Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực

  • Số trang: 83 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2015 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tạị Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này, tôi xin được gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc. Tôi xin được cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được học tập và hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình, tâm huyết của các thầy, cô giáo. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường Trung học phổ thông Hồng Bàng, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi để hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp với đề tài " Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực " là do tôi thực hiện, không sao chép và không trùng lặp về nội dung với bất kỳ tài liệu nào cùng chủ đề. Các tài liệu mà tôi tham khảo trong quá trình hoàn thành Luận văn này được trích dẫn đầy đủ. Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân iii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Một số bài toán nâng cao về dãy số 1.1 1.2 1.3 1.4 3 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số 13 1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . 15 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số . . 19 1.3.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Giới hạn của các dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Lý thuyết tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv 1.5 Các tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số bài toán liên quan đến chuỗi số 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 43 50 Các khái niệm cơ bản về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.1 Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.2 Chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.3 Các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 52 Hội tụ của các chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh hơn thua . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Một số bài toán về tính toán hoặc đánh giá các chuỗi . . . . . . 56 2.4.1 Tìm tổng của các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 Đánh giá các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Các bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 1 Mở đầu Dãy số và giới hạn của dãy số là chuyên mục quan trọng của Giải tích Toán học được dạy ở bậc Trung học Phổ thông. Các bài toán về dãy số có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp và tính độc đáo của các phương pháp và kỹ thuật giải các bài toán khác nhau về dãy số. Các vấn đề cơ bản của dãy số bao gồm: xác định số hạng tổng quát, tìm giới hạn và một số tính chất, như tính bị chặn, tính đơn điệu, tính nguyên v.v.. Các bài toán về dãy số thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, nhất là cấp Quốc gia và Quốc tế. Vì thế, việc tìm hiểu và học hỏi nâng cao về dãy số và các bài toán liên quan là cần thiết trong việc học tập và giảng dạy Toán học ở bậc Phổ thông. Một vấn đề Toán học khác có liên quan mật thiết với dãy số, đó là chuỗi số (tổng vô hạn). Theo định nghĩa, chuỗi số là giới hạn của dãy số dạng tổng n X lim ak , trong đó {ak } là dãy số vô hạn cho trước. Trong Giải tích 11 đã n→+∞ k=1 có giới thiệu qua về tổng vô hạn, đó là tính tổng vô hạn các số hạng của một cấp số nhân có công bội với trị tuyêt đối nhỏ hơn 1. Các vấn đề về xét tính hội tụ của chuỗi cũng như tính toán hay đánh giá các tổng vô hạn rất thú vị và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, chuỗi số thực cũng là đối tượng được đề cập trong luận văn này. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy số và chuỗi số thông qua các phương pháp giải các bài toán về dãy và chuỗi số mà đa phần ở mức nâng cao hoặc khó. Nội dung của luân văn này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [6]. Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài 2 liệu tham khảo. Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy số, bài toán sử dụng các tính chất của dãy số. Chương 2: Một số bài toán liên quan đến chuỗi số: gồm các khái niệm cơ bản về chuỗi số, hệ thống một số bài toán về chuỗi số như tính toán và đánh giá chuỗi số, bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số dương. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tôi đã trình bày đầy đủ các khái niệm cơ bản, giải tường minh các bài toán miêu tả. Đặc biệt làm sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các bài toán được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân 3 Chương 1 Một số bài toán nâng cao về dãy số Chương này trình bày những khái niệm cơ bản của dãy số và những kỹ thuật thông dụng nghiên cứu dãy số truy hồi, đó là kỹ thuật phương trình sai phân, kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa. Những kiến thức này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [4]. Các bài toán nâng cao trình bày trong chương này (các mục 1.3, 1.4 và 1.5) được hình thành chủ yếu từ tài liệu [6]. 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt 1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên dương Z+ (hoặc tập các số tự nhiên N). Dãy số là một hàm số từ A vào R. Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là an , bn , xn , yn , un , vn , .... Dãy số thường được ký hiệu là (xn ) hoặc {xn }. 4 Định nghĩa 1.2. Dãy số (un ) được gọi là tăng (tăng không ngặt, giảm, giảm không ngặt), nếu un < un+1 (un ≤ un+1 , un > un+1 , un ≥ un+1 ). Định nghĩa 1.3. Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số M, sao cho un ≤ M, ∀n. Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số m, sao cho un ≥ m, ∀n. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu tồn tại các số M, m, sao cho m ≤ un ≤ M, ∀n. 1.1.2 Các dãy số đặc biệt 1. Cấp số cộng Định nghĩa 1.4. Dãy số (un ), n ∈ N∗ , được gọi là cấp số cộng, nếu bắt đầu từ số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Vậy ta có un+1 = un + d ⇔ un+1 − un = d. Tính chất. Mỗi số hạng của một cấp số cộng là trung bình cộng của hai số hạng kề với nó: uk = uk+1 + uk−1 . 2 Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (un ), n ∈ N∗ là cấp số cộng với công sai d. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức un = u1 + (n − 1)d. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng u + u   2u + (n − 1)d  1 n 1 Sn = u1 + u2 + ... + un = n= n. 2 2 2. Cấp số nhân 5 Định nghĩa 1.5. Dãy số (un ), n ∈ N∗ , được gọi là cấp số nhân, nếu bắt đầu từ số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không đổi q 6= 0. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Vậy ta có un+1 = un .q ⇔ un+1 = q. un Tính chất. Bình phương của mỗi số hạng của một cấp số nhân bằng tích của hai số hạng kề với nó: u2k = uk+1 .uk−1 . Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (un ), n ∈ N∗ là cấp số nhân với công bội q. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức un = u1 q n−1 . Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân    u1 n, nếu q = 1, Sn = u1 + u2 + ... + un =  1 − qn  u1 , nếu q 6= 1. 1−q 3. Cấp số cộng-nhân Định nghĩa 1.6. Cấp số (un ) được gọi là cấp số cộng-nhân, nếu un+1 = qun + d, q 6= 0. 4. Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.7. Dãy số (un ) được gọi là cấp số điều hòa nếu tất cả số hạng của dãy đều khác không và thỏa mãn hệ thức un = 2un−1 un+1 , un−1 + un+1 hay 1 1 1 1  . = + un 2 un−1 un+1 6 5. Dãy tuần hoàn Định nghĩa 1.8. Dãy số (un ) được gọi là dãy tuần hoàn, nếu tồn tại số nguyên dương k, sao cho un+k = un , ∀n ∈ A. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức này gọi là chu kỳ. Nhận xét rằng, nếu chu kỳ k = 1, thì un+1 = un , ∀n ∈ A. Trong trường hợp này ta có dãy hằng. 6. Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.9. Dãy số Fibonacci (Fn ) là dãy số được xác định bởi F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ ba, số đứng sau bằng tổng của hai số đứng liền trước. 1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp 1.2.1 Dẫn luận Trong mục trên chúng ta đã nói đến cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số cộng-nhân, cấp số tuần hòa, cấp số Fibonacci. Đó là các dãy lặp tuyến tính hệ số hằng, tức là có thể biểu diễn ở dạng un = a1 un−1 + a2 un−2 + ... + ak un−k + bn . (1.1) Những dãy lặp mà không được cho trực tiếp bởi công thức dạng (1.1) được gọi là dãy lặp phi tuyến. So với dãy lặp tuyến tính, dãy lặp phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và đang được nhiều người quan tâm ( thuộc lĩnh vực Phương trình sai phân phi tuyến). 7 Tuy nhiên, có nhiều dãy lặp phi tuyến có thể được đưa về dãy lặp tuyến tính bằng kỹ thuật đơn giản được trình bày dưới đây, mà ta gọi là Kỹ thuật tuyến tính hóa. Mục này, ngoài kỹ thuật tuyến tính hóa đối với dãy lặp phi tuyến còn trình bày kỹ thuật Lượng giác hóa và đặc biệt là kỹ thuật Phương trình sai phân. 1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân 1. Phương trình sai phân cấp một hệ số hằng. Trước hết xét phương trình thuần nhất aun+1 + bun = 0, ab 6= 0. (1.2) Nghiệm tổng quát của (1.2) được cho bởi công thức un = Cq n , q= −b . a (1.3) Tiếp theo, xét phương trình sai phân cấp một hệ số hằng không thuần nhất aun+1 + bun = fn , ab 6= 0. (1.4) Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng tổng của nghiệm riêng u∗n với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Sau đây sẽ trình bày cách tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với vế phải ở một số dạng đặc biệt sau: a) Giả sử fn là một đa thức bậc m của n : fn = Pm (n). Tìm u∗n dưới dạng: Nếu q 6= 1 thì u∗n = Qm (n). Nếu q = 1 thì u∗n = nQm (n), trong đó Qm (n) là một đa thức bậc m của n. 8 b) Giả sử fn = αβ n , αβ 6= 0. Tìm u∗n dưới dạng: Nếu q 6= β, thì u∗n = Cβ n , Nếu q = β, thì u∗n = Cnβ n c) Nếu fn = A cos nα + B sin nα thì nghiệm riêng có dạng u∗n = A∗ cos nα + B ∗ sin nα. d) Nếu fn = fn1 + fn2 + ... + fns , thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng u∗n = u∗n1 + u∗n2 + ...u∗ns với u∗nj là nghiệm tương ứng với fnj . • Một số bài toán áp dụng Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số truy hồi sau đây un+1 = 2un − n, n = 0, 1, ..., u0 = 3. Lời giải. Ta viết lại công thức truy hồi ở dạng phương trình sai phân 2un − un+1 = n. (1.5) Phương trình thuần nhất 2un − un+1 = 0 có phương trình đặc trưng 2 − q = 0 ⇔ q = 2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng ũn = C2n . Vì q = 2 6= 1, nên nghiệm riêng của phương trình sai phân (1.5) được tìm ở dạng u∗n = An + B. Thay vào (1.5), ta được 2(An + B) − [A(n + 1) + B] = n. Từ đây ta có A = B = 1, u∗n = n + 1. Do đó un = ũn + u∗n = C2n + n + 1. Với u0 = 3, suy ra C = 2. Vậy ta có công thức số hạng tổng quát của dãy số un = 2n+1 + n + 1. Bài toán 1.2. Giải phương trình sai phân 1 nπ 1 , un+1 = √ un − √ sin 4 2 2 u0 = 1. (1.6) 9 1 1 Lời giải. Phương trình đặc trưng q − √ = 0 ⇔ q = √ . Nghiệm tổng 2 2 1 n quát của phương trình thuần nhất ũn = C √ . Tìm nghiệm riêng u∗n của 2 nπ nπ phương trình ở dạng u∗n = A cos + B sin . Thay vào phương trình (1.6) 4 4 nπ dễ dàng tìm được A = 1, B = 0. Suy ra u∗n = cos . Do đó 4  1 n nπ un = C √ + cos . 4 2 nπ . Với u0 = 1, suy ra C = 0. Nghiệm của phương trình (1.6) là un = cos 4 2. Phương trình sai phân cấp hai hệ số hằng • Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Xét phương trình aun+2 + bun+1 + cun = 0 (1.7) Phương trình đặc trưng của phương trình (1.7) là aq 2 + bq + c = 0. (1.8) Ký hiệu ũn là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau đây. 1) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có hai nghiệm thực phân biệt q1 , q2 thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng ũn = αq1n + βq2n , trong dó α, β là các hằng số tùy ý. 2) Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực q1 = q2 = q, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng ũn = (α + βn)q n . 3) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có các nghiệm phức q1 = r(cos ϕ + i sin ϕ), q2 = r(cos ϕ − i sin ϕ) thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất sẽ là ũn = rn [α cos(nϕ) + β sin(nϕ)], 10 trong đó α, β là các hằng số tùy ý. • Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Xét phương trình sai phân cấp hai không thuần nhất hệ số hằng aun+2 + bun+1 + cun = fn . (1.9) Ký hiệu u∗n là nghiệm riêng của phương trình (1.9), còn ũn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) sẽ là un = ũn + u∗n . Ta sẽ tìm nghiệm riêng u∗n theo một số trường hợp đặc biệt của fn . 1) Trường hợp fn = Pk (n) là đa thức bậc k của n: - Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q=1, thì nghiệm riêng có dạng u∗n = Qk (n). - Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q1 = 1 thì nghiệm riêng có dạng u∗n = nQk (n). - Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q1 = q2 = 1 thì nghiệm riêng có dạng u∗n = n2 Qk (n). 2) Trường hợp fn = β n Pk (n) : - Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q = β, thì nghiệm riêng u∗n sẽ là u∗n = β n Qk (n). - Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q = β thì nghiệm riêng có dạng u∗n = nβ n Qk (n). 11 - Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q1 = q2 = β thì nghiệm riêng có dạng u∗n = n2 β n Qk (n). 3) Trường hợp fn = Pm (n) cos(nβ) + Ql (n) sin(βn). Ký hiệu k = max{m, l} : - Nếu α = cos β ± i sin β(i2 = −1) không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng u∗n = Tk (n) cos(nβ) + Rk (n) sin(nβ), trong đó Tk (n), Rk (n) là các đa thức bậc k của n. - Nếu α = cos β ± i sin β(i2 = −1) là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng u∗n = nTk (n) cos(nβ) + nRk (n) sin(nβ). • Các bài toán áp dụng Bài toán 1.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un } được cho bởi công thức truy hồi sau đây   (n − 2)2 7 5  un = un−1 − un−2 − − n + , n = 2, 3, ... 2 2 2    u0 = 1, u1 = 3 Lời giải. Dãy số đã cho tương đương với phương trình sai phân    2un+2 − 5un+1 + 2un − n2 − 2n + 3, n = 0, 1, ...   u0 = 1, u1 = 3. 1 Phương trình đặc trưng 2q 2 − 5q + 2 = 0 có các nghiệm q1 = 2, q2 = . 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng ũn = A2n + B2−n . (1.10) (1.11) 12 Nghiệm riêng được tìm ở dạng u∗n = an2 + bn + c. Thay nghiệm riêng vào hai vế của phương trình (1.8) dễ dàng tìm được a = 1, b = c = 0. Suy ra u∗n = n2 . Do đó ta có un = u∗n + ũn = n2 + A2n + B2−n . Sử dụng các giá trị ban đầu u0 = 1, u1 = 3, ta tìm được A = 1, B = 0. Vậy số hạng tổng quát của dãy số dã cho là un = 2n + n2 . Bài toán 1.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un } được cho bởi công thức truy hồi sau đây   (n − 2)π (n − 2)π  un = 3un−1 − 2un−2 + (n − 4) cos + 3(n − 1) sin , n = 2, 3, .. 2 2   u0 = 1, u1 = 3. (1.12) Lời giải. Bài toán (1.12) tương đương với phương trình sai phân un+2 − 3un+1 + 2un = (n − 2) cos nπ nπ + 3(n + 1) cos , n = 0, 1, ... 2 2 (1.13) Với các giá trị ban đầu u0 = 1, u1 = 3. Phương trình đặc trưng q 2 −3q+2 = 0 có các nghiệm q1 = 1, q2 = 2. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ũn = A + B2n . π π Vì α = cos ± sin không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên 2 2 nghiệm riêng có dạng u∗n = (an + b) cos nπ nπ + (cn + d) sin . 2 2 Thay nghiệm riêng u∗n vào phương trình (1.13), sử dụng các công thức cos(n + 2) π nπ = − cos , 2 2 13 π nπ = − sin , 2 2 π nπ cos(n + 1) = − sin , 2 2 π nπ sin(n + 1) = cos , 2 2 sin(n + 2) thực hiện so sánh hệ số của cos nπ nπ và sin , ta có hệ phương trình 2 2     a − 3c = 1,        −2a + b − 3c − 3d = −2,    3a + c        3a + 3b − 2c + d = 3, = 3. Nghiệm của hệ này là a = 1, b = c = d = 0. Do đó u∗n = n cos un = ũn + u∗n = A + B2n + n cos nπ . Suy ra 2 nπ . 2 Sử dụng các điều kiện u0 = 1, u1 = 3 ta tìm được A = B = 1. Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho được cho bởi công thức un = 1 + 2n + n cos 1.2.3 nπ . 2 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số Để minh họa cho kỹ thuật Lượng giác hóa và kỹ thuật Phương trình đại số, ta xét bài toán sau đây: Bài toán 1.5. Tìm xn , biết rằng x0 = a, Lời giải. xn+1 = x2n − 2. (1.14) 14 Đặt xn = 2yn ⇒ yn = x0 a xn , y0 = = . Do đó công thức (1.14) trở thành 2 2 2 a y0 = , 2 yn+1 = 2yn2 − 1. (1.15) • Nếu |a| ≤ 2, từ (1.20) dễ dàng thấy rằng |yn | ≤ 1, ∀n. Do đó ta đặt yo = cos α. Khi đó từ (1.20) ta có y1 = 2y02 − 1 = 2 cos2 α − 1 = cos 2α = cos β, β = 2α, y2 = 2y12 − 1 = 2 cos2 β − 1 = cos 2β, y3 = 2y22 − 1 = 2 cos2 2β − 1 = cos 4β. Chúng ta sẽ chứng minh yn = cos(2n−1 β). Thật vây, công thức này đã đúng với n = 1, 2, 3. Giả sử với n = k công thức đúng yk = cos(2k−1 β). Với n = k + 1 ta có yk+1 = 2yn2 − 1 = cos[2(2k−1 β)] = cos(2k β). Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có công thức tổng quát của dãy số truy hồi đã cho là yn = cos(2n−1 β) = cos(2n α), a cos α = , 2 Do đó ta có công thức tổng quát của dãy số đã cho là xn = 2 cos(2n α), n = 0, 1, 2, ... • Nếu |a| > 2 thì |y0 | > 1. Khi đó ta đặt 1 1 b+ , y0 = 2 b trong đó b là nghiệm của phương trình bậc hai |a| ≤ 2.
- Xem thêm -