Tài liệu Một số bài bất phương trình chọn lọc mùa thi 2015

Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 MỘT SỐ BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỌN LỌC MÙA THI 2015 Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN Câu 1 (ĐVH). Giải bất phương trình 2 x3 − 5 x2 + 4 2x − 4 > 2 3x + 4 x − 4 1 + 2 x − 3 Lời giải ( x ∈ ℝ). 3 ĐK: x ≥ ; 3 x 2 + 3 x − 4 ≠ 0 ( 2 ) . 2 Với x ≥ 3 9 3 3 ⇒ 3 x 2 + 3 x − 4 ≥ 3. + 3. − 4 > 0 nên ( 2 ) ⇔ x ≥ (*) . 2 4 2 2 Khi đó (1) ⇔ 2 x − 5 x + 4 > 3 2 ( 3x ⇔ 2 x3 − 5 x 2 + 4 > ( 3x 2 + 4 x − 4 ) 2 + 4x − 4) ( )( 2x − 3 +1 ) 2x − 3 −1 2x − 3 + 1 ( ) 2 x − 3 − 1 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + 4 x > ( 3x 2 + 4 x − 4 ) 2 x − 3 ⇔ 2 x3 − 3 x 2 2 x − 3 − 2 ( 2 x − 3) 2 x − 3 − x ( 2 x − 3) + x − 2 2 x − 3 > 0 Đặt (3) 2 x − 3 = u ≥ 0 khi đó (3) trở thành 2 x 3 − 3 x 2u − 2u 3 − xu 2 + x − 2u > 0 ⇔ ( x − 2u ) ( 2 x 2 + xu + u 2 ) + ( x − 2u ) > 0 ⇔ ( x − 2u ) ( 2 x 2 + xu + u 2 + 1) > 0 Do x ≥ (4) 3 và u ≥ 0 ⇒ 2 x 2 + xu + u 2 + 1 > 0 nên ( 4 ) ⇔ x > 2u 2 3 3   x > 6 x ≥ x ≥  2 Hay x > 2 2 x − 3 ⇔  ⇔ 2 ⇔ 3  ≤x<2  x 2 > 4 ( 2 x − 3) ( x − 2 )( x − 6 ) > 0 2   x > 6 Kết hợp với (*) ta được  3 thỏa mãn.  ≤x<2 2 x > 6 Đ/s:  3  ≤x<2 2 Câu 2 (ĐVH). Giải bất phương trình 2x + 1 39 + 12 6 − x − x 2 > x+3 − 2− x 17 + 2 6 − x − x 2 ( x ∈ ℝ). Lời giải 2 − x ≥ 0  −3 ≤ x ≤ 2 ĐK:  x + 3 ≥ 0 ⇔ ⇔ − 3 ≤ x ≤ 2 ( *) . ( 2 − x )( x + 3) ≥ 0  2 6 − x − x ≥ 0 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Khi đó ⇔ ( x+3 + 2− x )( x+3 − 2− x 39 + 12 6 − x − x 2 )> x+3 − 2− x 17 + 2 6 − x − x 2  x+2 + 2− x 1 − x + 3 − 2 − x  2 2  39 + 12 6 − x − x 17 + 2 6 − x − x ( Facebook: Lyhung95 )   > 0  (2) Đặt t = 2 − x + x + 3 ≥ 0 ⇒ t 2 = 5 + 2 6 − x − x 2 ⇒ 2 6 − x − x 2 = t 2 − 5 và t 2 ≥ 5 ⇒ t > 2. Khi đó (2) trở thành ( ⇔( (   t 1 >0 x+3 − 2− x  − 2  39 + 6 ( t 2 − 5 ) 17 + t − 5    ) ) ( x + 3 − 2 − x ) ( t − 3) ( t x + 3 − 2 − x ) ( t − 3) ( t − 1)( t − 2 ) + 1 > 0 Với t > 2 ⇒ ( t − 1)( t − 2 ) + 1 > 0 nên ( 2 ) ⇔ ( t − 3) ( x + 3 − 2 − x ) > 0 x + 3 − 2 − x ( t 3 + 12t − 6t 2 − 9 ) > 0 ⇔ ⇔ Hay ( x+3 + 2− x −3 )(      x+3− 2− x > 0 ⇔       ) 2 − 3t + 3 ) > 0 (3) x+3 > 2− x x+3+ 2− x >3 x+3 < 2− x x+3+ 2− x <3  1  1  1 x>− x>− x>−        x + 3 > 2 − x  2 2 2     2 2 2    6 − x − x > 2  ( x − 1)( x + 2 ) > 0  5 + 2 6 − x − x > 9  6 − x − x > 4 x > 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1   x < −2  x < − 1 < 1   x + 3 < 2 − x   x < − 1 x < −       2 2 2 2   5 + 6 − x − x < 9   2   2    6 − x − x < 2  ( x − 1)( x + 2 ) > 0  6 − x − x < 4 1 < x ≤ 2 Kết hợp với (*) ta được  thỏa mãn.  −3 ≤ x < −2 1 < x ≤ 2 Đ/s:   −3 ≤ x < −2 ( )( ) Câu 3 (ĐVH). Giải bất phương trình x − 1 − 2 x − 2 5 3 2 x + 2 + 3 x − x − 2 − 6 ≥ 3 ( x − 3 ) . 2 Lời giải ĐK: x ≥ 2 (*) ⇒ x − 1 + 2 x − 2 > 0. ( ) ( Khi đó (1) ⇔ ( x − 1) − 4 ( x − 2 )  5 3 2 x + 2 + 3 x − x − 2 − 6 ≥ 3 ( x − 3) x − 1 + 2 x − 2   2 ( ⇔ ( x − 3) ( 5 ) ( ⇔ ( x − 3) 5 3 2 x + 2 + 3 x − x − 2 − 6 ≥ 3 ( x − 3) x − 1 + 2 x − 2 2 2 3 2 2 ) ) ) 2 x + 2 + 3x − x − 2 − 6 − 3x + 3 − 6 x − 2 ≥ 0 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( x − 3) 2 ( Facebook: Lyhung95 ( x − 3 ) 2 = 0 5 2x + 2 − 7 x − 2 − 3 ≥ 0 ⇔  3 5 2 x + 2 − 7 x − 2 − 3 ≥ 0 ) 3 • TH1. ( x − 3) = 0 ⇔ x = 3. Đã thỏa mãn (*) . • TH2. 5 3 2 x + 2 − 7 x − 2 − 3 ≥ 0 2 ( 2 ) . Đặt t = x − 2 ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 2. Khi đó (2) trở thành 5 3 2 ( t 2 + 2 ) + 2 − 7t − 3 ≥ 0 ⇔ 5 3 2t 2 + 6 ≥ 7t + 3 ⇔ 125 ( 2t 2 + 6 ) ≥ ( 7t + 3) ⇔ 343t 3 + 191t 2 + 189t − 723 ≤ 0 ⇔ ( t − 1) ( 343t 2 + 534t + 723) ≤ 0 Do t ≥ 0 ⇒ 343t 2 + 534t + 723 > 0 nên ( 3) ⇔ t ≤ 1 hay 3 (3) x ≥ 2 x − 2 ≤1⇔  ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. x − 2 ≤ 1 Kết hợp với (*) ta được 2 ≤ x ≤ 3 thỏa mãn. Tóm lại từ hai trường hợp ta được 2 ≤ x ≤ 3 thỏa mãn. Đ/s: 2 ≤ x ≤ 3. Câu 4 (ĐVH). Giải bất phương trình ( x 2 − 2 x − 2 ) x + 1 + ( 2 x − 1) x 2 − 1 + 3 ≤ x 2 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. x ≥ 1 Điều kiện   x = −1 Xét trường hợp x = −1 không thỏa mãn bài toán. Xét x ≥ 1 ta được (x 2 − 3) x + 1 − x 2 + 3 + ( 2 x − 1) x 2 − 1 − ( 2 x − 1) x − 1 ≤ 0 ( ⇔( ⇔ Ta thấy ) x + 1 − 1)  x x + 1 − 1 ( x 2 − 3) + ( 2 x − 1) x − 1 2 ( ) x +1 −1 ≤ 0 − 3 + ( 2 x − 1) x − 1  ≤ 0 x + 1 − 1 ≥ 2 − 1 > 0, ∀x ≥ 1 nên thu được x 2 − 3 + ( 2 x − 1) x − 1 ≤ 0 ⇔ x − 1 + ( 2 x − 1) x − 1 + x 2 − x − 2 ≤ 0 . Đặt x − 1 = t , t ≥ 0 thu được t 2 + ( 2 x − 1) t + x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔ ( t + x + 1)( t + x − 2 ) ≤ 0 . Rõ ràng t + x + 1 > 0, ∀x ≥ 1 ⇒ x − 1 + x − 2 ≤ 0 ⇔ x − 1 ≤ 2 − x  5+ 5 x ≥  2 − x ≥ 0 x ≤ 2 2 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 5 − 5 x −1 ≤ x − 4x + 4  x − 5x + 5 ≥ 0 ≤x≤2   2  5+ 5 x ≥ 2 Kết luận bài toán có nghiệm  5 − 5 ≤x≤2   2 Câu 5 (ĐVH). Giải bất phương trình ( 2 x + 2 ) 2 − x + ( 6 − 2 x ) x ≥ 8 + 5 x + 1 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 . Đặt 2 − x = u; x = v ⇒ 2 − x = u 2 ; x = v 2 ⇒ u 2 + v 2 = 2 , bất phương trình tương đương Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( 2v + u + v ) u + ( u ⇔ ( 3v + u ) u + ( 3u 2 2 2 2 2 2 2 + v 2 + 2u 2 ) v ≥ 8 + 5 x + 1 + v2 ) v ≥ 8 + 5 x + 1 ⇔ (u + v ) ≥ 8 + 5 x + 1 3 ( 2 − x + x ) ≥ 8 + 5 x +1 ⇒ 2 − x + x > 8 = 2 Mà ( 2 − x + x ) = 2 + 2 x ( 2 − x ) ≤ 2 + ( x + 2 − x ) = 4 ⇒ 3 ⇔ Facebook: Lyhung95 3 2 2 − x + x ≤ 2 , mâu thuẫn. Kết luận bất phương trình vô nghiệm. Câu 6 (ĐVH). Giải bất phương trình x ( 8 x − 15 ) ≥ 4 x 2 − 5 x + 1 − 2 x − 2 Lời giải. Điều kiện x ≥ 2 . 4 x2 − 5x + 1 − 2 x − 2 = Nhận xét ( x ∈ ℝ) . 4x2 − 9 x + 9 4 x2 − 5x + 1 + 2 x − 2 Do đó bất phương trình đã cho tương đương > 0, ∀x ≥ 2 . 8 x 2 − 15 x ≥ 4 x 2 − 5 x + 1 + 4 ( x − 2 ) − 4 ⇔ 4 x 2 − 14 x + 7 + 4 ( 4 x − 1)( x − 2 ). ( x − 1)( 4 x − 1)( x − 2 ) x −1 ≥ 0 ⇔ 4 x 2 − 9 x + 2 + 4 4 x 2 − 9 x + 2. x − 1 − 5 ( x − 1) ≥ 0 . 4 x 2 − 9 x + 2 = u; x − 1 = v ( u ≥ 0; v > 0 ) ta thu được Đặt u 2 + 4uv − 5v 2 ≥ 0 ⇔ ( u − v )( u + 5v ) ≥ 0 ⇔ u ≥ v  5 + 13 x ≥ 4 ⇔ 4 x 2 − 9 x + 2 ≥ x − 1 ⇔ 4 x 2 − 10 x + 3 ≥ 0 ⇔   5 − 13 x ≤  4  5 + 13  Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S =  ; +∞  .  4  Câu 7 (ĐVH). Giải bất phương trình 2 x 2 − x 3x − 2 + ( 2 x − 1) x − 1 ≥ x + 3x 2 − 5 x + 2 . Lời giải. Điều kiện x ≥ 1 . Bất phương trình tương đương 2 x 2 − x − x 3 x − 2 + ( 2 x − 1) x − 1 − 3 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ( ) ⇔ 2 x 2 − x 1 + 3x − 2 + 2 x − 1 − x − 1 − 3x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 Xét phương trình bậc hai ẩn x, tham số là các căn ta được ( ) 2 ∆ = 1 + 3x − 2 + 2 x − 1 + 4 Do đó dẫn đến (x + )( (  x = − x −1  x − 1 + 3x − 5 x + 2 ⇒  1 + 3x − 2  x = 2 2 ) ) x − 1 2 x − 1 − 3x − 2 ≥ 0 ⇔ 2 x − 1 ≥ 3x − 2 x ≥1 ⇔ 4 x − 4 x + 1 ≥ 3 x − 2 ⇔ 4 x − 7 x + 3 ≥ 0 ⇔ ( x − 1)( 4 x − 3) ≥ 0 ⇔  3 x ≤  4 Kết hợp điều kiện thu được x ≥ 1 . 2 2 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu 8 (ĐVH). Giải bất phương trình x + Facebook: Lyhung95 1 x+2 2 x + +1 . +1 ≥ x 2 x Lời giải. x2 + x + 2 Điều kiện ≥ 0; x ≠ 0 ⇒ x > 0 . x Bất phương trình tương đương 2 2 2  2  2 x + + 2 ≥ ( x + 2 ) x + + 1 ⇔  x + + 1 − ( x + 2 ) x + + 1 + x + 1 ≥ 0 . x x x  x  2 + 1 = t , t > 0 thu được t 2 − ( x + 2 ) t + x + 1 ≥ 0 . x Coi phương trình có dạng bậc hai ẩn t, tham số x thì ∆ = x 2 + 4 x + 4 − 4 x − 4 = x 2 ⇒ t = 1; t = x + 1 . Đặt x+    2 2 Ta thu được  x + + 1 − 1  x + + 1 − x − 1  ≥ 0 .  x x    2 2 Rõ ràng x + + 1 ≥ 2 2 + 1 > 1, ∀x > 0 ⇒ x + + 1 − 1 > 0 . Khi đó thì x x x+ 2 2 2 + 1 ≥ x + 1 ⇔ x + + 1 ≥ x2 + 2 x + 1 ⇔ x + ≥ x2 + 2 x x x x 2 ≥ x 2 + x ⇔ x 3 + x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 x Kết hợp điều kiện ta có nghiệm S = ( 0;1] . ⇔ ( x ∈ ℝ) . Câu 9 (ĐVH). Giải bất phương trình 3 x 3 + 3 x 2 − 4 x + 3 < 3 x + 1 + 5 x + 4 Lời giải. 1 Điều kiện x ≥ − . Bất phương trình đã cho tương đương với 3 3x3 + 3x 2 − 6 x + x + 1 − 3 x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 < 0 ⇔ 3 ( x 2 − x ) ( x + 2 ) + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 < 0 x2 − x x2 − x ⇔ 3( x − x ) ( x + 2) + + <0 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5x + 4 1 1   ⇔ ( x 2 − x ) 3 ( x + 2 ) + +  < 0 (1) x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4   1 1 1 Ta thấy 3 ( x + 2 ) + + > 0, ∀x ≥ − nên đưa về x ( x − 1) < 0 ⇔ 0 < x < 1 . 3 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 Kết luận phương trình có nghiệm S = ( 0;1) . 2 Câu 10 (ĐVH). Giải bất phương trình 2 x 2 − x + 2 ≤ 5 x − 2 + x 11x + 7 ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện x ≥ 2 . Bất phương trình đã cho tương đương với 5 Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x − 5 x − 2 + x 2 + 3 x − x 11x + 7 + x 2 − 5 x + 2 ≤ 0 ( ) ⇔ x − 5 x − 2 + 2 x x + 3 − 11x + 7 + x 2 − 5 x + 2 ≤ 0 x2 − 5x + 2 x2 − 5x + 2 + 2 x. + ( x2 − 5x + 2) ≤ 0 x + 5x − 2 x + 3 + 11x + 7 1 2x   ⇔ ( x2 − 5x + 2)  + + 1 ≤ 0  x + 5 x − 2 x + 3 + 11x + 7  ⇔ (1) 1 2x 2 5 − 17 5 + 17 + + 1 > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x 2 − 5 x + 2 ≤ 0 ⇔ ≤x≤ . 5 2 2 x + 5 x − 2 x + 3 + 11x + 7  5 − 17 5 + 17  2 Kết hợp với điều kiện x ≥ ⇒ S =  ; . 5 2   2 Vì CHÚC TẤT CẢ CÁC EM MỘT KÌ THI THÀNH CÔNG! Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!