MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

  • Số trang: 87 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 136 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Giáp MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2011 Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Sơ lược về phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Một số định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Tính chất số học của dãy số 17 2.1. Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Tính chất số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1 2.3. Tính chính phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 60 Chương 3. Giới hạn của dãy số 3.1. Giới hạn của tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. Dãy con và sự hội tụ của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Dãy số xác định bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 2 Lời nói đầu Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số. Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương. . . , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề. Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số. Luận văn được trình bày với 3 chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Chương 2. Tính chất số học của dãy số. Chương này trình bày một số vấn đề về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương. . . và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể. 3 Chương 3. Giới hạn của dãy số. Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Luận văn được hoàn thành với sự quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Văn Quốc, thày đã tận tình chỉ bảo cách tập nghiên cứu khoa học, cách làm và trình bày bản luận văn này đồng thời thày cũng có nhiều ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất tới thày. Nhân dịp này tác giả cũng xin cảm ơn khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau đại học, phòng Công tác chính trị sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt hai năm học cũng như trong quá trình làm luận văn, cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Trung Ngạn đã giúp đỡ cho tác giả trong công tác và trong học tập thời gian qua, tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Thành Giáp 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số 1.1.1. Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u :N∗ 7−→ R n 7−→ u(n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1 , u2 , ..., un , .... Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Mỗi hàm số u xác định trên tập M = 1, 2, 3, . . . , m với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , ..., um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Dãy số (un ) được gọi là: • Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un với mọi n = 1, 2, ... 5 • Dãy đơn điệu không giảm nếu un+1 ≥ un với mọi n = 1, 2, ... • Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un với mọi n = 1, 2, ... • Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 ≤ un với mọi n = 1, 2, ... Dãy (un ) được gọi là: • Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M , với mọi N = 1, 2, ... • Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi N = 1, 2, ... • Dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Dãy số (un ) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu un+k = un , với mọi n ∈ N. Dãy số (un ) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với mọi n ≥ N0 . (C là hằng số, gọi là hằng số dừng) 1.1.2. Cách cho một dãy số Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: Ví dụ xét dãy số (un ) được cho bởi √ √ 1  1 − 5 n 1  1 + 5 n −√ . un = √ 2 2 5 5 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: Dãy số (un ) được xác định bởi   u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, ... Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ xét dãy số (un ) được cho bởi: a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 bằng số dư của phép chia an + an+1 cho 100. 6 1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3.1. Cấp số cộng Định nghĩa 1.1.1. Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d khác 0) nếu un = un−1 + d với mọi n = 2, 3, ... Tính chất: 1. un = u1 + (n − 1)d. 2. uk = uk−1 + uk+1 với mọi k = 2, 3, ... 2 3. Nếu cấp số cộng có hữu hạn phần tử u1 , u2 , ..., un thì u1 +un = uk +un−k với mọi k = 2, 3, ..., n − 1 và Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.2. n n (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d]. 2 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.1.2. Dãy số u1 , u2 , u3 , ... được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q khác 0 và khác 1) nếu un = un−1 q với mọi n = 2, 3, ... Tính chất: 1. un = u1 q n−1 với mọi n = 2, 3, .... 2. u2k = uk−1 · uk+1 với mọi k = 2, 3, ... 3. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.3. u1 (q n − 1) . q−1 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.3. Dãy u1 , u2 , ... được xác định như sau:   u1 = 1, u2 = 1  un = un−1 + un−2 , với mọi n = 2, 3, ... 7 được gọi là dãy Fibonacci. Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là: √ √ 1  1 + 5 n 1  1 − 5 n un = √ −√ . 2 2 5 5 1.1.4. Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.1.4. Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương ε (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0 ∈ N (n0 có thể phụ thuộc vào ε và vào dãy số (un ) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n ∈ N, n ≥ n0 ta luôn có |un − a| < ε. Khi đó kí hiệu lim un = a hoặc n→+∞ lim un = a và còn nói rằng dãy số (un ) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. Định lý 1.1.5. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass). a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 1.1.7. Nếu (un ) → a và (vn ) ⊂ (un ), (vn ) 6= C thì (vn ) → a. Định lý 1.1.8 (định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi n ≥ n0 ta đều có un ≤ xn ≤ vn và lim un = lim vn = a thì lim xn = a. Định lý 1.1.9 (định lý Lagrange). Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a). Định lý 1.1.10 (định lý trung bình Cesaro). Nếu dãy số (un ) có giới hạn u + u + · · · + u  1 2 n cũng có giới hạn hữu hạn là a thì dãy các trung bình cộng n 8 là a. Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Định lý 1.1.11 (định lý Stolz). Nếu lim (un+1 − un ) = a thì n→+∞ un = a. n→+∞ n lim Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a = 0. Vì lim (un+1 − un ) = a nên với mọi ε > 0 luôn tồn tại N0 sao cho với mọi n→+∞ n ≥ N0 , ta có |un+1 − un | < ε. Khi đó, với mọi n > N0 ta có u  ε 1 1 n |uN0 | + |uN0 +1 − uN0 | + · · · + |un − un−1 | < |uN0 | · + (n − N0 ) · ≤ n n n n 1 Giữ N0 cố định, ta có thể tìm được N1 > N0 sao cho < ε. Khi đó với N1 |uN0 | u un n = 0. mọi n > N1 , ta sẽ có < 2ε. Vậy nên lim n→+∞ n n Định lý 1.1.12. Cho f : D → D là hàm liên tục. Khi đó 1) Phương trình f (x) = x có nghiệm ⇔ phường trình fn (x) = x có nghiệm. 2) Gọi α, β là các mút trái, mút phải của D. Biết lim+ [f (x) − x] và x→α lim [f (x)−x] cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó, phương trình f (x) = x x→β − có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình fn (x) = x có nghiệm duy nhất. Trong đó fn (x) = f (............f (x)). | {z } (n−1) lần f Chứng minh. 1) a) nếu x0 là nghiệm của phương trình f (x) = x thì x0 cũng là nghiệm của phương trình fn (x) = x. b) Nếu phương trình f (x) = x vô nghiệm thì f (x) − x > 0 hoặc f (x) − x < 0 với mọi x ∈ D. Do đó fn (x) − x > 0 hoặc fn (x) − x < 0 với mọi x ∈ D nên phương trình fn (x) = x cũng vô nghiệm. 2) a) Giả sử phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng 9 là một nghiệm của phương trình fn (x) = x. Đặt F (x) = f (x) − x, do F (x) liên tục trên (x0 ; β) và (α; x0 ) nên F (x) giữ nguyên một dấu. Nếu lim [f (x)−x] và lim [f (x)−x] cùng dương thì F (x) > 0 trong khoảng x→β − x→α+ (x0 ; β) và (α; x0 ), suy ra f (x) > x với mọi x ∈ D \ {x0 }. Xét x1 ∈ D \ {x0 } suy ra f (x1 ) > x1 ⇒ f (f (x1 )) > f (x1 ) > x1 . Từ đó, ta có fn (x1 ) > x1 nên x1 không là nghiệm của phương trình fn (x) = x. Vậy phương trình fn (x) = x có nghiệm duy nhất x = x0 . Trường hợp lim+ [f (x) − x] và lim− [f (x) − x] cùng âm được chứng minh x→α x→β tương tự. b) Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f (x) = x đều là nghiệm của phương trình fn (x) = x, do đó nếu phương trình fn (x) = x có nghiệm duy nhất thì phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất. Định lý 1.1.13. Cho hàm f : D → D là hàm đồng biến, dãy (xn ) thỏa mãn f (xn ) = xn+1 với mọi n ∈ N∗ . Khi đó: a) Nếu x1 < x2 thì dãy (xn ) tăng. b) Nếu x1 > x2 thì dãy (xn ) giảm. Chứng minh. a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1 ta có x1 < x2 , mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥ 1) tức là xk < xk+1 . Do f (·) là hàm đồng biến nên f (xk ) < f (xk+1 ), suy ra xk+1 < xk+2 . b) Chứng minh tương tự. Định lý 1.1.14. Cho hàm f : D → D là hàm nghịch biến, dãy (xn ) thỏa mãn xn+1 = f (xn ) với mọi n ∈ N∗ . Khi đó: a) Các dãy (x2n+1 ) và (x2n ) đơn điệu, trong đó có một dãy tăng và một dãy giảm. b) Nếu dãy (xn ) bị chặn thì tồn tại α = lim x2n và β = lim x2n+1 . 10 c) Nếu f (x) liên tục thì α và β là các nghiệm của phương trình f (f (x)) = x. (1.1) Vì vậy nếu (1.1) có nghiệm duy nhất thì α = β và lim xn = α = β. Chứng minh. a) Vì f (x) là hàm nghịch biến nên f (f (x)) là hàm đồng biến. Áp dụng định lý 1.1.6, ta có điều phải chứng minh. b) Suy ra từ a). c) Ta có f (f (x2n )) = f (x2n+1 ) = x2n+2 và lim f (f (x2n )) = lim x2n+2 = α, lim x2n = α do f (x) liên tục nên f (f (α)) = α. Chứng minh tương tự ta có f (f (β)) = β. Vậy α, β là nghiệm của phương trình f (f (x)) = x. 1.2. Sơ lược về phương pháp sai phân Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R. Đặt xk = x0 + kh (k ∈ N∗ ) với x0 ∈ R, h ∈ R bất kỳ, cho trước. Gọi yk = f (xk ), khi đó hiệu số ∆yk := yk+1 − yk , k ∈ N∗ được gọi là sai phân cấp một của hàm số f (x). Hiệu số ∆2 yk := ∆yk+1 − ∆yk = ∆(∆yk ) (k ∈ N∗ ) được gọi là sai phân cấp hai của hàm số f (x). Tổng quát ∆i yk := ∆i−1 yk+1 − ∆i−1 yk = ∆(∆i−1 yk ), k ∈ N∗ được gọi là sai phân cấp i của hàm số f (x) (i = 1, 2, ..., n, ...) Mệnh đề 1.2.2. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y0 , y1 , y2 , ..., yn , ... 11 Định nghĩa 1.2.3. Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp k f (yn , ∆yn , ∆2 yn , ..., ∆k yn ) = 0 (1.2) Vì sai phân các cấp có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên ta có thể viết phương trình dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n) (1.3) trong đó a0 , a1 , ..., ak , f (n) là các giá trị đã biết, còn yn , yn+1 , ..., yn+k là các giá trị chưa biết. Hàm số yn thỏa mãn (1.2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.2). Phương trình a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k. Để giải phương trình này, chúng ta làm như sau: Bước 1. Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = 0. (1.4) Để giải phương trình trên, ta xét phương trình đặc trưng a0 λk + a1 λk−1 + · · · + ak−1 λ + ak = 0. (*) Khi đó nếu (∗) có k nghiệm thực khác nhau λ1 , λ2 , ..., λk thì nghiệm tổng quát của (1.4) là ŷn = c1 λn1 + c2 λn2 + · · · + ck λnk trong đó c1 , c2 , .., ck là các hằng số tùy ý. Nếu (∗) có nghiệm thực λj bội s thì nghiệm tổng quát của (1.4) là ŷn = s−1 X cj+i n i  λnj i=1 + k X i=1,i6=j 12 ci λni . (1.5) Nếu phương trình (∗) có nghiệm phức đơn λj = r(cos θ + i sin θ) thì cũng có nghiệm λj = r(cos θ − i sin θ). Đặt λj+1 = λj . Để thu được công thức tổng quát, trong công thức (1.5) ta thay bộ phận cj λnj + cj+1 λnj+1 bởi bộ phận tương ứng cj rn cos nθ + cj+1 rn sin nθ. Nếu phương trình (∗) có nghiệm phức bội s: λj = λj+s+1 = ... = λj+2s−1 = r(cos θ − i sin θ). Trong trường hợp này để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (1.5) ta thay bộ phận cj λnj + cj+1 λnj+1 + · · · + cj+2s−1 λnj+2s−1 bởi bộ phận tương ứng s−1 X i  n cj+i n r cos nθ+ s−1 X i=0 i  cj+s+i n rn sin nθ i=0 Bước 2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. Nghiệm tổng quát có dạng yn = ŷn + yn∗ trong đó yn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k, ŷn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng và yn∗ là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. 13 1.3. Số học 1.3.1. Đồng dư thức 1.3.1.1. Định nghĩa Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m (m 6= 0) mà có cùng số dư thì ta nói a đồng dư với b theo modun m, kí hiệu là a ≡ b(mod m). Như vậy a ≡ b(mod m) ⇔ a − b chia hết cho m. Hệ thức dạng: a ≡ b(mod m) gọi là một đồng dư thức, a gọi là vế trái của đồng dư thức, b gọi là vế phải, còn m gọi là môđun. 1.3.1.2. Một số tính chất Kí hiệu a, b, c, d, m, ... là các số nguyên dương (Z+ ), ta luôn có: Tính chất 1. • a ≡ a(mod m). • a ≡ b(mod m) ⇔ b ≡ a(mod m). • a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) thì a ≡ c(mod m) Tính chất 2. Nếu a ≡ b(mod m) và c ≡ d(mod m) thì: • a ± c ≡ b ± d(mod m), • ac ≡ bd(mod m), b m a • Nếu d là một ước chung của a, b, m thì ≡ mod . d d d Tính chất 3. Nếu a ≡ b(mod m) và c ∈ Z+ thì ac ≡ bc(mod mc). 1.3.1.3. Một số kiến thức liên quan . • Với mọi a, b ∈ Z+ (a 6= b) và n là số tự nhiên: (an − bn )..(a − b); 14 • Trong n số nguyên liên tiếp (n ≥ 1) có một và chỉ một số chia hết cho n; • Lấy n + 1 số nguyên bất kỳ (n ≥ 1) đem chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có cùng số dư (theo nguyên lý Dirichlet). • Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số dư khi chia A cho 10m . 1.3.2. Một số định lý cơ bản của số học 1.3.2.1. Định lý Euler Hàm số Euler-µ(m): Cho hàm số µ(m) được xác định như sau • m = 1, ta có µ(m) = 1, • m > 1 thì µ(m) là các số tự nhiên không vượt quá m − 1 và nguyên tố với m. Công thức tính µ(m): Bước 1. Nếu m = pα (p là số nguyên tố, α là số tự nhiên khác 0). Ta có α α µ(m) = µ(p ) = p  1 . 1− p αn 1 α2 Bước 2. Nếu m = pα 1 p2 · · · pn (pi là các số nguyên tố, αi là số tự nhiên khác 0). Ta có   1 1 1  1− ··· 1 − . µ(m) = m 1 − p1 p2 pn Định lý 1.3.1 (định lý Euler). Cho m là số tự nhiên khác 0 và a là số nguyên tố với m. Khi ấy, ta có aµ(m) ≡ 1(modm). 15 1.3.2.2. Định lý Fermat Định lý 1.3.2 (định lý Fermat). Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p. Khi ấy, ta có ap−1 ≡ 1(modp). Đối với số nguyên a bất kỳ ta có ap ≡ a(modp). 16 Chương 2 Tính chất số học của dãy số Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số. Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. . . các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau. . . Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học. 2.1. Tính chia hết Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đó dựa vào các định lý về đồng dư để chứng minh sự chia hết. Việc xác định số hạng tổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặc thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất. 17 Bài tập 2.1.1. Dãy số (un ) được xác định như sau:   u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, ... Chứng minh rằng u1996 chia hết cho 1997. Lời giải. Ta tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân. Công thức truy hồi của dãy là tuyến tính nhưng không thuần nhất, do vậy ta đặt un = vn + c để có công thức truy hồi vn+1 = 4vn + 5vn−1 . Ta có vn+1 + c = 4(vn + c) + 5(vn−1 + c) − 1975 ⇔ vn+1 = 4vn + 5vn−1 + 8c − 1975. Do đó c = 1975 . Khi đó dãy (vn ) được xác định như sau: 8  1919 1575    v1 = − , v2 = −   8 8        vn+1 = 4vn + 5vn−1 , n = 2, 3, 4, ... Phương trình đặc trưng: x2 − 4x − 5 = 0 có hai nghiệm x1 = 5 và x2 = −1 2005 1747 , c2 = . nên vn = c1 5n +c2 (−1)n . Cho n = 1, n = 2 ta tìm được c1 = − 120 12 Do đó vn = − 1747 n 2005 1747 n 2005 1975 ·5 + · (−1)n ⇒ un = − ·5 + · (−1)n + . 120 12 120 12 8 Với n = 1996, ta có u1996 = − 1747 1996 9935 −1747 · 51996 + 49675 ·5 + = . 120 24 120 Do 1997 là số nguyên tố nên 51996 ≡ 1(mod1997). Nên −1747 · 51996 + 49675 ≡ 0(mod1997). Lại có 51996 = 25998 ≡ 1(mod3) nên −1747 · 51996 + 49675 ≡ −1747 + 49675 ≡ 0(mod3). 18
- Xem thêm -