………. .……………………………………………………………………………………… ..…………………………………………………………………………………… …..………………………………………………………………………………… ……..……………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………… ……………..……………………………………………………………………… ………………..…………………………………………………………………… …………………..………………………………………………………………… ……………………..……………………………………………………………… ………………………..…………………………………………………………… …………………………..………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………… ………………………………..…………………………………………………… …………………………………..………………………………………………… ……………………………………..……………………………………………… ………………………………………..…………………………………………… …………………………………………..………………………………………… ……………………………………………..……………………………………… ………………………………………………..…………………………………… …………………………………………………..………………………………… ……………………………………………………..……………………………… ………………………………………………………..…………………………… …………………………………………………………..………………………… ……………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………..…………………… …………………………………………………………………..………………… ……………………………………………………………………..……………… ………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………..………… ……………………………………………………………………………..……… ………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………. .……………………………………………………………………………………… 18 Một số cách giải bài Sáng kiến kinh nghiệm --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ..…………………………………………………………………………………… …..………………………………………………………………………… 19 Một số cách giải bài
- Xem thêm -