MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
GV: HOÀNG TRỌNG ANH
Trong các kì thi ĐH-CĐ của các năm gần đây thì dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng luôn
có trong đề thi, nó thường rơi vào câu điểm 7 – 8 (thang 10 điểm). Để giải được dạng toán này, các em phải có
vốn kiến thức cơ bản liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng và biết phân chia các dạng toán và nắm được phương
pháp giải. Trong chuyên đề, tôi sẽ đưa ra một số dạng toán chủ yếu liên quan đến phương trình đường thẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1 – KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Toạ độ điểm và vectơ.
a) Toạ độ điểm: OM xi y j M x; y .
Cho A( xA ; yA ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) . Khi đó:
+ AB xB xA ; yB y A ; A xA ; y A ; B xB ; yB AB
xB xA yB y A
2
2
x x y yB
+ Công thức tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì I A B ; A
;
2
2
x x x y yB yC
+ Công thức tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABCthì: G A B C ; A
3
3
b) Toạ độ vectơ: Định nghĩa : u xi y j u x; y
;
Cho u x; y ; u ' x '; y ' . Ta có:
x x '
+ Hai vecto bằng nhau : u u '
;
y y'
x kx '
+ Hai vecto cùng phương: u, u ' cùng phương
xy ' x ' y .
y ky '
+ Các phép toán vecto: u u ' x x '; y y ' ; ku kx; ky ;
+ Tích vô hướng 2 vecto : u.u ' x.x ' y. y ' , chú ý : u u ' xx ' yy ' 0
+ Độ dài vectơ : u x; y u x 2 y 2 .
+ Góc giữa hai vectơ: cos u; u '
u.u '
u . u'
x.x ' y. y '
x 2 y 2 . x '2 y '2
.
2. Phƣơng trình đƣờng thẳng.
a) Phương trình tổng quát.
Đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n (a; b) thì : a( x x0 ) b( y y0 ) 0
b) Phương trình tham số.
x x 0 at
Đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u (a; b) thì :
y y 0 bt
x x 0 at
Điểm M thuộc :
thì M(x0 + at; y0 + bt).(Tham số hóa tọa độ điểm thuộc đthẳng).
y y 0 bt
c) Phương trình chính tắc.
x x0 y y0
Đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) và vectơ chỉ phương u (a; b) , với ab 0 , thì :
a
b
d) Phương trình đoạn chắn.
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
1
x y
1
a b
Chú ý: 1) Đường thẳng có hệ góc k thì có dạng: y = kx + b. Do đó phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua (x0;
y0) vaø coù heä soá goùc k: y = k(x - x0) + y0
u
2) Mối liên hệ giữa vec tơ chỉ phương và hệ số góc: k 2 , với u u1; u2 là vec tơ chỉ phương.
u1
3) Hai đường thẳng và ’ có hệ số góc là k và k’. Khi đó: / / ' k k '; ' k.k ' 1 .
3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
ax by c 0
Cho : ax + by + c = 0 vaø ’ : a’x + b’y +c’ = 0. Xeùt heä phöông trình:
a ' x b ' y c ' 0
- TH1: heä coù duy nhaát moät caëp nghieäm thì hai ñöôøng thaúng caét nhau;
- TH2: heä voâ nghieäm thì hai ñöôøng thaúng song song;
- TH3: heä coù voâ soá nghieäm thì hai ñöôøng thaúng truøng nhau.
Chuù yù: Coù theå xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Nếu a’, b’, c’ khaùc 0 thì:
a b
+ TH 1:
thì hai ñöôøng thaúng caét nhau;
a' b'
a b c
+ TH 2 :
thì hai ñöôøng thaúng song song;
a' b' c'
a b c
+ TH 3:
thì hai ñöôøng thaúng truøng nhau.
a' b' c'
4. Khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng.
ax 0 by0 c
Cho : ax + by + c = 0 vaø M(x0; y0). Ta coù: d ( M , )
.
a2 b2
5. Góc giữa hai đƣờng thẳng.
Cho : ax + by + c = 0 vaø ’ : a’x + b’y +c’ = 0. Với n, n ' là các vectơ pháp tuyến của vaø ’, goïi
Đường thẳng qua A(a; 0) và B(b; 0), với ab 0 , thì :
laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng đó, ta coù: cos
| n.n ' |
a.a ' b.b '
.
| n | . | n' |
a2 b2 a '2 b '2
Chú ý: Có thể sử dụng công thức trên một cách tương tự với cặp vectơ chỉ phương của vaø ’.
6. Đƣờng phân giác của hai đƣờng thẳng.
+ Cho : ax + by + c = 0 vaø ’ : a’x + b’y +c’ = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo
ax by c
a' x b' y c'
bởi 2 đường thẳng đó là:
2
2
a b
a '2 b'2
* Lƣu ý: Xét phía của hai điểm A( x A ; yA ) và B( xB ; yB ) đối với đường thẳng d: ax by c 0 .
+ Nếu axA byA c axB byB c 0 thì A và B cùng một phía so với d;
+ Nếu axA byA c axB byB c 0 thì A và B khác phía so với d.
2 - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Dạng 1: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN
* Trƣờng hợp 1: Viêt phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm M1 ( x1; y1 ) và M 2 ( x2 ; y2 )
Phƣơng pháp: + VTCP ud M1M 2 ( x2 x1; y2 y1 ) . Suy ra VTPT nd ( y1 y2 ; x2 x1 )
x x1 ( x2 x1 )t
Vậy phương trình tham số của d di qua M1 ( x1; y1 ) và có véc tơ chỉ phương ud là:
(t R )
y y1 ( y2 y1 )t
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
2
Ptrình tổng quát của d qua M1 ( x1; y1 ) có véc tơ pháp tuyến nd là: ( y1 y2 )( x x1 ) ( x2 x1 )( y y1 ) 0 .
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(3;-2), B(5;1)
x 3 2t
Giải: Đthẳng d qua A(3;-2) và nhận ud AB (2;3) làm VTCP, suy ra d có phương trình tham số:
y 2 3t
VTCP ud AB (2;3) VTPT nd (3; 2) .
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(3;-2) là: 3(x-3)-2(y+2)=0 3x-2y-13=0
* Trƣờng hợp 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k.
Phƣơng pháp: Áp dụng công thức y y0 k ( x x0 ) kx y y0 kx0 0 là phương trình tổng quát.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua E(3;-4) và có hệ số góc k
2
5
2
Giải: Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: y 4 ( x 3) 2 x 5 y 26 0
5
* Trường hợp 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và song song với : ax by c 0
Phƣơng pháp: Đường thẳng có VTPT n (a; b) đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và song song nên nhận
véc tơ n (a; b) làm véc tơ pháp tuyến. Vậy ta có phương trình tổng quát là: a( x x0 ) b( y y0 ) 0 .
Lưu ý: Hai đường thẳng song song có cùng vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương.
Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của d đi qua M(1;3) và song song với đường thẳng : 2x-y 3 0 .
Giải: Phương trình của d có dạng 2x+y+c=0. Vì M (1;3) d 2 3 c 0 c 5 .
Vậy d có phương trình tổng quát: 2x+y-5=0
* Trường hợp 4: Viết phương trình tổng quát của d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và vuông góc với : ax by c 0 .
Phƣơng pháp: Đường thẳng có VTPT n (a; b) đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và vuông góc nên nhận
véc tơ n (a; b) làm véc tơ chỉ phương, suy ra nd (b; a) .
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) là: b( x x0 ) a( y y0 ) 0 .
Ví dụ 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(13;4) và vuông góc với : 2x-5y 1 0 .
Giải: Đường thẳng có VTPT n (2; 5) đường thẳng d đi qua M(13;4) và nên nhận véc tơ n (2; 5)
làm VTCP vậy VTPT n (5; 2) . Phương trình tổng quát là: 5x 2 y 77 0
Bài 1: Cho đường thẳng d: x 3y 1 0 và điểm M(1; -2).
a) Tìm một vecto pháp tuyến của đường thẳng?
b) Điểm M có thuộc d không? Hai điểm N và P thuộc d.
c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M và song song với d.
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M và vuông góc với d.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng biết rằng:
a) Đi qua A(1; 0) và B(0; -3);
b) Đi qua M(3; 4) và có hệ số góc là k = 2;
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
3
x 1 t
c) Đi qua N(2; 3) và song song với d1 :
;
y 2t
d) Đi qua P(1; -3) và vuông góc với d2 : 2 x 3 y 1 0 ;
x 1 t
e) Đi qua giao điểm của d1 :
và d2 : 2 x 3 y 1 0 và vuông góc với d : y 5x 4 .
y 2t
Bài 3: Chuyển các phương trình tổng quát sau về dạng tham số.
a) x y 1 0 ;
b) 2 x y 5 0 ;
c) 3x 4y 1 0 ;
d) 2 x 3y 4 0 .
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 0) và điểm B(0; 5).
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1) và cắt các tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho:
a) Diện tích OAB nhỏ nhất;
b) Tổng OA + 4OB nhỏ nhất;
9
4
c) Tổng OA + OB nhỏ nhất;
d) Tổng
nhỏ nhất.
2
OA OB 2
Hướng dẫn: Giả sử A(a; 0) và B(0; b). Câu a, sử dụng BĐT Cauchy.
Câu b, sử dụng 2 lần BĐT Cauchy.
Câu c, rút b theo a và sử dụng BĐT Cauchy.
Câu d, sử dụng BĐT Bunhiakopxki.
*******************************************************************************************
Dạng 2: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG VÀ GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG.
PP: Xem các vị trí tương đối của hai đường thẳng và cách xét góc giữa hai đường thẳng.
Bài 6: Hãy xét vị trí tương đối, tìm tọa độ giao điểm (nếu có) và tính cosin góc giữa các cặp đường thẳng sau:
x 1 t
a) d: x 2 y 1 0 và d’: 5x 4 y 1 0 ;
b) d: x y 3 0 và d’:
;
y 2 t
x 1 2t
x 5 t
x t
c) d:
và d’:
;
d) d:
và d’: x y 2 0 .
y 2 3t
y 1 t
y 2 t
Bài 7: Cho ba điểm A(-4; 1); B(0; 2) và C(3; -1).
a) Chứng minh ba điểm lập thành một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
c) Tính cosin góc ABC và cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và BC.
d) Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AM.
e) Viết phương trình tham số đường trung tr c của đoạn BC.
f) Viết phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A, từ đó suy
ra diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn:
c) cos BAC cos AB; AC
AB. AC
AB . AC
;
e) Đường trung trực của BC là đường qua trung điểm BC và nhận BC là vecto pháp tuyến.
Bài 8: Trong hệ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA:
3x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. (CĐ-2011).
Bình luận: Trong một số đề thi, việc viết một phương trình đường thẳng d biết đường thẳng d qua một điểm và
tạo với một đường thẳng một góc (hoặc biết cos ) là bài toán phụ rất quan trọng. Muốn giải được các bài
toán phức tạp hơn, các em phải nắm chắc phương pháp dạng này.
PP: - Gọi vecto pháp tuyến của là n (a; b) .
- Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng thông qua cos cos n, n ' .
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
4
- Từ đó suy ra phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b. Do đó ta được nghiệm a/b nên ta có thể chọn
được n (a; b) và viết được phương trình d.
Bài 9: Cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết phương trình d’ qua A(2; -1) và tạo với đường thẳng d một góc
1
sao cho cos
.
10
Giải: Gọi vecto pháp tuyến của d’ là n (a; b) . Do d có vecto pháp tuyến n ' (2;-1) và tạo với d’ một góc nên
a
b 1
1
| 2a b |
.
cos cos n, n '
5(a 2 b 2 ) 10(2a b)2 35a 2 5b 2 40ab 0
a
1
10
5. a 2 b2
b 7
a
- Với 1 , chọn a = b = 1. Suy ra d’: 1.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0 x + y – 1 = 0.
b
a 1
- Với , chọn a = 1 và b = 7. Suy ra d’: 1.( x 2) 7(y 1) 0 x 7y 5 0 .
b 7
Bài 10: Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0 và điểm M(2; 1). Viết phương trình d’ qua M và tạo với đường
thẳng d một góc 450.
Bài 11: Cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; -4) và tạo với d một góc
450. (CĐ KA – 2011). ĐS: y + 4 = 0 và x – 2 = 0.
5
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường BC có phương trình: x 7y 31 0 , điểm N 1; thuộc
2
đường AC, điểm M 2; 3 thuộc đường thẳng AB. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có
hoành độ âm.
Hướng dẫn: Cho tam giác ABC vuông cân thì ta tính được cos ABC
2
, do đó ta viết được phương trình
2
đường thẳng AB. Từ đó suy ra tọa độ A, lưu ý A có hoành độ âm.
Bài 13: Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, điểm H(2; -1), phương trình đường BD là: x – y = 0. Gọi M là trung
điểm của CD. Giả sử H là hình chiếu của A lên đường thẳng BM. Viết phương trình đường thẳng AH.
Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình các đường thẳng AC: x 3y 0 , AD: x y 4 0 , điểm
1
M ;1 thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. (ĐH KD 2012)
3
Bài 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 =
0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình
chữ nhật, biết hoành độ A dương.
Hướng dẫn:
x 2 y 1 0
21 13
B ;
- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :
5 5
x 7 y 14 0
- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
21
x 5 t
u 1; 2 nBC 2;1 BC :
.
y 13 2t
5
27
2a b
1
cos AC;BC
+ Mặt khác : cos BD;BC
5.5 2
10
5 a 2 b2
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
5
2a b
a b
1
2
2 2a b a 2 b2 7a 2 8ab b 2 0
10
5 a 2 b2
b 7a
nAC b; b / / n ' 1;1 AC : x 2 y 1 0 x y 1 0
+ Do đó
nAC a; 7a / / n ' 1; 7 AC : x 2 7 y 1 0 x 7 y 5 0
+ Có AC, tìm tọa độ A (lưu ý hoành độ A dương).
+ Tìm tọa độ điểm C.
+ Gọi I là tâm, tìm tọa độ I, có A và I suy ra điểm D.
Lưu ý: Nếu biết tọa độ hai trong ba điểm và biết tỉ lệ vecto giữa các điểm (kể cả tỉ lệ độ dài đoạn trong trường
hợp thẳng hàng) thì ta sẽ tìm được tọa độ của điểm còn lại. Chẳng hạn:
Bài 16: Cho A(2; -5) và M(-1; 3). Tìm tọa độ điểm B sao cho:
a) MB 3MA ;
b) AB 3MA ;
c) MA = 3MB và A, B, M thẳng hàng.
Bài 17: Cho hai đường thẳng d: x y 1 0 , d’: 2 x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -1) và
cắt d, d’ lần lượt tại A và B sao cho MB 2MA .
Hướng dẫn: Tham số hóa tọa độ điểm A, B thuộc d và d’. Suy ra hệ phương trình từ giả thiết MB 2MA .
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, có AD: 2 x y 1 0 , điểm I(-3; 2) thuộc BD sao cho IB 2ID , điểm D
có hoành độ dương và AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Hướng dẫn:
- Có phương trình AD và cos ADB , BD qua I nên ta có thể viết được phương trình BD;
- Có AD và BD, suy ra tọa độ D.
- Có tọa độ I, D và tỉ lệ vecto IB 2ID nên suy ra B.
- Viết phương trình AB qua B vuông góc với AD, suy ra tọa độ A và từ đó suy ra tọa độ điểm C.
Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB và M là trung điểm của đoạn
AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; -1).
(ĐH KA – 2014)
Hướng dẫn: Ta sẽ sử dụng bài toán trên để giải (cách khác đáp án của Bộ)
- Gọi P là giao điểm của MN và CD. Sử dụng tỉ lệ vecto tìm được tọa độ P;
- Vì DN vuông góc với MN nên ta viết được DN;
- Ta tính được cos NDC và dựa vào bài toán trên ta sẽ viết được phương trình của CD.
11
Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), tr c tâm H(9; 7) và trọng tâm là G ;1 . Tìm
3
tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
Bài 21: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(3; -7), tr c tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0).
Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. (ĐH KD – 2010). ĐS: C (2 65;3) .
******************************************************************************************
Dạng 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Phƣơng pháp:
1. Khoảng cách giữa hai điểm.
A xA ; y A ; B xB ; yB AB
xB xA yB y A
2
2
2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng.
- Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tổng quát : ax + by + c = 0.
ax 0 by0 c
- Áp dụng công thức d ( M , )
.
2
2
a b
Lƣu ý dạng toán: Cho A xA ; y A ; B xB ; yB và d: ax + by + c = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho:
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
6
2.1: Độ lớn: h.MA2 + k.MB2 nhỏ nhất (lớn nhất), trong đó h, k là các số cho trƣớc.
PP:
- Tham số hóa điểm M thuộc d bằng cách viết phương trình tham số của d;
- Tính h.MA2 + k.MB2, ta được một biểu thức hai theo t giả sử như h.MA2 + k.MB2= at2 + bt + c, nó đạt
GTNN khi t = -b/2a (nếu a > 0) và GTLN khi t = -b/2a (nếu a < 0). Suy ra t, do đó ta có M.
2.2: Độ lớn MA + MB nhỏ nhất.
PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu A và B khác phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm.
TH2: Nếu A và B cùng phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:
+ Tìm A’ đối xứng với A qua d.
+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng.
2.3: Độ lớn: | MA – MB | lớn nhất.
PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:
TH1: Nếu A và B cùng phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm.
TH2: Nếu A và B khác phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:
+ Tìm A’ đối xứng với A qua d.
+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng.
x 1 2t
Ví dụ: Cho d:
và M(1; -3). Tính d(M,d)=?
y 1 t
Giải: Phương trình tổng quát của d là: x + 2y – 3 = 0. Suy ra: d ( M , d )
1.1 2.(3) 3
12 22
8 8 5
5
5
Bài 22: Tìm trên Ox điểm M cách đường thẳng d: 2x + y – 7 = 0 một khoảng là 2 5 .
x 17 / 2
Hướng dẫn: Gọi M(x; 0) thuộc Ox. Khi đó d ( M; d ) 2 5 | 2 x 7 | 10
x 3 / 2
Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tâm và
2 2
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G( , ) và I(1,-2). Xác định tọa độ đỉnh C.
3 3
7
4
Giải: IM (2;4), GM ;
3 3
Gọi A(xA; yA). Có AG 2 GM A(-4; -2). (Sử dụng tỉ lệ vecto)
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 x + 2y - 7 = 0.. Gọi C(x; y). Có C BC x + 2y - 7 = 0.
Mặt khác IC = IA
( x 1)2 ( y 2)2 25 ( x 1)2 ( y 2)2 25 .
x 2y 7 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
2
2
( x 1) ( y 2) 25
x 5
x 1
Giải hệ phương trình ta tìm được
và
.
y 3
y 1
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).
Bài 24: Cho điểm A(0; 6), B(2; 5) và d: x – 2y +2 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho:
a) MA2 + 5MB2 nhỏ nhất.
b) MA + MB nhỏ nhất.
c) | MA – MB | lớn nhất.
Bài 25: Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thoả mãn:
a) M thuộc d: 3x – y + 1 = 0 và cách đều hai điểm A(1; -2) và B(3; 1);
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
7
x 3 2t
b) M thuộc đường thẳng d :
sao cho M cách N(1 ; -5) một khoảng ngắn nhất;
y 2 t
c) M đối xứng với N(2; -3) qua đường thẳng : 3x 4y 5 0 ;
x 1 t
d) M thuộc :
sao cho M tạo với hai điểm N(-1; 2) và P(3; 1) một tam giác cân tại P.
y
2
t
Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(5; -1). Viết phương trình đường thẳng qua M(3; 5) và
cách đều hai điểm A và B.
Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 4) và N(6; 2). Viết phương trình đường thẳng qua M sao cho:
a) Khoảng cách từ N đến đường thẳng đó bằng 5.
b) Khoảng cách từ N đến đường thẳng đó lớn nhất.
Bài 28: Trong mp Oxy, cho các đường thẳng d1: x – 2y – 3 = 0 và d2: x + y + 1 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc
1
đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 là
. (CĐ– 2009).
2
Bài 29: Trong mp Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1=0 sao cho
khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (ĐH KB – 2004). ĐS: C(7; 3) hoặc C(-43/11; -27/11).
Bài 30: Cho ba đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0; d2: x – y – 4 = 0; d3: x – 2y = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d3
sao cho khoảng cách từ M đến dường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2. (ĐH KA – 2006).
Bài 31: Cho A(-1 ; 4), B và C thuộc đường thẳng d : x – y – 4 = 0, tam giác ABC cân tại A. Xác định B và C sao
cho diện tích tam giác ABC bằng 18. (ĐH KB – 2009) ĐS: B(11/2; 3/2), C(3/2; -5/2).
Bài 32: Trong mp Oxy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Viết phương trình đường thẳng d, biết rằng khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. (ĐH KD – 2010).
Bài 33: Trong mp Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ của N thuộc d sao
6 2
cho ON cắt tại M thỏa OM.ON = 8. (ĐH KB-2011). ĐS: N(0; -2) hoặc N ;
5 5
9 3
Bài 34: Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là M ; , chân đường cao từ B là H(-2; 4), tâm đường
2 2
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-1; 1). Tìm tọa độ điểm C. (ĐH KD-2013)
***************************************************************************************
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC VUÔNG
Chú ý: Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.
Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A, có A(2; -1), trung điểm M(1; 3) của cạnh BC, AB : x y 1 0 . Tìm
tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.
Hướng dẫn: - Tham số hóa tọa độ điểm B theo t.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có AM = MB, suy ra t.
- Vì M là trung điểm của BC nên suy ra tọa độ C.
3
Bài 36: Cho tam giác ABC vuông tại A(3; 2), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 1; , điểm C
2
thuộc d: x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ B và C.
Bài 37: Cho tam giác ABC có M(2; 1) là trung điểm của AC, điểm H(0; -3) là chân đường cao từ A của tam
giác, điểm E(23; -2) thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C, A thuộc d: 2 x 3y 5 0 và C có hoành độ dương.
Bài 38: Cho hình chữ nhật ABCD có A(-4; 8), điểm C thuộc d: 2 x y 5 0 . Điểm M đối xứng với B qua C,
gọi N là hình chiếu của B lên DM, N(5; -4). Tìm tọa độ điểm B và C. (ĐH KA 2013)
******************************************************************************************
Dạng 5: BÀI TOÁN KẾT HỢP PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CAO, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN,
ĐƢỜNG TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC.
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
8
Lƣu ý:
- Nếu giả thiết cho đường cao thì phải khai thác đường trung tuyến.
- Nếu thiết thiết cho đường trung tuyến thì ta sẽ khai thác tính chất trọng tâm, trung điểm thông qua tỉ lệ
vecto. Giao hai đường trung tuyến trong tam giác là trọng tâm của tam giác.
- Nếu giả thiết cho đường trung trực thì ta khai thác tính chất trung điểm (tỉ lệ vecto) và vecto pháp tuyến
của đường trung tuyến đó.
Bài 39: Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao từ A lần lượt có
phương trình: 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. (ĐH KD- 2009).
7 x 2 y 3 0
Giải: + Tọa đọ A thỏa mãn :
A 1; 2
6 x y 4 0
+ Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2)
+ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH : x 3 6 y 2 0 x 6 y 9 0
+ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ :
x 6 y 9 0
3
N 0; . Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)
2
7 x 2 y 3 0
x 1 y 2
Vậy (AC) qua A(1;2) có AC 4; 3 // u 4;3 AC :
3x 4 y 5 0 .
4
3
Bài 40: Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC , biết A 2;2 và hai đường cao
thuộc các đường thẳng d1 : x y 2 0 và d2 : 9 x 3 y 4 0 .
Bài 41: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 3;1 và hai đường trung tuyến có phương trình
d1 : 2 x y 1 0 và d2 : x 1 0
Bài 42: Cho tam giác ABC có phương trình hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt là: 2x – y + 1 = 0 và
x 2 t
, đường thẳng AB có phương trình 5x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC và BC.
y 1 2t
Bài 43: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3), phương trình đường trung tr c của cạnh AB là 3x 2 y 4 0 và
trọng tâm G(4; -2). Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
Bài 44: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(-4; -5) và hai đường cao của tam giác ABC có
phương trình d1 : 5x 3 y 4 0 và d2 : 3x 8 y 13 0 .
Bài 45: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), đường trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = 0 và
đường cao BK: 5x – 2y – 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và BC.
Bài 46: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có C(-1; -2), đường trung tuyến từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt
có phương trình 5x + y – 9 = 0 và x + 3y – 5 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A và B. (CĐ-2009).
Bài 47: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh
AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi
qua đỉnh C của tam giác đó. (ĐH KA-2010). ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) hoặc B(-6; 2), C(2; -6).
Bài 48: Cho tam giác ABC có đường cao BH: x 3y 18 0 , đường trung tr c của BC: 3x 19y 279 0 ,
đỉnh C thuộc d: 2 x y 5 0 . Tìm tọa độ đỉnh A biết góc BAC 1350 .
******************************************************************************************
Dạng 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
Lưu ý:
- Muốn viết phương trình 2 đường phân của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau:
+ Viết phương trình tổng quát của AB và AC.
+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6).
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
9
- Muốn viết phương trình đường phân trong của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau:
+ Viết phương trình tổng quát của AB và AC.
+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6), ta được 2 đường phân giác góc A là d1 và d2.
+ Xét phía điểm B và C so với d1 và d2 và kết luận. (Đường cần tìm là B và C phả nằm khác phía).
- Tính chất đường phân giác góc A: Cho d là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, giả sử M
là điểm bất kì thuộc AB, M’ là điểm đối xứng với M qua d. Khi đó M’ sẽ thuộc AC.
Bài 49: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác
trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ A và C. (ĐH KD–2011).
Giải: Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD). Với G là trọng tâm
BG 2GM (1)
7
5 2 x 1
x
7
+ Ta có : M(x;y) GM x 1; y 1 .BG 5;0 suy ra (1) ta có hệ :
2 M ;1
2
0 2 y 1
y 1
x 4 y 1
+ Gọi E(x;y) I
;
; BE x 4; y 1 ( I là trung điểm của BE ). Với u 1;1 . Nếu E đối xứng
2
2
với B qua (AD): x-y-1=0 thì :
x 4 1 1 y 1 0
x y 3 0
x 2
BEu 0
x 4 y 1
E 2; 5
x
y
7
0
y
5
I
d
1
0
2
2
x 2 t
3
+ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ chỉ phương ME ; 6 // u ' 1; 4 AC :
t R
2
y 5 4t
x 2 t
x 2 t
+ (AC) cắt d tại A : y 5 4t y 5 4t A 4;3
x y 1 0
t 2
7
xC 2. 4 3
+ C đối xứng với A qua M cho nên C :
C 3; 1
2
yC 2.1 3 1
Bài 50: Trong mp Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y – 5 =0. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ
dương. (ĐH KB-2010).
Giải: + Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại
x 4 t
x y 5 0 . d' cắt d tại H thì tọa độ
A. Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d'
y 1 t
x 4 t
x 4 t
y 1 t H 0;5
H là nghiệm của hệ : y 1 t
x y 5 0
t 4
C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9). Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ). Do hoành đọ A dương cho nên t>0.
Ta có : CH 42 42 32; AC
t 4 t 4
2
2
2 t 2 16
Xét tam giác vuông cân AHC : AC HC 2 2 t 2 16 2 32 t 2 16 32 t 2 16 t 4 ( vì t>0)
Với t=4 suy ra A(4;1). .
x 4
Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có AC ' 0;8 // u 0;1 AC ' :
.
y 1 t
B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t) AB 02 t 2 t . Và AC 82 02 8
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
10
+ Từ giả thiết : S ABC 24
t 6 B(4; 5)
1
AB. AC 48 8 t t 6
2
t 6 B 4;7
Do AB, AC cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì AB 0; 6 , AC ' 0;5 . Hai véc tơ ngược hướng cho nên
B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương
x4 y 7
BC 8; 6 // u 4;3 BC :
3x 4 y 16 0 .
4
3
Bài 51: Cho đường thẳng d: x – 3y + 2 = 0 và điểm M(2; -2).
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường thẳng d;
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua đường thẳng d.
Bài 52: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB: 3x – 4y + 6 = 0, AC: 5x + 12y – 25 = 0
và BC: y = 0.
a) Viết phương trình các đường phân giác của góc B trong tam giác ABC;
b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC.
Bài 53: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-6; -3), B(-4; 3) và C(9; 2). Viết phương trình đường phân
giác trong góc A của tam giác ABC.
Bài 54: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3), đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ
đỉnh A của tam giác có phương trình lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.
Bài 55: Cho tam giác ABC có A(2;4), đường cao và đường phân giác trong kẻ từ một đỉnh của tam giác ABC
lần lượt có pt: 3x 4 y 1 0 và 2 x y 3 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 56: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + 3 = 0, đường thẳng
AC qua M(0; -1), AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 57: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM: 2 x y 1 0 và đường phan giác trong
CD: x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 58: Viết phương trình các cạnh của một tam giác ABC biết B(2; -1), phương trình đường cao hạ từ A là
3x 4 y 27 0 và đường phân giác trong kẻ từ C là x 2 y 5 0 .
Bài 59: Cho tam giác ABC có A(2,-1), phương trình các đường phân giác trong kẻ từ B và C lần lượt là d B :
x 2 y 1 0 và dC : x y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
Bài 60: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2; 1), phương trình đường phân giác
8 5
và góc BAC nhọn.
5
Bài 61: Trong mp Oxy, hãy xác định toạ độ điểm C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C
trên đường thẳng AB là điểm H(-1; -1), đường phân giác trong góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường
cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0. (ĐH KB- 2008). ĐS: C(-10/3; 3/4).
17 1
Bài 62: Cho tam giác ABC, chân đường cao AH là H ; , chân đường phân giác trong góc A là D(5; 3),
5 5
trung điểm cạnh AB là M(0; 1). Tìm tọa độ điểm C. (ĐH KB – 2013).
trong góc A là x – y = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết BC
******************************************************************************************
GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh
11
- Xem thêm -
.PDF 
11 
113 
53 
