Tài liệu Một số bài toán cực trị cho đa thức nhiều biến

. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÃ THỊ THANH XUÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÃ THỊ THANH XUÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Lã Thị Thanh Xuân i Lời cảm ơn Qua luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên nói chung và các thầy cô trong chuyên ngành Toán Giải tích nói riêng đã tạo điều kiện cho em học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ em để em có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế và nội dung luận văn còn khá mới mẻ nên bản thân khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong các thầy cô, và các bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản luận văn này được hoàn thiện và phát triển hơn. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Lã Thị Thanh Xuân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định nghĩa đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . . . 5 Tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Phiếm hàm Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Remez . . . . . . . 12 1.3 1.4 iii 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CHEBYSHEV VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ REMEZ 19 2.1 Bất đẳng thức Chebyshev cho đa thức nhiều biến . . . . . . . . 21 2.2 Bất đẳng thức Remez cho đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . 27 Kết luận chung 41 Tài liệu tham khảo 42 iv Mở đầu Trong giải tích, bài toán tối ưu hóa cực trị của các đa thức một biến và nhiều biến đóng một vai trò quan trọng. Chẳng hạn nhờ các đa thức này mà chúng ta đạt được các sai số nhỏ nhất trong quá trình xấp xỉ hàm bằng phương pháp nội suy Lagrange. Kết quả đầu tiên về tối ưu đa thức một biến đã được tìm ra từ giữa thế kỷ XIX bởi nhà toán học người Nga P. L. Chebyshev. Định lý ( Bất đẳng thức Chebyshev) Cho p(x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất bằng 1. p (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an . Khi đó sup |p (x)| ≥ x∈[−1,1] 1 2n−1 . Hơn nữa dấu bằng xảy ra chỉ khi p (x) = 21−n Tn (x) , ở đây Tn (x) là đa thức Chebyshev. Bằng cách sử dụng đa thức Chebyshev chúng ta có thể đưa ra các ước lượng về chuẩn của các đa thức trên các tập compact của R . Kết quả quan trọng sau đây được tìm ra bởi Remez ở đầu thế kỉ XX 1 Định lý (Bất đẳng thức Remez). Bất đẳng thức   2+s kpk[−1,1] ≤ Tn 2−s đúng với mọi p ∈ Pn và s ∈ (0, 2) thỏa mãn m ({x ∈ [−1, 1] : |p (x)| ≤ 1}) ≥ 2 − s. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  p (x) = ±Tn  ±2x + s . 2−s Từ các định lý trên, một cách tự nhiên chúng ta nghiên cứu các bài toán sau đây. A. Bài toán Chebyshev. Ước lượng chuẩn của một đa thức trên tập F với điều kiện chuẩn của nó trên một tập K là biết trước. Cụ thể hơn với F,K ⊂ Rm cho trước chúng ta ước lượng đại lượng ( ) kpkC(F ) sup : p ∈ Pn , p 6≡ 0 . kpkC(K) B. Bài toán Remez. Ước lượng chuẩn của một đa thức trên một tập K ⊂ Rm bằng chuẩn của nó trên một tập con của K với độ đo "đủ lớn". Nghĩa là đánh giá đại lượng sau khi mà 0 < ε < 1 đã cho trước ( ) kpkC(K) sup : p ∈ Pn , p 6≡ 0; F ⊂ K, ηm (F ) ≥ (1 − ε) ηm (K) . kpkC(F ) Lời giải của hai bài toán được biết trong trường hợp một biến nhờ hai định lý trên. Nội dung của luận văn là trình bày lại các kết quả chính của bài báo “ Some Extremal Problems for Multivariate Polynomials on Convex Bodies”, 2 nhằm giải quyết hai bài toán nêu trên. Để làm được điều đó chúng tôi chia luận văn thành 2 chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về hàm chỉnh hình, tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Remez...,các kí hiệu, khái niệm và một số tính chất cơ bản. Đặc biệt là chúng tôi trình bày cách xây dựng và tính chất của đa thức Chebyshev. Đồng thời chúng tôi trình bày bất đẳng thức Chebyshev và Remez cho đa thức một biến. Chương II: Một số bài toán cực trị của đa thức nhiều biến trên vật thể lồi Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi mở rộng bất đẳng thức Chebyshev và Remez trong trường hợp nhiều biến, từ đó đưa ra lời giải cho bài toán Chebyshev và bài toán Remez. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Lã Thị Thanh Xuân 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền D ⊂ C. Xét giới hạn. f (z + ∆z) − f (z) , z, z + ∆z ∈ D ∆z→0 ∆z lim Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là f 0 (z) hay df dz (z) f (z+∆z)−f (z) ∆z ∆z→0 Như vậy f 0 (z) = lim Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả vi tại z. f (z+∆z)−f (z) ∆z ∆z→0 Bởi vì lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆z→0 = 0 nên nếu f C- khả vi tại z thì lim [f (z + ∆z) − f (z)] = 0. ∆z→0 Nói cách khác f liên tục tại z. Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) )0 . 4 nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên D. 1.2 1.2.1 Định nghĩa đa thức Chebyshev Đa thức Chebyshev loại một Định nghĩa 1.2.1. Đa thức Chebyshev bậc n loại một Tn (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0 T0 (x) = 1 T1 (x) = x Nghiệm của phương trình sai phân trên là Tn (x) = cos(n arccos x), Tn (cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, ...). 1.2.2 Đa thức Chebyshev loại hai Định nghĩa 1.2.2. Đa thức Chebyshev bậc n loại hai Un (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Un+1 (x) − 2xUn (x) + Un−1 (x) = 0 U0 (x) = 1 U1 (x) = 2x Nghiệm của phương trình sai phân trên là x = cos θ, Un (cosθ) = 5 sin[(n + 1)θ] . sin θ 1.3 Tập lồi, nón lồi, phiếm hàm Minkowski Trong mục này ta sẽ trình bày các khái niệm tập lồi trong không gian Rn và phiếm hàm Minkowski kết hợp với các tập hợp đó. 1.3.1 Tập lồi 1.3.1.1. Không gian Rn Không gian Rn là không gian véc tơ n chiều, Rn = {x = (x1 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n} Trên Rn ta trang bị tích vô hướng n P hx, yi = xi yi với x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn ; y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn , i=1 và chuẩn kxk = n X !1/2 xi 2 , x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . i=1 1.3.1.2. Tập lồi Tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có tx + (1 − t) y ∈ C với ∀0 ≤ t ≤ 1 Ta nêu ra dưới đây một số tính chất cơ bản của tập lồi. a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi. Ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ Rn , ký hiệu coA, là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên coA cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa P A.Một tổ hợp affine x = m i=1 λi ai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các véc tơ {a1 , ..., am } 6 b) coA = x / x là tổ hợp lồi của các véc tơ thuộc A. c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC, tức là ( m ) m X X C= λi ai |m ∈ N∗ ; ai ∈ C; λi ≥ 0 : λi = 1 . 1 1 Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff ( C ): dimC := dimAf f (C). d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R , thì các tập A + B, αA cũng lồi. e) Ta gọi một vật thể lồi là một tập con lồi compact trong Rn với phần trong khác rỗng. 1.3.2 Nón lồi Một tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K . Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ P hợp tuyến tính m i=1 λi ai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt. Ta nêu ra dưới đây một số tính chất cơ bản của nón lồi. a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là nón lồi. Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ Rn , ký hiệu con coA, là nón lồi bé nhất chứa A. 7 b) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con coK, tức là ( m ) m X X K= λi ki |m ∈; ki ∈ K; λi ≥ 0 : λi > 0 . 1 1 c) Nếu K1 , K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 + K2 = co (K1 ∪ K2 ) 1.3.3 Phiếm hàm Minkowski Cho K là vật thể lồi trong Rm với 0 ∈ / K . Ta xét phiếm hàm Minkowski kết hợp với K  f (x) := inf α > 0 : x α ∈ K với ∀x ∈ cone (K) := {ax : x ∈ K; a > 0} Bổ đề 1.3.3.1 Phiếm hàm Minkowski có các tính chất sau a) f là hàm lồi trên cone(K). b) 0 < f (x) < ∞ (x ∈ cone (K)) . c) f (x) ≤ 1 với ∀x ∈ K và f (x) < 1 với ∀x ∈ Int (K) . d) f (tx) = tf (x) với ∀t > 0, ∀x ∈ cone (K) . Chứng minh. a) f là hàm lồi trên cone(K). Thật vậy, nếu x, y ∈ cone(K), và 0 ≤ θ ≤ 1 thì x/f (x) , y/f (y) ∈ K , và do tính lồi của K nên θx + (1 − θ) y x θf (x) = . θf (x) + (1 − θ) f (y) f (x) θf (x) + (1 − θ) f (y) y (1 − θ) y + . ∈K f (y) θf (x) + (1 − θ) f (y) Bởi vậy f (θx + (1 − θ) y) ≤ θf (x) + (1 − θ) f (y) , 0 ≤ θ ≤ 1. Nên f là hàm lồi. 8 b) 0 < f (x) < ∞ (x ∈ cone (K)) Thật vậy, với x ∈ cone (K) ⇒ x = ax0 với x0 ∈ K ⇒ x ∈ K ⇒ f (x) ≤ a < a +∞. Giả sử ∃x0 ∈ cone (K) để f (x0 ) = 0. x ∈ K Vì x0 ∈ cone (K) . ⇒ x0 = ao x0 0 . Ta tìm được dãy αn → 0 để αn a0 0 ⇒ x0 ∈ K với ∀n ⇒ K không bị chặn. điều này mâu thuẫn với K là tập αn lồi. Vậy 0 < f (x) < ∞ (x ∈ cone (K)). c) f (x) ≤ 1 với ∀x ∈ K và f (x) < 1 với ∀x ∈ Int (K) Thật vậy, với x ∈ K ⇒ x 1 ∈ K ⇒ f (x) ≤ 1. Với x ∈ Int (K) ⇒ x ∈ B (x0 , r) ⊂ K ⇒ ∃α0 < 1 để x α0 ∈ B (x0 , r) ⊂ K ⇒ f (x) ≤ α0 < 1. d) f (tx) = tf (x) với ∀t > 0, ∀x ∈ cone (K). Thật vậy, cố định t > 0 x tx 1 ⇒ ∈ K ⇔ tα ∈ K ⇔ tα tx ∈ K α n o 1 x ⇒ f (x) = inf α : ∈ K = f (tx) ⇒ α t Theo định nghĩa của phiếm hàm Minkowski thì f(x) là một phiếm hàm liên tục trên tập compact K, vì vậy nó sẽ đạt cực tiểu trên K. Bổ đề dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để f(x) nhận giá trị cực tiểu tại một điểm cho trước của K. Bổ đề 1.3.3.2. Cho K là một vật thể lồi, x0 ∈ K . Khi đó hai phát biểu sau đây tương đương với nhau: (i) f (x) ≥ f (x0 ) cho mỗi x ∈ K ; 9 (ii) Tồn tại siêu phẳng tựa song song cho tập K tại điểm x0 và x0 /f (x0 ) Chứng minh. . (i) 7→ (ii) Hiển nhiên ta có 0 < f (x0 ) < 1. Xét một tia l phát ra từ gốc tọa độ và đi qua điểm x0 . Khi đó, x0 sẽ là một điểm vào của l tới K, và x0 /f (x0 ) là một điểm ra từ K. Xét tập mở lồi K1 = K0 + x0 − x0 /f (x0 ) trong đó K0 := intK là tập trong K. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng K1 ∩ K0 = ∅. Giả sử phản chứng, tồn tại x1 , x2 ∈ K0 sao cho x1 = x2 + x0 − x0 /f (x0 ). Khi đó  x0 y := f (x0 ) x2 = f (x0 ) x1 − x0 + f (x0 )  (1.1) = f (x0 ) x1 + (1 − f (x0 )) x0 ∈ K0 . (Chúng ta sử dụng thực tế là nếu y ∈ K và z ∈ K0 thì θy + (1 − θ) z ∈ K0 cho mỗi 0 < θ < 1). Hơn nữa, vì x2 ∈ K0 nên với t < 1 ta phải có x2 /t ∈ K , nghĩa là f (x2 ) ≤ t < 1. Từ điều này và (1) ta thu được f (y) = f (x0 ) f (x2 ) < f (x0 ) . mâu thuẫn với tính cực tiểu của x0 . Bởi vậy nếu K1 ∩ K0 = ∅ thì do K1 và K0 là tập lồi và mở. Theo định lý Hahn – Banach chúng có thể tách rời bằng một phiếm hàm tuyến tính liên tục. Khi đó, với c khác không thuộc Rm ta có hx, ci ≤ hy, ci , x ∈ K1 , y ∈ K0 10 Bởi vì mối quan hệ trên cũng đúng cho tập đóng K0 và K1 = K0 +x0 −x0 /f (x0 ) nên ta nhận được  x + x0 −  x0 , c ≤ hy, ci , x, y ∈ K. f (x0 ) (1.2) Đặt x = x0 /f (x0 ) ∈ K trong (2). Khi đó hx0 , ci ≤ hy, ci , y ∈ K. Nghĩa là L1 := {x ∈ Rm : hx, ci = hx0 , ci} là một mặt phẳng tựa cho K tại x0 . Hơn nữa, đặt y = x0 trong (2) ta nhận được   x0 ,c ,x ∈ K hx, ci ≤ f (x0 ) Nghĩa là L2 := {x ∈ Rm : hx, ci = hx0 /f (x0 ) , ci} là một mặt phẳng tựa cho K tại x0 /f (x0 ) ∈ K . Vì siêu phẳng L1 và L2 là song song với nhau nên suy ra được phát biểu (ii). (ii) 7→ (i) Giả sử rằng với c ∈ Rm ta có   x0 hx0 , ci ≤ hx, ci ≤ , c , x ∈ K. f (x0 ) (1.3) Nghĩa là tồn tại siêu phẳng tựa cho K tại x0 và x0 /f (x0 ). Cụ thể, từ (3) ta thu được   1 hx0 , ci − 1 ≥ 0. f (x0 ) (1.4) Hơn nữa, do f (x) ≤ 1 trên K, và vật thể lồi K không thể chứa trong một siêu phẳng, dẫn tới f (x0 ) < 1, tức là hx0 , ci > 0 Hơn nữa, do f (x) ≤ 1 trên K, và vật thể lồi K không thể chứa trong một siêu phẳng, dẫn tới f (x0 ) < 1, tức là hx0 , ci > 0. 11 (1.5) Xét một điểm bất kỳ x1 ∈ K . Khi đó x1 /f (x1 ) ∈ K , và từ (3) ta có   1 1 1 x1 hx0 , ci ≥ ,c = hx1 , ci ≥ hx0 , ci . f (x0 ) f (x1 ) f (x1 ) f (x1 ) Sử dụng BĐT trên và (5) ta thu được f (x1 ) ≥ f (x0 ) 1.4 Bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Remez Đa thức chebyshev Đa thức chebyshev có vai trò rất quan trọng trong các bài toán giải tích, đặc biệt là trong C [a, b] ( không gian hàm số thực và liên tục được trang bị bởi chuẩn đều (hay chuẩn cực đại .Trong luận văn này, với bất kỳ một hàm thực hay phức f xác định trên đoạn [a, b] ta đặt kf k[a,b] := sup |f (x)| x∈[a,b] Đa thức Chebyshev được định nghĩa bởi Tn (x) : = cos (n arccos x) , x ∈ [−1, 1] , n  n  p p 1  2 2 = x+ x −1 + x− x −1 , x ∈ C, 2 [n/2] nX (n − k − 1)! = (−1)k (2x)n−2k , x ∈ C. 2 k=0 k! (n − 2k)! Đa thức Chebyshev cấp n trên đoạn [-1,1] có tính chất cơ bản sau đây. Tồn tại n + 1 điểm ζi ∈ [−1, 1] với −1 = ζn < ζn−1 < ... < ζ0 = 1 thỏa mãn Tn (ζi ) = (−1)n−j kTn k[−1,1] = (−1)n−j , j = 0, 1, ..., n. 12 Nói cách khác Tn ∈ Pn nhận giá trị ±Tn[−1,1] và đan dấu với số lần cực đại trên đoạn [-1,1] (Những điểm cực trị gồm cos (kπ/n) , k = 0, 1, ..., n.. Đa thức Chebyshev Tn có tính chất cực trị sau đây: Định lý 1.4.1. ( Bất đẳng thức Chebyshev ) Cho là đa thức bậc n, hệ số cao nhất bằng 1 p (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an , Khi đó sup |p (x)| ≥ x∈[−1,1] 1 2n−1 . Hơn nữa cực tiểu đạt được duy nhất tại p (x) = 21−n Tn (x) . Chứng minh. Ta chia chứng minh làm hai bước Bước 1: Ta chứng minh sup |p (x)| ≥ x∈[−1,1] n 1 2n−1 và cực tiểu đạt được tại p (x) = 21−n Tn (x) . Ta đặt P (x) = x − q (x) , khi đó ta cần chứng minh sup |xn − q (x)| ≥ x∈[−1,1] 1 2n−1 và dấu bằng đạt được khi q (x) = xn − 21−n Tn (x) . Ta chỉ cần chứng minh đối với trường hợp q ∈ Pn−1 vì khi q ∈ P c n−1 , ta có thể xét đa thức phần thực của q thay cho q. Từ công thức trên của Tn ta có 21−n Tn (x) = xn + s (x) , s ∈ Pn−1 . Bây giờ ta giả sử tồn tại f ∈ Pn−1 với sup |xn − f (x)| < x∈[−1,1] 1 2n−1 ⇔ kxn − f (x)k[−1,1] < 21−n , 13 vì vậy 21−n Tn (x) − (xn − f (x)) = s (x) + f (x) ∈ Pn−1 . đổi dấu giữa hai cực trị liền nhau của Tn , vì vậy nó sẽ bằng không ít nhất tại n điểm trên (-1,1), thế nên nó sẽ bị triệt tiêu cùng nhau. Điều này mâu thuẫn với chứng minh tính duy nhất trong bước 2. Bước 2. Chứng minh tính duy nhất của cực tiểu. c Giả sử rằng f ∈ Pn−1 và sup |xn − f (x)| ≤ x∈[−1,1] 1 2n−1 ⇔ kxn − f (x)k[−1,1] ≤ 21−n Khi đó h (x) := 21−n Tn (x) − Re (xn − f (x)) . xác định một đa thức từ Pn−1 trên R có ít nhất n không điểm (tính cả nghiệm bội). Bởi vậy 21−n Tn (x) = Re (xn − f (x)) , x ∈ R. Mặt khác, ta có f(x) nhận giá trị thực khi Tn (x) = ±1 nên f có hệ số thực. Vì vậy 21−n Tn (x) = xn − f (x) , x ∈ R. Định lý được chứng minh. Định lý 1.4.2. (Bất đẳng thức Remez). Bất đẳng thức   2+s kpk[−1,1] ≤ Tn 2−s đúng với mọi p ∈ Pn và s ∈ (0, 2) thỏa mãn m ({x ∈ [−1, 1] : |p (x)| ≤ 1}) ≥ 2 − s. 14