LÍI CM ÌN
Líi u ti¶n em xin gûi líi
£m ìn
h¥n th nh ¸n thy gi¡o -
Nguy¹n Thanh Tòng,
ThS.
ng÷íi ¢ trü
ti¸p h÷îng d¨n,
h¿ b£o tªn t¼nh
º em ho n th nh kho¡ luªn n y.
Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh kho¡ luªn n y em luæn nhªn ÷ñ
sü quan
t¥m, õng hë, ëng vi¶n, gâp þ
õa
¡
thy
æ gi¡o trong khoa To¡n - Lþ
- Tin, °
bi»t l
¡
thy
æ trong tê
¤i sè - H¼nh hå
v
¡
b¤n sinh
vi¶n lîp K50 ¤i hå
s÷ ph¤m To¡n.
çng thíi, º ho n th nh kho¡ luªn n y em
ng ¢ nhªn ÷ñ
sü t¤o
i·u ki»n thuªn lñi v·
ì sð vªt
h§t, t i li»u tham kh£o
õa th÷ vi»n v
¡
ban ngh nh trü
thuë
tr÷íng ¤i hå
T¥y B
.
Nh¥n dàp n y
ho ph²p em ÷ñ
b y tä láng bi¸t ìn s¥u s
¸n
¡
thy
æ gi¡o,
¡
b¤n sinh vi¶n v
¡
ìn và ban ngh nh nâi tr¶n, °
bi»t
l thy gi¡o -
ThS. Nguy¹n Thanh Tòng
¢ nhi»t t¼nh gióp ï, ëng
vi¶n em trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n
ùu v ho n th nh khâa luªn.
Em r§t mong nhªn ÷ñ
nhúng þ ki¸n âng gâp
õa
¡
thy
æ gi¡o,
¡
b¤n sinh vi¶n º kho¡ luªn n y ÷ñ
ho n thi»n hìn.
Em xin
h¥n th nh
£m ìn!
Sìn La, th¡ng 05 n«m 2013
Sinh vi¶n
Ph¤m Thà Toan
3
NHÚNG KÞ HIU
Khâa luªn n y dòng nhúng k½ hi»u vîi
¡
þ ngh¾a x¡
ành trong b£ng
d÷îi ¥y:
∆ABC
A, B, C
a, b, c
ha , hb , hc
ma , mb , mc
la , lb , lc
R
r
ra , rb , rc
a+b+c
p=
2
S
Tam gi¡
ABC
A, B, C
¤nh èi di»n
¡
gâ
A, B, C
֒ng
ao xu§t ph¡t tø A, B, C
Sè o
¡
gâ
t÷ìng ùng t¤i ¿nh
ë d i
¡
ë d i
¡
A, B, C
ph¡t tø A, B, C
ë d i
¡
÷íng trung tuy¸n xu§t ph¡t tø
ë d i
¡
÷íng ph¥n gi¡
trong xu§t
ë d i b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡
ë d i b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡
ë d i
¡
b¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p
¡
gâ
Nûa
hu vi tam gi¡
Di»n t½
h tam gi¡
4
A, B, C
Mö
lö
Nhúng k½ hi»u
Mö
lö
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.1
Lþ do
hån khâa luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.2
Mö
½
h nghi¶n
ùu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.3
Nhi»m vö nghi¶n
ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.4
Ph÷ìng ph¡p nghi¶n
ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.5
Ph¤m vi nghi¶n
ùu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.6
C§u tró
õa kho¡ luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1 Ki¸n thù
ì sð
8
1.1
C¡
¯ng thù
l÷ñng gi¡
ì b£n trong tam gi¡
. . . . . .
8
1.2
Mët sè b§t ¯ng thù
¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 T½nh sè o
¡
gâ
trong tam gi¡
14
3 Nhªn d¤ng tam gi¡
22
3.1
Nhªn d¤ng tam gi¡
¥n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2
Nhªn d¤ng tam gi¡
vuæng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3
Nhªn d¤ng tam gi¡
·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4
Nhªn d¤ng tam gi¡
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o
60
5
M U
0.1 Lþ do
hån khâa luªn
Trong nh tr÷íng phê thæng, mæn To¡n
â vai trá, và tr½ v þ ngh¾a
h¸t sù
quan trång. C¡
ki¸n thù
v ph÷ìng ph¡p to¡n hå
l
æng
ö
thi¸t y¸u gióp hå
sinh hå
tªp tèt
¡
mæn hå
kh¡
, ho¤t ëng
â hi»u
qu£ trong måi l¾nh vü
. çng thíi mæn to¡n
án gióp hå
sinh ph¡t triºn
nhúng n«ng lü
v ph©m
h§t tr½ tu»
hung nh÷ ph¥n t½
h, têng hñp, trøu
t÷ñng hâa, kh¡i qu¡t hâa, ... r±n luy»n nhúng ù
t½nh
©n thªn,
h½nh x¡
,
t½nh k luªt, s¡ng t¤o.
Trong méi
h÷ìng tr¼nh to¡n ð phê thæng
â r§t nhi·u d¤ng to¡n kh¡
nhau, trong â nhªn d¤ng tam gi¡
l mët d¤ng to¡n hay v khâ, th÷íng
g°p trong
¡
· thi tuyºn sinh v o ¤i hå
v Cao ¯ng ho°
¡
ký thi
â t½nh
h§t tuyºn
hån hå
sinh. ¥y
ng l mët lîp b i to¡n quan trång
trong phn H» thù
l÷ñng trong tam gi¡
nâi ri¶ng, v trong
h÷ìng tr¼nh
mæn hå
l÷ñng gi¡
ð nh tr÷íng phê thæng nâi
hung. Nëi dung
ì b£n
õa nâ
â thº tâm tt nh÷ sau: Cho mët tam gi¡
thäa m¢n mët hay hai
¯ng thù
ho°
b§t ¯ng thù
giúa
¡
¤nh v h m sè l÷ñng gi¡
õa
¡
gâ
, ta ph£i t¼m t½nh
h§t
õa tam gi¡
â,
h¯ng h¤n nh÷: t¼m sè o
õa
gâ
,
hùng tä gi¡ trà h m l÷ñng gi¡
õa gâ
, ho°
hùng minh l tam gi¡
¥n, vuæng, ·u, . . . C¡
b i to¡n nhªn d¤ng tam gi¡
֖
xem nh÷ mët
b֔
trung gian
õa r§t nhi·u b i to¡n. Trong â vi»
o¡n nhªn xem mët
tam gi¡
l
¥n, vuæng, ·u hay d¤ng °
bi»t n o â s³ gióp ½
h r§t nhi·u
ho vi»
t½nh di»n t½
h,
hu vi hay
¡
y¸u tè kh¡
trong tam gi¡
, . . . V¼
nhúng l½ do â, tæi ¢
hån kho¡ luªn
Mët sè b i to¡n nhªn d¤ng
tam gi¡
.
0.2 Mö
½
h nghi¶n
ùu
Khâa luªn
ung
§p
ho hå
sinh th¶m
æng
ö v· nhªn d¤ng tam gi¡
xu§t ph¡t tø
¡
b i to¡n
â
hùa s®n
¡
y¸u tè h¼nh hå
, tø â gióp hå
sinh d¹ d ng nhªn bi¸t ÷ñ
°
iºm, h¼nh d¤ng
õa
¡
tam gi¡
.
6
0.3 Nhi»m vö nghi¶n
ùu
Khoa luªn nghi¶n
ùu v·
¡
d¤ng
õa b i to¡n nhªn d¤ng tam gi¡
.
0.4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n
ùu
- Thu thªp, nghi¶n
ùu t i li»u tø s¡
h, b¡o, internet, ...
- Ph¥n t½
h têng hñp
¡
ki¸n thù
- Kinh nghi»m b£n th¥n, trao êi th£o luªn vîi gi¡o vi¶n h÷îng d¨n v
b¤n b±
0.5 Ph¤m vi nghi¶n
ùu
- C¡
b i to¡n trung hå
phê thæng
- C¡
b i to¡n thi hå
sinh giäi
0.6 C§u tró
õa kho¡ luªn
Ngo i phn mð u, líi
£m ìn, nhúng k½ hi»u, mö
lö
, k¸t luªn, t i
li»u tham kh£o, nëi dung kho¡ luªn gçm
â 3
h֓ng:
•
Ch÷ìng 1: Ki¸n thù
ì sð
•
Ch÷ìng 2: T½nh
¡
gâ
trong tam gi¡
•
Ch÷ìng 3: Nhªn d¤ng tam gi¡
7
Ch֓ng 1
Ki¸n thù
ì sð
1.1 C¡
¯ng thù
l÷ñng gi¡
ì b£n trong tam gi¡
1. ành lþ h m sè sin
Tø ¥y ta suy
b
c
a
=
=
= 2R
sin A sin B
sin C
a
b
ra: sin A =
; sin B =
;
2R
2R
sin C =
c
2R
2. ành lþ h m sè
osin
A
2
B
b2 = c2 + a2 − 2ca cos B = (c − a)2 + 4ca sin2
2
C
2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = (a − b)2 + 4ab sin
2
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = (b − c)2 + 4bc sin2
3. ành lþ h m sè tang
a − b tan A−B
2
=
;
a + b tan A+B
2
b − c tan B−C
2
=
;
b + c tan B+C
2
c − a tan C−A
2
=
c + a tan C+A
2
4. ành lþ h m sè
otang
2
a = b2 + c2 − 4S cot A;
b2 = c2 + a2 − 4S cot B;
c2 = a2 + b2 − 4S cot C
Tø ¥y ta suy ra
b2 + c2 − a2
cot A =
;
4S
c2 + a2 − b2
cot B =
;
4S
a2 + b2 − c2
cot C =
4S
5. ành lþ
¡
h¼nh
hi¸u
B
C
a = b cos C + c cos B = r cot + cot
2
2
C
A
b = c cos A + a cos C = r cot + cot
2
2
8
A
B
c = a cos B + b cos A = r cot + cot
2
2
6. Cæng thù
÷íng trung tuy¸n
õa tam gi¡
m2a =
b2 + c2 a2
− ;
2
4
m2b =
c2 + a2 b2
− ;
2
4
m2c =
a2 + b2 c2
−
2
4
7. Cæng thù
֒ng
ao trong tam gi¡
2S
;
a
2S
;
hb = c sin A = a sin C =
b
2S
hc = a sin B = b sin A =
c
ha = b sin C = c sin B =
8. Cæng thù
÷íng ph¥n gi¡
trong tam gi¡
√
2bc
A 2 bc p
la =
p(p − a)
cos =
b+c
2
b√
+c
2ca
B
2 ca p
lb =
p(p − b)
cos =
c+a
2
c√
+a
C
2 ab p
2ab
cos =
lc =
p(p − c)
a+b
2
a+b
9. Cæng thù
t½nh di»n t½
h tam gi¡
1
1
1
a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
bc
sin
A
=
ca
sin
B
=
ab sin C
2
2
2
abc
S = 4R2
2R sin A sin B sin C
pr
(p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc
p
p(p − a)(p − b)(p − c) (Cæng thù
H¶ræng)
10. Cæng thù
b¡n k½nh
a) B¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡
R=
b
c
a
=
=
2 sin A
2 sin B
2 sin C
abc
4S
b) B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡
9
S
= (p − a). tan A2 = (p − b). tan B2 = (p − c). tan C2
p
a sin B sin C
b sin C2 sin A2
c sin A2 sin B2
2
2
r=
=
=
A
B
cos
cos
cos C2
2
2
4R sin A . sin B . sin C
2
2
2
) B¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡
a cos B2 cos C2
S
A
ra =
= p. tan
=
A
p−a
2
cos 2
b cos C2 cos A2
S
B
=
rb =
=
p.
tan
p−b
2
cos B2
c cos A2 cos B2
S
C
=
= p. tan
rc =
C
p−c
2
cos 2
11. Mët sè ¯ng thù
l÷ñng gi¡
trong tam gi¡
th÷íng g°p
Trong tam gi¡
ABC
ta luæn
â
sin(A + B) = sin C;
C
A+B
= cos ;
sin
2
2
tan(A + B) = − tan C;
C
A+B
= cot ;
tan
2
2
Khi â a)
cos(A + B) = − cos C
A+B
C
cos
= sin
2
2
cot(A + B) = − cot C
A+B
C
cot
= tan
2
2
sin A + sin B + sin C = 4 cos
A
B
C
. cos . cos
2
2
2
Thªt vªy
A+B
A−B
C
C
. cos
+ 2 sin . cos
2
2
2 2
A+B
C
A−B
+ cos
= 2 cos
cos
2
2
2
B
C
A
= 4 cos . cos . cos
2
2
2
sin A + sin B + sin C = 2 sin
b)
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A. sin B. sin C
Thªt vªy
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B). cos(A − B) + 2 sin C. cos C
= 2 sin C[cos(A − B) − cos(A + B)]
= 4 sin A. sin B. sin C
10
)
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
A
B
C
. sin . sin
2
2
2
Thªt vªy
A+B
A−B
C
. cos
+ 1 − 2 sin2
2
2
2
A+B
C
A−B
− cos
= 1 + 2 sin
cos
2
2
2
B
C
A
= 1 + 4 sin . sin . sin
2
2
2
cos A + cos B + cos C = 2 cos
d)
cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A. cos B. cos C
Thªt vªy
cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 cos(A + B). cos(A − B) + 2 cos2 C − 1
= −1 − 2 cos C[cos(A − B) + cos(A + B)]
= −1 − 4 cos A. cos B. cos C
e)
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C
Thªt vªy, ta
â
tan(A + B) = − tan C
tan A + tan B
= − tan C.
1 − tan A. tan B
hay
Do â
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C
f)
tan
Thªt
A
B
B
C
C
A
. tan + tan . tan + tan . tan = 1
2
2
2
2
2
2
A B
1
vªy, ta
â
tan
tù
l
+
=
2
2
tan C2
tan A2 + tan B2
1
=
,
1 − tan A2 tan B2
tan C2
A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan = 1
2
2
2
2
2
2
cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1
hay
g)
tan
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C ,
1
1
1
1
+
+
=
,
tù
l
cot A cot B cot C
cot A. cot B. cot C
hay
cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1
B
C
A
B
C
A
+ cot + cot = cot . cot . cot
h) cot
2
2
2
2
2
2
Thªt vªy, theo þ e) ta
â
11
Thªt vªy, theo þ f) ta
â
tan
A
B
B
C
C
A
. tan + tan . tan + tan . tan = 1,
2
2
2
2
2
2
1
1
1
+
+
= 1,
cot A2 cot B2
cot B2 cot C2
cot C2 cot A2
A
B
C
A
B
C
hay
cot + cot + cot = cot cot cot
2
2
2
2
2
2
2
2
2
i) sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A. cos B. cos C
tù
l
Thªt vªy, theo þ d) ta
â
3 1
− (cos 2A + cos 2B + cos 2C)
2 2
= 2 + 2 cos A. cos B. cos C
sin2 A + sin2 B + sin2 C =
k)
cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A. cos B. cos C
Thªt vªy
1
cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 + (cos 2A + cos 2B) + cos2 C
2
= 1 − [cos(A − B) + cos(A + B)] cos C
= 1 − 2 cos A. cos B. cos C
12. Mët sè h» thù
ì b£n trong tam gi¡
vuæng
Cho tam gi¡
ABC
vuæng t¤i A. Khi â ta
â
b = a sin B = a cos C = c tan B = c cot C
c = a sin C = a cos B = b tan C = b cot B
a.h = b.c; b2 = ab′ ; c2 = ac′
1
1
1
=
+
h2
b2 c2
2
a = b2 + c2 ( ành lþ Pytago)
A
c
c′
B
H¼nh 1.1:
1. B§t ¯ng thù
Cæsi
n
a1 , a2, ..., an(n ≥ 2) ta luæn
√
a1 + a2 + ... + an
≥ n a1 a2 ...an
n
sè thü
khæng ¥m
D§u b¬ng x£y ra khi v
h¿ khi
a1 = a2 = ... = an
12
b′
H a
1.2 Mët sè b§t ¯ng thù
¤i sè
Vîi
b
h
â
C
2. B§t ¯ng thù
Bunhia
opxki
Vîi hai bë
n
sè thü
(a1 , a2 , ..., an)
v
â
(b1, b2, ..., bn)(n ≥ 2)
b§t ký ta
(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n)
D§u b¬ng x£y ra khi v
h¿ khi
a2
an
a1
=
= ... =
b1
b2
bn
3. B§t ¯ng thù
Tr¶b÷s²p Cho hai d¢y t«ng
(an)
v
(bn).
Khi â
a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn
.
≤
n
n
n
a1 = a2 = ... = an
D§u b¬ng x£y ra khi v
h¿ khi
b1 = b2 = ... = bn
Ng֖
l¤i, n¸u d¢y
(an )
t«ng v d¢y
(bn)
gi£m th¼
a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn
a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
.
≥
n
n
n
4. Mët sè b§t ¯ng thù
th÷íng g°p trong tam gi¡
ABC
â A, B, C l
¡
BC, CA, AB . Khi â ta
â
Tam gi¡
¤nh
gâ
v
a, b, c
ln l÷ñt l ë d i
¡
a) B§t ¯ng thù
v· ë d i: Trong mët tam gi¡
, ë d i mët
¤nh bao
gií
ng lîn hìn hi»u v nhä hìn têng
¡
ë d i
õa hai
¤nh
án
l¤i. Tù
l
|a − b| < c < a + b;
|b − c| < a < b + c;
|c − a| < b < c + a
b) Quan h» giúa gâ
v
¤nh èi di»n: Trong mët tam gi¡
, gâ
èi
di»n vîi
¤nh lîn hìn l gâ
lîn hìn v ng÷ñ
l¤i. Tù
l
h¿ khi
A≥B
v t÷ìng tü
¡
tr÷íng hñp
án l¤i.
13
a≥b
khi v
Ch֓ng 2
T½nh sè o
¡
gâ
trong tam gi¡
T½nh sè o
¡
gâ
trong tam gi¡
l mët trong
¡
d¤ng b i to¡n v·
nhªn d¤ng tam gi¡
. º gi£i ÷ñ
¡
b i to¡n n y
ng nh÷
hùng minh
֖
tam gi¡
¢
ho
â mët gâ
n o â b¬ng mët gi¡ trà
ho tr֔
, thæng
th÷íng ta ph£i sû döng
¡
ki¸n thù
¢ hå
º bi¸n êi
¡
¯ng thù
ho°
b§t ¯ng thù
giúa
¡
¤nh v h m sè l÷ñng gi¡
õa
¡
gâ
trong
b i to¡n v· d¤ng ìn gi£n nh§t, rçi tø â t¼m ra sè o
¡
gâ
õa tam
gi¡
.
B i sè 2.1. T½nh sè o
¡
gâ
trong ∆ABC
bi¸t r¬ng
√
5
a) cos 2A + 3(cos 2B + cos 2C) + = 0
2√
√
√
2
2
√
1 + 2 cos A
1 + 2 cos B
1 + 2 cos2 C
b)
+
+
=3 2
sin B
sin C
sin A
Líi gi£i
a) ¯ng thù
(2.1) t÷ìng ÷ìng vîi
tù
l
√
5
2 cos2 A − 1 + 2 3 [cos(B + C). cos(B − C)] + = 0
2
i2
h
√
2 cos A − 3 cos(B − C) + 3 sin2 (B − C) = 0,
v do â
sin(B − C) = 0
√
cos A = 3 cos(B − C) = 0
2
Vªy tam gi¡
ABC
â
suy ra
A = 300; B = C = 750
14
(
A = 300
B = C = 750
(2.1)
(2.2)
(1; 1; 1)
√
1 1
√ ; √ ; 2 cos A ta
â
2 2
2
√
1 1
1
1
2
√ + √ + 2 cos A ≤ 3
+ + 2 cos A ,
2 2
2
2
b) p döng b§t ¯ng thù
Bunhia
opxki
ho hai bë sè
v
2(1 + cos A)2 ≤ 3(1 + 2 cos2 A).
hay
Suy ra
√
√
2
A
2
1 + 2 cos2 A ≥ √ cos2 ,
2
3
(2.3)
t÷ìng tü
√
√
B
2
2
1 + 2 cos2 B ≥ √ cos2 ,
2
√3
√
C
2 2
1 + 2 cos2 C ≥ √ cos2 .
2
3
(2.4)
(2.5)
Nh¥n v¸ vîi v¸
õa (2.3), (2.4), (2.5) v °t
th¼ ta
â
q
T = (1 + 2 cos2 A)(1 + 2 cos2 B)(1 + 2 cos2 C), T ≥ 0
T ≥
√ !3
B
C
A
2 2
√
cos2 cos2 cos2 .
2
2
2
3
(2.6)
M°t kh¡
, ¡p döng b§t ¯ng thù
Cæsi ta
â
√
√
1 + 2 cos2 A
1 + 2 cos2 B
+
sin B
sin C
r
√
1 + 2 cos2 C
T
3
≥3
.
+
sin A
sin A sin B sin C
(2.7)
Tø (2.6) v (2.7), suy ra
√
√
1 + 2 cos2 A
1 + 2 cos2 B
+
sin B
sin C
r
√
2
√
A
1 + 2 cos C
B
C
3
≥ 6 cot cot cot ,
+
sin A
2
2
2
15
(2.8)
A
B
C
A
B
C
v
cot cot = cot + cot + cot
2
2
2
2
2
r2
A
B
C
B
C
A
cot + cot + cot ≥ 3 3 cot cot cot > 0 (theo
2
2
2
2
2
2
m
cot
b§t ¯ng thù
Cæsi), n¶n
cot
√
A
B
C
cot cot ≥ 3 3.
2
2
2
(2.9)
Tø (2.8) v (2.14) ta ÷ñ
√
√
1 + 2 cos2 A
+
sin B
1 + 2 cos2 B
+
sin C
√
√
1 + 2 cos2 C
≥3 2
sin A
D§u b¬ng x£y ra khi v
h¿ khi
2 cos A − 1 = 0
2 cos B − 1 = 0
2 cos C − 1 = 0
cot A = cot B = cot C
2
2
2
Vªy tam gi¡
ABC
â
suy ra
A = B = C = 600
A = B = C = 600
B i sè 2.2. Cho tam gi¡
ABC
khæng tò thäa m¢n i·u ki»n
√
√
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3
T½nh ba gâ
õa tam gi¡
(2.10)
ABC.
Líi gi£i
¯ng thù
(2.10) ֖
vi¸t l¤i th nh
√
B−C
A
− 2 = 0,
cos2 A + 2 2 sin . cos
2
2
√
B−C
A
2 A
− 2 = 0,
+ 2 2 sin . cos
hay cos A(cos A − 1) + 1 − 2 sin
2
2
2
√
A
B−C
B−C 2
tù
l cos A(cos A − 1) −
2 sin − cos
− sin2
= 0.
2
2
2
M°t kh¡
, do ∆ABC khæng tò n¶n cos A ≥ 0 v cos A − 1 < 0. Khi â
√
A
B−C
B−C 2
cos A(cos A − 1) −
2 sin − cos
− sin2
≤ 0, d§u b¬ng
2
2
2
16
x£y ra khi v
h¿ khi
cos A = 0
√
A
B−C
2 sin = cos
2
2
sin B − C = 0
2
Vªy tam gi¡
ABC
â
suy ra
(
A = 900
B = C = 450
A = 900; B = C = 450
B i sè 2.3. T½nh sè o
¡
gâ
õa tam gi¡
ABC
bi¸t sè o ba gâ
t¤o
th nh
§p sè
ëng v thäa m¢n ¯ng thù
√
3+ 3
sin A + sin B + sin C =
2
Líi gi£i
A < B < C. Theo
b i ra ta
â A, B, C t¤o ra mët
§p sè
ëng n¶n A + C = 2B. M trong
π
tam gi¡
ABC ta luæn
â A + B + C = π n¶n B =
. Khi â ¯ng thù
3
¢
ho trð th nh
√
3+ 3
π
sin A + sin + sin C =
3
2
√
3
C −A
3
π
t֓ng ֓ng
sin A + sin C = , hay cos
=
= cos .
2
2
2
6
C −A π
A = π6
=
2
6
2π
Do C > A n¶n tam gi¡
ABC
â
suy ra
B = π3
C
+
A
=
3
C = π
B = π
2
3
π
π
π
Vªy tam gi¡
ABC
â A =
;B = ;C =
6
3
2
Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t
õa b i to¡n, gi£ sû
B i sè 2.4. Cho tam gi¡
ABC
â
¡
gâ
thäa m¢n ¯ng thù
2
2
sin A + sin B =
Bi¸t r¬ng gâ
A
v
B
p
sin2 C
2n+1
nhån. H¢y t½nh gi¡ trà gâ
C.
Líi gi£i
º t½nh ÷ñ
gi¡ trà
õa gâ
C
ta x²t 3 tr÷íng hñp sau:
17
2
+ b2 − c2
2ab
b
a
=
=
sin A
sin B
Tr÷íng hñp 1: N¸u C > 900 th¼ cos C ∈ (−1; 0) m cos C = a
n¶n suy ra
a2 + b2 < c2 .
c
= 2R,
sin C
p döng ành lþ h m sè sin
ta thu ֖
sin2 A + sin2 B < sin2 C
sin C ∈ (0; 1) n¶n
sin2 C ∈ (0; 1). Do â sin2 C <
√
2n+1
sin2 A + sin2 B <
sin2 C. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£
√
Tr÷íng hñp 2: N¸u C < 900 th¼ 2n+1 sin2 C < 1. Ta
â
V¼
√
2n+1
sin2 C.
Vªy
thi¸t.
sin2 A + sin2 B = 1 + cos C. cos(A − B).
V¼
C < 900 v A, B nhån n¶n cos C > 0 v cos(A − B) > 0. Do
p
2n+1
sin2 C = sin2 A + sin2 B = 1 + cos C. cos(A − B) > 1
â
i·u n y m¥u thu¨n.
Tr÷íng hñp 3: Kiºm tra th§y C = 900 thäa m¢n ¯ng thù
¢
ho.
Vªy
C = 900.
B i sè 2.5. Chùng minh ∆ABC
khi
â ½t nh§t mët gâ
b¬ng
600
khi v
h¿
√
sin A + sin B + sin C
= 3
cos A + cos B + cos C
Líi gi£i
¯ng thù
¢
ho t÷ìng ÷ìng vîi
√
sin A + sin B + sin C = 3(cos A + cos B + cos C),
π
π
π
tù
l
sin A −
+ sin B −
+ sin C −
= 0,
3
3
3
C π
C π
A−B
hay 2 sin
−
+ cos
−
− cos
= 0,
2
6
2
2
6
t÷ìng ÷ìng vîi
C π
sin 2 − 6 = 0
C π
π A+B
A−B
= cos
−
−
= cos
cos
2
2
6
3
2
Vªy tam gi¡
ABC
â ½t nh§t mët gâ
b¬ng
18
600.
suy ra
A=
B=
C=
π
3
π
3
π
3
B i sè 2.6. Cho ABC
tho£ m¢n
r + 4R sin2
sin A + sin B + sin C =
C
2R sin
2
C
2
(2.11)
C = 1200
Chùng minh r¬ng
Líi gi£i
A
B
C
r = 4R sin sin sin
v
2
2
2
A
B
C
sin A + sin B + sin C = 4 cos . cos . cos
n¶n (2.11) ÷a ¸n
2
2
2
B
C
A
B
C
A
,
4 cos . cos . cos = 2 sin sin + sin
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
A
B
A
B
hay 4 cos
. cos . cos = 2 sin sin + cos cos − sin sin
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
1
Do â ta thu ÷ñ
cos =
suy ra
C = 1200.
2
2
0
Vªy tam gi¡
ABC
â C = 120 .
Trong tam gi¡
B i sè 2.7.
ABC
ta luæn
â
Cho tam gi¡
ABC
v
Chùng minh r¬ng:
M = cos2 A + cos2 B + cos2 C − 1.
M = 0 th¼ tam gi¡
ABC
â mët gâ
vuæng
b) N¸u M < 0 th¼ tam gi¡
ABC
â ba gâ
nhån
) N¸u M > 0 th¼ tam gi¡
ABC
â mët gâ
tò
a) N¸u
Líi gi£i
Thªt vªy, ta
â
M = cos2 A + cos2 B + cos2 C − 1
= −2 cos A. cos B. cos C
Do â:
a) N¸u
M =0
th¼
cos A. cos B. cos C = 0.
i·u n y d¨n ¸n
∆ABC
l
tam gi¡
vuæng.
M < 0 th¼ cos A. cos B. cos C > 0. Do vai trá
õa cos A, cos B, cos C
nhau v ∆ABC khæng thº
â qu¡ mët gâ
tò n¶n tø b§t ¯ng thù
b) N¸u
l nh÷
19
n y ta
â
cos A > 0, cos B > 0
v
cos C > 0.
Khi â tam gi¡
ABC
â ba
gâ
nhån.
) N¸u
M >0
ta thu ֖
tam
cos A. cos B. cos C < 0.
gi¡
ABC
â mët gâ
tò.
th¼
Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n,
B i sè 2.8. T½nh
¡
gâ
õa tam gi¡
ABC
bi¸t
b2 + c2 ≤ a2
√
a)
sin A + sin B + sin C = 1 + 2
(
√
cos A + cos B + cos C = 2
b)
cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ 1
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Líi gi£i
b2 + c2 − a2
2
2
2
a) Theo ành lþ h m sè
osin th¼ cos A =
v b + c ≤ a
2bc
√
π
π
2
A
≤ A < π, tù
l cos ≤ cos =
.
n¶n suy ra cos A ≤ 0. Khi â
2
2
4
2
M°t kh¡
ta
â
m
B−C
A
sin A + sin B + sin C = sin A + 2 cos . cos
2
√ !2
√
2
≤ 1 + 2.
.1 = 1 + 2,
2
√
sin A + sin B + sin C = 1 + 2 n¶n d§u b¬ng x£y ra khi v
sin A = 1√
A = π
2
suy ra
cos A2 = 22
π
B
=
C
=
cos B−C = 1
4
2
h¿ khi
π
π
;B = C =
2
4
2
2
2
b) Ta ¢ bi¸t cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A. cos B. cos C v theo
2
2
2
gi£ thi¸t cos A+cos B +cos C ≥ 1 n¶n cos A. cos B. cos C ≤ 0. Do â tam
0
0
gi¡
ABC tçn t¤i mët gâ
tò ho°
vuæng. Gi£ sû A ≥ 90 v B, C < 90 .
Vªy tam gi¡
ABC
â
A=
Tø ¯ng thù
(2.14) ta
â
1−
tù
l
√
A
B−C
A
A
A
− 2 sin . cos
≥ 2 sin2 − 2 sin ,
2
2
2
2
2
√
A 1− 2
A
.
sin2 − sin ≤
2
2
2
2 = 2 sin2
20
(2.16)
°t
x = sin
A
2
vîi
"√
!
2
x∈
;1
2
π
≤ A < π).
2
√
1− 2
f (x) ≤
2
(v¼
Khi â
(2.17)
"√
!
2
2
′
Ta x²t h m sè f (x) = x −x
â f (x) = 2x−1 > 0 vîi måi x ∈
;1 ,
2
!
"√
2
;1 .
do â h m sè f (x) çng bi¸n tr¶n kho£ng x ∈
2
M
f
√ !
√
2
1− 2
=
2
2
√
1− 2
f (x) ≥
2
n¶n
Tø (2.16), (2.17) v (2.18) ta thu ÷ñ
√
A
sin = 2
2
2
B
−
C
cos
=1
2
Vªy tam gi¡
ABC
â
suy ra
√
1− 2
f (x) =
.
2
(
Tù
l
A = 900
B = C = 450
A = 900; B = C = 450
21
(2.18)
Ch֓ng 3
Nhªn d¤ng tam gi¡
Muèn bi¸t mët tam gi¡
â t½nh
h§t g¼ ( ·u, vuæng,
¥n, ...) ta th÷íng
sû döng
¡
ph²p bi¸n êi l÷ñng gi¡
º t½nh
¡
gâ
ho°
¤nh. Ngo i ra
ta
án sû döng
¡
ph÷ìng ph¡p kh¡
nh÷: sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡
düa tr¶n
¡
t½nh
h§t
õa tam gi¡
v h m sè, so s¡nh
¡
¤nh, ... º rã
hìn v·
¡
ph÷ìng ph¡p n y ta x²t mët sè b i to¡n sau:
3.1 Nhªn d¤ng tam gi¡
¥n
B i sè 3.1. Chùng minh r¬ng tam gi¡
ABC
¥n khi v
h¿ khi nâ tho£
m¢n h» thù
:
C
B
tan = p − c
2
2
r
C
1
= 2 sin2 +
R
2
4
a) p tan
(3.1)
b)
(3.2)
Líi gi£i
a) p döng ành lþ h m sè
osin v sin ta
â:
2
2
2
C
1
a
+
b
−
c
p(p − c)
cos2 =
,
1+
=
2
2
2ab
ab
r
r
r
p(p − c)
(p − a)(p − b)
C
C
C
=
= 1 − cos2 =
.
suy ra cos
v sin
2
ab
2
2
ab
s
s
C
(p − a)(p − b)
B
(p − a)(p − c)
=
, t÷ìng tü tan =
.
Do â tan
2
p(p − c)
2
p(p − b)
Khi â ¯ng thù
(3.1) trð th nh
p
s
(p − a)(p − b)
p(p − c)
s
(p − a)(p − c)
= p − c,
p(p − b)
22
- Xem thêm -
.PDF 
58 
345 
108 
